2 NAW 5/6 nr 2 juni 205 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat Paul Levrie, Rudi Penne Paul Levrie Faculteit Toegepaste Ingenieurswetenschappen Universiteit Antwerpen paullevrie@uantwerpenbe Rudi Penne Faculteit Toegepaste Ingenieurswetenschappen Universiteit Antwerpen rudipenne@uantwerpenbe Vaantiecursus Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat Op de vaantiecursus 204 van het Platform Wisunde Nederland hielden Paul Levrie en Rudi Penne de voordracht Priem!, over een onderwerp dat sinds het bewijs van Yitang Zhang over priemparen weer volop in de belangstelling staat Een onderwerp oo waarover Levrie en Penne onlangs een boe publiceerden: De pracht van priemgetallen Voor de syllabus van de vaantiecursus schreven ze dit artiel, dat niet zo zeer een weergave van hun voordracht is, maar een voortborduursel op hun recente boe Additieve getaltheorie en de stelling van Fermat Dat getaltheorie verslavend an zijn, an je nu oo lezen in de laatste editie van het beroemde boe An introduction to the theory of numbers, van Hardy en Wright [3] Je vindt er namelij in de introductie: Toen ons gevraagd werd om voor de syllabus van deze vaantiecursus een bijdrage te leveren over een onderwerp waar we net een boe [5] over hadden geschreven, lee het ons onzinnig om dubbel wer te leveren Daarom grijpen we liever de ans om een nieuw hoofdstu te breien aan dit boe Ons verhaal over de priemgetallen is een mix van wisunde, geschiedenis en leue weetjes Omdat het doelpublie anders is dan dat van het boe, mag het wat meer wisundig zijn, al zullen we de lezer onderweg verrassen met een heuse snit-en-naadtoepassing Het begint allemaal met dit: Bedoeld wordt natuurlij additive De additieve getaltheorie behandelt eigenschappen van getallen waarbij men deze probeert te schrijven als som van andere speciale getallen Een van de mooiste resultaten op dit gebied is de Kerststelling van Fermat, die in haar meest ruwe vorm zegt: El priemgetal van de vorm 4n is te schrijven als de som van twee wadraten Iets meer verfijnd hebben we dit: Een priemgetal is een natuurlij getal groter dan dat enel deelbaar is door en door zichzelf Een getal an geschreven worden als de som van twee wadraten als alle priemfactoren van de vorm 4n 3 in de priemfactorisatie van het gegeven getal vooromen met een even macht En we gaan het hebben over een stelling die ons vertelt wele priemgetallen te schrijven zijn als een som van twee wadraten In het ader hiernaast vind je de geschiedenis van deze stelling Dat de stap van de ruwe naar de verfijnde versie niet zo groot is, volgt uit twee dingen Eerst en vooral is het eenvoudig in te zien dat een priemgetal van de vorm 4n 3 niet te schrijven is als
2 Paul Levrie, Rudi Penne Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat NAW 5/6 nr 2 juni 205 3 634 De minder beende Franse wisundige Albert Girard (595 632) schrijft een opmering in de Franse vertaling van het wer van Simon Stevin: een som van twee wadraten Indien dit wel het geval zou zijn, dan moet het gaan om een wadraat van een even getal en een wadraat van een oneven getal Een even getal unnen we voorstellen door 2 bijvoorbeeld, en een oneven getal door 2m We hebben dan voor de som van de wadraten: (2) 2 (2m ) 2 = 4 2 (4m 2 4m ) = 4( 2 m 2 m), 640 Pierre de Fermat (60 665) schrijft op erstdag in een brief naar collega Marin Mersenne (588 648): en dit geeft dus steeds een viervoud plus, en nooit plus 3 Verder unnen we gebrui maen van de wonderbaarlije eigenschap die ons toelaat een product van twee sommen van wadraten te schrijven als een som van wadraten: Fermat beweerde dat hij een onweerlegbaar bewijs had van deze stelling (zo ennen we hem) 742 Leonhard Euler (707 783) schrijft op 30 juni in een brief aan Christian Goldbach: 749 Euler schrijft op 2 april naar Goldbach: 754 Euler publiceert een Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n esse summam duorum quadratorum 848 Charles Hermite (822 90) en Joseph-Alfred Serret (89 885) vinden tegelijertijd een efficiënt algoritme om een priemgetal van de vorm 4n te schrijven als de som van twee wadraten 855 Henry John Stephen Smith (826 883) geeft een eerste eenvoudig bewijs van de stelling 867 Édouard Lucas (842 89) ziet een toepassing van de stelling van Fermat, die oo wel eens Fermat s Kerstmis-stelling wordt genoemd, bij het weven van satijn 940 Godfrey Harold Hardy (877 947) schrijft in zijn A Mathematician s Apology dit: Uit de laatste zin blijt dat Hardy het bewijs van zijn landgenoot Smith, die evenals hijzelf de Savilian Chair of Geometry beleedde in Oxford, niet ende 984 Roger Heath-Brown (952) geeft een nieuw, ort bewijs van de stelling 990 Don Zagier (95) publiceert zijn A One-Sentence Proof That Every Prime p (mod 4) Is a Sum of Two Squares (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) = (ac bd) 2 (ad bc) 2 (eenvoudig te zien door uitwering) Voor een willeeurig getal dat voldoet aan de voorwaarden van de verfijnde stelling gaan we nu als volgt te wer: de factoren 2 schrijven we als 2 2 en de priemfactoren van de vorm 4n schrijven we als som van twee wadraten, en met de vorige eigenschap unnen we dan het product van deze getallen voorstellen als som van twee wadraten:a 2 B 2 ; de andere factoren hebben een even macht, en zijn samen te herschrijven in de vormc 2, en die unnen we dan gewoon op de volgende manier binnenbrengen : (A 2 B 2 )C 2 = (AC) 2 (BC) 2 Onze bedoeling is om in de rest van dit artiel het bewijs te geven van Henry Smith uit 855 voor de ruwe vorm van de stelling van Fermat We volgen in essentie de lijnen van [], hoewel Smith gebrui maate van continuanten, dingen waarvan de meeste mensen nooit gehoord hebben In plaats daarvan zullen wij weren met ettingbreuen, die we onder andere ennen van [4] Kettingbreuen hebben te maen met lineaire recursiebetreingen, en hierover is er een inleiding te vinden in appendix A Het verband met de ettingbreuen lees je dan weer in appendix B Dus als je alle details wil weten, lees dan de appendices Maar je an het verhaal oo volgen zonder de details van de appendices Eerst vertellen we wat meer over ettingbreuen, en in de volgende paragraaf geven we dan onze eigen versie van het bewijs van Smith Daarna gaan we op zoe naar de twee wadraten, wisundig, met de ettingbreuen, maar oo grafisch, via de toepassing beschreven door Édouard Lucas in 867 (zie geschiedundig overzicht) Eindige ettingbreuen Voor el niet-geheel rationaal getal an je wat men noemt een eindige ettingbreu vinden We laten dit zien aan de hand van het voorbeeld 39 6 We bepalen het grootste geheel getal dat in de breu in westie past, en schrijven 39 6 = 2 7 6 = 2 6 7 Met de noemer van de tweede term in het rechterlid gaan we dan op dezelfde manier verder:
3 4 NAW 5/6 nr 2 juni 205 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat Paul Levrie, Rudi Penne 39 6 = 2 6 7 = 2 2 2 = 2 7 2 7 2 = 2 2 3 2 Dit proces eindigt altijd en de laatste noemer is steeds een geheel getal 2 (waarom an dit niet gelij zijn aan?) De ettingbreu van een positief niet-geheel rationaal getal heeft dus de volgende vorm: b b 2 waarbij alle b s positieve gehele getallen zijn We zullen de notatie T enn gebruien voor de teller en de noemer van het rationaal getal dat we rijgen indien we deze ettingbreu uitweren: b b 2 b b b () = T N (2) blijt essentieel te zijn, en is een gevolg van (3) en (4) Meer algemeen zullen we de notaties T i j en N i j gebruien voor de teller en de noemer van de (uitgewerte) ettingbreu waarbij de b s lopen van b i tot b j en waarbij T i j en N i j onderling ondeelbaar zijn Het bewijs van de stelling van Fermat De stelling die we willen bewijzen zegt dit: El priemgetal van de vormp = 4n is te schrijven als de som van twee wadraten De essentie van het bewijs is het feit dat de tellers in (2) en (3) aan elaar gelij zijn, in combinatie met de volgende merwaardige formule: T =T j T j N j N j (4) Dit is formule (7) uit Appendix B We unnen ze oo zo schrijven (als j 2 ): want we hebben natuurlij dat T =T j T j N j T j2, (5) (dus beteent dat deb s geordend zijn vanb totb ) Ele stap in deze uitwering is van de vorm b j N = T N T j N j =b j b j2 b =b j T, j2 N j2 mett,n gehele getallen, waarbijt enn geen gemeenschappelije factor unnen hebben In onze notatie veronderstellen we dus datt enn onderling ondeelbaar zijn Indien we deb s in de omgeeerde volgorde zetten, dan noteren we het resultaat zo: en na uitwering van het rechterlid volgt hieruit door het onderling ondeelbaar zijn vant en bijhorenden datn j =T j2 We vertreen van een priemgetalp dat één meer is dan een viervoud, en we stellen de ettingbreu op voor breuen waarvan de teller gelij is aanp Stel dat zo n ettingbreu opgebouwd is met de getallen b,b 2,,b, dan worden (4) en (5) dus: b b = T N (3) p =T j T j N j N j =T j T j N j T j2 b 2 b Merwaardig genoeg is in beide gevallen de teller gelij, dat wil zeggen T =T We ijen even terug naar het voorbeeld aan het begin van deze paragraaf Als we de volgorde van deb s hierin omeren, dan rijgen we dit: 2 3 2 2 = 39 7 met inderdaad dezelfde teller Deze eigenschap van ettingbreuen We beperen ons hierbij tot het geval datb 2, dat blijt voldoende te zijn voor het bewijs Een gevolg van deze veronderstelling is dat de beide breuen in het rechterlid van (2) en (3) een noemer hebben die ligt tussen 2 en 2n (herinner je datp = 4n ) Inderdaad, we hebben dan dat p noemer > 2 p = 4n >2 noemer Noemer = sluiten we overigens uit, want dan hebben we geen breu We beijen de verschillende breuen eens voorp = 3, dusn = 3 Het gaat dan om breuen met teller 3 en noemer respectievelij 2, 3, 4, 5, 6 Dit zijn de bijhorende ettingbreuen:
4 Paul Levrie, Rudi Penne Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat NAW 5/6 nr 2 juni 205 5 3 2 = 6 2, 3 3 = 4 3, 3 4 = 3 4, 3 5 = 2 2, 3 6 = 2 6 p =a 2 b 2 In dit eerste geval is de zaa dus bewezen Ofwel is het aantal b s voor de speciale breu oneven, stel dus = 2j Dan ziet de breu er zo uit: Let op het verband tussen de ettingbreuen die horen bij de breuen met noemers 2 en 6: de volgorde van de b s is omgewisseld Oo die met noemers 3 en 4 omen op deze wijze met elaar overeen De overblijvende breu, met noemer 5, valt op door het feit dat als je de volgorde van de b s in de ettingbreu omeert, dat deze niet verandert ten gevolge van een soort palindromisch effect Dit zal oo meer algemeen zo zijn: met el getal uit{2, 3, 4,,2n} (= de mogelije noemers) unnen we een ander getal uit deze verzameling associëren op deze manier Neem als getalj, bepaal de ettingbreu voor p j, eer de volgorde van deb s om zoals in (2) en (3), en dan is de noemer van de resulterende breu opnieuw een getal uit {2, 3, 4,,2n} Omdat het aantal elementen in de verzameling{2, 3, 4,,2n} gelij is aan 2n, een oneven getal, en omdat we deze dus unnen verdelen in groepjes van twee noemers die bij elaar horen, zal er altijd één noemer overblijven, die dan oo deze palindromische eigenschap zal moeten hebben: b =b, b 2 =b, en dus geldt b b j b j b j2 b =b, b j b j b j b Hiermee weren we verder We onderscheiden nu twee gevallen Ofwel is het aantalb s voor deze ene speciale breu even, stel dus = 2j Dan ziet de breu er zo uit: b j2 =b j b want inderdaad geldt b j b j Nu unnen we dit zo schrijven: b =b b j =b j b b j b j b b T j N j = T j N j, (6) en hieruit volgt wegens het onderling ondeelbaar zijn van tellers en noemers datt j =T j, noem dit geheel getala, en oon j = N j, noem ditb De eerste vergelijing in het adertje wordt dan:, b Dit laatste unnen we nu zo schrijven: T j2 N j2 = T j N j, en hieruit volgt dan onmiddellij datt j2 = T j Uit het tweede deel van de vergelijing in het adertje volgt dan: p =T j T j N j T j2 =T j (T j N j ), waarbijt j niet gelij an zijn aan Uit deze laatste uitdruing volgt datp niet priem is, wat in strijd is met het gestelde We zijn er dus nu zeer van datp te schrijven is als de som van twee wadraten, en datin dit geval even is Hiermee is het bewijs laar Op zoe naar de twee wadraten We willen natuurlij oo graag weten van wele twee wadraten het priemgetalp = 4n de som is Hiervoor proberen we meer te weten te omen over de noemer in de palindromische ettingbreu, we stellen deze noemer voor door d Hierbij gebruien we de formule (6) uit Appendix B: N T T N = ( ) =, (7) b of nog p =T j T j N j N j = (T j ) 2 (N j ) 2 die we hier toepassen meteven Hierbij ist =penn =d Uit (2):
5 6 NAW 5/6 nr 2 juni 205 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat Paul Levrie, Rudi Penne p d = T N =b b 2 =b T, 2 N 2 29 2 = 2 2 2 2 b b en uit het onderling ondeelbaar zijn vant en bijhorenden volgt datd de teller is van de volgende ettingbreu: (palindromisch!) en we bereenen dit deel ervan: 2 2 = 5 2, T 2 N 2 =b 2 b 3 en met de teller en de noemer unnen we 29 schrijven als een som van twee wadraten: 29 = 2 2 5 2 b b Maar we hebben vroeger gezien dat de teller van zo n ettingbreu niet verandert als we de volgorde van deb s omeren We rijgen dan de volgende ettingbreu, die we anders unnen schrijven door gebrui te maen van het palindromisch arater van deb s: b b b 3 b 2 =b b 2 b 2 b vermits b = b, b = b 2, enzovoort De teller van deze laatste ettingbreu is dus oo gelij aand Dit beteent datt =d De vergelijing (7) wordt dan: d 2 pn = d 2 =pn d 2 is deelbaar doorp Het is niet moeilij om in te zien dat er maar één getaldan zijn tussen 2 en 2n met deze eigenschap Stel namelij dat er zo twee zijn,d en d 2, metd >d 2, met zoweld 2 alsd2 2 deelbaar doorp Dan volgt onmiddellij dat oo het verschild 2 d2 2 = (d d 2 )(d d 2 ) deelbaar zal zijn door het priemgetalp, maar beide factoren zijn leiner danp, dus dat an niet Voor het bepalen van de uniee noemerdgaan we dan als volgt te wer: bepaal het wadraat van de getallen 2, 3, en tel er bij op Indien het resultaat deelbaar is doorp, dan heb jedgevonden Voorp = 29 vinden we voor die wadraten plus het volgende, op veelvouden van 29 na:, Dit laatste volgt uit (6), want we hebben bewezen dat teller en noemer van het rechterlid de twee getallen zijn die we zoeen De methode van Édouard Lucas We unnen de getallenaenboo op een andere manier bepalen Édouard Lucas bracht in 867 de stelling van Fermat in verband met het weven van draden tot textiel Hierbij worden verticale en horizontale draden met elaar vervlochten, zoals aan de linerant van Figuur Het gaat hier om een zogenaamde satijnbinding Bij satijn ruisen wat men noemt de etting- en de inslagdraden elaar op een speciale manier Als de zwarte ettingdraad op een bepaalde plaats boven ligt, dan ligt bij minstens vier van de volgende ruisingen de rode inslagdraad boven Op de figuur zijn het er precies vier Het patroon herhaalt zich, en an daarom voorgesteld worden zoals rechts in de figuur, met wat in het blauwe vierant te zien is, een vierant opgebouwd uit 5 5 leine vieranten, waarvan er als volgt een aantal zwart geleurd zijn: leur het vierantje linsonder in, ga dan één olom opzij en twee rijen omhoog en leur daar het vierantje in, ga weer naar rechts en twee omhoog enzovoort Kom je uit boven de 5, dan tel je van onderen te beginnen verder Omdat de zijde van het vierant een priemgetal is, zal het toepassen van deze methode er steeds voor zorgen dat er op ele rij en olom precies één vierant is ingeleurd, één per rij en één per olom In Figuur 2 is een voorbeeld te zien in het geval we niet vier maar twaalf opeenvolgende ruisingen hebben met de inslagdraad boven, het gaat dan om een vierant van 3 3 Dit an op verschillende manieren, zoals je an zien op Figuur 2 In de verschillende delen van de figuur gaat men respectievelij met stappen van, 2, 3, 4, 5 en 6 naar boven, steeds startend linsonder in een vierant Zo ontstaan 2 7 2 2 5 8 7 3 0 9 24 4 7 0 4 5 26 6 6 8 2 0 We besluiten datd=2 We bepalen nu de ettingbreu voor 29/2: Figuur
6 Paul Levrie, Rudi Penne Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat NAW 5/6 nr 2 juni 205 7 Het beendste voorbeeld van een lineaire recursiebetreing is dit: y =y y 2 voor=, 2, 3, waarbij allea s enb s gelij zijn aan In feite staan hier oneindig veel vergelijingen, waarvan de eerste gegeven zijn door: y =y 0 y, y 2 =y y 0, y 3 =y 2 y, Figuur 2 patronen Lucas merte op dat het patroon in het midden onderaan het mooiste is omdat er allerlei vieranten in te zien zijn Bovendien is het het enige dat niet verandert als je het een wartslag draait Mer op dat we bij dit patroon stijgen in stappen van 5 En 5 was precies de noemer die hoorde bij het priemgetal 3 waarvan de ettingbreu palindromisch was! Lucas bewees oo dat een dergelije symmetrie niet vooromt indien het aantal vierantjes per zijde een priemgetal is van de vorm 4n 3 We doen het nog even opnieuw voor p = 29, en de bijhorende noemer 2 Kleur in een vierant van 29 29 het vierantje linsonder in, ga dan één olom opzij en twaalf rijen omhoog en leur daar het vierantje in, ga weer naar rechts en twaalf omhoog, enzovoort (Figuur 3, lins) Opnieuw ontstaan er vieranten, waarvan er één is aangeduid op de figuur Het wordt duidelijer indien we de blauwe vierantjes vervangen door roosterpunten in een rooster van 29 29 (Figuur 3, rechts) Via de stelling van Pythagoras vinden we dan dat het wadraat van de zijde van het aangeduide vierant te schrijven is als 5 2 2 2 = 29 Bijna 250 jaar na de eerste formulering van de stelling van Fermat door Girard, vond Lucas [6 7] er zo een echte pratische toepassing van! Voor Lucas werd het zelfs een heel nieuwe ta van de meetunde, die hij Géométrie plane des tissus (Vlae meetunde van de stoffen) doopte Hij vond hierbij navolging bij andere wisundigen, waarvan de meest beende Pafnuty Chebyshev (82 894) is, met zijn ongepubliceerd artiel Sur la coupe des vêtements uit 878 waarin hij bereent wele vorm je uit een stu stof moet uitnippen om er een boloppervla volledig mee te unnen aanleden Voor de geïnteresseerde lezer, je doet het zoals in Figuur 4 wordt gedemonstreerd Bovenaan zie je de vorm die je uit de stof moet snijden, onderaan het aanleden van de bol (Met dan aan Étienne Ghys [2] voor de bovenste afbeelding, en aan Jos Leys voor de andere) Mer op dat je met deze vergelijingen inderdaad een oneindige rij getallen genereert, op voorwaarde dat je de eerste twee getalleny en y 0 vastlegt Voor deze recursiebetreing is de standaardeuze y =y 0 = (we spreen van beginvoorwaarden) We rijgen dan de volgende rij getallen: y =,y 0 =,y = 2,y 2 = 3,y 3 = 5,y 4 = 8,y 5 = 3,y 6 = 2, Deze rij is beroemd en wordt de rij van Fibonacci genoemd Als we andere beginvoorwaarden iezen, dan rijgen we een andere rij getallen Een mooie eigenschap van dit soort recursiebetreingen is dat als je al twee oplossingen bereend hebt, dat alle andere oplossingen dan te vinden zijn uit die twee Het is ideaal als je eerst deze twee specifiee oplossingen bereent: oplossinga meta =,A 0 = 0, oplossingb metb = 0,B 0 =, In Tabel zie je de eerste paar termen van beide rijen Door de speciale euze van de beginvoorwaarden unnen we nu ele andere oplossing y van de recursiebetreing schrijven met behulp van deze twee Je ziet in de tabel dat als je de oplossinga vermenigvuldigt mety en daarb, vermenigvuldigd mety 0, bij optelt, dat je dan de eerste 2 waarden vany rijgt Door de lineariteit van de recursiebetreing is het dan eenvoudig in te zien dat voor elegeldt: y =y A y 0 B We hebben de volgende eigenschap nodig, eveneens een gevolg van de lineariteit: A B A B = ( ) a a 2 a (8) Appendix A Lineaire recursiebetreingen Een lineaire recursiebetreing (van de tweede orde) is een vergelijing die het verband geeft tussen drie opeenvolgende termen van een oneindige rij getalleny,y 0,y,,y n, Zo n vergelijing neemt de volgende vorm aan: y =b y a y 2 voor=, 2, 3, De getallena,a 2,a 2, enb,b 2,b 3, zijn hierbij gegeven Figuur 3
7 8 NAW 5/6 nr 2 juni 205 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat Paul Levrie, Rudi Penne Figuur 4 Dit unnen we bewijzen per inductie, en daarvoor gebruien we eigenschappen van determinanten: A A B B = b A a A 2 b B a B 2 A B = a A B A 2 B 2 : 0 2 n A : 0 a b 2 a A n B : 0 b b 2 b a 2 B n y : y y 0 y y 2 y n Tabel met A 0 B 0 A B = Vanaf nu zullen we enel nog weren met recursiebetreingen waarbij a = voor ele waarde van:
8 Paul Levrie, Rudi Penne Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat NAW 5/6 nr 2 juni 205 9 : 0 2 j j j n B () : 0 b B () 2 B () j B () j B () j B n () : 0 b 2 j j j B n (2) B (3) : 0 B(3) j B (3) j B (3) j B (3) n B (j) : b j B (j) j B (j) n B (j) : 0 b j B (j) n B (j2) : 0 B (j2) n Tabel 2 y =b y y 2 voor=, 2, 3, We definiëren een aantal basisoplossingen zoals in Tabel 2 De positie van de twee opeenvolgende waarden 0 en arateriseert de verschillende basisoplossingen waarvan je de naam an lezen in de eerste olom Om te beginnen an je opmeren datb () =B en =A, en dus wordt eigenschap (8): B() B(2) B() = ( ) (9) Verder is er natuurlij voor ele waarde vanj voldaan aan de recursiebetreing: T N =b b 2 b b = B(), (3) waarbij deb s de coëfficiënten zijn in de recursiebetreing in Appendix A Uit het feit dat beide breuen (lins en rechts) niet te vereenvoudigen zijn, volgt dan datt =B () enn = Verder hebben we oo: B (j) =b B (j) B(j) 2 (0) T N =b b = B() B () (4) Uit deze tabel unnen we twee interessante relaties tussen deze oplossingen aflezen We baseren ons hiervoor op de waarden vanb (j) enb (j2) in de leine rechthoe Om te beginnen ijen we naarb (), en je ziet dan dat deze oplossing de volgende lineaire combinatie is van de twee onderste oplossingen: VoorB (j) n vinden we op dezelfde manier: B () =B() j B(j) B () j B(j2) () B (j) n =b j B (j) n B (j2) n (2) b 2 b voor de ettingbreu waarin de b s in de omgeeerde volgorde staan DusT =B () enn =B () Formule (3) unnen we veralgemenen tot: T j N j =b j b j2 b = B(j) B (j2) (5) Deze recursiebetreing verbindt drie onder elaar staande getallen in de tabel, en heeft als onmiddellij gevolg dat twee opeenvolgende elementen van een olom geen gemeenschappelije factor unnen hebben Hadden ze wel een gemeenschappelije factor, dan volgt uit (2) dat deze factor de hele olom deelt, wat niet mogelij is door het vooromen van het getal in ele olom Appendix B Verband met ettingbreuen Met de resultaten uit Appendix A unnen we laten zien (zie verder) dat we het volgende resultaat hebben: De formules (3) en (5) volgen uit (2) We herschrijven deze vergelijing als volgt: B (j) =b jb (j) B (j2) We starten nu metj = : B(j) B (j) =b j B (j) B (j2)
9 20 NAW 5/6 nr 2 juni 205 Kettingbreuen, weefpatronen en de Kerststelling van Fermat Paul Levrie, Rudi Penne B () =b B (3) =b b 2 B (3) B (4) =b b 2 b B () B () =b b 2 b b De laatste stap volgt uit de beginvoorwaarden in combinatie met de recursiebetreing We hebben namelij datb () =b enb () = Voor (4) vertreen we van de vergelijing (0) metj = en herschrijven deze als volgt: B () =b B () B() 2 B() B () =b B () B () 2 We vervangen dan in de linse vergelijingdoor en herhalen het procedé Formule (9) unnen we nu herschrijven als Formule () wordt N T T N = ( ) (6) T =T j T j N j N j (7) Referenties FW Clare, WN Everitt, LL Littlejohn en SJR Vorster, HJS Smith and the Fermat two squares theorem, Amer Math Monthly 06(7) (999), 652 665 2 É Ghys, Sur la coupe des vêtements: variation autour d un théorème de Tchebychev [On the cutting of garments: variation on a theme of Chebyshev], Enseign Math (2) 57( 2) (20), 65 208 3 GH Hardy en EM Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Roger Heath-Brown, Joseph Silverman en Andrew Wiles (red), Oxford University Press, 2008 4 M Kindt en P Lemmens, Ontwielen met ettingbreuen, Zebra-rees, deel 33, Epsilon Uitgaven, Amsterdam, 20 5 P Levrie en R Penne, De pracht van priemgetallen, Prometheus, Amsterdam, 204 6 É Lucas, Application de l arithmétique à la construction de l armure des satins réguliers, G Retaux, Paris, 867 7 É Lucas, Les principes fondamentaux de la géométrie des tissus, Congrès de l Association française pour l avancement des sciences 40(2) (9), 72 88