Computermeetkundepakket GeoGebra vijfde jaar

Transcriptie

1 Computermeetkundepakket GeoGebra vijfde jaar G

2 CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remien - afgeleide werken maken Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid. Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beïnvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. De morele rechten van de auteur. De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpagina Tekstzetsysteem: L A TEX Royalty percentage: 0% c 2016 Koen De Naeghel Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 Druk 29 september 2016

3 INLEIDING Onze maatschappij evolueert naar een informatie- en kennismaatschappij: de hoeveelheid informatie neemt eponentieel toe, maar de wijze waarop informatie beschikbaar is verandert ook. Deze maatschappelijke ontwikkeling vereist dat leerlingen straks voorbereid moeten zijn op de nieuwe manier van informatie verwerken via de informatie- en communicatietechnologie (kortweg ICT), onder andere om een plaats te verwerven op de arbeidsmarkt. De maatschappelijke verandering is niet alleen afkomstig vanuit economische beweegredenen, ook de informatieverwerking van jongeren verandert: zij kunnen tegenwoordig veel meer informatie opnemen dan vroeger en maken zelf uit wat ze lezen en waar ze naar kijken. Het onderwijs moet zich aanpassen op de leefwereld van de jongeren, hierbij speelt ICT een grote rol. Ten slotte mondt de bovenstaande economische en sociale evolutie uit in een onderwijskundige verandering. De nadruk komt binnen het onderwijs steeds meer te liggen op leren leren: het leren omgaan met informatie en informatiebronnen. Fundamenteel is dat omgaan met niet begrepen wordt als het slaafs opvolgen van commando s. Men dient tijdens dit proces ook inzicht te verwerven in informatieverzameling maar ook computertoepassingen zoals rekenwerk, grafische mogelijkheden, dataverwerking, onderzoeksopdrachten enzovoort. Waarom GeoGebra? Tijdens de lessen wiskunde maak je geregeld gebruik van de grafische rekenmachine TI-84 Plus. In al zijn eenvoud is dit ICT-middel dan ook vrij beperkt, denk bij het plotten van grafieken van functies maar aan het zoeken van geschikte vensterinstellingen en het interpreteren van een grafiek die afgebroken wordt. Daarom willen we je ook kennis laten maken met een meer geavanceerd computermeetkundepakket. GeoGebra 1 is interactieve en dynamische software voor meetkunde, en is erg populair in het middelbaar onderwijs. Met GeoGebra kun je meetkundige figuren maken door middel van een algebraïsch voorschrift of met behulp van constructiestappen. Het dynamisch aspect van GeoGebra laat leerlingen toe om eigenschappen beter te begrijpen. Ook in de meest recente doelstellingen vanuit het ministerie van onderwijs onderstreept men het belang van ICT-gebruik. Zo vermeldt het leerplan voor de derde graad ASO voor studierichtingen met zes of acht wekelijkse lestijden wiskunde het gebruik van ICT als een algemene eindterm, en moedigt men een kennismaking met een computermeetkundepakket (los van de grafische rekenmachine) aan. Het symbool van GeoGebra verwijst naar de stelling dat elke kegelsnede (zoals een ellips) volledig bepaald is door vijf punten. Wat wordt er van je verwacht? Lessen GeoGebra vinden plaats in een computerklas (wordt vooraf aangekondigd). 1. Samenwerken Je neemt per twee plaats achter een computer. Je meldt je aan met gebruikersnaam en paswoord (van jou of van degene met wie je samenwerkt). Daarna open je het programma GeoGebra. 2. Zelfstudie Jullie doorlopen de blaadjes van de GeoGebra les. De uitleg in de tekst moet volstaan om de leerstof te begrijpen. Het is aangeraden om de voorbeelden uit de tekst ook effectief uit te voeren met GeoGebra. 3. Oefeningen maken Bij elke GeoGebra les hoort een invultaak die jullie samen maken met behulp van Geo- Gebra. Noteer ook jullie namen. 4. Zelfevaluatie Nadien krijgen jullie de oplossingen van de taak mee naar huis. Als de tijd dat toelaat dan kunnen jullie tijdens de les zelf de taak verbeteren. Gebruik daarvoor een groene pen. Op basis daarvan geven jullie jezelf een eindcijfer op tien. De invultaak wordt ingediend op het einde van de les. De oplossingen die je van de leerkracht krijgt, voeg je dan bij deze bundel. 1 Het computermeetkundepakket GeoGebra werd in 2001 ontworpen door Markus Hohenwarter aan de University of Salzburg. De officiële website van GeoGebra is G-i

4 GEOGEBRA LES 1 PRECALCULUS 1 - VEELTERMFUNCTIES EN RATIONALE FUNCTIES 1.1 GeoGebra openen Open met behulp van de snelkoppeling het programma GeoGebra 1. Je verkrijgt de linkerfiguur. Onder de werkbalk, die voorzien is van knoppen, is het scherm verdeeld in drie velden zoals aangeduid op de rechterfiguur: 1 de commando s worden ingegeven in het invoerveld, dat zich naast het icoon bevindt; 2 het tekenvenster toont de meetkundige voorstellingen (punten, grafieken, hoeken, etc.); 3 de objecten worden bijgehouden in het algebravenster. 1.2 De grafiek van een functie plotten I-27 In deze paragraaf leer je met GeoGebra de grafiek van een functie grafisch kan tekenen (plotten) en hoe je kan inzoomen. Voorbeeld 1. Plot met GeoGebra de grafiek van de tweedegraadsfunctie f() = 0, Oplossing. In het invoerveld tikken we f() = (zie linkerfiguur) gevolgd door Enter. In het tekenvenster verschijnt de grafiek van de functie, voorschrift wordt toegevoegd aan algebravenster (rechterfiguur). 1 Indien GeoGebra nog niet op de computer geïnstalleerd is, open dan een internetbrower en ga naar G-1

5 We kunnen in- en uitzoomen door met de muis op het tekenvenster te staan en te scrollen met het wieltje aan de computermuis. In- en uitzoomen kan ook door met de rechtermuisknop op het tekenvenster te klikken (niet op de assen of de grafiek) en met Zoom de zoomfactor in te stellen (zie linkerfiguur). Het tekenvenster verplaatsen kan door eerst op de knop bovenaan te klikken. Nu kun je met de muis het tekenvenster verslepen. Je kan ook handmatig waarden ingeven voor Min, Ma, ymin en yma door met de rechtermuisknop op het tekenvenster te klikken (niet op de assen of de grafiek) en te kiezen voor Tekenvenster. Je vindt het tabblad op de rechterfiguur. Met dat tabblad kun je er meteen voor zorgen dat de -as en de y-as benoemd zijn. Kies bovenaan voor As en kies bij label voor (zie linkerfiguur). Analoog benoem je ook de y-as met y. Sluit nadien het tabblad. De ijk op de -as en de y-as kent een standaardverhouding van 1 : 1. Die kun je wijzigen door met de rechtermuisknop op het tekenvenster te klikken (niet op de assen of de grafiek) en met As:yAs een andere verhouding te kiezen. Een alternatief is om eerst op de knop te klikken (Tekenvenster verplaatsen) en daarna de muis op de -as of de y-as te brengen zodat het symbool verschijnt. Dan kun je die as handmatig uitrekken of induwen. We willen de grafiek wat vetter maken en kleuren. Die eigenschappen kunnen we als volgt wijzigen. Klik eerst op de aanwijsknop links bovenaan. Daarna klik je met de rechtermuisknop op het object (grafiek) in het tekenvenster en kies voor Eigenschappen (zie linkerfiguur). Met Kleur en Stijl kun je tekening van de grafiek wijzigen, zet de Lijndikte op 4 (zie rechterfiguur). Sluit daarna het tabblad. G-2

6 1.3 Kenmerken van een functie Met de functie onderzoeker kunnen enkele eigenschappen van een functie weergegeven worden in een afzonderlijk venster. We leggen dit uit aan de hand van een voorbeeld. Voorbeeld 1 (vervolg). Bepaal met GeoGebra de tabel stijgen/dalen van de functie f() = 0, Oplossing. Na het plotten van de grafiek van f ga je met de muis naar de knop Tekst invoegen bovenaan en klik je op het rode pijltje links onderaan die knop. Daarmee open je een menu. Kies nu de laatste optie Functie onderzoeker (linkerfiguur). Daarna klik je met de muis op de grafiek van de functie f. Daarmee open je een venster waarin je enkele kenmerken van de grafiek van f kan aflezen (rechterfiguur). Om de tabel stijgen/dalen te bepalen, heb je de -waarden nodig waar de grafiek van f een etremum (maimum of minimum) bereikt. De grafiek heeft duidelijk één minimum. Om die -waarde te vinden, sleep je het rode punt aan de rechterkant van de grafiek naar rechts, tot het minimum binnen het aangeduide rode gebied valt. Je zal merken dat de waarden in het venster van de Functie onderzoeker veranderen. Op die manier kun je de coördinaat van de top bepalen (linkerfiguur). Zo vinden we de tabel stijgen/dalen van de functie f. 5 f() min Merk op dat de tabel van de Functie onderzoeker ook de nulwaarden in het rode gebied weergeeft. Een tabel van functiewaarden vind je door eerst te kiezen voor Punten en daarna te klikken op de knop Toon tabel met functiewaarden (rechterfiguur). Je kan opnieuw het rode punt op de grafiek van f verslepen. Nadien kun je het venster gewoon afsluiten. G-3

7 1.4 Snijpunten van functies bepalen I-36 In deze paragraaf tonen we hoe je met GeoGebra de snijpunten van grafieken kan bepalen. Voorbeeld 2. Gegeven zijn de functies f() = en g() = ( 1) 2. Bepaal met GeoGebra de snijpunten van de grafiek van f met de grafiek van g. Oplossing. We openen een nieuw tekenvenster via de werkbalk Bestand>Nieuw venster. Daarna plotten we de grafiek van f en de grafiek van g. Om met GeoGebra de snijpunten van de grafiek van f met de grafiek van g te berekenen, gaan we als volgt te werk. Ga met de muis naar de knop Nieuw punt bovenaan en klik op het rode pijltje onderaan die knop. In het menu kies je voor Snijpunt(en) van twee objecten (linkerfiguur). Daarna klik je met de muis in de buurt van een snijpunt eerst op de grafiek van f en daarna op de grafiek van g. In het algebravenster verschijnen de coördinaten van de drie snijputen (afgerond op twee decimalen nauwkeurig, zie rechterfiguur). De drie snijpunten zijn dus A( 0, 41; 2), B(2, 1) en C(2, 41; 2). 1.5 Asymptoten van een rationale functie bepalen I-56 GeoGebra bevat heel wat voorgeprogrammeerde commando s. Tik je bijvoorbeeld Delerslijst(38) in het invoerveld, dan berekent GeoGebra de positieve gehele delers van het getal 38 (probeer dit). Het is uiteraard niet de bedoeling om al deze commando s uit het hoofd te leren. Wel moet je in staat zijn om een commando op te zoeken, zoals bijvoorbeeld het commando voor het berekenen van de asymptoten van een rationale functie. Hieronder laten we zien hoe je zo n commando kan vinden. Voorbeeld 3. Bepaal met GeoGebra alle eventuele horizontale, verticale en schuine asymptoten aan de grafiek van de functie f() = Oplossing. Eerst plotten we de grafiek van de functie f. Daarna klikken we op het icoon Invoerhulp rechts onderaan (naast de invoerlijn). Het commando voor asymptoten vinden we onder Functies en analyse, zie linkerfiguur. Duid het commando Asymptoten aan en klik daarna op Plakken. Daarmee kopieer je het commando naar het invoerveld. Het menu geeft aan dat we binnen de vierkante haakjes de functie moeten oproepen. We schrijven dus: Asymptoten[f]. GeoGebra plot nu alle eventuele horizontale, verticale en schuine asymptoten aan de grafiek van de functie f en in het algebravenster kun je de vergelijkingen van deze asymptoten gewoon aflezen (rechterfiguur). Sluit daarna de Invoerhulp door nogmaals op het icoon rechts onderaan te klikken. G-4

8 Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek TAAK Wiskunde Leerkracht: Namen : Voornamen : Klas : Richting : Klasnrs. : Datum:... /... / Resultaat : GeoGebra Les 1 Precalculus 1 - Veeltermfuncties en rationale functies I-55 Oefening 1. Gegeven is de functie f() = Plot met GeoGebra de grafiek van de functie f. Pas het tekenvenster aan zodat de grafiek samen met de assen duidelijk zichtbaar is. Noteer hieronder de dimensies: Min :... Ma :... ymin :... yma :... I-36 Oefening 2. Gegeven is de functie f() = Vul met behulp van GeoGebra de volgende kenmerken van de functie f aan. (a) De functie f heeft verschillende nulwaarden (vul een getal in). (b) De kern van de functie f wordt gegeven door (rond elke nulwaarde af op twee cijfers na de komma): ker f = Oefening 3. Gegeven zijn de functies f() = en g() = 3 2. Vul met behulp van GeoGebra de volgende kenmerken aan. Rond telkens af op twee cijfers na de komma. (a) De tekentabel van f wordt gegeven door: f() (b) De snijpunten van de grafiek van f met de grafiek van g worden gegeven door (geef van elk snijpunt de coördinaat): (c) De grafiek van g ligt onder de grafiek van f voor (geef intervalnotatie): G-5 Zie volgende bladzijde!

9 Oefening 4. Los de volgende ongelijkheden op met GeoGebra. Rond af op twee cijfers na de komma. I-36 (a) I-59 (b) Oplossingsverzameling Oplossingsverzameling Oefening 5. Bepaal met GeoGebra de tabel stijgen/dalen van de functie Rond af op twee cijfers na de komma. Antwoord. f() f() = Oefening 6. Bij de firma Klop worden dagelijks een aantal kliefhamers geproduceerd. De kosten worden gegeven door de functie K(q) = 3q 3 15q q + 24 en de omzet wordt gegeven door de functie O(q) = 30q. Hierbij wordt de kost K en de omzet O uitgedrukt wordt in een veelvoud van 100 euro, en stelt q het aantal hamers vermenigvuldigd met 1000 voor. Los de volgende vragen op met GeoGebra. Rond je resultaten zinvol af. kliefhamer (a) Bij welke productie bedragen de kosten euro? Antwoord (b) Bij welke productie is de omzet euro? Antwoord (c) Hoeveel kliefhamers moet men produceren opdat er met winst verkocht wordt? Antwoord Oefening 7. Plot met GeoGebra de grafiek van de functie f() = Duid daarna aan welke van de onderstaande beweringen correct zijn. De grafiek van f is een parabool. Het domein van de functie f is gelijk aan R. Het beeld van de functie f is gelijk aan R +. De grafiek van f heeft geen verticale asymptoten. De grafiek van f heeft geen horizontale asymptoten. De grafiek van f heeft geen schuine asymptoten. De grafiek van f heeft geen perforaties. G-6 Succes!