Onafhankelijke Verzamelingen van Eindige Groepen

Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Onafhankelijke Verzamelingen van Eindige Groepen Proefschrift ingediend met het oog op het behalen van de graad van Master in de Wiskunde Hendrik Windey Promotor: Prof. Dr. P. Cara 18 OKTOBER 2012

Inhoudsopgave 1 PERMUTATIEGROEPEN 1 1.1 Acties.................................. 1 1.2 Banen en Transitiviteit......................... 3 1.3 Transitieve Groepen en Nevenklassen................. 4 1.4 Imprimitiviteit en Sliertproduct..................... 6 1.5 Sokkel van een Primitieve Groep.................... 9 1.6 Stelling van Aschbacher-O Nan-Scott................. 11 1.7 Onafhankelijke Verzamelingen..................... 14 1.8 Permutatiegetallen........................... 18 2 INCIDENTIEMEETKUNDE 20 2.1 Incidentiestructuren........................... 20 2.2 Grafen en Bomen............................ 21 2.3 Pre-meetkunden en Meetkunden.................... 23 2.4 Projectieve en Polaire Ruimten..................... 26 2.5 Automorfismegroepen......................... 28 3 CLASSIFICATIE VAN SIMPELE GROEPEN (CFSG) 32 3.1 Stelling van Hölder........................... 32 3.2 Het Rangeerprobleem en de Stelling van Sylow............ 33 3.3 Stelling van Iwasawa.......................... 35 3.4 Het Rangeerprobleem en de Karaktertheorie.............. 36 3.5 Simpele Lie Algebra s......................... 38 3.6 De Chevalley Groepen......................... 41 3.7 Uitzonderlijke Chevalley groepen................... 47 3.8 De Steinberggroepen en de Suzuki-Ree-groepen............ 49 3.9 De 26 Sporadische Groepen en CFSG................. 50 4 STELLING VAN WHISTON 54 4.1 Stelling van Whiston.......................... 54 4.2 Het Intransitief Geval.......................... 57 4.3 Het Transitief maar Imprimitief Geval................. 60 4.4 Het Niet-basis Primitief Geval..................... 68 4.5 Het Basis Primitief Geval........................ 69 4.5.1 Het Affiene Geval....................... 69 4.5.2 Het Diagonale Geval...................... 72 4.5.3 Het Bijna-Simpele Geval.................... 73 4.6 De Alternerende Groep......................... 85 i

5 STELLINGEN VAN CAMERON EN CARA 89 5.1 Minimax Verzamelingen en Bomen.................. 89 5.2 Eigenschappen van Minimax Verzamelingen.............. 96 5.3 Minimax Verzamelingen en RWPRI Meetkunden........... 99 5.4 Stelling van Whiston en CFSG..................... 104 5.5 Frattini Vrije Groepen en RWPRI Meetkunden............ 106 6 DE PROJECTIEVE SPECIALE LINEAIRE GROEP 108 6.1 Möbius Transformaties en Deelgroepen................ 108 6.2 Puntstabilisators............................. 110 6.3 Deelveldgroepen............................ 114 6.4 Het vermoeden van Cara......................... 120 7 PROJECT 129 ii

Hoofdstuk 1 PERMUTATIEGROEPEN Dit hoofdstuk is voor een groot deel een opfrissing van gekende begrippen uit de bachelor. Als verdere lectuur verwijzen we naar het boek [2] van Cameron. 1.1 Acties We herhalen de belangrijkste begrippen rond permutatiegroepen. Alvorens men een groep als een abstracte entiteit beschouwde, werd een groep beschreven in functie van zijn actie op een specifieke verzameling. We herinneren ons allemaal de spiegelingen, translaties en congruenties uit onze middelbare schooltijd. Heden zien we dit als een equivalentie tussen permutatiegroepen en acties. Definitie 1.1.1. De symmetrische groep op Ω, genoteerd als Sym(Ω), is de verzameling van alle permutaties opω. VoorΩ = {1,...,n} gebruiken we de verkorte notatie Sym(n). Een permutatiegroep opωis een deelgroep vansym(ω). Het beeld van α Ω door een permutatie g Sym(Ω) noteren we als αg en de samenstelling van de permutaties g en h is gh zodat α(gh) = (αg)h. Definitie 1.1.2. µ is een actie van de groep G op de verzamelingωenkel en alleen als µ een functie is van Ω G naar Ω die voldoet aan volgende condities : (A1)µ(µ(α,g),h) = µ(α,gh) voor elke α Ω eng,h G; (A2)µ(α,1 G ) = α voor elke α Ω. Alsµeen actie is van de groepgop de verzamelingωdan noemen weωeen G-ruimte. Als er geen verwarring ontstaat noteert menµ(α,g) alsαg ofα g. Stelling 1.1.3. Equivalentie tussen acties en permutatiegroepen. (1) Als µ een actie is van de groep G op de verzameling Ω dan bestaat er een homomorfisme φ van G naar Sym(Ω). (2) Als φ een homorfisme is van de groep G naar Sym(Ω) dan bestaat er een actieµvan de groepgop de verzamelingω. Bewijs. 1

(2) Als φ een homomorfisme is van G naar Sym(Ω) dan hebben we een functie µ vanω G naarω, die bepaald wordt doorµ(α,g) = (α)(φ(g)). µ is dan een actie van de groep G op de verzameling Ω wegens : µ(µ(α,g),h) = (µ(α,g))(φ(h)) = ((α)(φ(g)))(φ(h)) = (α)(φ(gh)) = µ(α,gh) µ(α,1 G ) = (α)(φ(1 G )) = (α)(1 Sym(Ω) ) = α (1) Alsµeen actie is vang opωdan hebben we een functieφvang naarsym(g), die bepaald wordt door φ: g φ g met αφ g = µ(α,g). φ is dan een homomorfisme van G naar Sym(G) wegens : (α)(φ gh ) = µ(α,gh) = µ(µ(α,g),h) = (µ(α),g))(φ h ) = ((α)(φ g ))(φ h ) (α)(φ 1G ) = µ(α,1 G ) = α = α1 Sym(G) φ G g Sym(Ω) φ(g) µ Ω G (α, g) Ω αφ(g) Definitie 1.1.4. Het beeld van de actie van G opωis de permutatiegroep geinduceerd op Ω doorg, en wordt geschreven als G Ω. Een actie waarvan de kern de identiteit is, noemt men getrouw : ( α Ω: αg = α) g = 1 G In dit geval isgisomorf met G Ω. De graad van een actie(g,ω,µ) is Ω 2

1.2 Banen en Transitiviteit In deze sectie maken we een onderscheid tussen transitieve en intransitieve groepen. We zetten onze eerste stap in de classificatie van permutatiegroepen door een intransitieve groep te herleiden naar een subcartetisch product van transitieve groepen, de zogenaamde transitieve constituenten. Definitie 1.2.1. Als G een actie uitvoert op Ω, dan kunnen we op Ω een equivalentierelatie definieren : α β g G: α g = β De equivalentieklassen van zijn de banen van de actie van G op Ω. Als er juist 1 baan is in Ω zeggen we dat de actie van G op Ω transitief is. We zeggen ook dat een groep G transitief is als de actie van G Ω transitief is. De transitiviteit van een groep G is dus afhankelijk van deg-ruimte waarop de groepgeen actie uitvoert. Definitie 1.2.2. We zeggen dat de groep G k-transitief is op Ω als G een transitieve componentsgewijze actie heeft op de verzameling Ω k van de k-tuppels bestaande uit verschillende elementen van Ω : (ω 1,...,ω k )g = (ω 1 g,...,ω k g) We zeggen dat de groep G scherp k-transitief is op Ω als er voor elk paar k-tuppels α,β Ω k een uniekeg G bestaat zodat voor de componentsgewijze actie vangop Ω k geldt : αg = β Stelling 1.2.3. Voor elke actie vangopωis er een partitie [Ω i,i I] van Ω waarbij voor elke i I de groepgeen transitieve actie uitvoert opω i. Bewijs De equivalentierelatie bepaalt een partitie[ω i,i I] vanωwaarbij G een transitieve actie uitvoert op elke baan (equivalentieklasse). Definitie 1.2.4. Als Ω i,i I de banen zijn van de actie van G op Ω dan noemt men de groepeng Ωi,i I de transitieve constituenten vang. G is een subcartetisch product van een familie groepen{g i : i I} als er een inbeddingf van G in het cartesiaans product i I G i bestaat zodat voor de samenstelling vanf met elk van de canonische projectiesp i : i I G i G i met i I geldt dat p i f(g) = G i. Stelling 1.2.5. Elke eindige permutatiegroep G is een subcartetisch product van zijn transitieve constituenteng i,1 i n. Aangezien de banen Ω i,i I van de actie van G op Ω een partitie vormen van Ω volgt hieruit dat f : G i I GΩi : g (g Ωi ) i I een inbedding is van G in i I G i. Voor elk van de canonische projectiesp i meti I geldt : p i f(g) = p i {f(g) g G} = p i {(g Ωj ) j I g G} = {g Ωi g G} = G Ωi En dus is G per definitie een subcartetisch product van zijn transitieve constituenten G Ωi,i I. 3

1.3 Transitieve Groepen en Nevenklassen Voor we verder gaan met de classificatie van de permutatiegroepen tonen we aan dat de G-ruimte van elke transitieve permutatiegroep isomorf is met een rechtse nevenklassenruimte van deze groep G. We zullen dit later op een meer meetkundige wijze uitwerken. Definitie 1.3.1. AlsH geen normaaldeler is van een groepghebben we zowel rechtseals linkse nevenklassen vanh. AlsH een normaaldeler is vangdan vallen de linkseen de rechtse nevenklassen van H samen : Hx = xh. Als H een deelgroep is van G dan is de verzameling [H \ \G] := {Hx x G} de verzameling van de rechtse nevenklassen vanh ing. Analoog hebben we de verzameling[g\\h] := {xh x G} van de linkse nevenklassen van H in G.Als G, door de rechtse vermenigvuldiging, een actie uitvoert op de rechtse nevenklassen van H dan noemt men de verzameling [H \\G] een rechtse nevenklassenruimte vang. Aangezien de standaard notatie[g: H] te veel lijkt op de notatie van een index van een groep hebben we geopteerd voor de niet-standaard notatie[h G] uit het boek [2] van Cameron. Definitie 1.3.2. Als G een actie uitvoert op Ω dan noemt men G α := {g G αg = α}, voor een α Ω, de stabilisator van α. Als G een actie uitvoert op Ω dan noemt men G := {g G α : αg }, voor een Ω, de verzamelingsgewijze stabilisator van. Stelling 1.3.3. Classificatie van de transitieveg-ruimten. (1) Voor elke transitieve G-ruimte Ω is (G,Ω) isomorf met de rechtse nevenklassenruimte (G,[G α \\G]) met α Ω. (2) De rechtse nevenklassenruimten [H \ \G] en [K \ \G] zijn isomorf de groepen H en K zijn geconjugeerde deelgroepen van G. (1) Voor elke g G is de rechtse nevenklasseg α g = {k G αk = αg} want : Als g G α g dan is g {k G αk = αg} want er is een h G α zodat g = hg en dusαg = αhg = αg. Als g {k G αk = αg} dan is g G α g want uit αg = αg volgt g g 1 G α en dusg G α g. Het isomorfisme wordt gegeven door : F: Ω [G α \\G]: β {g G αg = β} F is injectief want als V = F(β) = F(γ) hebben we voor elke g V dat β = αg = γ. F is surjectief want voor elke g G is de nevenklasseg α g = {k G αg = αk} = F(αk). 4

(2) In (2.1) bewijzen we eerst dat de geconjugeerden van G α de stabilisators van de punten van Ω zijn. Op basis van (2.1 ) bewijzen we dan in (2.2 ) dat voor 2 geconjugeerde deelgroepen H en K van G de nevenklassenruimten[h \\G] en [K \ \G] isomorf zijn. (2.1) De geconjugeerden van G α zijn de stabilisators van de punten van Ω want voor elk punt β is er wegens de transitiviteit van G een g G zodat β = αg en g Stab(αg) (αg)g = αg gg g 1 G α g g 1 G α g (2.2) We beschouwen de verzameling Σ van de geconjugeerden van de groep H in de groep G. Als H en K geconjugeerde deelgroepen zijn van G dan behoren zowel H en K tot Σ. We kunnen nu de geconjugeerde actie van G op Σ beschouwen : L Σ: L g := g 1 Lg Per definitie van geconjugeerde deelgroepen van G is deze actie vang opσtransitief en volgt uit het reeds bewezen puntje (1) dat : Σ = [G H \\G]en Σ = [G K \\G] Voor de rechtse actie van G op de nevenklassenruimte Ω is de verzamelingsgewijze stabilisator van de groeph de groeph zelf want : g G,h H: hg H g H Aangezien Ω een nevenklassenruimte is voor G hebben we dat G H = H en analoog G K = K en dus : [H \\G] = [K \\G] (2) AlsF een isomorfisme is van[h\\g] naar[k\\g] dan bestaat er eeng G zodatf(h.1) = Kg. De stabilisatorg 1 Kg vankg is dan isomorf aan de stabilisator H vanh. Uitg 1 Kg = H volgt dan dath enk geconjugeerde deelgroepen zijn van G. 5

1.4 Imprimitiviteit en Sliertproduct Elke transitieve permutatiegroep is ofwel primitief ofwel imprimitief. We zullen zien dat elke imprimitieve groep beschouwd kan worden als een deelgroep van het zogenaamde sliertproduct (ook wel kransproduct genoemd) van primitieve componenten. We zijn dan weer een stapje verder in de classificatie van de permutatiegroepen. Definitie 1.4.1. Zij G transitief op Ω. Een congruentie is een G-invariante equivalentierelatie opω: g G : α β α g β g Een blok is een deelverzameling van Ω zodat : equivalentieop Ω g G : g = of g = Er zijn 2 triviale congruenties voor de actie van een groepgopω: de gelijkheid : α,β Ω: α β α = β de universele relatie : α,β Ω: α β G is imprimitief als G ook een niet-triviale congruentie heeft. Anders is G primitief. Merk op dat elke congruentieklasse een blok is, en elk niet-ledig blok een congruentieklasse is. Stelling 1.4.2. Eigenschappen van primitiviteit : (1) Een 2-transitieve groep(g,ω) is primitief. (2) Een niet-triviale normaaldeler N van een primitieve groep (G, Ω) is transitief. (3) Een transitieve groep (G,Ω) is primitief G α een maximale deelgroep is vang. Bewijs. (1) Als er 2 verschillende elementen van Ω congruent zijn kan men deze wegens de 2-transitiviteit vangtransformeren naar elk ander paar van 2 verschillende elementen van Ω. Dit betekent dat alle elementen van Ω dan congruent zijn. Onze congruentie is dan triviaal. Als er geen 2 elementen van Ω congruent zijn dan is de congruentie eveneens triviaal. (2) AangezienN een normaaldeler is vanggeldt voor elkeα Ω en elkeg G dat (αn)g = α(ng) = α(gn) = (αg)n (1) We beschouwen in Ω volgende equivalentierelatie : α β αn = βn Als nuα β dan hebben we voor elke g G dat(αn)g = (βn)g. Uit (1) volgt dan αgn = βgn wat identiek is met αg βg. Dit betekent dat een congruentie is op Ω. Aangezien G primitief is moet een triviale congruentie zijn. Dus voor elke α en β in Ω hebben we αn = βn = Ω. Dit wil zeggen dat er voor elke γ Ω een g N zodatαg = γc. Per definitie isn dan transitief opω. 6

(3) AlsG α < H < G dan isαh een niet-triviaal blok want : alsg H danαhg = αh alsg G\H danαhg αh = Aangezien we een niet-triviaal blok hebben in Ω hebben we ook een gerelateerde niettriviale congruentie op Ω en is G dus imprimitief. (3) Als(G,Ω) imprimitief transitief is, en het blok is datαbevat dan geldt voor de verzamelingsgewijze stabilisator G dat : G α G G want G α fixeert α en dus ook het blok (= congruentieklasse) waartoe α behoort. Aangezien niet-triviaal is hebben we nog een tweede elementβ in. AangezienG transitief is hebben we een g G zodat α g = β. Deze g behoort tot G omdat α en β in hetzelfde blok liggen maar behoort duidelijk niet totg α. Dit betekentg α G. Aangezien het blok niet triviaal is en G transitief is hebben we een g G zodat αg / en dusg G. Definitie 1.4.3. Als de permutatiegroep C een actie uitvoert op de elementen van Γ en de permutatiegroepd een actie uitvoert op de elementen van dan kan men het sliertproduct van de permutatiegroepen C en D definieren als het product van de basisgroep B en de topgroept : C D = BT = C D De basisgroep B bestaat uit kopies van de groep C waarbij elke kopie een zelfde actie uitvoert op een kopie van Γ als de actie van C op Γ. Dus is basisgroep B de verzameling van alle functies van naar C met puntgewijze operaties. De actie van eenf B op een(γ,δ) Γ wordt gegeven door : (γ,δ)f = (γf(δ),δ) De topgroep T is een kopie van de groep D welke de vezels permuteert. De actie van eeng D op een(γ,δ) Γ wordt gegeven door : (γ,δ)g = (γ,δg) Aangezien de topgroept de basisgroepb normaliseert is het productbt een groep. Stelling 1.4.4. Als de groepen C en D transitief zijn op respectievelijk Γ en dan is C D : (1) transitief; (2) imprimitief als Γ, > 1 Bewijs. 7

(1) We moeten aantonen dat we een willekeurig koppel (γ,δ) Γ via een fδ C D kunnen transformeren naar een willekeurig koppel (γ,δ ) Γ. AangezienC transitief is op Γ hebben we een γ 0 C zodatγ = γγ 0. Verder hebben we eenf C zodatf(γ) = γ 0. Via f wordt(β,γ) dan getransformeerd naar : (γ,δ)f = (γf(δ),δ) = (γγ 0,δ) = (γ,γ) AangezienD transitief is op hebben we een δ 0 D zodat δ = δδ 0. Via fδ 0 wordt (γ, δ) dan getransformeerd naar : (γ,δ)δ 0 = (γ,δδ 0 ) = (γ,δ ) (2) De relatie gedefinieerd door (γ,δ) (γ,δ ) δ = δ is een niet-triviale congruentie opγ want elkefδ 0 C D respecteert de -relatie : (γ,δ)fδ 0 = (γf(δ),δ)δ 0 = (γf(δ),δδ 0 ) (γ f(δ),δδ 0 ) = (γ,δ)fδ 0 Stelling 1.4.5. Als G een transitieve imprimitieve actie heeft op Ω, dan kan G ingebed worden in het sliertproduct van 2 componenten vang. Bewijs. De componenten C en D van G worden als volgt gedefinieerd : Γ is een niet-triviale congruentieklasse van de imprimitieve actie vangopω; C := (G Γ ) Γ is de permutatiegroep op Γ geinduceerd door de verzamelingsgewijze stabilisatorg Γ ; := {Γg g G} = {Γ 1,...,Γ u } is de verzameling van de translaties van Γ door de elementen van de groep G; D := G is de permutatiegroep op geinduceerd doorg; Aangezien een partitie is van Ω bestaande uit blokken van orde Γ hebben we dat : Ω =. Γ Dit betekent dat we een bijectie hebben vanωnaarγ waarbij we groepgkunnen inbedden in de groepc D via : Definitie 1.4.6. Primitieve componenten. G C D: g (g Γ1,...,g Γu )g f(g) G 1 G 2 Als we een imprimitieve groep G inbedden in G 1 G 2 dan kunnen we dit proces verder zetten voor de imprimitieve groepen die in rechterlid staan van de uitdrukking van G als samengesteld sliertproduct. Als bijvoorbeeldg 1 imprimitief is dan kunnen weg 1 verder inbedden ing 11 G 12 en krijgen we datg = (G 11 G 12 ) G 2 waarbij we ons proces kunnen verder zetten tot alle componenten in het rechterlid primitief zijn. Deze eindcomponenten noemt de primitieve componenten van G. Aangezien we in ons proces steeds een keuze maken van een congruentieklasγ zijn de primitieve componenten die men uiteindelijk heeft afhankelijk van die keuzes en dus niet eenduidig bepaald. 8

1.5 Sokkel van een Primitieve Groep In het vorig secties hebben we reeds 2 manieren gezien om een eindige groep te reduceren : (1) Een intransitieve groep is een subcartetisch product van zijn transitieve constituenten. (2) Een transitieve maar imprimitieve groep is bevat in het sliertproduct van zijn primitieve componenten. In deze sectie gaan we een stap verder met de reductie van een eindige groep. We gaan aantonen dat de sokkel van een eindige primitieve groep : ofwel simpel is, ofwel het product is van isormorfe simpele groepen. Met deze eigenschap zullen we in de volgende sectie de primitieve groepen verder reduceren. Definitie 1.5.1. Een permutatiegroep G is semiregulier als enkel de identiteit een punt fixeert. Een permutatiegroep G is regulier als de permutatiegroep G transitief en semiregulier is. Een simpele groep is een groep zonder normaaldelers. De sokkel van een eindige groepgis het product van de minimale normaaldelers vang. Stelling 1.5.2. Minimale normaaldelers van een primitieve groepg. een primitieve permutatiegroepg heeft hoogstens 2 minimale normaaldelers; alsgtwee minimale normaaldelersn 1 enn 2 heeft, dan zijn N 1 enn 2 isomorf en niet-abels. Bewijs. Elke minimale normaaldeler van G is transitief want een minimale normaaldeler kan nooit het product zijn van meerdere transitieve constituenten. Als er 2 minimale normaaldelers N 1 en N 2 van G zijn dan centraliseren zij elkaar want [N 1,N 2 ] N 1 N 2 = {1 G } : n 1 N 1,n 2 N 2 : n 1 N 1 : n 2 n 1 = n 1n 2 wantn 1 G n 1 N 1,n 2 N 2 : n 2 N 2: n 1 n 2 = n 2 n 1 wantn 2 G en dusn 2 n 1 = n 1 n 2 = n 2 n 1 en dusn 1 2 n 2 = n 1n 1 1 behoort totn 1 N 2 N 1 N 2 = {1 G } wantn 1 enn 2 zijn minimale normaaldelers vang en dusn 2 = n 2 en n 1 = n 1 en dus n 1 N 1,n 2 N 2 : n 2 n 1 = n 1 n 2 AangezienN 1 en N 2 elkaar centraliseren hebben we : alsω n1 1 = ω 1 voorω 1 Ω enn 1 N 1 dan ω 2 Ω: n 2 N 2 zodatω 2 = ω n2 1 want N 2 is transitief dan ω 2 Ω: ω n1 2 = ω n2.n1 1 = ω n1.n2 1 = ω n2 1 = ω 2 wegens de centralisatie 9

Dus zijn N 1 en analoog N 2 per definitie regulier omdat N 1 en N 2 ook nog transitief zijn. De reguliere groepen N 1 en N 2 zijn dan beide als G-ruimten isomorf met de linkse en rechtse representatie van de groepg: {ω 1 g g G} = {gω 1 g G} = Ω Vermits via dezelfde redenering als hierboven de centraliser C G (N 1 ) van N 1 semiregulier is en tevens de reguliere groepn 2 bevat hebben we dat : C G (N 1 ) = N 2 Verder is er naastn 1 enn 2 geen plaats voor een derde reguliere minimale normaaldelern 3 vangwant : C G (N 1 ) = N 2 enc G (N 1 ) = N 3 N 2 = N 3 Wegens dezelfde reden zijn N 1 en N 2 niet-abelse groepen want : N 1 C G (N 1 ) N 1 = N 2 10

1.6 Stelling van Aschbacher-O Nan-Scott De stelling van Aschbacher-0 Nan-Scott reduceert de primitieve permutatiegroepen tot enkele bepaalde types van groepen. Voor we deze stelling bewijzen leggen we eerst uit wat groepen van het affiene type, groepen van het diagonale type en bijna simpele groepen zijn. Deze drie types reduceren de zogenaamde basis primitieve groepen. De niet-basis primitieve groepen zijn de primitieve groepen die deelgroep zijn van een sliertproduct van basis primitieve groepen, maar dan wel onder een productactie. Definitie 1.6.1. Een affiene transformatie is een transformatie van de affiene meetkunde, waarbij de meetkundige structuren (punten, rechten, vlakken,...) samen met hun incidentie en het parallellisme behouden blijven. Als v een punt is in de m-dimensionale affiene meetkunde, kan een affiene transformatie voorgesteld worden door: v Av +t waarbij A = (a ij ) GL m (p) de matrix is van een lineaire afbeelding en t de translatievector is. De affiene algemene lineaire groep AGL m (p) wordt gevormd door al de affiene transformaties die een actie uitvoeren op de punten, met coordinaten in F p, van de affiene ruimte A m. Een groep van het affiene type is een deelgroep van een affiene algemene lineaire groep. Propositie 1.6.2. GL m (q) = (q m 1)(q m q)...(q m q m 1 ) = q m(m 1) 2. Bewijs. Voor elkem GL m (q) geldt : m (q i 1) i=1 de eerste rij(m 11,...,M 1m ) vanm moet minstens 1 element verschillend van0 hebben, er zijn dusq m 1 mogelijkheden voor de eerste rij; de j-de rij (M j1,...,m jm ) van M moet onafhankelijk zijn van de vorige j 1 rijen van M, als we deze rijen beschouwen als punten in F q m dan betekent dit dat het punt gevormd door de j-de rij van M niet tot de vectorruimte, isomorf met F q j 1, behoort die gevormd wordt door de j 1 onafhankelijke punten, overeenkomend met de eerste j 1 onafhankelijke rijen van M, er zijn dus q j q j 1 mogelijkheden voor dej-de rij. Dit betekent dat er mogelijke matrices zijn in GL m (q). (q m 1)(q m q)...(q m q m 1 ) = (q m 1).q(q m 1 1)....q m 1 (q 1) = q 1+...+(m 1) (q m 1)(q m 1 1)...(q 1) = q m(m 1) 2 (q m 1)...(q 1) Gevolg 1.6.3. AGL m (p) = p m (p m 1)(p m p)...(p m p m 1 ) 11

Bewijs. Omdat elke affiene transformatie bepaald wordt door een transformatie van GL m (p) en een translatie uit F m p, normaaldeler van AGL m (p), hebben we dat AGL m (p) het semi-directe product is vangl m (p) enf m p. We hebben dus : AGL m (p) = GL m (p). F m p = pm (p m 1)(p m p)...(p m p m 1 ) Definitie 1.6.4. Een diagonale groep is een groep van de vorm : T m.(out(t) Sym(m)) = (T Sym(m)).Out(T) waarbij T een niet-abelse simpele groep is. Een groep van het diagonale type is een deelgroep van een diagonale groep. Definitie 1.6.5. De groep G is een bijna simpele groep enkel en alleen als er een simpele groept bestaat zodat : Stelling 1.6.6. O Nan-Scott. T G Aut(T) (1) Een basis primitieve permutatiegroep is van 1 van de volgende types : (1.1) het affiene type = deelgroep van een affiene groep; (1.2) het diagonale type = deelgroep van een diagonale groep; (1.3) een bijna simpele groep; (2) De sokkel Sokkel(G), van een niet basis primitieve permutatiegroep G met G G 0 Sym(k) onder de productactie en G 0 basis, voldoet aan 1 van de volgende eigenschappen : Sokkel(G)=Sokkel(G 0 ) k of Sokkel(G) = N k is regulier en G 0 heeft 2 reguliere normaaldelers N en N. Schets van het bewijs. Als N de sokkel is van de primitieve groep G dan zijn er volgens de stelling over de sokkel van een primitieve groep 4 mogelijkheden : (1) AlsN elementair abels en regulier is dan isgaffien. (2) Als N het product is van 2 niet-abelse reguliere normaaldelers dan hebben we 2 mogelijkheden. als de 2 minimale normaaldelers simpel zijn dan isgvan het diagonale type; anders is G een deelgroep van het sliertproduct van een diagonale groep (met 2 minimale normaaldelers) met een transitieve groep. (3) Als N een niet-abelse reguliere minimale normaaldeler is dan is G een niet-basis deelgroep van een sliertproduct. 12

(4) AlsN is een niet-abelse niet-reguliere minimale normaaldeler is dan is : N = T 1... T r het cartetische product van r isomorfe niet-abelse simpele groepen. We kunnen aannemen dat de verzamelingτ = {T 1,...,T r } meer dan 1 element bevat, want anders isg bijna simpel. Naast de gegeven transitieve actie van G op Σ hebben we ook de transitieve actie van G op τ via conjugatie : g G,T i τ: T g i = g 1 T i g τ De actie van een stabilisator G α, van een element van τ, is ook transitief op τ omdat N een transitieve actie heeft op Σ en elk element van τ verzamelingsgewijs vasthoudt. N α is eeng α -invariante maximale deelgroep vann want alsn α < K < N is, met K ook G α -invariant dan is G α < KG α < G in tegenspraak met de primitiviteit van G. Voor elket i τ kunnen we N projecteren opt i via een afbeeldingπ i. Als we nu Si := (N α )π i stellen dan hebben we s 1 < T 1 ofterwels 1 = T 1. (4.1) Als s 1 < T 1 dan is voor elke T i τ ook s i < T i omdat G α een transitieve actie heeft op τ. Maar dit betekent dat de groep N α bevat is in het product van zijn projecties : N α s 1... s r Aangezien de groep uit de rechterzijde van de ongelijkheidg α -invariant is hebben we een gelijkheid : N α = s 1... s r Maar dit betekent dat de actie vann opωisomorf is met de productactie vant 1... T r, waarbij elket i τ een actie uitvoert op de nevenklassen vans i. We hebben dus : G G 1 s r nietbasis,g 1 primitief metsokkel T 1 (4.2) Alss 1 = T 1 dan is voor elket i τ ooks i = T i omdatg α een transitieve actie heeft op τ. Dit betekent dat τ een partitie heeft met s klassen van orde t, met st = r, zodat N α het direct product is van de diagonale groepen op elk van de klassen. We hebben dan : G G 1 s s, eng 1 diagonale deelgroep van het product vantsimpele groepen. Dit betekent : alss = 1 dan isgdiagonaal; alss > 1 dan isgniet-basis. 13

1.7 Onafhankelijke Verzamelingen We karakteriseren enkele types van onafhankelijke verzamelingen van een groep en bewijzen enkele eenvoudige eigenschappen over m(g), de maximale lengte van een onafhankelijke verzameling van de groep G. Dit als voorbereiding op de stelling van Whiston die aantoont dat voor elke deelgroep G van Sym(n) geldt dat m(g) n 1 en datm(g) = n 1 enkel kan voorg = Sym(n). Definitie 1.7.1. Als we een familie elementen S van een groep G indexeren als S = {s i i I} dan noteren we voorj I eni I: G J := s i i / J, G i := G {i}. S is een onafhankelijke verzameling vangindien i I: s i / G i. S is een sterke onafhankelijke verzameling van G als bovendien J, K I: G J G K = G J K. S is een minimax verzameling van G indien S een onafhankelijke verzameling is vangmet maximale orde : S onafhankelijke verzameling vang: S S. S is een onafhankelijke genererende verzameling van G indien S een onafhankelijke verzameling is van G die G genereert : G = S. Een onafhankelijke genererende verzameling noemt men ook wel een minimale genererende verzameling. AlsH een deelgroep is vangkunnen we ook een relatieve versie definieren : S is een H-relatieve onafhankelijke verzameling van G indien i I: s i / H G i. S is een H-relatieve onafhankelijke genererende verzameling van G als bovendieng = H S. Als de groepaeen actie uitvoert opgkunnen we nog een versie definieren : S is een A-onafhankelijke verzameling vangindien i I: s i / G A i. S is een A-onafhankelijke genererende verzameling van G indien bovendien G = S. We gebruiken volgende notaties voor een groep G : m(g) := max{ S S onafhankelijke verzameling van G} m(g, H) := max{ S S H-relatieve onafhankelijke verzameling van G} m A (G) m A (G) := max{ S S A-onafhankelijke verzameling vang} µ(g) := max{ S S minimale genererende verzameling van G} µ(g, H) := max{ S S H-relatieve onafhankelijke genererende verzameling vang} µ A (G) := max{ S S A-onafhankelijke genererende verzameling vang} Aangezien een minimale genererende verzameling een onafhankelijke verzameling is, hebben we steeds µ(g) m(g) Voor de groepg = PSL 2 (q) hebben we een voorbeeld waarbijµ(g) < m(g). 14

Stelling 1.7.2. Eigenschap voor normaaldelers : (1) AlsN een normaaldeler is van de groepgdan isµ(g) µ( G N )+m(n). (2) AlsN bovendien abels is dan isµ(g) µ( G N )+m G(N). Bewijs. (1.1) Zij S een onafhankelijke genererende verzameling van G. Als we s noteren voor het beeld vansin G N dan is S een genererende verzameling van G N en hebben we dus een deelverzameling T van S zodat T een onafhankelijke genererende verzameling is van G N. Dit betekent : T µ( G N ) (1) Voor elke s S \T geldt dat s G N = T. We hebben dus voor elke s S \T een niet triviaal woord w(s) met elementen van T zodat : s = w(s) endus sw(s) 1 N (1.2) We tonen nu aan dat de verzameling S := {sw(s) 1 s S \T} een onafhankelijke verzameling in vann met S = S \T. AangezienS een onafhankelijke verzameling is vang, hebben we voor elkes S\T dats / T,(S\T)\{s} > is en dat tevensw(s) T is. Dit betekent dat voor elke s / T geldt dat sw(s) 1 / uw(u) 1 u S \T \{s}. Hiermee is aangetoond dat S een onafhankelijke verzameling is vann met S = S\T. Hieruit volgt dan dat : S \T m(n) (2) (1.3) Uit (1) en (2) volgt voor elke willekeurige onafhankelijke genererende verzamelings vangdat : S = T + S \T µ( G N )+m(n) endus µ(g) µ(g N )+m(n) (2.1) We beschouwen de actie λ van G op N door conjugatie : g G,n N: λ(n,g) = n g = g 1 ng N want gn = Ng λ is een actie vangopn metn Ker(λ) want : λ(n,1 G ) = 1 G.n.1 G = n λ(λ(n,g),h) = h 1.λ(n,g).h = h 1.(g 1.n.g).h = (gh) 1.n.gh =λ(n,gh) Aangezien N nu abels is hebben we voor g N,n N: λ(n,g) = g 1.n.g = n.g 1.g = n (2.2) We tonen nu aan dat de verzameling S := {sw(s) 1 s S \ T} een G- onafhankelijke verzameling vann is met S = S \T. Alssw(s) 1 (uw(u) 1 u (S\T)\{s},g G dan volgt uitw(u),w(g 1 u) T en g 1 u.w(u) 1 g = (g 1 u)w(ug 1 ) voor u S de contradictie dat s u u S \ s is omdat S een onafhankelijke verzameling is. Dit betekent : S \T m G (N) (3) 15

(2.3) Uit (1) en (3) volgt dan : µ(g) µ( G N )+m G(N) Gevolg 1.7.3. Voor alle groepen G en H volgt uit µ(g) = m(g) dat µ(g H) = µ(g)+µ(h). Bewijs. (1) Volgens de vorige stelling hebben we dat : AangezienF: H G H G Wegensµ(G) = m(g) hebben we reeds : µ(g H) µ( G H G )+m(g) : h G {h} een homomorfisme is, hebben we dat : µ( G H G ) µ(h) µ(g H) µ(h)+µ(g) (1) (2) AlsS een genererende verzameling is vang, ent een genererende verzameling is van H dan is S T een genererende verzameling van G H. Dit betekent dat µ(g)+µ(h) µ(g H) (2) Opmerking 1.7.4. We weten niet of µ(g H) = µ(g) +µ(h) geldt voor elk paar groepen G en H. Het voorgaand gevolg geeft enkel zekerheid als µ(g) = m(g). Definitie 1.7.5. Voor een groepg: noteren we dg, de minimale graad van groep G, voor de minimale orde van de verzamelingen Σ waarvoor G een permutatiegroep is. noteren we l(g), de maximale ketenlengte van groep G, voor de lengte l van de langste keten : 1 = G 0 < G 1 < < G l = G van deelgroepen vang. Propositie 1.7.6. Voor de minimale graad dg en de maximale ketenlengte lg van een groep G hebben we volgende eigenschappen : (1)lG log 2 ( G ) (2) als G = n i=1 pni i metp 1,...,p n priem dan isl(g) n i=1 n i (3)m(G) l(g) (4) als G Sym(X) dan is X dg, als daarenboven G niet ingebed kan worden in Sym(Y) mety X dan isdg = X (5) als G > n! dan isdg > n 16

Bewijs. (1)(2) Met elke keten van deelgroepen G i,i {0,...,n} van G correspondeert een keten G i,i {0,...,n} van delers van G zodat G 0 = 1 G 1... G n = G. Uit de regels van de elementaire rekenkunde volgt dan (1) en (2). (3) Als S = {s 1,...,s n } een onafhankelijke verzameling is van G dan hebben we volgende keten vang: Hieruit volgt dan (3). {1} s 1 s 1,s 2... s 1,...,s n (4)(5) Uit de definitie vandg volgen (4) en (5). Definitie 1.7.7. H is een bijna-simpele groep als er een niet abelse simpele groep T bestaat zodat : T H Aut(T) Stelling 1.7.8. AlsH een bijna-simpele groep is met : T H Aut(T) met T een simpele niet-abelse groep m(aut(t)) ofl(aut(t)) dt k voor een getalk dan is : m(h) dh k Bewijs. Zoals voor elke groep hebben we : m(h) l(h) (1) AangezienH Aut(T) hebben we ook : l(h) l(aut(t)) (2) Er is gegeven dat : l(aut(t)) dt k (3) AangezienT H hebben we ook : dt dh (4) Uit (1),(2),(3) en (4) volgt : m(h) dh k 17

1.8 Permutatiegetallen We sluiten dit hoofdstuk op een spleelse wijze af. We kunnen namelijk elke permutatie identificeren met een uniek permutatiegetal. Dit laat ons toe om permutaties op een computer op te slaan als natuurlijke getallen. Stelling 1.8.1. Er bestaat een eenvoudige bijectie tussen de verzameling van de eindige permutaties en de verzameling der natuurlijke getallen. Als we de samenstelling van eindige permutaties overbrengen op de groep der permutatiegetallen N, dan is de groep N, isomorf met de groep der eindige permutaties. In het bijzonder geldt voor elke n N dat Sym(n) isomorf is met ({0,...,n! 1}, ) wat we noteren als (N n, ) Bewijs Als weφ i := (1,2,...,i) stellen dan kan elke permutatieα Sym(n) op een unieke manier geschreven worden als α = Π n 1 i=1 φmi i+1 met i {1,..,n 1} : 0 m i i. We bewijzen dit per inductie : () = (1,2) 0 en(1,2) = (1,2) 1 alsa = [a 1,...,a n ] dan bestaat er een uniekem < n zodat : a.σ m n = [b 1,...,b n 1,n] en per inductie heeft het rechterlid reeds een unieke schrijfwijze insym(n 1) : [b 1,...,b n 1,n] = [b 1,...,b n 1 ] Sym(n 1) Anderzijds kan elk natuurlijk getal a < n! op een unieke manier geschreven worden als a = Σi=1 n 1 m ii! met i {1,...,n 1} : 0 m i i. We bewijzen dit ook per inductie : 0 = 0.1! en1=1.1! alsakleiner is dann! dan kan menaop een unieke wijze schrijven alsb+c(n 1)! metc n 1 enb<(n 1)!. En per inductie heeftb < (n 1)! reeds een unieke schrijfwijze. We hebben dus een bijectie : F : Sym(+) N : Π n 1 i=1 φmi i+1 Σn 1 i=1 m ii! We brengen de structuur van de groep Sym(+) van de eindige permutaties over op (N, ) via : a b := F(F 1 (a)f 1 (b)) Definitie 1.8.2. De groep(n, ) noemen we de groep der permutatiegetallen. Stelling 1.8.3. In de groep(n, ) gelden volgende rekenregels : (1) m < n,a m,b n : am! bn! = am!+bn! want per definitie geldt : F 1 (σ(m+1) a σ(n+1) b ) = am!+bn! 18

(2) m,a m,b m : am! bm! = ((a+b) (mod m+1))m! want : σ(m+1) a σ(m+1) b (a+b) (mod m) = σ(m+1) (3) m < n : n! m! = (m 1)! +(n 1)(n 1)!+2n!, met k! = k! als k > 0 en0! = 0 want : Voorbeeld 1.8.4. We berekenen15 16. σ(n+1)σ(m+1) = σ(m)σ(n) 1 σ(n+1) 2 15 16 = (3 (12 4))+12 (mod 24) (1) We tonen in 3 stappen aan dat12 4 = 11 : 5 5 = (1 (4 1))+4 (mod 6) = (1 3)+4 (mod 6) = (1 1)+2+4 (mod 6) = 0 11 2 = 5 (6 2) = 5 17 = (5 5)+12 = 12 12 4 = (11 2) 4 = 11 (2 4) = 11 (2) We tonen in 3 stappen aan dat3 11 = 8 : 3 5 = 1 (2 1)+4 (mod 6) = (1 5)+4 (mod 6) = (1 1)+(4+4) (mod 6) = 0+8 (mod 6) = 2 (4) 3 11 = (3 5)+6 (mod 24) = 2+6 = 8 (3) Uit (1),(2) en (3) volgt : 15 16 = 8+12 = 20 19

Hoofdstuk 2 INCIDENTIEMEETKUNDE 2.1 Incidentiestructuren Als we groepen meetkundig willen onderzoeken moeten we het begrip van een meetkunde veralgemenen. Hiervoor moeten we ons loskoppelen van de algebraische kijk op meetkunde door middel van coordinaten en teruggrijpen naar de methode van de oude grieken die een bewust onderscheid maakten tussen een meetkundige rechte en een getallenrechte. Door te vertrekken van uit incidentiestructuren grijpen we terug naar de axiomatische zuivere meetkunde. Definitie 2.1.1. Γ(V, T, t, ) is een incidentiestructuur V is een verzameling; T is een verzameling; t: V T is een surjectieve afbeelding, type genoemd; een symmetrische relatie incident met opv V. De rang van de incidentiestructuur Γ is T. We noemen de incidentiestructuur Γ eindig als V eindig is. Definitie 2.1.2. Een incidentiestructuur Γ(V,T,t, ) van rang2wordt meestal voorgesteld doorγ(p,l,f) waarbij men de elementen van P punten noemt en de elementen vanlrechten noemt zodat : V = P L T = {punt,rechte} t(p) = punt ent(l) = rechte x,y V : x y {x,y} F 20

2.2 Grafen en Bomen Definitie 2.2.1. Een graaf(v, E) met toppen V en bogen E is een incidentiestructuur van rang 2 waarbij V de verzameling is van de punten en E de verzameling van de rechten zodat elke rechte incident is met juist 2 punten. Een weg in een graaf (V,E) is een geordende deelverzameling {a i i := 1...n} van verschillende punten van V zodat {a i,a i+1 } E voor i := 1...n 1. Een cykel in een graaf (V,E) is een weg {a i i := 1...n} in graaf (V,E) met {a 1,a n } E. De lengte van een weg {a i i := 1...n} in de graaf (V,E) is n. De lengte van een cykel {a i i := 1...n} in de graaf(v,e) isn+1. De afstanddst(a,b) tussen2toppena,b van een graaf is de lengte van de kortste weg vananaarb. We noterendst(a,b) = als er geen weg is van a naar b. Een samenhangende graaf is een graaf waarbij er een weg is tussen elke 2 toppen. Definitie 2.2.2. Een boom is een samenhangende graaf zonder cykels. Lemma 2.2.3. Er zijn n n 2 bomen met n toppen. Bewijs via de Prüfer-codering Elke boom T met toppenverzameling K = {1,..., n} kunnen we coderen door een rij van lengten 2 van elementen vank. (1) Voorn = 2 is de code eenvoudig : de lege rij. Immers,2toppen bepalen1boom. Om van een boomt opk de code te vinden neem je het bladk (een top incident met juist 1 boog) met de kleinste rangnummer in K. Het blad k ligt op juist 1 tak {k,l}. De codering van T is nu de rij met kop l en als staartrij de codering van de ingekorte boomt met toppen verzamelingk\{k} die ontstaat door uit T het bladk en de tak{k,l} te verwijderen. De bladeren van een boomt opk zijn de elementen vank die niet in de codering R van T voorkomen want : Wat in de coderingr van boomt voorkomt is geen blad want als een blad wordt afgeknipt kan de top waar het aan vastzit geen blad zijn. Bij het proces worden alle knopen uiteindelijk weggelaten. Op het ogenblik dat ze worden weggelaten zijn het bladeren. Als ze dat niet vanaf het begin waren, dan zijn ze ten minste eenmaal opgeschreven, namelijk op het ogenblik ze blad werden in het proces (en misschien nog wel eerder). Omgekeerd is elke rij R van lengte n 2 van elementen van K de codering van juist 1 boom op K. (2) Zij k het kleinste element van K dat niet in R voorkomt en l het eerste getal uit de rijr. ZijR de rij die ontstaat door uitr het eerste elementl weg te laten. De boom met codering R wordt dan recursief bepaald door aan de boom op K = K {k} met coderingr de tak{k,l} toe te voegen. 21

Uit (1) en (2) volgt dat ern n 2 bomen zijn met toppenverzameling{1,...,n}. Propositie 2.2.4. Het product van n 1 transpositiest 1,...,t n 1 uit Sym(n) is een n-cykel enkel en alleen als de bogent 1,...,t n 1, corresponderend met deze transposities, een boom vormen. Bewijs (1) Alst 1,...,t n 1 geen boom vormt opntoppen dan zijn er2toppenaenbdie niet kunnen worden verbonden door een pad. Dit betekent dat geen enkele samenstelling van de transposities de top a kan afbeelden naar de top b. In dit geval kan het product t 1...t n 1 geen n-cykel zijn want de groep gegenereerd door een n-cykel is steeds transitief. (2) Als t 1,...,t n 1 een boom vormen dan bewijzen we eerst dat het product t 1,...,t m 1 voor m n bestaat uit n m + 1 cykels. Dit bewijs loopt samen met het bewijs dat de graaf G m met toppen a 1,...,a n en bogen t 1,...,t m 1 bestaat uitn m+1 boomcomponenten. De propositie geldt voor m = 2 want G 2 met als enige boogt 1 = (a 1,a 2 ) bestaat uit n 2+1 = n 1 boomcomponentent 1,{a 3 },...,{a n } mett 1 = (a 1,a 2 )(a 3 )...(a n ). Als de propositie geldt voorm = k dan geldt ze ook voorm = k+1 wantt k+1 verbindt 2 boomcomponenten van G k+1 tot 1 boom. Dit betekent dat G k+1 1 boomcoment minder heeft dang k en dus(m k+1) 1 = m (k +1)+1 boomcomponenten heeft. Door de partitie van boomcomponenten betekent een vermenigvuldiging van t 1...t k met t k+1 = (b,c) dat de 2 cykels waartoe a en b behoren samen een cykel vormen en we het produktt 1...t k dus ook uit (m k +1) 1 = m (k +1)+1 cykels bestaat. 22

2.3 Pre-meetkunden en Meetkunden Definitie 2.3.1. Een vlag is een verzameling paarsgewijze incidente elementen. Een kamer is een vlag die van elk type een element bevat. In de Euclidische 3-dimensionale ruimte bestaat een vlag bijvoorbeeld uit een vlak en een punt in dit vlak. Een kamer bestaat hier steeds uit een vlak, een rechte in dat vlak en een punt op die rechte. Definitie 2.3.2. Het residu Γ F van een vlag F in een incidentiestrucuurγ(x,t,t, ) is de incidentiestructuurγ F (X F,I \t(f),t F, ) geinduceerd op de verzameling X F van alle elementen van typei\t(f) welke incident zijn met elk element van de vlagf. In de Euclidische 3-dimensionale ruimte is het residu van een vlag {p,α}, waarbij het puntp in het vlak α ligt, de stralenwaaier van alle rechten doorpdie in het vlak α liggen. Stab G (F J ) = G J Γ FJ = Γ(G J,(G J {k} : k I \J)) de Borel deelgroep vanγisb := G I = i I G i Definitie 2.3.3. Een nevenklasse-pre-meetkunde Γ(G,(G i ) i I ) van een groep G, waarbij (G i ) i I een eindige niet-ledige familie van verschillende deelgroepen van G is, is een incidentiemeetkunde(x, I, t, ) waarbij : de verzameling X, van elementen van Γ, bestaat uit alle rechtse nevenklassen G i g metg G eni I; de typeverzamelingi van eindige ordenis, de rang vanγ; de typefunctietvanγgedefinieerd wordt doort(g i g) = i voori I eng G; de incidentierelatie op X gedefinieerd wordt door G i g 1 G j g 2 G i g 1 G j g 2 Propositie 2.3.4. In een pre-nevenklasse-meetkunde geldt : G, is door rechtse vermenigvuldiging, een automorfismengroep op Γ(G,(G i ) i I ). de actie vang op de elementen van typeiis transitief. Stab G (G i ) = G i 23

Bewijs. G respecteert het type : de actie van g G op G i g 1 van type i geeft ons het beeldg i g g 1 = G ig 1 g terug van typei. G respecteert de incidentie : alsg i g 1 G j g 2 dan isg i g 1 g G j g 2 g. G is transitief op de elementen van type i want voor 2 elementeng i g 1 eng i g 2 hebben we steeds een g := g1 1 g 2 zodat G i g g 1 = G ig 2. Aangezien G g i = G i enkel en alleen alsg G i hebben we Stab G (G i ) = G i De structuur van een nevenklasse-pre-meetkunde is te algemeen. Als we een structuur wensen die meer lijkt op deze van de klassieke meetkunden dan hebben we meer axioma s nodig. Definitie 2.3.5. Een meetkunde is een pre-meetkunde waarbij elke vlag bevat is in een kamer. Definitie 2.3.6. (FT) Een pre-meetkundeγ(g,(g i ) i I ) is vlagtransitief als de groep G een transitieve actie heeft op de vlaggen van om het even welk typej I. Reeds Euclides veronderstelde, in zijn Elementen, de vlagtransitiviteit in het Euclidisch vlak bij zijn beschrijving van congruente lijnstukken en congruente driehoeken. In een vlagtransitieve meetkunde kan elke vlag van het type J I worden afgebeeld op de vlagf J := {G j : j J}. Definitie 2.3.7. (F) : een meetkundeγis ferm als elke niet-maximale vlag vanγbevat is in minstens 2 kamers. Zo is de vlakke Euclidische meetkunde ferm omdat door elk punt p minstens 2 rechten L en R gaan, waarbij{p, L} en{p, R} 2 kamers zijn die p bevatten. Definitie 2.3.8. (RC) : een meetkunde Γ is residueel samenhangend als de incidentiegraaf van elk residu, van rang 2 samenhangend is. Men kan nagaan dat de driedimensionele Euclidische meetkunde residueel samenhangend is. Als we bijvoorbeeld het residu van een puntpbeschouwen dat bestaat uit alle rechten en alle vlakken doorpdan hebben we in de incidentiegraaf van dit residu voor elke 2 elementen van dit residu steeds een weg van het ene naar het andere element : voor 2 rechtenl enrdoorp hebben we in de incidentiegraaf van ons residu een weg vanlnaarr: L L,R R waarbij L,R het vlak doorlenren dus ook doorpis. 24

voor 2 vlakkenαenβ doorp hebben we in de incidentiegraaf van ons residu een weg vanαnaarβ : α α β β waarbij α β de snijlijn is van de vlakken α en β die ook door p gaat. voor een rechte L door p en een vlak α door p hebben we steeds een vlak β dat L en dus ook p bevat waarbij de snijlijn van α en β door p gaat. Dit geeft ons volgende weg vanl naarα: L β β α α Definitie 2.3.9. (PRI) Een meetkunde Γ(G,(G i ) i I ) is primitief als voor elke i I geldt dat de actie vangop de elementen van typeiprimitief is. Propositie 2.3.10. Als we deze axioma s voor een nevenklassemeetkunde Γ(G,(G i ) i I ) vertalen in groep theorie hebben we volgende resultaten : (F) De deelgroepeng J voorj I zijn allen verschillend. (RC) AlsJ I en J < I 1 dan isg J = G J {k} : k I \J (FT) Als er een familie (G j x j ) j J van rechtse nevenklassen is met een paarsgewijze niet-triviale doorsnede, dan is er een element van G dat tot elk van deze nevenklassen behoort. ( RWPRI ) Voor elkej I bestaat er eenk I\J zodatg J {k} een maximale deelgroep is vang J. Aangezien de actie van G op de nevenklassen van van G i enkel en alleen primitief is alsg i een maximale deelgroep is van G betekent de RWPRI voorwaarde dat de groep G J een primitieve actie heeft op minstens 1 type van elementen in het residu van de standaard vlagf J = {G j j J} van typej. 25

2.4 Projectieve en Polaire Ruimten Voor meer detail verwijzen we naar de cursussen [5] en [6] of eender welk boek over incidentiemeetkunde. De klassieke lineaire groepen zijn transformatiegroepen van projectieve en polaire ruimten. Dit is dan ook de reden waarom deze 2 laatste secties in deze thesis zijn opgenomen. Definitie 2.4.1. De incidentiegraaf van een incidentiestructuur Γ(P, L, F) van rang 2 is de graaf : (V,E) := (P L,{{p,l} (p,l) F} Aan de hand van incidentiegraaf(v,e) van de incidentiestructuurγ kan men het volgende overdragen op Γ : De diameter vanγis de grootst mogelijk afstand tussen 2 toppen in de incidentiegraaf van Γ. Vermits 2 elementen van hetzelfde type in Γ nooit incident zijn, zal een cykel steeds even lengte hebben. De helft van de lengte van de kortste niet-triviale cykel in de incidentiegraaf van Γ heet de gonaliteit vanγ. Een cykel van lengte 2g wordt ook wel een gewone g-gon of een gewoneg-hoek genoemd. Twee punten zijn collineair als ze incident zijn met een gemeenschappelijke rechte. Twee rechten zijn concurrent als ze incident zijn met gemeenschappelijk punt. Definitie 2.4.2. Een incidentiestructuur Γ(P, L, F) van rang 2 is een partiele lineaire ruimte Γ is incidentiestructuur. Elke rechte is incident met minstens2punten. Twee verschillende punten incideren met hoogstens1 rechte. Definitie 2.4.3. Een incidentiestructuur Γ(P, L, F) van rang 2 met incidentiegraaf(v, E) is een veralgemeende n-gon alle 2 elementen van P L kunnen verbonden worden door een n-hoek, diam(γ) = n; er zijn geenk-hoeken met k < n in de partieel lineaire ruimteγ, gon(γ) = n; Indien er in de veralgemeende n-hoek Γ bovendien een(n+1)-hoek bestaat dan noemt men Γ een dikke veralgemeende n-hoek. 26

Stelling 2.4.4. Γ(P, L, F) is een dikke veralgemeende driehoek Door elke2punten gaat juist1rechte. Elke2rechten snijden in juist1punt. Er bestaan 4 punten waarvan er geen 3 collineair zijn. Elke incidentiestructuur die aan bovenstaande drie axioma s voldoet, noemen we een axiomatisch projectief vlak. Bewijs. Omdat elke 2 punten kunnen verbonden worden door een driehoek gaat er door elke 2 punten een rechte. De uniciteit van die rechte volgt uit de definitie van een partieel lineaire ruimte. Omdat elke 2 rechten kunnen verbonden worden door een driehoek hebben elke 2 rechten een snijpunt dat uniek is omdatγ een partiele lineaire ruimte is. OmdatΓdik is, zijn er 4 punten waarvan geen 3 collineair. Stelling 2.4.5. Γ(P, L, F) is een dikke veralgemeende vierhoek (GQ) Γ(P,L,F) is een partieel lineaire ruimte met volgende eigenschappen : (BS1) Elke rechte heeft ten minste 3 punten. (BS2) Geen enkel punt is collineair met elk ander punt. (BS3 )Γ is van rang2. (BS4) anti-vlag(p,l) (P l)\f! vlag(q,r) F: (p,r),(q,l) F Elke incidentiestructuur die aan bovenstaande vier axioma s voldoet, noemen we een polaire ruimte van rang 2 of een veralgemeende vierhoek. Bewijs. (BS1) (BS2) Γ. Elke rechte heeft minstens3punten wantγis dik. Geen enkel punt collineair met elk ander punt want er zijn geen driehoeken in (BS3 ) Γ is van rang 2. (BS4) Een punt x niet gelegen op een rechte L kunnen we met elkaar verbinden door een vierhoek. Er is geen andere rechte die x verbindt met L want er zijn geen tweehoeken en driehoeken in Γ. 27

2.5 Automorfismegroepen In deze sectie beginnen we uiteindelijk te begrijpen waarom meetkunden van belang zijn bij de bestudering van groepen. Definitie 2.5.1. De automorfismegroep van een incidentiestructuur Γ(V, T, t, ) is de groep van alle permutaties van de puntenverzameling V die het type en de incidentie bewaren. Aut(Γ) := {g Sym(V) x,y V : tg(x) = t(x),x y g(x) g(y)} Een automorfismegroep is een deelgroep vanaut(γ). Voorbeeld 2.5.2. Van de desarguesiaanse projectieve vlakken PG 2 (F q ) is bekend dat hun automorfismegroeppsl 3 (q) de groep lineaire afbeeldingen van de onderliggende vectorruimte is, uitgedeeld naar de scalaire matrices en voorzien van een eventueel lichaamsautomorfisme. Dit is de fundamentaalstelling van de Projectieve Meetkunde. Voorbeeld 2.5.3. Een affien vlak Γ kunnen we op een unieke manier complementeren tot een projectief vlak Γ, waartoe elk automorfisme van het affien vlak zal uitbreiden. Deze uitbreiding zal noodgedwongen de toegevoegde rechte op oneindig op zichzelf afbeelden. Elke automorfisme van het projectief vlak, dat l vasthoudt, zal een automorfisme definieren op de affiene punten. Zijn werking op de punten van l vertaalt zich dan in een permutatie van de parallelklassen. We besluiten dat : Aut(Γ) = Aut(Γ) l. Definitie 2.5.4. Zij V een vectorruimte over een lichaam L. Zij σ: L L een antiautomorfisme, d.w.z. een isomorfismel,+,. L,+, met a b = b.a : (a+b) σ = a σ +b σ (ab) σ = b σ a σ Een afbeelding g : V V is een (σ,id)-lineaire afbeelding indien voor elke v,v,w,w V en elke a,b L geldt dat : g(v +v,w+w ) = g(v,w)+g(v,w )+g(v,w)+g(v,w ) g(va,wb) = a σ g(v,w)b Voorǫ {1, 1} definieren we dan de (σ,ǫ)-hermitische vormf: V V L als : f(v,w) = g(v,w)+ǫg(w,v) σ We stellen door L σ de deelgroep voor van de additieve groep van L gevormd door de verzameling {t t σ t L} We onderscheiden volgende soorten bilineaire vormen : f is symmetrisch σ = id enf(w,v) = f(v,w); f is hermitisch σ id enf(w,v) = f(v,w) σ ; f is symplectisch σ = id enf(w,v) = f(v,w); 28

f is alternerend σ = id enf(v,v) = 0; Stelling 2.5.5. Zij nu q een σ-kwadratische vorm met geassocieerde (σ,id)-lineaire afbeelding g en f de bijhorende σ-hermitische vorm, dan is Γ(P, L, ) met : P := { v PG(V) q(v) = 0} L := { v,w PG(V) f(v,w) = 0} een veralgemeende vierhoek. Voor het bewijs verwijzen we naar [5]. We vermelden hier wel bij dat niet elke veralgemeende vierhoek zomaar ingebed kan worden in een projectieve ruimte. Voorbeeld 2.5.6. De automorfismegroep H van een veralgemeende vierhoek, als projectieve deelstructuur bepaald door een een kwadratische vorm q met geassocieerde bilineaire vorm f, is een deelgroep van de projectieve automorfismegroep. Elk automorfisme van het projectief vlak, dat de kwadratische vorm q respectievelijk de bilineaire vorm f vasthoudt, zal een automorfisme definieren op de veralgemeende vierhoek. Definitie 2.5.7. Een Steiner systeem S (t,k,n) met 1 < t < k < n is een incidentiestructuur Γ(V, T, t, ) waarbij V drie typen elementen bevat : de elementen vans := {1,...,n} zijn elementen van type0; de deelverzamelingen vans, van ordet, zijn elementen van type1; een aantal deelverzamelingen van S, van orde k, zodat elk element van type 1 incideert met juist 1 element van type k waarbij onze incidentierelatie de natuurlijke incidentie via of is. Voorbeeld 2.5.8. Steiner systemen en Mathieu groepen. Er is een uniek Steiner systeems (5,6,12). Om deze incidentiestructuurγ(x,,i,t) van rang2te construeren nemen we een verzameling van12 punten{0,1,2,...,10, } en identificeren we deze met de punten van de projectieve rechte overf 11 : {(1,0),(1,1),...,(1,10),(0,1)} Met andere woorden, de getallen modulo11 samen met het punt. F 11 heeft6 perfecte kwadraten : {0,1,3,4,5,9} We noemen deze verzameling een blok. Van dit blok bekomen we de andere blokken door de fractionele lineaire transformaties : z az +b metad bc cz +d Deze blokken vormen het Steiner systeems (5,6,12). De automorfismegroep van dit Steiner systeem is de scherpe 5-transitieve MathieugroepM 12. M 12 := Aut(S(5,6,12)) 29