Analyse van een server farm met server-opstarttijden

Transcriptie

1 Josefien Verschuure Analyse van een server farm met server-opstarttijden Bachelor scriptie Scriptiebegeleidster: Dr. F.M. Spieksma Inleverdatum: Mathematisch instituut, Universiteit Leiden

2 Inhoudsopgave Inleiding 3 Basisbegrippen en stellingen 3 3 Het M/M/k/setup model 6 3. Voorbeeld van M/M/k/setup model met eindige buffer M/M/k/setup model met oneindige buffer Voorbeeld van M/M/k/setup model met oneindige buffer Verschillen tussen het model met eindige en oneindige buffer Analyse van de γ s Vervolgonderzoek

3 Inleiding Een belangrijk probleem voor een bedrijf als amazon.com is het optimale beheer van de servers. Recent is gebleken dat de energiekosten van servers die aanstaan, maar niet gebruikt worden, een substantieel deel van de totale kosten zijn. Er kan geld worden bespaard door het uitzetten van servers. Omdat het aanzetten van een server tijd kost, zorgt het uitzetten van servers voor een nieuw probleem: klanten moeten dan wachten totdat een server weer aanstaat. Dit zorgt voor ontevredenheid bij de klanten. Het doel is om een goede afweging te maken tussen energie besparen door het uitzetten van servers en voorkomen van klantenontevredenheid. De vraag is: wat is optimaal? We beschouwen in deze scriptie een server farm met k servers. Een server kan aan, uit of in stand-by staan. We analyseren het geval dat servers aan- of uitstaan. Verder nemen we aan dat elke server die gebruikt wordt, aan één klant is toegewezen, en dat elke klant precies één server gebruikt. Dit wordt een k-server setup model genoemd. Een eerste stap in de analyse is het opstellen van een wiskundig model, waarmee voor een vaste uitzetstrategie geanalyseerd kan worden wat de wachttijd van klanten voor een server is, wat de fractie van de tijd is dat de servers onbenut zijn, e.d. We kiezen voor een model waarbij servers bij vrijkomst worden uitgezet, als er geen klanten in de wachtrij staan. Het doel is om de stationaire verdeling te bepalen. Daarmee kan bijvoorbeeld berekend worden wat de fractie van de tijd is dat alle servers gebruikt worden of wat de fractie van de tijd is, dat er klanten wachten totdat er een server aanstaat. Dit is van belang voor het bepalen van een toereikend aantal servers. Om de stationare verdeling te bepalen, maken we gebruik van de zogenaamde CAP-methode. Deze methode is gebasseerd op []. De bewijzen in dit artikel zijn enigszins onduidelijk, daarom kiezen we voor een iets andere aanpak die mede gebaseerd is op []. Basisbegrippen en stellingen In dit eerste hoofdstuk willen we verschillende dingen definiëren die we in de rest van deze scriptie gebruiken. Laat S een aftelbare toestandsruimte zijn en X X(t) t R 0 het bijbehorende Markovproces in continue tijd met q-matrix Q. We maken de volgende aanname. Aanname. X (X t ) t 0 is irreducibel en positief recurrent. Laat q i : q ii. Daarnaast beschouwen we P, de matrix van het ingebedde sprongproces met elementen p ij : { qij, q i j i 0, i j i, j S, de sprongkans van i naar j. Verder volgt uit Aanname dat de stationaire verdeling (π i ) i S bestaat. Er geldt dan voor alle i S (πq) i 0. () Om het overzichtelijk te houden, definiëren we ρ i : q i π i. Laat A S niet-leeg zijn. De taboematrix geassocieerd met taboeverzameling A wordt gegeven door { 0 j A AP ij p ij j / A. 3

4 Allereerst zullen we een lemma afleiden, dat de kern is van onze analyse. Daarvoor hebben we enige begrippen nodig. Merk op dat A Pij n de kans is dat het proces na de nde sprong in j komt, bij start in i, zonder A te passeren. Voor de tijdsduur Tj A die het proces in toestand j / A doorbrengt, geldt T A j Dan volgt uit [6, proposition 4..] dat voor E a [T A j ] geldt 0 j (X t ) {Xs / A,s t}dt. () E a [T A j ] q j APaj, n (3) n0 waarbij E a [Tj A ] de verwachte tijd is die een Markovketen in toestand j doorbrengt, bij start in a, voor terugkeer naar A. Lemma. Voor A S, A en j S\A geldt π j a A π a q a E a [T A j ]. Bewijs Het bewijs van dit Lemma bestaat uit twee delen. Deel We gaan Lemma eerst bewijzen voor het geval A {a}, met a S willekeurig gekozen. We gebruiken hiervoor vernieuwingstheorie, zie [5]. Zij T i het tijdstip dat het proces voor de i e keer in toestand a komt. Omdat we een continu Markovproces beschouwen, geldt dat de deelprocessen (T, T ], (T, T 3 ],... onafhankelijk zijn van elkaar. Daarnaast geldt dat deze deelprocessen dezelfde verdeling hebben, omdat we steeds de tijd beschouwen tussen twee bezoeken aan a. We merken op dat dit proces precies een uitgesteld regeneratief proces is. Uit Aanname weten we dat het proces wat we beschouwen positief recurrent is, daaruit volgt dat E[T T ] <. Definieer verder {, X(t) j f j (X(t)) 0, X(t) j voor alle j S. Uit Stelling.9 van [5] volgt nu voor alle j S dat [ t ] E lim t t E f j (X(s))ds 0 Merk op dat dit precies π j is. Er geldt dus π a [ ] T E T f a (X(s))ds E [T T ] [ T ] T f j (X(s))ds. E [T T ] q a E[T T ]. (4) De laatste gelijkheid volgt omdat het proces in (T T ] precies keer in a is en daar gemiddeld een tijd q a blijft. Vgl. 4 omschrijven geeft π a q a E[T T ]. (5) 4

5 Nu volgt voor alle j S, j a π j [ ] T E T f j (X(s))ds E a [Tj A ]π a q a. E [T T ] De laatste gelijkheid volgt na gebruik van Vgl. () en Vgl. (5). Dit bewijst Lemma voor het geval A {a}. Deel We beschouwen nu het algemene geval met A S willekeurig. Het Markovproces X(t) is het equivalente Markovproces waarin we alle toestanden in A samentrekken tot één toestand ã. S {ã} S \ A en Q heeft elementen q ij, i, j S \ A a A q ij π aq aj, i ã, j S \ A a A π a a A q ia, i S \ A, j ã. Door invullen in de balansvergelijkingen volgt direct dat de stationaire kans op j ã gelijk is aan π j en de stationaire kans op ã is a A π a. Uit deel van het bewijs volgt nu dat voor alle j S \ A geldt π j πãqãeã[t A j ]. Dit kunnen we als volgt omschrijven π j πãqã APaj ñ q j n0 q j πãqã q j πãqã q j πã q j q j a A pãia Pij n n0 i S\A n0 i S\A n0 i S\A π a a A n0 i S\A n0 i S\A a A π a n0 i S\A π a q a a A π a q a a A n0 i S\A n0 qãi APij n qã qãia P n ij a A π aq ai a A π a A P n ij π a q aia P n ij q ai q aa Pij n q j q a q j AP n aj 5 p aia Pij n q j

6 a A π a q a E a [T A j ] Voor j / A schrijven we q ja a A q ja. Zij A S, A. Zij k het aantal elementen in S \ A. Laat B de k + k + matrix met de volgende elementen, i j 0 b i,j q ia, i 0, j 0 (6) q i,j, i, j 0. Stelling. B is inverteerbaar en voor i, j S \ A geldt b i,j E i[t A j ]. Zie voor het bewijs van deze stelling het bewijs van Lemma. in [4]. Als we het resultaat van Stelling invullen in Lemma, dan verkrijgen we onmiddelijk het volgende. Gevolg. π j a A π a r / A q ar ( B rj ). 3 Het M/M/k/setup model In deze paragraaf zullen we een wiskundig model voor het k-server model opstellen. Dit model is gebaseerd op [3]. Klanten komen aan volgens een Poisson(λ)-proces. Hun opdrachten worden verwerkt in een exp(µ)-verdeelde tijd. Er zijn k servers. Bij aankomst wordt een opdracht in de wachtrij gezet. Als er een uitstaande server is, dan wordt deze opgestart. Dit opstarten duurt een exp(α)-verdeelde tijd. Als een server vrijkomt, wordt hij toegekend aan de eerste opdracht in de wachtrij, als deze niet leeg is. Als daardoor het aantal servers in opstartfase groter wordt dan de wachtrijlengte, wordt ook één van de servers in opstartfase uitgezet. Dit verschil kan hoogstens worden, omdat de kans dat twee servers tegelijk klaar zijn, gelijk is aan 0 bij een continue verdeling. Als de wachtrij leeg is, bij vertrek van een klant, gaat de vrijgekomen server uit. Met dit proces kunnen we een twee-dimensionaal Markovproces associëren, met de volgende toestandsruimte S {(m, j) : m 0, j m}. Hierbij is m het aantal servers dat bezig is met een opdracht, en j is het aantal klanten in het systeem. We noemen m de fase en j het niveau van het systeem. Het aantal opstartende servers is gelijk aan min {j m, k m}, omdat er nooit meer servers aan het opstarten zijn, dan er opdrachten in de wachtrij staan. Verder kunnen er nooit meer servers opstarten dan er servers zijn. Met deze toestandsbeschrijving ligt de toestand van het systeem vast. De bijbehorende intensiteitsmatrix Q heeft de volgende elementen q (m,j),(x,y) Figuur is een illustratie van dit Markovproces. λ, x m, y j + xµ, x m, y j m j, x y j (j m)α, x m +, y j, j < k (k m)α, x m +, y j, j k a,b q (m,j),(a,b), x m, y j. 6

7 0,0 0, 0, λ λ λ λ λ λ λ 0,k 0,k+ 0,k+ µ, α α kα kα kα µ,, λ λ λ λ λ λ,k,k+,k+ µ µ µ µ µ µ α 3µ λ λ λ λ λ,k,k+,k+ µ µ µ µ µ..... kµ (k )α (k )α (k )α (k )α (k )α (k )α α α α λ λ λ k,k k,k+ k,k+ kµ kµ kµ. Figuur : Markovketen behorend bij het M/M/k/setup model We willen het beschreven model analyseren met behulp van de CAP-methode, gebaseerd op []. Laat X een Markovproces zijn op een -dimensionale toestandsruimte S. S heeft een partitie (R, N). Binnen elk niveau van R gedraagt het proces zich als een geboorte-sterfte proces met een vaste verdwijn-ratio naar het volgende niveau. R wordt daarom de repeating portion genoemd. R en N hebben de volgende eigenschappen: N <. j 0, M N zodanig dat R {(m, j) 0 m M, j j 0 }. Zij (x, y) N en (k, l) R. Als l j 0 geldt q (x,y),(l,m) 0 en q (l,m),(x,y) 0. Voor (m, j), (x, y) R geldt λ m, x m, y j + q (m,j),(x,y) µ m, x m, y j α m, x m +, y j. Om de stationaire verdeling π te bepalen, maakt de CAP-methode gebruik van slim gekozen taboesets A. We zien dat de Markovketen die bij het M/M/k/setup model hoort, voldoet aan de eisen. In Figuur zijn R en N aangegeven. Verder merken we op dat geldt M j 0 k. We kunnen de CAP-methode dus gebruiken. Deze methode is samengevat in Algoritme. Algoritme.. Voor alle x N geldt π x i N {(m,k) 0 m k} q i,x π i q x 7

8 0,0 0, 0, λ λ λ λ λ λ λ 0,k 0,k+ 0,k+ µ, α α kα kα kα µ,, λ λ λ λ λ λ,k,k+,k+ µ µ µ µ µ µ α 3µ λ λ λ λ λ,k,k+,k+ µ µ µ µ µ..... kµ (k )α (k )α (k )α (k )α (k )α (k )α α α α λ λ λ k,k k,k+ k,k+ kµ kµ kµ. Figuur : Markovketen behorend bij het M/M/k/setup model, verdeeld in R en N.. Voor j > k : Druk π (0,j) uit in π (0,k ). 3. Voor s tot s k doe: (a) A s S \ {(s, j) j k}. (b) Bepaal B s, behorend bij A s met behulp van Vgl. ( 6). (c) Bereken de inverse B s. (d) Druk π(s, j) voor j k uit in π(a, s), a {0,, k } met behulp van Gevolg. 4. Voeg de vergelijking (i,j) S π (i,j) toe en los het stelsel op. De eerste stap van het algoritme volgt door het kiezen van A S \ {x} en het toepassen van Lemma. 3. Voorbeeld van M/M/k/setup model met eindige buffer We willen Algoritme illustreren aan de hand van een voorbeeld met een eindige buffer. We beschouwen het M/M/k//4 model zoals in Figuur 3. Dit wil zeggen, een model zoals hiervoor beschreven, met servers en maximaal 4 klanten in de wachtrij. Verder zijn de parameters λ, α en µ. Als er een 5 e klant arriveert, wordt deze geweigerd. We zullen de stationaire verdeling bepalen met behulp van Algoritme.. We willen Lemma toepassen om π (0,0) uit te drukken in π (0,) of π (,). Merk op dat we om Lemma toe te kunnen passen, elke A kunnen kiezen, behalve A S of A. Als we A S \ {(0, 0)} nemen, volgt uit Lemma dat we dat ook kunnen schrijven als π (0,0) a A π a q a E a [T A (0,0) ] π (,)q (,) E (,) [T A (0,0) ] π (,) 3 3 π (,). We hebben E (,) [T(0,0) A ] bepaald met behulp van Vgl. (3). Merk op dat we op eenzelfde manier π (0,) uit kunnen drukken in termen van π (0,0) en met 8

9 behulp daarvan, kunnen we zowel π (0,0) als π (,) uitdrukken in π (0,). Beschouwen we nu A S \ {(0, )}. Nu volgt met Lemma π (0,) a A Beide resultaten samenvoegen geeft π a q a E a [T A (0,) ] π (0,0)q (0,0) E (0,0) [T A (0,) ] π (0,0) π (0,0). π (0,0) π (0,) π (,) π (0,).. Om deze stap goed uit te voeren, beschouwen we A S \ {(0, ), (0, 3), (0, 4)}. We merken meteen op dat we S \ A alleen via (0, ) kunnen bereiken. Voor alle andere toestanden a A moeten we gelijk via A en dat resulteert in E a [Tj A ] 0. Als we Lemma toepassen, volgt π (0,) π (0,) q (0,) E (0,) [T A (0,) ] π (0,) 3 3 π (0,). Merk op dat we vanuit toestand (0, ) met kans 3 naar toestand (0, 3) gaan. Hierna moeten we eerst weer via A gaan om terug te komen in toestand (0, ). Hieruit kunnen we eenvoudig concluderen dat π (0,3) 3 π (0,) 9 π (0,). Omdat we gemiddeld een tijdsduur in toestand (0, 4) zijn, voor we naar A terugkeren volgt op een soortgelijke manier 3. Rij : π (0,4) π (0,3) 8 π (0,). (a) A S \ {(, ), (, 3), (, 4)} (b) B (c) B (d) In deze stap willen we π (,), π (,3) en π (,4) uitdrukken in termen van π (0,) en π (,). Merk op dat we S \A alleen vanuit A kunnen bereiken via π (,), π (0,), π (0,3) en π (0,4). Dit geeft ons de volgende vergelijkingen 4 π (,) π (,) q (,) E (,) [T A (,) ] + π (0,i) q (0,i) E (0,i) [T A (,) ] i π (,) 3 3 E (,)[T A (,) ] + 3 π (0,) 3 3 E (,)[T A (,) ] + 9 π (0,) 3 3 E (,3)[T A, ] + 8 E (,4)[T A (,) ] 9

10 Rij : 5 7 π (,) π (0,) + 5 π (0,) + 53 π (0,) 5 7 π (,) π (0,). Merk op dat de een-na-laatste stap volgt na het invullen van de waarden uit B. Op eenzelfde manier volgt π (,3) 3 34 π (,) π (0,) en π (,4) 34 π (,) π (0,). (a) A S \ {(, ), (, 3), (, 4)} (b) B (c) B (d) In deze stap willen we π (,), π (,3) en π (,4) uitdrukken in π (0,) en π (,). Merk op dat we S \ A alleen kunnen bereiken via π (,), π (,3) en π (,4). Daaruit volgt π (,) 4 i π (i,) q (i,) E (i,) [T A (,) ] 4 4 E (,)[T A (,) ]π (,) E (,3)[T A (,) ]π (,3) E (,4)[T A (,) ]π (,4) 4 π (,) + 4 π (,3) + 4 π (,4) 5 68 π (,) π (0,) π (,) π (0,) + 36 π (,) π (0,) 7 68 π (,) π (0,). Op eenzelfde manier volgt en 4. Er moet gelden π (,3) 5 7 π (,) π (0,) π (,4) π (,) π (0,). π (,) + π (,) + π (0,) + 3 π (0,) + 9 π (0,) + 8 π (0,) π (,) π (0,) π (,) π (0,) + 34 π (,) π (0,) π (,) π (0,) π (,) 0

11 0,0 0, 0, 0,3 0,4,,,3,4 4,,3 4 4,4 Figuur 3: Markovketen behorend bij het M/M//setup/4-model. 34. % 7.% 5.7%.9% 0.9% 7.% 4 9.3% 0.9%.% 3.9%.6% 4 4.% Figuur 4: Stationaire verdeling behorend bij voorbeeld π (0,) π (,) π (0,). Samen met het gegeven dat π (0,) π (,) volgt π (0,) π (,) In Figuur 4 is de stationaire verdeling ingevuld. 3. M/M/k/setup model met oneindige buffer In deze paragraaf laten we een oneindige buffer toe. Dat wil zeggen dat het niet uitmaakt hoeveel klanten er al wachten, we laten een nieuwe klant altijd toe. De structuur van de stationaire verdeling in geval van een oneindige buffer is veel systematischer, dan in het geval dat we een eindige buffer hebben. In deze paragraaf implementeren we stap en 3 uit Algoritme. Daarmee leiden we een formule af voor de stationaire verdeling. Net als in het voorbeeld met een eindige buffer, beschouwen we A 0 S \ {(0, k + x) x N} apart. Dit omdat de overgangsstructuur anders is, dan bij s > 0. We kunnen voor alle j > k vanuit toestand (m, j) niet naar toestand (m, j ). We kunnen met behulp van Lemma, π (0,k+x) uitdrukken in π (0,k ) en wel als volgt: π (0,k+x) ( ) λ x+ π kα + λ (0,k ) γ0 x+ c 0,0. (7)

12 met γ 0 λ α 0 + λ en c 0,0 π (0,k ). Vervolgens willen we E (s,j) [T(s,j A ) ] bepalen voor alle toestanden (s, j), (s, j ) in rij s > 0, met j, j k. Zij A s S \ {(s, j) j k} Definieer ω s : ((k s)α + sµ + λ) α s + µ s + λ met α s (k s)α en µ s sµ. Nu volgt dat α s + µ s ω s λ B s α s µ s ω s λ α s 0 µ s ω s λ Net als in [] kunnen we de juiste inverse met wat gereken bepalen door uitvermenigvuldiging. Laat en ψ s ω s (ω s ) 4λµ s λ Noteer het (i, j)-de element van de matrix Bs bs (i, j) γ s ω s (ω s ) 4λµ s µ s (8) γ sµ s λ. (9) met b s (i, j). Dan geldt, i 0 ω sµγ s, i j + λψ s b(i, i ) ω s sµγ s, i j γ j i s b(i, i), j i + > ψ i j s b(j, j), 0 < j i. We berekenen steeds het diagonaal element b s (i, i), daarna de elementen uit rij i en vervolgens uit kolom i. De elementen in Bs zijn allemaal uit te drukken in element b s (, ). In het bijzonder kunnen we b s (i, i) voor i herschrijven als i bs (i, i) (λψ ) r bs (, ) r+. r0 Stelling geeft voor (s, z) R een formule voor π s,z. Stelling. Als γ s γ s voor alle s s en γ s < voor alle s, dan geldt met c s,z π (s,z) α s γ z γ s c s,z λ(γ z γ s )( ψ s γ z ), s i0 c s,i γ z k+ i (0) 0 z < s k π (s,k ) s i0 c s,i, 0 z s k, met π (k,k ) 0.. Deze stelling zullen we in de rest van de paragraaf bewijzen.

13 Een belangrijke gelijkheid, die geldt voor i is Dit geldt omdat ω i γ i λ µ i γ i 0. () ω i ω ω i γ i λ µ i γi i ω 4λµ i i λ µ i ω i ωi 4λµ i µ i µ i ω i ω i ωi 4λµ i λ µ i ω i ω i ωi 4λµ i + ωi 4λµ i µ i 4µ i ω i ω i ωi 4λµ i λ ω i ω i ωi 4λµ i λµ i µ i µ i λ + λµ i µ i 0. Met behulp van Lemma volgt λ π (s,k) π (s,k ) (µ s + α s + λ) s (, ) µ s + α s + λ b α s + π (s,j) (µ s + α s + λ) s (j k +, ) µ s + α s + λ b π (s,k ) λ b s (, ) + Op eenzelfde manier volgt voor x π (s,j) α s bs (j k +, ). π (s,k+x) π (s,k ) λ b s (, x + ) + π (s,j) α s bs (j k +, x + ) k+x π (s,k ) λ b s (, x + ) + π (s,j) α s bs (j k +, x + ) + jx+k+ π (s,j) α s bs (j k +, x + ) k+x π (s,k ) λ b s (, x + ) + π (s,j) α s γs x (j k) bs (j k +, j k + ) + +x+ π (s,j) α s ψs j k x bs (x +, x + ). Merk op dat de bovenstaande vergelijking ook klopt voor x 0. We zullen de twee gevallen in het vervolg dus niet afzonderlijk behandelen. Allereerst laten we zien dat Stelling klopt voor s. Voor s krijgen we de volgende expressie 3

14 Met en k+x π (,k+x) π (,k ) λ b (, x + ) + π (0,j) α 0 γ x (j k) b (j k +, j k + ) x+ π (0,j) α 0 ψ j k x b (x +, x + ) π (,k ) λ b (, x + ), k+x π (0,j) α 0 γ x (j k) b (j k +, j k + ) + Beide termen apart uitschrijven geeft het volgende +x+ λ b (, x + )π (,k ) λγ b x (, )π (,k ) λγ x π ω µ γ (,k ) λγ x+ ω γ µ γ π (,k ) λ λ γx+ π (,k ) γ x+ π (,k ). k+x π (0,j) α 0 γ x (j k) b (j k +, j k + ) + k+x c 0,0 γ j k+ 0 α 0 γ x (j k) j k (λψ ) r ( b (, )) r+ + +x+ r0 c 0,0 γ j k+ 0 α 0 ψ j k x +x+ x (λψ ) r b (, ) r+ r0 k+x α 0 γ 0 b (, )c 0,0 γ x (j k) j k γ j k 0 (λψ b (, )) r + r0 π (0,j) α 0 ψ j k x b (x +, x + ). π (0,j) α 0 ψ j k x b (x +, x + ) +x+ k+x ( α 0 γ 0 b (, )c 0,0 γ x (j k) γ j k (λψ b (, )) j k+ ) 0 λψ b (, ) + +x+ ψ j k x γ j k 0 ( (λψ b (, )) x+ ) λψ b (, ) 4 ψ j k x γ j k 0 x (λψ b (, )) r r0

15 α 0γ 0 b (, )c 0,0 λψ b (, ) γx + ( (λψ b (, )) x+ ) ψ α 0γ 0 b (, )c 0,0 λψ b (, ) γ x k+x ( ) j k k+x λψ b (, )γ 0 λψ b (, ) γ ψ j k x γ j k 0 +x+ ( ) x+ γ0 λψ b (, ) λψ γ b (, ) γ 0 λψ b (, ) γ ( γ0 + ( (λψ b (, )) x+ ) } ψ γ0 x+ ψ γ 0 α ( 0γ 0 b (, )c 0,0 λψ b (, )(γ 0 λψ b (, )) x+ λψ b (, )γ x+ λψ b (, ) γ 0 λψ b (, ) γ γ 0 λψ b (, ) γ γx+ 0 + γ 0 γ () α 0γ 0 b (, )c 0,0 λψ b (, ) met γx+ + ψ (γ 0 λψ b (, )) x+ γ 0 γ ψ γ0 x+ ψ γ 0 ψ γ 0 ( (ψ γ )γ0 x+ (γ 0 γ )( ψ γ 0 ) + (λψ b (, ) )γ x+ ) γ ( γ0 γ (γ 0 λψ b (, ) γ )(γ 0 γ ) ) j k ) x+ γ 0 γ α 0 γ 0 b (, )c 0,0 (ψ γ ) α 0 γ 0 b (, )c 0,0 (λψ b (, ) )γ (λψ b (, ) )(γ 0 γ )( ψ γ 0 ) γx+ 0 + (λψ b (, ) )(γ 0 γ )(γ 0 λψ b (, ) γ ) γx+ α 0 γ 0 c 0,0 (ψ γ ) γ γ 0 α 0 c 0,0 b (, ) (λψ ω + µ γ )(γ 0 γ )( ψ γ 0 ) γx+ 0 + (γ 0 λψ b (, ) γ )(γ 0 γ ) γx+ α 0 γ 0 c 0,0 (ψ γ ) λψ γ ω γ + µ γ γ (γ 0 γ )( ψ γ 0 ) γ x+ 0 + α 0 γ 0 c 0,0 (ψ γ ) γ x+ γ γ 0 α 0 c 0,0 λψ γ λ 0 + (γ (γ 0 γ )( ψ γ 0 ) 0 ψ λ λ)(γ 0 γ ) γx+ γ α 0 γ 0 c 0,0 (ψ γ )γ γ γ 0 α 0 c 0,0 λ(ψ γ )(γ 0 γ )( ψ γ 0 ) γx+ 0 λ( γ 0 ψ )(γ 0 γ ) γx+ α 0 γ 0 γ c 0,0 α 0 γ 0 γ c 0,0 λ(γ 0 γ )( ψ γ 0 ) γx+ 0 λ(γ 0 γ )( ψ γ 0 ) γx+ c,0 γ x+ 0 c,0 γ x+, c,0 () volgt uit de volgende beweringen. γ γ 0 α 0 c 0,0 (γ 0 ψ λ γ ω + γ µ )(γ 0 γ ) γx+ α 0 γ 0 γ c 0,0 λ(γ 0 γ )( ψ γ 0 ). (). Eerst nemen we de eerste en de vijfde term tussen haakjes samen. Claim: λψ b (, )(γ 0 λψ b (, )) x+ + ψ (γ 0 λψ b (, )) x+ 0. γ 0 λψ b (, ) γ ψ γ 0 5 )

16 De bewering is waar als Dit volgt uit λ b (, ) + 0. γ 0 λψ b (, ) γ ψ γ 0 λ b (, ) + λ b (, )( ψ γ 0 ) + γ 0 λψ b (, ) γ γ 0 λψ b (, ) γ ψ γ 0 (γ 0 λψ b (, ) γ )( ψ γ 0 ) Dit is gelijk aan 0 als Er geldt λ b (, ) ψ γ 0 λ b (, ) + γ 0 λψ b (, ) γ (γ 0 λψ b (, ) γ )( ψ γ 0 ) λ b (, ) γ (γ 0 λψ b (, ) γ )( ψ γ 0 ). λ b (, ) γ λ b (, ) γ 0. waarbij de laatste gelijkheid uit Vgl. () volgt. λ ω µ γ γ λ γ ω + µ γ ω µ γ 0,. Nu nemen we de derde en de zesde term tussen haakjes samen. γx+ 0 ψ γ0 x+ γx+ 0 ( ψ γ 0 ) ψ γ0 x+ (γ 0 γ ) γ 0 γ ψ γ 0 (γ 0 γ )( ψ γ 0 ) γx+ 0 + ψ γ γ0 x+ (γ 0 γ )( ψ γ 0 ) (ψ γ )γ0 x+ (γ 0 γ )( ψ γ 0 ). 3. Als laatste nemen we de tweede en de vierde term tussen haakjes samen. γx+ λψ b (, ) + γx+ γx+ λψ b (, )(γ 0 γ ) + γ x+ (γ 0 λψ b (, ) γ ) γ 0 λψ b (, ) γ γ 0 γ (γ 0 λψ b (, ) γ )(γ 0 γ ) (λψ b (, ) )γ x+ (γ 0 λψ b (, ) γ )(γ 0 γ ). Alles samenvoegen geeft nu met c,0 zoals in Vgl. () en Voor het geval s geldt π (,k+x) + c,0 γ0 x+ + (π (,k ) c,0 )γ x+ c,0 γ0 x+ + c, γ x+, c, π (,k ) c,0. k+x π (,k+x) π (,k ) λ b (, x + ) + π (,j) α γ x (j k) b (j k +, j k + ) 6

17 + +x+ π (,j) α ψ j k x b (x +, x + ) Merk op dat π (,j) c 0,0 γ j k+ 0 +c, γ j k+ invullen een uitdrukking geeft die analoog is aan de uitdrukking voor π (,k+x). We kunnen de gelijkheid opnieuw splitsen in termen die analoog zijn aan en. Alleen verschillen de subindices. Dit geeft na een analoge afleiding het resultaat van Stelling. Voor elke s k kunnen we op eenzelfde manier de afleiding doen. Het enige verschil bij s k, is dat de term π (k,k ) λ b k (, x + ) ontbreekt. Omdat π (k,k ) 0, is dit verder geen probleem. 3.3 Voorbeeld van M/M/k/setup model met oneindige buffer Na de analyses in de vorige paragraaf, willen we Algoritme graag illustreren aan de hand van een voorbeeld met een oneindige buffer. We beschouwen het Markovproces zoals in Figuur 5. Merk op dat dit Markovproces dezelfde parameters heeft, als in paragraaf 3.. 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6,,,3,4,5,6 4,,3,4,5, Figuur 5: Markovketen behorend bij het M/M//setup model. Deze stap is hetzelfde als in paragraaf 3... Voor deze stap kunnen we Vgl. (7) invullen. Dus ( ) i π (0,i) π + (0,) Daaruit volgt meteen ( ) i π 3 (0,). en γ 0 3 c 0,0 π (0,). 3. Met de theorie uit Paragraaf 3. kunnen we deze stap nu in één keer doen. Laat i. Rij : Uit Stelling volgt dat π (,i) j0 c,j γ i j. Met behulp van Stelling kunnen we c,0 en c, bepalen. We merken op dat we hiervoor γ en ψ nodig hebben. Invullen van Vgl. (8) geeft γ ω ω 4λµ µ

18 Vgl. (9) invullen geeft Nu volgt uit Stelling en c,0 Hieruit volgt α 0 γ 0 γ c 0,0 λ(γ 0 γ )( ψ γ 0 ) π (,i) 6π (0,) Rij : Opnieuw volgt uit Stelling Vgl.(8) invullen geeft Vgl. (9) invullen geeft ψ γ ( µ λ ). ( 3 ) π (0,) ( 3 + c, π (,) c,0 π (,) 6π (0,). ) ( 3 + ) 6π (0,) 3 ( ) i + ( ) ( π 3 (,) 6π (0,) ) i π (,i) j0 γ ω ω 4λµ µ 5 c,j γ i j. ψ γ µ λ 4 4. Met behulp van Stelling volgt nu c, en Er volgt nu α γ 0 γ c,0 c,0 λ(γ 0 γ )( ψ γ 0 ) 3 4 6π (0,) ( 3 ) ( ) 9π (0,), 4 3 α γ γ c, λ(γ γ )( ψ γ ) ( ) 4 (π (,) 6π (0,) ) ( c, (c,0 + c, ) 4 ) ( + ) ( 6( ) ) π (0,) 3 4 π (,). ( ) (π(,) 6π (0,) ) 3 4 ( i ( ) ( (π(,) 6π (0,) ) π (,i) 9π (0,) + 3) 3 ) i 4 (( 6( ) ) π (0,) ) ( ) i 3 4 π (,). 4 8

19 33,6 % 6,8% 5,6%,9% 0,6% 0,% 0,06% 6,8% 9,0% 4,0%,6% 0,6% 0,% 4 3,9%,6%,3% 0,6% 0,% Figuur 6: Stationaire verdeling behorend bij het M/M//setup model met oneindige buffer. 4. Om het stelsel op te lossen, merken we op dat π (0,i) i i ( ) i π 3 (0,) π (0,) i0 ( ) i π 3 (0,) 3 π (0,) π (0,) π (0,). Op eenzelfde manier volgt Verder volgt π (,i) 9π (0,) π (,) + (π (,) 6π (0,) ). i π (,i) i Uit (i,j) S π (i,j) volgt ( ) π (0,) π (,). π (0,0) + π (0,) + π (,) + (π (0,i) + π (,i) + π (,i) ) i π (0,) + π (0,) + π (,) + π (0,) + 9π (0,) π (,) + (π (,) 6π (0,) ) ( ) π (0,) π (,). Als we dit samenvoegen met π (0,) π (,) dan volgt π (0,) π (,) , Een deel van de stationaire verdeling is te zien in Figuur Verschillen tussen het model met eindige en oneindige buffer We hebben twee voorbeelden gezien van hetzelfde Markovproces, met als enige verschil dat bij het eerste proces maximaal vier klanten in het systeem kunnen zijn en bij het tweede proces oneindig veel. Uit Figuur 6 blijkt dat iets meer dan % van de tijd het Markovproces zich in een toestand bevindt die in het Markovproces met buffer 4 niet voorkomt. Hieruit blijkt dat 9

20 we voor dit geval een redelijke schatting hebben gemaakt door het geval te bekijken met een buffer van vier. In veel gevallen is het waarschijnlijk niet toereikend om maar vier klanten in het systeem toe te laten. Dit komt omdat we in het voorbeeld het geval bekeken waarbij opdrachten gemiddeld twee keer zo snel verwerkt worden, als ze aankomen. Als µ λ + ɛ met ɛ <<, dan zal een buffer van vier waarschijnlijk niet toereikend, want er is dan een hogere belasting van het systeem. Vanwege de nette structuur kunnen we echter altijd vrij eenvoudig het geval berekenen met een oneindige buffer en daarmee bepalen welke eindige buffer toereiken is, zodat een bedrijf nauwelijks klanten hoeft weg te sturen. 3.5 Analyse van de γ s Er kan heel veel geschreven worden over γ s, maar in deze laatste paragraaf willen we daar slechts enkele dingen van laten zien. Merk op dat we bij Stelling aannemen dat γ s < voor alle s. Er zijn systemen waarbij dit niet het geval is. Neem µ << en k, α en λ groter dan. In dit geval zijn de γ s >, vanwege delen door sµ. Dit zorgt er echter voor dat het Markovproces niet recurrent is, omdat γ s i niet meer convergeert voor i >. De eis γ s < voor alle s is dus nodig. Deze eis is ook voldoende voor positief recurrent zijn. Als γ s < voor alle s, convergeert ook zk π (s,z) voor alle s. In dat geval is er een een oplossing voor de stationaire verdeling, zie [5, Gevolg.6]. De andere eis is dat γ s γ s voor s s. We hebben impliciet aangenomen dat dit altijd zo is. Er zijn echter gevallen waarin dat niet zo is. Voor kα λ en kµ λ, oftewel α µ geldt γ s voor alle s. Dit volgt op de volgende manier: γ s (k s)α + λ + sµ ((k s)α + λ + sµ) 4λsµ sµ λ + sµ (λ sµ) 4λsµ sµ λ + (λ sµ sµ) sµ sµ sµ. Ook in het geval k λ en µ α + zijn alle γ s gelijk. Er geldt dan: γ s (k s)α + λ + sµ ((k s)α + λ + sµ) 4λsµ sµ λα sµ + s + λ + sµ (λα sµ + s + λ + sµ) 4λsµ sµ λ(α + ) + s (λ(α + ) + s) 4λsµ sµ λµ + s (λµ + s) 4λsµ sµ 0

21 λµ + s (λµ s) sµ s sµ µ. Als γ s+ > γ s voor alle s, s + volgt uit Vgl. (0) dat de c s,i zwaarder meetellen, naarmate i groter wordt. Na het bekijken van verschillende voorbeelden, hebben we het vermoeden dat γ s+ > γ s als α > µ. Het omgekeerde is niet waar. 4 Vervolgonderzoek Aan het einde van deze scriptie zal bij de lezer ongetwijfeld een vraag overgebleven zijn als: Dit model is toch helemaal niet realistisch? Dat is waar. We hebben in deze scriptie laten zien, dat dit model een bijzonder gunstige structuur heeft. Zelfs voor het model met een oneindige buffer kan tamelijk eenvoudig worden berekend wat de stationaire verdeling is. Voor het huidige model met een oneindige buffer, kan meer onderzoek worden gedaan naar de effecten van k, α, µ en λ op γ s. Verder is het interessant om het model realistischer te maken. Dit kan bijvoorbeeld door het toevoegen van een stand-by mogelijkheid of door het aan laten staan van één of meerdere servers. Verder gaan we er in het huidige model vanuit dat alle parameters een exponentiële verdeling hebben. Dit is in de praktijk niet zo. Om het model realistischer te maken, kan dus ook gekeken worden naar realistischere parameters. Referenties [] S. Doroudi, B. Fralix, M. Harchol-Balter. Clearing analysis on phases: exact limiting probabilities for skip-free, unidirectional, quasi-birth-death processes. arxiv: [math.pr], 05. [] M.N. Katehakis, L.C. Smit, F.M. Spieksma. On the solution to a countable system of equations arising in stochastic processes. arxiv: [math.oc], 05. [3] A. Gandhi, S. Doroudi, M. Harchol-Balter, Alan Scheller-Wolf. Exact analysis of the M/M/k/setup class of Markov chains via recursive renewal reward. Queueing Systems, 77():53-66, 03. [4] D. Ertiningsih, M.N. Katehakis, L.C. Smit, F.M. Spieksma. Level product form QSF processes and an analysis of queues with Coxian inter-arrival distribution. arxiv: [math.pr], 05. [5] L.C.M. Kallenberg, F.M. Spieksma Besliskunde A, deel. Universiteit Leiden, 05. [6] W.J. Anderson. Continious-time Markov chains, an applications-oriented approach, deel. Springer-Verlag, 99.