TENTAMEN ELEKTROMAGNETIME (3D020) 21 juni 1999, 14.00 17.00 uur UITWERKING 1 Op de geleider bevindt zich een totale lading. De lengte van de geleider (een halve cirkel) is gelijk aan πr. y d ϕ R P x Voor de ladingsdichtheid λ op de geleider geldt λ = πr Voor de lading d op een klein gedeelte van de geleider geldt d = λrdϕ= π dϕ Deze lading d geeft aanleiding tot een bijdrage d E tot de electrische veldsterkte E in het punt P,waarvoorgeldt de = d 4πε 0 R 2 a) Voor de y-component van de elektrische veldsterkte d E in het punt P geldt de y = de sin(φ) = d 4πε 0 R 2 sin(φ) = 4π 2 ε 0 R 2 sin(φ)dϕ De totale y-component van de elektrische veldsterkte E in het punt P geldt E y = Z π/2 sin(φ)dϕ = cos( π ) 4π 2 ε 0 R 2 π/2 4π 2 ε 0 R 2 2 ) cos(π =0 2 Dithadookopgrondvandesymmetrievanhetprobleemmeteenkunnenworden geconcludeerd; de verticale (y) componentvan E valt weg bij het doorlopen van de halve cirkel. i
b) Voor de x-component van de elektrische veldsterkte d E in het punt P geldt de x = de cos(φ) = d 4πε 0 R 2 cos(φ) = 4π 2 ε 0 R 2 cos(φ)dϕ De totale x-component van de elektrische veldsterkte E in het punt P geldt Z π/2 E x = cos(φ)dϕ = sin( π ) 4π 2 ε 0 R 2 π/2 4π 2 ε 0 R 2 2 ) sin(π = 2 2π 2 ε 0 R 2 Deze wijst dus in de positieve x-richting. c) Als aan de configuratie een tweede geleider wordt toegevoegd, die de vorm heeft van een rechter halve cirkel met lading, is op grond van de symmetrie direkt in te zien dat de elektrische veldsterkte E in het punt P gelijk is aan nul. Dit volgt ook uit de periodiciteit van sin(φ) en cos(φ): de integraal van deze functies over een interval ter grootte 2π levert nul op. UITWERKING 2 1 mm 1 mm (1) (2) (3) A A A +100 V V -100 V Omdat gegeven is dat de middelste plaat geen netto lading bezit, volgt uit de wet van Gauss dat het elektrische veld E tussen de platen (1) en (2) gelijk is aan dat tussen de platen (2) en (3). Dit is ook op grond van de symmetrie van het probleem in te zien: het gaat hier in feite om een serieschakeling van 2 identieke condensatoren. Het E-veld is verticaal naar beneden gericht. Voor een vlakke plaatcondensator geldt V = Ed Dus in dit geval 200 = 2 10 3 E E =10 5 V/m b) De potentiaal V vandeplaat(2)bedraagt0v.ditkanzowelgevondenwordenuit het bovenstaande verband tussen V en E als uit de symmetrie van het probleem. c) Voor de capaciteit tussen de platen (1) en (3) geldt C 1,3 = ε 0A d 1,3 = 1 4π 9 10 9 10 3 2 10 3 =4.42 10 12 F ii
d) De ruimte tussen de platen (1) en (2) wordt geheel gevuld met een diëlectrisch materiaal met een relatieve diëlectrische constante κ = 4. Dit houdt in dat de capaciteit tussen de platen (1) en (2) 4 maal zo groot wordt als deze oorspronkelijk was of, omdat de lading op de middelste plaat (2) hierbij constant (dus nul) blijft, dat de veldsterkte tussen de platen (1) en (2) 4 maal zo klein wordt als die tussen de platen (2) en (3). Er geldt V 1,3 = E 1,2 d 1,2 + E 2,3 d 2,3 = E 2,3 κ d 1,2 + E 2,3 d 2,3 = 5 4 E 2,3d 2,3 omdat d 1,2 = d 2,3. Dit geeft e) Uit het bovenstaande volgt E 2,3 = 4 5 200 10 =1.6 3 105 V/m E 1,2 = 0.4 10 5 V/m V 1,2 =40V, V 2,3 =160V Dus de potentiaal op de plaat (2) is gelijk aan +60 V. f) Als de ruimte tussen de platen (1) en (2) geheel gevuld wordt met een diëlectrisch materiaal met een relatieve diëlectrische constante κ = 4, wordt de oorspronkelijke capaciteit C 1,2 4 maal zo groot. De capaciteit tussen de platen (1) en (3) kan gevonden worden via 1 = 1 + 1 = 1 + 1 = 5 C 1,3 C 1,2 C 2,3 4C 2,3 C 2,3 4C 2,3 Hieruit volgt C 1,3 = 4 5 C 2,3 =7.1 10 12 F (UithetfeitdatC 1,2 =4C 2,3 en het gegeven dat de (totale) lading op plaat (2) gelijk is aan nul kan m.b.v. de definitie = CV ook worden afgeleid dat het potentiaalverschil V 2,3 =4 V 1,2, dus dat V 2 =+60V.) g) Als het diëlectrisch materiaal weer verwijderd is geldt dat de electrische veldsterkte tussen de platen steeds gelijk is aan 10 5 V/m. Als de condensatorplaat (2), die zich tot nu toe precies midden tussen de platen (1) en (3) bevond, 0.1 mm in de richting van plaat (1) verplaatst wordt, neemt.de afstand d 1,2 met 0.1 mm af, en daarmee V 1,2 met 10 V. De potentiaal V van de plaat (2) bedraagt dan +10 V. h) Voor de relatie tussen de potentiaalverandering V en de verplaatsing dz van condensatorplaat (2) geldt V = Edz Invullen van de gegevens levert 10 6 =10 5 dz dz =10 11 m (De nog meetbare verplaatsing is minder dan één atoom-diameter!). iii
UITWERKING 3 kern z N plaat 24 mm 20 mm 16 mm N I _ + magneet BOVENAANZICHT ZIJDOORNEDE a) Uit de wet van Gauss volgt ZZ B d A =0 gesloten Voor een magneetveld, dat zuiver radieel gericht is, geldt dat de totale flux door het oppervlak van de kern gelijk moet zijn aan de totale flux door de spoel. Op grond van de symmetrie is in te zien dat de grootte van B alleen afhangt van de afstand tot het middelpunt van de kern. De wet van Gauss geeft in dit geval 2πR ker n hb ker n =2πR spoel hb spoel waarin h de hoogte van de luchtspleet voorstelt. Hieruit volgt B ker n = R spoel R ker n B spoel = 20 10 3 1=1.25 T 16 10 3 b) Op analoge wijze volgt voor het magneetveld aan het oppervlak van de plaat B plaat = R spoel R plaat B spoel = 20 10 3 1=0.833 T 24 10 3 c) Voor de kracht F op de spoel t.g.v. een stroom I door de spoel geldt F = Z Id l B Omdat het veld B zuiver radieel gericht is, staat het loodrecht op de stroomvoerende spoel. Verder is het ter plaatse van de spoel overal gelijk. Hieruit volgt F = BINspoel l spoel =1 2 50 π 20 10 3 =6.28 N De kracht op de spoel is gericht langs de negatieve z-as (omlaag, c.q. naar binnen). iv
d) De snelheid v(t) van de spoel kan gevonden worden door differentatie van z(t) naarde tijd. Dit geeft v(t) = d [0.005 sin(2π 100 t)] = π cos(2π 100 t) =3.14 cos(628 t) m/s dt e) Voor de emf van inductie geldt I ³ = E + v B d l In het onderhavige geval geldt E =0enstaat v spoel loodrecht op B. Ditgeeft = Z spoel ³ vspoel B d l = v spoel Bl spoel = π cos(2π 100 t) 1 50 π 20 10 3 = π 2 cos(2π 100 t) =9.86 cos(628 t) V v
UITWERKING 4 R 1 (c) + _ 20 I V (a) B V R 2 R 4 40 10 (b) R 3 R 5 10 40 a) De spanning over de weerstand R 3 bedraagt 5 V. Dit betekent dat de stroom door R 3 gelijk is aan I(R 3 )=V/R 3 =5/10 = 0.5 A. Door de weerstand R 2 loopt dezelfde stroom dus V (R 2 )=0.5R 2 =20V. Voor de spanning op punt (c) t.o.v de aansluiting van de spanningsbron geldt V (c) = V (R 2 )+V (R 3 )=5+20=25V. T.g.v. deze spanning loopt er ook een stroom V (c) /(R 4 + R 5 )=25/(10 + 40) = 0.5 A door de weerstanden R 4 en R 5. De grootte van de stroom I, die door de spanningsbron V B geleverd wordt is dus 1 A. b) De emf van de spanningsbron V B is de som van de spanning V (c) en de spanningsval over de weerstand R 1,dusV B = IR 1 + V (c) =20+25=45V. c) Als de schakelaar gesloten is geldt V (a) = V (b). Tussen (c) en (a,b) bevindt zich een parallelschakeling van twee weerstanden, R 2 en R 4. Deze kan opgevat worden als een weerstand R 2,4 die gegeven wordt door 1 R 2,4 = 1 R 2 + 1 R 4 = 1 10 + 1 40 = 1 8 Hieruit volgt R 2,4 =8Ω. OpanalogewijzegeldtR 3,5 =8Ω. Tussen punt (c) en de aansluiting van de spanningsbron bevindt zich een weerstand R (c), die gegeven wordt door de serieschakeling van R 2,4 en R 3,5,dusgeldt R (c) = R 2,4 + R 3,5 =16Ω Voor de grootte van de stroom I, die nu door de spanningsbron V B geleverd wordt geldt I = V B /(R 1 + R (c) )=45/(20 + 16) = 1.25 A. d) De spanning V, die nu door de voltmeter wordt aangegeven wordt gegeven door V = IR 2,4 =1.25 8=10V. vi