Programmagedrag als transformatie van input naar output. Rekenen op de getallenlijn en in het getallenrooster

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Programmagedrag als transformatie van input naar output. Rekenen op de getallenlijn en in het getallenrooster"

Emmanuel Meyer
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 4 Programma s met Input/Output Programmagedrag als transformatie van input naar output Rekenen op de getallenlijn en in het getallenrooster Paden, van input op weg naar output 4 Programma s met Input/Output 1

2 4.1 Acties en effecten Gegeven een verzameling A van acties wordt een input/outputmodel bepaald door de volgende drie soorten ingrediënten: Een verzameling V van toestanden. Voor elke actie a A een functie effect a : V V. Voor elke actie a A een functie y a : V {true, false}. 4 Programma s met Input/Output 2

3 4.1 Acties en effecten Gegeven een input/outputmodel bepaalt een gedrag P op de volgende manier een input/outputafbeelding P : V V {D}. 1. D v = D, 2. S v = v, 3. (a P ) v = P effect a (v), 4. (P a Q) v = { (a P ) v indien ya (v) = true, (a Q) v anders. Afspraak: P v = D precies dan als voor alle n N, π n (P ) v = D. 4 Programma s met Input/Output 3

4 4.1 Acties en effecten Voor ieder input/outputmodel F over toestandsruimte V is er een equivalentie iof op programmaobjecten met Merk op: X iof Y voor alle v V, X v = Y v. iof identificeert alle programma s die in inactie eindigen, iof is geen congruentie (komen we later op terug). 4 Programma s met Input/Output 4

5 4.2 Rekenen op de getallenlijn F int is het input/outputmodel met A = {succ, pred, pos, neg, zero} V = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} We nemen als effectfuncties: effect succ (v) = v + 1, effect pred (v) = v 1, effect pos (v) = v, effect neg (v) = v, effect zero (v) = v, 4 Programma s met Input/Output 5

6 4.2 Rekenen op de getallenlijn en als yieldfuncties: y succ (v) = y pred (v) = true, y pos (v) = { true als v > 0, false anders, y neg (v) = { true als v < 0, false anders, y zero (v) = { true als v = 0, false anders. 4 Programma s met Input/Output 6

7 4.2 Rekenen op de getallenlijn We kunnen F int gebruiken om te rekenen op de getallenlijn: succ; succ;! 3 = (succ succ S) 3 = (succ S) effect succ ( 3) = (succ S) 2 = S 1 = 1. In het algemeen: succ; succ;! k = k Programma s met Input/Output 7

8 4.2 Rekenen op de getallenlijn (+zero;!; succ) ω 3 = (S zero succ (+zero;!; succ) ω ) 3 In het algemeen: = (succ (+zero;!; succ) ω ) 3 = (+zero;!; succ) ω 4 = (+zero;!; succ) ω 5. = D. (+zero;!; succ) ω k = { 0 als k 0, D anders. 4 Programma s met Input/Output 8

9 4.2 Rekenen op de getallenlijn Twee simpele voorbeelden van F int -identiteiten zijn: succ; pred;! iofint!, succ ω iofint #0. Gevolg: iofint is geen congruentie. Bv. #3; succ; pred;! iofint #3;!. 4 Programma s met Input/Output 9

10 4.3 Paden, van input op weg naar output Volledige paden hebben één van de volgende drie vormen: v 0,..., v k, voor k N en v i V Bv. S vpad v = v, a;! vpad v = v, effect a (v), pred; pred;! vpad 3 = 3, 4, 5, 4 Programma s met Input/Output 10

11 4.3 Paden, van input op weg naar output v 0,..., v k, D voor k N en v i V Bv. D vpad v = v, D (a D) vpad v = v, effect a (v), D succ; succ vpad 3 = 3, 2, 1, D 4 Programma s met Input/Output 11

12 4.3 Paden, van input op weg naar output v 0,..., v k,... voor k N en v i V Bv. succ ω vpad 3 = 3, 4, 5,... (succ; pred) ω vpad 3 = 3, 4, 3, 4, 3, 4,... ( zero; pred) ω vpad 3 = 3, 3, 2, 2, 1, 1, 0, 0, 0,... 4 Programma s met Input/Output 12

13 4.3 Paden, van input op weg naar output Volledige stottervrije paden: pred; pred;! vsvpad 3 = 3, 4, 5, succ; pred vsvpad 3 = 3, 2, 3, D succ ω vsvpad 3 = 3, 4, 5,... (succ; pred) ω vsvpad 3 = 3, 4, 3, 4, 3, 4,... ( zero; pred) ω vsvpad 3 = 3, 2, 1, 0 4 Programma s met Input/Output 13

14 4.3 Paden, van input op weg naar output Sommige paden kun je aardig illustreren, bv. 3, 4, 5, 3, 4, 5,... 4 Programma s met Input/Output 14

15 4.4 Rekenen in het getallenrooster F int 2 is het input/outputmodel met A = A move A test V = { n, m n, m {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...}} 4 Programma s met Input/Output 15

16 4.4 Rekenen in het getallenrooster waar A move = {mup, mdown, mleft, mright} met effect mup ( x, y ) = x, y + 1 etc., en voor a A move y a ( x, y ) = true 4 Programma s met Input/Output 16

17 4.4 Rekenen in het getallenrooster en A test = {xpos, xnull, xneg, ypos, ynull, yneg, diag, codiag} met xpos (ypos) xnull (ynull) xneg (yneg) diag codiag (levert true indien x > 0 (y > 0) en anders false), (levert true als x = 0 (y = 0) en anders false), (levert true als x < 0 (y < 0) en anders false), (diagonaal, levert true als x = y en anders false), (codiagonaal, levert true als x = y en anders false), en voor a A test effect a ( x, y ) = x, y. 4 Programma s met Input/Output 17

18 4.4 Rekenen in het getallenrooster Voorbeeld: X = (+ynull;!; mright; mdown) ω X = S ynull mright mdown X X vsvpad 3, 1 = 3, 1, 2, 1, 2, 0, X vsvpad 3, 1 = 3, 1, 4, 1, 4, 2, 5, 2, 5, 3,... 4 Programma s met Input/Output 18

19 4.4 Rekenen in het getallenrooster 4 Programma s met Input/Output 19

20 4.4 Rekenen in het getallenrooster Een ander voorbeeld: Y = (+ynull;!; +ypos; #2; #4; mright; mdown; #3; mleft; mup) ω. Y = S ynull (mright mdown Y ypos mleft mup Y ), Y x, y = x + y, 0. 4 Programma s met Input/Output 20

Vergelijkbare documenten

Hoorcollege I: PGA en de talen PGLA en PGLB Alban Ponse

Hoorcollege I: PGA en de talen PGLA en PGLB Alban Ponse CSP Faculteit NWI Instituut voor Informatica Universiteit van Amsterdam http://www.science.uva.nl/~alban/ 26 september 2003, 1 Wie zijn wij? Inge