Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oefening 5.2. Stel de Cayleytabellen op voor de groepen C 2 C 4 en C 2 C 2 C 2. Is één van beide isomorf met de automorfismegroep van het vierkant? Kun je dat bewijzen zonder gebruik te maken van de Cayleytabel? 5.2.2 Cyclische groepen Oefening 5.4. Bewijs dat cyclische groepen abels zijn. Oefening 5.5. Beschrijf alle deelgroepen van C 15 en C 25. Oefening 5.6. Hoeveel elementen van C 60 brengen de ganse groep voort? Oefening 5.10. Gegeven is de cyclische groep C 8 = a. Bewijs dat de volgende afbeeldingen α en β morfismen van C 8 naar C 8 zijn. Bepaal telkens de kern. α : a a 4 β : a a 5 5.2.3 Ordes van elementen Oefening 5.11. Veronderstel dat u en v twee elementen zijn van een abelse groep met respectieve ordes r en s. Bewijs dat, in de veronderstelling dat ggd(r, s) = 1, de orde van uv gelijk is aan rs. Oefeningen Relaties en Structuren, Algebra 40
Oefening 5.12. Veronderstel dat u en v twee elementen zijn van een abelse groep G met respectieve ordes r en s. Onderstel dat de cyclische groep voortgebracht door u en de cyclische groep voortgebracht door v enkel het neutraal element gemeen hebben. Stel ook dat ggd(r, s) = d. Wat is de orde van het element u v? Oefening 5.13. Zij C n = g de cyclische groep voortgebracht door g. Bewijs dat de deelgroep H C n, voortgebracht door g k (k N\{0}) de orde n ggd(n,k) heeft. Oefening 5.14. Stel dat een eindige groep G en een priemgetal p gegeven zijn. Stel dat G precies m deelgroepen heeft van orde p. Bewijs dat G precies m(p 1) elementen van de orde p bezit. 5.2.4 Varia in groepentheorie Oefening 5.15. Welke van de volgende permutaties zijn even en welke oneven? α = (1357)(2468) β = (127)(356)(48) γ = (135)(678)(2)(4) Oefening 5.16 (Herexamen 2012). Beschouw een groep G en een deelgroep H van G. Definieer een relatie over de elementen van G als volgt: x y x 1 y H. a. Bewijs dat deze relatie een equivalentierelatie is. b. Toon aan dat de equivalentieklassen gelijk zijn aan de linkse nevenklassen van H. Oefening 5.17. Hoeveel symmetrieën heeft de symmetriegroep van de starre kubus? Tel dus alle realiseerbare acties (geen spiegelingen) die de kubus op zichzelf afbeelden. Welke essentieel verschillende symmetrieën onderscheid je? Beschrijf de structuur van hun cykelvoorstelling (als permutatiegroep op de hoekpunten). Hoeveel zijn er van elke soort? Oefeningen Relaties en Structuren, Groepentheorie 41
5.6 Veeltermringen 5.6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 5.18. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oefening 5.19. Ontbind x 5 + x 4 + x 3 + x in irreducibele factoren over Z/2Z. Oefening 5.20. Ontbind x 8 1 in irreducibele factoren in Z/3Z[x]. Oefening 5.21. Ontbind x 3 + 5x 2 + 5 in Z 11 [x]. Oefening 5.22. Factoriseer volgende veeltermen in irreducibele veeltermen over F 5. a. x 4 + 4 b. x 4 + 3x 3 + 2x + 4 Oefening 5.23. Wat is de multipliciteit van de wortel 1 van x 8 +x 7 +x 6 +x 3 +x 2 +1 in Z/2Z[x]? 5.6.2 Deling, Euclides en modulaire inversen Oefening 5.24. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van a(x) door b(x) over het veld F. a. F = F 5 ; a(x) = 3x 4 + 4x 3 x 2 + 1; b(x) = 2x 2 + x + 1. b. F = F 8 met α 3 + α + 1 = 0; a(x) = x 4 + α 2 x 3 + α 6 x 2 + αx + α 5 ; b(x) = α 4 x 2 + α 3 x + 1. c. F = F 2 ; a(x) = x 3 + x 2 + 1; b(x) = x 2 + x + 1. d. F = F 5 ; a(x) = x 5 + x 4 + 2x 3 + x 2 + 4x + 2, b(x) = x 2 + 2x + 3. e. Zelfde als d. maar nu over F 7. f. Zelfde als d. maar nu over F 73. Oefening 5.25. Vind de monische grootste gemene deler van de polynomen a(x) en b(x) in F[x] en schrijf het eindresultaat in de gedaante λ(x)a(x) + µ(x)b(x) over F[x]. a. F = F 3 ; a(x) = x 3 + x 2 + x + 1; b(x) = x 2 + 2. b. F = F 5 ; a(x) = x 4 + 2x 3 + x 2 + 4x + 2; b(x) = x 2 + 3x + 1. c. F = F 2 ; a(x) = x 4 + 1; b(x) = x 2 + 1. d. F = F 2 ; a(x) = x 5 + 1; b(x) = x 2 + 1. e. F = F 2 ; a(x) = x 9 + 1; b(x) = x 6 + 1. Oefeningen Relaties en Structuren, Veeltermringen 42
Oefening 5.26. Bepaal in de volgende gevallen de veeltermen λ(x) en µ(x) zodanig dat ggd(a(x), b(x)) = λ(x)a(x) + µ(x)b(x). a. a(x) = x 4 + 2 en b(x) = 5x 2 + 6x + 4 in Z/7Z[x]. b. a(x) = x 3 + 2x 2 + 2x + 1 en b(x) = 2x 2 + 2 in Z/3Z[x]. c. a(x) = x 5 + 1 en b(x) = x + 1 in Z/2Z[x]. Oefening 5.27. Bepaal in F 3 [x] de inverse veelterm van 2x 4 + 2 modulo x 5 + 2. Oefening 5.28. a. Waarom is x 2 + 3 irreducibel over F 5? b. Zoek de inverse veelterm van x + 1 modulo x 2 + 3 in F 5. Oefening 5.29. a. Bereken de som en het product in Z[x] van 3x + 4 en 5x 2 modulo x 2 7. b. Bereken de som en het product van 3x 2 en x2 2 modulo x 2 + 2 in Q[x]. 5.7 Eindige velden 5.7.1 Constructie Oefening 5.30. a. Toon aan dat f(t) = t 2 + t 1 over Z/3Z een irreducibel polynoom is. b. Bewijs dat f(t) = t 2 + t 1 een primitief polynoom is in Z/3Z[t]. c. Stel de Zech-log-tabel op voor F 9 met de keuze van dit primitief polynoom. d. Bereken volgende elementen van F 9 : (1 t)( 1 + t) t 4 + t 7 t 2 4t 3 + 5t 5 7t 7 Oefening 5.31. a. Is x 4 + x 2 + 1 een primitieve, irreducibele veelterm in Z/2Z? b. Is x 4 + x + 1 een primitieve, irreducibele veelterm in Z/2Z? Oefening 5.32. Onderzoek of de gegeven veelterm een irreducibele veelterm is over het gepaste veld en stel de Zech-log-tabel op voor het gevraagde veld. Als het gegeven polynoom niet primitief is, zal je in plaats van de de variabele t dus een ander element α moeten kiezen dan als primitief element. a. F 4, met f(t) = t 2 + t + 1. b. F 9, met f(t) = t 2 + 1. Oefeningen Relaties en Structuren, Eindige velden 43
c. F 16, met f(t) = t 4 + t + 1. d. F 25, met f(t) = t 2 + 4t + 2. Oefening 5.33. Gebruik de Zech-log-tabellen uit oefening 5.32 om de volgende kwadratische vergelijkingen op te lossen: a. αx 2 + α 2 = 0 over F 4. b. x 2 + α 7 x + α 2 = 0 over F 9. c. x 2 + α 7 x + 1 = 0 over F 16. d. x 2 + α 13 x + α 14 = 0 over F 25. Oefening 5.34 (Examen 2013). Toon aan dat f(x) = x 3 x + 1 een irreducibel polynoom is over F 3. Construeer met dit polynoom het eindig veld F 27 in de variabele s en stel de Zech-log-tabel op. Hoeveel veldelementen zijn primitieve elementen? Welke zijn deze? Los de derdegraadsvergelijking X 3 + (s 2 s)x 2 + ( s 2 + 1)X = 0 op over deze F 27. Oefening 5.35. Los de kwadratische vergelijking x 2 + α 2 x + α 4 = 0 op over F 16, het eindig veld waarvan een Zech-log-tabel gegeven wordt door i θ(i) i θ(i) 0 5 10 1 4 6 13 2 8 7 9 3 14 11 12 Oefening 5.36. Toon aan dat f(x) = x 3 x + 1 een irreducibel polynoom is over F 3. Construeer met dit polynoom het eindig veld F 27 in de variabele s en stel de Zech-log-tabel op. Hoeveel veldelementen zijn primitieve elementen? Welke zijn deze? Los de derdegraadsvergelijking X 3 + (s 2 s)x 2 + ( s 2 + 1)X = 0 op over deze F 27. 5.7.2 Primitieve elementen Oefening 5.37. Hoeveel primitieve elementen heeft een eindig veld van orde 64? Oefening 5.38. Zoek de primitieve elementen van Z/41Z. Oefeningen Relaties en Structuren, Eindige velden 44
Oefening 5.39. Vergelijk de ringen Z/16Z en F 16. Beantwoord daarvoor voor beide: a. Hoe ziet de additieve groep van beide eruit? b. Hoeveel elementen heeft de multiplicatieve groep (of meer correct, de multiplicatieve groep van inverteerbare elementen)? c. Hoeveel primitieve elementen zijn er? d. Lijst alle inverteerbare elementen met hun ordes op. 5.7.3 Doordenkers in eindige velden Oefening 5.40. Bewijs dat alle elementen van F 2 11 derdemachten zijn. Oefening 5.41 (Examen 2012). Bewijs: als ggd(k, q 1) = 1, dan is elk element in F q een k-de macht. Oefening 5.42. a. Welk irreducibel polynoom met coëfficiënten in F 2 heeft precies alle elementen van orde drie van F 16 als nulpunten? b. Welk irreducibel polynoom met coëfficiënten in F 2 heeft precies alle elementen van orde vijf van F 16 als nulpunten? c. Welk irreducibel polynoom met coëfficiënten in F p heeft precies alle elementen van orde d van F p h als nulpunten, waarbij d een deler is van p h 1? Oefening 5.43. Welke polynoom is een deler van x 15 1 en heeft precies alle primitieve elementen van F 16 als nulpunt? Oefening 5.44. a. Hoeveel koppels (a, b) F 8 F 8 zijn er met a 2 b 2 = 1? b. Hoeveel koppels (a, b) F 9 F 9 zijn er met a 2 b 2 = 1? c. Hoeveel koppels (a, b) F 16 F 16 zijn er met a 2 + b 3 = 1? Oefening 5.45. Bewijs dat x 16 + x 4 + x + 1 precies 16 verschillende wortels heeft over F 64. Hint: beschouw de afbeelding f : F 64 F 64, x x 16 + x 4 + x + 1 en vooral diens beeld. Oefening 5.46. Noem α een primitief element van F 9, en noem f(x) een irreducibele veelterm van Z/3Z[x] zodanig dat f(α 2 ) = 0. Bepaal f(x). Oefeningen Relaties en Structuren, Eindige velden 45