Integratie van de informatica in de wiskunde WIRIS 2.0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Integratie van de informatica in de wiskunde WIRIS 2.0"

Transcriptie

1 Integratie van de informatica in de wiskunde WIRIS Dynamische meetkunde met Wiris 9.1 Vlakke analytische meetkunde Het palet Meetkunde bevat een aantal gereedschappen voor het uitvoeren van meetkundige constructies. Andere pakketten voor dynamische meetkunde zoals Cabri en GeoGebra zijn uitermate geschikt voor het uitvoeren van meetkundige constructies met passer en liniaal. Wiris biedt niet alleen de mogelijkheid om deze meetkundige constructies uit te voeren, maar beschikt over een ingebouwd computer algebra systeem. Wiris bewijst vooral zijn nut in de analytische meetkunde. Vanaf versie 2 is er ook een module voor ruimtemeetkunde beschikbaar. Punten Opdracht punt Knop Bij het toekennen van dit object punt aan een variabele bekomt men in het eerste geval een vrij basispunt (DYNAMISCH). Dit punt A kan men in het grafiekvenster verslepen. Het punt B is een vast punt. Berekening van de coördinaatgetallen van een punt; Men kan ook de kleur van een punt wijzigen, de puntgrootte en ook de naam van het punt weergeven. 2OO4 website 32

2 Rechten Opdracht rechte Knop In het grafiekvenster kan men deze rechte variëren door het verslepen van de vrije basispunten A en B. In het grafiekvenster kan men de naam, waarde en definitie van de rechte r opvragen. Alternatieven! Men kan een rechte ook ingeven m.b.v.; de vergelijking, met één punt en de richtingscoëfficiënt of met één punt en een richtingsvector. Notatie voor een vector met vierkante haakjes [, ] Berekening van de richtingscoëfficiënt van een rechte; Bepalen van een richtingsvector van een rechte; Lijnstukken Opdracht lijnstuk Knop 2OO7 website 33

3 Driehoek, evenwijdige rechte, loodlijn en bissectrice Cirkels Opdracht cir of cirkel Knoppen Cirkel bepaald door middelpunt en straal Cirkel gaande door 3 punten Cirkel bepaald door middelpunt en punt op cirkel Opmerkingen Men mag i.p.v. de opdracht cirkel ook de afkorting cir gebruiken. De punten werden ingegeven als vrije basispunten. Men kan ook meerdere opdrachten op één opdrachtregel ingeven, gescheiden door. Indien men een opdracht niet onmiddellijk wil uitvoeren dan plaats men eveneens op het einde van de opdrachtregel 2OO7 website 34

4 9.2 Een uitgewerkt voorbeeld; omgeschreven cirkel van een driehoek Gegeven zijn de drie hoekpunten A, B en C van een driehoek t. We bepalen het middelpunt van de omgeschreven cirkel, dit is het snijpunt van de middelloodlijnen van de driehoek. Dit zijn de Wiris-opdrachten en het eindresultaat 2OO7 website 35

5 Wiris voorziet eveneens de mogelijkheid om het middelpunt en de straal van de omgeschreven cirkel te berekenen met de opdrachten mocir( ) en socir( ) 9.3 Punt met beperkte bewegingsvrijheid Het is mogelijk om de plaats van een punt te beperken tot een rechte, lijnstuk, cirkel en zelfs een kegelsnede met de opdracht beperking. Men tekent vooreerst een willekeurig vrij beweeglijk punt bvb P(.,.) en vervolgens een tweede punt Q:=beperking(object,P). Met deze opdracht beperkt men de locatie van P tot het object. Oefening: Constructie van een raaklijn in een punt van een cirkel. We tekenen een cirkel met als middelpunt de oorsprong (0,0) en als straal 5. We maken gebruik van het meetkundepalet en de knop voor het tekenen van een cirkel met gegeven middelpunt O en een tweede punt (5,0). De twee punten geven wij in als basispunten die men achteraf dynamisch kan verslepen. Het is handig om deze objecten toe te kennen aan een variabele. Bemerk de verschillende toekenningssymbolen. We definiëren vervolgens een punt P(3,4) (niet noodzakelijk) gelegen op de cirkel. Wij beperken de bewegingsvrijheid van dit punt tot de cirkel. 2OO7 website 36

6 Tenslotte tekenen wij het lijnstuk dat O verbindt met T en de loodlijn in T op dit lijnstuk. Men bekomt een dynamische constructie. Men kan de punten O, P en T verslepen. Bovendien kan men de vergelijking van de cirkel en de raaklijn in T opvragen door in het grafiekvenster vooreerst de knop waarde aan te klikken en vervolgens de cirkel of de raaklijn aan te wijzen. 2OO7 website 37

7 10 Bespreking van een rationale functie Gegeven is het voorschrift van een rationale functie; f( x) = x 2 4x+ 3 2x + 1 Bepaal het domein van deze functie Bepaal de nulpunten Voor welke x-waarden is de grafiek boven de X-as gelegen? Bepaal alle asymptoten Bepaal de eerste afgeleide van f en het tekenverloop van deze eerste afgeleide Zoek de eventuele extrema Bereken de x-waarden waarvoor de raaklijn in het overeenstemmend punt van de grafiek evenwijdig is met de eerste of tweede bissectrices. Voor deze vrij eenvoudige functie kan men Wiris gebruiken als controlemiddel. Het inschakelen van dit CAS is voor sommige opdrachten didactisch gezien overbodig. Dit voorbeeld wil enkel de mogelijkheden van Wiris illustreren waarbij ook een aantal opdrachten die niet beschikbaar zijn via de menubalk manueel moeten worden ingegeven. Start Wiris, definieer het functievoorschrift en sluit af met ENTER Naast de basisopdrachten die men kan ingeven via de menubalk en de paletten beschikt Wiris nog over een groot aantal opdrachten die men manueel kan ingeven bvb domein() Bepaal het domein van f met de opdracht domein(f(x)) en ENTER Laat de vorige opdracht uitvoeren via CTRL ENTER Voor het bepalen van de nulpunten maken we gebruik van de opdracht uit het palet Bewerkingen. Vul de plaatshouders aan. De mogelijkheid is ook voorzien om deze opdracht manueel in te geven via oplossen(f(x) 0) Hierbij wordt er gebruik gemaakt van een logisch =teken uit het palet Symbolen Het oplossen van een ongelijkheid gebeurt met de opdracht Spaties worden bij het manueel ingeven van opdrachten vervangen door een underscore. 2OO7 website 38

8 Omdat de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer heeft deze functie geen horizontale asymptoten. Verticale asympoten vindt men via de polen van de functie, dit zijn de nulpunten noemer die geen nulpunten zijn van de teller. Berekening van de limiet, linkerlimiet en rechterlimiet via het Analysepalet. Bepalen van de schuine asymptoot kan via limietberekening. Maak gebruik van het toekenningssymbool Met behulp van dit toekenningssymbool is het mogelijk om de vergelijking van deze schuine asymptoot weer te geven als volgt met de variabele SA Laat ter controle Wiris de grafiek van f, de SA en ook de VA tekenen met de opdracht plot 2OO7 website 39

9 De vergelijking van de SA bekomt men ook als quotiënt van de Euclidische deling van de teller van f door de noemer van f. Gebruik hiervoor op het palet Bewerkingen de knop Bepalen van de eerste afgeleide, Analyse en of manueel afleiden(f(x),x) Het is handig om het voorschrift van de afgeleide functie van f te noteren als Df(x) Op deze wijze is het vrij eenvoudig om de rico van de raaklijn aan de grafiek van f te berekenen voor verschillende x-waarden. Nulpunten en tekenonderzoek van Df(x) 2OO7 website 40

10 Het oplossen van deze ongelijkheid oplossen geeft een (in eerste instantie) eigenaardige bug? Deze ongelijkheid kan in dit geval niet symbolisch maar wel numeriek worden opgelost. Het volstaat om voor één der getallen in deze ongelijkheid de decimale notatie 10.0 in te geven. Raaklijn evenwijdig met de eerste of tweede bissectrice Het opstellen van de vergelijking van deze raaklijnen kan vrij snel door de x-waarden te kopiëren en te plakken. 2OO7 website 41

11 Analoog voor de vergelijking van de tweede raaklijn. Het onderzoek van de tweede afgeleide levert geen buigpunten op. De gevonden resultaten kan men ook controleren met de opdracht voorstelling(f(x)). 2OO7 website 42

12 10.1 Een toemaatje: het Wirisonline logo Na het doornemen van de gevorderde opties van Wiris blijkt dit CAS over heel wat mogelijkheden te beschikken om op een creatieve manier aan wiskunde te doen. De enige beperking is vaak ons eigen gebrek aan creativiteit. Als voorbeeld illustreren wij op welke wijze het Wirisonline-logo met behulp van Wiris kan gecreëerd worden. Met deze opdracht worden 10 cirkels met een veranderlijke straal getekend op een variabele afstand van de oorsprong. Bemerk het toevoegen van de attributen voor het kleuren en opvullen van de cirkelschijf. 2OO7 website 43

13 11 Ruimtemeetkunde met Wiris 11.1 inleidende voorbeelden. Vanaf versie 2 is er ook een module voor ruimtemeetkunde beschikbaar. Belangrijk om op te merken is het feit dat Wiris niet echt bedoeld is als Constructietool voor ruimtemeetkunde. Voor het illustratie van begrippen uit Analytische ruimtemeetkunde daarentegen, kan deze 3D-module van Wiris wel erg nuttig zijn. Wij illustreren de mogelijkheden aan de hand van twee concrete voorbeelden: Voorbeeld 1 Gegeven zijn de punten A(4,-1,3), B( 2,3,5) Bepaal de snijpunten van de rechte gaande door A en B met het xy-vlak, het xz-vlak en het yz-vlak. Voer de volgende opdrachtregels in. Gebruik hierbij de knoppen uit de ruimtemeetkundewerkbalk: = punt in de ruimte, = rechte en = doorsnede. Na berekening, krijg je: Als tussenresultaat kregen wij het stelsel van de 2 vergelijkingen van de rechte a. 2OO7 website 44

14 Uiteraard willen wij deze resultaten ook voorstellen. Wij voegen daarom de volgende regel toe: Deze voorstelling is weinig of niets-zeggend behalve het feit dat de punten A, B, R, S en T op de rechte a gelegen zijn. Wij zullen vooreerst de 3 coördinaatvlakken in 3 verschillende kleuren voorstellen en vervolgens de punten A en B, de rechte a en de snijpunten R, S en T. Je kan deze voorstelling bewegen in de ruimte met de rechtermuisknop ofwel door te klikken op één van de knoppen links onderaan. 2OO7 website 45

15 Het 3D-grafiekvenster Voor het bewegen met de rechtermuisknop gelden dezelfde principes, als voor het bewegen met de knoppen. Wij bespreken daarom eerst het gebruik van de knoppen. Rotatieknoppen de ruimtefiguur draait rond één van de 3 tafereelassen Groene Zoomknoppen Om te begrijpen hoe het bewegen in de ruimte gebeurt moet je je eerst realiseren dat een voorstelling in het 3D-grafiekvenster eigenlijk een perspectieftekening is, die de ruimte (gekoppled aan het afgebeelde assenstelsel) afbeeldt op een zogenaamd tafereel = het beeldscherm. Dit scherm heeft ook een driedimensionaal assenstelsel, dat niet wordt getoond. Dit laatste assenstelsel speelt echter een belangrijke rol bij het bewegen van de figuur. Het assenstelsel van het tafereel (beeldscherm) heeft twee assen in het beeldscherm en één as loodrecht op het beeldscherm. De assen in het beeldscherm liggen zoals gebruikelijk horizontaal en verticaal. Het assenstelsel van dit tafereel kan niet verplaatst worden, maar de ruimtelijke figuur kan wel gedraaid worden rond de assen van dit tafereelassenstelsel. De zes knoppen dienen om de ruimtefiguur te draaien rond één van deze tafereelassen. De ruimtefiguur draait rond de verticale tafereelas. De ruimtefiguur draait rond de horizontale tafereelas. De ruimtefiguur draait rond de tafereelas, die loodrecht op het beeldscherm staat. Indien men de ruimtelijke assen laat samenvallen met de tafereelassen, dan kan men de bewegingen duidelijker volgen. Dit gaat als volgt: Zorg er voor dat de ruimtefiguur in de positie staat zoals bij het openen van het grafiekvenster. Indien je de figuur ondertussen reeds gedraaid hebt, dan kan je de beginpositie opnieuw verkrijgen door op de knop te klikken. Zodoende wordt de figuur in het grafiekvenster opnieuw hertekend. Bij ingewikkelde figuren kan dit eventjes duren. In de beginpositie klik je tweemaal op de knop. De z-as is dan evenwijdig met het tafereel. Klik vervolgens vijfmaal op de knop. De x-as staat dan loodrecht op het tafereel en de y-as valt dan samen met de horizontale tafereelas. Indien je nu op één van de knoppen of klikt dan draait de figuur rond de x-as. Klik op één van de knoppen of en de figuur draait rond de y-as. 2OO7 website 46

16 De werkbalk in het 3D-grafiekvenster is identiek aan de werkbalk van het 2D-grafiekvenster. In het voorbeeld hebben wij het commando plot3d gebruikt. Dit commando tekent driedimensionale objecten in een 3D-grafiekvenster. Je kan dit echter ook doen met het commando plot, op voorwaarde dat je eerst duidelijk maakt dat je in 3 dimensies wil werken. Dit kan met toevoegen van met de knop waarde de meetkunde_status overgaat naar 3D. Voorbeeld 2 Gegeven zijn twee punten A(2,1,7) en B(5,-4,-3). Bepaal het snijpunt van de rechte AB met het xy-vlak. Het volstaat nu om de coördinaten van A en B te wijzigen in het algebravenster en het grafiekvenster opnieuw te laten tekenen om verschillende situaties te onderzoeken. Omdat de rechte a en de doorsnede S met = werden gedefinieerd, is het grafiekvenster niet dynamisch. Bij het verslepen van de punten A en B, wijzigt de rechte a niet. 2OO7 website 47

17 Het grafisch venster wordt wel dynamisch door de rechte a en het snijpunt S te definiëren met het toekenningssymbool : = De namen van de punten worden weergegeven door toevoeging van het attribuut aan het plotcommando. Bovendien kunnen de coördinaten van punten en vergelijkingen van rechten en vlakken in het grafiekvenster worden getoond (bij het aanwijzen van deze objecten) door toevoeging van het attribuut aan het plotvenster. Activeer hiertoe in het grafiekvenster de knop waarde en breng deze instelling van het grafiekvenster over naar het algebravenster met de knop Bij het verslepen van de basispunten A en B worden de resultaten in het grafiekvenster wel aangepast. (in Wiris 2 voorlopig nog niet in het algebravenster) 2OO7 website 48

18 11.2 Vlakken in de ruimte Een vlak in de ruimte kan door verschillende gegevens bepaald worden; drie niet-collineaire punten, één punt en een normaalvector of één punt en twee richtingsvectoren Het commando vlak Met onderstaande gegevens, waarbij u en v (richtings)vectoren voorstellen kun je op verschillende manieren vlakken definiëren Vlak door drie punten Vlak door één punt en twee richtingsvectoren Vlak door een punt en bepaald door een normaalvector Vlak bepaald door twee snijdende rechten Uiteraard krijg je een foutmelding, indien de gegeven rechten niet snijdend maar kruisend zijn. OPMERKING! Dit is NIET het vlak dat het punt en de rechte bevat, maar WEL het vlak dat door het punt A gaat en loodrecht staat op de rechte. 2OO7 website 49

19 Andere commando s die een vlak als resultaat opleveren Evenwijdig vlak aan een vlak door een punt Loodvlak commando loodrecht of orthogonaal In de oorspronkelijke versie van Wiris is er slechts één commando voor de Nederlandstalige tegenhangers: loodlijn, loodvlak, loodrecht e.d. Uiteindelijk werd loodrecht gekozen als het meest geschikte vertaling en werd orthogonaal behouden als synomiem. Bissectricevlak Bij evenwijdige vlakken bekomt men uiteraard een foutmelding. 2OO7 website 50

20 11.3 Rechten in de ruimte Het commando rechte Met onderstaande gegevens kun jij op verschillende wijzen een rechte definiëren: Een rechte gaande door twee punten Een rechte gaande door één punt en bepaald door een richtingsvector Opmerking: Met de commando s punt en vector kun jij een basispunt en een richtingsvector van de rechte opvragen Een rechte bepaald door twee vergelijkingen (van vlakken) De dragers van de zijden van den driehoek of veelhoek 2OO7 website 51

21 Andere commando s die een rechte als resultaat opleveren Evenwijdige Loodlijn Een bissectrice Resultaten na berekening Opmerking: Je kan ook de bissectrices van een driehoek laten berekenen De bijhorende vergelijkingen nemen vrij snel een gecompliceerde vorm aan. Het is dan aangewezen om minstens één coördinaatgetal van een hoekpunt in decimale vorm in te geven 2OO7 website 52

22 11.4 Ruimtelijke objecten Veelvlakken In de werkbalk meetkunde vind je twee knoppen om veelvlakken te tekenen en De eerste knop geeft de functie veelvlak waarbij jij het aantal zijvlakken (4,6,8,12,of 20) en de lengte van de ribbe moet opgeven. De tweede knop opent een keuzelijst voor het aanmaken van regelmatige veelvlakken, prisma s en piramiden en benaderingen van omwentelingslichamen. Regelmatige veelvlakken Uit de keuzelijst kun jij één van de vijf Platonische lichamen kiezen. Jij moet niet meer opgeven hoeveel zijvlakken er zijn en bovendien bestaat de mogelijkheid om een ander middelpunt dan de oorsprong in te geven. Wil jij een draadmodel van de veelvlakken dan moet je aan de plotopdracht de attributen {wired=waar,vul=vals} meegeven. 2OO7 website 53

23 Prisma s en piramiden De functie prisma kan gebruikt worden met de parameters grondvlak en hoogte Het grondvlak kan gelijk welke veelhoek zijn Benaderingen van omwentelingslichamen Het is (voorlopig) niet mogelijk om rechtstreeks omwentelingslichamen te definiëren, mar wel via een benadering met veelvlakken Ruimtekrommen Met de functie kromme3d kun je ook een ruimtekromme definiëren. Als eerste argument van de kromme moet een lijst met een stel parametervergelijkingen worden ingegeven, als tweede de parameter en als derde het bereik van deze parameter. 2OO7 website 54

24 12 Analyse 12.1 Inleiding Om berekeningen uit de analyse te maken kan jij het best werken met het Analyse-palet Hierin vind jij een aantal knoppen i.v.m. afgeleiden, limieten en integralen. Knop Klikken op knop geeft: Een voorbeeld 2OO7 website 55

25 Wij illustreren een aantal mogelijkheden aan de hand van een voorbeeld Uitgewerkt voorbeeld: bespreking van een rationale functie Gegeven is het voorschrift van een rationale functie; f( x) = x 2 4x+ 3 2x + 1 Bepaal het domein van deze functie Bepaal de nulpunten Voor welke x-waarden is de grafiek boven de X-as gelegen? Bepaal alle asymptoten Bepaal de eerste afgeleide van f en het tekenverloop van deze eerste afgeleide Zoek de eventuele extrema Bereken de x-waarden waarvoor de raaklijn in het overeenstemmend punt van de grafiek evenwijdig is met de eerste of tweede bissectrices. Voor deze vrij eenvoudige functie kan men Wiris gebruiken als controlemiddel. Het inschakelen van dit CAS is voor sommige opdrachten didactisch gezien overbodig. Dit voorbeeld wil enkel de mogelijkheden van Wiris illustreren waarbij ook een aantal opdrachten die niet beschikbaar zijn via de menubalk manueel moeten worden ingegeven. Start Wiris, definieer het functievoorschrift en sluit af met ENTER Naast de basisopdrachten die men kan ingeven via de menubalk en de paletten beschikt Wiris nog over een groot aantal opdrachten die men manueel kan ingeven bvb domein() Bepaal het domein van f met de opdracht domein(f(x)) en ENTER Laat de vorige opdracht uitvoeren via CTRL ENTER Voor het bepalen van de nulpunten maken we gebruik van de opdracht uit het palet Bewerkingen. Vul de plaatshouders aan. De mogelijkheid is ook voorzien om deze opdracht manueel in te geven via oplossen(f(x) 0) Het oplossen van een ongelijkheid gebeurt met de opdracht Spaties worden bij het manueel ingeven van opdrachten vervangen door een underscore. 2OO7 website 56

26 Omdat de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer heeft deze functie geen horizontale asymptoten. Verticale asympoten vindt men via de polen van de functie, dit zijn de nulpunten noemer die geen nulpunten zijn van de teller. Berekening van de limiet, linkerlimiet en rechterlimiet via het Analysepalet. Bepalen van de schuine asymptoot kan via limietberekening. Maak gebruik van het toekenningssymbool Met behulp van dit toekenningssymbool is het mogelijk om de vergelijking van deze schuine asymptoot weer te geven als volgt met de variabele SA Laat ter controle Wiris de grafiek van f, de SA en ook de VA tekenen met de opdracht plot 2OO7 website 57

27 De vergelijking van de SA bekomt men ook als quotiënt van de Euclidische deling van de teller van f door de noemer van f. Gebruik hiervoor op het palet Bewerkingen de knop Bepalen van de eerste afgeleide, Analyse en of manueel afleiden(f(x),x) Het is handig om het voorschrift van de afgeleide functie van f te noteren als Df(x) Op deze wijze is het vrij eenvoudig om de rico van de raaklijn aan de grafiek van f te berekenen voor verschillende x-waarden. Nulpunten Df(x) 2OO7 website 58

28 Tekenonderzoek van Df(x) Deze ongelijkheid kan in dit geval niet alleen symbolisch maar ook numeriek worden opgelost. Het volstaat om voor één der getallen in deze ongelijkheid de decimale notatie 10.0 in te geven. Raaklijn evenwijdig met de eerste of tweede bissectrice Het opstellen van de vergelijking van deze raaklijnen kan vrij snel door de x-waarden te kopiëren en te plakken. Analoog voor de vergelijking van de tweede raaklijn. 2OO7 website 59

29 Het onderzoek van de tweede afgeleide levert geen buigpunten op. De gevonden resultaten kan men ook controleren met de opdracht voorstelling(f(x)). 2OO7 website 60

30 12.3 Een toemaatje: het Wirisonline logo Na het doornemen van de gevorderde opties van Wiris blijkt dit CAS over heel wat mogelijkheden te beschikken om op een creatieve manier aan wiskunde te doen. De enige beperking is vaak ons eigen gebrek aan creativiteit. Als voorbeeld illustreren wij op welke wijze het Wirisonline-logo met behulp van Wiris kan gecreëerd worden. Met deze opdracht worden 10 cirkels met een veranderlijke straal getekend op een variabele afstand van de oorsprong. Bemerk het toevoegen van de attributen voor het kleuren en opvullen van de cirkelschijf. 2OO7 website 61

31 13 Lijsten en tabellen 13.1 Inleiding Lijsten zijn opsommingen ingesloten tussen 2 accolades. Merk op dat ondanks de notatie met accolades, lijsten geen verzamelingen zijn, omdat in een lijst een hetzelfde element meerdere keren mag voorkomen. Een lijst is een algemener begrip dan een verzameling. Een bereik a..b..c is een rekenkundige rij met als eerste term a en als stap b. De laatste term van de rij is niet noodzakelijk c maar wel de laatste term die kleiner dan of gelijk is aan c. Vectoren zijn opsommingen tussen rechte haakjes. Het onderscheid met een gewone lijst ligt in het feit dat vectoren de voorstelling zijn van wiskundige vectoren. Met vectoren kan je bewerkingen zoals het scalair product uitvoeren die niet mogelijk zijn met lijsten. De eenvoudigste manier om een lijst of een vector te genereren is met behulp van de Wiris met in constructie. Men kan het genereren van zo n lijst ook combineren met een bereik of een voorwaarde opleggen door gebruik te maken van met in waarbij 2OO7 website 62

32 Men kan ook gebruikmaken van meerdere letters. Het volgende voorbeeld berekent alle Pythagorische drietallen onder de 10. Na sorteren van deze drietallen en eliminatie van de herhalingen bekomt men de gevraagde drietallen. Tabellen of matrices zijn vectoren waarvan de elementen ook vectoren zijn. Voorbeeld 1 De Vandermonde matrix en ontbonden vorm van de determinant Voorbeeld 2 De getallen van Pascal (Tartaglia) 2OO7 website 63

INLEIDING TOT GEOGEBRA

INLEIDING TOT GEOGEBRA INLEIDING TOT GEOGEBRA Sven Mettepenningen, 28/02/2007 GEOGEBRA 1 EERSTE KENNISMAKING Het pakket Geogebra kan je downloaden op de site http://www.geogebra.at/ Eventueel is het ook nuttig van de laatste

Nadere informatie

GEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de tweede en derde graad. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde aan HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

GEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de tweede en derde graad. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde aan HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. GEOGEBRA 5 Ruimtemeetkunde in de tweede en derde graad R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde aan HUB, Brussel Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com GeoGebra in de tweede en derde

Nadere informatie

GeoGebra Quickstart. Snelgids voor GeoGebra. Vertaald door Beatrijs Versichel en Ivan De Winne

GeoGebra Quickstart. Snelgids voor GeoGebra. Vertaald door Beatrijs Versichel en Ivan De Winne GeoGebra Quickstart Snelgids voor GeoGebra Vertaald door Beatrijs Versichel en Ivan De Winne Dynamische meetkunde, algebra en analyse vormen de basis van GeoGebra, een educatief pakket, dat meetkunde en

Nadere informatie

GEOGEBRA 4. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@skynet.

GEOGEBRA 4. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@skynet. ? GEOGEBRA 4 R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@skynet.be Roger Van Nieuwenhuyze GeoGebra 4 Pagina 1 1. Schermen

Nadere informatie

ICT. Meetkunde met GeoGebra. 2.7 deel 1 blz 78

ICT. Meetkunde met GeoGebra. 2.7 deel 1 blz 78 ICT Meetkunde met GeoGebra 2.7 deel 1 blz 78 Om de opdrachten van paragraaf 2.7 uit het leerboek te kunnen maken heb je het computerprogramma GeoGebra nodig. Je kunt het programma openen via de leerlingenkit

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

27 Macro s voor de schijf van Poincaré

27 Macro s voor de schijf van Poincaré 27 Macro s voor de schijf van Poincaré 27.1 Inleiding In het secundair onderwijs zijn leerlingen vertrouwd met de Euclidische meetkunde. In het Euclidisch vlak geldt het beroemde 5 de parallellen postulaat:

Nadere informatie

door: Bart Van den Bergh

door: Bart Van den Bergh door: Bart Van den Bergh Inhoud 1. Inleiding...5 1.1. Wat is GeoGebra?... 5 1.2. Downloaden en installatie... 5 2. Basiscursus...7 2.1. Aan de slag... 7 2.1.1 Openen van het programma... 7 2.1.2 Lay-out...

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

GEOGEBRA IN DE EERSTE GRAAD. Kan dit wel? R. Van Nieuwenhuyze. Docent wiskunde en statistiek aan Ehsal, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

GEOGEBRA IN DE EERSTE GRAAD. Kan dit wel? R. Van Nieuwenhuyze. Docent wiskunde en statistiek aan Ehsal, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. GEOGEBRA Kan dit wel? IN DE EERSTE GRAAD R. Van Nieuwenhuyze Docent wiskunde en statistiek aan Ehsal, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@skynet.be Geogebra in de eerste graad

Nadere informatie

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Junior College Utrecht Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Versie 2 September 2012 Een project (ruimte-)meetkunde voor vwo-leerlingen Geschreven voor het Koningin Wilhelmina College Culemborg

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Werkbladen vergelijking van een rechte

Werkbladen vergelijking van een rechte In deze werktekst proberen wij de vergelijkingen op te stellen van rechten die aan bepaalde voorwaarden voldoen. Wij onderscheiden volgende gevallen: 1. Vergelijking van een rechte gaande door de oorsprong

Nadere informatie

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) augustus 2008 1. Inleiding In de (vlakke) Euclidische meetkunde

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Docentenhandleiding bij de DWO-module Lijnen van betekenis Deze handleiding bevat tips voor de docent bij het gebruiken van de module Lijnen van betekenis, een module

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2 Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Cursus Geogebra. Werkbladen voor vmbo en havo/vwo onderbouw. Docentencongres wiskunde: Aan de slag met ICT! Februari 2011

Cursus Geogebra. Werkbladen voor vmbo en havo/vwo onderbouw. Docentencongres wiskunde: Aan de slag met ICT! Februari 2011 Cursus Geogebra Docentencongres wiskunde: Aan de slag met ICT! Werkbladen voor vmbo en havo/vwo onderbouw Februari 2011 J. Manders Dominicus College Nijmegen jan.manders@dominicuscollege.nl 2 Introductie

Nadere informatie

INHOUD. Inhoud. Eerste kennismaking. Zelf tekeningen maken. Doorsneden tekenen. Tekeningen verkennen : enkele dynamische mogelijkheden

INHOUD. Inhoud. Eerste kennismaking. Zelf tekeningen maken. Doorsneden tekenen. Tekeningen verkennen : enkele dynamische mogelijkheden Annelies Droessaert INHOUD Inhoud Eerste kennismaking Zelf tekeningen maken Doorsneden tekenen Tekeningen verkennen : enkele dynamische mogelijkheden Toepassingen met afstanden en hoeken Animaties Bronnen

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

11 De hoed van Napoleon

11 De hoed van Napoleon 11 De hoed van Napoleon 11.1 Historiek Napoleon Bonaparte (1769-1821) was van Italiaanse afkomst en begon zijn carrière als onderluitenant in de artillerie en klom op tot Frans generaal. Op zijn dertigste

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

GeoGebra 1e en 2e graad

GeoGebra 1e en 2e graad GeoGebra 1e en 2e graad WI-0097-01 Nascholing ICT-wiskunde Paul Decuypere, Ria Vandermeersch, Jozef Van Remoortere Werkgroep Integratie van de Informatica in de Wiskunde 2007 Vlaams Verbond van het Katholiek

Nadere informatie

Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht

Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht INLEIDING Een aantal jaar geleden leerde ik een nieuw spel kennen: geocaching. Dit is in feite een zoektocht waarbij je gebruik maakt van GPS-coördinaten. Op

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 11 juni 2007 ( s morgens) Zakrekenmachine die niet grafisch en niet programmeerbaar is.

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 11 juni 2007 ( s morgens) Zakrekenmachine die niet grafisch en niet programmeerbaar is. EUROPEES BACCALAUREAAT 007 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 11 juni 007 ( s morgens) DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (40 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen. Zakrekenmachine

Nadere informatie

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/.

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. Softmaths 1 Softmaths Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. De code kan je bekomen op de school. Goniometrie en driehoeken Oplossen van driehoeken - Start van het programma:

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht

ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Dr Didier Deses KA Koekelberg - VUB wiskak@yahoo.com Inleiding Wat omvat ICT in de wiskunde? Rekenmachine Wetenschappelijk Grafisch Symbolisch

Nadere informatie

In dit hoofdstuk komen korte onderwerpen aan bod die we uitwerken met DERIVE. Zo leer je heel wat functies van DERIVE kennen.

In dit hoofdstuk komen korte onderwerpen aan bod die we uitwerken met DERIVE. Zo leer je heel wat functies van DERIVE kennen. Hoofdstuk Een DERIVE-tour In dit hoofdstuk komen korte onderwerpen aan bod die we uitwerken met DERIVE. Zo leer je heel wat functies van DERIVE kennen..1 Exact en benaderend rekenen Met de standaardinstelling

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

VERGELIJKINGSEDITOREN

VERGELIJKINGSEDITOREN VERGELIJKINGSEDITOREN De vergelijkingseditor van Word 2007 en Word 2010 Om wiskunde symbolen, tekst in te voegen kan je beroep doen op de in Word ingebouwde vergelijkingseditor. Daarvoor: selecteer het

Nadere informatie

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een

Nadere informatie

Didactisch gebruik van GeoGebra in de tweede graad

Didactisch gebruik van GeoGebra in de tweede graad Didactisch gebruik van GeoGebra in de tweede graad 3 Het basisvenster 1 Downloaden van GeoGebra - GeoGebra is een gratis wiskundepakket dat meetkunde of geometrie en algebra combineert. Elk meetkundig

Nadere informatie

HP Prime: Meetkunde App

HP Prime: Meetkunde App HP Prime Graphing Calculator HP Prime: Meetkunde App Meer over de HP Prime te weten komen: http://www.hp-prime.nl De Meetkunde-App op de HP Prime Meetkunde is een van de oudste wetenschappen op aarde,

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo Vestiging Westplasmavo vak : Wiskunde leerweg : TL toetsnummer : 4T-WIS-S06 toetsduur: : 100 minuten aantal te behalen punten : 56 punten cesuur : 28 punten toetsvorm : Schriftelijk hulpmiddelen : Geodriehoek,

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Grafieken maken met Excel

Grafieken maken met Excel Grafieken maken met Excel Mooie plaatjes met Microsoft Excel 4 HAVO en 5 VWO Grafieken maken met Excel. Inleiding. Bij de practica moet je regelmatig een grafiek tekenen. Tot nu toe deed je dat waarschijnlijk

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

3. Tekentechnieken. Sommige symbolen zijn duidelijk, andere niet. Van links naar rechts staat het symbool (en de werkbalkknop) voor

3. Tekentechnieken. Sommige symbolen zijn duidelijk, andere niet. Van links naar rechts staat het symbool (en de werkbalkknop) voor 3. Tekentechnieken Ocad voorziet een aantal mogelijkheden om voorwerpen te tekenen, afhankelijk van de vorm van de voorwerpen. In de werkbalk vinden we de knoppen voor deze technieken. Sommige symbolen

Nadere informatie

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde Rakende cirkels Keuzeopdracht voor wiskunde Verrijkende opdracht over construeren en redeneren in figuren Voorkennis: meetkunde: cirkels, raaklijn, loodrecht stand; sinus: waarden voor bekende hoeken als

Nadere informatie

Experiment: massadichtheid

Experiment: massadichtheid Inleiding In deze workshop willen we aan de hand van een praktijkvoorbeeld voor de lessen fysica in het derde jaar aangeven hoe de TI-83 plus een handig hulpmiddel kan zijn bij het verwerken van meetresultaten.

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 1 juli 013 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 013: algemene feedback In totaal namen 61 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur die

Nadere informatie

ICT-implementatieplan 1e graad - wiskunde

ICT-implementatieplan 1e graad - wiskunde ICT-implementatieplan 1e graad - wiskunde 1) Het gebruik van rekenmachine a) Visie correct gebruik van de rekenmachine Tijdens de lessen wiskunde willen we het gebruik van de rekenmachine correct aanleren:

Nadere informatie

Boldriehoeken op een wereldkaart. 1. Op zoek naar de kortste afstand

Boldriehoeken op een wereldkaart. 1. Op zoek naar de kortste afstand Boldriehoeken op een wereldkaart 1. Op zoek naar de kortste afstand Een boldriehoek op een wereldbol kun je je makkelijk inbeelden. Je kiest drie steden, en op het aardoppervlak en je verbindt ze met drie

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

WISNET-HBO NHL update jan. 2009

WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Tweedegraadsfuncties Parabolen maken WISNET-HBO NHL update jan. 2009 Inleiding In deze les leer je wat systeem brengen in het snel herkennen van tweedegraadsfuncties. Een paar handige trucjes voor het

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte.

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte. Grafieken, functies en verzamelingen Eerst enkele begrippen Grafiek In een assenstelsel teken je een grafiek. Assenstelsel Een assenstelsel bestaat uit twee assen die elkaar snijden: een horizontale en

Nadere informatie

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100 1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B, Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 6 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel.

INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel. Hoofdstuk 5 Het Assenstelsel 5.1 Het Assenstelsel INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel. Dit assenstelsel is een idee van de Franse filosoof en wiskundige René Descartes(1596-1650).

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Didactisch gebruik van GeoGebra in de eerste graad

Didactisch gebruik van GeoGebra in de eerste graad Didactisch gebruik van GeoGebra in de eerste graad 3 Het basisvenster 1 Downloaden van GeoGebra - GeoGebra is een gratis wiskundepakket dat meetkunde of geometrie en algebra combineert. Elk meetkundig

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

De 10 e editie havo-vwo OB

De 10 e editie havo-vwo OB De 10 e editie havo-vwo OB Presentatie havo/vwo onderbouw 10 e editie 1 HAVO/VWO 1 VWO 2 HAVO 2 HAVO/VWO 2 VWO De delen 10 e editie onderbouw 3 HAVO deel 1 3 HAVO deel 2 3 VWO deel 1 3 VWO deel 2 Presentatie

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

W i s k u n d e. voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN AUTEUR: JOHANNES SUPIT

W i s k u n d e. voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN AUTEUR: JOHANNES SUPIT W i s k u n d e voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN UTEUR: JOHNNES SUPIT COSMICUS MONTESSORI LYCEUM MSTERDM, 200 Inhoudsopgave Getallen. Van de één naar de nul................................

Nadere informatie

DE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL

DE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL Inhoud GETALLENKENNIS 13 1 Getallen 13 2 Het decimale talstelsel 14 3 Breuken 16 Begrippen 16 Soorten breuken 16 Een breuk vereenvoudigen 17 4 Breuken, percenten, kommagetallen 18 Breuk omzetten in een

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

DEEL I. Vlakke figuren. Hoofdstuk 1. Vlakke figuren 6 Hoofdstuk 2. Rechten 20 Hoofdstuk 3. Lijnstukken 39 Hoofdstuk 4. Hoeken 57

DEEL I. Vlakke figuren. Hoofdstuk 1. Vlakke figuren 6 Hoofdstuk 2. Rechten 20 Hoofdstuk 3. Lijnstukken 39 Hoofdstuk 4. Hoeken 57 DEEL I Vlakke figuren Hoofdstuk. Vlakke figuren 6 Hoofdstuk. Rechten 0 Hoofdstuk. Lijnstukken 9 Hoofdstuk. Hoeken 57 Vlakke figuren OP VERKENNING! Sneeuwvlokjes zijn een mooi voorbeeld van meetkunde in

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN 1. SOMGRAFIEK Walter De Volder Breng onder Y 1 en Y 2 de vergelijking van een rechte in. Stel Y 3 = Y 1 + Y 2. Construeer de drie grafieken. Onderzoek verschillende

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

4 Formules en figuren

4 Formules en figuren 4 Formules en figuren Dit is een bewerking van Meetkunde met coördinaten Blok Formules en figuren van Aad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma (014) wiskunde B vwo. Opgaven met dit merkteken kun

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie