GEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de tweede en derde graad. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde aan HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

Transcriptie

1 GEOGEBRA 5 Ruimtemeetkunde in de tweede en derde graad R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde aan HUB, Brussel Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 1

2 1 GEOGEBRA 5 INSTALLEREN Afhankelijk van de grafische kaarten van de computers zijn er volgende mogelijkheden: Recente computers: Surf naar Klik op community. Klik nadien op forum en scroll naar beneden toe waar je dit ziet: Klik hier op en klik nadien op: en installeer dan een passende versie uit (wellicht de eerste, Windows Installer): Oudere computers: Surf naar: en installeer dit. (java moet vooraf geïnstalleerd zijn, liefst java 7) Belangrijke opmerking: kijk na of alles OK is!!! GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 2

3 Open GeoGebra, klik op beeld en vink 3D tekenvenster aan. Je moet dan volgend scherm krijgen: GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 3

4 2 KEUZE VAN HET PERSPECTIEF Dit is een belangrijke balk: De eerste 2 icoontjes spreken voor zich. Met het derde icoontje kan je het xoy-vlak al dan niet als vlak wat inkleuren. Met het vierde icoontje kan je wat je getekend hebt laten draaien. De pijl naar boven is het standaardbeeld. Als je op het voorlaatste icoontje klikt dan kan je de box verbergen: Bij het laatste icoontje kan je het gepaste perspectief waaronder het Cavalièreperspectief kiezen: GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 4

5 3 COORDINAAT VAN EEN PUNT Open het 3D-tekenvenster. Klik op Nieuw punt en klik in het xoy-vlak. Ga nadien in de buurt van het punt staan. Je krijgt dan dit te zien:: Je kan nu het punt verschuiven in het xoy-vlak zelf. Als je nog eens klikt op de linkermuisknop krijg je dit: Nu kan je het punt naar boven of naar onder verschuiven (volgens de z-as dus). Door een combinatie van beide acties kan je een willekeurig punt in de ruimte vastleggen. Uiteraard kan je ook de coördinaat van een punt gewoon in het commandovenster intypen en het punt wordt getekend. Om een rechte door 2 punten te tekenen, teken je dus eerst de punten zelf op de manier die hierboven werd beschreven. GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 5

6 4 TOEPASSING OP DE STELLING VAN THALES IN DE RUIMTE Teken de vlakken z = -1, z = 3 en z = 6. Teken de punten A, B, C, D, E en F gelegen in de respectievelijke vlakken. Bepaal in tekenvenster 2 de aangeduide verhoudingen. Kan je verklaren waarom de verhouding in beide gevallen 0.75 is? 5 LOODVLAKKEN OP EENZELFDE RECHTE ZIJN EVENWIJDIG Teken een rechte Teken 2 punten niet op deze rechte gelegen Teken door het eerste en door het tweede punt telkens een loodvlak op de getekende rechte Laat de tekening draaien om te ervaren dat de getekende vlakken evenwijdig lopen. In de derde graad kan er nagegaan worden dat beide vlakken evenwijdig zijn door de eenheidsnormaalvectoren van beide vlakken op te vragen. Doe dit. GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 6

7 6 VERGELIJKING VAN EEN RECHTE BEPALEN Bepaal de vergelijking van de rechte b gelegen in α met α x + 2y z + 4 = 0 en loodrecht op de rechte a en gaande door het snijpunt van a met α. a wordt bepaald door x 2z + 4 = 0 y 2z + 1 = 0 Teken het vlak α. Teken de rechte a als de snijlijn van de vlakken x 2z + 4 = 0 en y 2z + 1 = 0 Voer in het rekenblad de volgende getallen in en creëer een matrix1: Geef dan het commando RREF[matrix1] in. Opmerking: je kan ook het commando S = snijpunten[,] invoeren. Geef het commando S = (-3.2,-0.2,0.4) in. GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 7

8 7 DOORSNEDEN 7.1 De doorsnede van een kubus met een vlak Om een kubus te tekenen, gaan we als volgt te werk: Open het 3D-tekenvenster via Beeld. Voer A = (6,0,0) en B = (6,6,0) in. Geef het commando kubus[a,b,zas] in en de kubus wordt getekend. Leg de punten M, N en P vast (zie figuur op de volgende bladzijde). Teken het vlak bepaald door de punten M, N en P. Om de doorsnede van de kubus met het vlak bepaald door M, N en P te bepalen zijn er 2 mogelijkheden: We tekenen de doorsnede van het vlak bepaald door de punten M, N en P met de kubus ineens door het volgende commando te gebruiken: DoorsnedeRegio[naam van de kubus, naam van het vlak] GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 8

9 Voer dit uit. We tekenen de doorsnede zelf stap voor stap zoals we het ook op papier of op bord zouden uitvoeren. Hieronder vind je een mogelijke werkwijze (de punten hebben wel andere namen). Gebruik dus dezelfde namen als de figuur hieronder vermeld. Voer dit uit. Klik nu in het algebravenster met de rechtermuisknop op de veelhoek die als doorsnede geldt en kies voor toon veelhoek1 bij 2D venster. GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 9

10 7.2 De doorsnede van een piramide met een vlak Teken in het gewone tekenvenster de vijfhoek ABCDE. Bemerk dat die ook in het 3Dtekenvenster wordt getekend. We tekenen nu in het 3D-tekenvenster de piramide door gebruik te maken van het icoontje uitrekken naar piramide of kegel. Leg de punten K, L en M vast (zie tekening hierboven). Teken het vlak bepaald door de punten K, L en M. Om de doorsnede van het vlak bepaald door K, L en M met de piramide te tekenen, zoeken we eerst de snijlijn van het vlak bepaald door K, L en M met het grondvlak ABCDE. Dit wordt vaak de grondrechte genoemd. Werk dan verder af. GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 10

11 8 GEMEENSCHAPPELIJKE LOODLIJN VAN 2 KRUISENDE RECHTEN Gegeven zijn de rechten a en b met x 1 y 4 a = = z x 6 3 b y 1 r 2 = + z 2 2 Ga na dat a en b kruisende rechten zijn en bepaal een stel cartesiaanse vergelijkingen van de gemeenschappelijke loodlijn m. Zoek tevens de snijpunten van m met a en b en bereken de afstand tussen a en b. Met het commando loodlijn[a,b] kan je onmiddellijk de gemeenschappelijke loodlijn van a en b tekenen en zo de afstand tussen a en b bepalen. We kiezen hier nu voor een meer didactische werkwijze: Voer de richtingsvectoren u = (3,4,1) en v = (3,-2,-2) in van de rechten a en b. Voer M = (1,4,-2) en N = (6,-1,2) in. M ligt op a en N ligt op b. Teken de rechten a en b door gebruik te maken van evenwijdige rechte. Vraag de snijpunten op van a en b. Resultaat: A is niet gedefinieerd, dus a en b kruisen elkaar want a en b zijn zeker niet evenwijdig. Wijzig de naam A in S. Voer in CAS het volgende in: GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 11

12 Voer het volgende in het rekenblad in en creëer een matrix. Geef RREF[matrix1] in het commandovenster in. Dus r = 0 en r = -1. Dus: A(1,4,-2) en B(3,1,4). Teken dan de rechte AB en bepaal t = afstand[a,b]. Het resultaat is 7. GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 12

13 Eindelijk kan ik de ruimtemeetkunde van de tweede en derde graad visualiseren GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 13

14 INHOUD 1 GeoGebra 5 installeren Keuze van het perspectief Coordinaat van een punt Toepassing op de stelling van Thales in de ruimte Loodvlakken op eenzelfde rechte zijn evenwijdig vergelijking van een rechte bepalen Doorsneden De doorsnede van een kubus met een vlak De doorsnede van een piramide met een vlak Gemeenschappelijke loodlijn van 2 kruisende rechten GeoGebra in de tweede en derde graad Roger Van Nieuwenhuyze 14