e Riemannintegraal Veronderstel dat f : R continu is, waarbij = [a, b] [c, d]. Laten a = x 0 < x 1 < x 2 < < x m 1 < x m = b en c = y 0 < y 1 < y 2 < < y n 1 < y n = d partities zijn van [a, b] en [c, d]. eze partities bepalen een partitie P van. Kies in elke rechthoek [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] een steunpunt (ξ ij, η ij ) en laten x i = x i x i 1, y j = y j y j 1, A ij = x i y j. n m an heet f(ξ ij, η ij ) A ij een Riemannsom bij f. j=1 i=1 May 9, 2007 1
M P 0 j=1 i=1 x 2 i Laat M P = max + yj 2 de maaswijdte van een 1 i m 1 j n partitie P zijn. n m Wanneer lim f(ξ ij, η ij ) A ij bestaat onafhankelijk van de keuze van de steunpunten dan heet f Riemannintegreerbaar over. May 9, 2007 2
Als lim n M P 0 j=1 i=1 m f(ξ ij, η ij ) A ij = L dan heet L de Riemannintegraal van f over. Notaties f(x, y) da = f(x, y) d(x, y) May 9, 2007 3
Worden de steunpunten zo gekozen dat min f(x, y) 1 i m 1 j n f(ξ ij, η ij ) = f(x, y) max 1 i m 1 j n dan heten de bijbehorende Riemannsommen wel { ondersom en bovensom May 9, 2007 4
Stelling Als f continu is op dan is f Riemannintegreerbaar over. Gevolgen (Gelijkheden) Als f en g continu zijn op en c R dan zijn f + g en c f Riemannintegreerbaar over en (f + g)(x, y) da = f(x, y) da + g(x, y) da (c f)(x, y) da = c f(x, y) da In het bijzonder c da = c opp May 9, 2007 5
Ongelijkheden Laten f en g continu zijn op. Als f(x, y) 0 voor (x, y) dan f(x, y) da 0 Als f(x, y) g(x, y) voor (x, y) dan f(x, y) da g(x, y) da Als m f(x, y) M voor (x, y) dan m opp() f(x, y) da M opp() May 9, 2007 6
f is continu op en f(x, y) da f(x, y) da May 9, 2007 7
Stelling (Fubini) Laat f een continue functie zijn op = [a, b] [c, d]. an kan f(x, y) da geschreven worden als een herhaalde integraal. f(x, y) da = f(x, y) da = b a d c { d c { b a } f(x, y) dy dx } f(x, y) dx dy Guido Fubini (1879-1943) May 9, 2007 8
Gevolg Is f(x, y) = g(x)h(y) waarbij g een continue functie is op [a, b] en h op [c, d] dan geeft toepassing van de stelling van Fubini dat { b } { d } f(x, y) da = g(x) dx h(y) dy a c May 9, 2007 9
Uitbreiding tot niet-rechthoekige gebieden Laat R 2 een begrensd gebied zijn en laat R R 2 een rechthoek zijn zodat R. Laat verder f op een continue functie zijn. efinieer de functie f op R door : f(x, y) als (x, y) f(x, y) = 0 als (x, y) R\. Bestaat R f(x, y) da dan heet f Riemann-integreerbaar over en de Riemannintegraal van f over wordt hierdoor gedefinieerd. May 11, 2007 1
We gebruiken de voor de hand liggende notatie en er geldt dus f(x, y) da = R f(x, y) da f(x, y) da May 11, 2007 2
Een gebied R 2 heet van het Type I als er continue functies g 1, g 2 op [a, b] bestaan zodat = {(x, y) a x b, g 1 (x) y g 2 (x)} Een gebied R 2 heet van het Type II als er continue functies h 1, h 2 op [c, d] bestaan zodat = {(x, y) c y d, h 1 (y) x h 2 (y)} May 11, 2007 3
Stelling Als f continu is op een gebied van Type I en/of Type II dan is f Riemannintegreerbaar over. Gevolgen Als een gebied is van Type I zoals hiervoor beschreven en f is continu op dan geeft de stelling van Fubini dat { b } g2 (x) f(x, y) da = f(x, y) dy dx a g 1 (x) May 11, 2007 4
Als een gebied is van Type II zoals hiervoor beschreven en f is continu op dan geeft de stelling van Fubini dat { d } h2 (y) f(x, y) da = f(x, y) dx dy c h 1 (y) May 11, 2007 5
Gelijkheden Als f en g continu zijn op een gebied van Type I en/of Type II en c R dan zijn f + g en c f Riemannintegreerbaar over en (f + g)(x, y) da = (c f)(x, y) da = c In het bijzonder f(x, y) da + f(x, y) da c da = c opp g(x, y) da May 11, 2007 6
Ongelijkheden Laat f continu zijn op een gebied van Type I en/of Type II. Als f(x, y) 0 voor (x, y) dan f(x, y) da 0 Als f(x, y) g(x, y) voor (x, y) dan f(x, y) da g(x, y) da Als m f(x, y) M voor (x, y) dan m opp() f(x, y) da M opp() May 11, 2007 7
f is continu op en f(x, y) da f(x, y) da May 11, 2007 8