Computermeetkundepakket GeoGebra zesde jaar

Transcriptie

1 Computermeetkundepakket GeoGebra zesde jaar G

2 CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid. Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beïnvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. De morele rechten van de auteur. De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpagina Tekstzetsysteem: L A TEX Royalty percentage: 0% c 2016 Koen De Naeghel Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 Druk 12 september 2016

3 INLEIDING Onze maatschappij evolueert naar een informatie- en kennismaatschappij: de hoeveelheid informatie neemt exponentieel toe, maar de wijze waarop informatie beschikbaar is verandert ook. Deze maatschappelijke ontwikkeling vereist dat leerlingen straks voorbereid moeten zijn op de nieuwe manier van informatie verwerken via de informatie- en communicatietechnologie (kortweg ICT), onder andere om een plaats te verwerven op de arbeidsmarkt. De maatschappelijke verandering is niet alleen afkomstig vanuit economische beweegredenen, ook de informatieverwerking van jongeren verandert: zij kunnen tegenwoordig veel meer informatie opnemen dan vroeger en maken zelf uit wat ze lezen en waar ze naar kijken. Het onderwijs moet zich aanpassen op de leefwereld van de jongeren, hierbij speelt ICT een grote rol. Ten slotte mondt de bovenstaande economische en sociale evolutie uit in een onderwijskundige verandering. De nadruk komt binnen het onderwijs steeds meer te liggen op leren leren: het leren omgaan met informatie en informatiebronnen. Fundamenteel is dat omgaan met niet begrepen wordt als het slaafs opvolgen van commando s. Men dient tijdens dit proces ook inzicht te verwerven in informatieverzameling maar ook computertoepassingen zoals rekenwerk, grafische mogelijkheden, dataverwerking, onderzoeksopdrachten enzovoort. Waarom GeoGebra? Tijdens de lessen wiskunde maak je geregeld gebruik van de grafische rekenmachine TI-84 Plus. In al zijn eenvoud is dit ICT-middel dan ook vrij beperkt, denk bij het plotten van grafieken van functies maar aan het zoeken van geschikte vensterinstellingen en het interpreteren van een grafiek die afgebroken wordt. Daarom willen we je ook kennis laten maken met een meer geavanceerd computermeetkundepakket. GeoGebra 1 is interactieve en dynamische software voor meetkunde, en is erg populair in het middelbaar onderwijs. Met GeoGebra kun je meetkundige figuren maken door middel van een algebraïsch voorschrift of met behulp van constructiestappen. Het dynamisch aspect van GeoGebra laat leerlingen toe om eigenschappen beter te begrijpen. Ook in de meest recente doelstellingen vanuit het ministerie van onderwijs onderstreept men het belang van ICT-gebruik. Zo vermeldt het leerplan voor de derde graad ASO voor studierichtingen met zes of acht wekelijkse lestijden wiskunde het gebruik van ICT als een algemene eindterm, en moedigt men een kennismaking met een computermeetkundepakket (los van de grafische rekenmachine) aan. Het symbool van GeoGebra verwijst naar de stelling dat elke kegelsnede (zoals een ellips) volledig bepaald is door vijf punten. Wat wordt er van je verwacht? Lessen GeoGebra vinden plaats in een computerklas (wordt vooraf aangekondigd). 1. Samenwerken Je neemt per twee plaats achter een computer. Je meldt je aan met gebruikersnaam en paswoord (van jou of van degene met wie je samenwerkt). Daarna open je het programma GeoGebra. 2. Zelfstudie Jullie doorlopen de blaadjes van de GeoGebra les. De uitleg in de tekst moet volstaan om de leerstof te begrijpen. Het is aangeraden om de voorbeelden uit de tekst ook effectief uit te voeren met GeoGebra. 3. Oefeningen maken Bij elke GeoGebra les hoort een invultaak die jullie samen maken met behulp van Geo- Gebra. Noteer ook jullie namen. 4. Zelfevaluatie Nadien krijgen jullie de oplossingen van de taak mee naar huis. Als de tijd dat toelaat dan kunnen jullie tijdens de les zelf de taak verbeteren. Gebruik daarvoor een groene pen. Op basis daarvan geven jullie jezelf een eindcijfer op tien. De invultaak wordt ingediend op het einde van de les. De oplossingen die je van de leerkracht krijgt, voeg je dan bij deze bundel. 1 Het computermeetkundepakket GeoGebra werd in 2001 ontworpen door Markus Hohenwarter aan de University of Salzburg. De officiële website van GeoGebra is G-i

4 GEOGEBRA LES 1 AFGELEIDEN - HET BEGRIP AFGELEIDE 1.1 GeoGebra openen (herhaling) Open met behulp van de snelkoppeling het programma GeoGebra 1. Je verkrijgt de linkerfiguur. Onder de werkbalk, die voorzien is van knoppen, is het scherm verdeeld in drie velden zoals aangeduid op de rechterfiguur: 1 de commando s worden ingegeven in het invoerveld, dat zich naast het icoon bevindt; 2 het tekenvenster toont de meetkundige voorstellingen (punten, grafieken, hoeken, etc.); 3 de objecten worden bijgehouden in het algebravenster. 1.2 De grafiek van een functie plotten (herhaling) I-27 In deze paragraaf leer je met GeoGebra de grafiek van een functie grafisch kan tekenen (plotten) en hoe je kan inzoomen. Voorbeeld. Plot met GeoGebra de grafiek van de tweedegraadsfunctie f(x) = 0, 4 x 2 + 4x 8. Oplossing. In het invoerveld tikken we f(x) = 0.4 x 2+4x-8 (zie linkerfiguur) gevolgd door Enter. In het tekenvenster verschijnt de grafiek van de functie, voorschrift wordt toegevoegd aan algebravenster (rechterfiguur). 1 Indien GeoGebra nog niet op de computer geïnstalleerd is, open dan een internetbrower en ga naar G-1

5 We kunnen in- en uitzoomen door met de muis op het tekenvenster te staan en te scrollen met het wieltje aan de computermuis. In- en uitzoomen kan ook door met de rechtermuisknop op het tekenvenster te klikken (niet op de assen of de grafiek) en met Zoom de zoomfactor in te stellen (zie linkerfiguur). Het tekenvenster verplaatsen kan door eerst op de knop bovenaan te klikken. Nu kun je met de muis het tekenvenster verslepen. Je kan ook handmatig waarden ingeven voor xmin, xmax, ymin en ymax door met de rechtermuisknop op het tekenvenster te klikken (niet op de assen of de grafiek) en te kiezen voor Tekenvenster. Je vindt het tabblad op de rechterfiguur. Met dat tabblad kun je er meteen voor zorgen dat de x-as en de y-as benoemd zijn. Kies bovenaan voor xas en kies bij label voor x (zie linkerfiguur). Analoog benoem je ook de y-as met y. Sluit nadien het tabblad. De ijk op de x-as en de y-as kent een standaardverhouding van 1 : 1. Die kun je wijzigen door met de rechtermuisknop op het tekenvenster te klikken (niet op de assen of de grafiek) en met xas:yas een andere verhouding te kiezen. Een alternatief is om eerst op de knop te klikken (Tekenvenster verplaatsen) en daarna de muis op de x-as of de y-as te brengen zodat het symbool verschijnt. Dan kun je die as handmatig uitrekken of induwen. We willen de grafiek wat vetter maken en kleuren. Die eigenschappen kunnen we als volgt wijzigen. Klik eerst op de aanwijsknop links bovenaan. Daarna klik je met de rechtermuisknop op het object (grafiek) in het tekenvenster en kies voor Eigenschappen (zie linkerfiguur). Met Kleur en Stijl kun je tekening van de grafiek wijzigen, zet de Lijndikte op 4 (zie rechterfiguur). Sluit daarna het tabblad. G-2

6 1.3 Kenmerken van een functie (herhaling) Met de functie onderzoeker kunnen enkele eigenschappen van een functie weergegeven worden in een afzonderlijk venster. We leggen dit uit aan de hand van een voorbeeld. Voorbeeld (vervolg). Bepaal met GeoGebra de tabel stijgen/dalen van de functie f(x) = 0, 4 x 2 + 4x 8. Oplossing. Na het plotten van de grafiek van f ga je met de muis naar de knop Tekst invoegen bovenaan en klik je op het rode pijltje links onderaan die knop. Daarmee open je een menu. Kies nu de laatste optie Functie onderzoeker (linkerfiguur). Daarna klik je met de muis op de grafiek van de functie f. Daarmee open je een venster waarin je enkele kenmerken van de grafiek van f kan aflezen (rechterfiguur). Om de tabel stijgen/dalen te bepalen, heb je de x-waarden nodig waar de grafiek van f een extremum (maximum of minimum) bereikt. De grafiek heeft duidelijk één minimum. Om die x-waarde te vinden, sleep je het rode punt aan de rechterkant van de grafiek naar rechts, tot het minimum binnen het aangeduide rode gebied valt. Je zal merken dat de waarden in het venster van de Functie onderzoeker veranderen. Op die manier kun je de coördinaat van de top bepalen (linkerfiguur). Zo vinden we de tabel stijgen/dalen van de functie f. x 5 f(x) min Merk op dat de tabel van de Functie onderzoeker ook de nulwaarden in het rode gebied weergeeft. Een tabel van functiewaarden vind je door eerst te kiezen voor Punten en daarna te klikken op de knop Toon tabel met functiewaarden (rechterfiguur). Je kan opnieuw het rode punt op de grafiek van f verslepen. Nadien kun je het venster gewoon afsluiten. G-3

7 1.4 Raaklijn in een punt aan de grafiek van een functie plotten Hieronder laten we zien hoe je de raaklijn in een punt aan de grafiek van een functie kan plotten. VIII-2 Voorbeeld. Gegeven is de functie f(x) = (x 4) (a) Plot met GeoGebra de raaklijn t in het punt A(3, ) aan de grafiek van f. (b) Lees uit deze plot de vergelijking van die raaklijn t af. Oplossing. Na het plotten van de grafiek van f tik je in het invoerveld (3,f(3)), zie linkerfiguur. Daarmee maak je het punt A op de grafiek van f aan. Daarna ga je met de muis naar het icoon Loodlijn bovenaan en klik je op het rode pijltje rechts onderaan die knop. Daarmee open je een menu. Kies nu de optie Raaklijnen. Vervolgens klik je eerst op het punt A, daarna op de grafiek van f. GeoGebra plot nu de raaklijn in A aan de grafiek van f. De vergelijking van de raaklijn kun je aflezen in het algebravenster (rechterfiguur). 1.5 De afgeleide van een functie berekenen GeoGebra bevat heel wat voorgeprogrammeerde commando s. Tik je bijvoorbeeld Delerslijst(38) in het invoerveld, dan berekent GeoGebra de positieve gehele delers van het getal 38 (probeer dit). Het is uiteraard niet de bedoeling om al deze commando s uit het hoofd te leren. Wel moet je in staat zijn om een commando op te zoeken, zoals bijvoorbeeld het commando voor het berekenen van de afgeleide van een functie. Hieronder laten we zien hoe je zo n commando kan vinden. VIII-9 Voorbeeld. Gegeven is de functie f(x) = 2x 2 + 6x. Bepaal met GeoGebra de afgeleide functie f (x). Oplossing. We plotten weerom eerst de grafiek van de functie f. Daarna klikken we op het icoon Invoerhulp rechts onderaan (naast de invoerlijn). Het commando voor de afgeleide vinden we onder Functies en analyse, zie linkerfiguur. Duid het commando Afgeleide aan en klik daarna op Plakken. Daarmee kopieer je het commando naar het invoerveld. Het menu geeft aan dat we binnen de vierkante haakjes de functie moeten oproepen. We schrijven dus: Afgeleide[f(x)]. GeoGebra plot nu de afgeleide functie van f en in het algebravenster kun je het voorschrift van f gewoon aflezen (rechterfiguur). Sluit daarna de Invoerhulp door nogmaals op het icoon rechts onderaan te klikken. G-4

8 Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek TAAK Wiskunde Leerkracht: Namen : Voornamen : Klas : Richting : Klasnrs. : Datum:... /... / Resultaat : GeoGebra Les 1 Afgeleiden - Het begrip afgeleide VIII-14 Oefening 1. Gegeven is de functie f(x) = x2 9 8 x. Plot met GeoGebra de grafiek van de functie f. Pas het tekenvenster aan zodat de grafiek samen met de assen duidelijk zichtbaar is. Noteer hieronder de dimensies: xmin :... xmax :... ymin :... ymax :... I-36 Oefening 2. Gegeven is de functie f(x) = 1 14 x x x x. Vul met behulp van GeoGebra de volgende kenmerken van de functie f aan. (a) De functie f heeft verschillende nulwaarden (vul een getal in). (b) De tekentabel van de functie f wordt gegeven door (op twee decimalen nauwkeurig): x f(x) (c) De tabel stijgen/dalen van de functie f wordt gegeven door (op vier decimalen nauwkeurig): x f(x) VIII-12 Oefening 3. Bereken telkens met GeoGebra de afgeleide functie. Bepaal daarna de afgeleide van f in de aangegeven x-waarde. (a) f(x) = x 2 f (x) =... f ( 2) =... (b) f(x) = x f (x) =... f (1) =... (c) f(x) = 1 x f (x) =... f (3) =... (d) f(x) = ln(x) f (x) =... f (2) =... (e) f(x) = 3 x f (x) =... f (0) =... ( (f) f(x) = sin x f (x) =... f π ) =... 2 G-5 Zie volgende bladzijde!

9 VIII-21 Oefening 4. Beschouw de functie f met als voorschrift (a) Vul aan: f (x) =... (b) Vul aan: f (x) =... (c) Vul aan: f (0, 3)... f(x) = 3x 4 8x 3 + 6x 2. (d) Is de grafiek van f hol, bol of geen van beide in x = 0, 3? Verklaar je antwoord aan de hand van het resultaat dat je in vraag (c) gevonden hebt. Antwoord en verklaring VIII Oefening 5. Beschouw de functie f met als voorschrift f(x) = x 4 6x Vul met behulp van GeoGebra de volgende kenmerken van de functie f aan. (a) De x-waarden waarvoor de grafiek van f (lokaal) minimaal is, zijn (b) De tabel hol/bol van de functie f wordt gegeven door: x f(x) VIII-40 (c) Het punt P (1, 3) noemen we een van de grafiek van f. Oefening 6. Bereken de volgende limiet met GeoGebra (zoek het commando op in de lijst Invoerhulp): VIII-35 Oefening 7. Gegeven zijn de functies lim x 3 2x x 3 f(x) = x en g(x) = 3 2x 2. Bewijs met GeoGebra dat de grafieken van de functies f en g elkaar loodrecht snijden. Redenering Oefening 8. Gegeven is de functie VIII-47 f(x) = x 3 + 3x 2. Los de volgende vragen op met behulp van GeoGebra. (a) Wat is de vergelijking van de rechterraaklijn in x = 3 aan de grafiek van f? Antwoord.... (b) Wat is de rico van de linkerraaklijn in x = 0 aan de grafiek van f? (op twee decimalen nauwkeurig) Antwoord.... G-6 Succes!