Computerrekenpakket Maple vierde jaar

Transcriptie

1 Computerrekenpakket Maple vierde jaar M

2 CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid. Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beïnvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. De morele rechten van de auteur. De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpagina Tekstzetsysteem: Royalty percentage: 0% c 2016 Koen De Naeghel Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 Druk 8 september 2016

3 INLEIDING Onze maatschappij evolueert naar een informatie- en kennismaatschappij: de hoeveelheid informatie neemt exponentieel toe, maar de wijze waarop informatie beschikbaar is verandert ook. Deze maatschappelijke ontwikkeling vereist dat leerlingen straks voorbereid moeten zijn op de nieuwe manier van informatie verwerken via de informatie- en communicatietechnologie (kortweg ICT), onder andere om een plaats te verwerven op de arbeidsmarkt. De maatschappelijke verandering is niet alleen afkomstig vanuit economische beweegredenen, ook de informatieverwerking van jongeren verandert: zij kunnen tegenwoordig veel meer informatie opnemen dan vroeger en maken zelf uit wat ze lezen en waar ze naar kijken. Het onderwijs moet zich aanpassen op de leefwereld van de jongeren en hierbij speelt ICT een grote rol. Ten slotte mondt de bovenstaande economische en sociale evolutie uit in een onderwijskundige verandering. De nadruk komt binnen het onderwijs steeds meer te liggen op leren leren: het leren omgaan met informatie en informatiebronnen. Fundamenteel is dat omgaan met niet begrepen wordt als het slaafs opvolgen van commando s. Men dient tijdens dit proces ook inzicht te verwerven in informatieverzameling maar ook computertoepassingen zoals rekenwerk, grafische mogelijkheden, dataverwerking, onderzoeksopdrachten enzovoort. Waarom Maple? Tijdens de lessen wiskunde maak je geregeld gebruik van de grafische rekenmachine TI-84 Plus CE. In al zijn eenvoud is dit ICT-middel dan ook vrij beperkt, denk maar aan het berekenen van grote machten van getallen, het oplossen van vergelijkingen en het werken met parameters. Daarom willen we je ook kennis laten maken met een meer geavanceerd computerrekenpakket. Maple 1 is een van de krachtigste computeralgebrasystemen en wordt gebruikt aan tal van universiteiten en hogescholen. Het feit dat je hiermee kennis maakt tijdens je middelbaar is dan ook een meerwaarde voor de aanvang van hogere studies. Ook in de recentste leerplannen vanuit het ministerie van onderwijs onderstreept men het belang van ICT-gebruik. Zo vermeldt het leerplan voor de tweede graad ASO voor studierichtingen met vier of vijf wekelijkse lestijden wiskunde als eindtermen het ontwikkelen van rekenvaardigheid door het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het uitvoeren van berekeningen, denk- en redeneervaardigheden door het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het opbouwen van een redenering en probleemoplossende vaardigheden zoals ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken. Wat wordt er van je verwacht? De naam Maple komt van de Engelse term voor esdoorn(blad), het nationaal symbool van Canada. Lessen Maple vinden plaats in een computerklas (wordt vooraf aangekondigd). 1. Samenwerken Je neemt per twee plaats achter een computer. Je meldt je aan met gebruikersnaam en paswoord (van jou of van degene met wie je samenwerkt). Daarna open je het programma Maple Zelfstudie Jullie doorlopen de blaadjes van de Maple les. De uitleg in de tekst moet volstaan om de leerstof te begrijpen. Het is aangeraden om de voorbeelden uit de tekst ook uit effectief te voeren met Maple. 3. Oefeningen maken Bij elke Maple les is er een invultaak die jullie samen maken met behulp van Maple. Noteer ook jullie namen. 4. Zelfevaluatie Nadien krijgen jullie de oplossingen van de taak mee naar huis. Als de tijd dat toelaat dan kunnen jullie tijdens de les de taak zelf verbeteren. Gebruik daarvoor een groene pen. Op basis daarvan geven jullie jezelf een eindcijfer op tien. De invultaak wordt ingediend op het einde van de les. De oplossingen die je van de leerkracht krijgt, voeg je dan bij deze bundel. 1 Het computerrekenpakket Maple werd in 1980 ontworpen aan de University of Waterloo, Canada. De officiele website van Maple is M-i

4 MAPLE LES 1 TWEEDEGRAADSFUNCTIES - OPLOSSEN VAN VERGELIJKINGEN 1.1 Maple openen Open het programma Maple 8 via het pad C: Program Files Maple 8 bin.win maplew8.exe 1.2 Bewerkingen invoeren Voorbeeld 1. Bereken de uitdrukking met Maple. 8 Oplossing. We voeren de volgende commando uit: > 1/4-3/8 > Warning, premature end of input De waarschuwing komt er omdat elk commando moet eindigen met een puntkomma ; zodat Maple weet dat het commando daar eindigt. > 1/4-3/8; 1 8 Maple geeft een antwoord altijd zo exact mogelijk weer. Als je een decimaal getal wenst als antwoord, gebruik je het commando evalf, wat staat voor evaluate floating. > evalf(1/4-3/8); Meer of minder beduidende cijfers > evalf(1/4-3/8,2); kan als volgt: 0.12 Merk op dat Maple het decimaal getal 0, 125 afrondt tot 0, 12, terwijl 0, 126 wordt afgerond tot 0, 13. Voorbeeld 2. Bereken de uitdrukking met Maple. Oplossing. Omdat het antwoord een geheel getal is, moeten we hier geen gebruik maken van het commando evalf. De vermenigvuldiging voer je in met de asterisk (sterretje). > 2016*2017; M-1

5 Voorbeeld 3. Wat is het laatste cijfer (eenheden) van ? Oplossing. De grafische rekenmachine geeft bij deze bewerking de respons overflow omdat het getal meer dan 99 cijfers telt. Maar Maple heeft geen moeite om hier mee om te gaan. Voer zelf maar het volgende commando uit. Om wat plaats te sparen hebben we hieronder enkel de eerste cijfers van de output afgedrukt. Door het commando met Maple uit te voeren, kun je het laatste cijfer gewoon aflezen. > 2016^2017; \ 1.3 Vereenvoudigen, ontbinden in factoren, uitwerken p.33 Voorbeeld 1. Vereenvoudig met Maple zoveel mogelijk de uitdrukking 2x 2 4x Oplossing. Vereenvoudigen kan met het commando simplify. > simplify((2*x^2-4*x+1)/3-1/2*(x^2-3)); 1 2 (x2 3). 1 6 x2 4 3 x p.46 Voorbeeld 2. Ontbind met Maple x 2 2 x 4 in lineaire factoren over R. oef. 21(k) Oplossing. Ontbinden in factoren doet Maple met factor. De positieve vierkantswortel geef je in met sqrt, dat staat voor square root, de Engelse term voor vierkantswortel. > factor(x^2-sqrt(2)*x-4); (x + 2) (x 2 2) Zo herkent Maple ook de merkwaardige producten, alsook tweedegraadsveeltermen die niet kunnen ontbonden worden in lineaire factoren over R. > factor(a^2+2*a*b+b^2); > factor(x^2+x+1); (a + b) 2 x 2 + x + 1 Voorbeeld 3. Werk uit met Maple: (x 1) 3 (3x 1) 2. Oplossing. Uitwerken gebeurt met het commando expand. > expand((x-1)^3*(3*x-1)^2); 1.4 Vergelijkingen oplossen 9 x 5 33 x x 3 30 x x 1 H1 1.3 Voorbeeld 1. Bepaal met Maple telkens de (reële) oplossingsverzameling van de vergelijking. (a) 3x 2 = 0 (b) 8x 2 72 = 0 (c) 8x = 0 Oplossing. Een vergelijking oplossen doe je met het commando solve. Daarbij moet je twee argumenten ingeven. Het eerste argument is de vergelijking. Het tweede argument is de letter die je zoekt (meestal is dat x). > solve(-3*x^2=0,x); 0, 0 De oplossingsverzameling is dus V = {0}. Maple geeft de waarde 0 tweemaal weer om erop te duiden dat het om twee samenvallende oplossingen gaat (ga maar na dat de discriminant van de tweedegraadsvergelijking gelijk is aan nul). Op dezelfde manier berekenen we de oplossingverzameling van de tweede vergelijking (als je de = 0 niet schrijft dan zal Maple die er automatisch bijdenken) > solve(8*x^2-72=0,x); 3, 3 M-2

6 p.44 oef.7(h) zodat V = {3, 3}. Merk op dat Maple de oplossingen niet noodzakelijk van klein naar groot weergeeft. Bij de derde vergelijking zien we op het zicht dat er geen oplossingen zijn, omdat x 2 = 9 geen (reële) oplossingen heeft. Toch geeft Maple een output weer: > solve(8*x^2+72=0,x); 3I, 3I Het symbool I staat voor een getal dat niet reëel is (een zogenaamd complex getal, daar kun je in de derde graad kennis mee maken). Bij de output staan echter geen getallen zonder een I. Zo weet je dat er geen reële oplossingen zijn, zodat V =. Voorbeeld 2. Bepaal met Maple de oplossingen van de vergelijking x 2 + x Oplossing. We gebuiken opnieuw het commando solve. > solve((x^2+x+x)/2-(x^2-2)/4=3,x); x , 2 14 Merk op dat Maple de exacte waarden van de oplossingen weergeeft. Wil je toch een decimale voorstelling, dan voeg je de optie evalf toe. = 3. > evalf(solve((x^2+x+x)/2-(x^2-2)/4=3,x)); , We konden ook anders te werk gaan door de laatste output in het geheugen op te roepen. Dat kan met het procentteken %. Eigenlijk is dat het analogon van de 2ND ANS van je grafische rekenmachine. > solve((x^2+x+x)/2-(x^2-2)/4=3,x); > evalf(%) , , H1 1.4 Voorbeeld 3. Los op met Maple voor elke k R en noteer in een besluit de oplossingsverzameling naargelang de waarde van k. kx = 5x Oplossing. Een groot voordeel van Maple is dat het kan rekenen met letters. Maar de gebruiker moet wel erg aandachtig zijn, want de output van Maple moet nadien nog geïnterpreteerd worden! Zo vinden we in dit geval > solve(k*x=5*x^2+1,x); k 10 + k2 20, k k zodat we geneigd zijn om te denken dat de vergelijking altijd twee oplossingen heeft. Maar wees kritisch! In de output komt k 2 20 voor onder het wortelteken. Maar als k 2 20 negatief is (bijvoorbeeld voor k = 3) dan bestaat de positieve vierkantswortel van k 2 20 niet, en dan bestaat dus ook de output niet in R. En inderdaad, berekenen we met Maple de discriminant (commando discrim) dan verkrijgen we precies die k > discrim(-5*x^2+k*x-1,x); k 2 20 Door op deze manier de output te interpreteren, kunnen we nu toch een correct eindantwoord formuleren: als k 2 20 < 0 dan is V =, { als k 2 k + k 20 0 dan is V = 2 20, k } k Als k 2 = 20 dan zijn de twee oplossingen van de vergelijking samenvallend. Dat kun je snel controleren door in de vergelijking eerst k te vervangen door 20 of 20 (het commando subs staat voor substitute, de Engelse term voor substitutie) om ze daarna pas op te lossen. > subs(k=sqrt(20),k*x = 5*x^2+1); > solve(%,x); 2 5 x = 5x , 5 M-3

7 Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek TAAK Wiskunde Leerkracht: Namen : Voornamen : Klas : Richting : Klasnrs. : Datum:... /... / Resultaat : Maple Les 1 Tweedegraadsfuncties - Oplossen van vergelijkingen Oefening 1. Bereken met Maple 2 met 5 beduidende cijfers. Hoeveel cijfers na de komma staan er? Antwoord. 2 met 5 beduidende cijfers is en het aantal cijfers na de komma is Oefening 2. Bepaal de periode in de decimale schrijfwijze van. Komen ook de cijfers die voor de periode staan je bekend voor? Antwoord. De periode is gelijk aan en de cijfers voor de periode verwijzen naar... -dag. Oefening 3. Ontbind telkens met Maple in lineaire factoren over R. H1 1.5 (a) 2, 1 x 2 7, 14 x + 6, 069 = (b) 8q 2 3q = (c) 3x 2 + x + 1 = p.37 Oefening 4. Bepaal met Maple de oplossingsverzamelingen van de volgende vergelijkingen. (a) 40x = 25x x + 9 (b) (2t + 3) 2 (t 1)(t + 1) = (4t + 2) (c) 2016x x = 0 H1 1.6 (d) (x 2 + x 4) 2 10x 2 10x + 56 = 0 Oefening 5. Bepaal met Maple de (reële) oplossingsverzameling van de volgende vergelijking. Hierbij stelt de letter k een reëel getal voor (parameter). Noteer in je antwoord de oplossingsverzameling naargelang de waarde van de parameter k. x 2 + 2kx + k 2 k = 0 Antwoord Oefening 6. Voor welke waarde(n) van k R heeft de volgende vergelijking precies één (reële) oplossing? (k 2 3)x 2 + 2kx 16 = 0 Antwoord. De vergelijking heeft precies één oplossing voor k { Oefening 7. Ontbind 2x 2 + 8x k in lineaire factoren over R naargelang de waarde van de parameter k R. Antwoord M-4 }. Succes!