Een voorbeeld. Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander. Een voorbeeld vervolg. Een zoekprobleem met een tegenstander

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Een voorbeeld. Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander. Een voorbeeld vervolg. Een zoekprobleem met een tegenstander"

Transcriptie

1 Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander Beschouw het boter-kaas-en-eieren spel: een probleemtoestand is een plaatsing van i kruisjes en j nulletjes in de vakjes van het raam, met i j en i + j 9: de begintoestand is het raam met negen lege vakjes: een eindtoestand is een probleemtoestand met drie kruisjes of drie nulletjes op een rij, of een toestand waarin geen lege vakjes voorkomen; Comp. Int.: Zoeken met tegenstander / 35 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Definitie 2 / 35 Een zoekprobleem met een tegenstander de operator voor de speler is het plaatsen van een kruisje in een leeg vakje; de operator voor de tegenstander is het plaatsen van een nulletje in een leeg vakje; een utiliteitsfunctie u voor de speler is u(t) = als de eindtoestand t drie kruisjes op een rij bevat; u(t) = als de eindtoestand t drie nulletjes op een rij bevat; u(t) = anders. Een zoekprobleem voor een speler MAX met een tegenstander MIN is een tupel P = (T, B, E, O MAX O MIN, u, s) met T is de verzameling van probleemtoestanden; B T is de verzameling van begintoestanden; E T is de verzameling van eindtoestanden; O MAX P(T T) is de verzameling van operatoren voor de speler en O MIN is die voor de tegenstander; u: E IN is de utiliteitsfunctie van de speler; s {MAX, MIN} is de partij die de eerste operator toepast. De speler en de tegenstander genereren een reeks probleemtoestanden door om de beurt een operator toe te passen. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Definitie 3 / 35 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Definitie 4 / 35

2 Zoeken met een tegenstander een optimaal algoritme voor zoeken met een tegenstander zoekt een uitputtende strategie voor de speler: de strategie schrijft voor elke mogelijke toestand na een zet van de tegenstander, voor welke zet de speler moet doen; de strategie maximaliseert de (verwachte) utiliteit voor de speler; algoritmen voor zoeken met een tegenstander: minimax search; minimax search met alfa-beta snoeien. Beschouw het nim-spel: het spel begint met een enkele stapel stenen; in elke zet mag een partij één stapel stenen in twee stapels van ongelijke grootte verdelen; het spel eindigt als elke stapel maximaal twee stenen bevat; de partij die het spel in een eindtoestand brengt, is de winnaar. Een zoekalgoritme moet een optimale strategie voor de speler vinden. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Definitie 5 / 35 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Definitie 6 / 35 Veronderstel dat het nim-spel met zeven stenen wordt gespeeld en dat de tegenstander begin 6, 5, 2 5,, 4, 2, 3, 2, 2 3, 3, 4,,, 3, 2,, 2, 2, 2, 3,,,, 2, 2,,, 2,,,,, De zoekgraaf bevat alle reeksen probleemtoestanden die door de speler en de tegenstander gegenereerd kunnen worden. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Definitie / 35 6, 5, 2 5,, 4, 2, 3, 2, 2 3, 3, 4,,, 3, 2,, 2, 2, 2, 3,,,, 2, 2,,, 2,,,,, Een optimale strategie voor de speler is als volg als de tegenstander de zet 6, doet, doe dan de zet 4, 2, ; als de tegenstander de zet 5, 2 doet, doe dan de zet 4, 2, ; als de tegenstander de zet doet, doe dan de zet 3, 3, ;... Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Definitie 8 / 35

3 Het idee van minimax search Minimax search Het idee van minimax search is het algoritme berekent voor elke knoop in de zoekboom de maximaal voor de speler te bereiken utiliteit onder de aannamen: de speler doet altijd de beste zet; de tegenstander doet altijd de voor de speler slechtste zet; het algoritme voert hiertoe een uitputtende depth-first search uit op de zoekboom. Beschouw een zoekprobleem met een tegenstander: minimax search construeert de gehele zoekboom van het probleem; minimax search berekent minimax(t) voor elke knoop t in de zoekboom: minimax(t) = u(t) als t een eindtoestand is; minimax(t) = max s succ(t) {minimax(s)} als t een toestand is waarin de speler aan zet is; minimax(t) = mins succ(t) {minimax(s)} als t een toestand is waarin de tegenstander aan zet is; minimax search construeert vervolgens een optimale strategie voor de speler. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 9 / 35 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search / 35 Beschouw nogmaals 6, 5, 2 5,, 4, 2, 3, 2, 2 3, 3, 4,,, 3, 2,, 2, 2, 2, 3,,,, 2, 2,,, 2,,,,, De minimax-waarde van een eindtoestand is de utiliteit van die toestand en geeft de wenselijkheid voor de speler weer. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search / 35 5,, 4,,, 3,,,, 2,,,,, 6, 4, 2, 3, 2,, 2, 2,,, 5, 2 3, 2, 2 2, 2, 2, 3, 3, de minimax-waarde van een toestand waarin de speler aan zet is, veronderstelt dat de speler de beste zet doet; de minimax-waarde van een toestand waarin de tegenstander aan zet is, veronderstelt dat deze de voor de speler slechtste zet doet. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 2 / 35

4 De veronderstelling 5,, 6, 4, 2, 5, 2 3, 2, 2 3, 3, Minimax search is gebaseerd op de veronderstelling dat de tegenstander ook een optimale strategie hanteert. Voorbeeld In het volgende spel begint de speler: 4,,, 3, 2,, 2, 2, 2, t 3,,,, 2, 2,,, t t 2 5 t 3 2,,,,, De optimale strategie schrijft voor elke toestand waarin de speler aan zet is, de zet met de hoogste minimax-waarde voor: als de tegenstander de zet 6, doet, doe dan de zet 4, 2, ; als de tegenstander de zet 5, 2 doet, doe dan de zet 4, 2, ; Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 3 / 35 t 4 t 5 t 6 t 5 t 8 t 9 5 Gebaseerd op de veronderstelling schrijft de strategie de zet naar t voor: de beste eindtoestand t wordt al bij voorbaat opgegeven! Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 4 / 35 De bruikbaarheid van minimax Het gebruik van een dieptegrens Beschouw een spel met een zoekboom met diepte d en vertakkingsfactor b: de rekentijd van het minimax algoritme is ruwweg van de orde b d ; De zoekboom voor boter-kaas-en-eieren heeft al 9! = bladeren Het minimax basisalgoritme wordt meestal uitgebreid met een dieptegrens: de dieptegrens specificieert een maximum aan de diepte van de te genereren zoekboom; het gebruik van de dieptegrens heeft als doel de rekentijd van minimax search te beperken; een concrete dieptegrens wordt gekozen op basis van de beschikbare rekentijd; kennis van de winnende probleemtoestanden van het onderhavige spel. Het minimax algoritme schrijft nu uitsluitend de eerstvolgende zet voor. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 5 / 35 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 6 / 35

5 De heuristische functie Beschouw het boter-kaas-en-eieren spel en veronderstel dat de speler begint met het plaatsen van een kruisje: o o o Minimax search met diepte 2 genereert de bovenstaande zoekboom (rekening houdend met symmetrieën). Op de verzameling probleemtoestanden van een spel wordt een heuristische functie gedefinieerd: de heuristische waarde van een toestand is een inschatting van de wenselijkheid van de toestand voor de speler; de heuristische functie is gebaseerd op kennis van het spel en van de winnende toestanden. De heuristische waarde van een toestand moet eenvoudig, zonder grote computationele kosten te berekenen zijn. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search / 35 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 8 / 35 Op de toestandsruimte van het boter-kaas-en-eieren spel definiëren we de volgende heuristische functie:, als t drie kruisjes op een rij bevat h(t) =, als t drie nulletjes op een rij bevat max(t) min(t), anders Beschouw de gegeven heuristische functie op de toestandsruimte van het boter-kaas-en-eieren spel. Dan geldt h(t) = 6 5 = met max(t) = het aantal open winnende rijen voor de speler h(t) = 4 6 = 2 min(t) = het aantal open winnende rijen voor de tegenstander Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 9 / 35 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 2 / 35

6 Minimax search met begrensde diepte Minimax search met begrensde diepte is in essentie gelijk aan het minimax basisalgoritme. Echter, minimax search met diepte n construeert voor een probleem een begrensde zoekboom tot en met diepte n; minimax search met diepte n berekent een heuristische minimax-waarde h-minimax(t) voor elke toestand t in de begrensde boom: h-minimax(t) = h(t) als t een blad van de begrensde boom is; h-minimax(t) wordt berekend met dezelfde rekenregels als minimax(t) voorheen; minimax search met begrensde diepte n selecteert als eerstvolgende zet een zet die in de hoogste h-minimax waarde resulteert. Beschouw nogmaals het boter-kaas-en-eieren spel en veronderstel dat de speler begint met het plaatsen van een kruisje: o o o o 2 2 Minimax search met begrensde diepte gebruikt de heuristische functie voor het berekenen van de h-minimax waarden voor de bladeren van de begrensde boom. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 2 / 35 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 22 / 35 Beschouw nogmaals 2 2 o o o 2 Minimax search met begrensde diepte berekent de h-minimax waarden voor de overige toestanden volgens de rekenregels van het basisalgoritme. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 23 / 35 De veronderstelling Minimax search met begrensde diepte veronderstelt dat voor een interne toestand t in de boom geldt dat h-minimax(t) een betere inschatting geeft van de wenselijkheid van t voor de speler dan h(t) Vergelijk bijvoorbeeld de volgende zetten voor de speler: h(t) = 4 = 3 h(t) = 4 = 3 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander Minimax search 24 / 35

7 α β pruning α β pruning is een aanvullende techniek voor het minimax-search algoritme, met de minimax-waarden worden tijdens de constructie van de zoekboom berekend: de minimax-waarde van een blad wordt direct berekend; de minimax-waarde van een interne toestand wordt berekend zodra de waarden van de successors bekend zijn; de reeds berekende minimax-waarden worden gebruikt om de zoekboom dynamisch te reduceren. α β pruning is in essentie een branch-and-bound techniek. Beschouw nogmaals de volgende zoekboom en veronderstel dat de h-minimax waarden tijdens de constructie worden berekend: 2 s: 2 o o o 2 Na de berekening van de h-minimax waarde van de toestand t geldt dat de h-minimax waarde van s nooit groter dan 2 kan worden, immers h-minimax(s) = min { 2, h(r)} r succ(s) Comp. Int.: Zoeken met tegenstander alpha-beta pruning 25 / 35 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander alpha-beta pruning 26 / 35 Grenzen aan de minimax-waarden De α-grens Minimax search met α β pruning houdt voor elke toestand in de zoekboom een grens aan de minimax-waarde van die toestand bij: voor elke toestand t waarin de speler aan zet is, wordt een ondergrens α(t) bijgehouden met Beschouw s: α(t) minimax(t) voor elke toestand t waarin de tegenstander aan zet is, wordt een bovengrens β(t) bijgehouden met β(t) minimax(t) Na de evaluatie van de toestand t geldt voor de begintoestand s dat h-minimax(s). Het algoritme kent aan s de volgende α-grens toe: α(s) = Comp. Int.: Zoeken met tegenstander alpha-beta pruning 2 / 35 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander alpha-beta pruning 28 / 35

8 De β-grens Beschouw o o o Na de evaluatie van het blad t geldt voor de toestand s dat h-minimax(s) 2. Het algoritme kent aan s de volgende β-grens toe: β(s) = 2 2 s: Het bijhouden van de grenzen Tijdens minimax search met α β pruning worden de twee grenzen dynamisch bijgehouden: voor de grens α(t) voor een toestand t waarin de speler aan zet is, geldt op elk moment α(t) = max s comp-succ(t) {minimax(s)} voor de grens β(t) voor een toestand t waarin de tegenstander aan zet is, geldt op elk moment β(t) = min s comp-succ(t) {minimax(s)} waarin comp-succ(t) de verzameling is van reeds geëvalueerde successors van t. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander alpha-beta pruning 29 / 35 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander alpha-beta pruning 3 / 35 Beschouw nogmaals s: 2 o o o o o o 2 2 de grens β(s) van toestand s krijgt achtereenvolgens de waarden,, de grens α(t) van toestand t krijgt achtereenvolgens de waarden, Comp. Int.: Zoeken met tegenstander alpha-beta pruning 3 / 35 Het gebruik van de grenzen Minimax search met α β pruning gebruikt de twee grenzen om de zoekboom dynamisch te reduceren: een toestand t waarin de tegenstander aan zet is, wordt niet verder geëxpandeerd als β(t) α(s) voor een voorouder s van t men spreekt van een α-afkapping; een toestand t waarin de speler aan zet is, wordt niet verder geëxpandeerd als α(t) β(s) voor een voorouder s van t men spreekt van een β-afkapping. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander alpha-beta pruning 32 / 35

9 Het gebruik van de grenzen Enkele opmerkingen Beschouw α = β = 2 o 2 Met α β pruning vindt bij toestand t een α-afkapping plaats. minimax search met α β pruning resulteert in dezelfde strategie voor de speler als het gewone minimax-search algoritme; de afkappingen die met α β pruning optreden, zijn sterk afhankelijk van de volgorde waarin de successors van een toestand worden onderzocht; in vergelijking met het gewone minimax-search algoritme kan het algoritme met α β pruning een tot tweemaal zo diepe zoekboom onderzoeken. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander alpha-beta pruning 33 / 35 Comp. Int.: Zoeken met tegenstander alpha-beta pruning 34 / 35 De maximale effectiviteit van de pruning Beschouw een zoekboom met diepte d en vertakkingsfactor b. Veronderstel dat de successors in volgorde van hun h-minimax waarden worden gegenereerd: van laag naar hoog voor een toestand waarin de tegenstander aan zet is; van hoog naar laag voor een toestand waarin de speler aan zet is. Voor het aantal toestanden n op diepte d geldt na α β pruning dat n = 2 b d voor een even diepte d; n = b d+ + b d voor een oneven d. Voor gewone minimax search geldt dat n = b d. Comp. Int.: Zoeken met tegenstander alpha-beta pruning 35 / 35

Kosten. Zoekalgoritmen ( ) College 5: Zoeken met kosten. Een zoekprobleem met stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route

Kosten. Zoekalgoritmen ( ) College 5: Zoeken met kosten. Een zoekprobleem met stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route Kosten Zoekalgoritmen (00 00) ollege 5: Zoeken met kosten Peter de Waal, Tekst: Linda van der aag Veel zoekproblemen omvatten kosten: een afstand in kilometers; een geldbedrag; een hoeveelheid tijd; ongemak;...

Nadere informatie

Recapitulatie: Ongeïnformeerd zoeken. Zoekalgoritmen ( ) College 2: Ongeïnformeerd zoeken. Dynamische breadth-first search

Recapitulatie: Ongeïnformeerd zoeken. Zoekalgoritmen ( ) College 2: Ongeïnformeerd zoeken. Dynamische breadth-first search Recapitulatie: Ongeïnformeerd zoeken Zoekalgoritmen (009 00) College : Ongeïnformeerd zoeken Peter de Waal, Tekst: Linda van der Gaag een algoritme voor ongeïnformeerd zoeken doorzoekt de zoekruimte van

Nadere informatie

Zoeken met beperkt geheugen. Zoekalgoritmen ( ) College 7: Zoeken met beperkt geheugen. Een representatie van het kleuringsprobleem

Zoeken met beperkt geheugen. Zoekalgoritmen ( ) College 7: Zoeken met beperkt geheugen. Een representatie van het kleuringsprobleem Zoeken met beperkt geheugen Zoekalgoritmen (2009 2010) College 7: Zoeken met beperkt geheugen Dirk Thierens, Tekst: Linda van der Gaag algoritmen voor zoeken met beperkt geheugen zijn ontwikkeld voor problemen

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound Algoritmiek 013/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 mei 013 Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound 1 Algoritmiek 013/11 Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5 A B C D E F G H 0 9 9 7 5 A B C

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 Introductie

Nadere informatie

Heuristisch zoeken. Computationele Intelligentie. Een heuristische functie op de toestandsruimte. Voorbeelden van kennis. Heuristisch zoeken

Heuristisch zoeken. Computationele Intelligentie. Een heuristische functie op de toestandsruimte. Voorbeelden van kennis. Heuristisch zoeken Heuristisch zoeken Computationele Intelligentie Heuristisch zoeken een algoritme voor heuristisch zoeken oorzoekt e zoekruimte van een proleem op een systematische wijze, gestuur oor kennis van het proleem;

Nadere informatie

Derde college algoritmiek. 23 februari Toestand-actie-ruimte

Derde college algoritmiek. 23 februari Toestand-actie-ruimte College 3 Derde college algoritmiek 23 februari 2012 Toestand-actie-ruimte 1 BZboom: verwijderen 60 20 80 10 40 70 100 1 15 30 75 5 25 35 100 verwijderen = 60 20 80 10 40 70 1 15 30 75 5 25 35 verwijderen

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

Spider Solitaire is NP-Compleet

Spider Solitaire is NP-Compleet Spider Solitaire is NP-Compleet Kenneth Verstraete 21 april 2016 1 Inleiding Spider Solitaire is een populair kaartspel dat alleen gespeeld wordt. Het werd/wordt standaard bij o.a. Microsoft Windows meegeleverd.

Nadere informatie

Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.

Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda. Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.nl Breukenpizza! 1. Knijpkaart 2. Decimalen 3. Domino 4.

Nadere informatie

Opgaven Zoekbomen Datastructuren, 15 juni 2016, Werkgroep.

Opgaven Zoekbomen Datastructuren, 15 juni 2016, Werkgroep. Opgaven Zoekbomen Datastructuren, 15 juni 2016, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven.

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

Aan de tafel! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de tafels te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.

Aan de tafel! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de tafels te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda. Aan de tafel! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de tafels te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.nl Aan de tafel 1. Zeeslag 2. Snelle Jelle 3. Vier op een

Nadere informatie

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK 1 1. INLEIDING Parametrische statistiek: Normale Verdeling Niet-parametrische statistiek: Verdelingsvrij Keuze tussen de twee benaderingen I.

Nadere informatie

Je kunt de kansen met wiskunde technieken berekenen (bijvoorbeeld boomdiagramman), maar je kunt ook deze door simulaties achterhalen.

Je kunt de kansen met wiskunde technieken berekenen (bijvoorbeeld boomdiagramman), maar je kunt ook deze door simulaties achterhalen. Spelen met Kansen Bij wiskunde A, havo en vwo In een heleboel gezelschapsspellen speelt het toeval een grote rol, bijvoorbeeld Patience, Ganzenbord, Thodi, Black Jack, Risk, Poker, Bridge. Deze spellen

Nadere informatie

5 VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER

5 VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER Deze praktische opdracht gaat over het slim spelen van spelletjes. Kun je zo slim spelen dat je altijd wint? Of dat je in ieder geval nooit verliest? Dit geldt natuurlijk

Nadere informatie

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 5 van Russell/Norvig = [RN] Spel(l)en. voorjaar 2016 College 6, 22 maart 2016

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 5 van Russell/Norvig = [RN] Spel(l)en. voorjaar 2016 College 6, 22 maart 2016 AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 5 van Russell/Norvig = [RN] Spel(l)en voorjaar 2016 College 6, 22 maart 2016 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 Introductie Spellen geven aanleiding tot

Nadere informatie

Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 3 juni 2008, uur

Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 3 juni 2008, uur Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 3 juni 2008, 10.00 13.00 uur Opgave 1. a. Een toestand is hier een m bij n bord met voor elk vakje aangegeven of het leeg is, óf een witte steen bevat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1

Examen VWO. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 21 juni 13.30 16.30 uur 20 06 Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen

Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen Universiteit Twente 2009-2010/2 Afdeling Informatica, Faculteit EWI Tentamen dinsdag 19 januari 2010, 8.45-12.15 Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit (214020 en 214025) Uitwerkingen Bij dit tentamen

Nadere informatie

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 )

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 ) OI 2010 Finale 12 Mei 2010 Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub VOORNAAM :....................................................... NAAM :..............................................................

Nadere informatie

Materiaal. Voorbereiding. spelverloop. deelnemers spel begeleiding. aantal leeftijd doelgroep spelsoort duur aantal. bosspel

Materiaal. Voorbereiding. spelverloop. deelnemers spel begeleiding. aantal leeftijd doelgroep spelsoort duur aantal. bosspel HANDEL VOOR JE LEVEN deelnemers spel begeleiding aantal leeftijd doelgroep spelsoort duur aantal minimum 8, maximum 60 personen 10-16 jaar Jeugd Rode Kruis jeugdverenigingen bosspel pleinspel +/- 1 uur

Nadere informatie

Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Stochastische Modellen in Operations Management (153088) Stochastische Modellen in Operations Management (153088) S1 S2 X ms X ms R1 S0 240 ms Ack L1 R2 10 ms Internet R3 L2 D0 10 ms D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219

Nadere informatie

c, X/X a, c/λ a, X/aX b, X/X

c, X/X a, c/λ a, X/aX b, X/X ANTWOORDEN tentamen FUNDAMENTELE INFORMATICA 3 vrijdag 25 januari 2008, 10.00-13.00 uur Opgave 1 L = {x {a,b,c} n a (x) n b (x)} {x {a,b,c} n a (x) n c (x)}. a. Een stapelautomaat die L accepteert: Λ,

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Speltheorie 29-10-2003

Tentamen Inleiding Speltheorie 29-10-2003 entamen Inleiding Speltheorie 9-0-003 Dit tentamen telt 5 opgaven die in 3 uur moeten worden opgelost. Het maximaal te behalen punten is 0, uitgesplitst naar de verschillende opgaven. Voor het tentamencijfer

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Beknopte uitwerking Examen Neurale Netwerken (2L490) d.d. 11-8-2004.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Beknopte uitwerking Examen Neurale Netwerken (2L490) d.d. 11-8-2004. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Beknopte uitwerking Eamen Neurale Netwerken (2L490) d.d. 11-8-2004. 1. Beschouw de volgende configuratie in het platte vlak. l 1 l 2

Nadere informatie

Impartiële spellen. Marie Beth van Egmond, Lisa Steverink. 12 juli 2013. Project wiskunde 2 Begeleiding: dr. Roland van der Veen

Impartiële spellen. Marie Beth van Egmond, Lisa Steverink. 12 juli 2013. Project wiskunde 2 Begeleiding: dr. Roland van der Veen Impartiële spellen Marie Beth van Egmond, Lisa Steverink 12 juli 2013 Project wiskunde 2 Begeleiding: dr. Roland van der Veen Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,

Nadere informatie

Opgaven bij Hoofdstuk 3 - Productiesystemen

Opgaven bij Hoofdstuk 3 - Productiesystemen Opgaven bij Hoofdstuk 3 - Productiesystemen Top-down inferentie In de opgaven in deze paragraaf over top-down inferentie wordt aangenomen dat de feitenverzameling alleen feiten bevat die als getraceerd

Nadere informatie

2 Recurrente betrekkingen

2 Recurrente betrekkingen WIS2 1 2 Recurrente betrekkingen 2.1 Fibonacci De getallen van Fibonacci Fibonacci (= Leonardo van Pisa), 1202: Bereken het aantal paren konijnen na één jaar, als 1. er na 1 maand 1 paar pasgeboren konijnen

Nadere informatie

Spel: Slangen en ladders

Spel: Slangen en ladders Aantal personen Min. 2 personen, max. 6 personen Taalleerders met eenzelfde taalbeheersingsniveau per spelbord Taalniveau Beschrijvend taalniveau Structurerend taalniveau Vaardigheden Verschillende niveaus

Nadere informatie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist

Nadere informatie

Handleiding Afdrukken samenvoegen

Handleiding Afdrukken samenvoegen Handleiding Afdrukken samenvoegen Versie: 1.0 Afdrukken Samenvoegen Datum: 17-07-2013 Brieven afdrukken met afdruk samenvoegen U gebruikt Afdruk samenvoegen wanneer u een reeks documenten maakt, bijvoorbeeld

Nadere informatie

Deze strook afsnijden, anders past het niet netjes in de doos.

Deze strook afsnijden, anders past het niet netjes in de doos. Als handelaren doorkruisen de spelers met hun karavanen de woestijn. Ze zijn op zoek naar oasen, waar ze waardevolle goederen, zoals wierrook, mirre, zout en edelstenen, kunnen vinden. Ontdekt een speler

Nadere informatie

Inhoud eindtoets. Eindtoets. Introductie 2. Opgaven 3. Terugkoppeling 6

Inhoud eindtoets. Eindtoets. Introductie 2. Opgaven 3. Terugkoppeling 6 Inhoud eindtoets Eindtoets Introductie 2 Opgaven 3 Terugkoppeling 6 1 Formele talen en automaten Eindtoets I N T R O D U C T I E Deze eindtoets is bedoeld als voorbereiding op het tentamen van de cursus

Nadere informatie

Handleiding Liquid Office

Handleiding Liquid Office Handleiding Liquid Office Netbebeheerders Elektriciteit en/of Gas U heeft twee opties voor het invullen van het informatieverzoek Prestaties Facturering : - U kunt de data zelf handmatig in de Liquid Office

Nadere informatie

Automatisch toewijzen van plaatsen in de bus

Automatisch toewijzen van plaatsen in de bus Automatisch toewijzen van plaatsen in de bus 1. Busplan opstellen. Programma 7.1.13.1 gebruiken om het busplan te definiëren. Nadat de namen van de rijen gedefinieerd werden (bvb links raam, links gang,

Nadere informatie

Iedere speler krijgt de 11 stenen van één kleur en legt ze open voor zich op tafel.

Iedere speler krijgt de 11 stenen van één kleur en legt ze open voor zich op tafel. Hive van John Yianni Voor 2 spelers vanaf 9 jaar Inhoud 22 gegraveerde stenen van bakeliet. 1 Tas om de stenen te bewaren. Hive het strategiespel voor twee spelers is verslavend. Op 11 zwarte en 11 ivoorkleurige

Nadere informatie

Het handboek van Luitenant Skat

Het handboek van Luitenant Skat Martin Heni Eugene Trounev Nalezer: Mike McBride Vertaling van het handboek: Niels Reedijk Vertaler/Nalezer: Alexander S. Koning 2 Inhoudsopgave 1 Inleiding 5 2 Hoe te spelen 6 3 Spelregels, strategieën

Nadere informatie

5 VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER

5 VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER Geachte collega, U treft hier aan een wiskunde werkstuk met de titel Spelen op een slimme manier. Dit werkstuk is gegeven aan alle 5 vwo leerlingen en na hen geïnterviewd te hebben aangepast. Het gehanteerde

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Tree traversal. Bomen zijn overal. Ferd van Odenhoven. 15 november 2011

Tree traversal. Bomen zijn overal. Ferd van Odenhoven. 15 november 2011 15 november 2011 Tree traversal Ferd van Odenhoven Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering 15 november 2011 ODE/FHTBM Tree traversal 15 november 2011 1/22 1 ODE/FHTBM Tree

Nadere informatie

Club: vv Sweel. Tijd: 60 min. Aantal spelers: 8. Organisatie (tekening en accenten):

Club: vv Sweel. Tijd: 60 min. Aantal spelers: 8. Organisatie (tekening en accenten): Dribbelen en kappen Club: vv Sweel Aantal spelers: 8 Tijd: 60 min Tijd: Activiteiten trainer en spelers: Didactische aanwijzingen, aandachtspunten of accenten: 5 min Warming-up 1: (standaard wedstrijd

Nadere informatie

Spelregels IK BOX spel (3 of 4 personen)

Spelregels IK BOX spel (3 of 4 personen) IK BOX spelregels Spelregels IK BOX spel (3 of 4 personen) Spelmateriaal 1 spelbord (binnenkant van de IK BOX) met aan de zijkanten de grote ZaaiGoedkaarten. 4 pionnen (Tess, Mo, Max en Kate). 4 bakjes.

Nadere informatie

9. Strategieën en oplossingsmethoden

9. Strategieën en oplossingsmethoden 9. Strategieën en oplossingsmethoden In dit hoofdstuk wordt nog even terug gekeken naar alle voorgaande hoofdstukken. We herhalen globaal de structuren en geven enkele richtlijnen voor het ontwerpen van

Nadere informatie

Sorteer netjes! 1. Knip de kaartjes van bijlage 1 uit. Sorteer

Sorteer netjes! 1. Knip de kaartjes van bijlage 1 uit. Sorteer Sorteer netjes! 1 Knip de kaartjes van bijlage 1 uit. Sorteer a de rozen (*1) b de kleine bloemen (*2) c de bloemen zonder bladeren (*3) d de bloemen, niet tulpen (*4) Omcirkel de dieren. Omcirkel de dieren

Nadere informatie

DEEL 5 Wedstrijdformulier

DEEL 5 Wedstrijdformulier DEEL 5 Wedstrijdformulier 1 VOOR DE WEDSTRIJD De teller moet controleren dat de regels en vakken van de wedstrijd, die wordt gespeeld, juist zijn ingevuld. Is dit niet het geval, dan moeten deze als volgt

Nadere informatie

Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)

Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.

Nadere informatie

TRAINERSSITE.NL VOETBALCLUB2000.NL HANDLEIDING

TRAINERSSITE.NL VOETBALCLUB2000.NL HANDLEIDING TRAINERSSITE.NL VOETBALCLUB2000.NL HANDLEIDING Wedstrijdregistratie Laatste update: 7 augustus 2012 Welkom Welkom bij de handleiding van de wedstrijdregistratie. Dit maakt bij ons onderdeel uit van coach

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B,2 (nieuwe stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 9 juni 3.30 6.30 uur 20 02 Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen; het eamen bestaat uit 6 vragen.

Nadere informatie

Derde college complexiteit. 7 februari Zoeken

Derde college complexiteit. 7 februari Zoeken College 3 Derde college complexiteit 7 februari 2017 Recurrente Betrekkingen Zoeken 1 Recurrente betrekkingen -1- Rij van Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... Vanaf het derde element: som van de voorgaande

Nadere informatie

Fracdes is een programma dat op een vrij eenvoudige manier toelaat figuren te construeren zoals de Kock-kromme en de Sierpinski-driehoek.

Fracdes is een programma dat op een vrij eenvoudige manier toelaat figuren te construeren zoals de Kock-kromme en de Sierpinski-driehoek. Appendix C: Fracdes Fracdes is een programma dat op een vrij eenvoudige manier toelaat figuren te construeren zoals de Kock-kromme en de Sierpinski-driehoek. Het programma omvat twee delen: de Familie

Nadere informatie

Drie Gelijkbenige driehoeken De gelijkbenige driehoek hieronder is verdeeld in twee gelijkbenige driehoeken. Hoe groot is de tophoek van de driehoek?

Drie Gelijkbenige driehoeken De gelijkbenige driehoek hieronder is verdeeld in twee gelijkbenige driehoeken. Hoe groot is de tophoek van de driehoek? Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Drie Gelijkbenige driehoeken De gelijkbenige driehoek hieronder is verdeeld in twee gelijkbenige driehoeken.? O O Hoe groot is de tophoek van de driehoek?

Nadere informatie

NATIONAAL WEDSTRIJDFORMULIER

NATIONAAL WEDSTRIJDFORMULIER NATIONAAL WEDSTRIJDFORMULIER INHOUDSOPGAVE Verkleinde uitgave van wedstrijdformulier 3 I Voor de wedstrijd A Bovenkant van het formulier 4 B Rechteronderkant formulier 4 C Goedkeuring 5 II Na de toss voor

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 (tot en met 3.4) van Russell/Norvig = [RN] Probleemoplossen en zoeken

Hoofdstuk 3 (tot en met 3.4) van Russell/Norvig = [RN] Probleemoplossen en zoeken AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 3 (tot en met 3.4) van Russell/Norvig = [RN] Probleemoplossen en zoeken voorjaar 2015 College 4, 3 maart 2015 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 AI Robotica

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:

Nadere informatie

Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren

Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Daniel von Asmuth Inleiding Er zijn in de vakliteratuur verschillende manieren beschreven om alle permutaties van een verzameling te generen. De methoden

Nadere informatie

Datastructuren: stapels, rijen en binaire bomen

Datastructuren: stapels, rijen en binaire bomen Programmeermethoden Datastructuren: stapels, rijen en binaire bomen week 12: 23 27 november 2015 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/pm/ 1 Inleiding In de informatica worden Abstracte DataTypen (ADT s)

Nadere informatie

Handleiding invullen grote wedstrijdformulier

Handleiding invullen grote wedstrijdformulier Handleiding invullen grote wedstrijdformulier Onderstaand treft u een handleiding aan voor het invullen van het grote wedstrijdformulier, zoals dat wordt gebruikt in de nationale competitie, de Regionale

Nadere informatie

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 13 november 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]

Nadere informatie

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6. Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling

Nadere informatie

Gaan stemmen of niet gaan stemmen? (Uit: Kompas)

Gaan stemmen of niet gaan stemmen? (Uit: Kompas) Gaan stemmen of niet gaan stemmen? (Uit: Kompas) Bij deze activiteit wordt een enquête gehouden bij mensen in de omgeving in verband met: het gaan stemmen bij verkiezingen, de deelname van burgers aan

Nadere informatie

ONTWERP VAN GEDISTRIBUEERDE SOFTWARE ACADEMIEJAAR 2011-2012 1 STE EXAMENPERIODE, 23 JANUARI 2012, 8U30 12U00 VRAAG 1: VERDEELDE SYSTEMEN [10 MIN]

ONTWERP VAN GEDISTRIBUEERDE SOFTWARE ACADEMIEJAAR 2011-2012 1 STE EXAMENPERIODE, 23 JANUARI 2012, 8U30 12U00 VRAAG 1: VERDEELDE SYSTEMEN [10 MIN] ONTWERP VAN GEDISTRIBUEERDE SOFTWARE ACADEMIEJAAR 2011-2012 1 STE EXAMENPERIODE, 23 JANUARI 2012, 8U30 12U00 Naam :.. Richting :.. Opmerkingen vooraf : - werk verzorgd en duidelijk, zodat er geen dubbelzinnigheden

Nadere informatie

S A N I T R A C E BESLAG. Versie 1.0

S A N I T R A C E BESLAG. Versie 1.0 S A N I T R A C E BESLAG Versie 1.0 25 oktober 2008 1 INHOUDSOPGAVE 1. Beslag identificeren... 3 2. Beheer beslag Creatie... 5 2.1. Creatie vanuit de inrichting... 5 2.2. Standaardwaarden... 6 2.3. Velden

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna

Nadere informatie

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

Implementatie Vier Op een Rij

Implementatie Vier Op een Rij Implementatie Vier Op een Rij Abstract Vier Op n Rij is een spel voor twee spelers, waarbij de eerste speler die vier schijven op een rij plaatst het spel wint. Het is bij zo een simpel spel dan ook interessanter

Nadere informatie

Doel: Opzet: Spelregels: De speler met de groene pion begint.

Doel: Opzet: Spelregels: De speler met de groene pion begint. Doel: Als projectopdracht moet er een game ontworpen worden door verschillende studenten en hiervoor is een team nodig wat bestaat uit minimaal 1x Game Designer, 1x Programmeur en 1x Artist. Twee spelers

Nadere informatie

Waarschijnlijk wel, want er zit niet veel informatie in de klinkers. Deze activiteit laat een manier zien om de hoeveelheid informatie te meten.

Waarschijnlijk wel, want er zit niet veel informatie in de klinkers. Deze activiteit laat een manier zien om de hoeveelheid informatie te meten. Activiteit 5 Twintig keer raden Informatie theorie Samenvatting Hoeveel informatie zit er in een boek van 1000 pagina s? Zit er meer informatie in een telefoonboek van 1000 bladzijden, of in een stapel

Nadere informatie

Inhoud: 1. Taken juryleden

Inhoud: 1. Taken juryleden Inhoud: 1. Taken juryleden 2. Balbezit-pijl 3. Speeltijd bijhouden 4. Wissels en time-outs 5. Invullen van het sheet 5.1 Teaminformatie, time-outs en fouten 5.2 In de rust 5.3 Afsluiting wedstrijd 6. Miniregels

Nadere informatie

marathon 1 Aangepast spelenset voor bejaarden Caritas West-Vlaanderen vzw Bosdreef 5 8820 Torhout 050 74 56 22 kb@caritaswest.be

marathon 1 Aangepast spelenset voor bejaarden Caritas West-Vlaanderen vzw Bosdreef 5 8820 Torhout 050 74 56 22 kb@caritaswest.be marathon 1 Aangepast spelenset voor bejaarden Caritas West-Vlaanderen vzw Bosdreef 5 8820 Torhout 050 74 56 22 kb@caritaswest.be Spelwijzer Marathon 1 De zes spelen uit de marathon kunnen afzonderlijk

Nadere informatie

Hoe werkt bouwkostencheck?

Hoe werkt bouwkostencheck? Hoe werkt bouwkostencheck? Bouwkostencheck is een online-programma voor het ramen van bouwkosten, specifiek ontwikkeld voor gemeenten t.b.v. de controle van de bouwkosten bij een bouwaanvraag. Uitgangspunt

Nadere informatie

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden.

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden. . a) Een Fibonacci boom (niet te verwarren met een Fibonacci queue) van hoogte h is een AVL-boom van hoogte h met zo weinig mogelijk knopen. i. Geefvoorh =,,,,eenfibonacciboomvanhoogteh(eenboombestaande

Nadere informatie

De tijd: 1855. De plaats: Het Amerikaanse Westen

De tijd: 1855. De plaats: Het Amerikaanse Westen [pg 1] Claim It! Het goudclaim-spel Voor 2-5 spelers, vanaf 8 jaar De tijd: 1855. De plaats: Het Amerikaanse Westen Je bent een gouddelver die zijn proefterrein afbakent en verdedigt tegen rivalen en tegenstanders.

Nadere informatie

Lees hieronder de spelregels, het is ongetwijfeld een feest der herkenning. Alleen nu spelen jullie de hoofdrollen. Maak er wat moois van!

Lees hieronder de spelregels, het is ongetwijfeld een feest der herkenning. Alleen nu spelen jullie de hoofdrollen. Maak er wat moois van! Natuurlijk ga je nu het diepe in. Natuurlijk twijfel je eraan of je nou echt wel zo grappig bent. Het hoort bij de Lama s. Kun jij je lach inhouden als het moet? Weet jij wie de moord heeft gepleegd als

Nadere informatie

Methodieken en werkvormen Module 9: Presenteren en uitleggen van activiteiten - Spelleiding

Methodieken en werkvormen Module 9: Presenteren en uitleggen van activiteiten - Spelleiding Methodieken en werkvormen Module 9: Presenteren en uitleggen van activiteiten - Spelleiding Maker: Scouting Nederland (Commissie Trainingen en Vorming) Functie: N.v.t. Datum van productie: 24 februari

Nadere informatie

Neusroller. P-taal. Serie- Woordenaar De winnaar van het spel wordt de nieuwe seriewoordenaar en mag deze kaart bijhouden, tot hij/zij verliest.

Neusroller. P-taal. Serie- Woordenaar De winnaar van het spel wordt de nieuwe seriewoordenaar en mag deze kaart bijhouden, tot hij/zij verliest. (3 tot 8 spelers) 1. Benodigdheden De kaarten die bij dit spel horen (stop ze na het afdrukken best in kaarthoesjes), pen en papier voor de puntentelling, en een zeszijdige dobbelsteen. 2. Doel Versla

Nadere informatie

Datum. Vraag het bedrag in BEF. Reken om naar EURO. Toon het bedrag in EURO. --- Vraag het bedrag in BEF--- --- Reken om naar EURO---

Datum. Vraag het bedrag in BEF. Reken om naar EURO. Toon het bedrag in EURO. --- Vraag het bedrag in BEF--- --- Reken om naar EURO--- 3UREOHPHQRSORVVHQPHW9%$WRHSDVVLQJHQELMGHHO Naam. NR : Klas. PC : Datum. 23*$9( Hieronder vind je het algoritme om een bedrag in BEF om te rekenen naar EURO. Zet het algoritme om in programmacode. Noem

Nadere informatie

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet

Nadere informatie

Diverse regels om darts te spleen Basisregels

Diverse regels om darts te spleen Basisregels Diverse regels om darts te spleen Basisregels In principe zijn dart wedstrijden gespeeld tussen twee spelers of twee teams. De teams kunnenworden samengesteld uit twee of meer mensen elk. Negen worpen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B, Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 6 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Strategisch Redeneren. Halfbeslisbaarheid. Zoekstrategieën. Resolutie als zoeken. Redeneren (in logica):

Strategisch Redeneren. Halfbeslisbaarheid. Zoekstrategieën. Resolutie als zoeken. Redeneren (in logica): Redeneren (in logica): Strategisch Redeneren hoeft niet te eindigen kan zeer inefficiënt zijn hoeft de oplossingen niet altijd in de juiste volgorde op te leveren Otter: automatisch redenerend programma

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 8 tijdvak woensdag 8 juni 3.3-6.3 uur wiskunde B, Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

1. Rekenen en formules

1. Rekenen en formules 9 1. Rekenen en formules Microsoft Excel is een zogenaamd spreadsheetprogramma. Het woord spreadsheet is zo n typische computerterm die u pas gaat begrijpen als u met zo n programma werkt. Te vertalen

Nadere informatie

1. Cellen en formules

1. Cellen en formules 11 1. Cellen en formules Microsoft Excel is een rekenprogramma, ook wel spreadsheetprogramma genoemd. Met het woord spread wordt in het Engels tekst over meer kolommen bedoeld en de term sheet betekent

Nadere informatie

Eigen bijdrage voor zorg zonder verblijf en voor de Wmo

Eigen bijdrage voor zorg zonder verblijf en voor de Wmo Eigen bijdrage voor zorg zonder verblijf en voor de Wmo De klant betaalt een eigen bijdrage voor de zorg uit de Algemene Wet Bijzondere Ziektekosten (AWBZ) die deze thuis krijgt (zorg zonder verblijf),

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-II ppervlakte Gegeven is de functie f ( x) x. De lijn k raakt aan de grafiek van f in het punt (0, 3). Zie figuur. figuur y k f x 5p Stel met behulp van differentiëren een vergelijking op van k. De grafiek

Nadere informatie

EXAMENPROJECT NEDERLANDS 5TSO ARGUMENTEREN EN DEBATTEREN

EXAMENPROJECT NEDERLANDS 5TSO ARGUMENTEREN EN DEBATTEREN EXAMENPROJECT NEDERLANDS 5TSO ARGUMENTEREN EN DEBATTEREN N. Gheerolfs/ L. Eeckhout/ T. De Man/ N. De Vleeschauwer 1 Examenproject semester 2 5TSO Argumenteren en debatteren Met deze bundel bereid je je

Nadere informatie

Dynamisch programmeren (H 10)

Dynamisch programmeren (H 10) Dynamisch programmeren (H 10) Dynamisch programmeren is een techniek voor het optimaal nemen van een rij van afhankelijke beslissingen Voorbeeld (10.1): Vind de kortste route van A naar J in het Stage

Nadere informatie