Hoorcollege I: PGA en de talen PGLA en PGLB Alban Ponse

Transcriptie

1 Hoorcollege I: PGA en de talen PGLA en PGLB Alban Ponse CSP Faculteit NWI Instituut voor Informatica Universiteit van Amsterdam 26 september 2003, 1

2 Wie zijn wij? Inge Bethke, docent bij CSP (sectie Programmatuur) Bob Diertens, wetenschappelijk programmeur bij CSP Alban Ponse, docent bij CSP Het boekje en internet - pagina 5: de internetlink bevat een niet-publieke verwijzing naar uitwerkingen van de opgaven: User: docent password: neem hiervoor contact op met de docenten. 26 september 2003, 2

3 Inhoud van het programma: Hoorcollege I Computerpracticum I Koffie/thee Hoorcollege II Computerpracticum II Lunch Hoorcollege III Computerpracticum III Koffie/thee Discussie/nabespreking ?? Borrel 26 september 2003, 3

4 1 Enkele Cijfers NL, 2002: 28 miljard Euro automatisering incl. hardware (8% BBP). Mondiaal, 1999: 155 miljard dollar omzet software producten. 50% van de SE-projecten kost tweemaal zoveel als oorspronkelijk begroot. 1 3 van de SE-projecten overschrijdt de tijdsplanning met 200 tot 300%. 80% van de SE-projecten mislukt volgens de opdrachtgevers. Gevolg: 1 3 van de projecten wordt vroegtijdig afgebroken. United States National Institute of Standards and Technology (NIST) schat jaarlijkse kosten van softwarefouten in USA op 60 miljard $ (0.6% van het BBP). Mondiaal, nu: ruim 10 miljoen software engineers werkzaam; meer dan 60% daarvan houdt zich full-time met onderhoud bezig. 26 september 2003, 4

5 2 PGA en Instructierijen Wat is een programma(object)? Antwoord: Een rij instructies. Wat is een instructie? Antwoord: Een verzoek aan een (uitvoerings)omgeving om een bepaalde dienst (service). 26 september 2003, 5

6 2 PGA en Instructierijen Representatie (syntaxis) van programmaobjecten en twee vormen van gelijkheid (equivalentie). Congruentie: equivalentie in context en axioma s Canonieke vormen: voorkeursrepresentaties. 26 september 2003, 6

7 2.1 Syntaxis van PGA-expressies Zij A een verzameling van basisinstructies, bijvoorbeeld A = {a, b, c}. We nemen aan dat de uitvoering van een basisinstructie leidt tot de ontvangst van een (retour-)waarde true of false. In het vervolg noemen we de waarden true en false booleans naar de Engelse wiskundige en logicus George Boole ( ). 26 september 2003, 7

8 2.1 Syntaxis van PGA-expressies De syntaxis van programma-expressies over PGA is gebaseerd op twee methoden van samenstelling (operatoren): Aaneenschakeling. In X; Y worden de instructies van programma X gevolgd door die van programma Y. Herhaling (of repetitie). X ω is het programma dat X steeds herhaalt. We noemen dit programma X omega of X repetent. 26 september 2003, 8

9 2.1 Syntaxis van PGA-expressies en op 5 soorten van primitieve instructies: Voor elke a A de basisinstructie a. De terminatie-instructie!. Voor elke a A de positieve testinstructie +a. Voor elke a A de negatieve testinstructie a. Voor elke k N de spronginstructie #k (of kortweg jump, N = {0, 1, 2,...}). 26 september 2003, 9

10 2.1 Syntaxis van PGA-expressies Voorbeelden van PGA-expressies zijn: a; b het programma dat achtereenvolgens de basisinstructies a en b uitvoert en dan in inactie vervalt. +a; (!; b) het programma dat eerst de positieve testinstructie +a uitvoert. Als a true retourneert, voert het programma de volgende instructie uit, dwz.!, en termineert dus, false retourneert, wordt de terminatieinstructie! overgeslagen en de volgende instructie b uitgevoerd waarna de uitvoering in inactie vervalt. 26 september 2003, 10

11 2.1 Syntaxis van PGA-expressies (a; b) ω ;! het programma dat a; b steeds herhaalt: na het uitvoeren van a wordt b uitgevoerd. Als b false retourneert, wordt a herhaald, true retourneert, wordt a overgeslagen, en voert het programma weer b uit. En dit gaat zo steeds maar door. (#1) ω het programma dat de jump #1 oneindig vaak herhaalt (suggestieve notatie voor dit programma is #1; #1; #1;..., maar dit is natuurlijk geen PGA-expressie). 26 september 2003, 11

12 2.2 Congruentie over instructierijen Merk op dat een programmaobject door verschillende termen kan worden gerepresenteerd. Zo zijn bijvoorbeeld a ω en a; a ω twee notaties voor hetzelfde programma, net als (a; b); c en a; (b; c). 26 september 2003, 12

13 2.2 Congruentie over instructierijen Vergelijkingen voor instructierij-congruentie: (X; Y ); Z = X; (Y ; Z) (PGA1) (X n ) ω = X ω (PGA2) X ω ; Y = X ω (PGA3) (X; Y ) ω = X; (Y ; X) ω (PGA4) 26 september 2003, 13

14 2.2 Congruentie over instructierijen Voorbeelden: (a; b); c = a; (b; c) (PGA1) we laten in het vervolg haakjes weg en schrijven bijvoorbeeld a; b; c (a; a) ω = a ω = (a; a; a) ω (PGA2) (a; +b) ω ; c; d; e = (a; +b) ω (PGA3) (a; b; c) ω = a; (b; c; a) ω = a; b; (c; a; b) ω (PGA4) Indien twee PGA-expressies volgens PGA1 4 gelijk zijn, worden ze instructierij-equivalent genoemd. 26 september 2003, 14

15 2.2 Congruentie over instructierijen PGA1 4 kunnen worden toegepast op subtermen. Voorbeeld: omdat (b; c) ω = b; (c; b) ω (PGA4), geldt ook a; (b; c) ω = a; b; (c; b) ω en (b; c) ω ; d = b; (c; b) ω ; d en ook ((b; c) ω ) ω = (b; (c; b) ω ) ω. Met andere woorden: instructierij-equivalentie over PGA is een congruentie (d.w.z. een equivalentie die behouden blijft onder samenstellingen). 26 september 2003, 15

16 2.2 Congruentie over instructierijen We spreken in het vervolg over instructierij-congruentie in plaats van over instructierij-equivalentie en schrijven X = ic Y als X en Y instructierij-congruent zijn, of eenvoudigweg X = Y (we laten dus soms het subscript ic weg). 26 september 2003, 16

17 2.2 Congruentie over instructierijen In het vervolg zullen we vaak het uitvouwen van een repetitie, i.e. X ω = X; X ω gebruiken. Deze identiteit kan als volgt worden afgeleid met PGA2 en PGA4: X ω = (X; X) ω (PGA2) = X; (X; X) ω (PGA4) = X; X ω (PGA2). 26 september 2003, 17

18 2.4 Beslisbaarheid, volledigheid en eerste canonieke vorm Een gesloten PGA-term van één van de volgende twee gedaanten 1. Y zonder repetitie, 2. Y ; Z ω met Y en Z zonder repetitie, heet een canonieke term van de eerste vorm, of kortweg een eerste canonieke vorm. De subterm Z in geval 2 heet het herhalende deel van de expressie. 26 september 2003, 18

19 2.4 Beslisbaarheid, volledigheid en eerste canonieke vorm Voorbeelden van identiteiten tussen termen en instructierij-congruente eerste canonieke vormen: a ω = ic a; a ω, a ω ; b;!; c = ic a; a ω, +b; (!; c; b; (c; #25; a;!) ω ) ω = ic +b;!; c; b; (c; #25; a;!) ω. 26 september 2003, 19

20 2.4 Beslisbaarheid, volledigheid en eerste canonieke vorm Stelling Zij X een gesloten PGA-term. Dan kunnen we met behulp van PGA1 4 een gesloten canonieke term V van de eerste vorm vinden waarvoor geldt dat X = V. 26 september 2003, 20

21 2.4 Beslisbaarheid, volledigheid en eerste canonieke vorm Instructierij-congruentie van twee gesloten PGA-termen X en Y is beslisbaar: Transformeer X en Y naar een eerste canonieke vorm. Als één van deze twee geen repetitie bevat, moet de andere gelijk zijn (vanwege PGA1 doen de haakjes er in dit geval niet toe). In het andere geval kunnen beide herhalende delen met behulp van PGA2 zo kort mogelijk worden gemaakt. Daarna kunnen met PGA4 de niet-herhalende delen zo kort mogelijk worden geschreven. Na deze transformaties correspondeert instructierij-congruentie weer met syntactische gelijkheid. 26 september 2003, 21

22 2.4 Beslisbaarheid, volledigheid en eerste canonieke vorm Gevolg: PGA1 4 zijn volledig. D.w.z. in het geval dat twee gesloten PGA-termen dezelfde instructierij beschrijven, kan hun gelijkheid met behulp van de vergelijkingen PGA1 4 worden afgeleid: transformeer beide op de hiervoor beschreven manier naar een eerste canonieke vorm. 26 september 2003, 22

23 2.5 Structurele congruentie Vergelijkingen voor structurele congruentie: #n + 1; u 1 ;... ; u n ; #0 = #0; u 1 ;... ; u n ; #0 (PGA5) #n + 1; u 1 ;... ; u n ; #m = #n + m + 1; u 1 ;... ; u n ; #m (PGA6) (#n + k + 1; u 1 ;... ; u n ) ω = (#k; u 1 ;... ; u n ) ω (PGA7) X = u 1 ;... ; u n ; (v 1 ;... ; v m+1 ) ω (PGA8) #n + m + k + 2; X = #n + k + 1; X 26 september 2003, 23

24 2.5 Structurele congruentie PGA-expressies zijn structureel congruent als ze met PGA1 8 aan elkaar gelijk kunnen worden bewezen. Structurele congruentie van X en Y wordt genoteerd als X = sc Y, waar we weer het subscript sc weglaten als dit geen verwarring kan veroorzaken. Merk op: X = ic Y impliceert dat X = sc Y. 26 september 2003, 24

25 2.5 Structurele congruentie Een voorbeeld van een bewijs van structurele congruentie is het volgende: +a; #10; +b; ( c; #2) ω = +a; #8; +b; ( c; #2) ω (PGA8) = +a; #6; +b; ( c; #2) ω (PGA8) = +a; #4; +b; ( c; #2) ω (PGA8) = +a; #2; +b; ( c; #2) ω (PGA8) = +a; #2; +b; c; (#2; c) ω (PGA4) = +a; #2; +b; c; (#0; c) ω (PGA7) = +a; #2; +b; ( c; #0) ω (PGA4). 26 september 2003, 25

26 5.2 Een programmanotatie voor PGA: PGLA PGLA-programma s hebben de gedaante u 1 ;... ; u k met elk van de u i ofwel een primitieve PGA-instructie, ofwel een herhaalinstructie \#n voor n > 0. Bv. a; b; #3; \#2 gedraagt zich als a; (b; #3) ω a; b; #3; \#4 gedraagt zich als (a; b; #3; #0) ω a; b; #3; \#2; u 1 ;... ; u k gedraagt zich als a; b; #3; \#2 26 september 2003, 26

27 5.2 Een programmanotatie voor PGA: PGLA De projectie pgla2pga : PGLA PGA is als volgt gedefinieerd: 1. pgla2pga(x) = X voor X zonder herhaalinstructie, 2. Voor u i primitieve (PGA-)instructies: pgla2pga(u 1 ;... ; u k ; \#n) = pgla2pga(u 1 ;... ; u k ; \#n; X) = u 1 ;... ; u k n ; (u k n+1 ;... ; u k ) ω als k > n, u 1 ;... ; u k ; (u 1 ;... ; u k ) ω als k = n, u 1 ;... ; u k ; (#0) n k ; (u 1 ;... ; u k ; (#0) n k ) ω als k < n. Merk op: deze projectie levert altijd eerste canonieke vormen. 26 september 2003, 27

28 5.2 Een programmanotatie voor PGA: PGLA De inbedding pga2pgla : PGA 1 PGLA is als volgt gedefinieerd (PGA 1 bevat uitsluitend alle eerste canonieke vormen): 1. pga2pgla(x) = X voor X zonder repetitie, 2. pga2pgla(u 1 ;... ; u k ; (u k+1 ;... ; u k+n ) ω ) = u 1 ;... ; u k ; u k+1 ;... ; u k+n ; \#n. Opmerking: inbeddingen kunnen worden gebruikt om de correctheid van projecties aan te tonen. 26 september 2003, 28

29 5.2 Een programmanotatie voor PGA: PGLA Voorbeelden: pga2pgla(a; #3; (a; #3) ω ) = a; #3; a; #3; \#2, pgla2pga(pga2pgla(a; #3; (a; #3) ω )) = pgla2pga(a; #3; a; #3; \#2) = a; #3; (a; #3) ω. Merk op: In het algemeen geldt voor elke eerste canonieke vorm X. pgla2pga(pga2pgla(x)) = X 26 september 2003, 29

30 5.3 Voorwaartse en achterwaartse sprongen in PGLB PGLB-programma s hebben de gedaante u 1 ;... ; u k met elk van de u i ofwel een primitieve PGA-instructie, ofwel een achterwaardse jump \#n voor n N. Bv. \#0 gedraagt zich als #0, a; #7; b; c; \#2 gedraagt zich als a; #7, a; c; \#2; #5; b;! gedraagt zich als (a; c) ω. 26 september 2003, 30

31 5.3 Voorwaartse en achterwaartse sprongen in PGLB De projectie pglb2pgla : PGLB PGLA is als volgt gedefinieerd: pglb2pgla(u 1 ;... ; u k ) = ψ 1 (u 1 );... ;ψ k (u k ); #0; #0; \#k + 2 met ψ j (#l) = #0 als j + l > k, ψ j (\#l) = #k + 2 l als l < j, ψ j (\#l) = #0 als l j, ψ j (u) = u anders. Merk op: De uitbreiding van ψ 1 (u 1 );... ;ψ k (u k ) met #0; #0 behoudt terminatiegedrag. 26 september 2003, 31

32 5.3 Voorwaartse en achterwaartse sprongen in PGLB Voorbeelden: pglb2pgla(+a) = +a; #0; #0; \#3, pglb2pgla(+a; #7; b; +c; \#2) = +a; #0; b; +c; #5; #0; #0; \#7. Definitie: pglb2pga(x) = pgla2pga(pglb2pgla(x)) Merk op: pglb2pga(u 1 ;... ; u k ) = (ψ 1 (u 1 );... ;ψ k (u k ); #0; #0) ω. 26 september 2003, 32