Dag van de wiskunde 26/11/2005. R. Van Nieuwenhuyze. Docent wiskunde en statistiek aan Ehsal, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

Transcriptie

1 Dag van de wiskunde 26/11/2005 R. Van Nieuwenhuyze Docent wiskunde en statistiek aan Ehsal, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 1

2 Geogebra 1. Het pakket geogebra Geogebra is een wiskundepakket dat meetkunde en algebra en analyse combineert en ontwikkeld werd door De vertaling naar het Nederlands gebeurde door Bea Versichel, Pedro Tytgat en Ivan Dewinne. Geogebra is een open-sourcepakket en mag dus gratis gedownload worden. Dit kan heel eenvoudig gebeuren door op Google, geogebra in te typen of rechtstreeks te surfen naar: Kies voor Webstart want dan ga je steeds over de laatste versie beschikken. Er is ook een gebruikersforum: en een soort materialenbank: De basisicoontjes zijn: De menubalk is: Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 2

3 Icoontje 1: de selecteerknop Icoontje 2: tekenen van punten Icoontje 3: tekenen van lijnen Icoontje 4: constructies Icoontje 5: cirkel en cirkelbogen Icoontje 6: hoeken, afstanden, schuifknop en meetk. plaats Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 3

4 Icoontje 7: transformaties Icoontje 8: tekst en afbeeldingen invoegen,? Icoontje 9: layout Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 4

5 Bestand Bewerken Met de knop eigenschappen kan men als bvb een driehoek getekend is het volgende uitvoeren: Exporteren is wel een belangrijk onderdeel want hiermee kan men dynamische webbladen maken! Beeld Opties Venster Help Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 5

6 2. Waar is dit pakket bruikbaar? Dit pakket is bruikbaar in alle graden van het secundair onderwijs en dit zowel in het ASO, TSO-KSO als het BSO. Er is momenteel nog weinig Nederlandstalig materiaal beschikbaar maar volgende links geven toch al een aardig idee rond de toepasbaarheid van dit pakket: Met dit pakket is het mogelijk om op een eenvoudige wijze dynamische webpagina s te maken wat uiteraard heel veel didactische perspectieven biedt. Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 6

7 3. Voorbeelden vanuit de verschillende graden 3.1. Voorbeelden uit de eerste graad. Wie met Cabri kan werken, kan ook heel gemakkelijk met geogebra werken. Voorbeeld1: de middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt Het tekenen van de driehoek en van de middelloodlijnen van de zijden en de omgeschreven cirkel van de driehoek gebeurt zoals in Cabri. Teken een driehoek (neem icoontje 3) en teken de middelloodlijnen van de zijden (neem icoontje 4). Duid het snijpunt van de middelloodlijnen aan (neem icoontje 2). Teken de omgeschreven cirkel van driehoek ABC (neem icoontje 5) Naast een tekenvenster is er echter ook een algebravenster. Bemerk dat A, B en C als vrije objecten worden weergegeven. P is de getekende veelhoek (driehoek) en is de oppervlakte van de driehoek. a, b en c zijn de lengtes van de zijden. d, e en f zijn de cartesiaanse vergelijkingen van de middelloodlijnen. Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 7

8 We kunnen deze vergelijkingen ook schrijven in de vorm y = ax + b door rechts te klikken op de aangeduide vergelijking. g is de vergelijking van de omgeschreven cirkel. De vrije objecten kunnen we uiteraard verslepen (net zoals in Cabri) en zo kunnen we zien dat de middelloodlijnen in elke driehoek door één punt gaan. Je kan het algebravenster ook steeds uitvinken. Dit kan om didactische redenen erg nuttig zijn in de eerste graad waar men uiteraard nog niet werkt met cartesiaanse vergelijkingen van rechten. Belangrijke opmerkingen Je kan ook de instructies ingeven via het commandovenster. Je hoeft niet alle commando s volledig in te typen, de beginletters volstaan dikwijls. Voorbeeld: A = (4,8) B = (10,2) C = (-2,-2) Veelhoek [A,B,C] m = middelloodlijn [a] n = middelloodlijn [b] M = snijpunten [m,n] Cirkel [M,A] En alles wordt mooi getekend! Het is ook mogelijk om de opeenvolgende stappen van de constructie als een soort diamontage weer te geven! Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 8

9 Klik op beeld en nadien op Navigatiebalk voor constructieoverzicht. Je kan ook een overzicht krijgen van de constructiestappen. Klik op beeld en nadien op Overzicht constructiestappen. Voorbeeld 2: transformaties van het vlak Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 9

10 Klik op icoontje 8 en kies voor afbeelding invoegen. Klik ergens op het scherm waar de afbeelding moet ingevoegd worden. Gebruik dan de browser om een gekozen tekening in te voegen. Je kan dan een vector tekenen (icoontje 3 en kies voor vector tussen 2 punten). Kies dan voor verschuiving (icoontje 7). Klik de figuur aan en de vector. Het kan inderdaad nuttig zijn om eerst te werken met concrete afbeeldingen. Zo begrijpen de leerlingen beter over welke transformatie het gaat. Merk op dat je ook een schuifknop kunt associëren met een hoek. Klik op icoontje 6 en kies voor schuifknop. Klik ergens op het scherm en je krijgt dan het volgende schermpje te zien: Je vinkt hier hoek aan en je kiest dan een interval, bijvoorbeeld van 0 tot 180. Teken nadien een driehoek en een punt dat zal gebruikt worden als centrum. Klik nu op icoontje 7 en kies voor rotatie met centrum over bepaalde hoek. Klik op de selecteerknop, op de driehoek, op het centrum en op de hoek. Je krijgt dan volgend scherm: Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 10

11 Verander nu de 45 in α en trek dan aan de schuifknop. Resultaat: Je kan ook zeer eenvoudig volgend mooier resultaat krijgen: Kies hiervoor icoontje 5 en kies voor cirkelboog met middelpunt door 2 punten. Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 11

12 Verander nadien de lijnen door stippellijnen (klik met rechtermuisknop op de lijnen en kies stippellijnen). Voorbeeld 3: applet maken om de eigenschappen van een parallellogram te illustreren Teken een parallellogram, teken de diagonalen, meet de overstaande zijden en meet alle hoeken. Voor het meten van de overstaande zijden, gebruik je de rechtermuisknop en je klikt dan op eigenschappen en je vinkt dan toon label aan en kiest tevens voor waarde. Duid ook de hoeken aan (kies hiervoor icoontje 6 en kies voor hoek) en dan klik je op de hoek met de rechtermuisknop en je kiest opnieuw voor toon label en voor waarde) Je krijgt dan volgend scherm: We gaan hiervan nu een applet maken. Kies voor bestand en nadien voor Exporteren en nadien voor Dynamisch werkblad als webpagina (html). Je krijgt dan volgend scherm: Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 12

13 Vul nu alle nodige gegevens in en klik op exporteren. Open nadien je html pagina en je hebt een applet Voorbeelden uit de tweede graad Voorbeeld 1: de invloed van de parameters a, α en β nagaan bij de tweedegraadsvergelijking 2 y = a( x α) + β Klik op icoontje 6 en kies voor schuifknop. Klik ergens op het scherm en er opent zich dan volgend scherm: (zet min op -5 en max op 5 en kies 0.5 voor stapgrootte) Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 13

14 Voer nadien nog 2 schuifknoppen in maar geef hier de namen α en β. (met rechtermuisknop op schuifknop klikken en naam wijzigen) Klik op de selecteerknop en zet de schuifknop van a op 1. Typ in het commandovenster y = a*( x α) ^ 2 + β in. De Griekse letters vind je rechts van de commandoregel. Denk eraan om ook * in te typen, anders krijg je een foutmelding. Verander nadien de schuifknoppen en formuleer je bevindingen. Je kan hiervan ook een applet maken. Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 14

15 Voorbeeld 2: Bepaal de vergelijking van de cirkel die de rechten met vergelijkingen 3x 4y -7 = 0 en 4x + 3y -26 = 0 raakt in punten gelegen op de rechte met vgl -7x + y + 8 = 0. De gevraagde vergelijking is klaarblijkelijk (x + 2)² + (y 3)² = 25 Hoe dit nu realiseren: Stappenplan: 1. Teken 3 rechten a, b en c met respectievelijk als vergelijking 3x 4y -7 = 0 4x + 3y -26 = 0 en -7x + y + 8 = 0 2. Benoem het snijpunt van a met c met A en het snijpunt van b met c met B 3. Bepaal het middelpunt van de gevraagde cirkel. Dit is het snijpunt van de loodlijnen in A op a en in B op b 4. Teken nadien de cirkel met middelpunt C en gaande door A 5. Lees de gevraagde vergelijking af in het algebravenster Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 15

16 Voorbeeld 3: Iemand ziet in de verte twee bomen staan. Hij plaatst zich zodanig dat hij even ver van beide bomen verwijderd is en deze onder een hoek van 45 ziet. Gaat hij echter 50 m dichter naar de bomen toe (maar nog steeds even ver van beide bomen verwijderd) dan ziet hij ze onder een hoek van 90. Bepaal de afstand tussen deze bomen. Kies voor icoontje 6 en nadien voor hoek met gegeven grootte. Klik tweemaal in het scherm en dan wordt volgend scherm geopend: Je mag dan gewoon op OK klikken. Klik dan op icoontje 4 en nadien voor bissectrices. Klik dan op de 3 punten (klik het hoekpunt als tweede punt aan) Klik dan op icoontje 3 en kies dan voor Lijnstuk met beginpunt en gegeven lengte. Klik dan nadien op punt B. Een lijnstuk met lengte 5 wordt getekend. Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 16

17 Teken dan een cirkel met middelpunt B en straal [BD] en duid dan het snijpunt E met de getekende bissectrice van de hoek B aan. Klik dan op icoontje 7 en kies dan voor Rotatie met centrum over een bepaalde hoek. Klik dan eerst op de bissectrice en dan op het centrum van de draaiing, E. Draai dan de bissectrice over 45 in tegenwijzerzin. Klik nadien opnieuw op de bissectrice en dan opnieuw op E. Draai dan de bissectrice over 45 in wijzerzin. Je krijgt dan volgend scherm: Teken dan de rechten AB en BC en benoem de snijpunten met de rechten die bekomen werden als beeld van de bissectrice van B onder de draaiingen met centrum E over 45 in tegenwijzerzin en in wijzerzin. Teken het lijnstuk [GH] en meet de lengte. Klik op opties en zet het aantal decimalen op 4. De bomen staan 70,71 m van elkaar. Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 17

18 Controle met Derive: Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 18

19 3.3. Voorbeeld uit de derde graad Een rechthoek wordt ingeschreven in een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 8 cm en 6 cm. Bepaal de lengten van de zijden a en b van de rechthoek opdat deze een maximale oppervlakte zou hebben. Hoe groot is deze oppervlakte? Stappenplan 1. Teken een rechthoekige driehoek ABC met als rechthoekszijden 8 cm en 6 cm. (Teken vooraf een rooster) 2. Teken een punt D gelegen op [AB] 3. Teken de rechthoek EDFC 4. Teken in F de loodlijn op de x-as 5. Teken dan een cirkel met middelpunt F en als straal de oppervlakte van de rechthoek EDFC 6. Zet dan spoor aan bij het punt I (snijpunt van de cirkel met de loodlijn in F op de x-as) 7. Breng de nodige teksten op het scherm Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 19

20 3.4. Tot slot : het applet Bhaskara Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 20

21 MWSnap Typ in Google MWsnap in en download het pakket. Je kan als taal het Nederlands instellen. Om te werken met MWSnap volg je best het volgende stappenplan: 1. Start MWSnap op 2. Minimaliseer MWSnap 3. Breng op je bureaublad datgene waarvan je een opname wil maken 4. Klik onderaan op het icoontje 5. Maak een opname (gebruik best een vrije rechthoek) 6. Klik op bewerken en nadien op kopiëren 7. Plak het beeld in je werkdocument Je kan ook kiezen voor Venster / menu en dit is nuttig als je bepaalde menu s wil kopiëren, bijvoorbeeld het volgende menu uit Cabri: Voorbeeld: Je zou graag een afbeelding hebben van een pantoffeldiertje. Typ in Google pantoffeldiertje in en gebruik nadien vrije rechthoek opname om een gebied af te bakenen. Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 21

22 Zoals je ziet hebben we een mooie kader rond het pantoffeldiertje aangebracht. Stel: je zou graag een afbeelding van een leeuwenkop inbrengen in een werkblad. Typ via Google leeuwen in. Gebruik vrije rechthoekopname. Volgende menu s zijn mogelijk: Bestand Bewerken Opname Beeld Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 22

23 Extra Help Surf naar Kies voor tweede jaar en voor ruimtemeetkunde. Maak de volgende opname: Je wil het logo van de VWO ergens invoegen: (typ in Google VWO in) Dag van de Wiskunde 2005 Van Nieuwenhuyze Roger 23