Katholieke Hogeschool Limburg. Beknopte inleiding tot de regeltechniek

Katholieke Hogeschool Limburg Beknopte inleiding tot de regeltechniek Johan Baeten Cursus gedoceerd aan 3e jaar Academische Bachelor Chemie / Biochemie Brugjaar Chemie 16 juni 2005

c Katholieke Hogeschool Limburg Departement industriële wetenschappen en technologie Universitaire campus gebouw B, bus 3, B-3590 Diepenbeek, Belgium Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm, elektronisch of op welke andere wijze ook zonder voorafgaandelijke schriftelijke toestemming van de uitgever.

Inhoudstafel Inhoudstafel I 1 Inleiding 1 2 Systeemgedrag 3 2.1 Inleiding................................... 3 2.2 Versterking................................. 3 2.3 Voorbeeld van een eerste orde systeem.................. 3 2.4 Stapweergave van het eerste orde systeem................. 4 2.5 Integrator.................................. 6 2.6 Differentiator................................ 6 2.7 Voorbeeld van een tweede orde systeem.................. 7 2.8 Standaard tweede orde systeem...................... 8 2.9 Stapweergave van het tweede orde systeem................ 8 2.10 Looptijd of dode tijd............................ 11 3 Regelkringen en Regelaars 13 3.1 Inleiding................................... 13 3.2 Terugkoppeling............................... 13 3.3 Eigenschappen van een regelkring..................... 14 3.4 De P-regelaar................................ 16 3.5 De I-regelaar................................ 18 3.6 De PI-regelaar................................ 18 3.7 De D-actie.................................. 19 3.8 De PID-regelaar............................... 19 3.9 Voorbeeld.................................. 20 3.10 Besluit.................................... 22 Bibliografie 23 I

Hoofdstuk 1 Inleiding Deze cursus beschrijft en analyseert het gedrag van elementaire systemen en regellussen. Blokkendiagram Een systeem wor in het meest eenvoudige geval voorgesteld door een blokje. Een aaneenschakeling van systemen, elk beschreven door blokjes, levert dan een blokkendiagram op. De blokken stellen de fysische processen voor. Elk proces zet bepaalde grootheden om in andere grootheden. Bijvoorbeeld, een lamp, als proces, zet elektriciteit om in licht. Figuur 1.1 stelt een proces schematisch voor. De aankomende pijl dui de ingangsgrootheid of het ingangssignaal aan. De vertrekkende pijl geeft het uitgangssignaal weer. Figuur 1.1: Voorstelling van een proces als blokje; a) algemeen, b) versterker Figuur 1.2 geeft nog twee basiselementen uit een blokkendiagram: het vergelijkingspunt, om signalen te combineren (optellen) of te vergelijken (aftrekken) en de aftakking, om een signaal meerdere malen te gebruiken. Figuur 1.2: Bewerkingen op signalen Beperkingen De in deze cursus beschouwde systemen zijn allen causaal (zie later), lineair of lineariseer- 1

1 Inleiding baar, en tijdinvariant 1. Verder beperken we ons in deze cursus tot analoge systemen met één enkele (continue) ingang en één enkele (continue) uitgang of SISO-systemen (Eng.: Single Input, Single Output ). Tijdrespons De reactie van een systeem op een wel bepaald ingangssignaal bepaalt per definitie de eigenschappen van dit systeem. Bij de analyse van een systeem zal men een gekend signaal aanleggen en het hieruit voortvloeiend uitgangssignaal of de respons bestuderen. Er zijn twee soorten van ingangssignalen: willekeurige (niet-periodische) signalen of periodische signalen. De eerste groep worden tijdsignalen of tijdfuncties genoemd, de tweede groep frequentiesignalen. De meest gebruikte tijdfuncties zijn de stap-, de impulsen de ramp - of taludfunctie. Het meest gebruikte frequentiesignaal is een sinus. De keuze van het aangelegde signaal hangt samen met de beoogde analyse. Dit kan een tijdrespons of een frequentierespons zijn. Figuur 1.3 geeft een overzicht. Figuur 1.3: Overzicht analysemogelijkheden Deze cursus beperkt zich tot de analyze van de reactie van het systeem in de tijd. 1 Een systeem is tijdinvariant indien de coëfficiënten van de beschrijvende differentiaalvergelijking constant zijn. 2 Johan Baeten

Hoofdstuk 2 Systeemgedrag 2.1 Inleiding Alle (lineaire) systemen kan men terugbrengen tot een aaneenschakeling van eerste en/of tweede orde systemen. Het eerste orde systeem is het meest eenvoudige systeem, - een zuivere versterking of verzwakking, hetgeen in feite een nulde orde systeem is, buiten beschouwing gelaten. Een eerste orde systeem wor beschreven door een eerste orde differentiaalvergelijking, een tweede orde systeem door een tweede orde differentiaalvergelijking. Toepassing van de Laplace-transformatie op deze differentiaalvergelijkingen levert de transfertfunctie die eveneens een mogelijke beschrijving geeft van het systeem, maar welke buiten het bestek van deze cursus valt. De reactie van een systeem kan beschreven worden in de tijd of in het frequentiedomein. Deze cursus beperkt zich echter tot de beschrijving van de tijdrespons van het systeem, en in de meeste gevallen zelfs tot de stapweergave. De volgende paragrafen geven na de definitie van een zuivere versterking, de definitie, een voorbeeld en de mogelijke vorm van de stapweergave van het eerste orde, de integrator, de differentiator en het tweede orde systeem. De laatste paragraaf bespreekt het begrip looptijd. 2.2 Versterking Indien een systeem enkel bestaat uit een versterking dan gel y(t) = Kx(t) met K de grootte van de versterking, x het ingangssignaal en y het uitgangssignaal. Indien k kleiner is dan 1, dan geeft dit een verzwakking. Een zuivere versterking is in feite een nulde orde systeem. De uitgang is op ieder ogenblik gelijk aan de ingang, op een schaalfactor na. Figuur 2.1 geeft een voorbeeld. 2.3 Voorbeeld van een eerste orde systeem Deze paragraaf beschrijft bij wijze van voorbeeld een elektrisch eerste orde systeem. Merk hierbij op dat er evengoed elektronische, thermodynamische, hydraulische, pneumatische, thermische, (bio)chemische of mechanische eerste orde systemen bestaan. Uiteindelijk zullen al deze eerste orde systemen (van welke aard ook) beschreven worden door gelijkaardige 3

2 Systeemgedrag x K y = K x K 1 y ( t) x ( t) y Helling = K = y x Figuur 2.1: Blokdiagram, stapweergave en statische karakteristiek van een (zuivere) versterking tijd x differentiaalvergelijkingen. Alle eerste orde systemen gedragen zich dan ook op dezelfde wijze niettegenstaande dat het telkens om verschillende ingangs- en uitgangsgrootheden gaat. Figuur 2.2: Voorbeeld 1e orde systeem: RC-kring Figuur 2.2 geeft het elektrisch schema van een RC-kring. Hierbij is V in de ingangsspanning en V uit, de spanning over de condensator, de uitgangsspanning. Veronderstel dat er een stroom i door de kring vloeit. Dan gel V in (t) = Ri(t) + V uit (t) met V uit (t) = 1 C Substitutie geeft V in (t) = RC dv uit(t) + V uit (t). i(t) of i(t) = C dv uit(t). Dit is een eerste orde differentiaalvergelijking. De RC-kring is derhalve een eerste orde systeem. Het product RC is hierbij een belangrijke parameter, dit is per definitie de tijdconstante van het systeem. We gebruiken hiervoor de parameter τ. De algemene differentiaalvergelijking van het eerste orde systeem wor dan: x = τ dy + y, (2.1) met x het ingangssignaal en y het uitgangssignaal. De tijdconstante τ heeft als dimensie seconden op voorwaarde dat de in- en uitgangsgrootheden dezelfde dimensie hebben. 2.4 Stapweergave van het eerste orde systeem Bij de gebruikte tijdfuncties als ingangssignalen is de stapfunctie de belangrijkste. De reactie van het systeem op een stap, noemen we de stapweergave of staprespons. Andere mogelijk tijdfuncties zijn de impuls of de Talud. Figuur 2.3 geeft de stap-, ramp- en impulsfunctie grafisch weer. 4 Johan Baeten

2.4 Stapweergave van het eerste orde systeem Impuls Oppervlakte A tijd Stap E Stapgrootte E Ramp of Talud Helling m tijd tijd Figuur 2.3: Tijdfuncties met overeenkomstige Laplace-formules Zonder in detail te treden over de berekeningen welke nodig zijn om de differentiaalvergelijking 2.1 op te lossen met x = 1, geven we hier de algemene vorm van de staprespons y(t). Deze is y(t) = E ( ) 1 e t τ. Deze functie is nul voor t = 0, gelijk aan E voor t = en bereikt na een tijd τ 63% van haar uiteindelijke waarde (=E). De afgeleide van deze functie op het tijdstip t = 0, levert de hoek α waarmee de curve vertrekt en is α =bgtg ( ) E τ. S( t) E - t / Staprespons = E(1-e ) Uiteindelijke waarde 0,63.E (tijdconstante) tijd Figuur 2.4: Staprespons van een eerste orde systeem Figuur 2.4 geeft de stapweergave. Uit de oplossing volgt dat de uitgang zijn uiteindelijke waarde zo goed als bereikt heeft na 5 maal de tijdconstante. De tijdconstante is dus een indicatie voor de snelheid van het systeem. Systemen met een grote tijdconstante zijn langzame systemen, systemen met een kleine tijdconstante zijn snelle systemen. De definitie van een tijdconstante is: Johan Baeten 5

2 Systeemgedrag De tijdconstante is de tijd waarbij de uitgang (van een eerste orde systeem) als respons op een stap, 63% van de uiteindelijke waarde bereikt of ook de tijd waarbij de uitgang de uiteindelijke waarde bereikt indien ze met dezelfde snelheid zou blijven toenemen als op het tijdstip nul. 2.5 Integrator Neem als voorbeeld van een zuivere integrator het vloeistofreservoir uit figuur 2.5. Het Figuur 2.5: Het vloeistofreservoir als voorbeeld van een zuivere integrator instromend water zal een verandering van de hoogte veroorzaken. We schrijven: Φ in (t) = ρa dh(t) = τ i dh(t) Algemeen gel (voor een integrator) x = τ i dy of y = 1 τ i x, of h(t) = 1 τ i Φ in met τ i de integratietijdconstante. De uitgang van de integrator is het geïntegreerde (of continu opgetelde ) ingangssignaal. De staprespons van de integrator is een lineair stijgende lijn. Zie figuur 2.6. Figuur 2.6: Stap- en impulsrespons van de integrator 2.6 Differentiator De uitgang van de differentiator is de afgeleide van het ingangssignaal. Een benaderend voorbeeld van een zuivere differentiator is het drukvat uit figuur 2.7. 6 Johan Baeten

2.7 Voorbeeld van een tweede orde systeem Figuur 2.7: Het drukvat als voorbeeld van een zuivere differentiator Voor dit systeem gel dp (t) Φ uit (t) = C dp (t) = τ d. Algemeen gel (voor een differentiator y = τ d dx met τ d de differentiatietijdconstante. De differentiator zal in de praktijk nooit alleen voorkomen maar steeds in combinatie met andere systemen. 2.7 Voorbeeld van een tweede orde systeem Neem het massa-veer-demper systeem uit figuur 2.8. De ingangsgrootheid van dit systeem is de aangelegde kracht. De uitgangsgrootheid is de verplaatsing van de massa (y). Merk op dat zulke systemen zeer frequent voorkomen, denk maar aan de ophanging van een auto, demping van bewegende onderdelen, enz. Aangelegde kracht F Verplaatsing y veerconstante k massa m b dempingscoáfficiánt Figuur 2.8: Voorbeeld: massa-veer-demper systeem De aangelegde kracht veroorzaakt een versnelling van de massa, wor tegengewerkt door de demper (kracht evenredig met de snelheid) en ondervin een tegenwerkende kracht van de veer (veerkracht evenredig met de verplaatsing). Dit geeft volgende vergelijkingen bij krachtenevenwicht: F (t) = m.a(t) + F f (t) + F y (t) = m.a(t) + b.v(t) + k.y(t) = m d2 y(t) 2 + b dy(t) + k.y(t). (2.2) Johan Baeten 7

2 Systeemgedrag 2.8 Standaard tweede orde systeem De differentiaalvergelijking van het standaard tweede orde systeem, met x de input en y de output, is: met Kx(t) = 1 ω 2 n d2 y(t) 2 ω n de natuurlijke eigenpulsatie en ζ ( zeta ) de dempingscoëfficiënt. + 2ζ dy(t) + y(t) (2.3) ω n Bij gelijkstelling van de oplossing uit voorgaand voorbeeld (vergelijking 2.2) met vergelijking 2.3 gel voor het massa-veer-demper systeem: k ω n = m, ζ = b 2 km en K = 1 k De dempingscoëfficiënt ζ is evenredig met de demping b, aanwezig in het systeem, maar niet identiek gelijk aan b. Indien er geen demping is in het systeem (b = 0), dan is ζ = 0. 2.9 Stapweergave van het tweede orde systeem Deze paragraaf analyseert de staprespons van het tweede orde systeem. Neem als voorbeeld het massa-veer-demper systeem, zet dit in verticale positie, breng de massa uit haar evenwichtspositie (bijvoorbeeld door toevoegen van een extra gewicht) en laat ze dan plots los (of neem het extra gewicht plots weg). Wat zal er gebeuren? Hoe zal de plaats van de massa in functie van de tijd evolueren? Intuïtief weten we dat de massa terug naar haar evenwichtspositie zal gaan. Indien de demping in het systeem klein is, dan zal de massa eerst voorbij haar evenwichtspositie schieten en vervolgens lichtjes oscillerend naar haar eindwaarde toegaan. Indien de demping in het systeem groot is, dan zal de massa langzaam en zonder oscillatie naar de eindwaarde toe bewegen. Figuur 2.9 geeft een overzicht van de testopstelling en geeft een mogelijke beweging van de massa bij weinig demping. Figuur 2.9: Voorbeeld staprespons van een tweede orde systeem De standaard differentiaalvergelijking van het tweede orde systeem is nu juist zodanig gekozen dat de waarde van ζ bepaalt hoe de reactie van het systeem zal zijn. 8 Johan Baeten

2.9 Stapweergave van het tweede orde systeem Indien ζ > 1, dan zal er geen oscillatie optreden. De demping in het systeem is in dit geval te groot om een oscillatie toe te laten. Naarmate ζ groter is, zal ook de demping in het systeem groter zijn en zal elke verandering trager verlopen. Het systeem is overgedempt. In feite is het tweede orde systeem voor ζ > 1 niets anders dan een aaneenschakeling van twee eerste orde systemen. Indien ζ = 1, is het systeem kritisch gedempt. Elke verandering zal zo snel mogelijk gevolgd worden, zonder oscillatie en zonder doorschot (Eng.: overshoot ). Een tweede orde systeem met ζ = 1 is hetzelfde als een aaneenschakeling van twee eerste orde systemen met dezelfde tijdconstante, zoals figuur 2.10 aangeeft. 2e orde systeem 1e orde systeem 1e orde systeem Figuur 2.10: Ontbinding van 2e orde in cascade van 2 eerste orde systemen Indien ζ < 1 is een opsplitsing in twee eerste orde systemen niet meer mogelijk. De staprespons ziet er nu helemaal anders uit. Zoals figuur 2.9 schetst, zal de eindwaarde eerst overschreden en nadien, eventueel oscillerend, bereikt worden. Dit wor een gedempte oscillatie genoemd. De wiskundige formulering van de staprespons voor ζ < 1 is (enkel ter info!): ( )) Staprespons ζ<1 = K 1 e ωnζt sin 1 ζ 2 (ω n 1 ζ2 t + bgtg (2.4) 1 ζ 2 ζ Deze formule stelt een gedempte sinus voor rond de eindwaarde K. De demping volgt uit de exponentiële factor met negatieve coëfficiënt. Indien er geen demping is in het systeem, is ζ = 0 en trilt het systeem op de natuurlijke of ongedempte eigenpulsatie: ω n. Indien ζ < 1 dan vertoont de staprespons een doorschot (Eng.: overshoot ). Hoe kleiner ζ hoe groter de doorschot. In de limiet voor ζ = 0 is de doorschot 100%. Figuur 2.11: Staprespons van het 2e orde systeem voor ζ > 1, ζ = 1 en ζ < 1 Johan Baeten 9

2 Systeemgedrag Figuur 2.12: 2e orde staprespons voor verschillende ζ waarden met ω n = 1 r/s en K = 1 Figuur 2.11 geeft een schematisch overzicht van de vorm van de staprespons voor de drie besproken gevallen. Figuur 2.12 geeft de exacte staprespons van het tweede orde systeem voor verschillende ζ waarden. Vergelijk figuur 2.12 met figuur 2.9. Figuur 2.13 geeft tenslotte de staprespons van een ongedempt tweede orde systeem (ζ = 0). Door het aanleggen van een stap wor een blijvende oscillatie opgewekt met een pulsatie ω n. Figuur 2.13: Staprespons voor ζ = 0, ω n = 1 r/s en K = 1 10 Johan Baeten

2.10 Looptijd of dode tijd 2.10 Looptijd of dode tijd De dode tijd (Eng.: Dead Time ), ook wel vertragingstijd, looptijd of voortplantingstijd genoemd, is de tijd die voorbij gaat tussen het aanleggen van het ingangssignaal en de eerste reactie van het systeem hierop. Figuur 2.14 geeft enkele voorbeelden. In het eerste voorbeeld wor een last via een loopband op een vrachtwagen geplaatst. Na het lossen van de last duurt het nog 3 seconden voor de vrachtwagen het plots vallen van de last voelt en hierop reageert (bijvoorbeeld door lichtjes te zakken). De looptijd is 3 seconden. In het tweede voorbeeld zal de sensor, die de staaldikte van een pas gewalste plaat meet, steeds 2 seconden achteroplopen met de uitgegeven informatie. Immers de dikte die nu gewalst wor, wor pas na twee seconden gemeten. Men kan de looptijd verkleinen door de sensor dichter bij de wals te plaatsen. Kunnen we in diet voorbeeld de looptijd echter volledig teniet doen? In het derde voorbeeld regelen we de temperatuur van het water (bijvoorbeeld bij een douche) samengesteld uit een warme en een koude stroom. Elke actie die we ondernemen heeft enige tijd nodig vooraleer we deze actie waarnemen: dit tijdsverschil is de looptijd. Figuur 2.14: Voorbeelden van systemen met looptijd of dode tijd Johan Baeten 11

2 Systeemgedrag 12 Johan Baeten

Hoofdstuk 3 Regelkringen en Regelaars 3.1 Inleiding Het vorige hoofdstuk beschrijft beknopt het gedrag van een systeem. Deze kennis is noodzakelijk om een efficiënte regeling mogelijk te maken. Bovendien kan men slechts besluiten trekken door het gedrag van het niet geregeld en het geregeld systeem met elkaar te vergelijken. Dit hoofdstuk start met de kern van de regeltechniek. Dit hoofdstuk licht eerst de belangrijkste eigenschappen en het werkingsprincipe van de regelkring toe. Daarna komen de (standaard) analoge regelaars aan bod gevolgd door een voorbeeld en het besluit. 3.2 Terugkoppeling Om te weten hoe de uitgang van een bepaald systeem evolueert, moet men deze uitgang meten. Zo meet men bijvoorbeeld het waterniveau in een watertoren, de positie van een toestel, de concentratie van een bepaald product in een mengvat of de vochtigheidsgraad en de temperatuur in een ruimte. Telkens zal men ook een ideale, gewenste waarde vooropstellen. Indien de gemeten waarde niet overeenstemt met de gewenste waarde, dan is er een fout: mogelijk reageert het systeem niet zoals verwacht of treden er (ongekende) storingen op. In beide gevallen dienen we eigenhandig in te grijpen zodanig dat de beschouwde te regelen grootheid naar de gewenste waarde toe evolueert. En het liefst van al willen we dit regelproces automatisch laten verlopen, dit wil zeggen zonder enige menselijke tussenkomst. Dit is de basisgedachte achter elke regelkring. De terugkoppelketen moet hierbij de mogelijkheid scheppen om de werkelijke waarde van de te regelen grootheid te vergelijken met de gewenste waarde (ook wel setwaarde genoemd). Het verschil tussen deze twee waarden wor het foutsignaal genoemd (meestal aangeduid met de variabele e). De regelaar zal dan gebruik maken van dit foutsignaal om een stuursignaal (aangeduid met de variabele u) te genereren als ingangssingaal voor het systeem. Hierdoor zal weerom de uitgang van het systeem veranderen en zo is de regellus rond. Figuur 3.1 geeft een overzicht. Toepassen van een terugkoppeling creërt een gesloten systeem. Dit gesloten systeem zal zich op een volledig andere wijze gedragen dan het oorspronkelijke systeem (welk we het open systeem noemen). 13

3 Regelkringen en Regelaars Voorwaartse of rechtstreekse keten Setwaarde x + Foutsignaal e Regelaar Stuursignaal u Systeem - Open systeem Meting z Meetorgaan Uitgang y Gesloten systeem Terugkoppelketen Figuur 3.1: De regelkring 3.3 Eigenschappen van een regelkring De belangrijkste eigenschappen van de regelkring zijn: de stabiliteit, de snelheid en de nauwkeurigheid van het gesloten systeem. Deze laatste eigenschap wor verder opgedeeld in de statische en de dynamische nauwkeurigheid. De statische nauwkeurigheid hou verband met de statische fout of standfout, de dynamische nauwkeurigheid weerspiegelt het vermogen tot ruisonderdrukking in het gesloten systeem. De vermelde eigenschappen komen overeen met de eisen die vaak aan een regelkring gesteld worden. Bijvoorbeeld: We wensen een systeem op een zodanige wijze te regelen dat het geheel stabiel is (hetgeen steeds de voornaamste en eerste eis is), dat de uitgang (d.i. de te regelen grootheid) elke verandering van de setwaarde nauwkeurig volgt en dit liefst op een zo snel mogelijke wijze en dat het geregeld systeem een inherent vermogen heeft om eventuele toevallige invloeden van buiten af (met name ruis) te onderdrukken. Dit laatste wil zeggen dat het geregeld systeem een zekere robuustheid bezit zodat kleine veranderingen van het open systeem of storingen op het systeem geen invloed hebben op de waarde van de te regelen grootheid. Bovenstaande eisen geven in feite het doel weer van de regeling. De keuze en instelling van de regelaar zal hierdoor bepaald worden. Maar vooreerst zullen we de verschillende eigenschappen afzonderlijk bespreken. Een systeem of regelkring is (absoluut) stabiel indien bij het aanleggen van een begrensd ingangssignaal ook de uitgang van het systeem of de regelkring begrensd blijft. Meestal convergeert de uitgang hierbij naar een bepaalde (eindige) waarde toe. Indien het daarentegen naar oneindig divergeert, dan is het systeem instabiel. De meeste fysische systemen zijn van naturen uit stabiel. Anders zouden ze zichzelf immers vernietigen en dus ophouden te bestaan. Bij een foutief ingestelde regelkring kan het echter gebeuren dat het gesloten systeem instabiel wor. De statische nauwkeurigheid van een systeem wor bepaald door de statische fout of de standfout. De statische fout ontstaat door aanleggen van een constante storing. De fout op de uitgang zal in de regel echter kleiner zijn dan de grootte van de storing. De standfout ontstaat door toepassing van de regellus zelf. De standfout ( ɛ ss ) is het verschil tussen het aangelegde stapsignaal met grootte 1 en de uiteindelijke waarde van het geregeld 14 Johan Baeten

3.3 Eigenschappen van een regelkring uitgangssignaal (of ook wel de uiteindelijke waarde van het foutsignaal e). Figuur 3.2 geeft een voorbeeld. 1 stap 1 Uitgang tijd Eerste orde systeem tijd 1 stap 1 1/2 Uitgang Standfout tijd + - Eerste orde systeem tijd Figuur 3.2: De standfout Het grote voordeel van een regelkring is net het vermogen om willekeurige fouten ten gevolge van allerlei ongekende storingen te onderdrukken of zelfs te elimineren. Elk signaal is onderhevig aan storingen, waarop we meestal maar weinig vat hebben. Denk aan capacitieve koppelingen, aan magnetische stormen, parasitaire signalen of gewoon ruis in het algemeen. Indien de storing éénmalig en blijvend is, spreken we van een statische storing. Zulk een statische storing kan een statische fout veroorzaken. In tegenstelling tot statische storingen kunnen er ook wisselende of dynamische storingen zoals bv. ruis optreden. Ruis is een stoorsignaal dat gemiddeld gelijk is aan nul, maar willekeurige positieve en negatieve afwijkingen heeft. Figuur 3.3 geeft een schematisch voorbeeld van een regellus met een stoorsignaal. Hoeveel er van de storing overblijft als fout op de uitgang, hangt af van een aantal facto- x Regelaar Systeem + e u + - Meting Storing s + y Figuur 3.3: Regelkring met stoorsignaal ren zoals de versterking in de regelkring, het type te regelen systeem en van de frequentie van de storing. Algemeen gel dat een goed ingestelde of ontworpen regelaar statische storingen volledig elimineert en dynamische storingen goed onderdrukt indien deze niet te snel variëren, dit is bij lage frequenties. Bij hogere frequenties is het echter mogelijk dat de regelkring de invloed van de storing op de uitgang nog versterkt. Bij zeer hogere frequenties wor de storing zonder meer als fout op de uitgang waargenomen. Figuur 3.4 geeft het vorige samengevat weer. Een belangrijk voordeel van een regelkring kan er tenslotte in bestaan de (reactie-) snelheid van het te regelen systeem te vergroten. Johan Baeten 15

3 Regelkringen en Regelaars Amplitude van de fout op de uitgang 1 Niveau van de storing 0 Storing onderdrukt Storing versterkt Regelkring zonder effect op storing Figuur 3.4: Storingsonderdrukking in functie van de frequentie van de storing 3.4 De P-regelaar De regelkring met een P-regelaar wor gegeven in figuur 3.5. x + e P-regelaar K R u Systeem y - Sensor Figuur 3.5: Regelkring met P-regelaar Het foutsignaal e wor eenvoudig versterkt (of verzwakt) om het stuursignaal u voor het systeem te genereren. De P-actie komt bij bijna alle regelaars terug. De voordelen van een P-regelaar zijn: sneller maken van het systeem naar mate K R groter wor, verkleinen van de standfout en/of vergroten van de statische nauwkeurigheid naar mate K R groter wor en goede ruisonderdrukking bij grote K R waarden De nadelen zijn: mogelijk instabiel systeem bij te grote K R waarden; te hevige reactie van het systeem bij te grote K R waarden; geen ruisonderdrukking bij te kleine K R waarden; ontstaan van een standfout, die groter is naarmate K R kleiner is. 16 Johan Baeten

100 % 100 % 100 % 3.4 De P-regelaar De optimale K R waarde volgt uit het afwegen van de voor- en nadelen van de P-regelaar. Het belangrijkste hierbij is dat het systeem niet instabiel wor. Indien de mogelijk in te stellen versterkingsfactor van de regelaar in combinatie met de actuator begrensd is, dan wor vaak de proportionele band opgegeven in plaats van de versterkingsfactor. De proportionele band geeft het verband aan tussen de verandering van het foutsignaal e en het hieruit resulterend stuursignaal u. Meer bepaald geeft de proportionele band aan over welk procentueel stuk van het ingangsbereik de regeling proportioneel blijft. Stel bijvoorbeeld dat de regellus een ventiel als actuator bezit. De uiterste stuurwaarden voor dit ventiel zijn volledig open en volledig dicht. Tussen deze uiterste waarden is elke instelling mogelijk. Laat open met 100 % overeenstemmen en dicht met 0 %. De effectieve stuurwaarde zal dus tussen 0 % en 100 % liggen. Veronderstel verder dat het meetsignaal kan variëren tussen 0 en 100 en dat de gewenste waarde 50 is. De fout zelf kan dan variëren tussen -50 en 50. Een proportionele band gelijk aan 1 (= 100%) betekent nu (in dit geval) dat bij een fout = -50, het stuursignaal 0% bedraagt en bij een fout = 50, het stuursignaal 100 % zal bedragen. Het volledige ingangsbereik dient doorlopen te worden om het volledige stuurbereik te omvatten. Een proportionele band gelijk aan 1 stemt bijgevolg overeen met een versterking = 1. Indien de proportionele band 50 % bedraagt dan zal het stuursignaal 0 % bedragen bij een fout van -25 en 100 % bij een fout van +25. Een fout kleiner dan -25 zal toch geen kleiner stuursignaal opleveren dan 0 %: het ventiel kan niet verder dicht dan dicht. Een fout groter dan 25 zal evenmin een stuursignaal groter dan 100 % opleveren. Tenslotte, bij een proportionele band gelijk aan 20 % zal het stuursignaal variëren tussen 0 % en 100 % bij een foutsignaal gaande van -10 tot +10. Figuur 3.6 geeft de waarden (en redenering) uit dit voorbeeld op een grafische wijze weer. Proportionele Band = 100 % Versterking = 1 Meetsignaal = 0 (min.) Proportionele Band = 50 % Versterking = 2 max. Proportionele Band = 20 % Versterking = 5 max. 100 % e -50 100 % 0 50 % 50 0 % u 50 % e -50 100 % -25 0 50 % u 25 50 0 % 20 % e -50 100 % -10 0 50 % u 10 50 0 % Meetsignaal = 100 (max.) Figuur 3.6: Grafische voorstelling van een proportionele band van 100%, 50% en 20% hetgeen overeenstemt met versterkingen gelijk aan 1, 2 en 5 respectievelijk min. min. Samengevat gel dat de proportionele band (PB), uitgedrukt in %, gelijk is aan 100 gedeeld door de versterkingsfactor (K R ) of: P B = 100 K R [%]. (3.1) Johan Baeten 17

3 Regelkringen en Regelaars 3.5 De I-regelaar De I-regelaar is in feite gewoon een integrator met een constante erbij of u(t) = 1 t e(t) τ i 0 (3.2) met e het foutsignaal, u het stuursignaal en τ i de integratietijdconstante. De regelkring is weergegeven in figuur 3.7. x I-regelaar I-regelaar + e u y + 1 x e u e ( t ) Systeem i - t - of Systeem y Sensor Sensor Figuur 3.7: Regelkring met I-regelaar De staprespons van de I-regelaar is een lineair toenemende functie hetgeen ook gebruikt wor als blokdiagram voor de I-regelaar. Zie figuur 3.7. De voordelen van een I-regelaar zijn: het elimineren van de standfout of om het even welke statische fout die optree na de integrator, omdat de regelaar blijft integreren en dus het stuursignaal blijft verhogen totdat de fout nul wor. De nadelen zijn: een mogelijk instabiel systeem bij een foutieve (te kleine) τ i waarde, dit is een te snelle integrator; een te langzaam systeem (of geen effect van de I-actie) bij te grote τ i waarden. De integrerende regelaar vergroot het stuursignaal u(t) zolang het verschilsignaal e(t) groter is dan 0. Indien e(t) < 0, dan zal het stuursignaal u(t) afnemen. Op het ogenblik dat e(t) = 0 (en ook gelijk blijft aan nul) hou de regelaar het stuursignaal van dat ogenblik aan. De regelaar zoekt dus zelf naar de juiste grootte van het stuursignaal om de fout op de uitgang te elimineren. 3.6 De PI-regelaar De PI-regelaar is niets anders dan de samenvoeging van een P-regelaar en een I-regelaar. De voor- en nadelen van de P- en de I-regelaar worden hier dan ook gecombineerd. We kunnen de PI-regelaar opsplitsen in een P- en een I-actie zoals figuur 3.8 toont. De uitgang van de PI-regelaar is dus gelijk aan de som van de integraal van het ingangssignaal en het ingangssignaal zelf, beide met een bepaalde factor versterkt (of verzwakt). ( u(t) = K r e(t) + 1 t ) e(t) (3.3) τ i 0 18 Johan Baeten

3.7 De D-actie K R (1 + ) 1 i K R i K R + + Figuur 3.8: Ontbinding van een PI-regelaar in een P- en een I-actie Uit deze formule volgt de staprespons van de PI-regelaar, weergegeven in figuur 3.9. De reactie van de PI-regelaar bestaat uit een P-actie en een I-actie. Beide acties zijn gelijk op het ogenblik τ i, dit is daar waar (a) = (b). Indien τ i klein is, is de integrerende actie heel snel. Indien τ i groot is, is de integrerende actie heel traag. De P-actie daarentegen is onafhankelijk van de tijd. Staprespons u( t ) K R 1 I-actie P-actie a = b b i tijd K R.e ( t ) e( t ) = 1 Figuur 3.9: Staprespons van een PI-regelaar 3.7 De D-actie Bij de D-actie is het stuursignaal evenredig met de afgeleide van het foutsignaal: u(t) = τ d de(t). (3.4) Merk op dat een zuivere differentiator in de praktijk zelden op zichzelf voorkomt en dus meestal een onderdeel vormt van een groter geheel, bijvoorbeeld van een PD- of PIDregelaar. Vandaar de plotse naamwisseling van (D)-regelaar naar D-actie. De D-actie heeft (meestal) een stabiliserend effect op de regelkring of op het systeem. Men mag de differentiatietijdconstante τ d echter niet te klein kiezen want anders is het voordelig effect omzeggens nihil. Anderzijds mag τ d ook niet te groot zijn want dan wor het gedrag van de regelaar heel onrustig. 3.8 De PID-regelaar De PID-regelaar bestaat uit de combinatie van een P-, I- en D-regelaar. De voor- en nadelen van de P-, I- en D-actie worden hier dan ook gebundeld. In feite bestaan er Johan Baeten 19

3 Regelkringen en Regelaars twee soorten PID-regelaars: de parallelle en de seriële PID-regelaar. Ze hebben ongeveer hetzelfde effect op de regelkring of op het systeem. Enkel de invloed van de tijdconstanten is lichtjes verschillend voor de twee regelaars. We beperken ons tot de parallelle PID. Het stuursignaal u bij de parallelle PID-regelaar is ( u(t) = K r e(t) + 1 t ) de(t) e(t) + τ d. (3.5) τ i Figuur 3.10 geeft het overeenkomstig blokkendiagram. 0 K R e( t) + K R + i u( t) + K R d d Figuur 3.10: Ontbinding van een parallelle PID-regelaar Figuur 3.11 geeft de staprespons van de (parallelle) PID-regelaar weer. We kunnen hierin duidelijk het aandeel van de P-, de I- en de D-actie onderscheiden. De PID-regelaar is de u( t ) Staprespons D-actie~ d K R 1 I-actie P-actie i tijd K R.e ( t ) e( t ) = 1 Figuur 3.11: Staprespons van een PID-regelaar meest algemene klassieke regelaar. Zij volstaat voor de meeste systemen mits een juiste keuze van de parameters K R, τ d en τ i. Stel dat τ s1, τ s2 de tijdconstanten zijn van het systeem dan liggen de tijdconstanten van de regelaar meestal als volgt: τ i τ s1 τ s2, τ d (3.6) 3.9 Voorbeeld Bij wijze van voorbeeld geven we hier (gesimuleerde) resultaten voor het aanlopen van een motor. Het gewenste toerental is 3000 toeren/min. Figuren 3.12 tot en met 3.14 geven het 20 Johan Baeten

3.9 Voorbeeld aanlopen van de motor exact weer, en dit zonder en met regelaar én dit voor verschillende K R -waarden en τ i -waarden. Bij toepassen van een P-regelaar ontstaat een standfout: het gewenste toerental wor niet bereikt. Naarmate K R groter is, is de standfout wel kleiner maar neemt de stabiliteit af: er is meer oscillatie in de staprespons. Bij toepassen van een PI-regelaar verdwijnt de standfout en zullen er ook geen statische fouten overblijven. Figuur 3.14 geeft aan dat Toerental [1000 toeren/min] 4 3.5 K R = 10 3 K R = 5 2.5 2 1.5 1 Zonder regelaar K R = 2 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Tijd [ sec] Figuur 3.12: Het aanlopen van de motor zonder en met P-regelaar met K R = 2, 5 en 10 Toerental [1000 toeren/min] 3.5 3 2.5 2 Met PI-regelaar 1.5 Met PI-regelaar 1 0.5 Zonder regelaar 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Tijd [ sec] Figuur 3.13: Aanlopen van de motor zonder en met correcte PI-regelaars Johan Baeten 21

3 Regelkringen en Regelaars Toerental [1000 toeren/min] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 Met te snelle PI-regelaar 2 1.5 1 0.5 Zonder regelaar Met te trage PI-regelaar 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Tijd [ sec] Figuur 3.14: Aanlopen van de motor zonder en met foutief ingestelde PI-regelaar het toerental van de motor bij een te snel ingestelde PI-regelaar eerst voorbij het gewenst toerental schiet en vervolgens al slingerend naar dit toerental toegaat. De integratietijdconstante is hier te klein. Bij een te traag ingestelde integratietijdconstante (τ i te groot) wor de eindwaarde pas na een lange tijd bereikt. 3.10 Besluit De regelkring is een onmisbaar onderdeel bij elke stap tot automatisatie. Bij een automatisch proces is het van belang de gemeten procesgrootheden te controleren. Indien de gemeten toestand niet overeenstemt met de gewenste toestand is een ingrijpen door het terugkoppelen van de gemeten informatie noodzakelijk. Hiermee is de basis gelegd van de regelkring. Dit hoofdstuk bespreekt de eigenschappen van de regelkring. Hierbij valt onmiddellijk op dat het toepassen van een terugkoppeling niet enkel voordelen met zich meebrengt. Elke regelkring dient qua stabiliteit onderzocht te worden omdat de inherente natuurlijk stabiliteit van het open systeem door de terugkoppeling niet meer verzekerd is. Verder kan door terugkoppeling een ongewenste standfout ontstaan. Een gepaste keuze van de regelaar, van de versterkingsfactor en van de (instel-) parameters van de regelaars, verzekert niet alleen de stabiliteit van het gesloten systeem, maar geeft de ontwerper eveneens de mogelijkheid om het systeemgedrag, bijvoorbeeld qua reactiesnelheid en nauwkeurigheid, volledig naar de hand te zetten. Tenslotte dient het grote voordeel van een regelkring nogmaals onderlijnd te worden: elke goede regelkring onderdrukt (tot op zekere hoogte) ongekende, (wisselende) storingen op het uitgangssignaal, waardoor het gesloten systeem een zekere robuustheid krijgt tegenover veranderingen of storingen vanuit de omgeving en zelfs tegen veranderingen van zichzelf. 22 Johan Baeten

Bibliografie [1] Johan Baeten Systeemtheorie KHLim, IWT [2] Johan Baeten Automatisering Regeltechniek KHLim, IWT [3] http://www.khlim.be/ jbaeten Cursussen 23