Wiskundige Structuren voor Informatici Opgavenbundel

Transcriptie

1 Wiskundige Structuren voor Informatici Opgavenbundel Wim Gielen Engelbert Hubbers 9 juli 04

2 Inhoudsopgave Inhoudsopgave Getallen 3. Natuurlijke getallen Ontbinding in factoren Gemeenschappelijke delers en veelvouden Gehele getallen Rekenen modulo n Chinese Reststelling Gemengde opgaven Inductie 0. Principe van volledige inductie Andere inductiebasis Andere inductievarianten Gemengde opgaven Beweringen en verzamelingen 0 3. Beweringen Taal van de propositielogica Uitspraken over formules Formaliseren Verzamelingen Inductieve verzamelingen Gemengde opgaven Predikaten en relaties 9 4. Predikaten Predikaten en deelverzamelingen Kwantoren Taal van de predikaatlogica Eigenschappen van predikaatlogica Relaties Gemengde opgaven Ordeningen en equivalentierelaties Ordeningen Equivalentierelaties Gemengde opgaven Functies Voorschriften Injecties, surjecties en bijecties Functies en verzamelingen Gemengde opgaven

3 7 Coderingen en machtigheden Coderingen Inverse functies van sin, tan en exp Machtigheden Gemengde opgaven A Rekenen 66 A. Getallen A. Cirkels, graden en radialen A.3 Sinus, cosinus en tangens A.4 Absolute waarde A.5 Wortels A.6 Kwadratische vergelijkingen A.7 Breuken A.8 Exponentiële en logaritmische functies A.9 Machten A.0 Gemengde opgaven A. Rekentoets A. Antwoorden Rekentoets A.3 Rekentoets A.4 Antwoorden Rekentoets A.5 Rekentoets A.6 Antwoorden Rekentoets A.7 Rekentoets A.8 Antwoorden Rekentoets A.9 Rekentoets A.0 Antwoorden Rekentoets B Limieten en reeksen 79 B. Limieten B. Sommaties B.3 Rekenkundige reeks B.4 Meetkundige reeks B.5 Gemengde opgaven

4 Hoofdstuk Getallen. Natuurlijke getallen Opgave. Ga na of de volgende stelling juist is voor alle natuurlijke getallen x, y, z, a en b. Als je denkt dat hij juist is, geef dan een bewijs; denk je dat hij niet juist is, geef dan een tegenvoorbeeld. als z x en z y, dan z (ax + by) In woorden betekent dit: delers van x en y zijn ook delers van gehele lineaire combinaties van x en y. Deze stelling is correct. Hier een bewijs. Bewijs: Uit z x volgt dat er een n N is met x = nz. Uit z y volgt dat er een m N is met y = mz. Maar dan geldt dat ax + by = anz + bmz = (an + bm)z. En per initie geldt dan z (ax + by). Opgave. (i) Is 0 deelbaar door 7? Ja, want er bestaat een natuurlijk getal k (namelijk k = 0) waarvoor 0 = 7k. (ii) Is 7 deelbaar door 0? Nee, want voor alle k N geldt 7 k 0. (iii) Is 7 een deler van 0? Ja, want er bestaat een natuurlijk getal k (namelijk k = 0) waarvoor 0 = 7k.. Ontbinding in factoren Opgave.3 Ontbind het getal 7856 in priemfactoren. Ik gebruik het bij de priemalgoritme: De kleinste priemdeler van 7856 is, en 7856 = 898. De kleinste priemdeler van 898 is, en 898 =

5 De kleinste priemdeler van 4464 is, en 4464 = 3. De kleinste priemdeler van 3 is, en 3 = 6. De kleinste priemdeler van 6 is, en 6 = 558. De kleinste priemdeler van 558 is, en 558 = 79. De kleinste priemdeler van 79 is 3, en 79 = De kleinste priemdeler van 93 is 3, en 93 = is een priemgetal, dus klaar. Dus de priemontbinding van 7856 is Opgave.4 Bewijs dat er een priemgetal bestaat dat groter is dan Bewijs: Zij n het getal ! +, waarbij! staat voor de faculteitsfunctie, dus ! is het product We onderscheiden twee gevallen. n is een priemgetal. Omdat n (veel) groter is dan zijn we klaar. n is geen priemgetal. Zij p de kleinste priemfactor van n. Het is duidelijk dat zo n p daadwerkelijk bestaat. Uit het ongerijmde gaan we nu bewijzen dat p > Stel eens dat p zou zijn. Dan volgt meteen dat p n. Maar per initie van p geldt ook p n. Op grond van een veralgemenisering voor gehele getallen van opgave. weten we dan ook dat p n (n ). Dus p, maar dat kan natuurlijk niet want p is een priemgetal. Dus moet p > En in beide gevallen hebben we dus laten zien dat er een priemgetal groter dan bestaat. Opgave.5 (i) Bestaan er natuurlijke getallen n en m waarvoor n = 7m? Bewijs je antwoord. Jazeker: n = 0 en m = 0, want 0 = 7 0. (ii) Bestaan er positieve natuurlijke getallen n en m waarvoor n = 7m? Bewijs je antwoord. Nee, een bewijs uit het ongerijmde: Neem aan dat n, m en n = 7m. Zij a het aantal priemfactoren 7 in m en b het aantal priemfactoren 7 in n. Het aantal factoren 7 in m is dan a, en in 7m is dat dus a +. Het aantal factoren 7 in n is b. Uit n = 7m volgt dus b = a +, maar dat kan niet, want b is even en a + is oneven. 4

6 .3 Gemeenschappelijke delers en veelvouden Opgave.6 Ga na welke van de volgende beweringen voor alle natuurlijke getallen n waar zijn. Geef telkens ofwel een bewijs, ofwel een tegenvoorbeeld. (i) Als n mod 7 = 3, dan (n) mod 7 = 6. Dat is voor alle n waar, een bewijs: Neem aan dat n mod 7 = 3. Dan is er een k N waarvoor n = 7k + 3, namelijk k = n div 7. Dus n = 4k + 6 = 7 k + 6 en dus (n) mod 7 = 6. (ii) Als n div 7 = 3, dan (n) div 7 = 6. Dat is niet voor alle n waar, een tegenvoorbeeld is n = 6: 6 div 7 = 3 en 5 div 7 = 7. Opgave.7 Zij n m en zij a = n mod m. Bewijs dat ggd (n, m) = ggd (a, m). Zij d = ggd (n, m). We moeten dan bewijzen dat ggd (a, m) = d: Dat d een deler van a is kun je als volgt inzien: Per initie is d deler van n (zeg n = xd) en van m (zeg m = yd). Verder is n = km + a, waarbij k = n div m, dus a = n km = xd kyd = (x ky)d. Dus d a. De getallen a en m kunnen geen grotere gemeenschappelijke deler p (dan d) hebben, want p zou dan ook een gemeenschappelijke deler van n en m zijn omdat n = a + km = αp + kβp = (α + kβ)p. Opgave.8 Bereken ggd (0646, 8003). Dit doen we met het algoritme van Euclides: ggd (0646, 8003) = ggd (8003, 643) (want 0646 mod 8003 = 643) = ggd (643, 45) (want 8003 mod 643 = 45) = ggd (45, 498) (want 643 mod 45 = 498) = ggd (498, 53) (want 45 mod 498 = 53) = ggd (53, 39) (want 498 mod 53 = 39) = ggd (39, 36) (want 53 mod 39 = 36) = ggd (36, 3) (want 39 mod 36 = 3) = 3.4 Gehele getallen Opgave.9 Schrijf het getal 3 als gehele lineaire combinatie van 0646 en 8003, of bewijs dat dit onmogelijk is. 5

7 Dat lukt wel. We volgen de werkwijze uit opgave.8 in omgekeerde volgorde. duo rest lineaire combinatie (36, 3) 0 = = (39, 36) 3 = = (39 36) 3 = (53, 39) 36 = = 39 ( ) 3 = (498, 53) 39 = = ( ) 3 = (45, 498) 53 = = ( ) 3 = (643, 45) 498 = = (643 45) 3 = (8003, 643) 45 = = ( ) 3 = (0646, 8003) 643 = = ( ) 3 = Dus het is gelukt: 3 = Opgave.0 (i) Schrijf 00 als gehele lineaire combinatie van 5 en 37, of bewijs dat dit onmogelijk is. Dit is zeker mogelijk, want 5 en 37 zijn relatief priem, dus is te schrijven als lineaire combinatie van 5 en 37. Dus met 00 zal het dan ook wel lukken. We doen het maar even systematisch, te beginnen met het algoritme van Euclides: duo rest lineaire combinatie (5, 4) = 5 4 = 5 4 (9, 5) 4 = 9 5 = 5 (9 5) = (4, 9) 5 = 4 9 = 9 + (4 9) = (37, 4) 9 = 37 4 = 4 3 (37 4) = (5, 37) 4 = 5 37 = (5 37) = Maar dan lukt het met 00 natuurlijk ook: 00 = (ii) Schrijf 00 als gehele lineaire combinatie van 5 en 39, of bewijs dat dit onmogelijk is. De getallen 5 en 39 zijn drievouden, dus ook al hun lineaire combinaties zijn drievouden. Helaas is 00 géén drievoud, dus is 00 ook zeker geen lineaire combinatie van 5 en 39. 6

8 .5 Rekenen modulo n Opgave. Bereken in Z 5 Omdat 0 = 04 geldt 0 (mod 5). Dus ( ) 6543 (mod 5) en omdat ( ) 6543 =, geldt (mod 5) en dus (mod 5). Merk op dat het voor het rekenwerk soms dus handiger kan zijn om met te werken dan met 4. Opgave. We hebben in de theorie bewezen: als p priem is, dan heeft in Z p iedere a 0 een inverse. Mag in deze stelling de voorwaarde als p priem is straffeloos worden weg gelaten? Nee dat mag niet, een tegenvoorbeeld in Z 4 : het getal heeft géén inverse x, want dan zou x een viervoud plus moeten zijn, wat strijdig is met het feit dat x even is. Opgave.3 (i) Bepaal alle natuurlijke getallen n waarvoor geldt: 7n (mod 5). We schrijven eerst het getal via de Euclides methode als lineaire combinatie van 7 en 5, dat gaat vast wel lukken omdat ggd (7, 5) = : (4, 3) = 4 3 = 4 3 (7, 4) 3 = 7 4 = (5, 7) 4 = = Dus 7 7 (mod 5), en het getal 7 (oftewel 8) is één oplossing. De andere oplossingen verschillen hiervan een 5-voud: (ii) Bepaal alle natuurlijke getallen n waarvoor geldt: 7n 3 (mod 5). Het getal 3 8 is één oplossing, en de andere verschillen hiervan weer een 5-voud: Opgave.4 Bereken in Z 37 (i) 5 36 (ii) 5 38 Omdat 37 een priemgetal is kan dat heel handig met de stelling van Fermat: 5 36 =. Omdat 5 36 (mod 37) geldt 5 38 = = 5 3 (mod 37)..6 Chinese Reststelling Opgave.5 Zoek een natuurlijk getal n waarvoor geldt: 7

9 in de gewone tientallige notatie eindigt n op de cijfers 33 en de rest van n na deling door 8 is 7. De gezochte n moet voldoen aan n 33 (mod 00) n 7 (mod 8) Zo n opgave vraagt natuurlijk om de Chinese Reststelling: Stap. Schrijf als lineaire combinatie van 8 en 00: duo rest lineaire combinatie (5, 4) = 5 4 = 5 4 (9, 5) 4 = = 5 (9 3 5) = (8, 9) 5 = = (8 4 9) = (00, 8) 9 = 00 8 = (00 8) = Stap. We weten nu dat 8 0 (mod 8) 8 (mod 00) 7 00 (mod 8) (mod 00) Stap 3. Vermenigvuldig met 33 en met 7: (mod 8) (mod 00) (mod 8) (mod 00) Stap 4. Een oplossing van het stelsel is dus n = = 4433 Als je een andere uitkomst hebt gevonden, dan zal deze hiervan een 800-voud verschillen. De kleinste positieve oplossing is Gemengde opgaven Opgave.6 Ga na of de volgende stelling juist is voor alle natuurlijke getallen x, y en z. Geef een bewijs of een tegenvoorbeeld. als z xy, dan z x of z y Opgave.7 Hoeveel delers heeft het getal 304? Opgave.8 Bewijs dat de getallen 34 en 43 relatief priem zijn. 8

10 Opgave.9 Bij opgave. hebben we een stelling bekeken die over natuurlijke getallen ging. Maar hoe zit het met de gehele getallen? Met andere woorden, ga na of de volgende stelling juist is voor alle gehele getallen x, y, z, a en b. Als je denkt dat hij juist is, geef dan een bewijs; denk je dat hij niet juist is, geef dan een tegenvoorbeeld. als z x en z y, dan z (ax + by) Opgave.0 Bereken 3 80 mod zonder je GR het vuile werk te laten opknappen. Opgave. Maak tabelletjes voor optelling, vermenigvuldiging en deling in Z 3. Opgave. Bepaal alle gehele oplossingen x van de vergelijking 6x 7 (mod 95). Opgave.3 Bereken in (i) Z (ii) Z 7 Opgave.4 Ik heb n euro en twijfel tussen twee bestedingsmogelijkheden: als ik zoveel mogelijk knuffels koop (die kosten 7 euro per stuk) houd ik nog 3 euro over als ik zo vaak mogelijk mijn favoriete prostituee bezoek (zij rekent 40 euro per bezoek) houd ik euro over, waar ik dan nog drie knuffels van zou kunnen bekostigen Wat kun je uit deze gegevens concluderen over het getal n? 9

11 Hoofdstuk Inductie. Principe van volledige inductie Opgave. Als je 3 n n voor kleine natuurlijke getallen uitrekent, zul je ontdekken dat dit verrassend vaak een zevenvoud blijkt te zijn: = 0 = = 7 = = 77 = = 7 = = 6545 = = 5907 = = = = = = = = = = = Geef een verklaring voor dit merkwaardige verschijnsel. We gaan met inductie bewijzen dat 3 n n voor alle natuurlijke getallen n een zevenvoud oplevert. Hierbij gebruiken we de afkorting: n is mooi = 3 n n is een zevenvoud Inductiebasis. 0 is mooi, want = = 0 en dit is inderdaad een zevenvoud. Inductiestap. Zij n een mooi getal, dat wil zeggen: 3 n n = 7k voor zekere k. We zullen nu aantonen 0

12 dat n dan een mooie opvolger heeft: 3 (n+) n+ = 3 n+ n = 9 3 n n = (7 + ) 3 n n = 7 3 n + 3 n n = 7 3 n + (3 n n ) IH = 7 3 n + (7k) = 7(3 n + k) dus ook n + is mooi Volgens het Principe van volledige inductie zijn dus alle natuurlijke getallen mooi. Opgave. Bewijs dat 3 3n 4n voor alle n N deelbaar is door. We iniëren: n is paars = 3 3n 4n is deelbaar door Inductiebasis. Het getal 0 is paars want = = = 0 en 0 is deelbaar door. Inductiestap. Neem aan dat n een paars getal is, dat wil zeggen 3 3n 4n = k voor zekere k N. Dan geldt 3 3(n+) 4(n+) = 3 3n+3 4n+4 = 3 3n 3 3 4n 4 = 7 3 3n 6 4n = 3 3n n 6 4n = 3 3n + 6 (3 3n 4n) IH = 3 3n + 6 (k) = 3 3n + 6k = (3 3n + 6k) En dat is deelbaar door en dus is ook n + een paars getal. Conclusie: met volledige inductie volgt dat alle natuurlijke getallen paars zijn. Opgave.3 Deze opgave gaat over de volgende rij van reële getallen:, 7, 6 + 7, , , Dit is de rij a 0, a, a, a 3,... die vastgelegd wordt door { a0 = ,... a n+ = 6 + a n voor alle n (i) Bewijs dat alle termen van deze rij groter zijn dan 0.

13 We iniëren: n is mini We moeten nu bewijzen dat elke n N mini is. Inductiebasis. Het getal 0 is mini want a 0 = > 0. = a n > 0 Inductiestap. Neem aan dat n mini is. We laten zien dat dan ook zijn opvolger n + mini is. Dus n + is mini. Dus alle n N zijn mini. a n+ = 6 + a n IH > = 6 > 0 (ii) Bewijs dat alle termen van deze rij kleiner zijn dan 3. We iniëren: n is maxi We moeten nu bewijzen dat elke n N maxi is. Inductiebasis. Het getal 0 is maxi want a 0 = < 3. = a n < 3 Inductiestap. Neem aan dat n maxi is. We laten zien dat dan ook zijn opvolger n + maxi is. Dus n + is maxi. Dus alle n N zijn maxi. a n+ = 6 + a n IH < = 3 (iii) Bewijs dat de rij stijgend is, dat wil zeggen a n+ > a n voor alle n. Dit bewijs gaat niet met inductie, maar met logische afleidingen. Ook wel deductie genoemd. We weten dat a n > 0 en a n < 3. Daaruit volgt dat a n + > 0 en a n 3 < 0. Maar dan geldt (a n + )(a n 3) < 0. Haakjes uitwerken levert dat a n a n 6 < 0. Dus a n < 6 + a n oftewel 6 + a n > a n. Maar dan geldt ook 6 + a n > a n. En dus a n+ > a n.. Andere inductiebasis Opgave.4 Bewijs dat voor alle natuurlijke getallen n geldt: n 3 n n

14 We iniëren: n is pico = n 3 n n Inductiebasis. Het getal is pico, want 3 = 3. Inductiestap. Neem aan dat n een pico getal is. Dan geldt wegens de inductiehypothese: n + = ( + + n ) + n + IH 3 n n + n + Om aan te tonen dat ook n + pico is, is het voldoende om te bewijzen dat Dat is een kwestie van enthousiast doorrekenen: 3 n n + n + 3 (n + ) n + kwadrateren 3 n n + n + 3 (n + ) n + ( 3 n n 3 n ) n + 3 ( n3 9 n 4 9 n + ) (n + ) n + 9 En dat laatste is vanzelfsprekend waar. Dus n + is pico. Het Principe van volledige inductie levert nu: alle natuurlijke getallen vanaf n = zijn pico. Nog twee opmerkingen:. De regel met het kwadrateren geldt alleen in beide richtingen omdat 4 9 n3 voor alle n positief is.. Om het bewijs helemaal af te maken zou men met inductie kunnen bewijzen dat 0 3 n + 9 voor n. Opgave.5 Bewijs de volgende formule voor natuurlijke getallen n : n n = (n ) n+ + We iniëren: n is duf = + + n n = (n ) n+ + Inductiebasis. Het getal is duidelijk duf, want = = 0 + = ( ) + +. Inductiestap. Neem aan dat n een duf getal is. Dan is + + n n + (n + ) n+ = ( + + n n) + (n + ) n+ IH = (n ) n+ + + (n + ) n+ En dus is ook n + een duf getal. = n n+ n+ + + n n+ + n+ = n n+ + = n n+ + = ((n + ) ) (n+)+ + 3

15 De natuurlijke getallen zijn dus allemaal duf. Opgave.6 We iniëren de rijen a, a, a 3,... en b, b, b 3,... door a = 5 a n+ = a n 3 voor alle n b n = 3 + n voor alle n (i) Schrijf de eerste tien termen van de rij a, a, a 3,... op. 5, 7,, 9, 35, 67, 3, 59, 55, 07. (ii) Schrijf de eerste tien termen van de rij b, b, b 3,... op. 5, 7,, 9, 35, 67, 3, 59, 55, 07. (iii) Wat valt je op? Formuleer dit opvallende verschijnsel als een vermoeden. Blijkbaar is a n = b n als n een van de getallen,..., 0 is. Vermoeden: a n = b n voor alle n. (iv) Geef een bewijs of een weerlegging van het in (c) geformuleerde vermoeden. We bewijzen dit vermoeden met inductie naar n. We iniëren: n is gelijk = a n = b n Inductiebasis. Het getal is gelijk want a = 5 = b. Inductiestap. We nemen aan dat n gelijk is, dus dat a n = b n. Maar dan geldt: En dus is ook n + gelijk. a n+ = a n 3 IH = bn 3 = (3 + n ) 3 = 6 + n 3 = 3 + n+ = 3 + n+ = b n+ Conclusie: n is gelijk voor alle n, dus a n = b n voor alle n. Opgave.7 Bereken voor een paar niet al te grote getallen n (n) totdat je een regelmaat in de uitkomsten ontdekt. Bewijs vervolgens de generalisatie van de gevonden regelmaat. 4

16 Voor het gemak korten we dan: s = = 3 s = + 4 = (n) maar even af tot s n. Invullen leert s 3 = = 3 7 Dit doet vermoeden dat s n = n voor alle n. Dat gaan we met inductie bewijzen. We iniëren: n + n is gebroken = s n = n n + Inductiebasis. Het getal is gebroken, want s = 3 = +. Inductiestap. Neem aan dat n gebroken is. Dus dat s n = dat ook n + gebroken is. Bewijs: Dus blijkbaar is ook n + gebroken. n n + s n+ = s n + ((n + )) IH n = n + + ((n + )) = n n + + (n + ) = n n + + 4n + 8n + 4 = n n + + 4n + 8n + 3 = n n + + (n + 3)(n + ) = (n + 3)n (n + 3)(n + ) + (n + 3)(n + ) n + 3n + = (n + 3)(n + ) (n + )(n + ) = (n + 3)(n + ) = n + n + 3 Conclusie: met het principe van volledige inductie geldt voor alle n s n = juist is. We moeten dan laten zien n n +..3 Andere inductievarianten Opgave.8 Deze opgave gaat over de rij, 3, 4, 7,, 8, 9, 47, 76, 3, 99, 3, 5, 843, 364, 07, 357, 5778, 9349,... 5

17 We vragen aan Alpje en Wally of ze de regelmaat in deze rij kunnen ontdekken. Alpje antwoordt, na enig diepzinnig gepeins: je doet iedere keer de twee laatste getallen bij elkaar optellen, en zo ga je steeds maar door, totdat het baasje als beloning een blikje opent. Wally, een gestudeerde Half Pers, geeft een totaal andere visie op het gebeuren: de n-de term van de rij is het getal ( + ) n ( 5 + ) n 5 dus kom nu maar op met dat tartaartje. Welk poesje heeft het juiste antwoord gegeven? Laten we de rij maar even a, a, a 3,... noemen. De bedoelde regelmaat bij het opschrijven van de rij was: a = a = 3 a n+ = a n + a n+ voor alle n Alpje heeft dus het juiste antwoord gegeven. Maar ook Wally heeft gelijk, wat ik kan bewijzen met de inductievariant } en zijn lekker = alle n zijn lekker ieder lekker duo heeft een lekkere opvolger waarbij ik het predikaat lekker inieer door n is lekker ( = a n = + ) n ( 5 + ) n 5 Inductiebasis. We doen inductie met dubbele basis en moeten dus twee dingen controleren. ( Het getal is lekker, want + ) ( 5 + ) 5 =. ( Het getal is lekker, want + ) ( 5 + ) 5 = 3. Inductiestap. Neem aan dat n en n + lekker zijn. We gaan nu bewijzen dat n + lekker is: a n+ = a n+ + a n ( IH = + ) n+ ( 5 + ) n+ ( ) n ( 5 + ) n 5 ( = + n ( 5) + ) ( 5 + n ( 5) ) 5 ( + + ) n ( 5 + ) n 5 ( = + n ( 5) + ) ( n ( 5) ) 5 + ( = + n ( 5) 4 + ) ( n ( 5) 4 ) ( = + n ( 5) + ) ( 5 + n ( 5) ) 5 ( = + ) n+ ( 5 + ) n+ 5 Dus n + is ook lekker. Conclusie: de poezen hebben allebei gelijk. 6

18 Opgave.9 De rij 5, 0, 8, 6, 0, 30, 68, 6,... wordt vastgelegd door a 0 = 5 a = 0 a n+ = a n+ + a n voor alle n N Bewijs dat a n = n + + 3( ) n voor alle n. We gebruiken de inductievariant 0 en zijn blij ieder blij duo heeft een blije opvolger waarbij het predikaat blij geinieerd is door } = alle natuurlijke getallen zijn blij n is blij = a n = n + + 3( ) n Inductiebasis. Inductie met dubbele basis. Het getal 0 is blij, want a 0 = 5 = ( ) 0. Het getal is blij, want a = 0 = + + 3( ). Inductiestap. Neem aan dat n en n + blij zijn. We gaan nu bewijzen dat dan ook n + blij is: Dus n + is blij. a n+ = a n+ + a n IH = n ( ) n+ + ( n + + 3( ) n ) = n ( ) n+ + n ( ) n = n+ + 3( ) n + n ( ) n = n ( ) n = n ( ) n ( ) = n ( ) n+ Conclusie: volgens het principe van volledige inductie zijn alle natuurlijke getallen blij. Opgave.0 Maak de rij, 3, 6,, 0, 37,... als volgt: a 0 = a = 3 a = 6 a n+3 = 4a n+ 5a n+ + a n voor alle n N Bewijs dat a n = n + n voor alle n N. We gebruiken de inductievariant uit opgave.4 met n is leuk = a n = n + n 7

19 Inductiebasis. Driedubbele basis: Het getal 0 is leuk want a 0 = = Het getal is leuk want a = 3 = +. Het getal 0 is leuk want a = 6 = +. Inductiestap. Neem aan dat n, n + en n + leuke getallen zijn. We gaan kijken of n + 3 dan ook leuk is: Dus n + 3 is leuk. a n+3 = 4a n+ 5a n+ + a n IH = 4 ( n+ + n + ) 5 ( n+ + n + ) + ( n + n) = (4 4 n + 4n + 8) (0 n + 5n + 5) + ( n + n) = 6 n + 4n n 5n 5 + n + n = 8 n + n + 3 = n+3 + n + 3 Volgens onze inductievariant zijn dus alle natuurlijke getallen leuk. Opgave. (i) Schrijf het getal 394 als product van priemgetallen. 394 = (ii) Schrijf het getal 393 als product van priemgetallen. 393 = 393; dat is zelf al een priemgetal, dus een product van één priemgetal. (iii) Bewijs dat ieder natuurlijk getal te schrijven is als product van priemgetallen. We iniëren: n is priemontbindbaar = n is een product van priemgetallen Hiermee gaan we verloopsinductie toepassen. Inductiebasis. Het getal is priemontbindbaar want is zelf een priemgetal en dus te schrijven als product van één priemgetal. Inductiestap. We nemen aan dat de getallen vanaf tot en met n allemaal priemontbindbaar zijn. We moeten hieruit bewijzen dat n zelf ook priemontbindbaar is. We doen dit via een gevalsonderscheiding. n is een priemgetal. In dit geval kan n geschreven worden als het product van één priemgetal, namelijk n = n. n is geen priemgetal. Dan zijn er p, q {,..., n } met n = pq. Pas nu de inductiehypothese toe op p en q. Omdat p priemontbindbaar is, kunnen we p = p p r schrijven voor zeker priemgetallen p i. Net zo kunnen we q = q q s schrijven voor zekere priemgetallen q j. Maar dan geldt n = pq = p p r q q s In beide gevallen is n priemontbindbaar, dus in zijn algemeenheid mogen we concluderen dat n priemontbindbaar is. 8

20 .4 Gemengde opgaven Opgave. Bewijs met inductie dat de volgende getallen allemaal kleiner dan zijn:, 3, + 3, + + 3, ,... [Hint: Definieer eerst een recursieve rij a, a,... en gebruik die in het inductiebewijs.] Opgave.3 Kijk eens naar de volgende grappige toevalligheid: Blijft dat zo doorgaan? Bewijs je antwoord. = + 3 = = = = 5 Opgave.4 Bewijs voor alle natuurlijke getallen n de formule: n = 3 n3 + n + 6 n Opgave.5 We willen onderzoeken voor welke natuurlijke getallen n de bewering 3 n n 5 waar is. Hiervoor iniëren we: n is sweet = 3 n n 5 Met een calculator is eenvoudig na te gaan dat de getallen 0 en sweet zijn en de getallen,..., 0 niet sweet. Bewijs dat alle natuurlijke getallen sweet zijn. Opgave.6 Bewijs de formule n(n + ) = n(n + )(n + ) 3 Opgave.7 Bewijs dat n n 3 voor alle natuurlijke getallen n 0. Opgave.8 Bewijs voor alle natuurlijke getallen n de ongelijkheid n 3 4 n4 Opgave.9 Formuleer het principe van inductie met driedubbele basis. 9

21 Hoofdstuk 3 Beweringen en verzamelingen 3. Beweringen Opgave 3. Maak waarheidstabellen voor: A B A (A B) A B ( A (B C) ) A B A B A (A B) A B A B C ( A (B C) ) Opgave 3. Zoek formules, samengesteld uit A en B met behulp van voegtekens, die bij de volgende tabellen horen: A B A B Samengevoegd in één tabel: A B B A B A Taal van de propositielogica Opgave 3.3 Schrijf de volgende formules volgens de officiële initie van de formules van de propositielogica: 0

22 (i) A B C A Probeer bij dit soort vragen eerst de zogenaamde parseerboom van de formule te tekenen. In zo n parseerboom staat de zwakst bindende operator bovenaan en staan de sterkst bindende operatoren juist onderaan. De vertaling naar de formule volgens de initie is daarna niet moeilijk meer. A B De formule wordt dan (A ((B C) A)). (ii) A B C A C A A B De formule wordt dan (A (B (C A))). (iii) A B C A C A A B De formule wordt dan ((A B) (( C) A)). C A 3.3 Uitspraken over formules Opgave 3.4 Welke van de volgende beweringen zijn gelijkwaardig met A B? (i) B A (ii) (A B) (iii) A (B B) We maken waarheidstabellen voor de genoemde beweringen: A B A B B A (A B) A (B B)

23 Conclusie: (A B) (B A) (A B) (A (B B)). Opgave 3.5 (i) Maak een waarheidstabel voor (A B) A. (ii) Verzin een formule, samengesteld uit A en B met behulp van en, die met (A B) A gelijkwaardig is. A B (A B) A A B Opgave 3.6 Druk uit in. Dat wil zeggen: maak een formule, samengesteld uit A en B met behulp van die logisch equivalent is met A B. A B (A B) B Het vinden van zoiets vereist het nodige puzzelwerk met tabelletjes of wat logisch redeneren. Het verifiëren van het resultaat is eenvoudig: maak de waarheidstabellen van A B en (A B) B en constateer dat deze precies hetzelfde zijn. Overigens zijn er ook nog andere oplossingen van deze opgave mogelijk, bijvoorbeeld (B A) A. Opgave 3.7 (i) Ga na of = (A B) (((A B) A) A). Bewijs (uit het ongerijmde): neem aan dat (A B) (((A B) A) A) onwaar is. Dan is ((A B) A) A onwaar, dus { (A B) A is waar A is onwaar en dus { A is onwaar A B is waar Hieruit volgt een tegenspraak. (ii) Verzin een formule X, samengesteld uit A, B en C met behulp van haakjes en het voegteken, waarvoor geldt: X (A B C), of bewijs dat een dergelijke formule X niet bestaat. We zien eenvoudig in, dat P Q (P Q) Q. Dus A B C ((A B) B) C (((A B) B) C) C Opgave 3.8 We iniëren een nieuw voegteken door A B = B A (i) Maak een waarheidstabel voor dit nieuwe voegteken.

24 A B A B (ii) Druk uit in, of bewijs dat dit niet mogelijk is. A A A (iii) Druk uit in, of bewijs dat dit niet mogelijk is. A B (A B) (A B) (iv) Druk uit in, of bewijs dat dit niet mogelijk is. A B (A A) (B B) (v) Druk uit in, of bewijs dat dit niet mogelijk is. A B A (B B) en A B (B B) A 3.4 Formaliseren Opgave 3.9 Formaliseer de volgende samengestelde beweringen: (i) Als ik mijn best doe, zal ik zeker slagen. We iniëren Dan wordt de formalisering: Zwoeg Hoera = ik doe mijn best = ik zal slagen Zwoeg Hoera Merk op dat het bij dit soort opgaven best mogelijk is om andere formules te geven die ook goed zijn. (ii) Ik moet mijn best doen, wil ik kans maken om te slagen. Hoera Zwoeg (iii) Om te slagen is het voldoende als ik mijn best doe. Zwoeg Hoera (iv) Ik zal zeker slagen, ongeacht of ik al dan niet mijn best doe. Hoera (Zwoeg Zwoeg) Hoera (v) Mijn best doen is een noodzakelijke voorwaarde om te slagen. 3

25 Hoera Zwoeg (vi) Ik doe niet mijn best, en zal dus ook niet slagen. Zwoeg Hoera (vii) Ik doe mijn best, maar dat is nog geen garantie dat ik ook zal slagen. Zwoeg (Hoera Hoera) Zwoeg Zwoeg (Zwoeg Hoera) (viii) Mijn best doen impliceert automatisch dat ik zal slagen. Zwoeg Hoera 3.5 Verzamelingen Opgave 3.0 Zij V = {,, 3} en W = {3, 4}. Wat is (i) V W V W = {,, 3, 4} (ii) V W V W = {3} (iii) V \ W V \ W = {, } (iv) V W (v) V (vi) PV V W = {(, 3), (, 4), (, 3), (, 4), (3, 3), (3, 4)} V = {(, ), (, ), (, 3), (, ), (, ), (, 3), (3, ), (3, ), (3, 3)} PV = {, {}, {}, {3}, {, }, {, 3}, {, 3}, {,, 3}} Opgave 3. Schrijf de volgende verzamelingen in de vorm {a,..., a n }: (i) {n N n 3 3n + 6} {n N n 3 3n + 6} = {0,,, 3} (ii) {n n {,, 3}} 4

26 {n n {,, 3}} = {, 4, 9} Opgave 3. Ga na welke van de volgende beweringen juist zijn: (i) is waar, want voor alle objecten x geldt: x x. (ii) is onwaar, want voor geen enkel object x geldt x. (iii) { } { } is (vanzelfsprekend) waar. (iv) { } { } is waar, want iedere verzameling. (v) {{ }} = { } {{ }} = { } is onwaar, bijvoorbeeld omdat het object wel een element is van de tweede, maar niet van de eerste verzameling. Opgave 3.3 Ga voor elk van de volgende beweringen na of hij Waar is voor alle verzamelingen V en geef dan een bewijs. Waar is voor sommige, maar niet alle verzamelingen V en geef dan een verzameling V waarvoor hij waar is, en ook een verzameling waarvoor hij onwaar is. Waar is voor geen enkele verzameling V en bewijs dat dan. (i) V PV Deze bewering is voor sommige verzamelingen V waar (bijvoorbeeld voor V = {, { }}), maar voor andere onwaar (bijvoorbeeld voor V = {7}). (ii) V PV Deze bewering is voor alle verzamelingen V waar, want V V. (iii) PN PV 37 V Ook deze bewering is voor alle V waar. Je kunt dat als volgt bewijzen: Neem aan: PN PV. Uit {37} PN volgt dan {37} PV, en dus {37} V. Dus 37 V. (iv) V Z Z V Dit is waar voor bijvoorbeeld V = {, 7} maar onwaar voor bijvoorbeeld V = {, π}. (v) V = {x V x / V } 5

27 Dit is voor de lege verzameling (vanzelfsprekend) waar, maar voor alle andere verzamelingen onwaar. (vi) V {Alpje, Kaasje} = (V {Alpje}) (V {Kaasje}) Dit is voor alle verzamelingen V waar. We bewijzen dit door aan te tonen dat V {Alpje, Kaasje} en (V Alpje) (V Kaasje) dezelfde elementen hebben: (x, y) V {Alpje, Kaasje} x V y {Alpje, Kaasje} x V (y = Alpje y = Kaasje) (x V y = Alpje) (x V y = Kaasje) ((x, y) V {Alpje}) ((x, y) V {Kaasje}) (x, y) (V {Alpje}) (V {Kaasje}) Opgave 3.4 We inieren twee verzamelingen V en W door V W = {n + n n N} = {n n N \ {0}} Bewijs dat V = W. We moeten twee dingen bewijzen:. Alle elementen van V zitten ook in W : Bewijs: Stel x V. Dan is er een n N met x = n +n. Maar dan volgt ook dat x = (n+), dus x W.. Alle elementen van W zitten ook in V : Bewijs: Stel x W. Dan is er een n met x = n. Maar dan geldt ook x = (n ) +(n ), dus x V. 3.6 Inductieve verzamelingen Opgave 3.5 Bewijs met structurele inductie dat er voor elke formule X L A,B,,,, een formule uit L A,B,, bestaat waarmee X gelijkwaardig is. We inieren X is paars en passen structurele inductie toe: = er is een formule uit L A,B,, waarmee X gelijkwaardig is Inductiebasis. De formules A en B zijn paars omdat die zelf al in L A,B,, zitten. Inductiestap. Neem aan dat X en Y paars zijn. Dat wil zeggen er zijn formules P en Q uit L A,B,, waarvoor X P en Y Q. Dan geldt: () X Y is paars want X Y P Q () X Y is paars want X Y ( P Q) (3) X Y is paars want X Y (P Q) (4) X is paars want X P 6

28 Dus alle formules uit L A,B,,,, zijn paars. 3.7 Gemengde opgaven Opgave 3.6 Ga na of = (B (A B)). Opgave 3.7 Welke van de volgende formules zijn altijd waar? A (B A) A (A B) ( A (B C) ) ( (A B) (A C) ) Opgave 3.8 Zoek een zo kort mogelijke formule die gelijkwaardig is met A (A B) (A B C) (A B C D) Opgave 3.9 Dezelfde vraag voor: A (A B) A A A (A B) Opgave 3.0 (i) Druk uit in en. Anders gezegd: verzin een uit A en B met behulp van en (en indien nodig haakjes) samengestelde formule die dezelfde waarheidstabel heeft als A B. (ii) Druk uit in en, of laat zien dat dit niet kan. Opgave 3. Druk A B C uit in A, B en C met behulp van de voegtekens en. Opgave 3. Formaliseer de volgende wijsheden: (i) Drinken is een noodzakelijke voorwaarde om dronken te worden. (ii) Niet drinken is een voldoende voorwaarde om niet dronken te worden. (iii) Niet drinken en toch dronken worden is onmogelijk. Opgave 3.3 (i) Is A B gelijkwaardig met A B? (ii) Is A B gelijkwaardig met B A? Opgave 3.4 We iniëren beweringen A en B door: A B = er zijn oneindig veel priemgetallen van de vorm n waarbij n N = voor alle priemgetallen n geldt: n is een priemgetal Ga na welke van de volgende beweringen waar zijn en bewijs je antwoorden: (i) B A (ii) A (A B) 7

29 Opgave 3.5 (i) Bepaal {x R (x )(x + ) = 0 x 0} (ii) Bepaal {x R x + x + = 0} (iii) Bepaal {x R x < x + } Opgave 3.6 Schrijf de volgende verzamelingen in de vorm {n N }: (i) {5, 6, 7, 8, 9, 0} (ii) {, 3, 5, 7, 9,,...} (iii) {, 6, } (iv) Opgave 3.7 Ga na welke van de volgende beweringen voor alle verzamelingen V en W juist zijn. Geef telkens ofwel een bewijs, ofwel een tegenvoorbeeld. (i) P(V W ) = PV PW (ii) (V W ) 7 = V 7 W 7 (iii) P(V W ) = PV PW Opgave 3.8 (i) Schrijf drie verschillende elementen van {0, } 7 op. (ii) Schrijf alle elementen van P{Alpje, Wally} op. (iii) Schrijf alle elementen van {Alpje, Wally} {Kaasje, Fafner} op. (iv) Bereken #{(x, y) {,, 3} {3, 4, 5} x + y 7}. (v) Bereken #PPPP. (vi) Bereken #{(a, b, c) N 3 a + b + c = 000}. Opgave 3.9 Zij L de lijn in het xy-vlak die door de punten (0, ) en (, 0) gaat. Schrijf L in verzamelingsnotatie, waarbij je een lijn beschouwt als de verzameling van alle erop liggende punten: L = {(x, y) R } (vul maar in) Opgave 3.30 Ga na welke van de volgende beweringen waar zijn voor alle deelverzamelingen V en W van N. (i) N \ (V W ) = (N \ V ) (N \ W ) (ii) Als V W dan N \ W N \ V Opgave 3.3 Zij C de cirkel in R met middelpunt (3, 4) en straal 5. Schrijf C in verzamelingsnotatie. Opgave 3.3 Ga na of het volgende juist is voor alle formules Y en Z uit L A,B (geef een bewijs of een tegenvoorbeeld): Als = (Y Z), dan = Y of = Z 8

30 Hoofdstuk 4 Predikaten en relaties 4. Predikaten Opgave 4. Ga na welke van de volgende drie predikaten A, B en C over {,, 3} verschillend zijn: A(x) = (x = x = ) B(x) = (x = x = 3) C(x) = (x > x) Omdat we hier met een zeer kleine verzameling te doen hebben, is het eenvoudig te controleren welke elementen aan welke predikaten voldoen: Aan het predikaat A voldoen de getallen en 3, maar het getal niet: A = {, 3}. Aan het predikaat B voldoen de getallen en 3, maar het getal niet: B = {, 3}. Aan het predikaat C voldoen de getallen en 3, maar het getal niet: C = {, 3}. Deze drie predikaten zijn dus aan elkaar gelijk. 4. Predikaten en deelverzamelingen Opgave 4. Een predikaat over V is een deelverzameling van V. Schrijf de volgende predikaten P over N volgens de expliciete verzamelingsnotatie, dus in de vorm P = {a, a, a 3,...} of P = {a,..., a n }: (i) P (n) = n + n = P = {3} (ii) P (n) = (n > 3 n < 3) P = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3} 4.3 Kwantoren Opgave 4.3 Een predikaat over V is een deelverzameling van V. Schrijf de volgende predikaten P over N volgens de expliciete verzamelingsnotatie, dus in de vorm P = {a, a, a 3,...} of P = {a,..., a n }: (i) P (n) = m N [n = 7m m < 5] P = {0, 7, 4,, 8} 9

31 (ii) P (n) = m N [n + m 3] P = {3, 4, 5, 6, 7,...} Opgave 4.4 Soms kun je een bewering weerleggen via een tegenvoorbeeld. Bijvoorbeeld: n = 7 is een tegenvoorbeeld tegen de bewering n N [ n + 6 6n ]. We bedoelen hiermee: als je in n +6 6n voor n het getal 7 invult, staat er een onware bewering. Aan jou de taak, de nu volgende twee beweringen ofwel te bewijzen, ofwel te weerleggen door middel van een tegenvoorbeeld. (i) n N [ 4 n n 4] n N [ 4 n n 4] is onwaar. Een tegenvoorbeeld is n = 3. (ii) n N [ PRIEM ( n+3 ) ] n N [ PRIEM ( n+3 ) ] is onwaar. Een tegenvoorbeeld is n = 3, want 6+3 = 5 = Opgave 4.5 Ga na of de volgende beweringen waar zijn voor alle verzamelingen V en alle predikaten P over V. Geef telkens ofwel een bewijs, ofwel een tegenvoorbeeld (dat wil zeggen: een verzameling V en een predikaat P waarvoor de betreffende bewering onwaar is). (i) x V [ y V [P (x, y)]] y V [ x V [P (x, y)]] Een tegenvoorbeeld tegen deze bewering wordt gevormd door de volgende V en P : V = de verzameling van alle dieren P (x, y) = x heeft evenveel pootjes als y Dan geldt wel x V [ y V [P (x, y)]] want voor ieder dier x is er wel een dier y te vinden met evenveel pootjes. Mocht je dit niet geloven omdat je denkt aan het bestaan van een unieke geamputeerde duizendpoot, bedenk dan dat je dit toch kunt bewijzen door y = x te kiezen., Maar y V [ x V [P (x, y)]] geldt niet, want er bestaat vast geen dier dat evenveel pootjes heeft als alle (andere) dieren. (ii) x V [ y V [P (x, y)]] x V [ y V [P (y, x)]] Ook dit is niet altijd waar. Een tegenvoorbeeld: V = N P (x, y) = y = x De bewering x V [ y V [P (x, y)]] is dan waar, want deze bewering betekent: ieder natuurlijk getal heeft een kwadraat. Maar de bewering x V [ y V [P (y, x)]] is onwaar, want deze betekent: ieder natuurlijk getal is een kwadraat. Opgave 4.6 Formaliseer de volgende beweringen (waarbij je eerst handige afkortingen moet iniëren): (i) Lekkere groenten zijn gezond. We iniëren een verzameling GROENTE en twee predikaten LEKKER en GEZOND: GROENTE LEKKER (x) GEZOND (x) = de verzameling van alle groenten = x is lekker = x is gezond 30

32 De formalisering wordt dan: x GROENTE [LEKKER (x) GEZOND (x)] (ii) Groente is gezond, maar helaas niet altijd lekker. x GROENTE [GEZOND (x)] x GROENTE [LEKKER (x)] (iii) Spinazie is de enige gezonde groente die niet lekker is. x GROENTE [(GEZOND (x) LEKKER (x)) x = spinazie] (iv) Zuurkool is niet alleen vies, maar ook nog ongezond; maar gelukkig neemt zuurkool wat dat betreft een uitzonderingspositie onder de groenten in. x GROENTE [( GEZOND (x) LEKKER (x)) x = zuurkool]; Gevoelsnuances als helaas en gelukkig gaan bij deze formalisering helaas verloren. 4.4 Taal van de predikaatlogica Opgave 4.7 Welke zijn de vrije variabelen en welke de gebonden variabelen in de volgende formule? ] a N [ a k=0 kn = na + na De enige vrije variabele in deze formule is n, de andere variabelen (a en k) zijn gebonden. Opgave 4.8 Hier volgen enkele interessante formules. Schrijf deze formules zonder puntjes ( ), gebruikmakend van de -notatie en (indien nodig) - en -symbolen. Geef ook aan (zonder bewijs) welke van deze formules waar zijn en welke onwaar. (i) = n = 5050: waar. n= (ii) Voor alle natuurlijke getallen n geldt n = n(n + ). n N [n n k = ]: n(n + ) waar. k= (iii) n = 3 n3 + n + n als n een natuurlijk getal is. 6 n n N [n k = 3 n3 + n + ]: 6 n waar. k= (iv) (n ) = n voor alle natuurlijke getallen n vanaf. n n N [n (k ) = n ]: waar. k= 3

33 (v) + x + x + x x 73 = x74 voor alle reële getallen x (behalve x = natuurlijk). x ] 73 x R [x x k = x74 : waar. x k=0 (vi) + x + x + x 3 + x 4 + x x n = xn+ (hierin is n een natuurlijk getal, en x ). x ] n x R n N [x x k = xn+ : waar. x k=0 (vii) + x + x + x 3 + x 4 + x 5 + = voor reële getallen x tussen en. x [ ] x (,) x k = : waar. x k=0 4.5 Eigenschappen van predikaatlogica Opgave 4.9 (i) Druk x V [P (x)] uit in de taal van hoofdstuk 3 en universele kwantificatie (het -mechanisme). x V [P (x)] betekent hetzelfde als x V [ P (x)] (ii) Druk x V [P (x)] uit in de taal van hoofdstuk 3 en existentiële kwantificatie (het -mechanisme). x V [P (x)] betekent hetzelfde als x V [ P (x)] Opgave 4.0 Zij V een deelverzameling van N. Omschrijf nu met behulp van notaties uit de predikatentaal de volgende beweringen: (i) V bevat precies één element. n N [n V m N [m V m = n]] of n N [V = {n}] (ii) V is eindig. n N [ x V [x n]] (iii) V bevat geen priemgetallen. x V [ PRIEM (x)] (iv) V heeft minstens drie elementen. x,y,z V [x y x z y z] (v) V heeft hoogstens twee elementen. x,y,z V [x = y x = z y = z] (vi) V bevat uitsluitend kwadraten. 3

34 [ [ ]] x V n N x = n (vii) V bevat precies één vijfvoud. n N [ m N [5m V m = n]] (viii) in V komen geen twee getallen voor, die na deling door 3 dezelfde rest opleveren. x,y V [ n Z [x y = 3n x = y]] (ix) V bevat oneindig veel even getallen. n N [ k N [k > n k V ]] Opgave 4. Welke van de volgende beweringen zijn waar? (i) x N [ x 5 x 00 ] Onwaar. Tegenvoorbeeld: x = 7, want 7 5 maar (ii) x N [ x 5 x 00 ] Waar: Kies x = 57. Dan x 5 x 00. (Maar deze bewering is ook op een andere manier waar: neem maar x = 3. Dan geldt x 5 x 00 ook, want 3 5!) (iii) x N [ x = 3 x = 0 ] Waar: Kies x = 4. Dan x = 3 x = 0, want 4 3. Opgave 4. (i) Hoeveel predikaten over {Huppeltje, Alpje, Kaasje} bestaan er? Er bestaan acht van die predikaten, want een predikaat over de verzameling {Huppeltje, Alpje, Kaasje} is een deelverzameling van {Huppeltje, Alpje, Kaasje}. De acht predikaten zijn: {Huppeltje} {Huppeltje, Alpje} {Huppeltje, Kaasje} {Alpje} {Kaasje} {Alpje, Kaasje} {Huppeltje, Alpje, Kaasje} (ii) Hoeveel van deze predikaten P voldoen aan ( P (Huppeltje) P (Alpje) ) P (Kaasje)? Vijf, namelijk de predikaten {Huppeltje} {Kaasje} {Huppeltje, Kaasje} {Alpje, Kaasje} {Huppeltje, Alpje, Kaasje} Opgave 4.3 In hoofdstuk heb je kennis gemaakt met verloopsinductie: } 0 is koud ieder koud beginstuk van N heeft een koude opvolger = alle natuurlijke getallen zijn koud 33

35 (i) Formuleer deze variant in predikatentaal. Voor alle predikaten P over N geldt P (0) n N [ k N [k < n P (k)] P (n)] n N [P (n)] (ii) Formuleer deze variant ook in verzamelingstaal. Voor alle deelverzamelingen V van N geldt 0 V n N [ k N [k < n k V ] n V ] V = N 4.6 Relaties Opgave 4.4 Schrijf de volgende relaties in {,, 3, 4, 5, 6} als verzamelingen van paren: (i) x y Gevraagd wordt dus naar de verzameling van alle paren die aan de betreffende relatie voldoen: {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, 4), (, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} (ii) x > y + 3 {(5, ), (6, ), (6, )} (iii) x = y + Opgave 4.5 Welke van de volgende relaties in {,, 3} zijn reflexief, welke symmetrisch, welke antisymmetrisch en welke transitief? (i) {(, ), (, ), (, 3), (, ), (, 3)} (ii) (iii) (iv) Deze relatie R is niet reflexief (want (3, 3) / R), niet symmetrisch (want (, 3) R en (3, ) / R), wel antisymmetrisch (want er zijn geen verschillende x en y in {,, 3} waarvoor zowel (x, y) als (y, x) in R zitten) en ook transitief (want x,y,z {,,3} [(x, y) R (y, z) R (x, z) R]). De relatie is niet reflexief (want (, ) / ), wel symmetrisch (want x,y {,,3} [x y y x]), niet antisymmetrisch (want 3 en 3 ) en ook niet transitief (want (, 3) en (3, ) maar (, ) / ). De relatie is niet reflexief (want (, ) / ), maar wel symmetrisch (want x,y {,,3} [(x, y) (y, x) ]), ook antisymmetrisch (want x,y {,,3} [(x, y) (y, x) x = y]) en ook transitief (want x,y,z {,,3} [(x, y) (y, z) (x, z) ]). 34

36 De relatie is reflexief (want x {,,3} [x x]), niet symmetrisch (want 3 maar niet 3), maar wel antisymmetrisch (want x,y {,,3} [x y y x x = y]) en ook transitief (want x,y,z {,,3} [x y y z x z]). Opgave 4.6 Ga van de volgende relaties in N na in hoeverre ze reflexief, symmetrisch, transitief of antisymmetrisch zijn: xry reflexief? symmetrisch? transitief? antisymmetrisch? x = 3y ja/nee ja/nee ja/nee ja/nee x > y 5 ja/nee ja/nee ja/nee ja/nee x y 5 ja/nee ja/nee ja/nee ja/nee xry reflexief? symmetrisch? transitief? antisymmetrisch? x = 3y nee nee nee ja x > y 5 ja nee nee nee x y 5 ja ja nee nee 4.7 Gemengde opgaven Opgave 4.7 Bewijs de volgende beweringen: (i) n N [ n > 5 n > 7 ] (ii) n N [ n > 5 n 50 ] Opgave 4.8 Welke van de volgende beweringen zijn waar? Bewijs je antwoord. (i) n N [ m N [n m]] (ii) m N [ n N [n m]] (iii) n N [ m N [n m]] (iv) m N [ n N [n m]] Opgave 4.9 Zij a 0, a, a, a 3, a 4,... een oneindige rij van reële getallen. Schrijf de volgende beweringen kort op met behulp van - en -symbolen. (i) In de rij a 0, a, a, a 3,... komen hoogstens drie verschillende getallen voor. (ii) a 0, a, a, a 3,... is stijgend (dat wil zeggen: iedere term uit de rij is de erop volgende term). (iii) De termen uit de rij a 0, a, a, a 3,... zijn allemaal verschillend. (iv) Er komen maar eindig veel verschillende getallen voor in de rij a 0, a, a, a 3,.... Opgave 4.0 Er bestaan vier verschillende predikaten over de verzameling {7, 5}. (i) Welke vier predikaten zijn dit? (ii) Welke van deze vier predikaten P voldoen aan x,y {7,5} [P (x) P (y)]? 35

37 Opgave 4. Bedenk bij de betekenis passende namen voor de hieronder geinieerde predikaten over Z. Een voorbeeld: voor het predikaat A, geinieerd door A(n) = (7n + 3 n), is NEGATIEF een geschikte naam, want n Z [A(n) n < 0]. B(n) = n Z n 3 Z C(n) = 3n n D(n) = n {k 3 k Z} Opgave 4. Zij V een deelverzameling van Z. Omschrijf nu de volgende beweringen met behulp van formele notaties uit de predikatentaal: (i) Het getal 7 is het kleinste element van V. (ii) V heeft een kleinste element. Opgave 4.3 In deze opgave zijn n, m en k natuurlijke getallen. Omschrijf met - en -symbolen: (i) n m (n is een deler van m) (ii) ggd(n, m) = k (de grootste gemeenschappelijke deler van n en m is k) (iii) kgv(n, m) = k (het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van n en m is k) Opgave 4.4 We iniëren als volgt een verzameling M, een verzameling P en een predikaat H over (M P ) (M P ): M P H(x, y) = de verzameling van alle mensen = de verzameling van alle poezen = x houdt van y Formaliseer met behulp van deze afkortingen zo nauwkeurig mogelijk de volgende (enigszins onduidelijk geformuleerde) beweringen: (i) Mensen houden van poezen, maar helaas is het omgekeerde niet altijd het geval. (ii) Sommige mensen houden niet van zichzelf, een verschijnsel dat bij poezen absoluut ondenkbaar is. (iii) Poezen houden van mensen die van hen houden. (iv) Mensen die niet van poezen houden, houden ook niet van zichzelf. (v) Het komt voor dat poezen beslist niet van soortgenoten houden, maar dergelijke poezen houden dan gelukkig altijd nog van mij. (vi) Ik houd (uitsluitend) van mensen die niet van zichzelf houden. Rara wie ben ik? Opgave 4.5 Formuleer de volgende beroemde stellingen met behulp van symbolen uit de predikatentaal: (i) Ieder natuurlijk getal is te schrijven als som van vier kwadraten. (ii) Er bestaan oneindig veel priemgetallen. (iii) Iedere veelterm van graad 3 met reële coëfficiënten heeft minstens één reëel nulpunt. (iv) Een vierkantsvergelijking met negatieve discriminant heeft geen reële oplossingen. Opgave 4.6 Zij t 0, t, t,... een oneindige rij van reële getallen. Schrijf de volgende beweringen kort op met behulp van - en -symbolen: (i) t 0, t, t,... is dalend (dat wil zeggen: iedere term uit de rij is de erop volgende term). (ii) Het getal π komt oneindig vaak voor in de rij t 0, t, t,.... (iii) Alle rationale getallen tussen en 3 komen minstens één keer voor in de rij t 0, t, t,

38 Opgave 4.7 Zij P een predikaat over N. Omschrijf nu zo kort mogelijk de volgende beweringen met notaties uit de predikatenrekening: (i) Er bestaat hoogstens één getal dat aan P voldoet en dat kleiner is dan 000. (ii) Er bestaan geen twee opeenvolgende natuurlijke getallen die beide aan P voldoen. (iii) Tussen ieder tweetal verschillende oneven kwadraten ligt minstens één getal dat aan P voldoet. Opgave 4.8 Formuleer de volgende vermoedens in de taal van de hoofdstukken 3 en 4, waarbij je desgewenst gebruik mag maken van notaties als n m voor n is een deler van m PRIEM(n) voor n is een priemgetal N + voor de verzameling {,, 3, 4, 5, 6, 7,...} (i) Ieder even getal groter dan is te schrijven als som van twee priemgetallen (Vermoeden van Goldbach). (ii) Iedere positieve breuk met teller 5 en noemer is te schrijven als som van drie positieve breuken met teller (Vermoeden van Erdös-Sierpiński). (iii) In N + kan een vijfdemacht niet de som zijn van vier vijfdemachten (een vermoeden van Euler). (iv) Er zijn willekeurig grote priemvrije intervallen. (Een interval [n, m] noemen we priemvrij als er in dit interval geen priemgetallen liggen; met de grootte van het interval bedoelen we het getal m n). Opgave 4.9 (i) Hoeveel deelverzamelingen V van N voldoen aan 5 V n V [n + V ]? (ii) Hoeveel deelverzamelingen V van N voldoen aan x V [ y V [y < x]]? (iii) Hoeveel deelverzamelingen V van N voldoen aan n N [ k N [k < n k V ] n V ]? Opgave 4.30 Zij P een predikaat over N. Omschrijf nu met behulp van symbolen uit de predikatentaal: (i) Er bestaat minstens één natuurlijk getal dat aan P voldoet. (ii) Er bestaan minstens twee natuurlijke getallen die aan P voldoen. (iii) Er bestaan minstens drie natuurlijke getallen die aan P voldoen. (iv) Er bestaat een natuurlijk getal 5 dat aan P voldoet. (v) Alle natuurlijke getallen vanaf 5 voldoen aan P. (vi) Er bestaan vijf opeenvolgende natuurlijke getallen die allemaal aan P voldoen. (vii) Er bestaat hoogstens één natuurlijk getal dat aan P voldoet. (viii) Er bestaan hoogstens drie natuurlijke getallen die aan P voldoen. (ix) Er zijn oneindig veel oneven drievouden die aan P voldoen. Opgave 4.3 Geef korte formuleringen voor xry, waarbij R de volgende relatie in N is: (i) R = {(0, 3), (, 4), (, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8),...} (ii) R = N \ {(n, n) n N} (iii) R = {(ab, a) a, b N} Opgave 4.3 Ga van de volgende relaties in N na in hoeverre ze reflexief, symmetrisch, transitief of antisymmetrisch 37