8 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes ladzjde 7 a,. O α β γ en α β γ zjn elkaars spegeleeld n de. a a z = ( + ) = + en a z = ( + ) ( + )= + + + = ( ) + ( + ) arg( a) = tan tan, ; = = 0 arg( z ) ; = 0 arg( z ) tan = 0, arg( a ) = tan tan,, = z = 0 en 0, + 0 = 0,, dus arg( a z ) = arga+ arg z. arg( a z ) = tan +, en 0, + 0, =,, dus arg( a z ) = arga+ arg z. Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel
d a O z. z arg. z argz arg O Puntspegelng n de oorsprong. z O Vershuvng over naar lnks en omlaag. O z ( ). z Rotate om O(0,0) over z z z Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel 9
d e 0 f Hoofdstuk 8 - Complexe funtes O z. z Rotate om (0, 0) over. O z z z Projete op de magnare as. z O Spegelng n de magnare as. ladzjde 7 a f() z = ( 0, + ) z gz ()= z hz () = Re z d kz ()= z z a z =, z = en z = + wordt door vermengvuldgng met α afgeeeld op +, dus a= +. gz ( ) = ( + ) = + en gz ( ) = ( + ) = + d a= + = 8 = en Arg a = tan =. Bjvooreeld OA = en OA =. e Vanwege de vermengvuldgng van de lengtes van de zjden met fator a zjn de drehoeken geljkvormg. Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel
a 7a, g (z ) g (z ) z O z z g (z ) gz ( ) = + ; gz ( ) = ; gz ( ) = f( z ) = ( + ) + ( + ) = + = + ( + ) ; f( z ) = ( + ) + ( + ) = + + = + ( ) ; f( z ) = ( + ) ( + ) + ( + ) = + + + = + d De fator van de vermengvuldgng s a= + = ; de draahoek s Arga = tan = en de translatevetor s. f (z ) O f (z ) z z en f( z ) zjn elkaars spegeleeld n de ljn Re( z) = Im( z). f( z ) = ( ) = + ; f( z ) = ( + ) = + ; f( z ) = ( ) = + d z= x+ y = ( x y) = x + y= y+ x spegelen n Re z = Im z 8 Stel a = x+ y; = x' + y ' en z= a+, dan s: f() z = a z+ = ( x+ y)( a+ ) + ( x' + y ') = ax + ay + x y + x' + y' = f (z ) z ( ax y + x') + ( ay+ x+ y') a Als nu f( + ) = 0 geldt volgens ovenstaande x y+ x' = 0 en y+ x+ y' = 0, ook f()= geeft vergeljkngen n x, y, x en y, nl y+ x' = 0 en x+ y' =, Dt stelsel van ver vergeljkngen met ver onekende heeft oplossngen: x = 0, y=, x' = en y' =, dus a = en = +. z Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel
Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Als f() = en f() = krjg je vergeljkngen: y+ x' = ; x+ y' = 0; x+ x' = 0 en y+ y' =. de oplossng van dt stelsel s x = ; y= ; x' = en y' =, zodat a= en = +. 9a ladzjde 7 O z + + + f(z) = z 7 + 7 + 7 7 + 0 0 0 0 0 0 O 0 0 0 0 d De rkel met straal om O(0, 0) 0a Bj A hoort z =, j B hoort z =, j C hoort z = en j D hoort z =. Op de rkeloog AB lggen de getallen z waarvoor geldt: z = en 0 Arg z. Nu geldt z = z = en arg z = arg z, dus 0 Arg z. de eelden f()= z z van de getallen z op de kwartrkel AB lggen dus op de halve rkel A B. Evenzo geldt dat de eelden van de getallen z op de kwartrkel CD op de halve rkel C D lggen. z= x+ y z = x y + xy, dus als voor z geldt z = + moet x y = en xy =. Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel
x y = Oplossng van dt stelsel geeft: xy = x = n de ovenste nvullen y y = y = y y + y = 0 y ( y + )( y ) = 0 y = y= of y= x = of x = Dus z= + of z=. a r =, ϕ = en ϕ =. d B O B s de rkelsetor egrensd door het posteve deel van de magnare as, het negateve deel van de reële as en de oog met openngshoek tussen ede assen van de rkel met straal om de oorsprong. 0 0 O Het eeld s een deel van een rkeloppervlak met de punt n x =. Ze fguur. ladzjde 77 a z = z = r en arg z = arg z = ϕ. Voor de punten n het domen geldt dat het argument hoogut kan vershllen en dat de modulus maxmaal de straal van de halve rkel kan zjn, zeg r. Voor de kwadraten geldt dan een maxmaal vershl voor het argument van en de modulus s maxmaal r, maar dt eslaat just een rkel om O(0,0) met straal r. De rkel met straal wordt op zhzelf afgeeeld. a O z + + + + + + f(z) = z 8 + 8 + Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel
Hoofdstuk 8 - Complexe funtes O 7 8 9 d Voor een getal z ut B geldt z= a+, dan s f() z = ( a+ ) = ( a ) + a Noem het reële deel u= ( a ) en het magnare deel v= a. Elmneer nu a en je krjgt: v= a a = v.dt j u nvullen geeft u = v v v = = en dt s een paraool. a Het kwadraat van s, dus a = en z top =. (Het kwadraat van s ook, maar a > 0.) Stel z= x+ y, dan s ( x y ) + xy = 8. dus x y = 0 en xy = 8. de oplossng van dt stelsel s x = en y = of x = en y =, dus z= + of z= (vervalt want Re z < 0 ). O d Een punt van A s z= + y. Dus het kwadraat s ( y ) + y. Noem het reële deel u= y en het magnare deel v= y y= v Elmneer y en je krjgt u= ( v) = v, een paraool. a z + + + + + + f(z) = z 0 + + 0 + 8 0 O 0 Voor een getal ut B geldt z= x+ en voor f() z geldt f() z = x + x. Je krjgt voor de vergeljkng van de eeldparaool dus x = y. De top s dus (, 0) en z =. top Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel.
a Stel a= a+ en = u+ v. Dan f() = ( a+ ) + ( u+ v) = a + u v = a v+ ( + u) = a v= 0 v= a en + u= u= + f() = a+ + u+ v = a+ u+ ( + v) = a+ u=0 en + v= Comneren van de ver vergeljkngen geeft a+ = en a = = = en vervolgens u=, a =, v = Dus a= en = +. Stel a en weer als j opdraht a. f ( a) = 0 a + a = 0 aa ( + ) = 0 a = 0(kan net) of a = a + a = u v a = u en a = v f( ) = 0 ( a+ ) + ( u+ v) = a + u v =0 a v= 0 v= a en + u= 0 u= Comneren van de ver vergeljkngen geeft a = en a = a a( ) = 0 a = 0 of = (kan net). a = 0 = = 0 (kan net) of =. Dus a = 0, =, v= 0, u=. Dt geeft a= en = ladzjde 78 7a Laat Y=, ^ Xen Y = ( Y( X+ 0, 0) Y( X))\ 0, 0 en maak een tael: Deze hellngsfunte s ook weer exponenteel, want als je het quotënt van opvolgende funtewaarden neemt (de stapgrootte s 0,0) s de utkomst steeds mn of meer 0,90. Idem Laat Y= ^ Xen Y = ( Y( X+ 00, ) Y( X)) \ 00, en maak weer een tael: De hellngsfunte s weer exponenteel, want de opvolgende funtewaarden van Y heen weer een ongeveer onstant quotënt. a 0, 0 voor het geval a =, en a, 099 als a =. 8-9a Volgens de kettngregel: f( ϕ) = e ϕ f'( ϕ) = e ϕ = e ϕ, dus f'( ϕ) = f ( ϕ). f( ϕ) = a( ϕ) + ( ϕ), dus f'( ϕ) = a'( ϕ) + '( ϕ), omdat f( ϕ) = f '( ϕ) geldt nu dat a'( ϕ) + '( ϕ) = ( a( ϕ) + ( ϕ)). a'( ϕ) + '( ϕ) = ( ϕ) + a( ϕ), dus a'( ϕ) = ( ϕ) en '( ϕ) = a( ϕ). Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel
Hoofdstuk 8 - Complexe funtes d a( ϕ) = os φ en ( φ) = sn ϕ voldoen, want nu s nderdaad a'( ϕ) = sn ϕ = ( ϕ) en '( ϕ) = os ϕ = a( ϕ). e - 0 ladzjde 79 O a = = e, = + = e, γ = = e O en δ = = a = e = +, e =, γ= e = + en δ = e =. ϕ a Stel z= re = r(osϕ+ sn ϕ), dan s: z= r(os sn ) = r( os( ) + sn( )) = re ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ. ϕ Stel z= re = r(osϕ+ sn ϕ), dan s: = = = z r re r e ϕ (osϕ+ sn ϕ) ϕ e. ( ) = + = = ( ϕ+ k) ϕ+ k f( ϕ+ k) = e = e = os( ϕ+ k) + sn( ϕ+ k) (osϕ sn ϕ) e ϕ f( ϕ). a arg ( e ) =arg ( ) +arg e ϕ = + ϕ, dus het getal e met modulus s te ( shrjven als e + ) e + =. a = ( ) e = e e ϕ ϕ + ϕ = ; = ( + ) e = e e = e ; γ = ( + 7 ) e = e e = e ϕ ϕ ϕ ( en δ = e = e e = e. Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel
ladzjde 80 a z = (osϕ+ sn ϕ) = (os ϕ sn ϕ) + snϕosϕ = osϕ+ sn ϕ Stel z= e ϕ ϕ ϕ, dan s z = ( e ) = e = osϕ+ sn ϕ ϕ ϕ Evenzo: z = (os ϕ+ sn ϕ) = ( e ) = e = osϕ+ sn ϕ a z + 8 = 0, dus z = 8 = e. Dus z e + k. = Oplossngen: z = e = ( + ) = +, z = e = ( + 0) = en z = e = ( ) =. De oplossngen lggen n de hoekpunten van een geljkzjdge drehoek. z O z z e k z =, dus z = e k, zodat z=. dt geeft oplossngen: z =, z = e 0, 97 +, 8, z = e, 7 +, 7, z = e, 7, 7 en z = e 0, 97, 8 z 8 z O z + k z = z = e z= e z = of z = e z z z O z z + k Hoofdstuk 8 - Complexe funtes 7 = of z = e = + Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel 7
8 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes d ( z+ ) = geeft met ehulp van opdraht de oplossngen z = + of z = + ( ) of z = + ( +. z z O z 7a r = ( ) + ( ) = en Arg a = tan =, dus a n n a e. = ladzjde 8 k 8 8 k 8 8a z = z = e z= e z = en z = e = + en z = = en z = e = + en z = e = en z = e = en z = e = en 7 z = e =. 8 z z z z O z z 8 z 7 z Omdat alle oplossngen modulus heen lggen ze allemaal op de rkel z =. k k k k = = = + = k ( ) 8 d z e e (os sn ) e = ( ) 9a z = z = e z= e z= e = + of z= e = k k 0 z = z = e z= e z= e = ofz = e = + of z= e = + of z= e = ofz= e = + of z = e = + of z= e = of z e = = ofz= e = of z= e = of z e = = ofz= e =. k z = z = z = + ( e z= e +k ) z= e = + of z = e = of z= e = + of z= e = of z= e = of z= e =. d z = 8 z 8 = 0 ( z 9)( z + 9) = 0 z=± of z=± z k + k + k = e. Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel e
e z z e z e = = = neem k = 0,,,,,, 7, en 8 en je krjgt: z = of z= + of z= of z= + of z = of z= of z= of z= f Ze opdraht e, de varaele z vervangen door z geeft oplossngen: z = of z= + + of z= + of z= + of z = 0 of z= of z= of z= + 8 8 8 k k 0a r = a = ( 8) + ( 8 ) = en Arg a = tan ( ) = Punt C + k + k z = a z = e, handger (vm de verde maht) z = e, dan krjg je + k z = e, dus z= e = of z= e = + of z= e = + of z= e = d A, B, C en D e Vervang door, de oplossngen zjn dan: z=, z=, z= + en z= +. a ( + ) = ( e ) = e = 09 8 8 ( ) = ( e ) = e = 09 ladzjde 8 a z + 7z+ = 0 ( z+ )( z+ ) = 0 z= of z= z z+ 9 = 0 ( z ) = 0 z= z + 8z = 0 z = 8 99, of z = 8 + 9,. d z z = 0 zz ( + ) = 0 z= 0 of z= of z= a z z = ( z )( z+ ) z + 9z 0 = ( z + z 0) = ( z+ 8)( z ) z z+ = ( z+ )( z ). d z = ( z + )( z ) = ( z+ )( z )( z+ )( z ) + ki a z + = 0 z = z = e z= e z z = e = + of = e = of z= e = Dus z + = ( z+ )( z + )( z ) Pz () = z + = ( z+ )( z z+ ) a P( ) = 0, P( 0) = 7 en P( ) = 0, dus en zjn nulpunten. Pz () = z + z 7= ( z )( z + 7) = ( z+ )( z )( z+ 7 )( z 7) ladzjde 8 a P() =, P( ) = 0 en P( ) = 00, dus s een nulpunt. Pz () = z z z + z+ = ( z )( z z ) = ( z ) ( z + z+ ) = ( z )( z+ ) Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel 9
70 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes 7a Pz () = z + z + 8z+ = ( z+ )( z + z+ ) = ( z+ ) ( z+ ) z = s een nulpunt met multpltet. Er s nog een nulpunt. Pz () = z + z + z+ = ( z+ )( z + z+ ) = ( z + ) z = s het enge nulpunt. Het heeft multpltet. Pz () = z z z + z = zz ( z z+ ) = zz ( )( z z ) = z( z )( z ) z= heeft multpltet, de andere nulpunten zjn 0 en, ede met multpltet. d Pz () = z + z z = z ( z + z ) = z ( z+ ) z= s een nulpunt met multpltet, het andere nulpunt s 0, eveneens met multpltet. ladzjde 8 8a s een n het oog sprngend nulpunt Pz () = ( z )( z + z + ) Pz () = ( z )( z + z+ ) = ( z )( z + ), dus het andere nulpunt s 9 Pz () = z = ( z )( z + ) = ( z+ )( z )( z+ )( z ) 0a Als je z = w stelt, krjg je Pz ()= z 8z 9 = w 8w 9 Pz () = w 8w 9 = ( w 9)( w+ ) = ( z 9)( z + ) = ( z + )( z )( z+ )( z ) k k a z = z = e z = e z = e 0 = of z= e = + of z= e = + of z = e = of z= e = of z= e =. Pz () = z = ( z )( z )( z+ )( z + )( z+ + )( z + ) z + z = + + = en z z = ( + )( ) = + + = d z = + en z = zjn elkaars geonjugeerde en z z = ( + )( ) = + + = en z + z = + + = e z = + en z = zjn elkaars geonjugeerde en z z = ( + )( ) = + + = en z + z = ( + ) + ( ) = f Pz () = z = ( z )( z+ )( z + z+ )( z z + ) ladzjde 8 k k 8 8 0 a z = z = e z= e z= e = ofz = e = + of z= e = of z= e = + ofz= e = of z= e = of z e 7 = = ofz= e = Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel
z z z z 0 O z z z 7 z De paren ( z, z ), ( z, z ) en ( z, z ) zjn geonjugeerd 7 8 d Pz () = z = ( z+ )( z )( z + )( z + z + )( z z + ) a P( ) = ( ) + ( ) + ( ) + 8 ( ) + 8 = + + 8 = 0. = Pz () = z + z + z + 8z+ 8 = ( z + )( z + z + ) de andere twee nulpunten zjn dus d de oplossngen van z Ze + z+ = 0. Dat zjn ± = ± a Pz () = z 8z + z+ = ( z )( z 7z 7z ) Pz () = z z + z z+ = ( z ) ( z + ) + k + k a z = z = e z= e z= e = + of z= e = of z e 7 = = + ofz= e = of z = e = ofz= e = Qz () = ( z + )( z + z + )( z z + ) a Pz () = ( z )( z + z + z + z + z+ ) = z Ze opdraht a: z = e 0 = of z= e = + of z= e = + of z = e = of z= e = of z= e =. Behalve z = zjn de nulpunten van Pz () ook nulpunten van Q() z 8 d W() z = ( z ) R() z = z. Om de nulpunten van Rz ()te vnden moet je de oplossngen van z 8 = 0 heen. De vnd je n opdraht a. Behalve z = zjn het nulpunten van R. Dus z = e = + ofz= e = of z= e = + of z = e = of z= e = of z e 7 = = ofz= e =. 7 Rz () = z = ( z + )( z ) = Q() z P() z. De oplossngen zjn dan de van en de van samen. ladzjde 8 8a De met de punten orresponderende getallen zjn elkaars geonjugeerde, dus ( z z )( z z ) en ( z z )( z z ) heen reële oëffënten en P() z dan ook. P() z = ( z + )( z )( z )( z + ) = z 8z + 7z 8z+ Dus a = 8, = 7, γ = 8 en δ = Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel 7
9a 7 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Aangezen de met de punten orresponderende getallen geen geonjugeerde heen, komen er n de ontndng geen tweedegraads fatoren voor. Er moeten dus ver eerstegraads fatoren zjn, dat etekent dat de ede nulpunten multpltet twee moeten heen, of éen van ede heeft multpltet en de andere s enkelvoudg. d Ze e P () z = ( z ) ( z ) of P () z = ( z ) ( z ) of P () z = ( z )( z ) z O z f( z ) = + ; f( z ) = + ; f( z ) = en f( z ) = +. z f (z ) f (z ) O z f (z ) f (z ) d De getallen f() z lggen op de eenhedsrkel e Stel z= a+, dan s f ()= z a + a + a + en f 0a f z a a a () = + = a + = f() z = + + a + a + z z z z dus f projeteert getallen op de eenhedsrkel. f()=γ z heeft dus alleen oplossngen als γ een punt van de eenhedsrkel s. Het getal z vermengvuldgen met a etekent dat het argument van a j het argument van z wordt opgeteld. Als dat argument s en het moet worden, dan moet je er dus j optellen. Je moet dus vermengvuldgen met een zuver magnar getal. Aangezen de verzamelng een ljn s, doet de modulus van a er net toe. De modulus moet ljven, het argument doet er net toe, want B etreft een rkel. a moet dus modulus heen! Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel
a ladzjde 87 f (V ) O V Het eeld van V s de ovenste helft van de magnare as. f (V ) O V voor z n V geldt: f() z = ( x+ x) = x ( + ) = x ( + ), dus f ( V ) s een halve rehte ljn (want x 0 ) met rhtngsoëffënt. d Als z= x+ y en y= ax geldt z = ( x+ ax) = x ( a + a). Dus de getallen z a lggen voor a op de halve ljn y= x, x > 0. Voor a = op de posteve helft a van de magnare as a Er geldt: sn( ϕ) = sn( ϕ) = sn ϕ os( ϕ) = osϕ e ϕ = os( ϕ) + sn( ϕ) = osϕ sn ϕ ϕ ϕ d e +e = osϕ+ sn ϕ+ osϕ sn ϕ = os ϕ ϕ ϕ + e osϕ = e e ϕ ϕ f e -e = (osϕ+ sn ϕ) (osϕ sn ϕ) = sn ϕ, dus snϕ = e ϕ ϕ a + + = = = = Im( z) y + = Im( y) + ( y ) = y + ( y ) = y Kwadrateer aan weerszjden: + ( y ) = y + y y+ = y y= y =. Dat getal s dus z=. x+ y+ = Im( x+ y) ( x+ ) + ( y ) = y ( x+ ) + ( y ) = y Kwadrateren geeft: ( x+ ) + ( y ) = y x + x+ + y y+ = y y= x + x + Dt s een paraool. e Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel 7
7 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes a a= a+ en = p+ q. f( + ) = ( a+ )( + ) + ( p+ q)( + ) = 0 a + p+ p+ q q= 0 + p q = 0 en a+ p+ q = 0. f() = ( a+ ) + ( p+ q) = a + p q= a q= 0 a = q en + p = 0 = p Deze vergeljkngen oplossen geeft: p+ + p q = 0 en q+ p+ q = 0 p q+ = 0 en p q= 0 q + = 0 q= p= a = en = 0. Dus a= en = + f( ) = 0 a + = 0 = 0 of a = a = en = 0. f() = ( a+ ) + ( p+ q) = a + p q= a q= 0 a = q en + p = 0 = p. Dus = 0 p= 0, q= 0, a = 0, = a = of a =, q=, = 0, p= a = en = +. e = os+ sn =, dus e + s nderdaad 0 ladzjde 90 T-a Bj g De funte h veroorzaakt een spegelng Spegelng n de ljn y= x d De funte f s een draang e De draahoek s arg( + ) = tan ( ) 0, 98 T-a r =, r =, ϕ = en ϕ = 0 8 f (A) 8 O 8 Het eeld van A, f( A), s het geed egrensd door de rkelogen met straal en 9 rond de oorsprong, de openngshoek s van tot T- a a = = e 0 0 a = = = ( e ) e e = 0 0 = + = e = ( e ) = e = 0 0 0 γ = + = e γ = ( e ) = e = 087e = 88 + 88 Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel
T-a Als je de haakjes weg zou werken ljkt de derdegraads term weg te vallen en je houdt een tweedegraads vergeljkng over! a = a = a = dus ( z ) ( z ) z z = k k w = w = e w = e w= e = ofw= e = + of w= e =. d ( z ) = ( z + ) z. z + = Stel z = w dan krjg je volgens opdraht : z+ z z z z+ = = + en deze vergeljkng heeft geen oplossngen. Ook z z z z z+ = + = + + = ( )( ) z+ z ( ) = + = + = + z z + = + De tweede oplossng z = door. vnd je door n ovenstaande overal Hoofdstuk 8 - Complexe funtes te vervangen T-a z 8z + 8 = 0 ( z 8)( z ) = 0 ( z 9)( z + 9)( z )( z + ) = 0 z=, z=, z=, z=, z=, z=, z=, z=. z z + z = z ( z ) ( z + ) = 0 z= of z= of z= z z + z= ( z ) = 0 z = d z z z = 0 z ( z z ) = 0 z= 0 of z= of z = + e De vergeljkng j heeft een oplossng met multpltet, j de derdegraads vergeljkng n opdraht he je één oplossng met multpltet en de vergeljkng n opdraht d heeft de oplossng z = 0 met multpltet. T-a P( ) = ( ) ( ) + 8( ) 8 = 0, dus z = s nderdaad een nulpunt van P. en zjn ook nulpunten van P. Pz () = z z + 8z 8 = ( z+ )( z+ )( z )( z z+ ) T-7a d z z+ = 0 z= ± = ± O A Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel 7
d 7 Hoofdstuk 8 - Complexe funtes O g (A) De rkelsetor krjgt straal, had straal, maar a= dus dat wordt nu. Bovenden s de setor naar rehts gedraad, want j het argument van elk getal n A wordt arg( a) = opgeteld. f (A) O Het geed van opdraht s nu twee eenheden naar lnks en één eenhed omhoog geshoven. ha ( ) s de rkelsetor A, naar lnks gedraad over arg( γ) =. De straal van de setor ljft, want γ=. T-8 a Stel z= a+, er geldt: f() z = f( a+ ) = Im( a+ ) = en f( z+ ) = f( a+ + ) = Im( a+ + ) = De ljnen lopen evenwjdg met de vetor. T-9 a A s de rkel met mddelpunt O( 00, ) en straal, de eenhedsrkel. Het eeld s deze rkel, maar dan twee eenheden naar lnks en eenheden omhoog geshoven, dus de rkel met mddelpunt (, ) en straal. B s nderdaad een rkel en wel de rkel met straal en mddelpunt ( 0, ). Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel
O Het eeld van deze ljn onder f s de ljn de je krjgt als je deze ljn twee eenheden naar lnks en dre eenheden omhoog shuft. Hoofdstuk 8 - Complexe funtes Moderne wskunde 9e edte utwerkngen vwo D deel 77