Verslag Regeltechnek 2 Door: Arjan Koen en Bert Schultz Studenten Werktugbouw deeltjd Cohort 2004
Inhoudsogave Inledng blz. 3 2 Oen lus eerste-orde systeem blz. 4 3 Gesloten lus P-geregeld eerste orde systeem blz. 6 4 Gesloten lus PI-geregeld eerste orde systeem blz. 0 5 Gesloten lus P-geregeld tweede orde systeem blz. 20 6 Gesloten lus PI-geregeld tweede orde systeem blz. 26 7 Gesloten lus PID-geregeld tweede orde systeem blz. 35 8 Dode tjd blz. 5 9 Samenvattng eerste orde systemen blz. 56 0 Samenvattng tweede orde systemen blz. 58 Lteratuurljst blz. 60 Verslag Regeltechnek 2 agna 2/60
Inledng Tjdens de oledng tot Werktugbouwkundg Ingeneur wordt van studenten verwacht dat zj 2 verslagen maken voor het vak Regeltechnek. Tjdens Regeltechnek s het de bedoelng om de regelng te beschrjven van een roces van de eerste-orde. Dt zjn rocessen waar slechts één buffer aanwezg s. Voor het verslag van Regeltechnek 2 moeten n Matlab verschllende regelaars ontworen worden. Dt doen we met behul van een oolbaan, de ons nzcht geeft over de snelhed, nauwkeurghed en demng van een systeem. De gebrukte regelaars, zullen aan de hand van de smulates vergeleken worden met elkaar. Van systemen van de eerste orde moet met de volgende systemen gesmuleerd worden: Oenlus systeem P-regelaar PI-regelaar Van systemen van de tweede orde moet met de volgende systemen gesmuleerd worden: P-regelaar PI-regelaar PID-regelaar Herna moet er bj edere regelaar wat dode tjd toegevoegd worden, om her de nvloed van te kunnen zen. De n het verslag omschreven smulates zjn met behul van het comutersmulate rogramma Matlab / Smulnk gesmuleerd. Om dt rogramma o de juste maner te voeden, zal de overdrachtsvergeljkng van het systeem omgezet moeten worden om n te voeren n Matlab. Voor deze utwerkng s kenns van lneare dfferentaalvergeljkngen en Lalace transformates noodzakeljk. Onderstaand verslag doet notte van het utwerken van de genoemde eerste- en tweede orde systemen en de nvloed van het gebruk van verschllende regelaars. Verslag Regeltechnek 2 agna 3/60
2 Eerste orde oenlus systeem 2. Inledng De meest eenvoudge verse van een eerste orde systeem zal heronder beschreven worden. Als eerste zullen we n Matlab het blokschema tekenen. Daarna zullen we de waarden de we kunnen wjzgen (n dt geval alleen ) zodang aanassen zodat er een dudeljk verschl waarneembaar s. De waarde voor K staat her standaard ngesteld o. 2.2 Blokschema Dt blokschema bestaat ut een aantal elementen te weten: Een bron of ngangssgnaal (ste) De omzettng (transfer FCN) Een utgang (To worksace) Het één en ander s n onderstaand fguur weergegeven: Fguur: blokschema oen lus eerste orde systeem Vervolgens zullen we n Matlab aangeven wat de waarden moeten zjn. We hebben onderstaande gegevens ngevoerd: 4 K Verslag Regeltechnek 2 agna 4/60
2.3 Smulates Als eerste laten we Matlab smuleren met de standaard waarde van. De smulate zet er dan als volgt ut: Fguur: grafek Matlab De heeft n deze grafek de volgende waarden: blauw: = rood: = 4 O het moment dat we de wjzgen n een hogere waarde dan zal dt drect nvloed hebben o de snelhed. We hebben dt getest door n laats van te kezen voor 4. Zoals te zen n de grafek duurt het langer voordat de endwaarde s berekt (zelfs zo lang dat dt net bnnen de ngestelde 0 seconden gaat). Concluse Zodra we bnnen een eerste orde oen lus systeem de klener maken, dan wordt het systeem sneller. Verslag Regeltechnek 2 agna 5/60
3 P-geregeld eerste orde systeem 3. Inledng Van de gesloten lus systemen s de P-regelaar de meest eenvoudge regelaar. Het s de bedoelng dat er met verschllende waarden voor de Kr gesmuleerd word, om zo de nvloed aan te tonen van de Kr met betrekkng o: snelhed nauwkeurghed relateve stabltet Vervolgens moet er een systeem ontworen worden, met behul van een oolbaan. 3.2 Blokschema Fguur: blokschema P-geregeld eerste orde systeem 3.3 De oolbaan vergeljkng Om te komen tot de utendeljke smulate n Matlab met behul van een oolbaan vergeljkng, zullen we eerst laten zen hoe we aan deze vergeljkng komen. De bass lgt utendeljk bj het blokschema zoals dt omschreven s n aragraaf 3.2. Het s de bedoelng om de karaktersteke vergeljkng om te zetten naar een oolbaan vergeljkng de n Matlab ngevoerd kan worden. Overdrachtsfuncte P-geregeld eerste orde systeem: U Kr K s Kr K s gewenst ( s) gemeten ( s) U De noemer van de overdrachtsfuncte s het lnkerld van de karaktersteke vergeljkng: Kr K 0 s Verslag Regeltechnek 2 agna 6/60
Dt moet worden omgezet naar een oolbaan vergeljkng om utendeljk n te voeren n Matlab: Kr K ( ) s Kr K s ( ) Dt noemen we de oolbaanvergeljkng. 3.4 Poolbaan De ngestelde arameters voor deze smulate zjn: K 2 Kr Fguur: oolbaan van P-geregeld eerste orde systeem Verslag Regeltechnek 2 agna 7/60
Het verkantje geeft de laats aan waar de waarde van Kr nul s. Deze waarde van Kr s ook te berekenen va de gan. De gan s de noemer van het rechterld ut de oolbaan vergeljkng, nameljk: Kr K ( ) 0 ( ) 2 = 0 3.5 Smulates Fguur: grafek P-regelaar eerste orde met verschllende Kr De Kr heeft n deze grafek de volgende waarden: blauw: Kr = rood: Kr = 2 groen: Kr = 0 zwart: Kr = 00 Verslag Regeltechnek 2 agna 8/60
Concluse Snelhed: Wat dudeljk te zen s n de grafeken, s als de Kr van de regelaar groter gekozen wordt, dat de snelhed van het systeem ook groter wordt. De waarde van s n een P-geregeld eerste orde systeem heeft de vorm: s Deze waarde s beaald door de karaktersteke vergeljkng o te lossen. t S nvullen n st ae levert ae ( K K r ) o. K K Dt laat zen dat het systeem sneller wordt naarmate de Kr groter wordt. Dan wordt nameljk de utendeljke waarde voor de t meer negatef, waardoor de amltude n de tjd sneller afneemt. Nauwkeurghed: Wat dudeljk te zen s n de grafeken, s als de Kr van de regelaar groter gekozen wordt, dat de nauwkeurghed van het systeem ook groter wordt. De formule voor de statsche afwjkng s: U statafwjkng ( t) U gewenst ( t). K K De waarde van K s een systeemconstante en s net te veranderen. Als de waarde van Kr groter wordt, zal de noemer groter worden, en utendeljk de statsche afwjkng klener. Relateve stabltet: Dt s bj een eerste orde roortoneel geregeld roces net aan de orde. Een systeem gaat as osclleren, als de waarden de voor de s gevonden worden, comlex zjn. Dt kan dus alleen bj een kwadratsche vergeljkng, met een dscrmnant klener dan 0. r r Verslag Regeltechnek 2 agna 9/60
4 PI-geregeld eerste orde systeem 4. Inledng De volgende regelaar de we zullen behandelen betreft een PI-regelaar eerste orde systeem. De PI- regelaar heeft er dus een extra I-acte bj gekregen ten ozchte van de hervoor beschreven P-regelaar. 4.2 Blokschema Het blokschema s bj een PI-regelaar ogedeeld n een aantal blokken. In Matlab aangemaakt zet dt er als volgt ut: Fguur: blokschema PI-geregeld eerste orde systeem De elementen zjn: Een bron of ngangssgnaal (ste) De regelaar (Zero-ole) Het systeem (Transfer Fcn) Een utgang (To Worksace) Aan het systeem kunnen we nets veranderen, dt noemen we de roces arameters. Dt zjn de en de K. Aan de regelaar echter wel, we noemen dt de regelarameters. Dt zjn de Kr en de. Deze 2 arameters zullen we vervolgens n de volgende aragraaf toelchten met smulates. 4.3 De oolbaanvergeljkng Om te komen tot de utendeljke systeemontwer n Matlab met behul van een oolbaan vergeljkng zullen we eerst laten zen hoe we aan deze vergeljkng komen. De bass lgt utendeljk bj het blokschema zoals dt omschreven s n aragraaf 4.2. rechtdoorgaand Hervoor mag je ook schrjven:, oftewel: rondgaand Verslag Regeltechnek 2 agna 0/60
U gewenst ( s) ( ) K Kr s s K Kr s s U gemeten s De noemer van de overdrachtsfuncte s het lnker ld van de karaktersteke vergeljkng. Dus: K Kr 0 s s K Kr s s s Kr K s s s s s Kr K Dt noemen we de oolbaanvergeljkng. 4.4 Systeem ontweren zonder doorschot s Als we nu Kr geljk stellen aan nul dan krjgen we: s s 0 K Dan wordt: s 0 s s 0 s en: s 0 s Bj een oolbaan zonder doorschot geldt. We zullen nu een oolbaan maken met de waarden ut aragraaf 4.3: K 2 Kr 0 Verslag Regeltechnek 2 agna /60
Fguur: oolbaan lot eerste orde PI-geregeld systeem Kr K De noemer van het rechterld noemen we de gan, dus zodra we deze waarde o nul stellen zoals we hervoor gedaan hebben zen we o de oolbaan bj en bj een gan van nul. Ze de grafek o agna 3. Verslag Regeltechnek 2 agna 2/60
Fguur: oolbaan lot eerste orde PI-geregeld systeem O de oolbaan s te zen dat de (blauwe ljn) rechts van de (groene ljn) lgt. Dt zorgt ervoor dat het systeem stabel verloot. Zodra we de waarde van lnks van komt te lggen zal het systeem onstabel worden. Dt zullen we n de onderstaande smulate aantonen. Verslag Regeltechnek 2 agna 3/60
4.5 Systeem ontweren met doorschot Bj een oolbaan met doorschot geldt. Ook her kezen we een waarde ut aragraaf 4.3: K 2 Kr 0.0 Fguur: oolbaan lot eerste orde PI-geregeld systeem O de oolbaan s te zen dat (groen ljn) rechts van (blauwe ljn) lgt. Om dt te bereken s er een magnar deel ontstaan. Dt magnare s de doorschot. Dus zolang de waarde van groter s dan dan zal het systeem zch stabel gedragen. Verslag Regeltechnek 2 agna 4/60
4.7 Smulates met In deze aragraaf zullen we zoals gezegd gaan zen wat de nvloed van deze regelarameters s o de snelhed, nauwkeurghed en relateve stabltet. Als eerste zullen we de PI-regelaar smuleren met de volgende waarden: K 2 Kr 0,, 0. en 0.0 Matlab genereert de volgende grafek: Fguur: lot eerste orde PI-geregeld systeem. De heeft n deze grafek de volgende waarden: Rood: 0 Groene: Blauw: 0. Paars: 0.0 Verslag Regeltechnek 2 agna 5/60
Concluse Een steeds klener wordende heeft de volgende nvloed o de snelhed, nauwkeurghed en relateve stabltet: Snelhed: Naar mate de klener wordt zal het systeem sneller worden. Bj een hoge duren voordat de ngestelde waarde gehaald wordt. Bj een lage maar zeer onstabel. zal het lang s het systeem wel snel Nauwkeurghed: Het systeem wordt net nauwkeurger, het zal altjd de ngestelde waarde halen. Relateve stabltet: Wat zeer goed te zen s n de grafek s het verschl n stabltet, hoe klener de hoe groter de oscllate en hoe klener de relateve stabltet. Bj een van 0.0 zen we een enorme utslag, deze zet over een langere erode door waardoor het utendeljk langer duurt voordat de ngestelde waarde berekt wordt. 4.8 Smulates met Kr en We zullen nu hetzelfde systeem vergeljken met 2 verschllende waarden voor en 4 verschllende waarden voor K r. De eerste smulate de we utvoeren heeft de volgende nstellngen: K 2 K r =, 2, 0 en 00 Verslag Regeltechnek 2 agna 6/60
Matlab genereert de volgende grafek: Fguur: lot eerste orde PI-geregeld systeem met verschllende Kr Herbj zjn: Rood: Kr = Groen: Kr = 2 Blauw: Kr = 0 Paars: Kr = 00 Concluse Als we een steeds grotere waarde voor Kr nvullen dan wordt de regelaar veel sneller. Ook wordt de doorschot klener naarmate de Kr groter wordt. Verslag Regeltechnek 2 agna 7/60
4.9 Smulates met Kr en 0 Bj de 2 e smulate zullen we de waarde van wjzgen van naar 0. De nstellngen zjn dus: K 2 Kr, 2,0,00 0 Met deze nstellngen ontstaat de onderstaande grafek: Fguur: lot eerste orde PI-geregeld systeem met verschllende Kr Ook her geldt: Rood: Kr = Groen: Kr = 2 Blauw: Kr = 0 Paars: Kr = 00 Verslag Regeltechnek 2 agna 8/60
Concluse Als we een steeds grotere waarde voor Kr nvullen dan wordt de regelaar veel sneller. Bj een klene () waarde van zen we een gernge doorschot, dt zen we net terug als we de waarde van verhogen (0). Verslag Regeltechnek 2 agna 9/60
5 P-geregeld tweede orde systeem 5. Inledng De volgende regelaar de we zullen behandelen betreft een P-regelaar van een tweede orde systeem. Aan het systeem kunnen we nets veranderen, dt noemen we de roces arameters. Dt zjn de, 2 en de K. Aan de regelaar echter wel; we noemen dt de regelarameter Kr. Het s de bedoelng dat er met een oolbaan een systeem ontworen wordt. Herna wordt er met verschllende waarden voor Kr gesmuleerd, om zo de nvloed aan te tonen van de Kr met betrekkng o: snelhed nauwkeurghed relateve stabltet 5.2 Blokschema Het blokschema s bj een P-regelaar ogedeeld n een aantal blokken. In Matlab zjn de volgende elementen gebrukt: Een bron of ngangssgnaal (ste) De regelaar (Gan) Het systeem (Transfer Fcn en Fcn) Een utgang (To Worksace) Fguur: blokschema P-geregeld tweede orde systeem 5.3 De oolbaan vergeljkng Om te komen tot de utendeljke smulate n Matlab met behul van een oolbaan vergeljkng, zullen we eerst laten zen hoe we aan deze vergeljkng komen. De bass lgt utendeljk bj het blokschema zoals dt omschreven s n aragraaf 5.2. Het s de bedoelng om de karaktersteke vergeljkng om te zetten naar een vergeljkng de n Matlab ngevoerd kan worden. Verslag Regeltechnek 2 agna 20/60
De overdrachtsfuncte van een P-geregeld tweede orde systeem: U Kr K ( s )( s ) Kr K ( s )( s ) 2 gewenst ( s) gemeten( s) 2 U De noemer van de overdrachtsfuncte s het lnker ld van de karaktersteke vergeljkng: Kr K 0 ( s )( s ) 2 Dt moet worden omgezet naar een oolbaan vergeljkng om utendeljk n te voeren n Matlab: Kr K ( s ) 2( s ) 2 Kr K 2 ( s ) ( s ) 2 Kr K ( s ) ( s ) 2 2 Dt s de oolbaanvergeljkng. Om de smulate n te voeren Matlab, moet de noemer van het lnkerld omgeschreven worden naar een functe van s. Dt gaat als volgt: 2 s s s 2 2 s ( ) s s 2 0 2 2 5.4 Poolbaan De ngestelde arameters voor deze smulate zjn: 2 2 K Verslag Regeltechnek 2 agna 2/60
2 Fguur: oolbaan P-geregeld tweede orde systeem 5.5 Systeem ontweren Er s n de grafek gekozen om een systeem te ontweren met een β van ongeveer 0,7 (0,724). Dt s een lcht gedemt systeem. De snelhed de bj dt unt hoort s 0,74 rad/sec. De gan s n grafek af te lezen en s 0,573. Deze s ook te berekenen volgens de formule: gan s s 2 2 2 2 2 0,25 0,74 0,25 0,74 = 0,5723. Hermee kunnen we de waarde van de Kr utrekenen: gan = Kr K 0,573 2 Met een van seconde, een 2 van 2 seconden en een K van, levert dt: Kr 0,573 2 Kr =,46 Verslag Regeltechnek 2 agna 22/60
De Kr s ook te berekenen va de absolute lengtes van de ljnen tussen de nulunten en de gekozen gan. Dt allemaal ngevuld n de oolbaanvergeljkng geeft: Kr K s s ( ) 2 2 Kr K s s ( ) 2 2 2 2 2 2 Kr ( 0, 25 0,74 ) ( 0, 25 0,74 ) ( ) 2 Kr =,45 De berekende ektjd bj gebruk van een Kr van,46 s: 0,74 rad/s 2 T T 2 2,8 0,74 De ektjd s een ½ T dus ektjd = 2,8 2 4,4 seconden. Pektjd = ½ T Fguur: grafek P-geregeld tweede orde systeem Concluse Wat te zen s, dat de berekende waarde voor de ektjd, overeen komt met de waarde n de grafek. Verslag Regeltechnek 2 agna 23/60
5.6 Smulates met Kr In deze aragraaf zullen we zoals gezegd gaan zen wat de nvloed van deze regelarameters s o de snelhed, nauwkeurghed en relateve stabltet. Als eerste zullen we de P-regelaar smuleren met de volgende waarden: 2 2 K Kr =, 2, 0 en 00. Matlab genereert de volgende grafek: Fguur: grafek P-geregeld tweede orde systeem Voor de waarden van Kr geldt: blauw: Kr = rood: Kr = 2 groen: Kr = 0 zwart: Kr = 00 Verslag Regeltechnek 2 agna 24/60
Concluse Snelhed: Wat dudeljk te zen s n de grafeken, s als de Kr van de regelaar groter gekozen wordt, dat de snelhed van het systeem ook groter wordt. Nauwkeurghed: Wat dudeljk te zen s n de grafeken, s als de Kr van de regelaar groter gekozen wordt, dat de nauwkeurghed van het systeem ook groter wordt. De waarde van K s een systeemconstante en s net te veranderen. Relateve stabltet: Hoe klener de Kr gekozen wordt, hoe stabeler het systeem s. Dt gaat echter wel ten koste van de snelhed. Er s wel n alle smulates een doorschot te zen. Verslag Regeltechnek 2 agna 25/60
6 PI-geregeld tweede orde systeem 6. Inledng De volgende regelaar de we zullen behandelen betreft een PI-regelaar van een tweede orde systeem. Aan het systeem kunnen we nets veranderen, dt noemen we de roces arameters. Dt zjn de, 2 en de K. Aan de regelaar daar echter wel; we noemen dt de regelarameters Kr en Het s de bedoelng dat er met verschllende waarden voor Kr en zo de nvloed aan te tonen van de Kr en snelhed nauwkeurghed relateve stabltet met betrekkng o:. gesmuleerd wordt, om 6.2 Blokschema Het blokschema s bj een PI-regelaar ogedeeld n een aantal blokken. In Matlab aangemaakt zet dt er als volgt ut: De elementen zjn: Een bron of ngangssgnaal (ste) De regelaar (Zero-ole) Het systeem (Transfer Fcn en Fcn) Een utgang (To Worksace) Fguur: blokschema PI-geregeld tweede orde systeem 6.3 De oolbaan vergeljkng Om te komen tot de utendeljke smulate n Matlab met behul van een oolbaan vergeljkng zullen, we eerst laten zen hoe we aan deze vergeljkng komen. De bass lgt utendeljk bj het blokschema zoals dt omschreven s n aragraaf 6.2. Het s de bedoelng om de karaktersteke vergeljkng om te zetten naar een vergeljkng de n Matlab ngevoerd kan worden. Verslag Regeltechnek 2 agna 26/60
De overdrachtsfuncte van een PI-geregeld tweede orde systeem: U gewenst ( s) gemeten( s) Kr( s ) K s ( s )( 2s ) Kr ( s ) K s ( s )( s ) 2 U De noemer van de overdrachtsfuncte s het lnker ld van de karaktersteke vergeljkng: Kr ( s ) K 0 s ( s )( s ) 2 Dt moet worden omgezet naar een oolbaan vergeljkng om utendeljk n te voeren n Matlab: s Kr K s( s ) ( s ) 2 2 Dt s de oolbaanvergeljkng. Om de smulate n te voeren Matlab, moet de noemer van het lnkerld omgeschreven worden naar een functe van s. Dt gaat als volgt: s s s s 2 ( ) 2 2 3 2 s ( ) s s 2 2 6.4 Poolbaan De ngestelde arameters voor deze smulate zjn: 0.5 2 2 K Kr 2 Verslag Regeltechnek 2 agna 27/60
Matlab genereert de volgende grafek: 2 Fguur: oolbaan PI geregeld tweede orde systeem Het lnker unt s: Het rechter unt s: En: 2 oftewel oftewel oftewel 2 0.5 0.5 2 0.5 2 Verslag Regeltechnek 2 agna 28/60
6.5 Systeem ontweren We hebben een unt o de oolbaan gekozen voor een lcht gedemt systeem met een 0.7. De gan s n de oolbaan,6. Hermee kunnen we de waarde van de Kr utrekenen: Kr K.6 2 Als de bovenstaande gegevens ngevuld worden, levert dt: Kr.6 0.52 Kr =,6 Fguur: grafek PI-geregeld tweede orde systeem Verslag Regeltechnek 2 agna 29/60
De berekende ektjd bj gebruk van een Kr van,6 s: 0.783rad/s 2 T T 2 8.02 seconden 0.783 De ektjd s een ½ T dus ektjd = 8.02 4.0 2 seconden. Matlab genereert de volgende grafek: Pektjd = ½ T Fguur: grafek P-geregeld tweede orde systeem Concluse Wat te zen s, dat de berekende waarde voor de ektjd, overeen komt met de waarde n de grafek. Verslag Regeltechnek 2 agna 30/60
6.6 Smulates met Kr In deze aragraaf zullen we zoals gezegd gaan zen wat de nvloed van deze regelarameters s o de snelhed, nauwkeurghed en relateve stabltet. In de vorge aragraaf hebben we va de oolbaan beaald wat de Kr waarde s. Om nu te kjken wat de nvloed s van de Kr o de snelhed, nauwkeurghed en relateve stabltet hebben we naast de gevonden waarde van te weten: K r =.6 nog 2 waarden o de oolbaan gekozen, gan =.9 0.97.9 gan = 0.997 0.997 K r K r Deze 3 waarden voor de Kr hebben we vervolgens n Matlab ngevoerd om te kjken wat de nvloed s. Matlab genereert de volgende grafek: Fguur: grafek PI-geregeld tweede orde systeem met verschllende waarde voor Kr Verslag Regeltechnek 2 agna 3/60
Waarbj: rode ljn: Kr 0.997 groene ljn: Kr.9 blauwe ljn: Kr.62 Concluse Snelhed: Naarmate we de waarde van snelhed zen we ook doorslag ontstaan. Nauwkeurghed: Utendeljk zal de regelaar de ngestelde waarde behalen. Kr verhogen, zen we dat de snelhed toeneemt. Samen met de Relateve stabltet: Naarmate de K waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabeler worden. r Verslag Regeltechnek 2 agna 32/60
6.7 Smulates met Vervolgens zullen we de regelaar gaan smuleren met verschllende waarden voor We zullen de PI-regelaar smuleren met de volgende waarden: 2 2 K Kr 0.5,, 5 en 0. Matlab genereert de volgende grafek: Fguur: grafek PI-geregeld tweede orde systeem met verschllende waarde voor Waarbj: Rode ljn: 0.5 Groene ljn: Paarse ljn: 5 Blauwe ljn: 0 Verslag Regeltechnek 2 agna 33/60
Concluse Snelhed: Naarmate we de waarde van verklenen, zen we dat de snelhed toeneemt. Samen met de snelhed zen we ook de doorslag toenemen. In bede uterste gevallen (dus 0,5 en 0) duurt het heel lang voor dat de waarde berekt s. In het ene geval doordat het systeem bljft osclleren, n het andere geval omdat het systeem heel langzaam de ngestelde waarde berekt. Nauwkeurghed: Utendeljk zal de regelaar de ngestelde waarde behalen. Relateve stabltet: Naarmate de waarde klener wordt zal het systeem steeds onstabeler worden. Bj een waarde van 0. zen we dat het systeem heel lang door bljft osclleren. Verslag Regeltechnek 2 agna 34/60
7 PID-geregeld tweede orde systeem 7. Inledng De volgende regelaar de we zullen behandelen betreft een roortoneel ntegrerend dfferentërend (PID) tweede orde systeem. Dt PID-systeem zullen we beoordelen met behul van de 4 regelarameters, te weten K,, en a (de tamhedsfactor). Aan de rocesarameters kunnen we nets veranderen, dt zjn, 2 en de K. Ook bj dt systeem zullen we bekjken wat de nvloed s van deze regelarameters o de: Snelhed Nauwkeurghed Relateve stabltet r d 7.2 Blokschema Het blokschema s bj een PID-regelaar ogedeeld n een aantal blokken. In Matlab aangemaakt zet dt er als volgt ut: De elementen zjn: Een bron of ngangssgnaal (Ste) De Regelaar (Zero Pole) Het systeem (Transfer Fcn en Fcn) Een utgang (To Worksace Fguur: blokschema Matlab PID tweede orde systeem Verder utgesltst, zen we dat de regelaar bestaat ut: De P-acte Kr s De I-acte s s d De D-acte s a d Verslag Regeltechnek 2 agna 35/60
Het systeem s her als 2 blokken getekend maar bestaat n werkeljkhed ut systeem: K ( s ) ( s ) 2 Samengevoegd zet dt er als volgt ut: Bovenstaand blokschema zullen we straks nodg hebben om de oolbaanvergeljkng o te stellen. 7.3 De oolbaanvergeljkng Om tot een utendeljke oolbaan te kunnen komen zullen we eerst de oolbaan vergeljkng o moeten stellen. Dt doen we o bass van het blokschema ut aragraaf 7.2. Herbj geld: + rondgaand = 0 s s d Kr K 0 s s a d ( s ) ( s 2 ) s d s d s a d s s 2 s a d 2 s s d Kr K s s s s a a d 2 2 Dt noemen we de oolbaanvergeljkng. Verslag Regeltechnek 2 agna 36/60
Van deze oolbaanvergeljkng s het lnkerld het deel wat we straks n gaan voeren n Matlab, het rechterdeel noemen we de gan. Met deze gan gaan we net als bj de andere regelaars later de Kr bealen. Ook her gaan we straks een slm unt o de oolbaan kezen (een unt wat overeen komt met de verwachtng). Na het bealen van de K r, zullen we n een smulate gaan bekjken of deze Kr aan de verwachtngen voldoet. 7.4 De oolbaan Voordat we de oolbaan door Matlab kunnen laten genereren, moeten we eerst de teller en noemer omschrjven naar voor Matlab begrjeljke commando s. Dt gaat als volgt: De oolbaan vergeljkng s: s s d Kr K s s s s a a d 2 2 Als we de teller van het lnkerld utvermengvuldgen staat er: s s d d 2 Invoer n matlab wordt dan: teller=[ ((/taud)+(/tau)) (/(tau*taud))]; Hetzelfde doen we voor de noemer van het lnker ld: s s s s a d 2 Utvermengvuldgd geeft dt: s s s s a a a a 4 3 2 2 d 2 d d 2 d 2 Verslag Regeltechnek 2 agna 37/60
Invoer n Matlab wordt dan: noemer=[ (/(a*taud)+/tau+/tau2) (/(a*taud*tau)+/(a*taud*tau2)+/(tau*tau2)) (/(a*taud*tau*tau2)) 0]; Het verschl met het PI-geregeld tweede orde system t.o.v. een PID-geregeld tweede orde systeem s dat er n de oolbaan een extra ool en een extra unt bjkomen. Onderstaande lot maakt het een en ander dudeljk. d 2 Fguur: PID tweede orde systeem oolbaan Het lnker unt s: Het 2e unt s: Het 3e unt s: Het 4e unt s: d 2 oftewel oftewel oftewel oftewel 2.22 0.45 2 0.5 0.5 2 0.4 2.5 Verslag Regeltechnek 2 agna 38/60
7.5 Systeem ontweren 7.5. Smulates met Kr Nadat de oolbaanvergeljkng s ngevoerd n Matlab kunnen we begnnen met het ontweren van het PID systeem. Om tot een slm gekozen Kr waarde te komen zal eerst een oolbaan gecreëerd moeten worden. Met de volgende waarden ngevoerd n Matlab: Kr 2 2.5 a 0.9 0.45 d K 2 0.5 2 Matlab genereert onderstaande grafek Fguur: PID tweede orde systeem oolbaan Verslag Regeltechnek 2 agna 39/60
We hebben o de oolbaan een unt gekozen met een 0.7 (0.703), zoals te zen geeft dt een gan van 2,57. Met deze gan gaan we de oolbaanvergeljkng (ze aragraaf 7.3). 2.57 K r K 2 a Met de waardes ngevuld: Kr bealen, dt doen we zoals gezegd m.b.v. het rechterld van de 2.57 Kr 20.50.9 2.57 20.50.9 K r 2.33 Om nu te kjken of het gekozen unt o de oolbaan voldoet aan de verwachtng, gaan we dezelfde exercte utvoeren met nog 2 unten o de oolbaan. De andere unten zjn: Gan = 5.85 0.478 6.5 Gan =.04 0.936 K r K r Fguur: PID tweede orde systeem oolbaan Verslag Regeltechnek 2 agna 40/60
Waarbj: groene ljn: Kr 6.5 rode ljn: Kr 2.33 blauwe ljn: Kr 0.936 De berekende ektjd bj gebruk van een Kr van 2.3 s:.8 rad/s 2 T T 2 5.32.8 De ektjd s een ½ T dus ektjd = 5.32 2.66 2 seconden. Als we nu Matlab de grafek laten genereren met een Kr van 2.33 dan zen we dat de berekende ektjd overeen komt met de zchtbare ektjd n de grafek. Fguur: grafek PID-geregeld tweede orde systeem Verslag Regeltechnek 2 agna 4/60
Concluse Snelhed: Naarmate we de waarde van Kr verhogen, zen we dat de snelhed toeneemt. Samen met de snelhed zen we ook de doorslag toenemen. De door ons o de oolbaan gekozen waarde van 2.33 laat geen doorslag zen. Nauwkeurghed: Utendeljk zal de regelaar de ngestelde waarde behalen. Relateve stabltet: Naarmate de K waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabeler worden. r Verslag Regeltechnek 2 agna 42/60
7.5.2 Smulate met Voor het smuleren van de weten: Kr 2.33, a 0.9 0.45 d K 2 0.5 2 2.5 en zjn we utgegaan van de nstellngen ut de vorge aragraaf, te 5 Matlab genereert de volgende grafek: Fguur: grafek PID-geregeld tweede orde systeem nvloed Waarbj: groene ljn: 5 rode ljn: 2.5 blauwe ljn: Verslag Regeltechnek 2 agna 43/60
Concluse Snelhed: Naarmate we de waarde van verhogen, zen we dat de snelhed toeneemt. Samen met de snelhed zen we ook de doorslag toenemen Nauwkeurghed: Utendeljk zal de regelaar de ngestelde waarde behalen. Relateve stabltet: Naarmate de waarde klener wordt zal het systeem steeds onstabeler worden. Verslag Regeltechnek 2 agna 44/60
7.5.3 Smulate met d Bj deze smulate van het PID systeem gaan we kjken wat de nvloed s van de d. Net als bj de smulates van de Kr en gebruken we dezelfde nstellngen van de regelaar. Voor de gebruken we nog 2 andere waarden als vergeljkng. d Kr 2.33 2.5 a 0.9 d 0.0, 0.6 en 0 K 2 0.5 2 Matlab genereert de volgende grafek: Fguur: grafek PID-geregeld tweede orde systeem nvloed d Verslag Regeltechnek 2 agna 45/60
Waarbj: blauwe ljn: 0.0 rode ljn: 0.6 groene ljn: 0 d d d Concluse Snelhed: Naarmate we de waarde van d verhogen, zen we dat de snelhed ets toeneemt. Nauwkeurghed: Utendeljk zal de regelaar de ngestelde waarde behalen. Relateve stabltet: Naarmate de waarde groter wordt zal het systeem steeds meer doorschot vertonen. d Verslag Regeltechnek 2 agna 46/60
7.5.4 Smulate met tamhedsfactor a Als laatste zullen we gaan bekjken wat de nvloed s van de zogenaamde tamhedsfactor a of thf. De waarden de gebrukt zjn: Kr 2.33 2.5 a 5, 0.9 en 0.2 d 0.45 K 2 0.5 2 Matlab genereert de volgende grafek: Fguur: grafek PID-geregeld tweede orde systeem nvloed a Waarbj: blauwe ljn: a = 5 rode ljn: a = 0.9 groene ljn: a = 0.2 Verslag Regeltechnek 2 agna 47/60
Concluse Snelhed: Naarmate we de waarde van a verhogen, zen we dat de snelhed afneemt. Nauwkeurghed: Utendeljk zal de regelaar de ngestelde waarde behalen. Relateve stabltet: Naarmate de a waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabeler worden. Er treedt een doorschot o Verslag Regeltechnek 2 agna 48/60
7.7 Samengestelde grafek Om de verschllen tussen tweede orde systemen nzchteljker te maken hebben we de P, PI en PID tweede orde systemen n grafek gezet. De waarden voor de regelarameters hebben we als volgt gekozen: Kr a 0.5 d 0.45 De waarden van de systeemarameters zjn: K 2 2 De P- en PI tweede orde systemen hebben we n eerdere hoofdstukken met dezelfde waarden gesmuleerd; het PID systeem echter heeft afwjkende waarden voor wat betreft enkele arameters. Net te mn geeft het een aardg overzcht van de verschllen tussen de dre tweede orde systemen. Matlab genereert de volgende grafek: Fguur: 3 regelaars n grafek Verslag Regeltechnek 2 agna 49/60
Waarbj: Blauw: P-geregeld Rood: PI-geregeld Groen: PID-geregeld Concluse P-regelaar Bj de P-regelaar s een grote statsche afwjkng te zen. Het systeem s wel snel ten ozchte van de andere twee regelaars. Het heeft een lchte doorschot. PI-regelaar Dt systeem s nauwkeurger geworden dan het systeem met de P-regelaar. Dt s echter wel ten koste gegaan van de snelhed. PID-regelaar Dt systeem heeft een betere demng gekregen door de extra D-acte. Verslag Regeltechnek 2 agna 50/60
8 Dode tjd 8. Eerste orde oenlus systeem met dode tjd We zullen nu er regelaar gaan bekjken wat de nvloed s van dode tjd o de regelaar. We hebben er regelaar de waarden voor de varabelen aangehouden zoals we de ook n het verslag hebben gebrukt. Het eerste systeem betreft het eerste orde oen lus systeem. Het Matlab blokschema zet er na nvoegng van de dode tjd ut zoals onderstaand fguur: Fguur: blokschema oen lus eerste orde systeem met dode tjd Als we voor de dode tjd seconde nemen en de andere waarden laten we geljk dan genereert Matlab de volgende grafek: Fguur: grafek oen lus eerste orde systeem met en zonder dode tjd Verslag Regeltechnek 2 agna 5/60
8.2 P-geregeld eerste orde systeem met dode tjd De 2 e regelaar ut ons verslag s een P-geregeld eerste orde systeem. Ook her assen we dezelfde truc toe o onderstaand Matlab model. Fguur: blokschema P-geregeld eerste orde systeem met dode tjd Als we voor de dode tjd 2 seconden nemen en de andere waarden laten we geljk, dan genereert Matlab de volgende grafek: Fguur: grafek P-geregeld eerste orde systeem met en zonder dode tjd Verslag Regeltechnek 2 agna 52/60
8.3 PI-geregeld eerste orde systeem met dode tjd. De 3 e regelaar ut de eerste orde sere s het PI-geregelde systeem. Matlab toont ons onderstaand model. Fguur: blokschema PI-geregeld eerste orde systeem met dode tjd Als nut hebben wj gebrukt:, K 2, Kr, Als we voor de dode tjd seconde nemen, dan genereert Matlab de volgende grafek: Fguur: grafek PI-geregeld eerste orde systeem met en zonder dode tjd Verslag Regeltechnek 2 agna 53/60
8.4 P-geregeld tweede orde systeem met dode tjd De eerste regelaar van de sere tweede orde systemen s een P-geregeld systeem. Na nvoer van de transort delay geeft dt het volgende blokschema: Fguur: blokschema P-geregeld tweede orde systeem met dode tjd Als nut hebben wj gebrukt:, 2 2, K, K r Als we voor de dode tjd 2 seconden nemen, dan genereert Matlab de volgende grafek: Fguur: grafek P-geregeld tweede orde systeem met en zonder dode tjd Verslag Regeltechnek 2 agna 54/60
8.5 PI-geregeld tweede orde systeem met dode tjd Bj de volgende regelaar hebben we t.o.v. de vorge regelaar een I-acte toegevoegd, het blokschema n Matlab zet er na nvoegen van de dode tjd als volgt ut. Fguur: blokschema PI-geregeld tweede orde systeem met dode tjd Als nut hebben wj gebrukt:, 2 2, K, Kr, Als we voor de dode tjd seconde nemen, dan genereert Matlab de volgende grafek: Fguur: grafek PI-geregeld tweede orde systeem met en zonder dode tjd Verslag Regeltechnek 2 agna 55/60
8.6 PID-geregeld tweede orde systeem met dode tjd Als laatste zullen we de PID geregeld tweede orde systeem gaan smuleren, ook her moeten we eerst de dode tjd nbouwen. In Matlab zet dat er als volgt ut: Fguur: blokschema PID-geregeld tweede orde systeem met dode tjd Als nut hebben wj gebrukt: 2, 2 0.5, K, Kr 2, 2,5, d 0,45, a 0,9 Als we voor de dode tjd seconde nemen, dan genereert Matlab de volgende grafek: Fguur: grafek PID-geregeld tweede orde systeem met en zonder dode tjd Verslag Regeltechnek 2 agna 56/60
9 Samenvattng eerste orde systemen 9. Oenlus systeem: Een andere Bj een klener wordende heeft de volgende nvloed wordt het systeem sneller. 9.2 P geregeld systeem: Een andere Kr heeft de volgende nvloed: Snelhed: Als de K groter wordt, zal de snelhed van het systeem groter worden. r Nauwkeurghed: Als de K groter wordt, zal de statsche afwjkng steeds klener worden. r Relateve stabltet: De K heeft geen nvloed o de relateve stabltet. r 9.3 PI geregeld systeem: Een andere Kr heeft de volgende nvloed: Snelhed: Als de K groter wordt, zal de snelhed van het systeem groter worden. r Nauwkeurghed: De Kr heeft geen nvloed o de statsche afwjkng. De s bj de PI-regelaar net aanwezg. Relateve stabltet: Bj een grotere Kr zal de doorschot klener worden. Een andere heeft de volgende nvloed: Snelhed: Als de klener wordt zal het systeem sneller worden. Nauwkeurghed: De heeft geen nvloed o de statsche afwjkng. De s bj de PI-regelaar net aanwezg. Relateve stabltet: Hoe klener de hoe groter de oscllate. Het duurt veel langer voordat het systeem stabel wordt. Verslag Regeltechnek 2 agna 57/60
0 Samenvattng tweede orde systemen 0. P geregeld systeem: Een andere Kr heeft de volgende nvloed: Snelhed: Hoe groter de Kr van de regelaar gekozen wordt, hoe hoger de snelhed van het systeem wordt. Nauwkeurghed: Hoe groter de Kr van de regelaar gekozen wordt, hoe hoger de nauwkeurghed van het systeem wordt. Relateve stabltet: Hoe klener de Kr gekozen wordt, hoe stabeler het systeem s. Dt gaat echter wel ten koste van de snelhed. Er s wel n alle smulates een doorschot te zen. 0.2 PI geregeld systeem: Een andere Kr heeft de volgende nvloed: Snelhed: Naarmate we de waarde van Kr verhogen, zen we dat de snelhed toeneemt. Samen met de snelhed zen we ook de doorslag toenemen. Nauwkeurghed: Utendeljk zal de regelaar de ngestelde waarde behalen. Relateve stabltet: Naarmate de K waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabeler worden. Een andere Snelhed: Een klenere r heeft de volgende nvloed: geeft een toename van de snelhed. Nauwkeurghed: Utendeljk zal de regelaar de ngestelde waarde behalen. Relateve stabltet: Als de hoger de Kr wordt, zal de doorslag toenemen. Ook duurt het langer voordat het systeem stabel wordt. Verslag Regeltechnek 2 agna 58/60
0.3 PID geregeld systeem: Een andere Kr heeft de volgende nvloed: Snelhed: Naarmate we de waarde van Kr verhogen, zen we dat de snelhed toeneemt. Samen met de snelhed zen we ook de doorslag toenemen. De door ons o de oolbaan gekozen waarde van 2.33 laat geen doorslag zen. Nauwkeurghed: Utendeljk zal de regelaar de ngestelde waarde behalen. Relateve stabltet: Naarmate de K waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabeler worden. Bj een waarde van r r K 6.5 zen we dat het systeem onstabel gedrag vertoond. Een andere heeft de volgende nvloed: Snelhed: Als de klener wordt zal het systeem sneller worden. Nauwkeurghed: De heeft geen nvloed o de statsche afwjkng. De s bj de PI-regelaar net aanwezg. Relateve stabltet: Hoe klener de hoe groter de oscllate. Het duurt veel langer voordat het systeem stabel wordt. Een andere d Snelhed: Naarmate we de waarde van heeft de volgende nvloed: d verhogen, zen we dat de snelhed toeneemt. Nauwkeurghed: Utendeljk zal de regelaar de ngestelde waarde behalen. Relateve stabltet: Naarmate de waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabeler worden. d Een andere tamhedfactor a heeft de volgende nvloed: Snelhed: Naarmate we de waarde van a verhogen, zen we dat de snelhed afneemt. Nauwkeurghed: Utendeljk zal de regelaar de ngestelde waarde behalen. Relateve stabltet: Naarmate de a waarde groter wordt zal het systeem steeds onstabeler worden. Er treedt een doorschot o. Verslag Regeltechnek 2 agna 59/60
Lteratuurljst De lteratuur de voor dt verslag gebrukt s, bestaat ut: Dctaat W30 geschreven door Ir. Klaas Nauta Boek Regeltechnek voor HTO deel door Jaa Schrage Dctaat Systeemdynamca W0 van InHolland Dctaat Wskunde W033 geschreven door Ir. Klaas Nauta Internet Verslag Regeltechnek 2 agna 60/60