Hoofdstuk 23 Electrische Potentiaal
Elektrische flux Een cilinder van een niet-geleidend materiaal wordt in een elektrisch veld gezet als geschetst. De totale elektrische flux door het oppervlak van de cilinder is: a) positief b) negatief c) gelijk 0 Denk aan: - Q encl = 0; - Dus Flux Φ = 0 (d.w.z. som van ingaande en uitgaande flux)
Wet van Gauss In welk van de volgende gevallen kan een gaussisch oppervlak in de vorm van een rechthoekige doos gebruikt worden om het elektrische veld van een ladingsverdeling te bepalen? Voor een ladingsverdeling met: a) bolsymmetrie. b) cilindrische symmetrie. c) vlakke symmetrie. d) rotatie symmetrie. e) meer dan een van de bovengenoemde symmetrieën. f) Een dergelijke gauss-oppervlak kan nooit worden gebruikt om het veld te bepalen. Antw: elk oppervlak kan gekozen worden maar het is de vraag welke handig is
Electrostatische Potentiele Energie en Potentiaalverschil De elektrostatische kracht is conservatief potentiele energie kan worden gedefineerd. Verandering in elektrische potentiele energie is de negatieve van de arbeid verricht door de electrische kracht: Arbeid verricht: Pad? Kinetische energie?
Electrostatische Potentiele Energie en Potentiaalverschil Electrische potentiaal is gedefineerd als potentiele energie per eenheidslading : Eenheid van electrische potentiaal: de volt (V): 1 V = 1 J/C.
Electrostatisch Veld, Potentiele Energie en Potentiaalverschil Energie / kracht Potentiaal / E-veld Negatief teken: Potentiele energie = - Arbeid verricht door kracht [8-4] Potentiaal veld Electrisch veld Scalarveld Vectorveld Alleen veranderingen in potentiaal kunnen worden gemeten, V = 0 kan vrij worden gekozen:
Electrostatische Potentiele Energie en Potentiaalverschil Analogie tussen gravitationele en electrische potentiele energie:
Relatie tussen Electrische Potentiaal en Electrisch Veld Voorbeeld 23-3: Electrisch veld uit voltage. Twee parallele platen zijn geladen en produceren een potentiaal-verschil van 50 V. Als de afstand tussen de platen 0.050 m is, bereken de grootte van het electrische veld in de ruimte tussen de platen. b
Relatie tussen Electrische Potentiaal Voorbeeld 23-4: Geladen geleidende bol. Bepaal de potentiaal op een afstand r van het centrum van een uniform geladen geleidende bol met straal r 0 voor: (a) r > r 0, (b) r = r 0, (c) r < r 0. De totale lading op de bol is Q. en Electrisch Veld
Relatie tussen Electrische Potentiaal Voorbeeld 23-4: Geladen geleidende bol. Veld buiten geleider r>r 0? en Electrisch Veld Kies: V(r= )=0 op V b, dus voor alle punten a:
Relatie tussen Electrische Potentiaal Voorbeeld 23-4: Geladen geleidende bol. en Electrisch Veld Op de bol: r=r 0 Binnen de bol: r<r 0 Binnen bol geldt: E= 0 Dus ook: Dus de veldintegraal = 0
Relatie tussen Electrische Potentiaal en Electrisch Veld Het vorige voorbeeld gaf de electrische potentiaal als functie van de afstand tot het oppervlak van een geladen geleidende bol, deze wordt hier geplot en vergeleken met het electrische veld. Kijk naar afgeleide:
Electrische Potentiaal tgv Puntladingen Om de electrische potentiaal tgv een puntlading te bepalen, integreren we het veld langs een veldlijn:
Electrische Potentiaal tgv Puntladingen Als we de potentiaal op nul zetten op r = volgt de algemene vorm voor de potentiaal tgv een puntlading: [Probleem als r=0: QED]
Electrische Potentiaal tgv Puntladingen Voorbeeld 23-7: Potentiaal boven twee ladingen. Bereken de electrische potentiaal (a) op een punt A in het figuur tgv de twee ladingen, en (b) op punt B. Grote voordeel: Potentiaal is scalaire grootheid
Potentiaal tgv willekeurige Ladingsverdeling De potentiaal tgv willekeurige ladingsverdeling kan uitgedrukt worden als een som of een integraal (als de verdeling continu is): of Herbereken nu (direct) Dus: Potentiaal te berekenen : 1) Uit electrische veld 2) Direct uit ladingsverdeling Potentiaal van ring [23-8] Potentiaal van plaat [23-9]
Potentiaal tgv ring De berekening is simpeler dan voor E-veld, want potentiaal heeft geen richting (is geen vector)
Potentiaal tgv plaat Bekijk eerst (weer) ladingsverdeling op de plaat; dq stroom op ring: 0 Nu dus integreren over variabele R 0 R=R 0 0 R=0 0 0
Potentiaal tgv plaat 0 0 Benadering: op grote afstand van een kleine plaat: x>>r 0 0 0 Taylor 0 0 0 Dus: De formule van een puntlading
Equipotentiaal Oppervlakken Een equipotentiaal is een lijn of oppervlak waarover de potentiaal constant is. Electrische veldlijnen staan loodrecht op equipotentialen. [Waarom?] Als V=0 dan: E=0 ofwel dl=0 ofwel cosθ=90 o Dus E staat loodrecht op equipotentiaal
Equipotentiaal Oppervlakken Een equipotentiaal is een lijn of oppervlak waarover de potentiaal constant is. Het oppervlak van een geleider is een equipotentiaal. [Waarom?] E staat loodrecht op oppervlak van geleider (anders zou lading gaan stromen). Langs oppervlak
Equipotentiaal Oppervlakken Voorbeeld 23-10: Puntlading equipotentiaal oppervlakken. Voor een puntlading met Q = 4.0 10-9 C, schets de equipotentiaaloppervlakken corresponderend met V 1 = 10 V, V 2 = 20 V, V 3 = 30 V.
Equipotentiaal Oppervlakken Equipotentiaal oppervlakken staan altijd loodrecht op de veldlijnen; zijn continue en eindigen nooit (in tegenstelling tot veldlijnen, die beginnen en eindigen op ladingen).
Equipotentiaal Oppervlakken Analogie met topographische kaart de lijnen verbinden punten van gelijke gravitationele potentiaal (hoogte).
Electrische Dipool Potentiaal De potentiaal tgv een electrische dipool is de som van de potentialen tgv elke lading, en kan exact worden uitgerekend. Voor afstanden groot vergeleken met de gescheiden lading. Neem (weer) : V( )=0
Electrische Dipool Potentiaal Op grote afstand: Dus valt weg in noemer En: Nu: meer informatie, ook Hoekafhankelijkheid uitgerekend
uur E bepaald uit V Als we het veld kennen, kunen we de potentiaal bepalen door te integreren. Als we dit proces omkeren, als we de potentiaal kennen, kunnen we het veld vinden door te differentieren: Dit is een vectoriele differentiaal vergelijking; hier in componenten: Ook in vectornotatie: gradient
Electrische veld en Potentiaal E-veld is afgeleide van potentiaal Potentiaal is integraal van E-veld Probleem: afgeleide en integraal behorend bij Coordinatensyteem
tentamenopgave Niet-uniforme ladingsverdelingen Stel dat we een massieve geleidende bol hebben (A) met straal R A, en heel ver weg hebben we een andere massieve geleidende bol B met straal R B. De twee zijn verbonden met een geleidende draad. Geleider B is veel groter dan geleider A (R B = 5xR A ). Stel op bol A wordt lading aangebracht, zodat die een lading Q A krijgt, en bol B een lading Q B krijgt. a. Wat is de potentiaal van A (bedenk dat B ver weg is) en wat is de potentiaal van B? b. Wat is het gevolg van de verbindende geleidende draad? Geef een uitdrukking voor de onderlinge ladingsverdeling. c. Bepaal de verhouding van de oppervlakte-ladingsdichtheid van bol A en bol B, wat is je conclusie? d. Op welke bol is het elektrische veld het hoogst, licht je antwoord toe. e. Hoe zou je een bliksemafleider ontwerpen?
Niet-uniforme ladingsverdelingen tentamenopgave Stel dat we een massieve geleidende bol hebben (A) met straal R A, en heel ver weg hebben we een andere massieve geleidende bol B met straal R B. De twee zijn verbonden met een geleidende draad. Geleider B is veel groter dan geleider A (R B = 5xR A ). Stel op bol A wordt lading aangebracht, zodat die een lading Q A krijgt, en bol B een lading Q B krijgt. Wat is gevolg van geleidende draad? A B Dus:
tentamenopgave Niet-uniforme ladingsverdelingen c. Bepaal de verhouding van de oppervlakte-ladingsdichtheid van bol A en bol B, wat is je conclusie? Op bal A 5 keer minder lading, Op 25 x kleiner oppervlak, dus: A B
tentamenopgave Niet-uniforme ladingsverdelingen d. Op welke bol is het elektrische veld het hoogst, licht je antwoord toe. Truc: neem een klein cylinderdoosje (rood) Met oppervlak O opp en reken flux uit Wet van Gauss (het mag ook met volledig boloppervlak) A B met Dus E op bol A is het grootst!
Niet-uniforme ladingsverdelingen tentamenopgave e. Hoe zou je een bliksemafleider ontwerpen? Bliksem is electrische ontlading (doorslag), gebeurt bij E-veld van : 3 x 10 6 V/m Aan oppervlak, dus r=r 0 A B Een zo n klein mogelijk bolletje ergens aan vasthangen; daar vindt doorslag plaats
Electrostatische Potentiele Energie; de Electron Volt De potentiele energie van een lading in een electrische potentiaal is U = qv. Om de electrische potentiele energie van twee ladingen te bepalen, stel je voor dat je ze bij elkaar brengt van oneindig ver weg. De eerste vereist geen arbeid, want er is geen veld. Om de tweede te halen, moet er arbeid verricht worden tgv het veld van de eerste lading; dus is de potentiele energie van het paar:
Electrostatische Potentiele Energie; de Electron Volt Een electron volt (ev) is de energie gewonnen door een elektron als het beweegt door een potentiaalverschil van 1 volt: 1 ev = 1.6 10-19 J. De electron volt is vaak een handiger eenheid om de energie te meten van individuele deeltjes dan de joule.
Kathodebuizen: TV en Computer Monitors, Oscilloscoop Een kathodebuis bevat een kathodedraad die als hij verhit wordt elektronen uitzendt. Een hoog spanningsverschil zorgt ervoor dat de elektronen naar de anode gaan.
Kathodebuizen: TV en Computer Monitors, Oscilloscoop De elektronen kunnen gestuurd worden met electrische of magneetvelden.
Kathodebuizen: TV en Computer Monitors, Oscilloscoop Televisies en computer monitors (behalve LCD en plasma models) hebben een grote Kathodebuis als scherm. Variaties in het veld sturen de electronen op hun weg naar het scherm.