Combinatorische grondslagen van de Gebouwentheorie

Transcriptie

1 Universiteit Gent Faculteit Wetenschappen Vakgroep Zuivere Wiskunde Combinatorische grondslagen van de Gebouwentheorie Nigel Vinckier Academiejaar Promotor: Prof. Dr. H. Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in de wiskunde, afstudeerrichting Zuivere Wiskunde.

2 Voorwoord In de thesis die voor u ligt zullen we gebouwentheorie invoeren en bespreken op combinatorische wijze. Wat bedoelen we hiermee? Historisch gezien illustreert de gebouwentheorie mooi hoe wiskunde eigenlijk werkt. Laten we de analogie maken met groepentheorie. Er zijn een aantal operaties die aan zekere eigenschappen voldoen, bijvoorbeeld de samenstelling van symmetrieën of de optelling en vermenigvuldiging in (al dan niet eindige) getalstructuren. De wiskunde abstraheert deze bevindingen door de overkoepelende eigenschappen voorop te stellen, namelijk door een groep te definiëren en vervolgens te bestuderen in welke mate we door deze abstrahering (eventueel onder bepaalde voorwaarden) tot dan toe onbekende groepen kunnen vinden. Een gelijkaardig proces vond plaats in de incidentiemeetkunde. Een incidentiemeetkunde beschrijft in se de onderlinge ligging van kwalitatief verschillende types van meetkundige objecten (punt, rechte, vlak...). Nu bleken een aantal reeds gekende meetkundes te voldoen aan bepaalde incidentierelaties, namelijk deze van wat uiteindelijk gebouwen zijn genoemd. Dat is wat we bedoelen met de combinatorische grondslagen van de gebouwentheorie: we starten nu van de combinatorische structuur, de graaf, die uiteindelijk de incidentierelaties tussen meetkundige objecten moet coderen en leggen op deze structuur een aantal eisen. Er zijn echter twee belangrijke verschillen met de analogie van groepentheorie. Ten eerste zullen de gebouwen (anders dan het zeer brede concept van een groep) classificeerbaar zijn, zodat we als het ware een overzicht hebben welke incidentiemeetkundes we bijgekregen hebben door de eigenschappen van gekende meetkundes te abstraheren. Ten tweede zal het verbazend niet-triviaal zijn om van de gekende meetkundes weer aan te tonen dat ze gebouwen zijn. In het eerste hoofdstuk voeren we de combinatorische structuur die de basis zal zijn van het uiteindelijke gebouw: een simpliciaal complex. Dat is eigenlijk een graaf die de incidentie moet geven tussen verschillende meetkundige objecten. Om het type te geven zullen we complexen trachten te nummeren. Simpliciale complexen zullen uitgebreid bestudeerd worden in de eerste sectie. We voeren een maximale verzameling onderling adjacente toppen in, namelijk kamers en bestuderen een manier om deze met elkaar te verbinden, door via submaximale verzamelingen van de ene naar de andere te springen. Vervolgens voeren we een tweede benadering in, namelijk via kamersystemen. Deze vertrekt van een verzameling kamers en een zekere equivalentie hierop. Het zal duidelijk zijn dat genummerde simpliciale complexen onmiddellijk een kamersysteem opleveren. In de derde sectie zullen we aantonen dat beide benaderingen als het ware elkaars inverse zijn. In het tweede hoofdstuk concentreren we ons op een bepaalde klasse van complexen, namelijk de dunne. We zullen speciale endomorfismen op deze complexen uitgebreid i

3 bestuderen. Dit zijn de foldings, waaronder het complex als het ware wordt dichtgevouwen. Wanneer een dun complex voldoende van deze foldings bezit, dan noemen we dit een Coxeter-Titscomplex. Het blijkt nu dat de Coxeter-Titscomplexen kunnen geclassificeerd worden. De classificatie zelf, die geschiedt door de achterliggende algebra te bestuderen die werkt op de foldings, valt buiten het bestek van deze thesis, maar wordt besproken in hoofdstuk drie. We kunnen dus spreken over verschillende types Coxeter-Titscomplexen. Bovendien wordt een schets gegeven hoe groepen en simpliciale complexen aan elkaar gelinkt zijn. De eerste drie hoofdstukken wapenen ons om uiteindelijk in hoofdstuk vier gebouwen te bestuderen. We voeren deze in als simpliciale complexen met bijzondere deelstructuren: de appartementen, die samen aan een aantal eisen moeten voldoen. De eerste taak zal eruit bestaan om aan te tonen dat onder die eisen deze appartementen Coxeter- Titscomplexen vormen, waardoor we wegens de classificatie weten welke structuur deze hebben en we ook over types gebouwen kunnen spreken. Het leggen van een aantal combinatorische eisen op het complex en de appartementen zal het gebouw uiteindelijk dwingen tot het bestaan van voldoende foldings, wat op haar beurt een diepe algebraïsche classificatiestelling in werking laat treden. Vervolgens zullen we aantonen dat de appartementen in het sferisch geval bepaald worden door het complex zelf, waarvan de definitie aanvankelijk wordt gegeven door een complex én de appartementen. Daarna bespreken we uitgebreid de link tussen gebouwen en incidentiemeetkundes. Ook geven we enkele voorbeelden van gebouwen via gekende meetkundes, waarvan het zoals eerder vermeld verbazend niet-triviaal kan zijn om aan te tonen dat ze gebouwen vormen. Algemeen is het niet zo dat het gebouw eenduidig een meetkunde bepaalt, maar we besluiten met een stelling die zegt dat dit wel het geval is voor gebouwen van type A n, deze leveren projectieve ruimtes van dimensie n. Dit laatste resultaat levert voor n 3 een interessant inzicht in verband met de combinatorische benadering van gebouwentheorie. We weten dat we een vectorruimte kunnen creëren over een lichaam en daarmee een projectieve meetkunde kunnen opstellen door in se de coördinaten te beschouwen. Van deze projectieve ruimte kunnen we de incidentierelaties tussen de objecten bekijken. Dat is de reeds lang gekende natuurlijke weg. Omgekeerd echter kunnen we ook starten van deze combinatoriek, namelijk door een gebouw van dit type te nemen en aantonen dat we daarmee de incidentierelaties van een projectieve ruimte bekomen en dus ook (wegens de stelling van Veblen-Young) de structuur van een achterliggend lichaam. Of hoe algebra, meetkunde en combinatoriek in twee richtingen met elkaar verbonden kunnen zijn. ii

4 Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef. Nigel Vinckier Gent, 23 mei 2014 iii

5 Dankwoord Er zijn uiteraard vele personen die me geholpen en bijgestaan hebben tijdens de totstandkoming van deze masterthesis. In de eerste plaats gaat dank uit naar mijn promotor, die me het onderwerp heeft aangeraden en me altijd heeft bijgestaan met mijn vele vragen. Mijn studies en in het bijzonder deze thesis zouden onmogelijk zijn zonder de steun van mijn ouders, die me alle kansen hebben gegeven om te studeren. Ik bedank ook mijn medestudenten voor hun raad over vormelijke aspecten en al mijn vrienden voor hun steun doorheen mijn studies. Speciale dank gaat uit naar Lien Lambert voor het beschikbaar stellen van de broncode van haar thesis, wat me vele uren zoek- en prutswerk in L A TEX heeft bespaard. Ik bedank ook Bert Seghers die me dankzij het initiatief van het cursuscruisen heeft overtuigd om wiskunde te studeren. Zonder zijn enthousiasme zou ik misschien een academiejaar hebben verloren in de eerste bachelor burgerlijk ingenieur, om pas later de rangen van de zuivere wiskunde te vervoegen. En als laatste bedank ik mijn vriendin Lena, een vrouw zonder wie - om Shakespeare te parafraseren - zelfs de meest fascinerende wiskundige theorie slechts een steriel voorgebergte lijkt. Nigel Vinckier Gent, 23 mei 2014 iv

6 Afspraken en notaties Hieronder volgen enkele afspraken en notaties die in deze thesis worden gebruikt. Een woord in het vet geeft aan dat een begrip in die zin wordt gedefinieerd. Dit komt ook voor buiten een formele definitie, wanneer een begrip en passant wordt gedefinieerd. In formules gebruiken we voor een definitie :=. Voor de disjuncte unie van A en B gebruiken we A B. A B is het symmetrisch verschil, de unie min de doorsnede: (A B) \ (A B). We gebruiken de notatie P (X) voor de verzameling van echte deelverzamelingen van X, dus: P (X) := P(X) \ {, X}. In illustraties zijn bogen van, naar of tussen verzamelingen van toppen louter symbolisch; in gedachten moeten alle bogen tussen de elementen van die verzameling getrokken worden. Zo wordt de figuur niet te ondoorzichtig. Figuren zijn in de tekst verwerkt waar ze onmiddellijk relevant zijn, voor extra figuren wordt naar een aparte appendix verwezen. v

7 Inhoudsopgave Voorwoord Toelating tot bruikleen Dankwoord Afspraken en notaties i iii iv v 1 Simpliciale complexen en kamersystemen Simpliciale complexen Basisdefinities en -voorbeelden Genummerde complexen Standaardgraaf van een genummerd simpliciaal complex Kamersystemen De link tussen genummerde complexen en kamersystemen Constructie van een simpliciaal complex uit een kamersysteem Bewijs van de inverse equivalentie Coxeter-Titscomplexen Foldings Coxeter-Titscomplexen Classificatie van Coxeter-Titscomplexen Groepactie op een Coxeter-Titscomplex Voorstelling van een Coxetergroep met spiegelingen Gebouwen Veralgemeende veelhoeken en complexen van type M Veralgemeende veelhoeken vi

8 4.1.2 Complexen van type M Gebouwen Appartementen in sferische gebouwen Voorbeelden van gebouwen Incidentiemeetkundes Incidentiemeetkundes versus simpliciale complexen Projectieve vlakken Projectieve drieruimten Algemene projectieve ruimten Polaire ruimtes van rang Gebouwen van type A n Appendix A: Summary in English 46 Appendix B: Extra figuren 48 Bibliografie 50 vii

9 Hoofdstuk 1 Simpliciale complexen en kamersystemen Simpliciale complexen en kamersystemen zijn het fundament van de gebouwentheorie. We zullen beide in alle algemeenheid invoeren en de link tussen de twee bespreken. We zullen simpliciale complexen en kamersystemen iets grondiger bestuderen dan in feite strikt nodig is om aan gebouwentheorie te doen. Ook bespreken we een aantal voorbeelden om meer inzicht te krijgen in de materie. We volgen hierbij de opbouw van [2]. 1.1 Simpliciale complexen Basisdefinities en -voorbeelden Definitie We noemen met de partiële-orderelatie een simpliciaal complex 1 wanneer volgende zaken gelden: (i) Er is het kleinste element voor, namelijk. (ii) De grootste gemeenschappelijke ondergrens voor twee elementen A en B is A B. (iii) Het nemen van de machtsverzameling in van een A is isomorf met de machtsverzameling van een verzameling: P (A) := {X : X A} = P(V ), voor een zekere verzameling V. De elementen van worden vaak simplices (enkelvoud simplex, vrouwelijk 2 ) genoemd. Voor een B, B A voor een simplex A, zijn verschillende terminologieën in zwang. In de Engelstalige literatuur vinden we de term face terug, B is a face of A. De Nederlandstalige Wikipedia vermeldt zijvlak, wat zeer beeldend verwijst naar het standaardvoorbeeld van een tetraëder. Maar op die manier wordt een ribbe van de 1 Ook wel gewoon complex. 2 We volgen de regel dat substantieven die eindigen op een x in het Latijn vrouwelijk zijn, tenzij ze een natuurlijk ander geslacht hebben. 1

10 tetraëder ook een zijvlak. We kiezen voor het compromis aanzicht. De minimale niet-ledige aanzichten noemen we de toppen van de simplex. We noteren de afbeelding die een simplex A afbeeldt op haar toppenverzameling als T (A). Twee toppen die samen in een simplex liggen noemen we verbonden. We definiëren op logische wijze een deelcomplex: Definitie Een deelcomplex van is een simpliciaal complex dat als verzameling gezien deelverzameling is van en ook haar orderelatie overneemt, zo dat als A ook alle aanzichten van A in liggen. Een simplex wordt volledig bepaald door haar toppenverzameling: Stelling T is injectief. Bewijs. Stel dat T (A) = T (B) voor twee simplices A en B. Voor een simplex bestaande uit één top geldt duidelijk dat dan A=B. In het algemeen is een simplex bepaald door haar deelsimplices, wegens definitie (iii), zodat een inductieargument het gestelde aantoont. Opmerking In het bijzonder is P(I) met I een willekeurige verzameling een complex. We kunnnen dus een complex ook opvatten als een koppel (X, ), met X de toppenverzameling en P(X) zo dat en A B A {x} x X. De eerste voorwaarde garandeert (iii). In de praktijk zullen we een simplex opvatten als een verzameling toppen. Ook zullen we voor een top x geen strikt onderscheid hanteren tussen de interpretaties als x X en {x}. Op deze manier krijgen we op natuurlijke wijze een graaf, met het samen in een simplex liggen als adjacentierelatie tussen de toppen. Definitie Een maximaal (voor de orderelatie ) simplex noemen we een kamer. Voor een simplex A noemen we de kardinaliteit van T (A) de rang van A; rk(a) := T (A). De rang van is de maximale kardinaliteit van een simplex en dus a fortiori een kamer: rk( ) := max A {rk(a)}. Voor A B definiëren we de codimensie van A in B als: codim B (A) := T (B)\T (A). Opmerking In de vorige definitie hebben we eigenlijk stilzwijgend al aangenomen dat rk( ) een eindig getal is. In het algemeen hoeft dit eigenlijk niet, al zullen we dit verder buiten beschouwing laten. In het oneindige geval moeten we voor een complex eisen dat iedere simplex in een kamer ligt. Definitie We noemen twee kamers C 1 en C 2 aanliggend of adjacent wanneer codim C1 (C 1 C 2 ) = 1 = codim C2 (C 1 C 2 ). 2

11 We zullen dit noteren als C 1 C 2. De twee kamers hebben dus een aanzicht van codimensie 1 gemeenschappelijk, een paneel van C 1 (en van C 2 ). Een galerij van lengte m N is een (m + 1)-tal kamers C = (C 0,..., C m ) zo, dat opeenvolgende kamers ofwel gelijk zijn ofwel aanliggend. Wanneer de opeenvolgende kamers verschillend zijn noemen we de galerij simpel. Een niet-simpele galerij noemen we met sprekende terminologie stotterend. De galerij heet gesloten wanneer C 0 = C m. Een zeer belangrijk begrip is dat van samenhangendheid. In de praktijk zijn we namelijk enkel geïnteresseerd in samenhangende complexen. Definitie Een complex is samenhangend wanneer elke twee kamers kunnen verbonden worden met een galerij. Een complex noemen we puur wanneer de kamers alle gelijke kardinaliteit hebben. Een samenhangend complex is automatisch puur. We voeren nu ook op natuurlijke wijze de noties van afstand en convexiteit in: Definitie Voor een samenhangend complex noemen we de afstand tussen twee kamers C 1 en C 2 de kleinste m zo dat er een galerij van lengte m bestaat die C 1 en C 2 verbindt. We noteren: dist(c 1, C 2 ) = m. Een deelverzameling K van kamers noemen we convex wanneer voor elke twee kamers in K elke minimale galerij die de twee verbindt al haar elementen in K heeft. Opmerking Het afstandsbegrip van vorige definitie mag niet verward worden met de afstand als graaftheoretisch begrip. Definitie Voor een puur complex definiëren we de codimensie van A als codim(a) := n rk(a) = codim C (A) voor een willekeurige kamer C die A bevat. Definitie Een puur complex van eindige rang heet dik, respectievelijk dun, wanneer elk paneel in minstens 3, respectievelijk exact twee, kamers is bevat. We zullen proberen om vorige definities inzichtelijker te maken door enkele voorbeelden te bekijken. Voorbeelden Een triviaal voorbeeld is de standaardsimplex, gevormd door P({1,...n}). Het complex vormt dan zelf een simplex, namelijk van rang n. Een tweede belangrijk standaardvoorbeeld is dat van een vlaggencomplex van een poset (X, ). De vlaggen totaal geordende deelverzamelingen van X vormen de toppen van een simpliciaal complex P(X). Het is puur wanneer elke twee maximale totaal geordende deelverzamelingen dezelfde (eindige) kardinaliteit hebben. We kunnen elke vlag vereenzelvigen met een deelverzameling van X. We bekijken een deelverzameling van een machtsverzameling P(X) die geen complex vormt. Neem een verzameling X = {1, 2, 3,...} van kardinaliteit 3 (eventueel oneindig). Zij D P(X) de verzameling van doubletten. = P(X) \ D is geen complex, want A = {1, 2, 3}, maar A {1, 2} /, strijdig met opmerking Bekijken we figuur 1.1, met gevormd door de zichtbare toppen, lijnstukken, driehoeken en het viervlak. Dit complex is van rang 4. Er zijn drie kamers, namelijk het 3

12 viervlak en de twee driehoeken 1, 3, 4 en 2, 3, 4. is niet puur en kan dus ook niet samenhangend zijn. Het lijnstuk 1, 2 toevoegen zou een puur niet-samenhangend complex leveren. Figuur 1.1 Als voorbeeld van een dun complex van rang 3 bekijken we de geodetische koepel uit afbeelding 1.2, echter in geïdealiseerde vorm, namelijk ook de onderkant van de bol aangevuld. Figuur 1.2: Geodetische koepel in de botanische tuin van Düseldorf Wikimedia Commons Als laatste voorbeeld bekijken we voor een verzameling X P(X) := singletons, doubletten en tripletten die deelverzameling zijn van X. De kamers zijn de tripletten en is samenhangend: door telkens één element te veranderen, kunnen we twee willekeurige kamers via een galerij (van lengte minstens 3) aaneenschalmen. We voeren voor complexen op natuurlijke wijze een quotiëntstructuur in. We volgen de benaming uit de literatuur. Definitie De ster van een A is de verzameling van simplices die A bevatten, samen met de geïnduceerde -orderelatie. We noteren: St (A) := {B A B}. We laten het subscript vallen wanneer dit duidelijk blijkt uit de context. 4

13 St(A) is zelf een complex, met A als kleinste element voor de ordening. We bemerken dat St ( ) =. Sterker dan samenhangendheid is sterke samenhangendheid: Definitie heet sterk samenhangend wanneer de ster van elke A samenhangend is. Voorbeelden Het laatste voorbeeld uit is sterk samenhangend. Neem z.v.v.a. St({1}). De kamers in dit complex zijn de tripletten die 1 bevatten. Ook nu kan men door de overige twee elementen te wisselen, naar een andere kamer springen via een galerij, nu hebben we genoeg met lengte 2. We zullen nu ook een tegenvoorbeeld construeren dat wel samenhangend is maar niet sterk samenhangend. We nemen P({1,..., 7}): := {singletons, doubletten en tripletten waarvoor geldt dat de hoogste twee getallen elkaar opvolgen en het kleinste en het middelste verschillende pariteit hebben tripletten waarbij het grootste gelijk is aan 7 en de kleinste twee opeenvolgend zijn}. We beweren dat samenhangend is, maar niet sterk samenhangend. We zullen de accolades en komma s achterwege laten. Een eerste belangrijke bemerking (wat vooral bij de constructie van belang bleek) is dat puur is. Puurheid van. Hiertoe moet elk doublet ab (stel a < b) te passen zijn in een triplet dat aan de gestelde voorwaarden voldoet. Stel dat b = a+1 (omgekeerd analoog). Voeg dan 7 toe. Indien 7 al bezet is, dan hebben we ab = 67, zodat we 167 kunnen kiezen. Stel dat a en b niet opeenvolgend zijn. Neem dan a(b 1)b of ab(b + 1), afhankelijk van welke pariteit klopt (één van de twee klopt altijd). Dit faalt wanneer b = 7, maar dan kan a(a + 1)b worden gekozen. Samenhangendheid van. We beschrijven een manier om tussen twee tripletten een galerij te construeren. Het volgende algoritme toont aan hoe we tripletten van de eerste soort kunnen verbinden met tripletten van de tweede soort én hoe we tussen tripletten van de tweede soort onderling een galerij kunnen construeren. ab(b+1) c(c+1)7: ab(b+1) b(b+1)(b+2) a (a +1)7 (a 1)a 7 c(c + 1)7. Bijvoorbeeld: De methode kan enkel falen wanneer we starten van tripletten van de eerste soort die al een 7 bevatten (367 en 167), want daarvoor is de b + 2 uit vorig algoritme niet gedefinieerd. Maar we kunnen van deze twee overgaan op 567, waarmee we toch bij de tweede soort komen. is niet sterk samenhangend. Bekijk St (1) = {123, 145, 167, 127}. Het is duidelijk dat bijvoorbeeld 123 en 145 niet kunnen verbonden worden in een galerij die in St (1) blijft. We zullen ook afbeeldingen willen bekijken tussen complexen onderling of binnen het complex zelf. Het is natuurlijk dat deze afbeeldingen de ordening zullen moeten bewaren, vandaar volgende definitie. Definitie Een morfisme van naar is een afbeelding ϕ : zo dat ϕ een isomorfisme induceert op de geordende verzameling van aanzichten van een willekeurige simplex: P (A) P (ϕ(a)) is een isomorfisme. In het bijzonder worden kamers op kamers afgebeeld. Een morfisme van op zichzelf noemen we een endomorfisme. 5

14 1.1.2 Genummerde complexen We zullen nu indien dit lukt aan elke top van een complex een label, een nummer toekennen. Definitie Een typefunctie T is een surjectief morfisme P(I) voor een indexverzameling I. We kunnen dit ook bekijken als een afbeelding van T ( ) naar I zo dat de restrictie tot de toppenverzameling van een kamer een bijectie is. Wanneer een nummering toelaat noemen we dit een genummerd complex over de typeverzameling I. Opmerking Een gevolg van de definitie is dat rk( ) = I. De verzameling I mag niet verward worden met de verzameling X waarvoor P(X) (zie 1.1.4). De nummering is (op permutatie van de labels na) uniek wanneer samenhangend is. Ten slotte merken we op dat niet ieder simpliciaal complex zich laat nummeren. Voorbeelden In afbeelding 1.3 bekijken we enkele nummeringen. Het complex bij (a) is niet-samenhangend en de nummering is niet uniek: de cijfers 1 en 2 omwisselen voor de linkse drie toppen levert een andere nummering op. Het complex bij (b) is samenhangend en levert dus een unieke nummering. Het complex bij (c) laat geen nummering toe, de bovenste top blijft ongelabeld. Figuur 1.3: Nummeringen van simpliciale complexen Opmerking De nummering van een samenhangend complex kunnen we ook opvatten als een partitionering T ( ) = i I X i zo dat elke kamer precies één top uit X i bevat. In deze benadering kunnen we een simplex A opvatten als A = {x j j J, J I} met x j X j. Dan is J = T(A). We definiëren ook een cotypeafbeelding: Definitie Voor A is cot(a) := I \ T(A). Zij genummerd over I. We zullen een meer specifieke vorm van aanliggende kamers bekijken. We willen namelijk weten rond welke top er wordt gepivoteerd. Dit geeft aanleiding tot volgende defintie: Definitie Zij C 1 C 2, dan noemen we C 1 en C 2 i-aanliggend of i-adjacent (en noteren C 1 i C 2 ) wanneer cot(c 1 C 2 ) = i I. i is dus het type van de top die wordt uitgewisseld om van de ene kamer naar de andere te geraken. We kunnen met iedere galerij (C 0,..., C m ) het type van de galerij associëren: het m-tal (i 1,...i m ), zo dat C t 1 it C t. 6

15 1.1.3 Standaardgraaf van een genummerd simpliciaal complex We voeren voor een genummerd complex een graaf in met de typeverzameling als toppenverzameling. Deze geeft informatie over de structuur van het complex. Later zullen we dit concept verfijnen (zie opmerking 4.1.3). Definitie De standaardgraaf G van een over I genummerd complex is de graaf met als toppenverzameling I en incidentie i j St(A) is een compleet bipartiete graaf A, met cot(a) = {i, j}, waarbij dus iedere top in St(A) van type i verbonden is met elke top van type j. In een puur vlaggencomplex zorgt de transitiviteit ervoor dat i j voor i j 2. Zoals onder gezegd zullen we vlaggen bekijken als deelverzamelingen. Stel dat we het type laten overeenkomen met het aantal elementen. Nemen we om de gedachten te vestigen elementen van type 1 en 3 in een ster van cotype 1, 3. Bekijk en {a} {a, b} {a, b, c} {b} {a, b} {a, b, d}. Maar nu is bijvoorbeeld ook {b} {a, b, c} en {a} {a, b, d}, zodat elementen van type 1 en 3 dus nooit verbonden zijn in de standaardgraaf. Opmerking De structuur van de sterren in bepaalt de structuur van zelf, in de zin dat als i, j cot(a) verbonden zijn in G St(A), ze dan ook verbonden zijn in G. Dit is het eenvoudigst in te zien door de contrapositie te nemen van deze uitspraak. De standaardgraaf zal een hulpmiddel blijken om te besluiten voor simplices wanneer hun unie ook een simplex is. Daartoe moeten we echter nog wat grafentheoretische definities invoeren. Definitie We zeggen voor een graaf met toppenverzameling I dat J I en K I gescheiden zijn wanneer ze in een andere component van de graaf liggen. We zeggen dat voor een L I, J en K door L worden gescheiden wanneer in de deelgraaf op I \ L, J \ L en K \ L gescheiden zijn. L is met andere woorden het stuk dat we (minstens) moeten wegnemen om J en K te scheiden. De volgende stelling werd bewezen door Tits in Stelling Zij een sterk samenhangend genummerd complex en A 1, A 2 en A 3 simplices in, met J i = T(A i ). Als A 1 A 2 en A 2 A 3 simplices zijn en J 1 en J 3 worden door J 2 gescheiden in G, dan vormt ook A 1 A 2 A 3 een simplex. Bewijs. is sterk samenhangend, dus iedere ster is samenhangend, zodat we wegens opmerking de bewering enkel hoeven te bewijzen in St(A 2 ). Stel dat over I is genummerd. We bekijken simplices zoals in opmerking We nemen in 7

16 St(A 2 ) twee simplices A en B, met J := T(A) \ T(A 2 ) en K := T(B) \ T(A 2 ) zó, dat J K = cot(a 2 ) en ook zo dat J en K in de standaardgraaf gescheiden zijn door T(A 2 ). We zullen bewijzen dat A B een simplex vormt in St(A 2 ), wat voldoende is daar we de gegeven A 1 en A 3 in respectievelijk A en B kunnen inbedden. Eerst breiden we A en B uit tot kamers in St(A 2 ): A B 0 en B A m en hernoem A := A 0 en B := B m. We verbinden nu deze twee kamers in een galerij, met de A i telkens van type J en de B i van type K: C = (A 0 B 0, A 1 B 1,..., A m B m ). Kwalitatief gesproken moeten we nog bewijzen dat we vanuit A naar B kunnen toewerken en omgekeerd. Bij de uitwisseling van een top wordt immers altijd ofwel het stuk van type J ofwel het stuk van K behouden. Stel dat we voor een i volgende situatie hebben in de galerij, waarbij eerst een a 1 van type in J en vervolgens een b 1 van type in K worden uitgewisseld: C = (..., A i 1 B i 1, A i B i, A i+1 B i+1,...) = (..., A {a 1 } B {b 1 }, A {a 2 } B {b 1 }, A {a 2 } B {b 2 },...). Wanneer we de standaardgraaf G St(A B ) bekijken, dan is dit een graaf met twee toppen, namelijk {T(a 1 ) T(b 1 )}. Aangezien J en K zijn gescheiden, zijn deze toppen ook in de deelgraaf niet verbonden, zodat a 1 en b 2 zie definitie verbonden zijn en dus ook A {a 1 } B {b 2 } een simplex vormt. Op deze manier kunnen we C herschikken tot een galerij waarin eerst alle toppen van type K worden uitgewisseld en dit een simplex vormt. We merkten reeds op dat niet elk complex nummerbaar is. Als laatste punt van deze paragraaf bewijzen we dan ook een criterium waaronder complexen zich laten nummeren. Eerst voeren we een morfisme in dat voor een galerij de eerste op de laatste kamer afbeeldt. Definitie Zij een samenhangend complex. Voor twee kamers C 0 C 1 noemen we ϕ 1 het unieke morfisme P(C 0 ) P(C 1 ), dat dus de identieke afbeelding is op P(C 0 C 1 ). Door in een galerij C = (C 0,..., C n ) de afbeelding α C := ϕ n... ϕ 1 te bekijken, krijgen we een morfisme a C : P(C 0 ) P(C n ). Met behulp van deze afbeelding α C kunnen we bepalen wanneer een complex zich laat nummeren. Stelling Zij samenhangend. Als α C = id voor alle gesloten galerijen C, dan bestaat er een nummering op. Bewijs. Neem een kamer C 0 van en nummer deze. We tonen aan dat we de andere kamers eenduidig kunnen nummeren op basis van deze eerste nummering. Neem een tweede kamer D. Stel dat D in een (minstens één) gesloten galerij ligt en kies een galerij C = (C 0,..., C n = D). Door ϕ i toe te passen op de C i 1 s, kunnen we de nummering van C 0 overdragen. Deze procedure is onafhankelijk van de keuze van de galerij C. Zij C namelijk een tweede dergelijke galerij. Per onderstelling geldt dat α C α 1 C = id, zodat de nummering inderdaad eenduidig is bepaald. 8

17 Stel nu dat D in geen enkele gesloten galerij ligt. Neem een galerij C 0,..., C n = D en zij m de eerste kamer in deze galerij die niet in een gesloten galerij ligt (mogelijkerwijs is m = n). Wegens het eerste geval is C m 1 eenduidig genummerd. Vanaf i = m kan de volgende kamer ϕ i+1 (C i ) genummerd worden door de onderling ingewisselde top hetzelfde label te geven. Opmerking [2] eist iets meer dan samenhangendheid, maar geen sterke samenhangendheid, namelijk dat St(x) samenhangend is voor elke top x. In het bewijs hebben we dit echter nergens gebruikt. Ter illustratie bij voorgaande stelling bekijken we de nummeringen uit 1.3. In figuur (b) is de driehoek def een voorbeeld van het tweede geval in het bewijs. We illustreren met rode pijlen het feit dat α C = id voor de gesloten galerij C = (abc, ace, ced, cdb, abc). In figuur (c) zien we, vertrekkend van abc, dat dit inderdaad faalt: α C (a) = b. Figuur 1.4: Illustratie bij stelling Kamersystemen In deze paragraaf bespreken we een tweede aanpak, namelijk via kamersystemen. Simpliciale complexen hebben we in de eerste plaats gedefinieerd als graaftheoretische structuur, waar we dan kamers in terugvinden die we uiteindelijk eventueel kunnen nummeren. Kamersystemen vertrekken echter net van dit laatste, als een systeem van i-aanliggende kamers. Definitie Een kamersysteem over een verzameling I is een drietal (C, i, I), met C een verzameling en i, i I, een zekere equivalentierelatie op C. De elementen van C noemen we kamers en we zeggen dat twee kamers C en D i-aanliggend of i-adjacent zijn wanneer C i D en C D. De rang van C is per definitie I. Het eenvoudigste voorbeeld van een kamersysteem wordt gevormd door de kamers van een over I genummerd complex onder de equivalentierelatie i (of gelijkheid). Met andere woorden: C i D C i D of C = D cot(c D) {i}. Opnieuw willen we afbeeldingen bekijken tussen twee kamersystemen, maar nu moeten we ook beschouwen hoe i-adjacente kamers worden omgezet in j-adjacente kamers in het beeld. 9

18 Definitie Een morfisme ϕ tussen twee kamersystemen C 1 en C 2 (respectievelijk over I 1, I 2 ) is een afbeelding ϕ : C 1 C 2 met een geassocieerde bijectie ϕ : I 1 I 2 zo, dat voor C, D C 1 geldt: C i D ϕ(c) ϕ (i) ϕ(d). Vaak zal I 1 = I 2 en ϕ = id, in dat geval noemen we ϕ typebehoudend. Definitie Geheel analoog als bij definities en , introduceren we een galerij, zij het nu onder de relatie i. De begrippen simpele galerij, gesloten galerij, type van een galerij en samenhangend kamersysteem volgen onmiddellijk. We definiëren voor een J I een nieuwe equivalentie tussen twee kamers: C J D er bestaat een galerij met type (i 1,..., i n ) zo dat i t J i t = 1,..., n. Met andere woorden: er bestaat een galerij tussen de twee met type dat in J blijft. Een equivalentieklasse A onder J zullen we een J-ster noemen. A kan gezien worden als kamersysteem over J, dat dan bovendien altijd samenhangend is. Ook sterke samenhangendheid heeft een vertaling naar kamersystemen. Definitie We noemen een kamersysteem sterk samenhangend wanneer het samenhangend is en voor elke twee J, K I en elke twee kamers C en D geldt dat C J D C K D C J K D. In de volgende paragraaf zal duidelijk worden waarom deze definitie wordt gebruikt. We kunnen wel alvast inzien dat dit geldt voor kamersystemen die komen van een over I genummerd complex. Zij sterk samenhangend en neem twee kamers C en D met C J D en C K D voor twee J, K I. We tonen aan dat C J K D. Neem een top a k in C van type k, met k K maar k / J. Daar C J D, kan a k nergens uitgewisseld worden bij het rondwandelen in een galerij met type dat in J blijft. Bijgevolg moet a k ook een top van D zijn. Deze redenering geldt voor alle types in V := J K. Zij A V de simplex in C (en dus ook in D) bestaande uit alle toppen met type in V. Daar St (A V ) samenhangend is en we enkel nog toppen van type I \ V = J K dienen uit te wisselen, is inderdaad C J K D. Ook voor kamersystemen voeren we een standaardgraaf in. Definitie Zij C een kamersysteem over I. We definiëren de standaardgraaf G C met als toppenverzameling I en adjacentie als volgt: i j wanneer voor een galerij van type (i, j) die twee kamers C 1 en C 2 verbindt, er ook een galerij bestaat van type (j, i) tussen C 1 en C 2. We tonen opnieuw aan dat dit concept samenvalt met de standaardgraaf van een kamersysteem afkomstig van een genummerd simpliciaal complex. Stel dat in de standaardgraaf van een over I genummerd complex i j. Neem twee kamers zo dat C D =: A een simplex is van cotype {i, j}. Per definitie zijn in St(A) alle toppen met label i verbonden met alle toppen met label j. Stel dat C = {c 1,..., c n }, met de index het nummer van de top, analoog voor D. We kunnen C met D verbinden in een galerij door eerst deze met de kamer A {c i, d j } te verbinden, maar evengoed met A {c j, d i }. 10

19 Dit zorgt ervoor dat volgens definitie ook in de standaardgraaf van gezien als kamersysteem, i j. Dit procédé wordt z.v.v.a. gesuggereerd in afbeelding 1.5. Figuur 1.5: Illustratie bij de link tussen standaardgrafen van complexen en kamersystemen We bewijzen nu een belangrijke eigenschap voor de standaardgraaf van een kamersysteem, die we later nodig zullen hebben. We zullen A B noteren indien a b a A en b B. Analoog voor. Stelling Zij (C, i, I) een kamersysteem, A C een J-ster voor een J I. Stel dat J = J 1 J 2 en zij A t A een willekeurige J t -ster. Onderstel dat J 1 J 2 in de standaardgraaf. Dan is A 1 A 2. Bewijs. We mogen onderstellen dat J 1 = J 2. Wegens deze aanname bestaat er in A zeker een galerij met type-elementen zowel in J 1 als in J 2, stel dat zo n galerij wordt gegeven door C = (C 0,..., C m ; t 1,..., t n ). Stel z.v.v.a. dat we de deelgalerij (C k 1, C k, C k+1 ; t k, t k+1 ) hebben, met t k J 1 en t k+1 J 2. Daar t k t k+1 in de standaardgraaf, kunnen we een kamer C k vinden zo dat we de deelgalerij (C k 1, C k, C k+1 ; t k+1, t k ) hebben. C k 1 en C k+1 behoren dan tot A 1 A De link tussen genummerde complexen en kamersystemen In deze sectie zullen we de brug slaan tussen genummerde complexen en kamersystemen. We hebben in vorige paragraaf reeds een aantal begrippen van kamersystemen toegepast op genummerde complexen, gezien als kamersysteem. De omgekeerde interpretatie lijkt niet zo eenvoudig. Door de onderlinge verwevenheid van de simplices en de nummering 11

20 van de toppen, ligt er al een sterke structuur op de kamers van een complex, terwijl in het algemeen een kamersysteem veel zwakker is. We definiëren eerst de richting complex kamersysteem formeel. Definitie Zij een over I genummer complex. Dan noemen we het kamersysteem C( ) := (C, i, I), met C de verzameling kamers van, het kamersysteem door geïnduceerd Constructie van een simpliciaal complex uit een kamersysteem Nu zullen we een manier geven om uit een gegeven kamersysteem een simpliciaal complex te construeren. Eerst voeren we de volgende definitie in, die de adjacentie aan een kamer als het ware restringeert tot een zekere J I. Definitie We definiëren voor een kamersysteem C over I, een kamer C en een J I de J-ster van C als S J (C) := {D C D J C}. Opmerking De J-ster van een kamer mag niet verward worden met een J-ster (zonder van) gedefinieerd in Hoe zullen we nu de simplices uit een kamersysteem construeren? Denken we aan een over I genummerd complex en een simplex A. Stel dat er voor iedere kamer C en elke i I een kamer C bestaat zo dat C i C. Dan kunnen we A bekijken als de doorsnede van alle kamers die A bevatten. De verzameling van alle kamers die A bevatten is C(St(A)). Als sterk samenhangend is, dan geldt: C(St(A)) = S cot(a) (C), met C een willekeurige kamer in C(St(A)). Immers: we kunnen alle kamers in C(St(A)) verbinden in een galerij met i-adjacente kamers, waarbij i in A niet voorkomt als label. Bijgevolg zouden we omgekeerd voor een gegeven kamersysteem C de simplices van het gewenste complex (C) kunnen definiëren als de J-sterren, J I. Dit levert echter niet altijd een complex. We bekijken verder een tegenvoorbeeld, zie opmerking Daarom zullen we een complex op een andere manier definiëren. We beginnen met de toppenverzameling X(C) en geven dan een voorwaarde opdat een deelverzameling van toppen een simplex zou zijn. We noemen dit complex (C). Definitie (C) is een over I genummerd simpliciaal complex met toppenverzameling: X(C) := i I X i (C), met X i (C) = {(A, i) A is een (I \ {i})-ster in C}. Een A = {(A 1, i 1 ),..., (A r, i r )} X(C) is een simplex wanneer alle i t s onderling verschillend zijn en wanneer r t=1 A t. Kwalitatief gesproken zijn de toppen van type i dus de ballonnen gevormd door de equivalentieklasse van (I \ {i})-samenhangende kamers. De laatste voorwaarde in de definitie drukt net uit dat een toppenverzameling pas een simplex vormt wanneer ze samen in een kamer liggen. Omgekeerd: we kunnen elke simplex van (C) bekijken als C[J] := {(S I\{j} (C), j) j J}, 12

21 voor een J I. Zo krijgen we dat iedere simplex in een kamer ligt, namelijk C[J] C[I]. Op deze manier is (C) inderdaad een simpliciaal complex en krijgen we bovendien de vertrouwde interpretatie van een simplex als verzameling toppen Bewijs van de inverse equivalentie In de volgende stelling zullen we een aantal equivalenties aantonen die suggereren waar we naartoe werken. Het eerste en tweede puntje drukken uit dat (uiteindelijk, onder de voorwaarde van puntje drie) de operatoren C( ) en ( ) kwalitatief gesproken elkaars inverse zijn en dat bovendien ieder kamersysteem te zien is als kamersysteem door een genummerd complex geïnduceerd. Dit zal de link geven tussen kamersystemen en genummerde complexen. Stelling geeft het omgekeerde resultaat voor ( ). Stelling haakt dan in op het derde puntje van de respectieve stellingen, door aan te tonen dat dit voldaan is in het sterk samenhangende geval 3. Stelling Zij C een kamersysteem. De volgende drie punten zijn equivalent. (i) C = C( ), met een over I genummerd simpliciaal complex. (ii) Het canonisch morfisme C C( (C)) is een isomorfisme. (iii) Voor twee C, D C geldt: a. (C I\{i} D i I) C = D, b. ( i I)((C I\{j} D j i) C i D). Bewijs. (i) (iii) We zullen het isomorfisme niet expliciet beschouwen, maar interpreteren C gewoon als geïnduceerd door een over I genummerd complex. We tonen a. aan. Stel dat aan het antecedent is voldaan, maar dat C D. Wegens (i) kunnen we een kamer beschouwen als een verzameling gelabelde toppen. Zij c C, maar c / D een top waar C en D verschillen. Het is duidelijk dat voor i = T(c) het antecedent C I\{i} D vals is, een strijdigheid. We tonen b. aan. Weer vatten we C en D op als verzameling gelabelde toppen. Neem i I vast. Voor iedere j i kunnen we een galerij vinden die C en D verbindt zonder toppen van label j uit te wisselen. Bijgevolg is de enige top die nog uitgewisseld dient te worden die van label i, dus C i D. (iii) (ii) We noemen het canonisch morfisme µ. Voor een kamer C geeft µ(c), in de interpretatie onder definitie 1.3.4, een kamer C[I] van het complex (C), daarna weer bekeken als kamersysteem onder de relatie i. Neem twee kamers C[I] en D[I]. i-adjacentie in C( (C)) betekent dat {(S I\{j} (C), j) j J} en {(S I\{j} (D), j) j J} enkel in S I\{i} ( ) verschillen, zodat aan het antecedent van (iii) is voldaan en dus C i D. Met andere woorden: i-adjacentie van het kamersysteem C wordt omgezet in i-adjacentie van het 3 Sterke samenhangendheid zowel voor kamersystemen als voor simpliciale complexen. 13

22 complex (C), zodat (na interpretatie van (C) als kamersysteem), µ i-adjacentie tussen kamersystemen behoudt en dus een morfisme is. µ is sowieso surjectief. We tonen aan dat µ injectief is. We nemen twee C[I], D[I] C( (C)). Stel C[I] = D[I] i I geldt: S I\{i} (C) = S I\{i} (D) C I\{i} D i I (iii) C = D. (ii) (i) Trivialerwijs voldoet := (C). Opmerking We zien dat punt (iii) a. uit vorige stelling zou falen met onze eerste aanpak. Neem een simpliciaal complex en beschouw het kamersysteem C( ). We nemen één kamer C 1 die we verdubbelen tot C 1 en C 2, waarmee we bedoelen dat C 2 aan exact dezelfde adjacentierelaties voldoet als C 1. Dit levert met de eerst voorgestelde definitie geen simpliciaal complex op. Voor de omgekeerde richting definiëren we een canonisch morfisme µ : (C( )) als volgt. Neem een simplex in (C( )) en schrijf dit in de vorm C[J] voor een J I en een kamer C C( ). Neem in deze kamer de toppen van type J en noteer C(J). Het canonisch morfisme C[J] C(J) zal blijken te voldoen voor ons doel. Meer bepaald bewijzen we volgende stelling. Stelling Zij een genummerd complex. De volgende drie punten zijn equivalent. (i) = (C) voor een zeker kamersysteem C. (ii) Het canonisch morfisme µ : (C( )) is een isomorfisme. (iii) Alle sterren van toppen in zijn samenhangend. Bewijs. (i) (iii) Een kamer in (C) is van de vorm C[I] = {(S I\{i} (C), i) i I} voor een kamer C C. Voor een top x = (S I\{j} (C 0 ), j) zijn de kamers C[I] die x bevatten net deze die (I \{j})- adjacent zijn met C 0. Dus deze kamers zijn sowieso verbonden in St(x). (iii) (ii) Als µ goed gedefinieerd is, zal het zeker typebehoudend zijn, en dus een morfisme tussen genummerde complexen. Zij dus C[J] = D[J] voor twee kamers C, D C( ). Dit betekent dat C I\{j} D voor alle j J. Maar dit betekent net dat de toppen van type j in C en D dezelfde zijn, dus C(J) = D(J). µ is sowieso surjectief. We tonen de injectiviteit aan. Stel dat voor twee kamers C en D geldt dat de toppen C(j) = D(j) voor een j I. Echter: St(C(j)) is samenhangend, zodat C I\{j} D. Als nu C(J) = D(J), dan is C I\{j} D voor alle j J, ofte: C[J] = D[J]. (ii) (i) Trivialerwijs voldoet C := C( ). We zullen nu inhaken op de puntjes (iii) van stellingen en Stelling (i) Een genummerd complex is sterk samenhangend als en slechts als de ster van elke top samenhangend is en C( ) sterk samenhangend is. 14

23 (ii) Een kamersysteem C is sterk samenhangend als en slechts als (iii) geldt en (C) sterk samenhangend is. Bewijs. (i) Zij een sterk samenhangend complex. De samenhangendheid van de ster van een top geldt per definitie. We tonen aan dat C( ) sterk samenhangend is. We hebben onmiddellijk dat C( ) samenhangend is. Stel dat voor C, D C( ) geldt dat C J D, dan is C(I \ J) = D(I \ J), analoog wanneer C K D, waaruit volgt dat C J K D en C( ) dus per definitie sterk samenhangend is. (ii) Zij C een sterk samenhangend kamersysteem. Stel dat voor alle i C J\{i} D, dan zouden wegens sterke samenhangendheid C en D ook i I \ {i} = -adjacent moeten zijn, dus C = D. Analoog voor (iii) b., maar dan C en D j i I \ {j} = {i}- adjacent. Beschouw nu een simplex C 0 [J] (C) (C 0 C, J I). Stel dat twee kamers C[I] en D[I] het simplex C 0 [J] bevatten. Dan vallen ze op het type J samen: C[J] = C 0 [J] = D[J]. Per definitie is voor alle j J: C[J] I\{j} C 0 [J] I\{j} D[J]. Opnieuw, wegens sterke samenhangendheid, volgt dat C I\J D. Dus C[I] kan met D[I] verbonden worden door een galerij die in St(C 0 [J]) ligt. (i) Wegens stelling is = (C( )), waardoor wegens de richting van (ii), inderdaad sterk samenhangend is. (ii) Wegens stelling is C = C( (C)), waardoor wegens de richting van (i), C inderdaad sterk samenhangend is. Alles samen hebben we in deze paragraaf de volgende stelling bewezen. Stelling De constructies C( ) en C (C) induceren inverse equivalenties tussen de sterk samenhangende over I genummerde simpliciale complexen en de sterk samenhangende kamersystemen over I. 15

24 Hoofdstuk 2 Coxeter-Titscomplexen In dit hoofdstuk bestuderen we een bijzonder soort simpliciale complexen. Eerst zullen we en klasse van afbeeldingen op een dun complex bestuderen: foldings. Wanneer een complex voldoende van deze foldings bezit, wordt het een Coxeter-Titscomplex. Doorheen dit hoofdstuk volgen we de opbouw van [5]. 2.1 Foldings In het vervolg beschouwen we een dun samenhangend complex. We beschouwen een speciaal endomorfisme op. Definitie Een endomorfisme ϕ op noemen we een folding wanneer het idempotent is en iedere kamer C ϕ( ) het beeld is onder ϕ van exact twee kamers in. Eén van die twee kamers is C zelf: C ϕ( ) C = ϕ(c ) voor een C. Nogmaals toepassen van ϕ levert ϕ(c) = ϕ 2 (C ) = ϕ(c ) = C. De andere noemen we ϕ(c), het invers verschillend van C. Voor C / ϕ( ) stellen we ϕ(c) := C. De term folding 1 is goed gekozen. Visualiseren we het complex als een stapel papieren, de kamers als helften van een blad, met de middenlijn als gemeenschappelijk paneel. Leg een papier dwars. Een folding is de bewerking waarbij papieren op de middenlijn worden gevouwen, als een boek. De rechterhelft komt op zichzelf terecht, de linkerhelft is dan de ϕ( ). Deze bewerking is inderdaad idempotent. Wat reeds gevouwen is, wordt niet nogmaals gevouwen: een kamer C ϕ( ) wordt invariant gelaten onder ϕ. Het zal interessant blijken om dit naïeve beeld in het achterhoofd te houden, want bepaalde eigenschappen spreken rechtstreeks uit deze visualisering. Lemma Zij ϕ een folding. Zij C en D twee adjacente kamers. Dan zijn ϕ(c) en ϕ(d) gelijk aan elkaar of adjacent. 1 Letterlijk een vouwing, maar we zullen deze term niet vertalen. 16

25 Bewijs. Wanneer C en D beide niet in ϕ( ) liggen, is ϕ(c) = C D = ϕ(d). Zij dus bijvoorbeeld C ϕ( ). Het aanzicht van ϕ(c) dat door ϕ op C D wordt gestuurd noemen we A. De andere kamer door dit paneel A noemen we D, zie figuur 2.1. ϕ(d ) bevat C D, dus ϕ(d ) = C of ϕ(d ) = D. Er zijn twee gevallen. Stel dat Stel nu dat D / ϕ( ) ϕ(d ) = D D = ϕ(d) ϕ(c) ϕ(d). D ϕ( ) A ϕ( ) A = ϕ(a) = C D. Aangezien ϕ(c) C, wordt de bovenste structuur van afbeelding 2.1 als het ware omgekeerd op de onderste gelegd: We krijgen dat ϕ(c) = D = ϕ(d). ϕ(c) = D en D = C. Figuur 2.1: Illustratie bij lemma Stelling Er bestaat een paar kamers {C 1, C 2 }, met C 1 C 2 met C 1 ϕ( ) en C 2 / ϕ( ). Dan is bovendien ϕ(c 2 ) = C 1 en ϕ(c 1 ) = C 2. Bewijs. Het bestaan is triviaal: neem twee kamers, één in ϕ( ) en één niet en verbind die met een galerij. Ergens in deze galerij zijn er twee aanliggende kamers C 1 en C 2 die aan het gevraagde voldoen. Nu is C 1 ϕ( ) C 1 C 2 ϕ( ) en deze doorsnede is dus invariant onder ϕ. Deze doorsnede is bevat in ϕ(c 2 ), maar is verschillend van C 2 zelf, want C 2 / ϕ( ), dus moet ϕ(c 2 ) = C 1 en dus ook ϕ(c 1 ) = C 2. In wat volgt gebruiken we C( ) gewoon als de verzameling kamers van. We definiëren het complement ϕ c (C( )) als C( ) \ ϕ(c( )). Stelling ϕ(c( )) en haar complement ϕ c (C( )) zijn convex. Bewijs. Neem een minimale galerij C tussen twee kamers van ϕ( ). Stel z.v.v.a. dat deze één kamer bevat C / ϕ( ). Wegens stelling is ϕ(c) ϕ( ), zodat de galerij ϕ(c), die alle andere kamers invariant laat, stottert. C is dus geen minimale galerij, strijdig. 17

26 Neem nu een minimale galerij C tussen twee kamers van ϕ c (C( )). Stel z.v.v.a. dat deze één kamer bevat D ϕ( ). Wegens lemma is ϕ(c ) ook een galerij, die alle elementen behalve D ( ϕ( )) invariant laat. Wegens stelling stottert ook deze galerij, strijdig. Stelling Zij C 1 en C 2 kamers als in stelling Dan is voor een willekeurige kamer D { 1 als D ϕ( ) dist(c 2, D) dist(c 1, D) = 1 als D / ϕ( ). Bewijs. Zij D ϕ( ). Neem een minimale galerij C die C 2 en D verbindt. Enerzijds is, aangezien C 1 C 2, dist(c 1, D) dist(c 2, D) 1, anders zou C niet minimaal zijn. Anderzijds is, volgens dezelfde redenering als in stelling 2.1.4, ϕ(c) een stotterende galerij die C 1 en D verbindt, en dus dist(c 1, D) dist(c 2, D) 1. Als D / ϕ( ) dan volgt analoog voor een minimale galerij C die C 1 en D verbindt, nu met ϕ(c ), dat dist(c 2, D) = dist(c 1, D) 1, wat het tweede geval bewijst. Stelling Zij C 1 en C 2 kamers als in stelling Dan is ϕ de enige folding die C 2 op C 1 afbeeldt. Bewijs. Zij ψ een andere folding zo dat ψ(c 2 ) = C 1. We tonen aan dat noodzakelijkerwijs ψ = ϕ. We bekijken de verzameling ϕ(c( )) en noemen ϕ( ) het kleinste subcomplex van dat ϕ(c( )) als verzameling kamers heeft. We merken op dat ϕ( ) ϕ( ) =. Wegens stelling zijn ϕ( ) en ϕ( ) samenhangende complexen. Stel dat ψ(c( )) ϕ(c( )). Stel dat ze verschillen op een kamer D. Dan voldoet D aan beide gelijkheden van stelling tegelijk, strijdig. Dus ψ(c( )) = ϕ(c( )). Analoog is ψ(c( )) = ϕ(c( )). We zullen nu de foldings ψ en ϕ restringeren tot ϕ( ) en ϕ( ) en aantonen dat deze restricties gelijk zijn, wat het gestelde aantoont. Definieer ϕ := ϕ ϕ( ) en ψ := ψ ϕ( ). Stel dat C een kamer is met verschillend beeld onder ϕ en ψ. We verbinden C 1 en C met een minimale galerij C = (C 1 = D 0, D 1,..., D m = C). Zij i de kleinste index waarvoor de aanzichten van ϕ (D i ) en ψ (D i ) niet allemaal samenvallen. Zo een i bestaat zeker, neem desnoods i = m. We zullen nu ψ (C) bekijken. Voor D i hebben we ψ (D i ) ψ (D i D i 1 ) = ϕ (D i D i 1 ) ψ (D i ) = ϕ (D i 1 ) of ψ (D i ) = ϕ (D i ). Het tweede geval is uitgesloten: het beeld van D i D i 1 onder ψ en ϕ valt al samen, zodat ze op alle aanzichten zouden samenvallen, strijdig met de keuze van i als kleinste index waarvoor dit niet optreedt. Dus ψ (D i ) = ϕ (D i 1 ) = ψ (D i 1 ), zodat de galerij ψ (C) die in ψ(c( )) = ϕ(c( )) blijft stottert en C niet minimaal was. Dit levert de gezochte strijdigheid. We kunnen een analoge redenering toepassen op ϕ := ϕ ϕ( ) en ψ := ψ ϕ( ) en door nu ψ toe te passen op de gekozen galerij. Stelling Stel dat ϕ een folding is op en C 1 en C 2 twee adjacente kamers zo dat ϕ(c 2 ) = C 1. Onderstel dat er een folding ϕ bestaat zo dat ϕ (C 1 ) = C 2. Dan is ϕ( ) ϕ ( ) =, ϕ( ) ϕ ( ) bevat geen kamers en ϕ is de enige folding met deze eigenschappen. Op C( ) vallen ϕ en ϕ samen. Er bestaat een involutorisch automorfisme ρ op dat op ϕ ( ) samenvalt met ϕ en op ϕ( ) met ϕ. 18

27 Bewijs. De eerste twee beweringen volgen uit stelling Onderstel dat ϕ een tweede folding is die aan het gestelde voldoet. Dan is C 2 ϕ ( ) en C 1 / ϕ ( ). Wegens stelling is dan ϕ (C 1 ) = C 2. Maar wegens stelling is ϕ de enige folding waarvoor dit geldt, dus noodzakelijk is ϕ = ϕ. Het lijkt nu logisch om ϕ ϕ( ) en ϕ ϕ ( ) aan elkaar te plakken om zo de gezochte ρ op te construeren. Het kan eventueel nog mislopen op de doorsnede ϕ( ) ϕ ( ). Stel A ϕ( ) ϕ ( ). Maar dan is ϕ(a) = ϕ (A) = A, zodat dit toch geen probleem oplevert. We bewijzen dat ρ een involutie is. ρ 2 laat ieder aanzicht van C 1 invariant. Stel dat ρ 2 id. Zij zonder verlies van algemeenheid C ϕ( ) een kamer op minimale afstand van C 1 waarvoor ρ 2 (C) = D C. Het geval C ϕ ( ), dan op minimale afstand van C 2, is dan analoog. Merk op dat ook D ϕ( ). We passen een analoge redenering toe als in stelling Noem C een minimale galerij die C 1 en C verbindt: C = (C 1 = D 0,..., D m 1, D m = C). Bekijk nu het beeld onder ρ 2. Wegens de keuze van C komt er dat ρ 2 (C) = {C 1,..., D m 1, D}. Het paneel B := D m 1 D blijft invariant onder ρ 2, zodat door B drie verschillende kamers moeten: D m 1, C en D, strijdig. Voor een E C(ϕ( )) geldt dat ϕ(ϕ (E)) = ρ(ρ(e)) = E; analoog voor E C(ϕ ( )), zodat inderdaad ϕ en ϕ samenvallen op het kamersysteem. In de beeldspraak van vouwingen hebben we in de vorige stelling bewezen dat wanneer we een blad naar rechts kunnen vouwen rond een middellijn, we het evengoed naar links konden vouwen, en dat deze handeling bovendien uniek is. Formeel geeft dit aanleiding tot de volgende definitie. Definitie Wanneer de folding ϕ uit vorige stelling bestaat, noemen we die overstaand aan ϕ en we zullen dit noteren met ϕ. Het automorfisme ρ noemen we de spiegeling geassocieerd aan ϕ. Opmerking Met een analoge redenering als in en kunnen we de volgende meer algemene eigenschap bewijzen. Het leek ons echter inzichtelijker om eerst aan te tonen hoe deze redenering werkt voor foldings en nu het algemene resultaat te vermelden. Stelling Indien een endomorfisme op een dun complex injectief is op C( ) en alle aanzichten van een gegeven kamer invariant laat, dan is het de identiteit. Ook de term spiegeling zal nu een vertaling krijgen naar de metafoor. Meer bepaald hebben we volgend lemma: Lemma Zij B een paneel in. Als er een spiegeling ρ bestaat die B invariant laat, is deze uniek. Bewijs. Stel dat B de doorsnede is van kamers C en C. Dan moet ρ(c) = C en moet ρ geassocieerd zijn met de unieke folding ϕ die C op C afbeeldt (zie stelling 2.1.6). Met andere woorden: eens een middenlijn is gekozen, is er een unieke spiegeling die de linker- op de rechterpapierhelft afbeeldt en omgekeerd. 19

28 Definitie ϕ( ) noemen we een wortel van. De rug van een wortel Φ (notatie: Φ) is het subcomplex van bestaande uit alle A zo dat er aanliggende kamers C Φ en C / Φ bestaan met A C C. Twee wortels Φ en Φ noemen we overstaand wanneer ze geassocieerd zijn aan overstaande foldings en dus (zie stelling 2.1.7) Φ Φ = en Φ Φ bevat geen kamers. We bewijzen nu een stelling die ons helpt om uit te sluiten of twee endomorfismen al dan niet overstaande foldings zijn. Deze stelling hebben we later nog nodig. Stelling Stel dat C en C twee aanliggende kamers zijn rond een paneel A. We noemen Γ de verzameling van alle minimale galerijen tussen A en een kamer van. Stel dat ϕ en ϕ twee endomorfismen zijn van die alle aanzichten van A fixeren en zo dat ϕ(c) = ϕ(c ) = C en ϕ (C) = ϕ (C ) = C. Als ϕ en ϕ de verzameling Γ op zichzelf afbeelden, dan zijn ϕ en ϕ overstaande foldings. Bewijs. Stel dat C = (C 0,..., C m ) Γ, met A C 0. We zullen met inductie op m volgende twee beweringen aantonen: 1. Als C 0 = C (respectievelijk C ) dan worden alle aanzichten van C m invariant gelaten onder ϕ en ϕ ϕ (respectievelijk ϕ en ϕ ϕ). 2. Als C 0 = C (respectievelijk C ) dan is ϕ (C m ) C m (respectievelijk ϕ(c m ) C m ). We zullen telkens aannemen dat C 0 = C, het andere geval is volledig analoog. Als m = 0, dan volgen beide beweringen onmiddellijk uit de aannames over ϕ en ϕ. Zij dus m > We zullen de eerste bewering enkel bewijzen voor ϕ, maar de redenering is dezelfde voor ϕ ϕ. Door de inductiehypothese laat ϕ alle aanzichten van C m 1 invariant. Bekijken we nu ϕ(c m ). Deze kamer bevat ϕ(c m 1 C m ) = C m 1 C m, want ϕ fixeert C m 1 en de enige andere kamer door deze doorsnede is nog C m, wegens dunheid. Nu moet dus ofwel ϕ(c m ) = C m 1, ofwel ϕ(c m ) = C m. In het eerste geval is ϕ(c) een stotterende galerij, dus ϕ(c) / Γ, strijdig met het gegeven dat ϕ Γ in zichzelf afbeeldt. Dus de tweede mogelijkheid moet zich voordoen: ϕ(c m ) = C m. Echter: van het paneel C m 1 C m van deze kamer worden al alle aanzichten gefixeerd onder ϕ, zodat ook alle aanzichten van C m zelf worden gefixeerd, wat punt 1 bewijst. 2. Onderstel het tegendeel: ϕ (C m ) = C m, maar dat (wegens de inductiehypothese) ϕ (C m 1 ) C m 1. We zoeken een strijdigheid. We passen punt 1 toe op C en het aanzicht C m 1 C m van C m : ϕ(ϕ (C m 1 C m )) = C m 1 C m. We bekijken nu de galerij ϕ (C), die begint met C. Op deze passen we ook punt 1 toe, namelijk het respectieve geval voor ϕ, nu met het gefixeerde aanzicht ϕ (C m 1 C m ): ϕ (ϕ(ϕ (C m 1 C m ))) = ϕ (C m 1 C m ). Maar aangezien we ervan uitgingen dat ϕ (C m ) = C m, moet nu ook ϕ (C m 1 ) = C m 1, strijdig. 20

29 Om aan te tonen dat ϕ een folding is, bewijzen we eerst dat het een idempotent endomorfisme is. Zij D een willekeurige kamer. Zij C Γ een galerij die C en D verbindt. Bekijken we nu de galerij ϕ(c), dan worden, door punt 1, alle aanzichten van ϕ(d) invariant gelaten onder ϕ, zodat voor elk aanzicht B D geldt dat ϕ 2 (B) = ϕ(b) en ϕ inderdaad idempotent is. Om aan te tonen dat ϕ een folding is, moeten we nog aantonen dat een willekeurige kamer in ϕ( ) beeld is van exact twee kamers van. Vooraf kunnen we door 1 en 2 inzien dat voor een willekeurige kamer E ofwel ofwel ϕ(e) = ϕ(ϕ (E)) = E ϕ (E) ϕ (E) = ϕ (ϕ(e)) = E ϕ(e). Zij nu D C(ϕ( )) en zij E ϕ 1 (D). Dus is ofwel E = ϕ(e) = D ofwel E = ϕ (ϕ(e)) = ϕ (D). Bovendien is ϕ (D) D. Dit toont aan dat ϕ een folding is. Een analoge redenering gaat op voor ϕ. Door het gegeven kunnen we meteen stelling toepassen en zijn ϕ en ϕ overstaande foldings. Dit bewijst de stelling. 2.2 Coxeter-Titscomplexen In deze paragraaf beschouwen we bijzondere complexen, namelijk complexen waarbij elk paar adjacente kamers aanleiding geven tot een folding op het hele complex. Deze worden Coxeter-Titscomplexen genoemd, al vindt men in de literatuur ook gewoon de term Coxetercomplex terug. Definitie We noemen een dun samenhangend complex Σ een Coxeter-Titscomplex als voor ieder paar {C, C } van aanliggende kamers, er een folding bestaat die C op C afbeeldt. Equivalent geformuleerd: er bestaat een wortel die C bevat en C niet. Voorbeeld Een eenvoudig voorbeeld is dat van een dun complex van rang twee: een veelhoek. De toppenverzameling bestaat uit elementen a i met i lopend over de cyclische groep Z/mZ met m Z \ {0, 1, 2} { } en Z/ Z = Z per afspraak. a i en a j vormen dan samen een kamer wanneer i j = 1. zal een Coxeter-Titscomplex zijn wanneer m even is (of oneindig). Dan noemen we m de diameter van de veelhoek. 2 Het is eenvoudig in te zien waarom dit faalt in het oneven geval, we verwijzen naar figuur 2.2. De aangeduide spiegeling (laten we deze ϕ noemen) laat de omcirkelde kamer invariant, zodat deze enkel beeld is van zichzelf en ϕ geen folding is. Gegeven een zekere verzameling kamers, is het mogelijk om een endomorfisme te vinden dat deze kamers op een zekere basiskamer stuurt. Meer bepaald hebben we volgend lemma. Lemma Stel dat C een kamer is van een Coxeter-Titscomplex Σ en L een eindige samenhangende verzameling kamers met C L. Dan bestaat er een endomorfisme ϕ op Σ dat alle aanzichten van C invariant laat waarvoor ϕ(l) = {C}. 21

30 Figuur 2.2: Een veelhoek met een oneven aantal hoekpunten vormt geen Coxeter- Titscomplex Bewijs. We kiezen een galerij die door alle elementen van L passeert. Zonder verlies van algemeenheid mogen we aannemen dat L die galerij zelf is: L = (C = C 0, C 1,..., C m ). We werken met inductie op m. Het geval m = 0 is triviaal, we kunnen immers de identiteit kiezen als afbeelding die voldoet. Als C = C 1, kunnen we de inductiehypothese rechtstreeks toepassen. Onderstel dus dat C C 1. Zij (zie stelling 2.1.6) ω de unieke folding die C 1 op C afbeeldt. Nu is ω(l) = {C = ω(c 1 ), ω(c 2 ),..., ω(c m )}, zodat er per inductie een endomorfisme ϕ bestaat dat alle aanzichten van C invariant laat en alle elementen van ω(l) op C afbeeldt. Dan voldoet de samenstelling ϕ := ϕ ω aan het gestelde. Lemma Stel dat ϕ en ϕ twee endomorfismen zijn die alle aanzichten van een kamer C invariant laten en stel dat voor een A Σ geldt dat ϕ(a) C en ϕ (A) C. Dan is ϕ(a) = ϕ (A). Bewijs. Stel dat A in een kamer D ligt. We verbinden C en D met een galerij C = (C = C 0, C 1,..., C m = D). Bekijken we nu ϕ(c) en ϕ (C). Stel dat α een endomorfisme is dat alle aanzichten van C invariant laat en alle elementen van ϕ(c) en ϕ (C) op C afbeeldt. Zo n endomorfisme bestaat zeker wegens lemma Dan is α de identiteit op C en mogen we aannemen dat ϕ(c i ) = ϕ (C i ) = C voor alle i = 0,..., m, anders kunnen we α ϕ en α ϕ bekijken. We tonen aan dat ϕ en ϕ samenvallen op alle aanzichten van C i (i = 0,..., m). In het bijzonder zal dan ϕ(a) = ϕ (A). Stel dat i de kleinste index is waarvoor niet alle aanzichten van ϕ(c i ) en ϕ (C i ) hetzelfde zijn. Dan is ϕ(c i ) ϕ(c i 1 C i ) = ϕ (C i 1 C i ). Maar we weten dat ϕ(c i ) = ϕ (C i ) en dat beide afbeeldingen al samenvallen op alle aanzichten van C i 1 C i, zodat ook alle aanzichten van ϕ(c i ) en ϕ (C i ) hetzelfde zijn, strijdig. Definitie Een retractie 2 op Σ is een surjectief en idempotent morfisme Σ C op een kamer C Σ, waarbij C als simplex van al haar aanzichten wordt geïnterpreteerd. 2 Letterlijk een terugtrekking, een terugplooien op C. 22

31 Het toepassen van de twee voorgaande lemmata op L = C(Σ) levert volgende stelling. Stelling Voor een gegeven kamer C van Σ bestaat er een unieke retractie ρ C : Σ C. Twee elementen van Σ zullen we van hetzelfde type noemen, wanneer ze hetzelfde beeld hebben onder ρ C. Wanneer we kunnen aantonen dat dit onafhankelijk is van de keuze van de kamer C, zal dit een equivalentierelatie op Σ induceren. Lemma Voor alle A, B Σ en elke twee kamers C en C geldt: ρ C (A) = ρ C (B) ρ C (A) = ρ C (B). Bewijs. We schetsen de redenering in figuur 2.3. Het is duidelijk dat ρ C (ρ C (A)) = ρ C (ρ C (B)) en dat dit ook een retractie is die A en B op C afbeeldt. Maar de retractie is uniek bepaald, zodat deze samenstelling slechts een andere beschrijving hiervan is, wat het gestelde aantoont. Op de figuur: de omweg via C levert hetzelfde op als de rechtstreekse pijl naar C. Figuur 2.3: Figuur bij lemma Definitie Het quotiënt van Σ onder deze equivalentierelatie noemen we typ Σ. We gebruiken ook de notatie typ voor de projectie Σ typ Σ. Het beeld van een A Σ onder typ noemen we het type van A. We zien de structuur van elke kamer als het ware gereflecteerd in typ Σ: elke kamer heeft exact één aanzicht van elk type. typ Σ noemen we de fundamentele simplex van Σ. T (typ Σ) zullen we noteren als I(Σ). Een endomorfisme ϕ op Σ noemen we typebehoudend als typ ϕ = typ. Voor ieder endomorfisme ϕ, bestaat er een automorfisme op typ Σ dat de actie van ϕ op Σ als het ware reflecteert in de actie van dat automorfisme op de simplex typ Σ. Meer bepaald hebben we volgende stelling: Stelling Zij ϕ een endomorfisme op Σ. Dan bestaat er een uniek automorfisme ϕ typ op typ Σ, zo dat typ ϕ = ϕ typ typ. 23

32 Bewijs. Neem een kamer C en noem α het isomorfisme typ Σ C zo dat typ α = id. α bestaat zeker en is uniek. Stel nu ϕ typ := typ ϕ α. Met andere woorden: bekijk wat ϕ doet op een kamer (ϕ α) en lift dit terug naar typ Σ. ϕ typ is per constructie een automorfisme op typ Σ. Nu zijn α typ en α ϕ 1 typ typ ϕ retracties op C, zodat wegens stelling α is een isomorfisme, dus Dit toont meteen aan dat ϕ typ uniek is. α typ = α ϕ 1 typ typ ϕ. typ = ϕ 1 typ typ ϕ ϕ typ typ = typ ϕ. Deze stelling heeft het volgend gevolg, dat aantoont dat de vorige definitie van typebehoudend logisch was. Gevolg Als ϕ elk aanzicht van een gegeven kamer C op een element van hetzelfde type afbeeldt, dan is ϕ typebehoudend. Bewijs. Bekijk, met de terminologie van de vorige stelling toegepast op de gegeven kamer C ϕ typ = typ ϕ α = id, wegens het gestelde over de actie van ϕ op C. Dan is typ ϕ = typ, ofte: ϕ is typebehoudend. Gevolg Een Coxeter-Titscomplex is nummerbaar. Bewijs. Nummer één kamer C en bekijk voor alle andere kamers het invers beeld van ρ C. Dit bepaalt uniek de nummering. Stelling Voor elke A Σ is C(St(A)) convex. Met andere woorden: als de eerste en laatste kamer van een minimale galerij A bevatten, dan ook alle tussenliggende kamers van die galerij. Bewijs. Neem een dergelijke minimale galerij C = (C 0,.., C m ). We gebruiken inductie op m. Stel dat v de top is die in C 0 ligt maar niet in C 1. Zij Φ de wortel (geassocieerd aan een folding ϕ) die C 1 bevat maar niet C 0. We weten dat dist(c 0, C m ) dist(c 1, C m ) = 1 en dus, wegens stelling met {C 1, C 0 } in de rol van {C, C }, C m ϕ( ) = Φ. ϕ(c 0 ) = C 1 en ϕ beeldt v af op een top van C 1. v wordt dus niet gefixeerd door ϕ en dus v / Φ. Dus A C 0 C m C 0 C 1 en dus in het bijzonder A C 1, zodat we een galerij bekomen van lengte m 1, waarvoor de eigenschap per inductie geldt. Dit bewijst het gestelde. Het volgende gevolg vat goed wat Coxeter-Titscomplexen eigenlijk zijn. Door het bestaan van voldoende foldings, is de doorsnede van twee overstaande wortels net de rug van een wortel. Gevolg Zij Φ en Φ twee overstaande wortels in een Coxeter-Titscomplex. Dan is Φ Φ = Φ. 24

33 Bewijs. : Deze inclusie is direct wegens de definitie van Φ. : Stel A Φ Φ. Zij C een kamer in Φ die A bevat: C St(A) C(Φ). Analoog C St(A) C( Φ). Zij C een minimale galerij die C en C verbindt. Wegens stelling bevatten alle kamers van die galerij A. Voor welk paar kamers de overgang Φ naar Φ ook geschiedt, A zit in die twee aanliggende kamers, zodat A Φ. Ten slotte tonen we aan dat het bestaan van voldoende foldings behouden blijft bij het nemen van een quotiëntstructuur. Stelling Voor een element A in een Coxeter-Titscomplex Σ is ook St(A) een Coxeter-Titscomplex. Bewijs. Uit stelling volgt dat St(A) samenhangend is. Het is duidelijk dat dunheid ook wordt bewaard. Stel dat C, C C(St(A)) twee aanliggende kamers zijn en dat ϕ : C C en ϕ : C C de bijhorende foldings zijn in Σ. Het is duidelijk dat hun restricties tot St(A) (noem die respectievelijk ϕ en ϕ ) ook endomorfismen zijn op St(A). Rest ons nog aan te tonen dat het foldings zijn. We tonen dit aan voor ϕ. Zij D ϕ (C(St(A))). Dan is D beeld van D en van ϕ(d), wat het gestelde aantoont. 25

34 Hoofdstuk 3 Classificatie van Coxeter-Titscomplexen We hebben Coxeter-Titscomplexen ingevoerd op combinatorische wijze, namelijk als dunne complexen waarop een soort veralgemeende spiegelingen als bijzondere automorfismen werken. Een voor de hand liggende vraag is nu of Coxeter-Titscomplexen te classificeren zijn. Het antwoord is ja, maar enkel door de achterliggende algebraïsche structuur te bestuderen die deze veralgemeende spiegelingen voortbrengen. In deze thesis willen we gebouwen bestuderen als combinatorische structuur en zullen we de classificatie die op zich omvangrijk is dan ook als gegeven beschouwen. Wel zullen we in wat komt een kwalitatief beeld schetsen van hoe op een Coxeter-Titscomplex een groepstructuur wordt geplaatst en hoe omgekeerd een groep ook een complex bepaalt. Voor een volledige beschrijving verwijzen we naar de literatuur. (Bijvoorbeeld [2]) 3.1 Groepactie op een Coxeter-Titscomplex Definitie De groep voortgebracht door alle spiegelingen van een Coxeter-Titscomplex Σ noemen we de Weylgroep W (Σ). Definitie We definiëren een Coxetermatrix over een eindige verzameling I als een symmetrische matrix M met M = (m ij ) i,j I met m ij N { }, m ii = 1 i I en m ij 2 voor i j. Een Coxeterdiagram is een grafische weergave van de Coxetermatrix. Het is de multigraaf 1 zonder zelflussen met toppenverzameling I en m ij 2 bogen tussen verschillende i en j. Een niet-ledig samenhangend 2 Coxeterdiagram noemen we irreducibel. Een Coxetergroep W over I van type M is een groep gegenereerd door r i met i I en waarvoor geldt dat 1. (r i r j ) m ij = 1 voor m ij. 1 Dit wil zeggen dat er meerdere bogen tussen twee toppen mogelijk zijn. 2 In graaftheoretische zin. 26

35 2. m ij is de orde van r i r j, dus de kleinste m waarvoor (r i r j ) m = 1. We zullen deze definitie later uitwerken, maar het is alvast duidelijk dat deze spiegelingen veralgemeent. Om te beginnen is r i r i = r 2 i = 1. De generatoren zijn dus involuties. Stel dat op een genummerd complex de groep G werkt van typebehoudende automorfismen en transitief op de kamers. Gegeven een groep G kan omgekeerd ook het complex eenduidig worden bepaald. We verwijzen voor het algemeen geval naar [2], maar tonen hier de constructie voor een Coxetergroep W. We construeren eerst een fundamentele kamer C als volgt. Stel dat W = r i i I en neem als toppenverzameling van een fundamentele kamer {W i i I} met W i := r j j I \ {i}. Een top van type i wordt dus geïdentificeerd met de deelgroep van W gegenereerd door de spiegelingen die deze top invariant laten. De andere kamers zien we nu als verschuivingen groeptheoretisch gesproken: nevenklassen van de fundamentele kamer: een andere top is van de vorm ww i, met w W. Twee toppen zijn dan verbonden als ww i w W j. We kunnen dit ook op elegante wijze definiëren aan de hand van kamersystemen, wat mooi het verband tussen genummerde complexen en kamersystemen illustreert (zie paragraaf 1.3). We kiezen als kamers de elementen van W en noemen twee kamers i-aanliggend wanneer w w 1 = r i. De opbouw van simpliciale complexen lijkt eenvoudiger, maar vanuit het standpunt van Coxetergroepen zijn kamersystemen handiger. Een Coxeter-Titscomplex is een over I(Σ) genummerd complex. Stel dat we I(Σ) = n noemen 3. De Weylgroep wordt eindig gegenereerd door reflecties op één kamer C. Meer bepaald bewijzen we volgende stelling. Stelling De groep voortgebracht door de spiegelingen op een kamer C werkt transitief op de kamers van Σ. Bewijs. Noem W de groep voortgebracht door de spiegelingen op C. Neem een aanliggende kamer D. Zij ϕ de spiegeling die C op D afbeeldt. Neem nu een willekeurige spiegeling s vanuit D en noem r de spiegeling vanuit C die dezelfde types elementen fixeert als s doet. Dan is ϕ r ϕ 1 een spiegeling op D die hetzelfde doet als s. Wegens de uniciteit (stelling 2.2.9) moet s = ϕ r ϕ 1. De spiegelingen (s was willekeurig) op D worden dus gegenereerd door W. Aangezien Σ samenhangend is, bewijst dit de stelling. In het bijzonder blijkt nu dat de Weylgroep van een Coxeter-Titscomplex een Coxetergroep is. De groep wordt voortgebracht door de spiegelingen op één kamer (zie stelling 3.1.3) en de generatoren zijn dus involuties. In het algemeen moeten we nu nog de orde van r i r j bepalen. Neem hiertoe een simplex A Σ van type I(Σ) \ {i, j}. Dan is wegens stelling St(A) ook een Coxeter-Titscomplex, namelijk van rang 2. Dit is een veelhoek (zie voorbeeld 2.2.2) en het is eenvoudig in te zien dat dan m ij gelijk is aan de diameter van St(A). 3 Wanneer dit in wat volgt minder expliciet staat vermeld, verwijst n altijd hiernaar. 27

36 Aan een Coxeter-Titscomplex kunnen we dus een Coxeterdiagram hechten dat de grafische weergave is van de Weylgroep. Omgekeerd kan men ook volgende stelling bewijzen: Stelling Een Coxeter-Titscomplex is op isomorfisme na bepaald door haar diagram. Een bijzondere klasse van Coxeterdiagrammen zijn deze gehecht aan een eindige Coxetergroep. Definitie Een Coxeterdiagram is van sferisch (of eindig) type wanneer de bijhorende Coxetergroep eindig is. Nu kunnen de sferische irreducibele diagrammen geclassificeerd worden. Dit levert een lijst van mogelijke diagrammen en dus ook een classificatie van de Coxeter- Titscomplexen. Dit is op zich een diep resultaat. Coxeter-Titscomplexen worden immers ingevoerd zonder die te enten op een onderliggende algebraïsche structuur, maar het bestaan van spiegelingen induceert een sterke groep (de Weylgroep) die zich laat ontleden tot deze lijst van diagrammen. We verwijzen naar appendix B, figuur B Voorstelling van een Coxetergroep met spiegelingen In deze sectie zullen we inzichtelijk maken waarom Coxetergroepen als het ware spiegelingen veralgemenen. We zullen dit illustreren aan de hand van één basiskamer in een complex van rang 3, voorgesteld in het vlak. Het is algemeen bekend dat de samenstelling van twee spiegelingen in het vlak een rotatie is. Stel nu dat voor twee spiegelingen r en r geldt dat (rr ) m = 1, dan stelt rr een rotatie voor over 360. We bekijken enkele m voorbeelden. Stel dat m 12 = m 23 = m 13 = 3. Dan stelt r i r j een rotatie voor over 120. Het is eenvoudig in te zien (zie constructie figuur 3.1) dat de hoeken tussen de verbindingslijnen van de toppen 60 moeten zijn. We bekomen dus een gelijkzijdige driehoek in het Euclisch vlak. Stel nu dat m 12 = m 23 = 3 en m 13 = 4. Stel dat we de hoek met label a als â benoemen. Met een geheel analoge redenering, zien we dat ˆ1 = ˆ3 = 60 en ˆ2 = 45. Om dit als driehoek voor te stellen, moet de metriek aangepast worden. Dit is een driehoek over een hyperbolische ruimte. Voor bijvoorbeeld m 12 = m 23 = 3 en m 13 = 2 is ˆ1 = ˆ3 = 60 en ˆ2 = 90, zodat dit een driehoek is over een sferische ruimte. 28

37 Figuur 3.1: Illustratie bij het voorstellen van een Coxetergroep als spiegelingen in het vlak 29

38 Hoofdstuk 4 Gebouwen We zijn nu voldoende gewapend om gebouwen als structuur in te voeren. Een gebouw zal in het bijzonder een genummerd simpliciaal complex zijn (hoofdstuk 1) met Coxeter- Titscomplexen als deelstructuren (hoofdstuk 2). In secties 4.2 zullen we gebouwen op zich bespreken, met een bespreking van de appartementen in het sferisch geval in sectie 4.3. In sectie 4.4 bespreken we dan uitvoerig enkele voorbeelden. Ten slotte bespreken we gebouwen van het type A n. Eerst bekijken we hoe we aan een complex een bepaald type kunnen hechten. 4.1 Veralgemeende veelhoeken en complexen van type M Veralgemeende veelhoeken Veralgemeende veelhoeken zijn een klasse van genummerde complexen van rang twee die als het ware de incidentierelaties in verschillende vlakke meetkundes vastleggen. Een genummerd complex van rang twee kan evengoed gezien worden als bipartiete graaf. We zullen dan ook vaak gebruikmaken van grafentheoretische terminologie. We herinneren eraan dat een circuit (een gesloten, niet-reduceerbaar pad) in een bipartiete graaf altijd even lengte heeft. Stilzwijgend zullen we altijd aannemen dat we werken met eindige veralgemeende veelhoeken. Definitie Een veralgemeende m-hoek (2 m N) is een genummerd complex van rang 2 met volgende voorwaarden: 1. Elk niet-triviaal circuit is van lengte minstens 2m. 2. Elke twee bogen zijn bevat in een circuit van lengte 2m. Vooruitlopend op de zaken, drukt de eerste eis uit dat de meetkunde die eraan verbonden is niet ineenklapt tot iets eenvoudiger. Hoe leggen de veralgemeende veelhoeken nu de incidentie van een vlakke meetkunde vast? De toppen met nummer 1 noemen we bijvoorbeeld punten en die met label 2 30

39 rechten. Een punt en een rechte zijn incident wanneer ze verbonden zijn in de veralgemeende veelhoek. Bekijken we nu enkele waarden van m. Voor m = 2 hebben we de veralgemeende tweehoeken of digons. Men kan snel inzien dat uit de tweede voorwaarde van definitie volgt dat ieder punt met iedere rechte incident is. We krijgen dus een zich een aantal keer repeterende rechte. Voor m = 3 hebben we de veralgemeende driehoeken, die de incidentiestructuur geven van een projectief vlak. Voor m = 4 hebben we de veralgemeende vierhoeken, die een polaire ruimte van rang 2 bepalen. Men kan aantonen dat in het eindige geval m enkel de waarden m = 2, 3, 4, 6, 8 kan aannemen Complexen van type M We bekijken nu Coxeter-Titscomplexen en zullen deze bestempelen als van type M, met M een Coxeterdiagram. Zoals in hoofdstuk 3 gezegd, bepaalt een Coxeter-Titscomplex een Coxetergroep en dus een diagram. Omgekeerd volgt uit stelling dat een diagram M eenduidig een Coxeter-Titscomplex bepaalt. Definitie Zij M = (m ij ) i,j I een Coxeterdiagram over een verzameling I. Een over I genummerd Coxeter-Titscomplex noemen we van type M als het sterk samenhangend is en als voor alle i, j I geldt voor elke simplex A met cot(a) = {i, j}, St (A) een veralgemeende m ij -hoek is. Opmerking Wanneer we een adjacentierelatie op I definiëren als i j m ij 3, dan bekomen we net de standaardgraaf G, ingevoerd in paragraaf Gebouwen We volgen de aanpak van Tits (zie [5]) en definiëren een gebouw als volgt: Definitie Zij een complex en A een verzameling deelcomplexen van. Het tweetal (, A) noemen we een gebouw en de elementen van A appartementen als volgende vier punten gelden: B1 is een dik samenhangend complex. B2 De elementen van A zijn dunne genummerde complexen. B3 Elke twee elementen van behoren tot een gemeenschappelijk appartement. B4 Als twee appartementen Σ en Σ twee elementen A, A bevatten (dus A, A Σ Σ ), dan bestaat er een isomorfisme Σ Σ dat A, A en al hun aanzichten invariant laat. 31

40 De voorwaarde B4 maakt dat de appartementen onderling isomorf zijn. Merk op dat wegens B3 in het bijzonder elke twee kamers in een gemeenschappelijk appartement liggen. Eigenlijk moeten we spreken over het gebouw (, A) als tweetal, maar wanneer de appartementen duidelijk zijn door de context, spreken we ook over het gebouw. Er bestaan andere benaderingen (bijvoorbeeld [2] en [1]) die meteen eisen dat de appartementen Coxeter-Titscomplexen zijn. Deze eisen dan weer niet de dikheid van een gebouw, die wij nodig zullen hebben om aan te tonen dat de appartementen Coxeter- Titscomplexen zijn. B2 De elementen van A zijn Coxeter-Titscomplexen. In de praktijk is het niet meer nodig dit nog aan te tonen en wordt daar meteen vanuit gegaan. Maar wij zullen onderzoeken op welke wijze deze ogenschijnlijk zwakke eisen het bestaan van foldings garanderen, die de appartementen tot Coxeter-Titscomplexen maken. We hebben in hoofdstuk 2 reeds retracties ontmoet: een afbeelding die de samenstelling van een grotere structuur reflecteert in een kleinere. We zullen in een gebouw opnieuw een retractie nodig hebben, deze keer echter op een appartement in plaats van op een kamer. Zij Σ een appartement van een gebouw en C Σ een kamer. Voor een willekeurige simplex A bestaat er een appartement Σ dat C en A bevat (B3). Nu zal er wegens een uniek isomorfisme bestaan van Σ naar Σ dat alle aanzichten van C invariant laat. Het beeld van A onder dit morfisme zullen we noteren als ρ Σ,C (A). We bundelen enkele kleine eigenschappen in de volgende stelling. Stelling Voor ρ Σ,C gelden volgende eigenschappen: 1. ρ Σ,C is goed gedefinieerd. 2. ρ Σ,C : Σ is een idempotent en surjectief morfisme op Σ. 3. Voor een aanzicht B van C is ρ 1 Σ,C (B) = {B}. 4. ρ Σ,C behoudt de afstand ten opzichte van C: voor een tweede kamer D is dist(c, ρ Σ,C (D)) = dist(c, D). Bewijs. Voor de eerste bewering moeten we aantonen dat de definitie van ρ Σ,C onafhankelijk is van de keuze van Σ. Dit volgt echter meteen uit (B4): zij Σ een tweede appartement door C en A, dan vinden we onmiddellijk een isomorfisme α : Σ Σ dat alle aanzichten van C en A invariant laat. Dat ρ Σ,C uniek bepaald is, volgt uit stelling Inderdaad: stel dat er twee zijn, zegge ϕ 1 en ϕ 2. Dan moet wegens stelling gelden dat ϕ 1 ϕ 1 2 = id, strijdig. Dat ρ Σ,C idempotent en surjectief is, volgt onmiddellijk. Onderstel dat voor de derde bewering er nog een A in C bestaat (A B) in het invers beeld. Dan zou ρ Σ,C (A) = B, strijdig met de onderstelling dat ρ Σ,C alle aanzichten van C invariant laat. We tonen nu de laatste eigenschap aan. We zullen werken met inductie op de afstand tot C. Zij D een kamer van en C = (C = C 0, C 1,..., C m = D) een minimale galerij tussen C en D. De inductiebasis (m = 0 en dus C = D) is triviaal. 32

41 Stel nu dat ρ Σ,C afstand ten opzichte van C bewaart tot en met kamers op afstand m 1. Bekijken we nu ρ Σ,C (C). We weten per inductie dat dist(c, C m 1 ) = dist(c, ρ Σ,C (C m 1 )) = m 1. We mogen onderstellen dat we een galerij C van lengte m 1 kunnen vinden tussen C en ρ Σ,C (C m 1 ) die volledig binnen Σ ligt. Inderdaad, indien niet kunnen we op deze galerij ρ Σ,C toepassen. Nu kunnen we ρ 1 Σ,C toepassen op de galerij C ρ Σ,C (D). Aangezien dit ook een isomorfisme is, bekomen we aldus het gestelde. Definitie De afbeelding ρ Σ,C noemen we de retractie op Σ met centrum C. Stelling Zij Σ opnieuw een appartement en A Σ. Noem Γ (respectievelijk Γ Σ ) de verzameling van minimale galerijen in (Σ) tussen C 0 A en een kamer van (Σ). Dan is Γ Σ Γ. Bovendien geldt voor iedere galerij G Γ met haar laatste kamer in Σ dat G Γ Σ. Bewijs. We bewijzen eerst de tweede bewering. Zij C = (C 0,..., C m ) met C m Σ. Onderstel dat C / Γ Σ. Stel dat i de grootste index is waarvoor C i / Σ. Stel dat C de kamer van Σ is die C i C i+1 bevat, verschillend van C i+1. C bestaat en is uniek, wegens de dikheid van en dunheid van Σ. We bekijken nu ρ Σ,C. Deze retractie behoudt C i C i+1. Stel dat ρ Σ,C (C i ) = C. Dan bekomen we een strijdigheid met stelling 4.2.2, punt 4. Dus is ρ Σ,C (C i ) = C i+1 en de galerij ρ Σ,C (C) stottert. Maar de laatste kamer van de galerij ρ Σ,C (C) is net ook C m Σ, zodat we (na verwijdering van de kamer waar de galerij stottert) een kortere galerij vinden, strijdig met de aanname dat C Γ en dus al minimaal was. We bewijzen nu de eerste bewering. Zij C = (C 0,..., C m ) Γ Σ. Nu is elke galerij tussen A en C m (C m ligt in Σ) element van Γ Σ, dus er bestaat zeker geen kortere galerij tussen A C 0 en C m. Bijgevolg is C Γ. Gevolg Een deelverzameling van C(Σ) is convex in Σ als en slechts als ze convex is in. In het bijzonder is Σ convex (in ). Gevolg De afstand tussen twee kamers in Σ is hetzelfde als de afstand in. Bewijs. Zij C, D Σ de twee kamers. Het restringeren tot een deelstructuur (in casu appartement) vergroot (niet noodzakelijk strikt) de afstand, de minimale galerij(en) kunnen immers vervallen in de deelstructuur. Of dus: afstand bekijken over een grotere structuur vermindert (niet noodzakelijk strikt) de afstand. Anderzijds: het nemen van een retractie vermindert (niet noodzakelijk strikt) de afstand, een galerij in tussen C en D wordt immers naar Σ getrokken door de retractie ρ Σ,C, zoals inzichtelijk gemaakt wordt in de onderstaande afbeelding. 33

42 Formeel krijgen we dus: dist Σ (C, D) dist (C, D) = dist (ρ Σ,C (C), ρ Σ,C (D)) dist Σ (C, D), zodat alle ongelijkheden gelijkheden moeten zijn. Stelling Zij opnieuw A Σ, Γ en Γ Σ als in stelling en zij C Σ een kamer die A bevat. Dan beeldt ρ Σ,C elke galerij van Γ af op een galerij van Γ Σ. Bewijs. Zij C = (C, C 1,..., C m ) Γ. Zij Σ een appartement dat C en C m bevat. Stel α het unieke isomorfisme Σ Σ dat alle aanzichten van C invariant laat. α beeldt kortste galerijen af op kortste galerijen. Op Σ valt echter α samen met ρ Σ,C. Nu is wegens stelling G Γ Σ en dus ρ Σ,C (C) = α(c) Γ Σ. We bewijzen nu het belangrijkste resultaat van deze paragraaf. De retracties die we hebben ingevoerd geven namelijk het bestaan van voldoende foldings, waardoor de appartementen Coxeter-Titscomplexen vormen. Stelling Een appartement Σ van een gebouw is een Coxeter-Titscomplex. Bewijs. Stel dat C en C aanliggende kamers zijn in Σ, rond een paneel A. We moeten aantonen dat er overstaande foldings bestaan die de één op de andere afbeelden. We beschouwen opnieuw Γ Σ met betrekking tot A. Stel dat C een derde kamer is die A bevat. Deze bestaat wegens de dikheid van, maar ligt dus niet in Σ. Zij Σ een appartement dat C en C bevat. Stellen we nu ϕ := ρ Σ,C ρ Σ,C. Nu hebben we enerzijds ϕ(c) = ρ Σ,C (ρ Σ,C(C)) = ρ Σ,C (C) = C en anderzijds ϕ(c ) = ρ Σ,C (ρ Σ,C(C )) = ρ Σ,C (C ) = C. Op analoge wijze kunnen we een ϕ definiëren, die dan C op C zal afbeelden. Beide laten alle aanzichten van A invariant (per constructie). Beide zullen, wegens stellingen en 4.2.7, Γ Σ op zichzelf afbeelden. Nu is voldaan aan de voorwaarden voor stelling , zodat ϕ en ϕ overstaande foldings zijn. Dit bewijst de stelling. Zoals we in het bewijs van de vorige stelling hebben gezien, zijn de retracties in een appartement op zich niet voldoende, we moeten als het ware uitbreken uit het appartement naar een derde kamer door een paneel (en dus steunen op de dikheid) om een folding te vinden die wel degelijk binnen het appartement zelf werkt. Definitie We noemen een gebouw sferisch wanneer haar appartementen eindig zijn, wat meteen impliceert dat ook haar Coxetergroep eindig is. 34

43 4.3 Appartementen in sferische gebouwen In de definitie van gebouwen (zie 4.2.1) komt de verzameling A voor als deel van de definitie. In het oneindige geval is dat nodig. Beschouw immers als complex van rang 2 een oneindige boom, met overal minstens drie vertakkingen om de dikheid te garanderen. Dan zijn de appartementen oneindige paden, maar het is niet direct duidelijk hoe we deze eenduidig uit het complex kunnen halen. Er zijn in dit geval verschillende mogelijkheden en de verzameling A is expliciet nodig als deel van de definitie. In deze paragraaf zullen we aantonen dat in het sferisch geval het complex de appartementen A eenduidig bepaalt. Voor deze paragraaf onderstellen we altijd dat we werken met een sferisch gebouw, dit wordt verder niet vermeld. We beginnen met een definitie. Definitie Zij C 1 en C 2 twee kamers in een sferisch gebouw. De convexe sluiting van C 1 en C 2 is het kleinste convex deelcomplex dat C 1 en C 2 bevat. We noteren dit als S(C 1, C 2 ). Merk op dat deze definitie inderdaad enkel zin heeft in het sferisch geval. We definiëren nu overstaande kamers. Definitie Zij C 1, C 2 Σ twee kamers. We noemen C 1 overstaand aan C 2 als ze op maximale afstand liggen. Stel dat we deze twee kamers in een gemeenschappelijk appartement stoppen. Wegens gevolg is overstaand hetzelfde als overstaand in een appartement. We zullen nu bewijzen dat elk appartement als het ware wordt opgespannen door twee overstaande kamers, namelijk door de convexe sluiting van die twee te nemen. We tonen beide inclusies aan. Lemma Voor een gebouw (, A) en kamers C 1 en C 2, is S(C 1, C 2 ) Σ, met Σ een willekeurig appartement dat C 1 en C 2 bevat. Bewijs. Σ is in het bijzonder convex wegens gevolg Bijgevolg liggen alle galerijen die twee kamers van Σ verbinden volledig in Σ, in het bijzonder deze van S(C 1, C 2 ) die C 1 en C 2 verbinden. In het volgende lemma hebben we stelling nodig, die we hieronder nog eens in algemeenheid vermelden. Stelling. Stel dat C en C aanliggende kamers zijn en ϕ de folding waarvoor ϕ(c ) = C. Dan geldt voor een willekeurige kamer D dat { dist(c 1 als D ϕ( ), D) dist(c, D) = 1 als D / ϕ( ). Lemma Zij Σ een appartement en C 1 en C 2 twee overstaande kamers in Σ. Dan is Σ S(C 1, C 2 ). 35

44 Bewijs. Stel dat D 1 een kamer is van Σ, aanliggend aan C 1. Noemen we m := dist(c 1, C 2 ), die dus maximaal is aangezien C 1 en C 2 overstaand zijn. We zullen bewijzen dat D 1 in de convexe sluiting ligt. Zij ϕ de folding die D 1 op C 1 afbeeldt. Wegens bovenstaande stelling krijgen we dat dist(d 1, C 2 ) m = ±1 dist(d 1, C 2 ) = m 1, want m is al maximaal. Bijgevolg zien we dat elke aanliggende kamer aan C 1 (of C 2 ) in de convexe sluiting moet liggen. We zouden nu de redenering kunnen herhalen; we zullen namelijk bewijzen dat iedere kamer, adjacent aan één van twee overstaande kamers waarvan we al weten dat ze in de convexe sluiting liggen, zelf ook in de convexe sluiting ligt. We zullen hiertoe aantonen dat er voor de D 1 van daarnet een kamer D 2 bestaat overstaand hiermee en aanliggend aan C 2. Zo kunnen we telkens naar het volgende paar overstaande kamers kijken en de redenering waarmee we het bewijs begonnen zijn herhalen. Aangezien we werken in een sferisch gebouw, stopt dit proces en hebben we de stelling bewezen. Opnieuw wegens bovenstaande stelling weten we nu dat dist(d 1, C 2 ) m = 1 C 2 / ϕ( ). Stel nu D 2 := ϕ(c 2 ) ( C 2 ). Nu passen we opnieuw de stelling toe, nu op de aanliggende D 2 en C 2. We hebben dat dist(c 2, D 1 ) dist(d 2, D 1 ) = 1 (want D 1 / ϕ( )), waaruit volgt dat dist(d 1, D 2 ) = m, zodat deze inderdaad overstaand zijn. Dit bewijst de stelling. Hieruit volgt meteen ook dat de appartementen uniek zijn. We hebben het volgende bewezen: Stelling Het complex van een sferisch gebouw bepaalt eenduidig de appartementen. 4.4 Voorbeelden van gebouwen In deze sectie bespreken we enkele voorbeelden van gebouwen. We volgen hierbij eigenlijk de omgekeerde historische weg. Gebouwen werden immers ontdekt/geconstrueerd 1 als generalisatie van reeds gekende en bestudeerde meetkundige structuren, maar als we gebouwen op zichzelf als structuur invoeren, is het vaak verrassend ingewikkeld om aan te tonen dat die meetkundes net weer gebouwen zijn Incidentiemeetkundes De meetkundes die we bespreken zullen we benaderen als incidentiemeetkunde. In het algemeen (zie bijvoorbeeld [3]) definiëren we een incidentiemeetkunde als volgt. 1 Afhankelijk van uw filosofisch standpunt... 36

45 Definitie Een incidentiemeetkunde is een viertal (P, n, t, I) met P een verzameling van variëteiten of iets vager ook wel meetkundige objecten genaamd. n is de verzameling {1,..., n}. t is een surjectieve afbeelding P n die we de typeafbeelding noemen. I is de incidentierelatie tussen twee objecten van P. Bovendien eisen we dat a, b P : a I b t(a) t(b). Opmerking In [3] wordt n := {0,.., n 1} gekozen. Onze keuze wordt gemotiveerd door het natuurlijk nummeren van simpliciale complexen van 1 tot n. Vooruitlopend op de zaken zal een punt dan nummer 1 krijgen, een rechte nummer 2 enzoverder. In wat we zouden kunnen noemen een klassieke benadering van de meetkunde, leren we al vanaf de lagere school dat bijvoorbeeld een vlak bestaat uit punten. Er zijn bepaalde speciale verzamelingen van punten, bijvoorbeeld rechten. Iedere meetkundige structuur wordt dan ook bekeken als verzameling van punten. Incidentiemeetkunde levert een andere kijk. Er zijn verschillende meetkundige objecten, met elk hun type (denk aan rang of dimensie, echter opmerking indachtig). In het alledaagse gebruik noemen we objecten van type 1 al snel punten, objecten van type 2 rechten enzoverder. Tussen de objecten bekijken we hun onderlinge stand, hun incidentie. Een rechte is in deze benadering een object incident met een aantal punten, maar wordt niet noodzakelijk bekeken als verzameling van deze punten. Voor het vervolg vermelden we ook de notie van een vlag. Definitie Een vlag is een opeenvolging van objecten van alle types die onderling alle incident zijn. De rang van de vlag is het aantal objecten. Bijvoorbeeld punt I rechte I vlak vormt een vlag van rang 3. Opmerking Wanneer we het label van een top én het meetkundig object waarmee het overeenkomt in ogenschouw nemen, zullen we vanaf nu het label van een top in de top zelf zetten en de naam van het meetkundig object dat ermee correspondeert buiten de top Incidentiemeetkundes versus simpliciale complexen Gegeven een incidentiemeetkunde (P, n, t, I) kunnen we op natuurlijke wijze een over n genummerd complex definiëren. Als toppenverzameling nemen we P en twee toppen a en b verbinden we indien a I b. Wegens de laatste eis van definitie volgt onmiddellijk dat zich laat nummeren. Op geheel analoge wijze kunnen we uit een over n genummerd simpliciaal complex een incidentiemeetkunde definiëren. Wat nu voor bijzondere complexen, namelijk gebouwen? Zoals in de inleiding van deze thesis werd aangehaald, zijn historisch gezien gebouwen bestudeerd als veralgemening van gekende (incidentie)meetkundes. Nu we gebouwen als zuiver combinatorische structuur hebben ingevoerd, zijn er twee interessante richtingen. We hebben immers (zie hoofdstuk 3) een classificatie van de Coxeter-Titscomplexen, die de structuur van het gebouw vastleggen. We kunnen dus de incidentiemeetkundes bestuderen die met 37

46 deze gebouwen overeenkomen. We kunnen bijvoorbeeld aantonen dat gebouwen met Coxetertype A n altijd projectieve ruimten zijn, zie verder paragraaf 4.5. Voor de exeptionele types van gebouwen is het echter niet eenvoudig om een expliciete constructie te geven van een meetkunde die ermee overeenkomt. Hiervoor verwijzen we naar de cursus Capita Selecta in de Meetkunde door professor Van Maldeghem. In het algemeen is deze meetkunde ook niet eenduidig bepaald door het gebouw (bij type A n zoals gezegd wel). Omgekeerd is het zaak om aan te tonen dat bepaalde gekende incidentiemeetkundes wel degelijk overeenkomen met gebouwen van een bepaald type. Hieronder bespreken we enkele voorbeelden. Het zijn alle voorbeelden van sferische gebouwen, zodat we wegens paragraaf 4.3 de appartementen uit het complex kunnen construeren, namelijk als convexe sluiting van twee overstaande kamers. Dan moeten we wel nog controleren dat deze convexe sluitingen voldoen als appartementen. We zullen telkens de axioma s B1 tot en met B4 van definitie moeten nagaan Projectieve vlakken Een eerste bijzonder eenvoudig voorbeeld is dat van projectieve vlakken. We zullen projectieve vlakken benaderen op axiomatische wijze. We gebruiken hiervoor de definitie gegeven in de cursus Projectieve Meetkunde (zie [4]): Definitie Een projectief vlak is een incidentiestructuur (P, {1, 2}, t, I), waarbij we a P een punt noemen als t(a) = 1 en een rechte indien t(a) = 2, en met volgende axioma s: PV1 Twee verschillende punten zijn incident met juist één rechte. PV2 Twee verschillende rechten zijn incident met juist één punt. PV3 Er bestaan vier punten zo dat geen drie onderling incident zijn met dezelfde rechte. Hieruit kan men onder andere bewijzen dat iedere rechte minstens drie punten bevat, dat door ieder punt minstens drie rechten gaan en dat dit aantal bovendien gelijk is. Bekijk nu het simpliciaal complex bekomen uit de incidentiestructuur van het projectief vlak. Door de opmerking na definitie is zeker dik. is duidelijk ook samenhangend, wat B1 aantoont. is een simpliciaal complex van rang 2, de kamers komen in de meetkunde overeen met de vlaggen van rang 2. Om de appartementen te vinden, kijken we naar twee overstaande kamers (twee verschillende vlaggen met geen onderling incidente objecten) en vullen de incidenties aan. De appartementen van zijn zeshoeken. In de meetkunde komt dit overeen met de driehoek tussen drie punten (zie figuur 4.1), zodat projectieve vlakken inderdaad benoemd worden als de veralgemeende driehoeken. We vinden dus dunne simpliciale complexen als appartementen, wat B2 aantoont. Ook B3 is nu onmiddellijk. Voor B4 bekijken we nu de mogelijke niet-ledige doorsnedes van twee appartementen. Alle mogelijke configuraties staan in figuur B.2, waaruit meteen de gezochte isomorfismes spreken, hier met enkele pijlen gesuggereerd. Om deze mogelijke onderlinge standen te vinden, bekijken we systematisch de grootte van de doorsnede. Als de appartementen één top gemeen hebben is er uiteraard maar één mogelijkheid. Voor doorsnede van grootte twee zijn er twee mogelijkheden: ofwel 38

47 twee opeenvolgende toppen, ofwel twee overstaande toppen. Twee toppen op afstand twee bepalen immers de unieke tussenliggende top: als doorsnede van twee rechten of duaal rechte tussen twee punten. Analoog zullen voor doorsnijding van grootte drie en vier de toppen opeenvolgend moeten zijn. Een doorsnijding van grootte vijf kan niet voorkomen, omdat dan ook de zesde top gemeenschappelijk moet zijn, om dezelfde reden. Figuur 4.1: Appartement van een projectief vlak We merken nog op dat de appartementen Coxeter-Titscomplexen zijn van type A Projectieve drieruimten Om projectieve drieruimten te beschrijven zouden we analoog een incidentiemeetkunde kunnen construeren volgens de axioma s van Veblen-Young, zoals in de cursus Polaire Ruimten. Definitie Een projectieve ruimte van dimensie ten minste twee is een puntrechtemeetkunde (P, L) met volgende axioma s: VY1 Elke rechte heeft ten minste drie punten. VY2 Door elk paar verschillende punten gaat juist één rechte. VY3 Er bestaan drie punten die niet op één gemeenschappelijke rechte zijn gelegen. VY4 Het axioma van Pasch is voldaan: als voor vier punten a, b, c, d, waarbij er geen drie op een rechte liggen, de rechten ab en cd een snijpunt hebben, dan ook ac en bd. Echter: we hebben volgende gekende stelling voor ruimtes vanaf dimensie drie (dus met twee niet-snijdende rechten): Stelling (Veblen-Young). Wanneer er in een projectieve ruimte (P, L) twee nietsnijdende rechten bestaan, dan is deze structuur isomorf aan een projectieve ruimte van dimensie n 3, geconstrueerd uit een vectorruimte V over een lichaam L: (P, L) = P G(n, L). 39

48 We kunnen dan ook op natuurlijke wijze de incidentiestructuur bekijken van de punten, vlakken... Gevolg hiervan is onder andere ook de dikheid van het gebouw. We nemen nu een projectieve ruimte van dimensie 3. Anders dan in de inleiding over incidentiemeetkundes geschetst, kunnen we deze meetkunde wél op klassieke wijze bekijken. Zij het complex uit de incidendiestructuur. B1 is op nieuw onmiddellijk. We construeren nu de appartementen. Nemen we een vlag {a, ab, abc} 2 en een overstaande tweede vlag, zie figuur 4.2 a. Het vlak van deze tweede vlag snijdt abc in een rechte, die dan weer ab moet snijden in een punt. Door te herbenoemen, mogen we veronderstellen dat dit snijpunt net b is. Door analoog verder te werken, bekomen we de configuratie uit figuur 4.2 b, die we verder kunnen aanvullen en herschikken tot een tetraëder (figuur 4.2 c, cfr. driehoek bij het projectief vlak). (a) (b) (c) Figuur 4.2: Figuur bij de constructie van de appartementen van een projectieve drieruimte In figuur 4.3 geven we het appartement dat hiermee overeen komt, met voor de duidelijkheid incidentie punt I vlak in het rood. Dit complex is duidelijk dun, wat B2 aantoont. Ook B3 is duidelijk. Nu moeten we nog B4 aantonen. Stel dat de twee appartementen Σ 1 en Σ 2 een kamer C gemeen hebben. We construeren een isomorfisme dat C fixeert. Aangezien we wegens de stelling van Veblen-Young kunnen werken over een lichaam L, zullen we werken met matrices. Stel dat C wordt opgespannen door de punten (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) en (0, 0, 1, 0), dus C bestaat uit het punt (1, 0, 0, 0), de rechte met vergelijking x 3 = x 4 = 0 en het vlak met vergelijking x 4 = 0. We stellen een matrix A op die C fixeert. Om de gedachten te vestigen stellen we van nul verschillende elementen voor door een en laten we de matrixelementen van A die we voorlopig nog niet hebben bepaald blanco. We eisen dat 1 1 A 0 0 = k 0 0 A = Voorlopig zijn dit nog benamingen, nog niet vereenzelvigd met punten b of c. 40

49 Figuur 4.3: Appartement van een projectieve drieruimte Analoog moet de rechte door de eerste twee basispunten invariant worden gelaten, zodat a c A b 0 = l d 0 A = Zo verdergaand bekomen we uiteindelijk dat A een bovendriehoeksmatrix moet zijn. Nu nemen we een willekeurige kamer D overstaand aan C. Als punt nemen we een punt niet in het vlak met vergelijking x 4 = 0, zegge (a, b, c, 1). De rechte van D zal dit vlak wel moeten snijden, echter niet in de rechte van de kamer C, dus als tweede basispunt kunnen we (d, e, 1, 0) nemen. Het vlak van D zal nu de rechte van C moeten snijden, echter in een punt verschillend van (1, 0, 0, 0), zodat we als derde basispunt (f, 1, 0, 0) kunnen kiezen. Nu kiezen we een bijzondere kamer D van deze vorm, namelijk deze waarvoor a = b = c = d = e = f = 0. We kunnen narekenen dat de transformatie α, bepaald door de volgende matrix A, deze bijzondere D afbeeldt op een algemene overstaande kamer D: 1 f d a A = 0 1 e b c Nu weten we dat de appartementen worden bepaald door twee aan C overstaande 41

50 kamers C 1 en C 2, zodat α 2 α 1 1, met de α i zoals hierboven, C 1 op C 2 afbeeldt en C fixeert, door eerst C 1 op D te sturen en vervolgens D op C 2. Stel nu dat de appartementen geen kamer gemeen hebben. Dan kunnen we hun doorsnede echter nog steeds in een kamer C / Σ 1, Σ 2 leggen en dezelfde procedure herhalen. Zo n C bestaat sowieso wegens de dikheid van het gebouw. Wanneer we in figuur 4.3 een top van type 2 bedekken, zien we veralgemeende digons, voor toppen van type 1 en 3 zien we veralgemeende driehoeken. Dit gebouw is dus duidelijk van type A Algemene projectieve ruimten Zonder dit te doen, schetsen we hoe de redenering uit vorige paragraaf veralgemeend kan worden. Hernemen we even de constructie van het appartement. We benoemen de punten van de tetraëder met a 1,..., a 4. Dan is de toppenverzameling van het appartement eigenlijk P ({a 1,..., a 4 }) en twee toppen t 1 en t 2 zijn aanliggend als t 1 t 2 of t 2 t 1. Voor algemene projectieve ruimten van dimensie n kunnen we een analoge constructie maken op P ({a 1,..., a n+1 }). Het aantal elementen van de deelverzameling is dan meteen het type van de top. De methode die we hoger hebben gebruikt om B4 aan te tonen kan duidelijk veralgemeend worden naar algemene dimensie. We kunnen inzien dat we voor type m en m + 1 een veralgemeende driehoek bekomen en een veralgemeende digon voor types die meer dan één van elkaar verschillen. Zo zien we in dat projectieve ruimtes van dimensie n van type A n zijn Polaire ruimtes van rang 2 We zullen voor polaire ruimten de karakterisering van Buekenhout-Shult gebruiken, zoals in de cursus Polaire Ruimten (zie [6]). Definitie Een polaire ruimte is een punt-rechtemeetkunde met volgende axioma s: BS1 Elke rechte is incident met ten minste drie punten. BS2 Geen enkel punt is collineair met elk ander punt. BS3 Elke geneste familie van singuliere deelruimten is eindig. BS4 Voor elk punt p en elke rechte L niet incident met p geldt dat ofwel juist één punt ofwel alle punten incident met L collineair is/zijn met p. Hierbij is een deelruimte een ruimte X waarvoor geldt dat als twee punten in X liggen, elke rechte door die twee ook in X ligt. Een singuliere deelruimte is een deelruimte waarin elke twee punten collineair zijn. De rang van de polaire ruimte is de maximale lengte van een familie geneste deelruimtes. 42

51 We hebben onder andere bewezen dat een rechte tussen twee punten uniek is en dat de singuliere deelruimten projectieve ruimten vormen, met als maximale dimensie de rang van de polaire ruimte min één. Naar BS4 wordt ook wel gerefereerd als het één-ofalle -axioma. We beschouwen nu een polaire ruimte van rang 2. We zullen bewijzen dat in dit geval BS4 het één -axioma wordt. Stelling Zij P een polaire ruimte van rang 2. Zij p een punt en L een rechte. Dan is er een uniek punt op L collineair met p. Bewijs. Onderstel het tegendeel, namelijk dat p collineair is met alle punten van L. We beschouwen de deelverzameling X gevormd door deze rechten en alle punten incident ermee (zie tekening). Dit is duidelijk een deelruimte. Zij nu a en b X, dus op een rechte door p en een punt van L. Zij a en b de respectieve snijpunten met L. Dan is b collineair met p en a, en dus wegens BS4 ook met a. Op haar beurt is a collineair met p en b, en dus ook met b. X is dus een singuliere deelruimte en moet dus minstens een projectief vlak vormen, strijdig met de rang van P. We construeren nu de appartementen. Neem twee vlaggen a I A en b I B, die twee overstaande kamers bepalen, zie figuur 4.4. Wegens voorgaande stelling kunnen we spreken van de unieke projectie van een punt op een rechte. Bovendien zal de projectie van a op B verschillend zijn van b, anders zouden deze vlaggen geen overstaande kamers bepalen. We bepalen alle incidenties, zoals aangevuld in figuur 4.4 en bekomen uiteindelijk een veralgemeende vierhoek. De axioma s van gebouwen zijn onmiddellijk, met B4 uit een analoge bespreking als bij projectieve vlakken. 43

52 Figuur 4.4: Appartement van een Polaire 2-ruimte 4.5 Gebouwen van type A n In deze paragraaf zullen we aantonen dat gebouwen van type A n projectieve meetkundes zijn. Beschouw een incidentiemeetkunde bekomen uit een gebouw van type A n. Toppen van type 1 noemen we meteen punten, toppen van type 2 rechten. Stelling De incidentiemeetkunde bekomen uit een gebouw van type A n is die van een projectieve ruimte van dimensie n. Bewijs. We zullen inductief te werk gaan. Het kleinste geval dat we nodig hebben is dat wanneer rang 2 heeft. We zullen aantonen dat de incidentiemeetkunde die we aldus bekomen een projectief vlak is. We gaan de axioma s van definitie na. Elke twee punten en elke twee rechten liggen in een gemeenschappelijk appartement, zeshoeken in dit geval, waaruit meteen PV1 en PV2 volgen. We tonen PV3 aan. Neem een punt p en drie rechten A, B en C incident ermee. Deze bestaan zeker wegens de dikheid van. Neem telkens een punt (verschillend van p) op deze rechten, zegge a I A enzoverder. Noem ab de rechte incident met a en b. Opnieuw wegens dikheid kunnen we c I C zo kiezen dat c niet incident is met ab, zie ook figuur 4.5. Dit toont het gezochte aan. Figuur 4.5: Illustratie bij het bewijs van PV3 Zij nu algemeen van rang n 3. We tonen de axioma s van Veblen-Young aan (zie definitie 4.4.6). VY1 is onmiddellijk wegens dikheid. De appartementen zijn convex, 44

53 dus moeten alle rechten door twee punten in elk appartement gelegen zijn dat deze twee bevat. Aangezien van type A n is, is in zo een appartement de ster van een element van cotype {1, 2} een veralgemeende driehoek, zodat er juist één rechte door deze twee punten gaat, wat VY2 aantoont. VY3 is opnieuw onmiddellijk. We tonen nu nog de stelling van Pasch aan. We nemen twee in p snijdende rechten: L I p I M. Deze twee (bekeken als simplices {p, L} en {p, M}) liggen in een gemeenschappelijk appartement. Bekijk hierin St(A) met A een simplex van cotype {2, 3}. Dit is een veralgemeende driehoek, zodat de twee rechten in een element van type 3 liggen (dat we een vlak noemen). Bekijk nu in dit vlak twee andere rechten. Deze kunnen opnieuw in een gemeenschappelijk appartement worden gestopt, waarin deze twee rechten opnieuw zullen snijden. Dit toont de stelling van Pasch aan. Tot slot tonen we ook de dimensie aan. Neem een A met cot(a) = {n 1, n}. We weten dat St (A) een veralgemeende driehoek is. Bijgevolg moeten inderdaad elke twee maximale deelruimtes snijden in een submaximale. Deze submaximale deelruimtes zijn per inductie projectieve ruimtes van dimensie n 1, wat de stelling volledig bewijst. Opmerking In het algemeen is het niet zo dat het type van een gebouw eenduidig de meetkunde bepaalt. 45

54 Appendix A: Summary in English In this thesis we introduce and study building theory in a combinatorial approach. But what do we mean by that? The origin of building theory - historically speaking - illustrates nicely how mathematics as a science work. Let s make an analogy with group theory. There are a few operations that satisfy certain properties, for example the composition of symmetries or the addition or multiplication in a few number structures. Mathematics abstract these findings by taking these properties as a definition, by defining a group. It is studied then in which way (under certain conditions) we can find hitherto unknown groups that emerge because we abstracted this concept. We observed a similar process in incidence geometry. In essence, an incidence geometry describes the position of qualitatively different objects, relative to each other. We have for example a point incident to a plane, etc. It appeared now that a number of known geometries satisfied certain incidence relation, namely those of which would ultimately be known as buildings. That is what we mean by a combinatorial approach to building theory: now we will start from this combinatorial structure, a graph, defined in such a way that it will ultimately have to code the incidence relations between geometric objects. There are, however, two significant differences with our group theory analogy. First of all, a group is a far too general concept to prove classification theorems without any further assumptions. Buildings on the other hand, have been classified, so we actually have a list of which incidence geometries we may have added by expanding and abstracting the properties of these know geometries. Secondly, it will be surprisingly non-trivial to show that these known geometries (e.g. polar and projective spaces) of which we expanded their properties in the first place, are buildings. In the first chapter we introduced the combinatorial structure that will form the basis of the building: a simplicial complex. This is essentially a graph that will ultimately give the incidence relations between geometric objects. To be able to assign a type to the vertices of this graph, we will try and number it. Simplicial complexes will be studied thoroughly in the first section. We will define a maximal set of mutual adjacent vertices, a chamber. Then we will connect these chambers by they intersection in a submaximal structure (a panel). A second approach is that of chamber systems. Here we start from a set of chambers and a certain equivalence relation on these. Numbered simplicial complexes are an instance of chamber systems. In the third section we will then show that the two approaches satisfy an inverse equivalence. In the second chapter, we concentrated on the thin complexes. We studied foldings on these complexes in detail. These are special endomorphisms that fold the complex in half. If a thin complex has enough of these foldings, it is called a Coxeter-Tits complex, which are studied in the second section. 46

55 It turns out that Coxeter-Tits complexes can be classified. The classification itself is done by studying the underlying algebra of the foldings. This falls beyond the scope of this thesis and we will accept it as a known result. Now we have Coxeter-Tits complexes of a certain type. In chapter three we discuss how a group is attached to a complex and on the other hand how a complex can be constructed from a group. In chapter four we finally discuss buildings. These are introduced as a simplicial complex with specific substructures: the apartments, which have to satisfy a few conditions. Our first task was to prove that the apartments are in fact Coxeter-Tits complexes. Imposing enough combinatorial demands on the complex and the apartments forced the building into the existence of enough foldings. As a consequence of the classification, we now also have buildings of a certain type. Then we proved that in the spherical case, the apartments are in fact determined by the complex itself. After that we discussed the link between buildings and incidence geometries. We gave a few examples of buildings, by known geometries, of which it is - as said before - not trivial to prove they indeed are buildings. In general it is not true that a building determines the geometry, but in the last section we proved this is the case for buildings of type A n, which give projective geometries of dimension n. For n 3 this last result leads to an interesting insight regarding the combinatorial approach of building theory. We know we can consider a vector space over a skew-field, from which we can construct a projective space (by taking, in essence, coordinates over this skew-field). In this projective space, we can consider the incidence relations between the objects. This is the old, well-studied, natural way. But conversely, we can start form combinatorics, by taking a building of this type and then show we have the incidence relations of a projective space. From the Veblen-Young theorem, we know this corresponds to the structure of an underlying skew-field. And so we see how algebra, geometry and combinatorics can be connected in both directions. 47

56 Appendix B: Extra figuren A n (n = 1, 2,...) C n (n = 2, 3,...) D n (n = 4, 5,...) E 6 E 7 E 8 F 4 G 2 (m) H 3 H 4 Figuur B.1: Verschillende types sferische Coxeterdiagrammen 48