Efficiëntie van gesloten buisvormige vloeistofmassadempers voor trillingsgevoelige brugonderdelen

Transcriptie

1 Universiteit Gent Faculteit Ingenieurswetenschappen Vakgroep Civiele Techniek Voorzitter: Prof. Dr. ir. P. Verdonck Efficiëntie van gesloten buisvormige vloeistofmassadempers voor trillingsgevoelige brugonderdelen door Corneel Delesie Promotors: Prof. Dr. ir. Ph. Van Bogaert Prof. Dr. ir. R. Verhoeven Thesisbegeleider: Dr. ir. W. De Corte Afstudeerwerk ingediend tot het behalen van de academische graad van Burgerlijk Bouwkundig Ingenieur Academiejaar

2 Dankwoord Hierbij wil ik iedereen bedanken die heeft bijgedragen tot het tot stand komen van dit afstudeerwerk. Allereerst wil ik prof. Ph. Van Bogaert bedanken die mij de mogelijkheid heeft gegeven dit afstudeerwerk te maken, welk voor mij een boeiende en leerrijke ervaring is geweest. Samen met hem dank ik ook mijn copromotor prof. R. Verhoeven en bovenal mijn begeleider Wouter De Corte, wiens dikwijls bijna dagelijkse steun onmisbaar is geweest om dit afstudeerwerk tot een goed einde te brengen. Verder gaat mijn dank ook uit prof. J. De Rouck, die het mogelijk maakte mijn proefopstelling te plaatsen nabij het meetstation in Zeebrugge en A. De Rouck, voor het prachtige werk dat hij geleverd heeft. Ik dank ook Herman Van der Elst, Sam Meurez, Tom Versluys en Ludo Inghels voor de vele hulp bij het bricoleren aan de proefopstelling en voor de assistentie en het gezelschap bij de metingen in Zeebrugge. En ik dank ook iedereen van de afdeling Weg- en Waterbouw voor de toffe werksfeer, ik kijk er ten zeerste naar uit om verder met jullie samen te werken. Tenslotte gaat mijn dank ook uit naar mijn familie en vrienden, kortom iedereen met wie ik dit jaar leuke momenten beleeft heb. Vooral mijn ouders wil langs deze weg bedanken dat ik dankzij hen mijn studies kon verder zetten met deze boeiende en hoogwaardige opleiding en voor hun onvoorwaardelijke steun en vertrouwen.

3 Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van de resultaten uit deze scriptie. Gent, 6 juni Corneel Delesie

4 Overzicht Efficiëntie van gesloten buisvormige vloeistofmassadempers voor trillingsgevoelige brugonderdelen door: promotors: begeleider: Corneel Delesie Prof. Dr. ir. Ph. Van Bogaert Prof. Dr. ir. R. Verhoeven Dr. ir. W. De Corte Vakgroep Civiele Techniek voorzitter: Prof. Dr. ir. P. Verdonck Faculteit Ingenieurswetenschappen Universiteit Gent Afstudeerwerk ingediend tot het behalen van de academische graad van Burgerlijk Bouwkundig Ingenieur Academiejaar

5 Samenvatting Het doel van dit afstudeerwerk is de efficiëntie te onderzoeken van gesloten buisvormige vloeistofmassadempers voor trillingsgevoelige onderdelen van bruggen. Als referentieproject is de Werkspoorbrug, een spoorbrug over het Amsterdam-Rijnkanaal in Utrecht, van toepassing. De hangers van deze stalen boogbrug vertonen trillingen, geïnitieerd door Von Karman wervels, waarvoor een dempingssysteem is voorzien met viskeuze dempers. Er wordt een mathematisch model opgesteld van de hangers en de demper. De respons van de hanger onder invloed van wervelbelasting wordt gesimuleerd door directe tijdsintegratie. Deze methode laat toe frequentieresponsiecurves op te stellen en dempingsfactoren te berekenen. Er wordt eveneens een schaalmodel gemaakt van de hangers en een demper, waarvan de respons vergeleken wordt met de berekeningsresultaten. Trefwoorden: Von Karman wervels, massademper, vloeistofmassademper, boogbrug, hangers

6 Inhoudsopgave 1. Inleiding Referentieproject: Werkspoorbridge Situering..... Probleemstelling Inleiding Von Karman wervels Demping Mogelijke oplossingen Verstoren van de wervelafscheiding Visceuze dempers Friction dampers Massadempers Vloeistofdempers Buisvormige vloeistofmassadempers Buisvormige vloeistofmassademper Algemeen Werkingsprincipe Varianten op de vloeistofmassademper Open demper met verticale buizen Open demper met schuine buizen Gesloten demper met verticale buizen Dynamica van het systeem hanger-demper Algemeen Modellering hanger Bepalen van de eigenfrequentie Bepalen van de massa en de veerconstante Bepalen van de belasting Bepalen van de dempingswaarde Bewegingsvergelijkingen Bewegingsvergelijking van de massa Bewegingsvergelijking van de demper Natuurlijke frequentie van een demper Bewegingsvergelijkingen: samengevat Energiebeschouwingen Numerieke simulatie Ontwerp van een vloeistofmassademper Massa van de vloeistof Afmetingen Afstellen van de demper... 4

7 6. Proefopstelling Ontwerp van het schaalmodel Meetmethode Algemeen Relatie tussen rek en doorbuiging Bepalen van de eigenfrequentie en de inklemmingsstijfheden Ontwerp en constructie van de demper Verschaling van de parameters Gelijkvormigheid Schalen voor de proefopstelling Meten van de dempingsfactor Dempingsfactor zonder demper Dempingsfactor met demper Conclusie Metingen onder windbelasting Algemeen meting zonder demper meting met demper Conclusie Algemeen besluit Appendix A Appendix B Referenties... 96

8 Hoofdstuk 1: Inleiding 1 1. Inleiding De bruggenbouw is een tak van de bouwkunde waar dikwijls, en soms letterlijk, grenzen verlegd worden. Dit leverde doorheen de geschiedenis vele prachtige monumenten op die heden ten dage nog steeds bewonderenswaardige iconen van een tijdperk zijn. Hoeveel steden worden er niet gekenmerkt door opvallende bruggen die als monumentale toegangspoorten de stad verbinden met de rest van de wereld? Iedere grens die verlegd wordt, brengt ontdekkingen met zich mee, ook op het gebied van de techniek. Meestal zijn die niet voorzien en moeten er nieuwe oplossingen voor gevonden worden. Dit was ook het geval bij de Werkspoorbrug in Utrecht, die met zijn lengte van 55 meter de grootste boogconstructie is, die ooit in Nederland is gebouwd. De slanke hangers, die het brugdek met de boog verbinden, bleken niet voldoende gedempt te zijn, zodat er zich trillingen voordeden bij reeds matige windsnelheden, zodat er bijkomende dempingsystemen moesten voorzien worden. Als een alternatieve mogelijkheid voor een dempingsysteem, wordt in dit afstudeerwerk de efficiëntie van buisvormige vloeistofmassadempers bestudeerd. De mogelijkheid van deze dempers om wervelgeïnduceerde trillingen te dempen, wordt theoretisch geanalyseerd en in een mathematisch model gevat. Er wordt ook een schaalmodel gemaakt, waarop metingen zullen verricht worden, die dan vergeleken worden met theoretische waarden.

9 Hoofdstuk : Referentieproject: Werkspoorbridge. Referentieproject: Werkspoorbridge.1. Situering De Werkspoorbrug is een spoorbrug over het Amsterdam-Rijnkanaal in Utrecht. Het is een brug met een stalen boog een staal-beton brugdek en werd in gebruik genomen in 00. Met een totale lengte van 55 m en een hoofdoverspanning van 37 m is dit de grootste boogconstructie van Nederland. De essentie van het ontwerp wordt bepaald door een enkele parabolische boog die zich aan beide uiteinden splitst in twee poten waar de treinen tussendoor rijden. De moderne uitstraling van de brug weerspiegelt een imago van comfortabel, hoogwaardig en innovatief transport. Ze accentueert de entree tot de stad Utrecht bij de passage van het Amsterdam-Rijnkanaal. Passanten hebben een prachtig panorama over de omgeving door de ranke hangconstructie heen. De naam van de brug is ontleend aan de fabriek Werkspoor ( ) die vroeger langs het kanaal gelegen was. De brug ligt naast een oudere spoorbrug (Demkabrug), die op termijn vervangen zal worden door eenzelfde type als de nieuwe brug. Figuur 1.1: Zijaanzicht Werkspoorbrug met op de achtergrond de Demkabrug

10 Hoofdstuk : Referentieproject: Werkspoorbridge 3 Het referentieontwerp is van Holland Railconstruct en werd uitgewerkt door aannemerscombinatie Geka Bouw uit Dordrecht en het Belgische Victor Buyck Steel Construction op basis van een Engineering en Construct-contract. De brug werd op de kade naast het kanaal gebouwd, omdat het onmogelijk is om een dergelijke brug van fabriek naar de bouwplaats te voeren via waterwegen. Nadat het stalen gedeelte was afgewerkt, werden de uiteinden opgenomen door een samenstel van kamags, waarvan het ene uiteinde via een ponton werd overgevaren. Eens op zijn definitieve plaats, werd de brug dan verder afgewerkt. Figuur.: Zijaanzicht Werkspoorbrug.. Probleemstelling..1. Inleiding Op oktober 00, slechts twee maanden na het plaatsen van de brug, werden er gedurende matige herfstwinden trillingen waargenomen in de hangers. De hangers zijn holle, stalen buisprofielen met een diameter van 394 mm, een wanddikte van,7 mm. De langste hebben een lengte van 35 m. De trillingen in de eerste eigenmode konden visueel waargenomen worden en hadden een amplitude van 5 tot 50 mm, dit bij windsnelheden van tussen de 5 en 10 m/s. Het gevaar hierbij is dat de spanningen in de lassen aan de verbindingen te groot worden en de constructie voortijdig zou kunnen bezwijken aan vermoeiing. Een onderzoek,

11 Hoofdstuk : Referentieproject: Werkspoorbridge 4 uitgevoerd door TNO Building and Construction Research (Delft) toonde aan dat de trillingen het gevolg zijn van excitaties, veroorzaakt door Von Karman wervels. Dat de trillingen een dergelijke amplitude bereiken is mogelijk omdat de demping van de hangers kleiner is dan deze die was voorspeld door de huidige codes en regelgevingen.... Von Karman wervels Het stromingsbeeld van een fluïdum rond een cirkelvormige cilinder met de as loodrecht op de stroming, wordt beheerst door het getal van Reynolds. Dit is een dimensieloos getal gegeven door ρlvd Re µ l met ρ l de dichtheid van lucht (1,5 kg/m³) v de snelheid van het fluïdum d de diameter van de doorsnede µ l de dynamische viscositeit van lucht (1, Ns/m²) Voor een diameter van 0,4 m en een windsnelheid van 5 à 10 m/s is de waarde voor Re ³ à 66 10³. Als de cilinder in een stroming met voldoende snelheid (300 < Re < ) geplaatst wordt, zullen de stroomlijnen het oppervlak van de cilinder niet volledig volgen. Ten gevolge van de separatie van de stroomlijnen worden aan weerszijden van de cilinder alternerend wervels afgescheiden en meegevoerd in het zog achter het fluïdum. De aldus gevormde wervelstraat wordt de wervelstraat van Von Karman genoemd. Figuur.3: Ontstaan van Von Karman wervels

12 Hoofdstuk : Referentieproject: Werkspoorbridge 5 Het afwisselend afscheiden van de wervels veroorzaakt een oscillatie van de stroomlijnen in het zog, wat op zijn beurt zorgt voor een oscillerende drukverdeling. Hierdoor ondergaat de cilinder een oscillerende kracht loodrecht op de stroomrichting. Figuur.4: Windkrachten t.g.v. Von Karman wervels Deze wervelkracht wordt gegeven door: F w ( t) F sinω t w,0 w Waarin ω w de hoekfrequentie is van het afscheiden van de wervels, d.w.z. dat de afscheidingsfrequentie f w ω w /π het aantal paren wervels is dat afgescheiden wordt per seconde. De amplitude F w,0 heeft als uitdrukking F w,0 met 1 ρ lv AC L ρ l de dichtheid van het fluïdum A de oppervlakte van de dwarsdoorsnede v de windsnelheid C L de lift coëfficiënt Vrouwenvelder en Hoeckman [1] stellen dat de lift coëfficiënt C L gelijk aan 0,5 kan genomen worden. De afscheidingsfrequentie f w van de Von Karmanwervels wordt bepaald door het getal van Strouhal St. Dit is per definitie St f w v d Dit getal blijft constant over een ruim interval van Reynolds-getallen. Voor een cilinder geldt: f wd St v 0, voor 300 < Re <

13 Hoofdstuk : Referentieproject: Werkspoorbridge 6 De kracht F w (t) is van belang als de frequentie van de wervelafscheiding overeenkomt met één van de naturlijke trillingsfrequenties ω n van de cilinder. De kritische stromingssnelheid van het fluïdum waarbij resonantie optreedt, bekomen we uit ω n πf n 0,v f n d v krit krit ω d n π 0,..3. Demping in de hanger Een belangrijke waarde voor slanke cilindervormige constructies, welke een maat is voor de structurele demping, is het Scrutongetal Sc. Het Scruton getal is proportioneel met de dempingswaarde ς en is gegeven door: ρ δ Sc ρ x l d met ρ x de massa per lengte (kg/m) ρ l de massadichtheid van lucht (1,5 kg/m³) δ het logaritmisch decrement: δ ς π d de middellijn op de plaats waar de wervels loslaten Het logaritmisch decrement δ is volgens de Nederlandse norm gelijk aan 0,005, het Scruton getal voor de langste hangers van de Werkspoorbrug wordt dan: 44,37 (π 0,005 Sc 1,5 0, Voor lagere waarden voor ς, zoals die zijn voorgeschreven door de Europese code (ς 0,003) [4] en door de Duitse code ς 0,005) [5 en 6], is Sc respectievelijk 50 en 40. Volgens Dyrbye en Hansan [3], toont ervaring aan dat er geen gevaar is voor wervel geïnduceerde trillingen als Sc > 0. Als Sc < 10 is risico ten zeerste aanwezig. Dus zou er geen risico te verwachten zijn.

14 Hoofdstuk : Referentieproject: Werkspoorbridge 7 Op 0 december 00 is er door TNO Building and Construction Research (Delft) metingen uitgevoerd om experimenteel de eigenfrequentie en de dempingsfactor te bepalen van de hangers. De frequentie van de eerste eigenmode is,5 Hz, de hogere eigenmodes corresponderen met een frequentie van 1 Hz en 6 Hz. De dempingsfactor werd gevonden door de hanger aan te stoten en het logaritmisch decrement te bepalen, hieruit kon afgeleid worden dat ς gelijk is aan 0,0011, wat ongeveer 5 maal kleiner is dan de waarde die in de Nederlandse norm NEN 6788 gespecifieerd is voor gelaste stalen bruggen. Het Scruton getal is dan 17, wat er op duidt dat de hangers zich in de overgangszone bevinden waar wervelgeïnduceerde trillingen zich kunnen voordoen. Toegepast op de hanger wordt de kritische windsnelheid dan: ωnd,5 0,394 vkrit 4,93 m / s π 0, 0, Deze waarde komt overeen met de gemeten windsnelheden die dag. De grootte van de wervelkrachten per strekkende meter van de hanger zijn: 1 1 Fw, 0 ρ v AC L 1,5 4,93 (0,394 1) 0,5,99 N / m De statische doorbuiging onder deze belasting wordt bepaald uitgaande van een tweezijdig ingeklemde balk die uniform belast is. Voor een hanger met lengte 35 m bedraagt de doorbuiging in het midden 0,065 mm. Als de frequentie van de belasting overeenstemt met de eigenfrequentie van de hanger is de maximale doorbuiging gegeven door: y ystat ς 0,065 0,0011 max 9,5 mm Deze waarde stemt overeen met de waargenomen amplitudes..3. Mogelijke oplossingen.3.1. Verstoren van de wervelafscheiding Dit kan gebeuren door het aanbrengen van spiralen of het oplassen van strippen die stapsgewijs verspringen. Daardoor wordt de wervelafscheiding verstoord zodat deze zich niet over de volledige hoogte op hetzelfde moment afscheiden. Een nadeel is dan wel dat de totale oppervlakte van de hangers vergroot en de statische windrukken toenemen.

15 Hoofdstuk : Referentieproject: Werkspoorbridge Visceuze dempers Dit systeem bestaat uit twee onderdelen die tegenover elkaar bewegen in een visceuze vloeistof. Meestal is dit in de vorm van een buis die gevuld is met olie waarin een zuiger met gaatjes zich beweegt. De weerstand die deze ondervindt is evenredig met de snelheid. Het is dit systeem dat toegepast is op de Werkspoorbrug.3.3. Friction dampers Dit systeem is analoog aan voorgaande, maar is gebaseerd op droge wrijving. Een voordeel hiervan is dat als ze uitgevoerd worden in een plaatvormige constructie, ze in twee richtingen kunnen dempen. Bijvoorbeeld twee ringen die over elkaar wrijven, waarvan de ene rond de hanger is bevestigd en de andere aan een externe structuur Massadempers Een massademper wordt afgestemd op een bepaalde frequentie, dit houdt in dat door het aanbrengen van een tweede massa en een veer, de eigenfrequentie verstemt wordt naar twee nabijgelegen eigenfrequenties. Door het aanbrengen van een relatief lichte demper tussen beide massa s wordt de repons van die eigenfrequenties afgevlakt Vloeistofdempers Dit is een volume met vloeistof met welbepaalde afmetingen, zodat het water beweegt met een vaste eigenfrequentie. Het principe is analoog aan dit van een massademper. Dit kan ook uitgevoerd worden in een ringvormige structuur die verdeeld is in compartimenten zodat deze rond de hanger kunnen geplaatst worden en in de twee richtingen werken Buisvormige vloeistofmassadempers Dit is een variant op het voorgaande systeem, waarbij de vloeistof in een buis beweegt. Doordat de vloeistof in een vaste richting stroomt, is de massa beter benut en is er dus minder vloeistof nodig.

16 Hoofdstuk 3: Buisvormige vloeistofmassadempers 9 3. Buisvormige vloeistofmassademper 3.1. Algemeen Een tuned liquid column damper of buisvormige vloeistofmassademper is een alternatieve vorm van een massademper. Deze bestaat uit een U-vormige buis die tot in de twee benen gevuld is met water die wordt gemonteerd op de te dempen constructie. Een voordeel is dat ze over het algemeen eenvoudig en dus goedkoop te vervaardigen zijn. Net zoals een massademper zijn ze zeer geschikt om trillingen met een vaste frequentie te dempen, zoals eigentrillingen van gebouwen en onderdelen daarvan. Er bestaan verschillende varianten naargelang de beoogde toepassing: met verticale open buizen, met schuine open buizen of met gesloten buizen. Hun onderlinge verschillen en toepassingen worden nader besproken in paragraaf 3.3. Een principiële uitleg over de werking van de demper wordt in de volgende paragraaf besproken, een meer gedetailleerde uitleg volgt in hoofdstuk Werkingsprincipe De werking van de vloeistofmassademper wordt hier verduidelijkt door de vergelijking te maken met een klassieke massademper. De overeenkomsten en de verschillen worden hier nader besproken. Figuur 3.1: Schematische voorstelling van een massademper en een vloeistofmassademper.

17 Hoofdstuk 3: Buisvormige vloeistofmassadempers 10 Begrippen die gehanteerd worden bij een massademper: ks ω s de eigenfrequentie van het primaire systeem m cs sms s ξω de dempingscoëfficiënt van het primaire systeem kd ω d de eigenfrequentie van de massademper m cd d d md d ξ ω de dempingscoëfficiënt van de massademper md µ de massaverhouding demper / primair systeem m s De eigenschappen van het primaire systeem (m s, k s, c s ) blijven dezelfde, behalve dat bij een vloeistofmassademper het gewicht van de vaste onderdelen van de demper en het gewicht van de vloeistof in de verticale buizen opgeteld worden bij de primaire massa. De som van de massa s in de verticale buizen blijft namelijk constant en deze ondergaan dezelfde verplaatsing als de primaire massa zodat er geen relatieve beweging is tussen beide. Daardoor verlaagt de eigenfrequentie van het primaire systeem. De massa van de demper m d komt overeen met de massa van de vloeistof in de horizontale buis (gearceerd), het is deze massa die een relatieve verplaatsing ondergaat tegenover de primaire massa. De veer k d komt overeen met de twee verticale kolommen. Bij een uitwijking van de vloeistof deze oefenen deze een kracht uit op de vloeistof door het verschil in druk t.g.v. het verschil in vloeistofniveau en bij een gesloten demper ook t.g.v. de compressie van de lucht. De demping tussen de beide massa s gebeurt bij een vloeistofmassademper door een diafragma zodat er energieverliezen optreden t.g.v. turbulentie. Deze demping is in functie van het kwadraat van de vloeistofsnelheid terwijl dit bij een gewone massademper over het algemeen lineair is. De massaverhouding µ is bij een vloeistof massademper door H. Gao en K. C. S. Kwok eveneens gedefinieerd door µ m d /m s, waarbij m d gedefinieerd is als de massa van de volledige vloeistofinhoud van de demper, dus ook van de verticale buizen []. Daardoor

18 Hoofdstuk 3: Buisvormige vloeistofmassadempers 11 kunnen waarden voor µ niet zomaar onderling vergeleken worden tussen een massademper en een vloeistofmassademper. Ook bij vloeistofmassadempers onderling is de waarde voor µ afhankelijk van de verhouding tussen de lengtes van de verticale en horizontale buizen Varianten op de vloeistofmassademper Er zijn drie varianten besproken, met hun belangrijkste eigenschappen. Eveneens hun toepasbaarheid op een hanger van de Werkspoorbrug wordt nader bekeken. Open demper met verticale buizen Open demper met schuine buizen Gesloten demper met verticale buizen Open demper met verticale buizen Om de toepasbaarheid te verduidelijken wordt kort de ontwerpprocedure beschreven. De belangrijkste eigenschappen van een (vloeistof)massademper zijn de eigenfrequentie ω d, en de massa m d. Om de basisstructuur voldoende te kunnen dempen is een massaverhouding µ van ongeveer 1 à % vereist. Deze voorwaarde bepaalt dus de massa en dus ook het volume van de demper. Voor een open demper met verticale buizen is de eigenfrequentie gegeven door g ω d, open (1) L Figuur 3.: Open demper met verticale buizen

19 Hoofdstuk 3: Buisvormige vloeistofmassadempers 1 Stel dat de eigenfrequentie ω d en de benodigde massa van de demper m d gekend zijn, dan kan uitgaande van de (1) de totale lengte L bepaald worden. Uit de benodigde massa kan dan de diameter van de buizen bepaald worden. In het geval van de hangers van de Werkspoorbrug bedraagt de modale massa m s ongeveer 4400 kg, de benodigde massa voor de demper is dan 88 kg (stel µ %). De eigenfrequentie bedraagt,5 Hz (15,7 rad/s) en met toepassing van (1) bekomt men dat L gelijk is aan 8 cm. Om met deze lengte de benodigde massa te bekomen heeft men een buis nodig met diameter 1,19 m wat praktisch onmogelijk is. Voor het opstellen van de formules van de eigenfrequentie is er van uitgegaan dat de vloeistof stroomt doorheen de doorsnede van de buis met uniform verdeelde snelheid over die doorsnede. Daarom moet de lengte van de buis op zijn minst een veelvoud zijn van de diameter. Een andere oplossing zou zijn meerdere dempers te voorzien met een kleine diameter, wat dan weer redelijk complex kan worden, aangezien het aantal dan gemakkelijk boven de honderd kan stijgen. Daarom is een open demper niet geschikt voor toepassing met een hoge frequentie. Deze is dan beter geschikt voor een toepassing met een lage frequentie (f < 0,5 Hz) en een grote massa zoals torengebouwen Open demper met schuine buizen De eigenfrequentie is gegeven door: g ωd, gesloten sin β L Figuur 3.3: Open demper met schuine buizen

20 Hoofdstuk 3: Buisvormige vloeistofmassadempers 13 Dit type is nog meer dan voorgaande geschikt voor toepassingen met lage frequenties en een grote massa. Door de schuine stand van de opstaande buizen heeft een uitwijking van de vloeistof een kleiner hoogteverschil van het wateroppervlak tot gevolg wat resulteert in een lagere eigenfrequentie. En bij verplaatsing van de vloeistof in de schuine buizen is er, net zoals in de horizontale buis, eveneens een relatieve verplaatsing tegenover de basisstructuur zodat er relatief gezien, meer massa bijdraagt tot de demping. Dit type is wel nuttig in de vorm van een gesloten demper voor het dempen van torsietrillingen zoals beschreven door M. Reiterer [7]. Maar omdat dit hier niet van toepassing is, wordt hier verder niet op ingegaan Gesloten demper met verticale buizen Bij dit type zijn de twee verticale buizen bovenaan luchtdicht afgesloten zodat er en zeker volume lucht opgesloten zit boven het wateroppervlak. Deze luchtveer draagt bij tot het verhogen van de eigenfrequentie. g np + L ρgh 0 ωd, gesloten 1 a met n polytropische coëfficiënt van lucht (1,) p 0 atmosferische luchtdruk (10000 Pa) () Figuur 3.4: Gesloten demper Hieruit valt af te leiden dat de eigenfrequentie omgekeerd evenredig is met de hoogte H a van de luchtkolom. Er zijn nu drie bepalende parameters in het ontwerp; de dempermassa m d, de vloeistoflengte L en de hoogte van de luchtkolom H a. De lengte L kan nu gekozen worden in

21 Hoofdstuk 3: Buisvormige vloeistofmassadempers 14 functie van de benodigde massa m d, zodat deze een lengte heeft die tenminste een veelvoud is van de diameter. De hoogte H a volgt dan uit ω d en L. Toegepast op de hanger van de Werkspoorbrug kan men de volgende afmetingen van de demper vooropstellen welke corresponderen met de benodigde massa m d 88kg. φ 0,5 m L 1,8 m Hieruit volgt dan dat, om een eigenfrequentie van,5 Hz (ω d 15,7 rad/s) te bekomen, H a gelijk aan 0,56 m moet zijn. Dit type is dus in een veel breder toepassingsdomein bruikbaar, vooral dan bij frequenties groter dan 0,5 Hz. In dit voorbeeld is in formule voor de eigenfrequentie () de term van de luchtdruk in verhouding tot de term van de waterdruk ongeveer 0. Daarom is het van geen nut om schuine buizen te voorzien omdat deze geen invloed hebben op de werking van de luchtkolom, die in principe zelf een willekeurige vorm kan aannemen. In de verdere theoretische studie van de demper wordt dan ook enkel een demper met verticale buizen beschouwd, zowel open als gesloten.

22 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper Dynamica van het systeem hangerdemper 4.1. Algemeen Om het dynamisch gedrag van het systeem te bestuderen, moet er een mathematisch model van opgesteld worden. Dit zou kunnen gebeuren door gebruik te maken van een eindige elementenprogramma, maar omdat slechts trillingen in de eerste eigenmode beschouwd worden, kan het systeem ook vereenvoudigd worden tot een massa-demper systeem. Het komt er dan op neer om de massa m s, de veerconstante k s en de dempingswaarde c s zodanig te bepalen zodat het gedrag van ervan overeenkomt met deze van de hanger. Het model neemt dan de vorm aan als in Figuur 4.1. Figuur 4.1: Vereenvoudigd model van het systeem hanger-demper Het dynamisch gedrag van het systeem kan dan beschreven worden met twee bewegingsvergelijkingen. Eén die het dynamisch krachtenevenwicht beschrijft van de massa, en één die het krachtenevenwicht van de demper beschrijft. De beweging i.f.v. de tijd kan dan gesimuleerd worden door de bewegingsvergelijkingen te integreren d.m.v. een directe integratiemethode in een rekenblad.

23 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper Modellering hanger Het is de bedoeling om een analogie op te stellen tussen twee systemen; enerzijds de hanger en anderzijds het massa-veersysteem. De hanger wordt dus gemodelleerd als een massa verbonden met een veer die verbonden is met een starre omgeving. Er wordt dus vanuit gegaan dat de boog en het dek van de brug niet meetrillen in de beschouwde eigenmode, wat in de praktijk het geval blijkt te zijn. Deze vereenvoudigde vorm laat niettemin toe op een accurate manier het gedrag van de hanger te beschrijven. Figuur 4.: Vereenvoudiging van de hanger tot een massa-veersysteem In de eerste plaats wordt de eigenfrequentie berekend, vervolgens worden de massa m s en de veerconstante k s bepaald door te stellen dat de energie-inhoud van beide systemen gelijk zijn. De belasting F w (t) wordt bepaald door te stellen dat het geleverde vermogen aan het systeem gelijk moet zijn. Tenslotte volgt dan dempingswaarde c s dan uit het feit dat het logaritmisch decrement gelijk moet zijn voor beide systemen Bepalen van de eigenfrequentie De hanger wordt gemodelleerd als een tweezijdig ingeklemde staaf die onderworpen is aan een axiale trekbelasting. Aan de staaf is nog een puntmassa bevestigd die de vaste massa van de demper voorstelt. De eigenfrequentie kan dan bepaald worden met het Rayleigh-qoutiënt. Daarvoor moet wel de trillingsvorm gekend zijn. De doorbuigingslijn onder invloed van een

24 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 17 gelijkmatig gespreide belasting p is daarvoor voldoende nauwkeurig. Een iets nauwkeurigere doorbuigingslijn is deze waar uitgegaan wordt van een cosinusfunctie. 1 z 1 cos π l Een nadeel is dat als de doorbuigingslijn nog specifieker moet bepaald worden, door bijvoorbeeld rotatieveren te voorzien aan de uiteinden (zie paragraaf 6.1), dit niet mogelijk is met deze functie. Met een doorbuigingslijn onder invloed van een gelijkmatig gespreide belasting is dit echter geen probleem. Daarbij komt ook dat een Rayleigh-quotiënt stationair is in de eigenmodes. Dit houdt in dat, om de eigenfrequenties te berekenen, de trillingsvormen niet nauwkeurig hoeven gekend te zijn. Als bij het schatten van een trillingsvorm een fout gemaakt wordt, dan heeft dit nauwelijks een invloed op de bekomen waarde voor de eigenfrequentie. De doorbuigingslijn is dan gegeven door: 1 pl pl 3 p 4 y x x + x (3) EI y (-) x (m) Figuur 4.3: Doorbuigingslijn tweezijdig ingeklemde staaf met l 35 m

25 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 18 Het Rayleigh-quotiënt wordt bepaald door de kinetische energie van her systeem gelijk te stellen aan de potentiële energie, er geldt algemeen: E kin E pot 1 q ' Kq 1 1 q ' Kq ω R( q) ω q& ' Mq& 1 q' Mq q' Kq q' Mq Hierin is q een vector corresponderend met de eerste eigenmode van het systeem. K is de stijfheidmatrix en M is de massamatrix. Wat betreft het model bevatten deze matrices slechts één term, namelijk k s en m s. Voor de hanger worden deze termen berekend door te integreren over de hoogte. De termen die de potentiële energie in de hanger bepalen zijn de volgende. Potentiële energie door buiging van de hanger. Deze manifesteert zich door het product van het buigend moment en de kromming. 1 y EI dx x l 0 Potentiële energie door de trekkracht op de hanger. De hanger ondergaat een kleine verkorting is langsrichting als deze doorbuigt waarbij de trekkracht T potentiële energie levert. 1 l y T dx 0 x Deze term kan gevonden worden door uit te gaan infinitesimaal segment dx van de hanger dat door de trilling vervormd wordt tot ds. Om de verlenging ds dx te bekomen wordt door de spankracht T een arbeid verricht. Deze arbeid manifesteert zich in het segment als potentiële energie. Ter bepaling van deze potentiële energie maakt het geen verschil of de hanger daadwerkelijk verlengt en de afstand tussen de

26 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 19 eindpunten gelijk blijft of omgekeerd, dat de hanger niet verlengt, maar dat de uiteinden naar elkaar toekomen. Figuur 4.4: Vervorming van een staaf onderhevig aan een trekkracht T de p T (ds - dx) Met een goede benadering kan ds geschreven worden als 1/ ds... x x 1/ y 1 y ( dx + dy ) 1 + dx dx We onderstellen dat y/ x <<1 zodat 1 y ds dx x dx De potentiële energie in het beschouwde segment is dan 1 y de p T x dx

27 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 0 De termen die de kinetische energie in de hanger bepalen zijn de volgende. Kinetische energie van de hanger Deze manifesteert zich door het product van de massa en het kwadraat van de snelheid. ω s met 1 l 0 ρa h y dx A h de doorsnede van de hanger ρ massadichtheid staal Kinetische energie van de demper De kinetische energie van de vaste massa van de demper is afhankelijk van de hoogte waarop deze op de hanger geplaatst is. ω M s d y d met y d de uitwijking van de hanger ter hoogte van de demper M d de vaste massa van de demper (buizen, bevestigingen, ) Indien de demper tussen twee hangers geplaatst wordt, moet slechts de helft van de massa in rekening gebracht worden. Het Rayleigh-quotiënt is tenslotte 1 l y 1 l y 0 0 EI dx T dx x + x s R[ y( x) ] ω (4) 1 l Ah y dx + M d yd ρ 0 Een andere methode om de eigenfrequentie te bepalen is de om deze apart te bepalen voor de buigstijfheid en voor de trekkracht en deze dan kwadratisch op te tellen. De eigenfrequentie t.g.v. van de buigstijfheid wordt dan net als in het voorgaande bepaald met het Rayleighquotiënt, maar zonder de term van de trekkracht in aanmerking te nemen. De eigenfrequentie t.g.v. de trekkracht wordt dan bepaald alsof deze een snaar is zonder eigen stijfheid. Deze is gegeven door ω π s,snaar T ρal

28 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 1 De eigenfrequentie is dan bepaald door ω ω + ω s s, buiging s, snaar Deze waarde is minder nauwkeurig dan met de voorgaande berekeningswijze omdat voor het opstellen van de formule van de eigenfrequentie van een snaar is uitgegaan van een sinusvormige doorbuigingslijn, en daarmee niet overeenkomt met deze van een tweezijdig ingeklemde staaf. Dit heeft als gevolg dat de eigenfrequentie met deze methode iets lager zal uitvallen. Ter vergelijking is de eigenfrequentie berekend met beide methodes voor een hanger van de Werkspoorbrug met lengte 35 m en een trekkracht van 000kN. methode1 (Rayleigh) methode (Rayleigh + snaar),46 Hz,351 Hz Het verschil bedraagt ongeveer 3,5 %. Als de eigenfrequentie van een demper 3,5 % afwijkt van de optimale waarde kan dit toch een verschil van ongeveer 50 % opleveren in de maximale amplitudes van de trillingen bij resonantie Bepalen van de massa en de veerconstante De massa m s is de modale massa die overeenstemt met de eerste eigenmode van de hanger. Deze is zo bepaald dat zijn energie-inhoud en deze van de hanger bij eenzelfde amplitude en frequentie gelijk zijn. Met eenzelfde amplitude is hier bedoeld dat de uitwijking van de hanger, op de plaats waar de demper gemonteerd is, dezelfde is als deze van de massa. De massa m s hangt dus af van de massa van de staaf, de vorm van de doorbuigingslijn en de plaats van de demper, daarbij wordt dan nog de volledige massa van de vaste onderdelen van de demper bijgeteld. In de veronderstelling dat de vaste massa van de demper nul is, wordt m s als volgt bepaald. De kinetische energie van de hanger is gegeven door K e ρ y& dx l Ah 0

29 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper De kinetische energie van het massa-veer systeem is gegeven door K e m y& s d Omdat de snelheden evenredig zijn met de verplaatsingen kan m s gevonden worden uitgaande van de vorm van de doorbuigingslijn. m s l 0 ρah y& dx y& d l 0 ρa h y y d dx Rekening houdend met de vaste massa van de demper M d wordt dit l ρah y dx 0 m s + M y d d (5) De veerconstante k s is dan bepaald door k s ω m s s De massa van een hanger met een lengte van 35 m bedraagt 8550 kg. De massa m s, corresponderend met een demper die in het midden van de staaf is geplaatst, waar de uitwijking maximaal is, zal dan kleiner zijn omdat de staaf niet over de volledige lengte meetrilt met dezelfde amplitude. Wanneer de demper meer naar de uiteindes toe geplaatst wordt zal de massa m s geleidelijk aan toenemen en uiteindelijk oneindig worden aan de uiteindes. De massa m s is dus sterk afhankelijk van de plaats waar de demper gemonteerd is, zoals blijkt uit de grafiek in Figuur 4.5. x d is de afstand tussen de demper en het boveneinde van de staaf. De grafiek geeft de verhouding weer van de massa m s tot de massa van de volledige staaf zonder rekening te houden met de vaste massa van de demper M d. Deze wordt minimaal voor x d 17,5 m, de halve lengte van de staaf. De verhouding bedraagt dan 0,41, corresponderend met een massa m s 3475.

30 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 3 ms / m staaf (-) 4,5 4,0 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0 0,5 0, xd (m) Figuur 4.5: Verloop massaverhouding i.f.v. de positie van de demper Bepalen van de belasting De belasting F w (t), die hier sinusoïdaal verondersteld is, is zo bepaald dat het vermogen dat deze het op het massa-veer systeem overbrengt hetzelfde is als wervelbelasting kracht overbrengt op de staaf. Het vermogen dat de windbelasting levert op de hanger is gegeven door P l Fw st y&, 0 dx met F w,st Von Karman belasting op de staaf per strekkende meter (N/m) Het vermogen dat de windbelasting levert op het massa-veersysteem is gegeven door P F y& w d M kan dus eveneens gevonden worden uitgaande van de vorm van de doorbuigingslijn. F w l 0 F w, st y& d ydx & l 0 F w, st y d ydx (6)

31 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 4 De grafiek in Figuur 4.6 geeft de verhouding weer van de belasting F w tot de volledige windbelasting op de staaf. Deze wordt minimaal voor x d 17,5 m en bedraagt 0,53. Deze verhouding wordt eveneens oneindig naar de steunpunten toe, al is de verhouding kleiner dan die voor de massa. Dit omdat deze in functie is van de verplaatsingen en voor de massa is die in functie van het kwadraat van de verplaatsingen. Dit is logisch, want moest de belasting in verhouding evenveel vergroten als de massa, bij kleinere waarden voor x d, zouden de uitwijkingen even groot blijven, wat niet het geval is. Het komt er op neer dat de verhouding van de belasting tot de massa (F w / m s ) evenredig is aan de verhouding van de uitwijking van de staaf op de plaats van de demper tot de uitwijking van het midden van de staaf (y d / y L/ ). Fw / Fw,staaf (-) 1,8 1,6 1,4 1, 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, xd (m) Figuur 4.6: Verloop belastingsverhouding i.f.v. de positie van de demper Het gevolg hiervan is dat als de demper dichter bij de uiteinden geplaatst wordt, de massaverhouding µ (m d /m s ) daalt en de demping minder effectief zal zijn, zoals te zien is op de volgende grafiek.

32 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 5 0,035 0,030 0,05 µ (-) 0,00 0,015 0,010 0,005 ingeklemd scharnierend 0,000 0,5 5 7,5 10 1, ,5 xd (m) Figuur 4.7: De massaverhouding µ i.f.v. x d voor een ingeklemde en niet-ingeklemde staaf Voor een niet ingeklemde staaf of bijvoorbeeld een kabel zal de massaverhouding µ iets ongunstiger uitvallen. Omdat de uiteinden niet ingeklemd zijn, zal er een groter deel van de staaf mee in beweging komen en zal de massa m s dus ook groter uitvallen. Nabij de uiteinden is µ daarentegen groter omdat de uitwijkingen daar relatief groter zijn en de demper dus meer meebeweegt. Dus hoe dichter de demper nabij de uiteinden wordt geplaatst, hoe meer massa deze moet hebben. Algemeen kan men stellen dat als deze hoger dan 3/4 van de lengte geplaatst wordt, het rendement zeer snel vermindert Bepalen van de dempingswaarde De dempingswaarde c s is zo bepaald dat het logaritmisch decrement Λ hetzelfde blijft als deze voor de hanger. Het logaritmisch decrement is een functie van de dempingsfactor ς, en is gegeven door: πς Λ 1 ς Voor kleine waarden van ς vereenvoudigd dit zich tot (ς 0,0011): Λ πς

33 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 6 De dempingsfactor ς van het model behoudt dus dezelfde waarde als deze van de hanger. De dempingswaarde is dan gegeven door: c s ς k s m s Deze waarde is dan net zoals k s en m s afhankelijk van de plaats waar de demper gemonteerd is Bewegingsvergelijkingen Bewegingsvergelijking van de massa In deze vergelijking wordt het evenwicht beschreven tussen de windbelasting, de massa en de demper. Dit gebeurt door te stellen dat de som van alle krachten die op de massa aangrijpen gelijk is aan nul. Deze krachten zijn de windbelasting, de inertiekracht van de massa, de terugroepende kracht van de veerconstante, de wrijvingskracht en de inertiekracht van de vloeistof in de demper. De bewegingen in dit model vinden enkel plaats in horizontale richting, dus moeten slecht de horizontale krachten in rekening gebracht worden. Figuur 4.8: Systeem massa-demper / demper

34 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 7 In de bewegingsvergelijking van de massa m s komen de volgende termen voor (een kracht naar rechts werkend is positief). De sinusoïdale windbelasting: Fw ( t) Fw, 0 sin ( ω t) w De kracht in de veer: k s v De wrijvingsweerstand: c s v& De inertiekracht van de staaf en de vaste massa van de demper: m s v& De traagheidskracht van de vloeistof in de verticale kolommen van de demper: ( L B) Aρ& v& Deze ondergaan naast de horizontale versnellingen, die dezelfde is als die van de structuur, ook verticale versnellingen. Maar aangezien hier enkel de krachten in horizontale richting worden beschouwd, komen deze hier niet in voor. De traagheidskracht in het horizontale deel van de demper: 1 [& v αw& ] BA ρ + met α A/A 1, de verhouding van de doorsneden Hierin is αw& & de relatieve versnelling van de vloeistof t.o.v. de structuur. Deze laatste vijf krachten werken tegengesteld aan de belasting F w. Het horizontale krachtenevenwicht is dan als volgt uitgedrukt: ( L B) Aρ v&& + BA ρ[ v&& + αw&& ] + c v + k v F ( ) m & + & s v 1 s s w t

35 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 8 hierin is: ( L B) A v & + BA ρ v && m v & ρ 1 BA ρα w& BAρw& 1 d & Met m d de massa van de vloeistof in de demper De vergelijking wordt daarmee omgevormd tot ( m + m ) v& + BA w&& + c v& + k v F (t) & ρ (7) s d s s w Als de uitwijking van de vloeistof de lengte van de verticale vloeistofkolom overschrijdt, is L B niet meer aan deze vergelijking voldaan, deze is dus slechts geldig voor w. Als alle termen gedeeld worden door m s, rekening houdend met m m d µ, s B ks γ, ω s, ζ s L m s c s k m s s dan kan vergelijking (7) omgevormd worden tot: µ γl + ω ( 1 µ ) F ( t) w v& + w&& + ζ sωsv& + s v (8) Lem ms In deze vorm hebben alle termen de eenheid van versnelling, het is deze vorm die toegepast wordt in de berekeningen Bewegingsvergelijking van de demper De bewegingsvergelijking beschrijft de beweging van de vloeistof in de demper door het evenwicht te beschrijven van alle krachten die op de vloeistof inwerken. Het krachtenevenwicht wordt opgesteld voor alle krachten die in stromingsrichting werken. Deze krachten volgen uit de inertie van de vloeistof, het niveauverschil van de vloeistof en het luchtdrukverschil tussen beide kolommen en de wrijvingsverliezen. Omdat de doorsneden niet overal gelijk zijn, is het aanschouwelijker om met drukken te rekenen i.p.v. krachten.

36 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 9 Figuur 4.9: Schematische voorstelling demper De volgende termen komen in de bewegingsvergelijking voor: De inertie van de vloeistof tegenover de opgelegde beweging De versnelling van de structuur waarop de demper gemonteerd is, heeft een versnelling van de vloeistof tot gevolg die relatief is tegenover deze van de structuur. Deze versnelling geldt enkel voor de vloeistof in het horizontale gedeelte. De vloeistof in de verticale kolommen volgt de beweging van de structuur, dus is er geen relatieve horizontale versnelling. Dit kan beschouwd worden als de belasting die de beweging in de demper veroorzaakt. ρ B& v& De druk veroorzaakt door het verschil in waterhoogte ρgw Het luchtdrukverschil Gezien de hoge frequentie waarmee compressie en decompressie zich voordoen, kan men stellen dat dit adiabatisch gebeurt. D.w.z. dat er geen warmte-uitwisseling is met de omgeving, dan geldt: P V1 P V 1 n V P P V 1 1 n

37 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 30 De druk die beide luchtkolommen uitoefenen is: met n n H a H a p 0 (9) H a w H a + w H a de hoogte van de luchtkolom n polytropische coëfficiënt (1,) p 0 atmosferische luchtdruk (10000 Pa) Deze term is niet lineair in functie van w, maar voor kleine uitwijking kan deze term gelineariseerd worden tot: w np 0 (10) H a In de bewegingsvergelijking behouden we echter de volledige term. De ladingsverliezen Deze worden enkel beschouwd voor de diafragma s, de wandwrijving wordt verwaarloosd. Het ladingsverlies voor een diafragma in de horizontale buis is α w & w& ρξ met α A / A 1 ξ verliescoëfficiënt (dimensieloos) Het ladingsverlies voor een diafragma in de verticale buis is w & w& ρξ Deze zijn in functie van het kwadraat van de snelheid, zodat de bewegingsvergelijking niet lineair is en er zodoende ook geen analytische oplossing kan gevonden worden. Daarom zal hier numerieke integratie toegepast worden.

38 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 31 De verliescoëfficiënt ξ is bepaald door A1 1 ξ (11) ΨA met ψ de contractiecoëfficiënt (dimensieloos) Figuur 4.10: Stroming door een diafragma Voor een cirkelvormige doorsnede gelden de volgende waarden A /A 1 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 ψ 0,61 0,64 0,63 0,643 0,659 0,681 0,71 0,755 0,813 0,89 1 ξ 5 47,5 17,5 7,8 3,75 1,80 0,80 0,9 0,06 0 Praktische waarden voor A /A 1 bevinden zich in de buurt van 0,1. De contractiecoëfficiënt bedraagt dus ongeveer 0,6. In principe zijn deze waarden slechts geldig voor permanente stroming, wat hier niet het geval is. De stroming wisselt continu van richting, zodat het niet op voorhand zeker is dat het stromingsbeeld de vorm zal aannemen zoals getekend in Figuur Om hier enigszins rekening mee te houden zullen de berekeningen uitgevoerd worden voor verschillende waarden van ξ. Wat uit de tabel ook op te maken valt is dat ξ zeer sterk afhankelijk is van A 1 /A voor kleine waarden van A. Bijgevolg zal het in de praktijk eventueel beter zijn, indien grote waarden voor ξ nodig zijn, van meerdere diafragmas te voorzien met een grotere diameter, zodat er meer zekerheid is over de bekomen verliescoëfficiënt. De inertie van de vloeistof in stromingsrichting: Voor de twee verticale buizen geldt: ( L B) ρ& w&

39 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 3 Voor de horizontale buis geldt: w B & & ρα Deze samen geven: w L ee & & ρ met L ee L B + αb (ee: energetisch equivalent) α A/A 1 De som van deze termen moet gelijk zijn aan nul, zodat de bewegingsvergelijking wordt: n a a n a a ee w H H w H H p gw w w w L v B ρ α ρξ ρ ρ & & && & & (1) Alle termen worden gedeeld door ρl ee, rekening houdend met: L B γ, s s s m k ω n a a n a a ee ee ee ee w H H w H H L p w L g w L w w v L L ρ ξ γ & & && & & (13) Natuurlijke frequentie van een demper De ongedempte natuurlijke frequentie van de demper kan eveneens gevonden worden door de poteniële en kinetische energie van het systeem gelijk te stellen. De potentiële energie is maximaal als de uitwijking maximaal is en de vloeistofsnelheid nul is. De kinetische energie is maximaal als de uitwijking nul is en de vloeistofsnelheid maximaal is. De kinetische energie is algemeen gedefinieerd door m w²/ en omvat voor deze demper een term voor de verticale buizen en één voor de horizontale. ( ) 1 1 w BA w A B L & & ρ + ρ met α 1 A/ A w w d ω & w w d αω 1 & ω d hoekfrequentie van de demper

40 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 33 w w w ω ρ ( L B) A + αρba ω ρa [( L B) + αb] ω ρa Lee met L ee L B + αb, (energetisch equivalente lengte) w De energetisch equivalente lengte houdt is de lengte van een vloeistofkolom met een constante doorsnede A dat dezelfde energie-inhoud heeft als de vloeistofmassademper. De potentiële energie is algemeen gedefinieerd door F w/. De kracht die wordt uitgeoefend door de luchtdruk is gegeven door (10). Voor beide verticale kolommen samen geldt: w ρ Awg + np A 0 w H a w De hoekfrequentie ω d wordt dan gevonden door de beide termen aan elkaar gelijk te stellen. w ω ρa w ρawg + np w w Lee 0 A H a g np 1 + Lee ρgh 0 ωd a met H a de hoogte van de luchtkolom n polytropische coëfficiënt (1,) p 0 atmosferische luchtdruk (10000 Pa) L ee L B + αb, energetisch equivalente lengte Voor een open demper vervalt de term van de luchtdruk en wordt dit: ω d g L ee

41 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper Bewegingsvergelijkingen: samengevat De bewegingsvergelijkingen voor de massa en een gesloten demper zijn respectievelijk: ( ω t) µ γl F sin w,0 ( 1+ µ ) v&& + w&& + ζ sωsv& + ωs v Lem ms γl ξ w& g p 0 H a v&& + w&& + w& + w + Lee Lee Lee ρlee H a w w n n H a 0 H a + w (14) De natuurlijke hoekfrequentie van een gesloten demper is: g np 1 + Lee ρgh 0 ωd a (15) Met A oppervlakte van de doorsnede van de verticale buis A 1 oppervlakte van de doorsnede van de horizontale buis H a hoogte van de luchtkolom L lengte van de vloeistofkolom L em equivalente lengte van de vloeistofkolom (gelijke massa) L ee equivalente lengte van de vloeistofkolom (gelijke energie) B horizontale lengte µ verhouding van de vloeistofmassa (m d ) tot de structurele massa (m s ) γ B/L, de verhouding van de horizontale lengte tot de totale lengte g valversnelling ρ massadichtheid van de vloeistof p 0 initiële luchtdruk in de luchtkolom n polytropische index van lucht (n 1,) ξ verliescoëfficiënt van het diafragma in de demper ω d natuurlijke hoekfrequentie van de demper F w,0 de amplitude van de externe kracht ω w hoekfrequentie van de externe kracht m s modale structurele massa ω s structurele natuurlijke hoekfrequentie ς s structurele dempingsfactor v s horizontale verplaatsing van de structuur

42 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 35 v& s horizontale snelheid van de structuur & v& s horizontale versnelling van de structuur w verticale relatieve vloeistofverpaatsing w& verticale relatieve vloeistofsnelheid w& & verticale relatieve vloeistofsnelling Deze vergelijkingen gelden voor een gesloten massademper, voor een open demper volstaat het in de vergelijkingen (14) en (15) de termen met p 0 weg te laten. In een numerieke toepassing kan dit gebeuren door p 0 gelijk aan nul te stellen Energiebeschouwingen Aan het systeem wordt er energie toegevoerd door de Von Karman wervelbelasting en wordt er eveneens energie gedissipeerd door de demper. Het vermogen is gedefinieerd door kracht maal snelheid en voor de windbelasting is deze gegeven door het product van de windbelasting op de massa maal de snelheid van de massa. F sin( ω t)v & w, max P Het vermogen gedissipeerd door de demper is gegeven door het product van het drukverlies, de oppervlakte van de doorsnede en de vloeistofsnelheid. Het komt er dus op neer dat de trillingsenergie van de staven via de demper wordt omgezet in wrijving en dus in warmte. A 1 ρξ w& w& Deze grafiek in Figuur 4.11 geeft de vermogens weer bij aanvang van de belasting tot bereiken van evenwicht bij resonantiefrequentie. Het gedissipeerd vermogen van de demper is schijnbaar groter, maar dit is slechts omdat deze evenredig is met de derde macht van de sinus, en het vermogen van de belasting met de tweede macht. Als deze beide geïntegreerd worden over één periode bekomt men een gelijke waarde voor de toegevoerde en gedissipeerde energie.

43 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 36 Vermogen (J/s) ,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 Tijd (s) vermogen belasting gedempt gedissipeerd vermogen demper vermogen belasting ongedempt Figuur 4.11: Toegevoerd en gedissipeerd vermogen 4.5. Numerieke simulatie De bewegingsvergelijkingen (14) worden opgelost met een directe integratiemethode, op deze manier zijn de niet-lineaire dempingkarakteristieken in rekening gebracht. De oplossing zou ook op een analytische manier kunnen benaderd worden, maar dan moet de vergelijking van de demper gelineariseerd worden zodat de wrijvingsverliezen van de demper in functie zijn van de vloeistofsnelheid w& en niet van w&. De wrijvingsverliezen zijn afhankelijk van de vloeistofsnelheid en dus ook van de amplitude van de uitwijking van de vloeistof en is dus ook afhankelijk van de uitwijking van de basisstructuur. Dit komt er op neer dat een oplossing dan iteratief zou moeten gezocht worden in functie van de gevonden waardes voor de amplitudes van de demper. Een ander voordeel van een directe integratiemethode is ook dat de beginvoorwaarden, zoals een initiële uitwijking, en veranderlijke belastingssituaties eenvoudig in rekening kunnen worden gebracht. De directe integratiemethode bestaat erin per tijdstap uitgaande van de verplaatsingen, de snelheden en de belasting de versnellingen te berekenen, en met die waarden de snelheden en de verplaatsingen te berekenen voor de volgende tijdstap. Dit gebeurt gelijktijdig voor de primaire structuur als voor de demper.

44 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 37 De bewegingsvergelijkingen (14) worden omgevormd tot de vergelijkingen (16) waarbij de versnellingen geïsoleerd zijn. Deze versnellingen zijn constant over het tijdsinterval dt, maar bij een voldoende kleine tijdsstap die een fractie (ongeveer 1/1000) is van de periode π/ω is deze onnauwkeurigheid verwaarloosbaar en bekomt men een vloeiend verloop. Uitgaande van de waarden w, i, w& i vi en i berekeningsstap, worden de waarden w& & i+ 1 en v& & i+ 1 berekend met: v&, die beginwaarden zijn, of gekend uit een vorige && v 1 F (1+ µ) sin( ω w t) µγl w&& m L ζω v& ωs v w,max i+ 1 i s s i i s em (16) n n γl ξ w& g λ H a H a w& i 1 && vi 1 w& i w i 0 Lee Lee L ee L + + ee H a wi H a + wi ti ti + dt +1 w i, w& i, vi en i v& worden dan als volgt berekend: v& v w& w i+ 1 i+ 1 i+ 1 i+ 1 v& + && v i v + v& i w& w i i i+ 1 i+ 1 + w&& + w& dt dt i+ 1 i+ 1 dt dt Deze berekeningen worden in Excel uitgevoerd via een macro in VBA, op die manier bevindt zich op her rekenblad enkel de input en output. De input omvat de geometrie en de eigenschappen van zowel de hanger en de demper. Alle parameters van de bewegingsvergelijkingen zoals de massa m s en de eigenfrequentie ω s worden in het rekenblad berekend en worden dan ingelezen door de macro. De output omvat een lijst met voor verschillende tijdstappen de uitwijkingen voor de massa en voor de demper. De uitwijkingen van de massa zijn deze van de staaf ter hoogte van de demper (afstand x d vanaf het boveneinde) en worden dan in het rekenblad omgerekend worden naar uitwijkingen in het midden van de staaf om gemakkelijker te kunnen vergelijken. Deze kunnen dan eventueel ook omgerekend worden naar spanningen of dergelijke. Ook het toegevoerde en gedissipeerde vermogen wordt berekend (zie paragraaf 4.4). Deze waarden worden niet voor elke tijdstap dt berekend omdat de output dan te omvangrijk zou worden, maar slechts voor 5 tijdstappen

45 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 38 per periode. Dit is voldoende om een vloeiende grafiek te kunnen tekenen en om de maximum waarden te kunnen bepalen. In een tweede rekenblad wordt dan een frequentieresponsiecurve opgesteld. De berekening daarvan verloopt volgens hetzelfde principe als voorgaande, maar gebeurt hier voor 100 waarden voor de belastingsfrequentie ω w tussen een opgegeven interval. Bij de start van de berekening van de amplitude voor één frequentie is de uitwijking nul en de berekening loopt door tot er een evenwicht bereikt wordt. De maximale waarden van de amplitudes van de twee laatste periodes worden tijdens de berekening continu vergeleken en wanneer deze gelijk zijn binnen een vooropgestelde nauwkeurigheid, wordt de berekening afgebroken en wordt de berekening hervat voor de volgende frequentie. De nauwkeurigheid van de responsiecurve hangt in hoofdzaak af van twee parameters; de tijdstap dt en de nauwkeurigheid waarmee de amplitudes vergeleken worden. Het komt er op neer deze waarden klein genoeg te nemen zodat de gewenste nauwkeurigheid bereikt wordt en ze ook niet te klein te nemen om niet meer rekentijd te vergen dan nodig. Deze waarden zijn ook afhankelijk van het te berekenen model, bij het simuleren van het schaalmodel zullen beide waarden kleiner moeten genomen worden dan bij de simulatie van het werkelijke model. De belasting die bij het opstellen van de frequentierespontiecurve in aanmerking wordt genomen is eveneens afhankelijk van de frequentie. Bij belasting door von Karmanwervels is zowel de frequentie als de grootte van de belasting afhankelijk van de windsnelheid. Dus correspondeert met een grotere frequentie ook een grotere belasting. Deze is gegeven door ωwd v π 0, 1 F w ρlv AC L F w 1 ωwd ρ l π 0, AC L Dit heeft als gevolg dat de responsiecurve een meer asymmetrische vorm aanneemt, er zal dus meer responsie zijn bij de hogere frequenties. Dit heeft als gevolg dat om tot een optimale demping te komen, de demper voor een iets hogere frequentie zal moeten worden afgesteld. Indien de demper tussen twee hangers geplaatst wordt, vergt dit een kleine aanpassing aan het berekeningsmodel. De eigenfrequentie wordt op dezelfde manier berekend als voor één staaf,

46 Hoofdstuk 4: Dynamica van het systeem hanger-demper 39 behalve dat de vaste massa van de demper M d gedeeld wordt door twee. De belasting en de massa m s worden eveneens verdubbeld zodat de massaverhouding µ halveert.

47 Hoofdstuk 5: Ontwerp van een vloeistofmassademper Ontwerp van een vloeistofmassademper Het ontwerpprincipe zal uitgelegd worden aan de hand van een voorbeeld, namelijk een demper voor een hanger van de Werkspoorbrug Massa van de vloeistof Hoe hoger de massa van de vloeistof in de demper, hoe beter de demping en dus hoe kleiner de maximale amplitude zal zijn. Hoe groot deze amplitude mag zijn, zal in dit geval voornamelijk afhangen van de vermoeiing in de lasverbindingen aan de inklemmingen van de hangers. Uit het aantal spanningswisselingen die gedurende de levensduur van de constructie te verwachten zijn, kan de grote van die spanningswisselingen afgeleid worden waarbij voldaan is aan de vermoeiingscriteria. Deze kunnen dan gerelateerd worden aan de maximale uitwijking in het midden van de hanger. De spanningswisselingen in de verbindingen zijn niet enkel het gevolg van Von Karman wervelbelasting, dwars in de winrichting, maar ook van de windbelasting in de windrichting en door de mobiele lasten t.g.v. het spoorverkeer. Hier wordt verder niet op ingegaan. In de meeste gevallen zal net zoals bij een gewone massademper een massaverhouding µ (m d / m s ) van 1 à % reeds voldoende zijn. Het is wel enkel de massa in de horizontale buis die actief dempt omdat enkel deze een relatieve horizontale verplaatsing ondergaat tegenover de primaire massa. Dus moet eigenlijk het product γµ (γ B/L) gelijkgesteld worden aan een zeker percentage als men tot een vergelijk wil kunnen komen met de demping van een gewone massademper. Voor dit voorbeeld zullen we uitgaan van een massaverhouding γµ 1% voor een demper tussen twee hangers die geplaatst is op /3 van de hoogte van de hangers. De modale massa van twee hangers met een lengte van 35 m, op /3 van de hoogte is bepaald met (5). Voor de vaste massa van de demper M d (buizen, bevestigingen, ) wordt er uitgegaan van een massa van 100 kg. De modale massa die hiermee overeenstemt is 1134 kg. Het volume vloeistof in de horizontale buis moet dus een massa van 113 kg hebben.

48 Hoofdstuk 5: Ontwerp van een vloeistofmassademper 41 De eigenfrequentie wordt berekend met (4) en bedraagt voor een enkele staaf,43 Hz (15,4 rad/s). De eigenfrequentie van de twee staven met een massa van 100 kg op /3 van de hoogte bedraagt,4 Hz (15,17 rad/s), wat slechts een klein verschil is. 5.. Afmetingen Omdat het de bedoeling is een demper te ontwerpen met een relatief hoge eigenfrequentie, heeft men er baat bij om de totale lengte zo kort mogelijk te houden omdat deze omgekeerd evenredig is met de eigenfrequentie. De hoogte van de verticale vloeistofkolommen is dan enkel bepaald door de te verwachten schommelingen van het waterniveau zodat er geen lucht in de horizontale buizen komt. Bij een gesloten demper bedraagt dit slechts enkele millimeters tot centimeters. Er moet ook rekening gehouden worden met het schommelen en klotsen van het wateroppervlak zodat men best voor de hoogte op zijn minst één maal de diameter van de buis neemt. Op /3 van de hoogte van de hangers is de afstand tussen beide hangers ongeveer 3 m, als men een horizontale lengte van m vooropstelt, dan wordt de doorsnede van de buis: 113 0, Met als diameter m φ 4 0,0565 π 0,68 m De diameters voor de horizontale en verticale buizen worden voor de eenvoud gelijk genomen. De koppeling tussen beide kan dan eenvoudig gebeuren met een knievormig koppelstuk. De vraag is nu welke horizontale lengte B in rekening mag genomen worden als de hoeken afgerond zijn. Als we de bewegingsvergelijking van de massa (7) nog even in beschouwing nemen, dan is de term met de bijdrage van de demper ρ [ α& w& ] BA 1 horizontale buis vermenigvuldigd met de relatieve versnelling. s ( L B) Aρv&& + BA [ v&& + w&& 1 ρ α ] + csv + k sv Fw m v& + &. Dit is de massa van de vloeistof in de

49 Hoofdstuk 5: Ontwerp van een vloeistofmassademper 4 Meer algemeen kan deze term beschouwd worden als de integraal van de massa vermenigvuldigd met de horizontale relatieve versnelling over de volledige lengte van de demper. Voor de verticale gedeelten is dit vanzelfsprekend gelijk aan nul omdat er geen horizontale relatieve versnelling is. Voor de gebogen gedeelten geldt π / 0 cos( α) w & ρardα ρarw& Een gebogen gedeelte mag over zijn horizontale lengte in rekening genomen worden. Dit heeft als consequentie dat de breedte B volledig in rekening mag worden gebracht. Figuur 5.1: Vloeistofmassademper met gebogen koppelingen Stel nu dat er in het voorbeeld een gebogen koppelstuk met een straal van 5 cm wordt gebruikt en dat er nog een extra overhoogte H van 5 cm is boven de horizontale rand van de bocht, dan is de totale lengte L gegeven door: L B R + (R π/) +H 0,5 + (0,5 π/) + 0,05,385 m De hoogte van de luchtkolom H a volgt dan uit de volgende paragraaf Afstellen van de demper Het afstellen van de demper komt neer op het vinden van optimale waarden voor de verhouding van de eigenfrequenties van de demper en hanger (χ ω d / ω s ) en voor de

50 Hoofdstuk 5: Ontwerp van een vloeistofmassademper 43 verliescoëfficiënt ξ. De eigenfrequentie van de demper ω d is bepaald door de hoogte van de luchtkolom H a en de verliescoëfficiënt ξ is bepaald door de grootte van het diafragma (11) Deze twee parameters bepalen de vorm van de frequentieresponsiecurve. Deze curve geeft de responsie weer van het systeem (doorbuiging in het midden van de hanger) i.f.v. de belastingsfrequentie ω w. Wanneer de demper nauwelijks inwendig zou gedempt zijn, zou deze wel optimaal dempen als de externe belasting juist overeenkomt met de eigenfrequentie van de hanger en demper. Maar dan ontstaan er in de responsiecurve twee pieken juist naast de eigenfrequentie (Figuur 5.), de inwendige demping zorgt ervoor dat de responsiecurve afgeplat wordt. Als de inwendige demping te hoog is, wordt de stroming van de vloeistof te veel gehinderd en verliest de demper zijn werking. De frequentieverhouding χ bepaalt de symmetrie van de responsiecurve (Figuur 5.3). Is de frequentie van de demper te hoog, dan zal deze meer dempen bij een hogere belastingsfrequentie en omgekeerd. Bij het opstellen van de responsiecurve wordt er eveneens rekening mee gehouden dat met een hogere belastingsfrequentie, een hogere windsnelheid overeenstemt en dus ook een grotere kracht. Daardoor is de respons voor hogere belastingsfrequenties relatief gezien hoger en zal de optimale frequentieverhouding χ ook een iets hogere waarde aannemen. De invloed van χ en ξ is in volgende grafieken weergegeven. 0,0035 0,0030 Doorbuiging (m) 0,005 0,000 0,0015 0,0010 ξ 5 ξ 50 ξ 130 ξ 60 0,0005 0, , , , ,5 17 Belastingsfrequentie (rad/s) Figuur 5.: Frequentieresponsiecurve i.f.v. de verliescoëfficiënt ξ (χ 0,995)

51 Hoofdstuk 5: Ontwerp van een vloeistofmassademper 44 0,0018 0,0016 0,0014 Doorbuiging (m) 0,001 0,0010 0,0008 0,0006 0,0004 0,000 0, , , , ,5 17 Belastingsfrequentie (rad/s) χ 0,955 χ 0,975 χ 0,995 χ 1,015 Figuur 5.3: Frequentieresponsiecurve i.f.v. de frequentieverhouding χ (ξ 0130) De optimale waarden voor de demper zijn: χ 0,995 ω d χ ω s 0,995 15,17 15,10 rad/s Uit de formule voor de eigenfrequentie van de demper (15) wordt dan H a bepaald. H a 0,467 m ξ 130 Met een contractie coëfficiënt ψ 0,6 stemt volgens (11) een diafragma overeen met een diameter van 97 mm. De maximale uitwijking in het midden van de hanger is 0,97 mm. Dit is ongeveer 30 maal kleiner dan de uitwijking die optreedt zonder demper. De statische doorbuiging onder dezelfde belasting is 0,064 mm, de dynamische versterking is dus 15 tegenover ongeveer 450 zonder demper.

52 Hoofdstuk 5: Ontwerp van een vloeistofmassademper 45 Als dezelfde demper, mits een andere afstelling, op een andere hoogte geplaatst wordt, bekomt men als resultaten. hoogte x d / L γµ χ (m) (-) (%) (-) H a ξ φ diafragma y L/ (m) (-) (mm) (mm) 5,00 1/7 0,09 0,999 0, ,00 7,00 1/5 0,7 0,998 0, ,83 8,75 1/4 0,51 0,997 0, ,35 11,66 1/3 1,00 0,995 0, ,97 17,50 1/ 1,60 0,991 0, ,76 De uitwijking van de hanger i.f.v. de massaverhouding γµ geeft de grafiek, weergegeven in Figuur 5.4. Het rendement van een toenemende massa daalt dus bij een grotere massaverhouding. 3,5 3,0 Doorbuiging (mm),5,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, 1,4 1,6 Massaverhouding (-) Figuur 5.4: Maximale responsie i.f.v. de massaverhouding

53 Hoofdstuk 6: Proefopstelling Proefopstelling 6.1. Ontwerp van het schaalmodel Als proefmodel voor het testen van de demper wordt er een schaalmodel ontworpen van twee van de langste hangers van de Werkspoorbrug. Deze hangers komen samen in de boog en zijn verbonden met de twee zijden van het brugdek. Het schaalmodel wordt ontworpen volgens dezelfde geometrie op een schaal 1/10. Tussen de twee hangers komt dan een verbinding waarop de demper geplaatst wordt. Figuur 6.1: Schematische voorstelling van de brug Het schaalmodel zou ontworpen worden naar een geometrie volgens Figuur 6.. De axiale trekbelasting is niet aanwezig in het schaalmodel. Dit zou de voorziening vergen van een spanschroef, waardoor de verbinding zich veeleer als een scharnier zou gedragen dan als een inklemming. Het niet aanwezig zijn van de trekkracht verlaagt de eigenfrequentie met ongeveer 5%, scharnierende i.p.v. ingeklemde verbindingen zorgt voor een verlaging van de eigenfrequentie met ongeveer 55%. Scharnierende verbindingen zouden waarschijnlijk ook een stijging van de demping tot gevolg hebben waardoor het moeilijker zou worden om het effect van een vloeistofmassademper vast te stellen.

54 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 47 Figuur 6.: Schematische voorstelling van het schaalmodel van de hangers Cruciaal in het ontwerp zijn bevestigingen van de staven. Wat betreft de Werkspoorbrug gaan we er van uit dat de inklemmingen als volmaakt kunnen beschouwd worden. Het is dus ook de bedoeling dat in het schaalmodel de inklemmingen zo stijf mogelijk gemaakt worden zodat de eigenfrequentie kan berekend worden als een tweezijdig ingeklemde staaf. Omdat het schaalmodel natuurlijk niet moet overgedimensioneerd worden, wordt er eens nagegaan aan welke stijfheid de inklemmingen minimaal moeten voldoen. Een eenvoudige manier om dit te doen is door de stijfheden van de inklemmingen in rekening te brengen in de doorbuigingslijn die de trillingsvorm van de staaf voorstelt, en daarmee het Rayleigh-quotiënt te berekenen (zie paragraaf 4..1). De doorbuigingslijn wordt dan gegeven door een staaf die aan beide kanten begrensd is door een rotatieveer en een translatieveer en belast is door een gelijkmatig gespreide belasting. De absolute waarde van de doorbuiging is van geen belang omdat deze in het Rayleigh-quotiënt wordt weg gedeeld.

55 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 48 Figuur 6.3: Modellering van de doorbuigingslijn met K 1, K rotatiestijfheden T 1, T translatiestijfheden α 1, α hoekverdraaiingen y 1, y horizontale verplaatsingen Het Rayleigh-quotiënt wordt dan enkel nog uitgebreid met de termen van de potentiële energie die door de veren opgenomen wordt. ( ) [ ] d d l h l l y M dx y A y T y T K K dx x y T dx x y EI x y R ρ α α (17) met y f(e, I, K 1, K, T 1, T, L, x)

56 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 49 Wanneer men deze vergelijking in Excel berekent, met de translatieveren gelijk aan oneindig en uitgaande van de volgende geometrie en materiaaleigenschappen. L (m) 3,6 D (m) 0,0394 d (m) 0,007 ρ (kg/m³) 7850 N (N) 0 E (N/m²),1E+11 Dan bekomt men de volgende waarden voor de eigenfrequentie i.f.v. de rotatiestijfheid 5 0 Eigenfrequentie (Hz) E+06 1E+07 1E+08 1E+09 1E+10 0 Rotatiestijfheid K1, K (Nm/rad) Figuur 6.4: Eigenfrequentie i.f.v. de rotatiestijfheid van de inklemmingen De vereiste stijfheid om een inklemming te benaderen is dus ongeveer Nm/rad. Om tot een vlugge schatting van het benodigde profiel te komen beschouwen we het horizontale deel van het raamwerk bovenaan dat bij trillen op torsie belast is. Als dit profiel 1 m lang is, moet de stijfheid van het profiel ongeveer Nm/rad/m bedragen. Voor een HEA100-profiel geldt I t 5,4 cm 4 5, m 4

57 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 50 G E ( + µ ) ( 1+ 0,3) 8, N / m K 1 GI t /L 8, , / 1 43 Nm/rad Met een dergelijk profiel zou de bevestiging zich als een scharnier bedragen. Wetende dat niet gesloten profielen een geringe wringstijfheid hebben, kan dus besloten worden dat hier een kokerprofiel nodig zal zijn. Voor een vierkantig kokerprofiel geldt I t ( B t) t ( 0,140 0,005) 0,005 1,3 10 m I K 1 GI t /L 8, , / Nm/rad Dit profiel voldoet dus wel, voor een meer precieze berekening van de dynamische eigenschappen van het testmodel is er een model gemaakt in het eindige elementen programma ESA-Prima Win. Voor de ronde staven is een profiel gekozen met een buitendiameter van 4,4 mm en een wanddikte van,6 mm, wat redelijk goed deze van de hangers benaderd op schaal 1/10. De eigenfrequentie voor de eigenmode waarbij de twee staven synchroon trillen is 18,787 Hz. De twee staven zijn in het midden verbonden met een buigslappe staaf, die de scharnierende verbinding voorstelt waarop de demper dan zal geplaatst worden Figuur 6.5: Eigenmode met frequentie 18,79 Hz

58 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 51 Het ontwerp van het definitieve model ziet er als volgt uit. Figuur 6.6: 3D-voorstelling en foto van de proefopstelling 6.. Meetmethode Algemeen Voor het registreren van de trillingen waren er aanvankelijk twee opties; met acceleratiemeters of met rekstrookjes. Van de optie met acceleratiemeters is afgezien omdat het niet verwaarloosbare gewicht ervan een te grote invloed zou hebben op natuurlijke trillingsfrequentie van de staven. Dus is er besloten geweest om met rekstrookjes te werken, welke geen invloed hebben op de te meten frequentie. Er zijn op elke staaf twee rekstrookjes geplaatst op halve hoogte, één in de dempingsrichting, de ander in de dwarse richting. Het meetsignaal werd geregistreerd met meetapparatuur en software van Strainsmart, welke de rek registreert en in staat is om het gemeten signaal op verschillende manieren te analyseren.

59 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 5 Figuur 6.7: Strainsmart meetapparatuur 6... Relatie tussen rek en doorbuiging Het signaal dat gemeten wordt is een spanning en wordt door de sofware omgezet naar rek, in overeenstemming met de kenmerken van de gebruikte rekstroken. De relatie tussen de rek en verplaatsing is bepaald door M d ε EI y M EI x ε met d y x ( x) ( x) d diameter van de staaf y f(e, I, K 1, K, T 1, T, L, x) De rek in de middendoorsnede is dus logischerwijs afhankelijk van de kromming in die doorsnede. De verhouding tussen doorbuiging en rek is dan bepaald als volgt. ( x) y( x) y ε d y x ( x) (18)

60 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 53 Dit wordt dan in Maple berekend, voor x L/, uitgaande van de volgende waarden. x (m) 1,8 E (N/m²) I (m 4 ) 0, K 1 (Nm/rad) 1450 K (Nm/rad) T 1 (N/m) T (N/m) Als resultaat bekomt men 47 m/strain, dus een rek van 1 µstrain komt overeen met een doorbuiging van 0,047 mm Bepalen van de eigenfrequentie en de inklemmingsstijfheden. Bij het oorspronkelijke ontwerp van het schaalmodel van de hangers was een diafragma voorzien in het kokerprofiel bovenaan op de plaats waar de staven aan het profiel gebout worden zodat de profielwand niet zou plooien en de inklemming zodoende zijn stijfheid zou behouden. Dit is dan om praktische redenen met betrekking tot de constructie toch niet voorzien met als gevolg dat er geen zekerheid was of dat de eigenfrequentie van de opstelling zou overeenkomen met de berekende waarden. Daarom is er een test gedaan met als doel, uitgaande van het meten van de eigenfrequentie van een enkele staaf, waarden te vinden voor de stijfheidparameters van de inklemmingen, namelijk de rotatiestijfheden en de translatiestijfheden. Deze kunnen dan worden gebruikt in het rekenmodel. Het belang van deze waarden te kennen is enerzijds dat de trillingsvorm van de staaf dan gekend is. Dit is van belang voor de plaats waar de demper gemonteerd wordt. Hoe meer de demper meebeweegt met de staaf, hoe effectiever de demping is. Dus als de demper redelijk hoog gemonteerd is, zal deze bij een volledig ingeklemde staaf minder meebewegen dan bij een scharnierende bevestiging.

61 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 54 Figuur 6.8: Verplaatsing demper bij een scharnierende en ingeklemde staaf Anderzijds is dit ook van belang voor het berekenen van de eigenfrequentie. Wanneer de demper op de staaf gemonteerd wordt, zal deze de eigenfrequentie verlagen. En de mate waarin dit beïnvloed wordt is dan ook afhankelijk van de massa van de demper en ook van de plaats waar deze gemonteerd is en dus ook van de trillingsvorm. Een demper die in het midden geplaatst is, zal de eigenfrequentie meer verlagen dan een demper die meer naar de uiteinden toe geplaatst is. De eigenfrequentie is niet dezelfde in beide trillingsrichtingen, dus zullen de waarden voor de stijfheden ook niet gelijk zijn voor de beide richtingen. Aangezien het de bedoeling is de demping te meten in de X-richting, zullen we enkel deze waarden trachten te bepalen.

62 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 55 Figuur 6.9: Staaf met inklemmingsveren Het is niet mogelijk uitgaande van één enkele frequentiemeting de waarden te vinden voor de vier stijfheidparameters. Wat de translatiestijfheden betreft, kan deze onderaan zonder probleem als oneindig groot ondersteld worden. Bovenaan is dit niet het geval, omdat uit de dynamische berekeningen in ESA-Prima Win blijkt dat het uiteinde bovenaan ook meetrilt, vooral dan indien deze bovenaan scharnierend is bevestigd (Figuur 6.10). Indien de staven bovenaan ingeklemd zijn beweegt het uiteinde nauwelijks. Indien dit als een scharnier gemodelleerd wordt, beweegt het uiteinde in tegenfase tegenover de uitwijking in het midden van de staaf. In die trillingsmode is de eigenfrequentie 13,93 Hz.

63 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 56 Figuur 6.10: Eigenmodes voor bovenaan ingeklemd (18,79 Hz) / scharnierend (13,93 Hz) Om de rotatiestijfheden afzonderlijk te kunnen bepalen wordt het bovenste uiteinde horizontaal vastgeklemd zodat de translatiestijfheid bovenaan ook oneindig is. Dan worden beurtelings de bouten bovenaan en onderaan losgeschroefd zodat de rotatiestijfheid aan één kant nul is. De invloed dat dit heeft op de translatiestijfheid is onzeker, maar in eerste instantie wordt dit nog steeds oneindig ondersteld. Dit leverde de volgende resultaten op situatie eigenfrequentie (Hz) bouten onder los 11,1 bouten boven los 1,1 beide vast 13,86 beide los 11,1 Voor de eerste en de laatste situatie is de eigenfrequentie gelijk, dit duidt er op dat de inklemming bovenaan niet veel bijdraagt tot het verhogen van de frequentie en bijgevolg een geringe stijfheid heeft.

64 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 57 De stijfheden die voor de verschillende situaties kunnen gevonden worden zijn: situatie eigenfrequentie (Hz) K1 (Nm/rad) K (Nm/rad) T1 (N/m) T (N/m) bouten onder los 11, bouten boven los 1, Als de stijfheden K 1 (19000 Nm/rad) en K (44000 Nm/rad) beide in rekening gebracht worden bekomt men een eigenfrequentie van 14,6 Hz die dus groter is de gevonden 13,86. Als de stijfheden evenredig verminderd worden met 5% (K Nm/rad en K Nm/rad), dan komt de berekende frequentie wel overeen met de gemeten waarde. Dan hebben we de horizontale inklemming weggenomen en de eigenfrequentie opnieuw gemeten, deze waarde bedroeg 14,5 Hz, een stijging van 0,4 Hz. Dit betekent dat het bovenuiteinde in tegenfase trilt, wat in overeenstemming is met de resultaten uit ESA Prima Win (Figuur 6.10). Deze doorbuigingslijn kan in het model gesimuleerd worden door een negatieve waarde voor de translatiestijfheid te nemen. Dit betekend ook op dat de translatieveer bovenaan niet als een massaloze veer kan beschouwd worden en dat de waarde voor de translatiestijfheid ook afhankelijk is van de frequentie waarmee het systeem trilt. De juiste eigenfrequentie wordt dan gevonden met T N/m. Dit levert dan de volgende doorbuigingslijn op. 0 y (-) 0,5 1 1,5 x (m),5 3 3,5 Figuur 6.11: Doorbuigingslijn van de staaf

65 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 58 De eigenfrequentie van de trilling in de dwarse richting is 17,6 Hz en is daarmee beduidend groter dan deze in dempingsrichting (13,86 Hz) Dit zal vooral te wijten zijn aan de stijfheid van de inklemming bovenaan die niet dezelfde is voor beide richtingen. Deze zal trouwens ook niet dezelfde zijn voor het trillen in de dempingsrichting als de staven in fase of in tegenfase trillen omdat de wand van het kokerprofiel dan op een verschillende manier vervormt. Daardoor zal deze bij het in fase trillen een grotere weerstand geven tegen vervorming dan bij het in tegenfase trillen. Figuur 6.1: Vervorming profielwand bij het trillen in fase en in tegenfase Nog een fenomeen dat vast gesteld werd bij het laten trillen van één staaf is dat deze zijn trillingsenergie doorgeeft aan de andere staaf zodat deze alternerend trillen met een periode van ongeveer 1 à seconden. Conclusie: Uit voorgaande blijkt dat de stijfheden die gevonden zijn niet als absoluut kunnen beschouwd worden. Dit komt omdat het wiskundige model niet alle parameters bevat die in werkelijkheid van toepassing zijn. Die situaties zijn verschillend naargelang één enkele staaf trilt, de beide staven gedwongen in fase trillen, er al dan niet een demper op gemonteerd is, In de praktijk blijkt het model met deze waarden toch een vrij nauwkeurige voorspelling te geven van de veranderingen in de frequentie naargelang de positie en het gewicht van de demper. Als er bij de metingen toch kleine verschillen zitten op de gemeten en de berekende waarde voor de trillingsfrequentie kan dit opgelost worden door de stijfheden aan te passen

66 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 59 zodat de frequenties toch overeenkomen. Zodoende kan er tot een optimaal vergelijk gekomen worden tussen meet- en berekeningsresultaten. Als initiële waarden voor de stijfheden wordt er uitgegaan van: K 1 (Nm/rad) 1450 K (Nm/rad) T 1 (N/m) T (N/m) 6.4. Ontwerp en constructie van de demper De demper is ontworpen op dezelfde manier als beschreven is in Hoofdstuk 5. Vooraleer een definitief ontwerp te maken is er eerst een voorlopig ontwerp gemaakt om aan de hand daarvan een keuze te kunnen maken voor de te gebruiken buisprofielen, koppelstukken en bevestigingen. Uiteindelijk is de keuze gemaakt voor transparante PVC buis met buitendiameter 3 mm, wanddikte,4 mm en bijhorende moffen en hoekstukken. Er zijn twee moffen gebruikt om de luchtkolommen af te sluiten, in de mof zit er een plaatje met daarin een ventiel om het volume lucht en de hoeveelheid water in de demper te kunnen bijregelen. Een derde mof is gebruikt om in de horizontale buis een diafragma in te brengen, dit is plastic plaatje met een dikte van 3 mm en de diameter van de opening volgt dan uit de berekening van de optimale verliescoëfficiënt. Om de demper aan de staven van de proefopstelling te bevestigen is er een constructie gemaakt bestaande uit twee aluminium hoekprofielen, verbonden met een stalen plaatje waarop dan met twee O-klemmen de demper op bevestigd is. Dit kan dan op verschillende hoogtes op de staven bevestigd worden d.m.v. twee staafjes die op verschillende plaatsen door de aluminium profielen kunnen gestoken worden. Op deze manier is het geheel volledig scharnierend bevestigd.

67 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 60 Figuur 6.13: Demper en bevestigingsconstructie De vaste massa van de demper kon bepaald worden uitgaande van de soortelijke gewichten van de buizen en de voorlopig bepaalde afmetingen, samen met het gewicht van de bevestiging komt dit op 0,941 kg. In het model komt dit neer op een verlaging van de eigenfrequentie met ongeveer 5% (0,85 Hz). Uitgaande van deze gegevens zijn dan de definitieve afmetingen vastgelegd (Appendix A), er rekening mee houdende dat de demper zal gemonteerd worden op hoogtes tussen ½ en ¾ van de totale hoogte. De breedte is bepaald door de ruimte die er is tussen de staven op ¾ van de hoogte. De massaverhoudingen γµ die corresponderen met de verschillende hoogtes zijn: hoogte (m) x d / L (-) γµ (%) 1,80 1/ 1,57,5 5/8 1,35,70 3/4 0,77 De optimale verliescoëfficiënt ξ voor een demper op een hoogte van,5 m is 135, dit correspondeert met diameter van 8,6 mm. Omdat er een onzekerheid is betreffende de contractiecoëfficiënt (paragraaf 4.3.) is er een gemiddelde waarde van 0,8 in rekening genomen.

68 Hoofdstuk 6: Proefopstelling Verschaling van de parameters Gelijkvormigheid Om te weten in welke mate de responsie van de proefopstelling te vergelijken is met deze van de werkelijke structuur moet er nagegaan worden of de beide structuren zowel geometrisch, kinematisch en dynamisch gelijkvormig zijn. Om aan deze drie voorwaarden te voldoen moeten alle termen van beide bewegingsvergelijkingen met dezelfde schaal kunnen vermenigvuldigd worden zodat de oplossingen die voor deze vergelijkingen gevonden worden aan dezelfde schalen voldoen. In de eerste plaats wordt er een studie gedaan van de schalen van de grootheden, er van uit gaande dat voldaan is aan de voorwaarden voor geometrisch, kinematische en dynamische gelijkvormigheid. Daarna zal aan de hand van een voorbeeld de schalen bepaald worden die van toepassing zijn op de proefopstelling. Afmetingen De schaal α L van de afmetingen ligt vast en is gegeven door α L 0,1 Aangezien er kinematische gelijkvormigheid is, is de schaal van de verplaatsingen α x gelijk aan deze van de afmetingen. α x 0,1 Frequentie Deze schaal is afhankelijk van de frequentie waarmee het schaalmodel trilt. Als men ter vereenvoudiging de eigenfrequentie van een tweezijdig ingeklemde staaf bekijkt, die op een trekkracht belast is, dan kan de schaal bepaald worden uitgaande van de schalen van de parameters die in de formule voor de eigenfrequentie voorkomen. De eigenfrequentie kan gesplitst worden in een eigenfrequentie t.g.v. de stijfheid van de staaf en een eigenfrequentie t.g.v. de trekkracht op de staaf. Deze worden kwadratisch opgeteld. Deze formules zijn niet 100% correct voor dit geval, maar het is dan ook enkel de bedoeling

69 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 6 om een verhouding te bepalen i.f.v. de parameters. De correcte, maar meer complexe, formule (4), die i.f.v. dezelfde parameters is, voldoet dan aan dezelfde schaalverhouding. ωs, buiging, 4 4 EI L ρa ω π s, snaar T ρal De schalen voor E en ρ zijn 1, dus is de schaal voor ω s, buiging enkel i.f.v. van de geometrie. α ω α α α 4 1 0,1 4 0,1 1 0,1 E I 4 Lα ρα L 10 Opdat ω s, snaar aan dezelfde schaal zou voldoen moet de schaal α T voor de trekkracht de waarde 0,01 hebben. α ω α α α 0,01 1 0,1 0,1 N ρ Lα L 10 De eigenfrequentie in het schaalmodel is dus tien maal hoger. Indien dit in het schaalmodel niet het geval is, omdat de geometrie en de inklemmingsstijfheden niet gelijk zijn of omdat de trekkracht niet aanwezig is, dan zal de verhouding α ω lager zijn dan 10. Tijd De tijdsschaal volgt dan uit de schaal van de frequentie α t 1 α ω ,1 Snelheid α x α x & α t 0,1 1 0,1

70 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 63 Versnelling α & x α α 0,1 0,1 x t 10 Kracht De schaal voor de trekkracht is 0,01. Voor de kracht die de Von Karman wervels op de staaf uitoefenen (paragraaf...), geldt: F 1 ρ v w,0 AC L ωwd met v π 0, F w,0 1 ωwd ρ π 0, AC L α F α ( α α ) α 1 ( 10 0,1) 0,1 0, 01 ρ ω L L De schalen voor de normaalkracht en de windkracht zijn gelijk, het schaalmodel is dus dynamisch gelijkvormig. Samenvatting De schalen die gelden voor geometrische, kinematische en dynamische gelijkvormigheid zijn: lengte (m) α L 0,1 hoekfrequentie (rad/s) α ω 10 tijd (s) α t 0,1 snelheid (m/s) versnelling (m/s²) α 1 x& α 10 & x& kracht (N) α F 0, Schalen voor de proefopstelling Eerst wordt er nagegaan welke de schalen zijn voor de verschillende grootheden, dan wordt bekeken wat hun invloed is op de termen van de bewegingsvergelijking. De parameters van

71 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 64 het schaalmodel wordt berekend met de doorbuigingslijn die bepaald is in paragraaf 6.3. Voor de demper op ware grootte zijn afmetingen verschaald volgens de schaal van de afmetingen, de bekomen geometrie komt niet overeen met het voorbeeld uit Hoofdstuk 5, welk een ander ontwerp is. Afmetingen De lengte van de staven van het schaalmodel is 3,6 m, de lengte van de langste hangers van de Werkspoorbrug zijn 35 m. α L 3,6 35 0,1034 Massa De schaal van de modale massa m s kan niet rechtstreeks afgeleid worden uit deze van de afmetingen. De doorsnede van het profiel van het schaalmodel is in verhouding iets groter dan dit van de hanger. Doordat de doorbuigingslijn niet overeenkomt met deze van een tweezijdig ingeklemde staaf, zal de modale massa in verhouding ook groter zijn. Voor de verschaling van de vaste massa van de demper M d wordt er van uitgegaan dat deze evenredig is met de afmetingen. α m 9, ,00118 Frequentie en tijd De frequentie van het schaalmodel ligt in verhouding ook lager omdat de modale massa s verschillen en omdat de trekkracht niet aanwezig is in het schaalmodel. 84,7 α ω 14,34 5,89 De tijdsschaal ligt hierdoor éénduidig vast. α t 1 α ω 1 5,89 0,1697

72 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 65 Windbelasting Doordat de eigenfrequentie lager ligt, ligt ook de kritische wendsnelheid lager en bijgevolg is ook de amplitude van de wervelkracht op de modale massa kleiner. Er is van uitgegaan dat de liftcoëfficiënt C L gelijk blijft. α F 0, ,93 0, Bewegingsvergelijkingen De schalen van de verplaatsingen, snelheden en versnellingen kunnen niet zomaar uit voorgaande afgeleid worden, daarvoor moeten de bewegingsvergelijkingen nader in beschouwing genomen worden. De bewegingsvergelijking van de massa (14) is: µ γl L ( 1+ ) v& + w&& + ζ ω v& + µ s s em F ω v s w,0 sin m ( ω t) Als men de laatste twee termen van deze vergelijking bekijkt, dan komen daar F w, m s en ω s in voor, waarvoor de schalen gekend zijn. De schaal van de verplaatsing daaruit uit afgeleid worden door te stellen dat beide termen dezelfde schaal moeten hebben. α α x α 0, , ,89 F mα ω 0,1175 Hieruit volgen de schalen voor de snelheid en versnelling. α x & α x α t 0,1175 0,1697 0,691 s w α & x α α 0,1175 0,1697 x t 4,078 Deze schalen ( α x, α x &, en α & x ) kunnen slechts geldig zijn als voor alle termen van beide vergelijkingen dezelfde schaal geldt. De termen van de bewegingsvergelijkingen zijn versnellingen, dus zouden allen termen aan de schaal α & x& moeten voldoen.

73 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 66 Met de schalen die tot nu toe bepaald zijn, zijn volgende verhoudingen van toepassing op de termen: 4,07 3,8 4,078 4,078 4,078 µ γl + & ( 1 µ ) F ( ω t) w,0 w v& + w&& + ζ sωsv + ωs v (19) Lem ms sin 4,078 4,078 3,631 1,136 4,168 n n γl ξ w& g p 0 H a H a v& + w&& + w& + w + 0 (0) Lee Lee Lee ρlee H a w H a + w De ongelijke verhouding tussen de termen van de vergelijking van de demper (0) kan verholpen worden door de waarden voor verliescoëfficiënt ξ en de hoogte van de luchtkolom H a aan te passen. De schaal voor ξ kan gevonden worden door de schaal van de term waar deze in staat gelijk te stellen aan de schaal van de versnellingen. α ξ α α α 4,078 0,1034 0,691 && x L x& 0,8806 De vergelijking van de demper (0) kan voor kleine waarden van w geschreven worden als (zie paragraaf 4.3.): γl ξ w& g np0 v& + w&& + w& + + w 0 Lee Lee Lee ρlee H a Hierbij zij beide termen in functie van w, zodoende kan H a aangepast worden zodat de schaal voor beide termen samen gelijk is aan deze van de versnelling. Aan deze voorwaarde is voldaan als H a van de demper op ware grootte gelijk aan 0,3877 m genomen wordt.

74 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 67 Met deze aanpassingen zijn de volgende verschalingen van toepassing op de bewegingsvergelijkingen. 4,07 3,8 4,078 4,078 4,078 µ γl + v& + w&& + ζ sωsv& L ( 1 µ ) em + ω v s F w,0 sin m ( ω t) s w 4,078 4,078 4,078 4,078 γl v& L ee ξ w& g np 0 + w&& + w& + + w 0 Lee Lee ρleeh a Er zijn dus slechts twee termen in de bewegingsvergelijking van de massa die niet correct verschaald zijn. Dit komt omdat de massaverhouding µ niet gelijk is voor het schaalmodel en de hanger op ware grootte. Voor het schaalmodel is µ,09%, voor de hanger is µ,4%. Dit is enkel te wijten aan het feit dat de inklemmingen en dus de trillingsvorm niet overeenstemmen. Toch zijn de verschillen redelijk klein. Het schaalmodel heeft de volgende responsiecurve voor een optimale afstelling van de demper: Verplaatsing (m) 0, , , , , , , , ,0000 0, , ,5 1,0 1,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 Frequentie (Hz) Figuur 6.14: Frequentieresponsiecurve van de proefopstelling Een hanger met het model van de demper op ware grootte, maar met bovenstaande aanpassingen, heeft een responsiecurve als in Figuur De tijdsas is verschaald volgens α t 0,1697.

75 Hoofdstuk 6: Proefopstelling 68 0, ,00070 Verplaatsing (m) 0, , , , ,0000 0, , ,95,04,1,1,9,38,46,55,63 Frequentie (Hz) Figuur 6.15: Frequentieresponsiecurve van de hanger De vorm van beide curven blijken goed overeen te komen. De maximale uitwijking van de responsiecurve in Figuur 6.14 is 0,0858 mm, voor de responsiecurve in Figuur 6.15 is dit 0,713 mm. De verhouding van beide is 0,10, terwijl de verhouding α x bij volledige gelijkvormigheid 0,118 is. Merk op dat deze schaal niet dezelfde is als deze voor de afmetingen (α L 0,1034). Indien de trillingsvorm van het schaalmodel identiek zou zijn als deze van de hanger, zouden beide responsiecurven ook identiek zijn. Dit ondanks het feit dat de trekkracht niet aanwezig is en dat de doorsnede van de hanger ook geen exacte verschaling is. Deze tekortkomingen hebben enkel een invloed op de tijdsschaal. Conclusie: Er kan dus besloten worden dat de meetresultaten van het schaalmodel representatief zullen zijn voor een model op ware grootte indien de hoogte van de luchtkolom en de grootte van het diafragma aangepast worden volgens de hier beschreven werkwijze.

76 Hoofdstuk 7: Meten van de dempingsfactor Meten van de dempingsfactor Deze metingen zijn uitgevoerd in het atelier van de afdeling Weg- en Waterbouwkunde en had als doel de dempingsfactoren te bepalen voor verschillende opstellingen van de demper. De dempingsfactor ς wordt bepaald uitgaande van het logaritmisch decrement. πς Λ 1 ς Dit kon bepaald worden door de staven handmatig in trilling te brengen en dan voor twee verschillende periodes de amplitudes X 0 en X n te bepalen. Het logaritmisch decrement is dan 1 X Λ ln n 0 X n 7.1. Dempingsfactor zonder demper De volgende grafiek geeft de trilling weer van de testopstelling zonder demper. De twee staven zijn onderling verbonden door de bevestigingsconstructie van de demper. Zonder deze bevestiging zouden de staven alternerend trillen wat het aflezen van de meetwaarden bemoeilijkt Amplitude (µstrain) ,96 14,4 15,84 17,8 18,7 0,16 Time (s) 1,6 3,04 4,48 5,9 7,36 Figuur 7.1: Gemeten trilling zonder demper

77 Hoofdstuk 7: Meten van de dempingsfactor 70 De amplitude is bepaald voor punten: Tijd (s) Amplitude (µstrain) Amplitude (m) N,30 8,81 0, ,65 5,89 0, ,81 Λ ln 60 5,89 0,00671 Voor kleine waarden voor ς kan deze berekend worden als Λ 0,00671 ς 1,07 10 π π 3 Deze waarde is dus gelijk aan de waarde (ς 0,0011) die proefondervindelijk gevonden is voor de hangers van de Werkspoorbrug. Deze waarde zal dan ook verder gebruikt worden in het berekeningsmodel. 7.. Dempingsfactor met demper Voor deze meting is de demper in het midden van de staven geplaatst. De demper heeft de volgende karakteristieken: B (m) 0,5 L (m) 0,33 φ staaf (m) 0,07 φ diafr (m) 0,0095 ψ (-) 0,6 H a (m) 0,106 x d (m) 1,8 m d (kg) 0,193 µ (-) 0,009 γ (-) 0,75 ω d (rad/s) 83,50 χ (-) 0,986 M d (kg) 0,948

78 Hoofdstuk 7: Meten van de dempingsfactor 71 De gemeten trilling is weergeven in volgende grafiek: d 11,8 Hl 0 xd 1,79 10 Amplitude (µstrain) ,5 9 9,5 Time (s) 10 10,5 11 Figuur 7.: Gemeten trilling met demper De amplitude is bepaald voor punten: Tijd (s) Amplitude (µstrain) Amplitude (m) N 8,543 9,83 0, ,70 1,741 0, ,7 ς ln 0, 015 π 18, N 18 f 1, 74Hz t (8,45 7,041) De dempingsfactor kan niet rechtstreeks berekend worden door middel van een vergelijking. De theoretische bepaling verloopt analoog aan de experimentele bepaling, er wordt een tijdsverloop gesimuleerd met een initiële uitwijking en zonder externe belasting. De dempingsfactor wordt dan automatisch berekend door twee tijdstippen op te geven tussen welke de demping wordt berekend. De trilling wordt berekend met ξ 150 (ψ 0,6) en met een initiële uitwijking van 0,5 mm

79 Hoofdstuk 7: Meten van de dempingsfactor 7 Verplaatsing (m) 0,0006 0,0004 0, ,000-0,0004-0, ,5 1 1,5,5 Tijd (s) Figuur 7.3: Berekende trilling met demper De amplitude is bepaald voor punten: Tijd (s) Amplitude (m) N 0,076 0, ,780 0, ς 0,09 f 1,70 Als de dempingsfactoren berekend worden voor verschillende waarden voor de contractiecoëfficiënt ψ, dan komt ψ 0,6 het best overeen met de gemeten resultaten ψ ς 0,6 (ξ 150) 0,09 0,80 (ξ 85) 0,034 1,00 (ξ 5) 0,040 Zowel de berekende als gemeten waarden zijn afhankelijk van een aantal factoren; de initiële uitwijking, de waarde voor de verliescoëfficiënt ξ en de tijdstippen waartussen de dempingfacor bepaald wordt. De dempingsfactor varieert namelijk gedurende het uitdempen van de trilling ten gevolge van de niet lineair zijn term van de ladingsverliezen. Niettemin is de gemeten dempingsfactor meer dan twee maal lager dan de berekende waarden. Een mogelijke oorzaak daarvan is dat, als de staaf ook in dwarse richting trilt, deze interfereert met de trillingen in de dempingsrichting. In Figuur 7.4 is de dwarse trilling ook gegeven (Strain ), daarin is duidelijk te zien dat deze even sterk gedempt wordt als de trilling

80 Hoofdstuk 7: Meten van de dempingsfactor 73 in dempingsrichting. Het feit dat er knopen en buiken waar te nemen zijn, bevestigd het feit dat er energie uitgewisseld word met een andere eigenmode die een eigenfrequentie heeft die niet zo veel verschilt. Uit een Fourrier-analyse valt op te maken dat de staaf in dwarse richting trilt met een frequentie van ongeveer 18 Hz, die deze van een tweezijdig ingeklemde staaf sterk benaderd. Een deel van de trillingsenergie verdeelt zich dus constant over de twee trillingsrichtingen, terwijl er slechts in één richting gedempt wordt. Dit kan verklaren waarom de dempingsfactor tweemaal zo laag is d 9,5 Hl 0 xd 1,79 15 [01] Strain [0] Strain 10 Amplitude (µstrain) ,5 8 8,5 9 Time (s) 9, ,5 Figuur 7.4: Demping van de niet gedempte trillingsrichting (Strain ) Een tweede meting met dezelfde opstelling is weergegeven in Figuur 7.5.

81 Hoofdstuk 7: Meten van de dempingsfactor d 9,5 Hl 0 xd 1, [01] Strain [0] Strain Amplitude (µstrain) ,5 0 0,5 1 1,5 Time (s),5 3 3,5 Figuur 7.5: Trilling die voornamelijk in de dempingsrichting plaatsvindt Hier is de trilling in de dwarse richting minder aanwezig, de dempingsfactor die hieruit kan afgeleid worden is 0,017, wat beduidend hoger is dan in de eerste meting. De overige metingen die geanalyseerd zijn, zijn hieronder samengevat. De metingen zijn gedaan voor verschillende eigenfrequenties van de demper en voor verschillende posities in de hoogte. De gemeten dempingsfactoren zijn vergeleken met berekende dempingsfactoren voor verschillende waarden van de verliescoëfficiënt. ξ 150 is de theoretische waarde die overeenstemt met de ladingsverliezen voor permanente stroming en een contractiecoëfficient ψ 0,6 (φ diafragma 9,5 mm).

82 Hoofdstuk 7: Meten van de dempingsfactor 75 ω d hoogte f trilling ς gemeten ς berekend ς berekend ς berekend ς berekend (Hz) (m) (Hz) ξ 5 ξ 85 ξ 150 ξ ,3 1,80 1,8 0,0104 0,040 0,03 0,05 0,018 13,3,5 1,9 0,0109 0,040 0,03 0,04 0,017 13,3,70 13,3 0,01 0,05 0,00 0,015 0,011 13, 1,80 1,8 0,017 0,045 0,03 0,06 0,017 13,,5 1,9 0,0136 0,043 0,031 0,04 0,017 13,,70 13,3 0,0144 0,05 0,019 0,015 0,011 13,1 1,80 1,8 0,017 0,045 0,033 0,06 0,017 13,1,5 1,9 0,0146 0,045 0,03 0,05 0,017 13,1,70 13,3 0,0149 0,05 0,019 0,015 0,011 Het verschil tussen de gemeten en berekende waarden zal voor een deel kunnen toegeschreven worden aan het feit dat de staaf in twee richtingen trilt en daar bij bewegingsenergie uitwisselt. Over de variatie van de dempingsfactor in functie van de natuurlijke frequentie van de demper ω d kan weinig relevante informatie afgeleid worden omdat de verschillende waarden voor ω d nogal dicht bij elkaar liggen. De gemeten dempingsfactoren stijgen telkens naarmate ze hoger op de staven geplaatst worden wat in tegenstelling is tot wat berekend is. Een mogelijke verklaring hiervoor is dat de kleine hoekverdraaiing die optreedt tussen de staven en de hoekprofielen waarop de demper bevestigd is, voldoende wrijving veroorzaakt om de demping te doen stijgen. Het zwaartepunt van de demper bevindt zich boven de bevestigingspunten waardoor deze de neiging heeft om scheef te hangen, hierbij oefenen de hoekprofielen een kleine kracht uit zijdelings op de staven. Wanneer deze trillen, ondergaan ze een hoekverdraaiing die het grootst is op ongeveer ¾ van de hoogte en nul is in het midden waardoor de meeste wrijving optreedt bij een demper die op een hoogte van,7 m geplaatst is.

83 Hoofdstuk 7: Meten van de dempingsfactor 76 Figuur 7.6: Hoekverdraaiing tussen de staven en de demper Een andere mogelijkheid hiervoor is dat de staven, trillen met een zekere faseverschuiving. Wanneer beide verbonden zijn op een hoogte van 1,8 m en,5 m is dit niet of nauwelijks het geval, als ze verbonden zijn op,7 m is dit wel zo. De piekwaarden van de trillingen in beide staven zijn dan iets minder dan een kwart van een periode van elkaar verschoven. Dit zou eventueel een invloed kunnen hebben op de modale massa, waardoor deze verlaagd en de massaverhouding stijgt Conclusie Deze metingen tonen ontegensprekelijk aan dat de demper functioneert. Er zijn verschillende kleine tekortkomingen aan de meetopstelling die de resultaten mogelijks negatief beïnvloeden. Er zijn ook tal van parameters, die niet allemaal even precies bepaald kunnen worden, die de waarden voor de dempingsfactoren beïnvloeden zodat het moeilijk wordt om met deze methode op een objectieve manier het berekeningsmodel te toetsen. Toch is het mogelijk om de dempingsfactor van de proefopstelling op zijn minst met een factor 10 te verhogen.

84 Hoofdstuk 8: Metingen onder windbelasting Metingen onder windbelasting 8.1. Algemeen Deze metingen zijn uitgevoerd in de haven van Zeebrugge bij de meetopstelling van de afdeling Weg- en Waterbouwkunde. De windsnelheden zijn aan de kust hoog en redelijk constant, windsnelheden worden daar eveneens geregistreerd. Omwille van praktische redenen en van de veiligheid was het niet mogelijk de opstelling op de top van de golfbreker te plaatsen. Dit had als nadeel dat als de wind uit de richting loodrecht op de golfbreker kwam, de opstelling zich in een luwte bevond. Dit was het geval bij de eerste meting dinsdag 9 mei. De windsnelheden lagen toen ook laag, zodat er die dag geen nuttige metingen werden verricht. Bij de tweede meting vrijdag 19 mei kwam de wind uit zuidwestelijke richting, ongeveer evenwijdig met de golfbreker en loodrecht invallend op de testopstelling. Met een windkracht van 7 Beaufort was er die dag wel degelijk voldoende wind om bruikbare metingen te kunnen uitvoeren. Figuur 8.1: Proefopstelling in de haven van Zeebrugge

85 Hoofdstuk 8: Metingen onder windbelasting 78 Omdat de windsnelheden gemeten worden boven op de brug, waar de windsnelheden groter zijn dan dichter bij de grond, is het niet mogelijk deze te correleren aan de gemeten trilling. Dit bleek achteraf ook niet nodig te zijn. Door de turbulentie variëren de windsnelheden continu, en door een Fourrier-analyse toe te passen op de metingen over een zeker tijdsinterval bekomt men toch een zekere frequentieresponsiecurve die een ruime frequentieband omvat. Een probleem dat bij beide metingen optrad, was dat er veel storing op het gemeten signaal zat. De redenen daarvoor zijn vermoedelijk dat enerzijds dat de kabels niet in ideale omstandigheden aan de rekstroken gesoldeerd zijn. Vooral bij de tweede meting was er voortdurend een nevel van opspattend water. Er is dan een beschermlaag van silicone over aangebracht, maar bij één rekstrook (rekstrook 4) was er toch vocht onder gekomen zodat die meting ernstig gestoord werdt. Anderzijds is de storing wellicht hoofdzakelijk afkomstig van het elektriciteitsnet. Er is een grote piek op 50 Hz, maar ook bij andere frequenties werd een constante, smalle piek waargenomen, vermoedelijk door de vele zware machines die in de haven actief zijn. Hierdoor is het bijna onmogelijk om uit de tijd-amplitude-grafiek informatie af te lezen. 0,7 0,6 Amplitude 0,5 0,4 0,3 0, 0, Frequency (Hz) Figuur 8.: FFT-grafiek van een meting zonder demper De frequenties die corresponderen met de eigenfrequentie van de eerste eigenmode bevinden zich rond de piek van 15,5 Hz. Deze piek ligt hoger dan de waarde die vastgesteld is bij de eerst metingen in het atelier van de afdeling Weg- en Waterbouw. De oorzaak ligt bij de montage. Bij de eerste montage in Zwijnaarde zijn tussen de ronde staven en de bevestigingen op het frame brede ringen geplaatst om een zekere speling die voorzien was op te nemen. Daardoor sloten de bevestigingsplaatjes van de staven niet volledig aan op het frame. Bij het

86 Hoofdstuk 8: Metingen onder windbelasting 79 hermonteren in Zeebrugge zijn deze ringen niet geplaatst met als gevolg dat de stijfheid van de verbinding gevoelig verhoogd is. Waarden voor de inklemmingstijfheden die hiermee overeenkomen zijn: K 1 (Nm/rad) 4000 K (Nm/rad) T 1 (N/m) T (N/m) 1E+10 Om de meetresultanten te analyseren is de beste methode om de amplitude en de frequentie af te lezen via een frequentieresponsiecurve, deze wordt in Strainsmart automatisch gemaakt met een fast fourrier transform algoritme (FFT). Het programma Strainsmart kent verschillende FFT-algoritmes, hetgeen hier gebruikt wordt is Cosine² (Hanning). Een nadeel is dan wel dat het hier om gemiddelde waarden over een zeker tijdsinterval gaat en niet om maximum waarden. Er zijn ook periodes dat er geen of weinig trillingen aanwezig zijn, die dan het gemiddelde naar beneden halen. De enige meting die betrouwbare resultaten gaf is de eerste die uitgevoerd was zonder demper. De storing was minder sterk dan in de volgende metingen en omdat de demper niet aanwezig was waren de amplitudes relatief groot zodat ze duidelijk onderscheiden konden worden. 8.. meting zonder demper Voor de interpretatie van meetresultaten is er uitgegaan van de metingen op rekstrook 1, deze waarden zijn nagenoeg identiek als deze van rekstrook 3 op de andere staaf, maar de storing was in verhouding iets lager. De waarden die uit de eerste meting zonder demper werden afgeleid, zijn: frequentie: hoekfrequentie: amplitude: doorbuiging: 15,5 Hz 97,51 rad/s 0,80 µstrain 0,38 mm De theoretisch te verwachten responsiecurve ziet er als volgt uit.

87 Hoofdstuk 8: Metingen onder windbelasting 80 0,0030 Doorbuiging (m) 0,005 0,000 0,0015 0,0010 0,0005 0, Frequentie (Hz) Figuur 8.3: Zonder demper Om de piekwaarde van,8 mm te bereiken is een belasting met een constante frequentie nodig gedurende ongeveer 10 seconden. Deze waarde kan dus slechts als een theoretisch maximum beschouwd worden omdat het niet zeker is dat een dergelijke constante belasting zich in de praktijk voordoet. Dit kan verklaren waarom de gemeten verplaatsingen een stuk lager liggen. Al is het waarschijnlijk wel zo dat een structuur zoals de Werkspoorbrug, die zich in een open windveld bevindt op een zekere hoogte meer zal blootgesteld zijn aan een constant aanhoudende wind dan aan de grond het geval is. Een mogelijkheid om dit in rekening te brengen zou zijn een werkelijk ter plaatse gemeten of een statistisch windsnelheidsverloop in het rekenmodel in te brengen, wat relatief eenvoudig kan gebeuren. Maar bij gebrek daaraan is dit hier niet van toepassing. Deze beschouwingen gelden zowel voor de berekende responsiecurven met en zonder demper, maar relatief gezien meer voor deze zonder demper omdat deze meer tijd nodig hebben om tot een evenwichtssituatie te komen. De volgende metingen zijn uitgevoerd voor verschillende eigenfrequenties van de demper en verschillende bevestigingen in de hoogte meting met demper Voor deze metingen is dezelfde demper gebruikt als deze die ontworpen is in paragraaf 6.4, maar met een diafragma met een doorsnede van 11,6 mm (ξ 58 mm) Er zijn elf metingen uitgevoerd telkens voor een andere eigenfrequentie van de demper en hoogte waarop deze gemonteerd is (Tabel 8.1). De frequentieresponsiecurves zijn telkens opgesteld voor verschillende waarden van ξ (30, 58, 00, 500) om te kunnen vergelijken met

88 Hoofdstuk 8: Metingen onder windbelasting 81 welke curve het beste met de gemeten curve overeenstemt. Uit de amplitudes van de meetwaarden worden dus geen doorbuigingen afgeleid omdat het om gemiddelde waarden gaat en er geen correlatie mogelijk is met de maximaal voorkomende amplitudes voor een bepaalde frequentie. Niettemin komen de FFT-grafieken van de meetwaarden qua vorm vrij goed overeen met de berekende krommes en zijn ze onderling ook goed te vergelijken. De meeste FFT-grafieken zijn opgesteld voor meetpunten (00 meetpunten per seconde), dit omvat een periode van 8 seconden. Enkele FFT-grafieken zijn opgesteld voor minder meetpunten omdat de meettijd korter was dan 8 seconden (meting 5 en 6: 819 meetpunten, meting 7: 4096 meetpunten). Dit heeft als gevolg dat de amplitudes in verhouding groter zijn dan deze voor de andere grafieken, als ze onderling vergeleken worden, moet daar dus rekening mee gehouden worden. meting fr d (Hz) hoogte (m) χ (-) µ (-) γµ (-) 1 15,57 1,83 1,068,70 1,59 15,57,7 1,059,8 1, ,15 1,83 1,039,64 1, ,15,7 1,030,3 1, ,15,69 1,009 1,4 0, ,41 1,83 0,989,50 1, ,41,7 0,980,11 1, ,41,69 0,960 1,18 0, ,0 1,83 0,974,44 1, ,55 1,83 0,931,4 1, ,0,7 0,966,07 1,34 Tabel 8.1: Afstellingen van de demper voor de verschillende metingen De resultaten van de meting zijn te vinden in Appendix B 8.4. Conclusie De gemeten responsiecurven tonen een sterke gelijkenis met de berekende curven. Toch is er een kleine verschuiving tussen beide, de gemeten curven bevinden zich voor de meeste metingen enkele tienden van een Hertz hoger op de as van de frequentie. De meest plausibele

89 Hoofdstuk 8: Metingen onder windbelasting 8 verklaring hiervoor is dat de demper op een hogere frequentie is afgesteld dan deze die berekend is. Een eerste mogelijkheid kan zijn dat er een fout is gemaakt bij het aflezen van de lengte van de luchtkolom bij het vullen van de demper. Deze zijn gemeten tot op 1 mm nauwkeurig, maar zelf bij een fout van mm is het verschil slechts 0,1 Hertz. Een andere mogelijkheid is een verschil in luchtdruk. De curven zijn berekend uitgaan de van een atmossfeerdruk van Pa. Een verschil in luchtdruk van ongeveer 5% zou een verschil van 0,4 Hertz veroorzaken. De geregistreerde gegevens van de luchtdruk die dag, wijken niet veel af van de gebruikte waarde. Een derde en meest waarschijnlijke mogelijkheid is dat de luchtdruk is verhoogd bij het bijvullen van de demper. Het waterniveau in de demper werd bijgevuld via een ventiel dat afkomstig is van een fietsband. Daarop werd een darmpje aangesloten waardoor via een spuitje water in de demper werd gespoten onder druk. Door de zeer kleine afmetingen van het ventiel was de aanwezige overdruk in de demper wellicht niet voldoende om het water dat nog aanwezig was in het ventiel naar buiten te persen tengevolge van de capillariteit., voordat deze werd dichtgedraaid. De vormen van curven blijken voor de meeste metingen overeen te komen met de theoretisch verliescoëfficiënt ξ 58. Voor een goed afgestelde demper is de waarde van ξ niet de meest bepalende voor de vorm van de responsiecurve. Alhoewel het zeker nog nuttig kan zijn om nog metingen uit te voeren met verschillende waarden voor ξ, kan er toch gesteld worden dat de onzekerheid die er was over de juistheid van ξ voor een alternerende stroming, hier toch voor een deel teniet gedaan is. Er moet ook wel op gewezen worden dat de vorm van de curven ook kan beïnvloed worden door de grootte de amplitudes van de trilling. Naar alle waarschijnlijkheid zullen deze niet veel verschillen van de berekende amplitudes, maar om daar zekerheid over te hebben zullen er nog meer nauwkeurige metingen moeten gebeuren.

90 Hoofdstuk 9: Algemeen besluit Algemeen besluit De doelstelling van dit afstudeerwerk, nl. de efficiëntie van buisvormige vloeistofmassadempers aantonen, is hier zonder meer bereikt. Wat met het mathematisch model voorspeld was, bleek in de proeven ook waar te nemen. Al zouden de proeven met windbelasting toch nog nauwkeuriger moeten uitgevoerd worden, zodat de responsiecurve kan gecorreleerd worden aan doorbuigingen. Deze metingen blijken wel een betrouwbare manier te zijn om verschillen in de afstelling van de demper te meten. De voorspelde eigenschappen van de demper (ω d en ξ) worden hier wel op een indirecte manier waargenomen zodat een afwijking slechts achteraf opgemerkt wordt. De metingen van de dempingsfactoren tonen aan dat deze de demping verhogen tot minstens het tienvoud. De gemeten dempingsfactoren vergelijken met de berekende dempingsfactoren voor kleine variaties in de afstelling van de demper is een omslachtige en weinig betrouwbare manier om het rekenmodel te toetsen omwille van de vele parameters die hier van invloed zijn. Er zijn bij de metingen toch verschillende, al dan niet kleine afwijkingen t.o.v. de berekende resultaten door diverse oorzaken. Niet al deze oorzaken kunnen in het mathematisch model opgenomen worden. Ook is het niet altijd zeker dat deze in de praktijk kunnen geëlimineerd worden. Zoals het dwars trillen van de hangers of het niet in fase trillen als de demper hoog geplaatst is. Anderzijds zijn er ook onverwachte fenomenen waargenomen die de demping gunstig beïnvloeden, zoals de wrijving van de hangers en de bevestiging van de demper als deze hoog geplaatst is. Als men dit kan beheersen, zou er eventueel een demper gemaakt kunnen worden die op twee manieren werkzaam is.

91 Appendix A: Detailtekening demper 84

92 85 Appendix B: Meetresultaten windbelasting meting fr d (Hz) hoogte (m) χ (-) µ (-) γµ (-) 1 15,57 1,83 1,068,70 1,59 Doorbuiging (m) 0, , , , ,0000 0, , Frequentie (Hz) ξ 30 ξ 58 ξ 00 ξ 500 0,5 Amplitude (µstrain) 0, 0,15 0,1 0, Frequency (Hz) FFT-grafiek met meetpunten

93 86 meting fr d (Hz) hoogte (m) χ (-) µ (-) γµ (-) 15,57,7 1,059,8 1,35 0,00060 Doorbuiging (m) 0, , , ,0000 0, , Frequentie (Hz) ξ 30 ξ 58 ξ 00 ξ 500 0,5 Amplitude (µstrain) 0, 0,15 0,1 0, Frequency (Hz) FFT-grafiek met meetpunten

94 87 meting fr d (Hz) hoogte (m) χ (-) µ (-) γµ (-) 3 15,15 1,83 1,039,64 1,59 Doorbuiging (m) 0, , , , ,0000 0, , Frequentie (Hz) ξ 30 ξ 58 ξ 00 ξ 500 c 0,5 Amplitude (µstrain) 0, 0,15 0,1 0, Frequency (Hz) FFT-grafiek met meetpunten

95 88 meting fr d (Hz) hoogte (m) χ (-) µ (-) γµ (-) 4 15,15,7 1,030,3 1,34 Doorbuiging (m) 0, , , , ,0000 0, , Frequentie (Hz) ξ 30 ξ 58 ξ 00 ξ 500 0,5 Amplitude (µstrain) 0, 0,15 0,1 0, Frequency (Hz) FFT-grafiek met meetpunten

96 89 meting fr d (Hz) hoogte (m) χ (-) µ (-) γµ (-) 5 15,15,69 1,009 1,4 0,75 Doorbuiging (m) 0, , , , ,0000 0, , Frequentie (Hz) ξ 30 ξ 58 ξ 00 ξ 500 0,5 Amplitude (µstrain) 0, 0,15 0,1 0, Frequency (Hz) FFT-grafiek met 819 meetpunten

97 90 meting fr d (Hz) hoogte (m) χ (-) µ (-) γµ (-) 6 14,41 1,83 0,989,50 1,59 Doorbuiging (m) 0, , , , ,0000 0, , Frequentie (Hz) ξ 30 ξ 58 ξ 00 ξ 500 0,5 Amplitude (µstrain) 0, 0,15 0,1 0, Frequency (Hz) FFT-grafiek met 819 meetpunten

98 91 meting fr d (Hz) hoogte (m) χ (-) µ (-) γµ (-) 7 14,41,7 0,980,11 1,34 Doorbuiging (m) 0, , , , ,0000 0, , Frequentie (Hz) ξ 30 ξ 58 ξ 00 ξ 500 0,5 Amplitude (µstrain) 0, 0,15 0,1 0, Frequency (Hz) FFT-grafiek met 4096 meetpunten

99 9 meting fr d (Hz) hoogte (m) χ (-) µ (-) γµ (-) 8 14,41,69 0,960 1,18 0,75 Doorbuiging (m) 0, , , , ,0000 0, , Frequentie (Hz) ξ 30 ξ 58 ξ 00 ξ 500 0,5 Amplitude (µstrain) 0, 0,15 0,1 0, Frequency (Hz) FFT-grafiek met meetpunten

100 93 meting fr d (Hz) hoogte (m) χ (-) µ (-) γµ (-) 9 14,0 1,83 0,974,44 1,59 Doorbuiging (m) 0, , , , ,0000 0, , Frequentie (Hz) ξ 30 ξ 58 ξ 00 ξ 500 0,5 Amplitude (µstrain) 0, 0,15 0,1 0, Frequency (Hz) FFT-grafiek met meetpunten

101 94 meting fr d (Hz) hoogte (m) χ (-) µ (-) γµ (-) 10 13,55 1,83 0,931,4 1,59 Doorbuiging (m) 0, , , , ,0000 0, , Frequentie (Hz) ξ 30 ξ 58 ξ 00 ξ 500 0,5 Amplitude (µstrain) 0, 0,15 0,1 0, Frequency (Hz) FFT-grafiek met meetpunten

102 95 meting fr d (Hz) hoogte (m) χ (-) µ (-) γµ (-) 11 14,0,7 0,966,07 1,34 Doorbuiging (m) 0, , , , ,0000 0, , Frequentie (Hz) ξ 30 ξ 58 ξ 00 ξ 500 0,5 Amplitude (µstrain) 0, 0,15 0,1 0, Frequency (Hz) FFT-grafiek met meetpunten

103 96 Referenties 1. Vrouwenvelder, A.C.W.M. en Hoeckman, W., Wind-induced vibration of tubular diagonals of the Werkspoorbridge, Structural Engineering International, 4/004, pp Gao, H. and Kwok, K. C. S., Optimization of tuned liquid column dampers. Engineering Structures; Vol. 19, N 6, 1997, pp C. Dyrbye and S. O. Hansen, Wind loads on structures, John Wiley & Sons, Chichester, June pren , Eurocode1: Actions on Structures General actions Part 1-4: Wind actions, CEN, Brussels, January DIN 4131, Antennentrawerke aus Stahl, Beuth Verlag, Berlin, November DIN 4133, Schornsteine aus Stahl, Beuth Verlag, Berlin, November Reiterer, M., Control of pedestrian-induced bridge vibrations by tuned liquid column dampers, Proc. Third European Conf. on Structural Control, Vienna, Austria, 004.

104 The control of wind induced vibrations of tied arch hangers by tuned liquid column dampers Corneel Delesie Supervisor(s): Philippe Van Bogaert, Ronny Verhoeven, Wouter De Corte Abstract: This paper describes the applicability of tuned liquid column dampers for the control of wind induced vibrations of bridge elements, especially for hangers. Recently, intolerable transverse hanger vibrations were observed on a large railway viaduct in the Netherlands, even at moderate wind speeds. The railway bridge constituting of a tied arch has a span over 50m and inclined hangers up to 35m. An investigation revealed that the vibrations were caused by excitation, induced by Von Karman vortices and that the material damping had an unexpectedly low material damping (ς 0,0011). As a result, a number of possible solutions were investigated and a final solution was chosen. As an alternative, the sealed configuration of a tuned liquid damper, which is placed between transversely opposite hangers, is investigated. This configuration allows absorbing the hanger vibrations at the relatively high vibration frequency of,5 Hz, whereas this is impossible for standard TLCD s. The effect of sealed TLCD s for various configurations is analysed numerically, and tested at reduced scale. As a result, both numerical and experimental simulations indicate that the TLCD satisfactorily increases the damping of the hangers. It is concluded that sealed TLCD s can be an effective and economic damping device for wind induced vibrations of hangers of large arch bridges. Keywords: passive vibration control, sealed tuned liquid column dampers, arch hangers I. INTRODUCTION A tuned liquid column damper (TLCD) is a specific type of motion damper, relying on the motion of a liquid mass in a rigid U shaped tube. The external motion of the structural element on which the damper is attached forces a phase delayed motion of the liquid mass. This motion creates internal forces in the tube, counteracting the external forces. Additionally, the kinetic energy accumulating in the structural element is dissipated by turbulent damping forces, arising from a built in orifice plate with small opening. The behaviour of the combination of structural element and TLCD is similar to the well known tuned mass damper (TMD) system, as described by Den Hartog [1]. II. MATHEMATICAL TLCD MODEL The hanger is modelled as a single degree of freedom structure (SDOF), which will respond to external forces according to its characteristics ω s, m s, c s and k s in the same way as the hanger. The amplitude of the external load F w is determined in such a way that the power (energy per time unit) it introduces into the SDOF system is equal to the power introduced in the real hanger by the uniformly distributed load, induced by Von Karmann vortices. Figure 1: Simplified TLCD action of one SDOF structure. For this SDOF-structure, the equations of motion are derived and can be solved by a direct integration method, and render displacements, velocities, accelerations and energy levels in structure and dampers as a function of external forces and initial conditions, and enable to calculate frequency response curves. III. PARAMETRIC OPTIMIZATION OF THE DAMPER In the design and the optimization of the damper, 5 characteristics of the TLCD have to be determined : A, B, L, H a and ξ. Figure : TLCD The choice of these parameters is an iterative process, starting with the choice of the mass of the damper. This is usually 1-% of the structural mass m s. With the necessary liquid volume, one can choose a tube diameter that is practical for the construction of the damper. In this, the water level in the vertical tubes has to be as low as possible as its mass does not actively contribute to the damping, but has to be high enough to allow the water level to fluctuate in the vertical tube. Based in these initial values of A, B and L now

105 determined, the remaining characteristics can be determined from the expression of the circular frequency of the sealed TLCD (1) in order to tune the damper to the natural frequency of the hanger. ω d g np0 1+ L ρgh a (1) Figure 4: frequency response curves In fact the damper has to be tuned for a somewhat lower frequency, as the damper action has a small influence on the structural eigenfrequency. This influence is determined by the tuning ratio χ (ω d /ω s ). The final steps of the optimization consist of finding the optimum values for χ and ξ, according to the general method presented by Gao and Kwok []. IV. SCALE MODEL Model tests have been done on a 1/10 scale model of hangers. Measurements were done by measuring strains and converting it to displacements. Two different tests have been done. A. Damping ratio Damping ratios have been measured by to give the structure an initial displacement and then measure the logarithmic decrement. The results confirm that the behaviour of the hangers in the test setup correspond very well to the mathematically predicted values. During these tests multiple solutions for the optimal location of the dampers were investigated, both in laboratory and well as outdoor conditions. V. CONCLUSIONS By use of the Rayleigh method and a direct integration of the equations of motion of the damped hanger, reduced to a SDOF system, a damper design for the Werkspoorbridge could be established. Model tests indicate that this numerical solution is indeed effective, proving that TLCD s can be an effective and economic damping device for wind induced hanger vibrations. REFERENCES 1. Den Hartog, J.P., Mechanical Vibrations, Reprint of the 4 th Edition (McGraw-Hill, 1956), Dover Publications, Gao, H. and Kwok, K. C. S., Optimization of tuned liquid column dampers. Engineering Structures; Vol. 19, N 6, 1997, pp Figure 3: damped and undamped vibration This damper mathematically changes the effective material damping from the observed value of ζ 0,0011 to a value of ζ 0,00 B. Frequency response curves The model has been placed at an outdoor site and the response has been measured under wind load. With Fourrieranalysis, a response curve is calculated and compared with a calculated one. Doorbuiging (m) 0,0006 0,0004 0,000 0, Frequentie (Hz)