.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7) 5(x 3)(x + ) = 4(x 14x + 49) 5(x + x 3x 6) = 4x 56x + 196 5x 10x + 15x + 30 = -x 51x + 6 Let op de haakjes!!! Let op de volgorde van berekenen: Eerst machtsverheffen en dan vermenigvuldigen. 1
.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 8a a 8 4 10 10 5 Voorbeeld 4: 3ab 4bc b( 3a 4c) 3a 4c ab ab a Bij het vereenvoudigen van deze breuk ontbind je de teller in factoren. Hierna kun je de breuk herleiden. Voorbeeld 5: 3a 3ab 3a( a b) 3a 3a a b a b 1 Bij het vereenvoudigen van deze breuk ontbind je de teller in factoren. Hierna kun je de breuk herleiden.
.1 Snelheden [1] Voor de hiernaast getekende globale grafiek geldt: Afnemend stijgend tot het maximum; Na het maximum eerst toenemend dalend; Hierna afnemend dalend tot het minimum; Na het minimum toenemend stijgend. Let op: Bij een extreme waarde is de functie noch stijgend noch dalend!!!
.1 Snelheden [1]
.1 Snelheden [] s De grafiek hiernaast is een tijd-afstandgrafiek. De gemiddelde snelheid Op het interval [0, 3] is: s s(3) s(0) 60 t 30 30 t Algemeen: In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd t; Bij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotiënt van s op [a, b] de gemiddelde snelheid op [a, b] De gemiddelde snelheid is: s t 5
.1 Snelheden [3] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. Voorbeeld: f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 6 0 x 30 30 y x 6
Algemeen: Het differentiequotiënt.1 Snelheden [3] van y op [x A, x B ] is: De gemiddelde toename van y op [x A, x B ]; De richtingscoëfficiënt van de lijn AB; De helling van de lijn AB; y x B B y x A A y x 7
.1 Snelheden [4] Voorbeeld 1: Bereken de differentiequotiënt van f(x) = x + 6x 7 op het interval [,5]: x A =, y A = f() = + 6 7 = 9 x B = 5, y B = f(5) = 5 + 6 5 7 = 48 y yb ya 48 9 39 13 x x x 5 3 B A Voorbeeld : Gegeven is de functie: s = 3t + 5t met s = afstand in km en t = tijd in uren. Bereken de gemiddelde snelheid per uur op het interval [1,4] t A = 1, s A = 3 1 + 5 1 = 8 t B = 4, s B = 3 4 + 5 4 = 68 gemiddelde snelheid per uur = s sb sa 68 8 60 0 t t t 4 1 3 B A km/uur 8
.1 Snelheden [5] Voorbeeld: Gegeven is de tijd-afstandformule: s = t 3 + t met t in seconden en m in meters. Bereken de snelheid op t = 3 De snelheid van deze tijd-afstandformule kun je benaderen door het differentiequotiënt op een klein interval rond t = 3 te berekenen. Neem bijvoorbeeld het interval [3; 3,01]. s s(3,01) s(3) 36,331 36 33,1001 t 3,01 3 3,01 3 Hieruit volgt dat de snelheid op t = 3 ongeveer 33 m/s is. 9
. Raaklijnen en hellingsgrafieken [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. Voorbeeld: f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 6 0 x 30 30 y x 10
. Raaklijnen en hellingsgrafieken [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. Voorbeeld: f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [, 3] = y f (3) f () 6 4 x 3 3 y x 11
. Raaklijnen en hellingsgrafieken [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. Voorbeeld: f(x) = x x y f (3) f (,99) 6 5,9501 Differentiequotiënt van f(x) op [,99 ; 3] = 4,99 x 3,99 3,99 Dit differentiequotiënt geeft een goede benadering van de helling van de grafiek f(x) in het punt A(3, 6). Wanneer er nu een oneindig klein interval genomen wordt, krijgen we: De richtingscoëfficiënt van raaklijn van de grafiek in het punt A; De helling van de grafiek in A; De snelheid waarmee y verandert voor x = 3. De notatie hiervan is: dy dx x3 1
. Raaklijnen en hellingsgrafieken [1] Voorbeeld: Gegeven is de functie: f(x) = x x 1. Stel de formule op van de raaklijn l van de grafiek in het punt B met x B = 5. Stap 1: Bereken de richtingscoëfficiënt met de GR: Y= Y1 = X^ -X 1 ND TRACE 6: dy/dx ENTER Toets 5 in ENTER dy/dx = 8 dus rc B = 8 13
. Raaklijnen en hellingsgrafieken [1] Voorbeeld: Gegeven is de functie: f(x) = x x 1. Stel de formule op van de raaklijn l van de grafiek in het punt B met x B = 5. Stap : Bereken de y-coördinaat van het punt B. f(5) = 5 5-1 = 14 Stap 3: Stel de vergelijking van raaklijn l: y = ax + b op: l: y = 8x + b Invullen van het punt B(5, 14) geeft: 14 = 8 5 + b 14 = 40 + b b = -6 => l:y = 8x - 6 14
. Raaklijnen en hellingsgrafieken [] Linksboven is de grafiek van de functie f(x) = 5x 4 + x 3 6x 5 getekend op het interval [-, ]; Deze grafiek heeft drie toppen; Linksonder is de hellingsgrafiek van de functie van f getekend; De hellingsgrafiek geeft in elk punt de snelheid aan waarmee de functie van f verandert; In de intervallen [-; -0,94) en (0; 0,64) is f(x) dalend. De hellingsgrafiek ligt onder de x-as; In de punten met x = -0,94, x = 0 en x = 0,64 heeft f(x) een top. De hellingsgrafiek snijdt hier de x-as; In de intervallen (-0,94; 0) en (0,64, ] is f(x) stijgend. De hellingsgrafiek ligt boven de x-as; 15
. Raaklijnen en hellingsgrafieken [] Het plotten van een hellingsgrafiek op de GR: Stap 1: Vul bij Y1 de functie f(x) in: Y= Y1 = 5X^4 + X^3 6X^ - 5 Stap : Vul bij Y in wat er op het eerste plaatje staat nderive volgt met: MATH MATH 8:nDerive( Y1 volgt met: VARS Y-VARS 1: Function 1:Y 1 Zorg dat alleen de functie Y op je scherm verschijnt 16
Gegeven is de functie.3 Limiet en afgeleide [1] Deze functie bestaat niet bij een x van. Invullen van x = geeft een deling door 0. De functie g(x) = x heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu in R. De functie g is continu in een open interval V als het bijbehorende deel van de grafiek van f een ononderbroken kromme is. De grafiek van f( x) x x x 3 3 x x x ( x ) ( ) x met x f x x x f( x) x x x 3 valt samen met de grafiek van g(x) = x maar voor x = heeft de grafiek van f een perforatie met de coördinaten (,4). Toevoegen van het punt (,4) maakt van f een continue functie in R. 4 is de continumakende waarde van f voor x = : lim f( x) 4 x 17
.3 Limiet en afgeleide [1] lim f ( x ) b betekent dat f(x) onbeperkt tot b kan naderen door x maar dicht xa genoeg bij a te kiezen. Als de functie f continu is in a, dan geldt lim f ( x ) f ( a ) xa Als voor de functie f geldt dat lim f ( x ) f ( a ), dan is f continu in a. xa Voorbeeld 1: Bereken: x lim x x6 x 3 x x6 4 6 0 lim lim 0 x x 3 x 3 1 Voorbeeld : Bereken: x lim x x6 x x x 6 ( x )( x 3) lim lim lim( x 3) 5 x x x x x 18
.3 Limiet en afgeleide [] Een andere naam voor hellingfunctie is afgeleide functie. De afgeleide van een functie f [f ] geeft voor elke x: De richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van f in het bijbehorende punt; De helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt. De formule van de afgeleide van een functie f kan gevonden worden met behulp van het differentiequotiënt op het interval [x, x + h]: y f ( x h) f ( x) f ( x h) f ( x) x x h x h Op het moment dat h richting 0 gaat (en dus heel erg klein wordt), volgt uit het differentiequotiënt de afgeleide f : f '( x) lim h0 f ( x h) f ( x) h 19
.3 Limiet en afgeleide [] Voorbeeld 1: Gegeven is de functie f(x) = 3x. Bereken f (3) met behulp van een limiet. f (3 h) f (3) f '(3) lim h0 h 3(3 h) 33 lim h0 h lim h0 h0 3(9 6 h h ) 7 h 7 18h 3h 7 lim h0 h 18h 3h lim h0 h lim18 3h 18 0
.3 Limiet en afgeleide [] Voorbeeld : Gegeven is de functie f(x) = 3x. Toon met behulp van een limiet aan dat f (x) = 6x. f ( x h) f ( x) f '( x) lim h0 h 3( x h) 3 x lim h0 h 3( x xh h ) 3x lim h0 h 3x 6xh3h 3x lim h0 h 6xh3h lim h0 h lim6x 3h 6x h0 1
.3 Limiet en afgeleide [3] Voorbeeld 1: Gegeven is de functie f(x) = ax. Toon met behulp van een limiet aan dat f (x) = ax. f ( x h) f ( x) f '( x) lim h0 h a( x h) a x lim h0 h a( x xh h ) ax lim h0 h ax axh ah ax lim h0 h axh ah lim h0 h limax ah ax h0
.3 Limiet en afgeleide [4] Algemeen: f(x) = ax geeft f (x) = ax f(x) = ax geeft f (x) = a f(x) = a geeft f (x) = 0 Er geldt ook: f(x) = ax 3 geeft f (x) = 3ax f(x) = ax 4 geeft f (x) = 4ax 3 En dus: f(x) = ax n geeft f (x) = nax n-1 f(x) = c g(x) geeft f (x) = c g (x) f(x) = g(x) + h(x) geeft f (x) = g (x) + h (x) [Somregel] Je kunt de afgeleide dus vinden door het getal voor de x te vermenigvuldigen met de exponent n. De exponent van de afgeleide functie wordt n-1. 3
.3 Limiet en afgeleide [4] Voorbeeld : Bereken de afgeleide van f(x) = 3x + 6x 9 f (x) = 6x + 6 Voorbeeld 3: Bereken de afgeleide van g(x) = 7x 5 4x 4 + 3x 3 x + 1 g (x) = 35x 4 16x 3 + 9x - Voorbeeld 4: Bereken de afgeleide van h(x) = (x 6 3x )(x 3 + 5x) h(x) = x 9 + 5x 7 3x 5 15x 3 h (x) = 9x 8 + 35x 6 15x 4 45x Let op: Wanneer in een opgave staat dat je de afgeleide moet berekenen met behulp van een limiet, mag je dus niet op de bovenstaande manier de afgeleide geven. 4
.3 Limiet en afgeleide [4] 5
.4 Toepassingen van de afgeleide [1] Voorbeeld : Bereken de afgeleide van p(x) = (x + 6)(x + x ) Een manier om dit te doen is het wegwerken van de haakjes en vervolgens term voor term differentiëren. Differentiëren kan ook met behulp van de productregel: Productregel: De afgeleide van p(x) = f(x) g(x) bereken je met: p (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Let op: p(x) is dus het product van de functies f(x) en g(x) In dit voorbeeld geldt: f(x) = x + 6 g(x) = x + x p(x) = f(x) g(x) = (x + 6) (x Willem-Jan + x ) van der Zanden 6
.4 Toepassingen van de afgeleide [1] Voorbeeld : Bereken de afgeleide van p(x) = (x + 6)(x + x ) Productregel: p (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) p (x) = [x + 6] (x + x ) + (x + 6) [x + x ] = 1 (x + x ) + (x + 6) ( + x) = x + x + x + x + 1 + 1x = 3x + 16x + 1 7
.4 Toepassingen van de afgeleide [] Voorbeeld 3: Bereken de afgeleide van q(x) = 5x 8 x 3x 6 Differentiëren gebeurt nu met de quotiëntregel: Quotiëntregel: De afgeleide van q(x) = t(x) n(x) q'( x) n( x) t'( x) t( x) n'( x) ( nx ( )) wordt nu: q'( x) q'( x) q'( x) q'( x) (3x 6) [5x 8 x]' (5x 8 x) [3x 6]' (3x 6) (10x 8) (5x 8 x) 3 30 4 60 4815 4 15x 60x48 (3x 6) (3x 6) x x x x x (3x 6) (3x 6) 8
.4 Toepassingen van de afgeleide [3] Voorbeeld 1: Gegeven is de functie: f(x) = x 3 + 3x + 3 Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn l in het punt P met x p = 3 Stap 1: Bereken de afgeleide van de functie f(x): f(x) = x 3 + 3x + 3 f (x) = 3x + 6x Stap : Bereken de richtingscoëfficiënt in het punt P met x p = 3: f (3) = 3 3 + 6 3 = 45 Hieruit volgt: l:y = 45x + b 9
.4 Toepassingen van de afgeleide [3] Voorbeeld 1: Gegeven is de functie: f(x) = x 3 + 3x + 3 Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn l in het punt P met x p = 3 Stap 3: Bereken de y-coördinaat van het punt P: y p = f(3) = 3 3 + 3 3 + 3 = 57 Stap 4: Stel de vergelijking van de raaklijn l op: y = 45x + b 57 = 45 3 + b b = -78 Hieruit volgt: l:y = 45x - 78 30
.4 Toepassingen van de afgeleide [4] Voorbeeld 1: Gegeven is de functie: f(x) = x + 3x + 4 Stel de met behulp van de afgeleide de vergelijking op van de raaklijn l in punt A met r.c. = 1 Stap 1: Stel de afgeleide van de functie f(x) op: l:y = ax + b en dus l:y = x + b f(x) = x + 3x + 4 f (x) = x + 3 Stap : Bereken wanneer de afgeleide gelijk is aan 1: f (x) = 1 x + 3 = 1 x = - x A = -1 31
.4 Toepassingen van de afgeleide [4] Voorbeeld 1: Gegeven is de functie: f(x) = x + 3x + 4 Stel de met behulp van de afgeleide de vergelijking op van de raaklijn l in punt A met r.c. = 1 Stap 3: Bepaal de y-coördinaat van het punt A: y A = f(x A ) = (-1) + 3-1 + 4 = Stap 4: Stel de vergelijking van de raaklijn l op: l:y = x + b Invullen van A = (-1, ) geeft: = -1 + b b = 3 Hieruit volgt: l:y = x + 3 3
.4 Toepassingen van de afgeleide [5] Voorbeeld : Gegeven is de functie: s = t + 4t + 6; s is de afstand in meters; t is tijd in seconden; Bereken de snelheid op tijdstip t = 3. Stap 1: Bereken de afgeleide van de functie s. De afgeleide geeft de verandering van afstand op een bepaald tijdstip weer. Dit is dus de snelheid. s = v = 4t + 4 Stap : Bereken de snelheid op tijdstip t = 3: v(3) = 4 3 + 4 = 1 + 4 = 16 m/s 33