Wiskundige Structuren voor Informatici

Transcriptie

1 Wiskundige Structuren voor Informatici Wim Gielen Engelbert Hubbers 9 juli 04

2 Inhoudsopgave Inhoudsopgave Voorwoord 3 Getallen 6. Natuurlijke getallen Ontbinding in factoren Gemeenschappelijke delers en veelvouden Gehele getallen Rekenen modulo n Chinese Reststelling Gemengde opgaven Belangrijke begrippen Inductie 8. Principe van volledige inductie Andere inductiebasis Andere inductievarianten Gemengde opgaven Belangrijke begrippen Beweringen en verzamelingen 8 3. Beweringen Taal van de propositielogica Uitspraken over formules Formaliseren Verzamelingen Inductieve verzamelingen Gemengde opgaven Belangrijke begrippen Predikaten en relaties 4 4. Predikaten Predikaten en deelverzamelingen Kwantoren Taal van de predikaatlogica Eigenschappen van predikaatlogica Relaties Gemengde opgaven Belangrijke begrippen Ordeningen en equivalentierelaties Ordeningen Equivalentierelaties Gemengde opgaven Belangrijke begrippen

3 6 Functies Voorschriften Injecties, surjecties en bijecties Functies en verzamelingen Gemengde opgaven Belangrijke begrippen Coderingen en machtigheden Coderingen Inverse functies van sin, tan en exp Machtigheden Gemengde opgaven Belangrijke begrippen A Rekenen 89 A. Getallen A. Cirkels, graden en radialen A.3 Sinus, cosinus en tangens A.4 Absolute waarde A.5 Wortels A.6 Kwadratische vergelijkingen A.7 Breuken A.8 Exponentiële en logaritmische functies A.9 Machten A.0 Gemengde opgaven A. Rekentoets A. Antwoorden Rekentoets A.3 Rekentoets A.4 Antwoorden Rekentoets A.5 Rekentoets A.6 Antwoorden Rekentoets A.7 Rekentoets A.8 Antwoorden Rekentoets A.9 Rekentoets A.0 Antwoorden Rekentoets B Limieten en reeksen B. Limieten B. Sommaties B.3 Rekenkundige reeks B.4 Meetkundige reeks B.5 Gemengde opgaven C Definities en Stellingen 0 C. Definities C. Stellingen D Index 3

4 Voorwoord Ten opzichte van vorig jaar is er inhoudelijk aan dit dictaat niet echt iets veranderd. Dit dictaat voor Wiskundige Structuren bestaat uit een aantal normale hoofdstukken en enkele appendices. De gewone hoofdstukken worden natuurlijk tijdens de hoorcolleges behandeld, maar de appendices niet. Deze appendices bevatten eigenlijk alleen maar vwo-stof. Ik verwacht echter wel dat die stof beheerst wordt, dus lees die stof wel door! En als er vragen over zijn, kun je die tijdens het werkcollege stellen. De opgaven zijn verdeeld in twee groepen. Sommige opgaven staan direct na de stof waar ze over gaan en sommige opgaven staan als extra opgaven aan het eind van het hoofdstuk. Daarnaast staan de antwoorden niet in dit dictaat, maar is er een opgavenbundel beschikbaar waarin steeds meer uitwerkingen komen te staan. Bij Wiskundige Structuren zijn er twee toetsen gedurende het kwartaal. Indien deze toetsen goed genoeg zijn gemaakt en je het huiswerk ook goed genoeg gemaakt hebt, hoef je geen tentamen meer te maken. Op het moment van schrijven van dit voorwoord is het helaas nog niet duidelijk wie de assistenten zullen zijn bij dit vak. Er zijn in elk geval twee studentassisten (Lars Bade en Moritz Neikes), maar naar een derde assistent wordt nog gezocht. Deze assistenten zullen met name actief zijn tijdens de werkcolleges. En hoewel Wim Gielen het vak zelf niet meer geeft, spelen zijn poezen (Zompie, Kaasje, Wally, Pudding, Wobbel, Koelie, Pommetje, Bontepoes, Fafner en Alpje) nog wel een belangrijke rol bij het leren van de theorie van dit vak. Algemene informatie Engelbert Hubbers kamer M.0.06B Voorkennis. Ik ga ervan uit dat je kunt rekenen op het niveau van het vwo-eindexamen Wiskunde B. Twijfel je aan je rekenvaardigheid, haal dan bij mij het extra dictaat Rekenen (zolang de voorraad strekt). Daarin vind je alles wat nodig is om met kans op succes aan je studie te beginnen. De belangrijkste vaardigheden uit het rekendictaat zijn voor alle zekerheid ook in dit dictaat samengevat in hoofdstuk A. Inhoud. Deze cursus bestaat uit vwo-herhaling (appendix A en B) nieuwe rekentechnieken (hoofdstuk en ) logica, verzamelingsleer en relaties (hoofdstuk 3, 4, 5) functies (hoofdstuk 6 en 7) Werkwijze. Elk hoofdstuk leer je door middel van de volgende activiteiten:. Hoorcollege (maandag ): Ik behandel de grote lijnen en moeilijke details van het betreffende hoofdstuk. 3

5 . Zelfstudie: Na het hoorcollege ga je aan de slag met het maken van de opgaven. 3. Responsiecollege (woensdag ): Tijdens dit uur wordt er klassikaal gewerkt aan het oplossen van de problemen die bij de zelfstudie naar voren zijn gekomen. 4. Werkcollege (woensdag ): Aansluitend heb je één uur de gelegenheid om individueel aan de huiswerkopgaven te werken waarbij je hulp kunt vragen aan docenten of medestudenten. 5. Huiswerk (donderdag 7.30): Wil je gebruik maken van de vrijstellingsregel voor het tentamen, dan moet je ook huiswerk inleveren. Huiswerk kun je alleen digitaal inleveren via Blackboard als.pdf. Idealiter maak je je huiswerk natuurlijk direct in L A TEX, maar gewoon schrijven en er een goede scan van maken mag natuurlijk ook. Slecht leesbare foto s die als.jpg of zo worden ingeleverd worden niet nagekeken. Is je huiswerk leesbaar dan krijg je feedback op dit werk. De ervaring leert dat dit belangrijk is. Veel opgaven lijken van het type dat zie je toch zo, maar op de toetsen en het tentamen wordt er ook streng gelet op hoe je het precies opschrijft. Lever je huiswerk in dan krijg je dus al in een vroeg stadium te horen hoe goed of slecht je dat doet. 6. Toets (vrijdag.30.30): In 45 minuten produceer je (schriftelijk) oplossingen van een aantal opgaven over twee of drie hoofdstukken. Opgaven. De aanbevolen werkwijze bij een opgave uit het dictaat is: lees de opdracht, leg het dictaat buiten bereik, en voer de opdracht uit. Vergelijk vervolgens jouw uitwerking met onze modeluitwerking, die je in de opgavenbundel kunt vinden. Zijn de uitkomsten/resultaten gelijk? (Zo nee, wie van ons heeft het mis?) Is jouw methode handiger dan de onze? (Zo ja, vertel ons jouw methode een keer tijdens het werkcollege.) Is jouw wijze van opschrijven even duidelijk als de onze? (Een onpartijdige arbitrage door hospita of huisdier zou welkom zijn.) Verdient jouw uitwerking een beoordeling 6? (Zo nee, bestudeer nogmaals de theorie en je aantekeningen.) Lukt het niet een zinnige uitwerking te produceren, vraag dan een aanwijzing tijdens het werkcollege. En natuurlijk zal het ook vast wel eens voorkomen dat je onze oplossing totaal niet snapt. Dan is hij waarschijnlijk toch niet zo best opgeschreven en vraag ons tijdens het werkcollege dan maar om een betere uitleg. Toetsen en tentamens. De toetsen zijn facultatief. Mocht je er dus om wat voor reden dan ook eentje missen, is er niets aan de hand. In dat geval maak je gewoon het tentamen aan het eind van het kawrtaal. En mocht je dat onverhoopt niet halen, dan is er in januari een hertentamen. De toetsen en tentamens zijn gesloten boek. De opgaven van de toetsen en het tentamen zullen waarschijnlijk sterk lijken op de opgaven in dit dictaat. Echter, omdat in dit dictaat ook veel tamelijk simpele oefeningen staan, zal het niveau van de opgaven op de toetsen gemiddeld iets hoger zijn dan dat van de opgaven uit het dictaat. Het grote verschil tussen de toetsen en het afsluitende tentamen is dat het tentamen over de hele stof gaat en je dus in een keer alle onderwerpen moet beheersen. Hoewel je hem waarschijnlijk niet heel erg vaak nodig hebt, mag je wel een rekenmachine gebruiken. Zoals al eerder opgemerkt, als je bij de toetsen hoog genoeg hebt gescoord mag je dit tentamen overslaan. Je eindcijfer wordt dan het op halven afgeronde gemiddelde van die toetsen. Voor de exacte regeling kun je terecht op de website van dit vak. Grafische rekenmachine (GR). Stompzinnige calculaties en het tekenen van grafieken mag je desgewenst uitbesteden aan je calculator of je grafische rekenmachine, als je zo n ding toevallig op zak hebt. Als je geen rekenmachine hebt, dan hoef je er ook beslist geen aan te schaffen: je eigen hersens zijn in principe ruimschoots in staat om tienen te scoren. Studenten zonder GR mogen zonder scrupules alle GR-info en GR-opgaven overslaan. Enkele beruchte nadelen van een GR: 4

6 . Hij is niet altijd in staat exacte uitkomsten af te leveren. Als je bijvoorbeeld het berekenen van arctan aan je GR delegeert met de instructie tan (), dan meent hij het getal als antwoord te moeten uitkotsen. Helaas zal dit antwoord bij een toets als een fout worden aangemerkt omdat het niet perfect is: over een tijdje begrijp je dat π de enige correcte uitkomst is.. Hij kan niet symbolisch rekenen. Als je bijvoorbeeld arcsin a + arccos a laat uitrekenen met de instructie sin (a)+cos (a), slaat hij op tilt (jij weet over twee maanden dat de juiste uitkomst π is). En juist dat symbolisch rekenen is voor deze studie onmisbaar: je moet vaak berekeningen uitvoeren met een of meer ongespecificeerde constanten. Zo n a stelt bijvoorbeeld de gravitatieconstante op de maan Deimos voor, of het cholesterolgehalte in een nog niet geanalyseerd bloedmonster, of het percentage vrije ruimte op je harde schijf. 3. Hij cumuleert kritiekloos zijn afrondingsfouten tot gigantische blunders. Problemen. Als je goed je best doet en actief mee doet tijdens de responsiecolleges en de werkcolleges, maar desondanks niet in staat bent voor Wiskundige Structuren te slagen, was je keuze voor de studierichting Informatica misschien een vergissing, want Wiskundige Structuren ligt aan de basis van veel andere vakken uit de studie. Onderneem dus actie als je toetscijfers een dramatische ontwikkeling vertonen, en neem bij twijfel contact op met je studieadviseur (als ook andere cursussen niet zo lekker gaan) of met mij (als vooral Wiskundige Structuren een hinderlijk obstakel dreigt te worden). 5

7 Hoofdstuk Getallen. Natuurlijke getallen De natuurlijke getallen zijn de objecten We nemen aan dat je wel weet hoe je met deze objecten kunt rekenen (optellen, vermenigvuldigen en dergelijke). Voor alle zekerheid nog een paar inities (afspraken betreffende natuurlijke getallen): Definitie. (Basisbegrippen natuurlijke getallen). de opvolger van n n is positief n is even n is oneven n is een drievoud n is deelbaar door m n is een deler van m n is een factor van m n is een priemgetal n is een priemfactor van m N n N = het getal n + = n > 0 = er bestaat een natuurlijk getal k waarvoor n = k = er bestaat een natuurlijk getal k waarvoor n = k + = er bestaat een natuurlijk getal k waarvoor n = 3k = er bestaat een natuurlijk getal k waarvoor n = km = er bestaat een natuurlijk getal k waarvoor m = kn = n is een deler van m = n, en de enige delers van n zijn en n = n is een factor van m en n is een priemgetal = de verzameling van alle natuurlijke getallen = n is een element van N, n is een natuurlijk getal ( = is een afkorting voor is per initie oftewel betekent per afspraak ) Notatie: n m is een afkorting voor: n is een deler van m. Opgave. Ga na of de volgende stelling juist is voor alle natuurlijke getallen x, y, z, a en b. Als je denkt dat hij juist is, geef dan een bewijs; denk je dat hij niet juist is, geef dan een tegenvoorbeeld. als z x en z y, dan z (ax + by) In woorden betekent dit: delers van x en y zijn ook delers van gehele lineaire combinaties van x en y. 6

8 Opgave. (i) Is 0 deelbaar door 7? (ii) Is 7 deelbaar door 0? (iii) Is 7 een deler van 0?. Ontbinding in factoren Stelling. (Priemstelling): Ieder natuurlijk getal n kan geschreven worden als een product van priemgetallen. Bewijs: In opgave. mag je zelf een formeel bewijs met inductie opstellen. Je kunt de juistheid van deze stelling ook nu al wel inzien met het volgende algoritme: Algoritme (Priemalgoritme):. Is n zelf al priem, dan ben je klaar.. Zo niet, zij p dan de kleinste deler van n die is: n = p m 3. Dan is p een priemgetal. 4. Herhaal de stappen 3 met m. Voorbeeld.3 We willen het getal 67 ontbinden in priemfactoren. Dat doen we als volgt: 67 is geen priemgetal, want het is bijvoorbeeld deelbaar door 77. De kleinste priemdeler van 67 is 3, en 67 = is geen priemgetal, want het is bijvoorbeeld deelbaar door 77. De kleinste priemdeler van 539 is 7, en 539 = is geen priemgetal, want het is bijvoorbeeld deelbaar door 7. De kleinste priemdeler van 77 is 7, en 77 = 7. is een priemgetal, dus klaar. De ontbinding in priemfactoren is 67 = 3 7. Deze uitwerking is overdreven lang doordat de opmerking 67 is geen priemgetal natuurlijk al impliciet verstopt zit in De kleinste priemdeler van 67 is 3. Immers, als 67 wel priem was geweest, dan was 67 de kleinste priemdeler van 67 geweest. In dit soort situaties laten we de expliciete check uit het algoritme dan ook meestal weg, totdat we de conclusie trekken dat is een priemgetal. Opgave.3 Ontbind het getal 7856 in priemfactoren. Opgave.4 Bewijs dat er een priemgetal bestaat dat groter is dan Opgave.5 (i) Bestaan er natuurlijke getallen n en m waarvoor n = 7m? Bewijs je antwoord. (ii) Bestaan er positieve natuurlijke getallen n en m waarvoor n = 7m? Bewijs je antwoord. 7

9 .3 Gemeenschappelijke delers en veelvouden Definitie.4 (Delen met rest). Voor natuurlijke getallen n en m met m 0 iniëren we: n div m n mod m = het grootste natuurlijke getal a waarvoor ma n n anders gezegd: m naar beneden afgerond = n m (n div m) anders gezegd: de rest van n na deling door m Notatie: n div m wordt ook wel geschreven als n m, waarbij x de zogenaamde floor van x is. Uit de inities volgt direct dat n = m (n div m) + (n mod m) waarbij 0 (n mod m) < m. Merk verder op dat div en mod hier dus net als bijvoorbeeld de + binaire operatoren zijn. Voorbeeld.5 Kaasje heeft 00 euro en wil zoveel mogelijk vlaaien kopen, die kosten 7 euro per stuk. Kaasje kan dan 4 vlaaien kopen en houdt nog euro over, want 00 = Anders geformuleerd: 00 div 7 = 4 00 mod 7 = Definitie.6 (ggd en kgv). Voor positieve natuurlijke getallen n en m iniëren we de grootste gemene deler van n en m, ggd (n, m), en het kleinste gemene veelvoud van n en m, kgv (n, m) als volgt: ggd (n, m) kgv (n, m) = de grootste k N met k n en k m = de kleinste positieve k N met n k en m k Het gemene in deze initie verwijst niet naar de intenties van deze getallen, maar is een afkorting van gemeenschappelijke. Voorbeeld.7 ggd (4, 60) = 6, want de gemeenschappelijke delers van 4 en 60 zijn,, 3 en 6, en hiervan is 6 de grootste. kgv (4, 60) = 40, want de gemeenschappelijke veelvouden van 4 en 60 zijn 0, 40, 840, 60,... en het kleinste positieve van deze getallen is 40. Hoe kun je van twee gegeven getallen n en m hun ggd en kgv snel uitrekenen? Er zijn hiervoor diverse algoritmen in de handel. Een gemakkelijk te begrijpen methode is: Algoritme (Naïef ggd-kgv-algoritme):. Ontbind n in priemfactoren.. Ontbind m in priemfactoren. 3. Hebben n en m geen gemeenschappelijke priemfactoren, dan is ggd(n, m) =. 4. Anders is ggd(n, m) het product van de gemeenschappelijke priemfactoren. 5. En is kgv(n, m) het product van alle gevonden priemfactoren, waarbij de gemeenschappelijke factoren slechts éénmaal worden gebruikt. Voorbeeld.8 De werking van dit algoritme in voorbeeld.7:. De priemontbinding van 4 is

10 . De priemontbinding van 60 is De gemeenschappelijke factoren zijn en 3, dus ggd (n, m), 4. maar ggd (4, 60) = 3 = En kgv (4, 60) = = 40. Merk op dat de gemeenschappelijke factoren en 3 dus maar één keer worden gebruikt in de vermenigvuldiging. Euclides bedacht ruim 00 jaar geleden een ander slim algoritme voor het bepalen van ggd (n, m). Algoritme (Algoritme van Euclides):. Vervang de grootste van de twee (we nemen maar even aan dat dat m is) door k = m mod n.. Bedenk dat deze vervanging de ggd niet verandert (zie opgave.7) en dus ggd(n, m) = ggd(n, k) en dat hierdoor het probleem dus eenvoudiger is geworden. 3. Is het nog steeds te moeilijk om ggd(n, k) te berekenen, begin dan weer bij (). Voorbeeld.9 De werking van dit algoritme in voorbeeld.7:. We vervangen de grootste (dat is 60) door 60 mod 4 = 8.. Het probleem is hiermee gereduceerd tot ggd (4, 8). 3. Dat is nog steeds best wel moeilijk. 4. We vervangen de grootste (4) door 4 mod 8 = Het probleem is nu gereduceerd tot ggd (8, 6). 6. En dat lukt ons wel: de uitkomst is 6. Een groot voordeel van het algoritme van Euclides ten opzichte van het naïeve algoritme is de enorme besparing op het benodigde aantal rekenstappen (de complexiteit ). Probeer maar eens ggd (0646, 8003) op beide manieren te berekenen, dan merk je het wel. Definitie.0 (Relatief priem). Twee natuurlijke getallen heten relatief priem indien zij geen gemeenschappelijke deler hebben. Opgave.6 Ga na welke van de volgende beweringen voor alle natuurlijke getallen n waar zijn. Geef telkens ofwel een bewijs, ofwel een tegenvoorbeeld. (i) Als n mod 7 = 3, dan (n) mod 7 = 6. (ii) Als n div 7 = 3, dan (n) div 7 = 6. Opgave.7 Zij n m en zij a = n mod m. Bewijs dat ggd (n, m) = ggd (a, m). Opgave.8 Bereken ggd (0646, 8003). 9

11 .4 Gehele getallen De gehele getallen zijn de objecten De verzameling van alle gehele getallen noemen we Z. De meeste begrippen uit dit hoofdstuk zijn gemakkelijk te generaliseren voor gehele getallen. Sommige begrippen vergen kleine aanpassingen, zoals bijvoorbeeld het begrip deler. Andere begrippen kunnen precies worden overgenomen. Daarnaast zijn er begrippen die voor N niet zinnig waren, maar voor Z wel, zoals negatief. Hier enkele inities. Denk zelf na over de andere begrippen. Definitie. (Basisbegrippen gehele getallen). n is positief n is negatief n m ggd (n, m) kgv (n, m) n div m = n > 0 = n < 0 = er bestaat een geheel getal k waarvoor kn = m = de grootste k N met k n en k m = de kleinste positieve k N met n k en m k = het grootste gehele getal a waarvoor ma n, als m > 0 = het grootste gehele getal a waarvoor ma n, als m < 0 n mod m = n m (n div m) Ook voor gehele getallen geldt nog steeds dat n = m (n div m) + (n mod m), maar nu geldt 0 (n mod m) < m als m > 0 en 0 (n mod m) > m als m < 0. Stelling. (Stelling van Euclides): De grootste gemeenschappelijke deler van n en m is een gehele lineaire combinatie van n en m. Anders geformuleerd: er bestaan gehele getallen α en β waarvoor ggd (n, m) = αn + βm Bewijs: Lees het algoritme van Euclides van achter naar voren: ggd (n, m) is vanzelfsprekend een gehele lineaire combinatie van het laatste duo, en dus ook van het voorlaatste duo, enzovoorts. Door dit proces te volgen kun je zo n lineaire combinatie ook echt vinden, bijvoorbeeld in het voorbeeld met 60 en 4 uit voorbeeld.7: Voorbeeld.3 duo rest lineaire combinatie (8, 6) 0 = = (4, 8) 6 = = (4 8) 6 = 4 8 (60, 4) 8 = = 4 (60 4) 6 = Opgave.9 Schrijf het getal 3 als gehele lineaire combinatie van 0646 en 8003, of bewijs dat dit onmogelijk is. Opgave.0 (i) Schrijf 00 als gehele lineaire combinatie van 5 en 37, of bewijs dat dit onmogelijk is. (ii) Schrijf 00 als gehele lineaire combinatie van 5 en 39, of bewijs dat dit onmogelijk is. 0

12 .5 Rekenen modulo n Definitie.4 (Gelijkheid modulo n). Als n een positief natuurlijk getal is, dan noemen we twee natuurlijke getallen a en b gelijk modulo n als hun rest na deling door n hetzelfde is. We noteren dit als a b (mod n): a b (mod n) = a mod n = b mod n Ook deze initie kunnen we generaliseren voor gehele getallen; we moeten het dan zó formuleren: a b (mod n) = n (a b) Voorbeeld.5 De getallen 0 en 3 zijn gelijk modulo 7, want ze hebben allebei rest 3 na deling door 7. De getallen 6 en 30 zijn gelijk modulo 7, want beide zijn een zevenvoud plus 5. Deze vorm van modulorekenen heeft bijzonder handige eigenschappen. Stelling.6 (Eigenschappen modulorekenen): Zij x, y, z Z en n, m N en n > 0. Dan gelden:. als x y (mod n) dan kx ky (mod n). als x y (mod n) dan x + c y + c (mod n) 3. als x y (mod n) dan x y (mod n) 4. x + y (x mod n) + (y mod n) (mod n) 5. x y (x mod n) (y mod n) (mod n) 6. x y (x mod n) (y mod n) (mod n) 7. x m (x mod n) m (mod n) Bewijs: De bewijzen volgen direct uit de inities. We werken hier slechts enkele gevallen uit. 3. We moeten laten zien dat n x y gegeven dat n x y. Merk op dat x y = (x y)(x + y). En omdat n x y geldt natuurlijk ook n (x y)(x + y), dus n x y. 5. We moeten laten zien dat n x y ((x mod n) (y mod n)). Uit de inities weten we dat x mod n = x n (x div n) en y mod n = y n (y div n). Vullen we dit in dan kunnen we de expressie eenvoudig herschrijven: x y ((x mod n) (y mod n)) = x y ((x n (x div n)) (y n (y div n))) = x y (x n (x div n)) + (y n (y div n)) = x y x + n (x div n) + y n (y div n) = n (x div n) n (y div n) = n ((x div n) (y div n)) En omdat n n ((x div n) (y div n)), geldt ook n x y ((x mod n) (y mod n)). Probeer de andere gevallen zelf uit te werken.

13 Bij vermenigvuldigen en optellen modulo n mag je dus ongestraft een getal a vervangen door een b die (mod n) met a gelijk is. Wil je bijvoorbeeld de rest van 8 00 na deling door 7 uitrekenen, dan kan dat als volgt: 8 (mod 7) = 8 00 mod 7 = 00 mod 7 = Mogelijke uitkomsten bij het rekenen modulo 7 zijn (op gelijkheid modulo 7 na) alleen de getallen 0,,, 3, 4, 5, 6. Je kunt hiervoor dus simpele tabelletjes maken: optelling in Z vermenigvuldiging in Z Notatie: De verzameling {0,,, 3, 4, 5, 6} met de bovenstaande optellings- en vermenigvuldigingsstructuur noteren we als Z 7. En voor positieve n N staat Z n voor de verzameling {0,,, 3,..., n } met de bijbehorende optelling en vermenigvuldiging. In de vermenigvuldigingstabel bevatten elke rij (behalve de nulrij) en elke kolom (behalve de nulkolom) elk getal uit {0,,, 3, 4, 5, 6} precies één keer. Dat geldt niet alleen voor 7, maar voor alle priemgetallen. Stelling.7: Zij p een priemgetal en zij a een van de getallen,, 3,..., p. Dan zijn de getallen a, a, 3a,..., (p )a allemaal verschillend modulo p. Bewijs: We bewijzen dit uit het ongerijmde: we nemen aan dat het tegendeel waar is en leiden dan een tegenspraak af. Neem eens aan dat twee van deze getallen (na en ma met m < n p ) gelijk zouden zijn modulo p. Dan zou hun verschil een p-voud zijn: p (na ma) en dus p (n m)a. Omdat p priem is moet dan p (n m) of p a, maar dit kan niet omdat n m en a allebei in de verzameling {,..., p } liggen. Gevolg.8: Als p een priemgetal is dan heeft in Z p ieder getal a {,..., p } een inverse, dat wil zeggen er bestaat dan precies één b {,..., p } waarvoor a b (mod p). We kunnen dus in Z p ook delen door getallen 0. Notatie: We schrijven a om de inverse van a aan te geven. Voorbeeld.9 In Z 7 kunnen we delen door 5: 3 5 = 3 5 = 3 3 =. Net als bij de optelling en de vermenigvuldiging kan hier ook weer een tabel van worden gemaakt: deling in Z 7 /

14 Er zijn verschillende manieren om de inverse modulo p te berekenen. Voorbeeld.0 Bereken 5 modulo 37. Kies zelf maar welk van de twee methodes je prefereert, maar bedenk wel dat het niet alleen voor 37 maar ook voor héél grote priemgetallen moet werken binnen de toegestane tijd voor een toets of tentamen. Lompe methode. Doe in Z 37 de 36 berekeningen 5, 5,..., Dat resulteert in 36 verschillende uitkomsten uit {,..., 36}, dus één van deze uitkomsten is, hoera gevonden. Euclides methode. Schrijf als lineaire combinatie van 5 en 37 volgens het algoritme van Euclides: = De gezochte inverse is dan, en modulo 37 is dat 5. Dus 5 = 5 mod 37. Een bijzonder handige stelling die in de cryptografie veel gebruikt wordt, is de kleine stelling van Fermat. Voordat we die kunnen bewijzen, behandelen we eerst een lemma (hulpstelling) dat qua bewijs verdacht veel lijkt op stelling.7. Lemma.: Zij b, p Z waarbij p een priemgetal is en b geen p-voud. Zij m, n Z. Er geldt dan: als b m b n (mod p) dan m n (mod p) Bewijs: Stel b m b n (mod p). Dan p b m b n. Dus p b(m n). Maar omdat p een priemgetal is moet dan gelden dat p b of p m n. En omdat b geen p-voud is moet dus wel gelden dat p m n. Maar dat betekent dat m n (mod p). Stelling. (Kleine stelling van Fermat): Als p priem is en a Z, dan geldt a p a (mod p) En als a bovendien geen p-voud is, dan geldt a p (mod p) Bewijs: We maken een gevalsonderscheiding. Stel p a. In dit geval geldt dat a p 0 (mod p) en a 0 (mod p). Dus automatisch ook a p a (mod p). Stel p a. Uit stelling.7 volgt onder meer dat in Z p de getallen a, a,..., (p )a precies dezelfde getallen zijn als de getallen,..., p, maar in andere volgorde. Dus ook hun product is hetzelfde: En na herordenen a a 3a (p )a = 3 (p ) 3 (p ) a p = 3 (p ) Door nu lemma. toe te passen met b = 3 (p ) en m = a p en n =, krijgen we a p (mod p) Beide kanten met a vermenigvuldigen levert a p a (mod p). In beide gevallen is de stelling nu bewezen. Opgave. Bereken in Z 5 Opgave. We hebben in de theorie bewezen: als p priem is, dan heeft in Z p iedere a 0 een inverse. Mag in deze stelling de voorwaarde als p priem is straffeloos worden weg gelaten? 3

15 Opgave.3 (i) Bepaal alle natuurlijke getallen n waarvoor geldt: 7n (mod 5). (ii) Bepaal alle natuurlijke getallen n waarvoor geldt: 7n 3 (mod 5). Opgave.4 Bereken in Z 37 (i) 5 36 (ii) Chinese Reststelling De Chinese wiskundige Ch in Chiu-Shao bedacht in 47 een algoritme om onder bepaalde omstandigheden simultane modulo vergelijkingen op te lossen. Hier eerst de stelling. Stelling.3 (Chinese Reststelling): Als ggd(n, m) =, dan heeft het stelsel vergelijkingen x a (mod n) x b (mod m) (.) precies één oplossing waarvoor geldt 0 x < nm. Bewijs: Eerst bewijzen we via een constructie dat er zo n x bestaat. Stap. Omdat ggd(n, m) = zijn er volgens de stelling van Euclides α en β met = α n + β m. Maar daaruit volgt Stap. Dit is eenvoudig op te splitsen in α n + β m (mod n) α n + β m (mod m) α n 0 (mod n) α n (mod m) en β m (mod n) β m 0 (mod m) Stap 3. Vervolgens vermenigvuldigen we het linker blok met b en het rechter blok met a. Op grond van de eigenschappen uit stelling.6 krijgen we dan b α n 0 (mod n) b α n b (mod m) en a β m a (mod n) a β m 0 (mod m) Stap 4. Neem dan x = (b α n + a β m) mod (nm). Die voldoet aan beide vergelijkingen en ook aan 0 x < nm. Nu moeten we nog bewijzen dat x de enige oplossing is. Stel nu dat er een y x is met 0 y < nm die voldoet aan y a (mod n) en y b (mod m). Dan is er een z met 0 < z < nm waarvoor geldt y = (x + z) mod (nm). Maar dan geldt z 0 (mod n) en z 0 (mod m). Dus n z en m z. Maar dan geldt nm z omdat ggd(n, m) =. Maar dat is in tegenspraak met 0 < z < nm. Dus bestaat er geen y x met 0 y < nm die een oplossing is van het stelsel. Dus x is de enige oplossing waarbij 0 x < nm. Gevolg.4: Alle oplossingen van stelsel (.) worden gegeven door de verzameling {x + k mn k Z}. Voorbeeld.5 Zoek een oplossing x van het stelsel vergelijkingen x (mod 7) x 5 (mod 0) 4

16 Stap. Schrijf als lineaire combinatie van 7 en 0 (dat lukt via Euclides want ggd (7, 0) = ): = Stap. Hieruit volgt (mod 7) 3 7 (mod 0) 0 (mod 7) 0 0 (mod 0) Stap 3. Vermenigvuldig het linker blokje met 5 en het rechter blokje met : (mod 7) (mod 0) 4 0 (mod 7) (mod 0) Stap 4. Optelling levert nu een oplossing van het stelsel: x = = 65 Stap 5. Andere oplossingen van het stelsel verschillen hiervan een 70-voud, de algemene oplossing is dus x 65 (mod 70) Opgave.5 Zoek een natuurlijk getal n waarvoor geldt: in de gewone tientallige notatie eindigt n op de cijfers 33 en de rest van n na deling door 8 is 7. 5

17 .7 Gemengde opgaven Opgave.6 Ga na of de volgende stelling juist is voor alle natuurlijke getallen x, y en z. Geef een bewijs of een tegenvoorbeeld. als z xy, dan z x of z y Opgave.7 Hoeveel delers heeft het getal 304? Opgave.8 Bewijs dat de getallen 34 en 43 relatief priem zijn. Opgave.9 Bij opgave. hebben we een stelling bekeken die over natuurlijke getallen ging. Maar hoe zit het met de gehele getallen? Met andere woorden, ga na of de volgende stelling juist is voor alle gehele getallen x, y, z, a en b. Als je denkt dat hij juist is, geef dan een bewijs; denk je dat hij niet juist is, geef dan een tegenvoorbeeld. als z x en z y, dan z (ax + by) Opgave.0 Bereken 3 80 mod zonder je GR het vuile werk te laten opknappen. Opgave. Maak tabelletjes voor optelling, vermenigvuldiging en deling in Z 3. Opgave. Bepaal alle gehele oplossingen x van de vergelijking 6x 7 (mod 95). Opgave.3 Bereken in (i) Z (ii) Z 7 Opgave.4 Ik heb n euro en twijfel tussen twee bestedingsmogelijkheden: als ik zoveel mogelijk knuffels koop (die kosten 7 euro per stuk) houd ik nog 3 euro over als ik zo vaak mogelijk mijn favoriete prostituee bezoek (zij rekent 40 euro per bezoek) houd ik euro over, waar ik dan nog drie knuffels van zou kunnen bekostigen Wat kun je uit deze gegevens concluderen over het getal n? 6

18 .8 Belangrijke begrippen Z modulo n Z n, Chinese Reststelling, 4 deelbaar door, 6 deler van, 6 n m, 6 drievoud, 6 element van, 6 Euclides Algoritme van Euclides, 9 Stelling van Euclides, 0 even, 6 factor van, 6 Fermat Kleine stelling van Fermat, 3 floor, 8 x, 8 gehele deling n m, 8 n div m, 8 gehele getallen, 0 Z, 0 gelijk modulo, a b (mod n), grootste gemene deler, 8 ggd (n, m), 8 inverse, a, kleinste gemene veelvoud, 8 kgv (n, m), 8 lemma, 3 lineaire combinatie gehele, 0 natuurlijke getallen, 6 N, 6 negatief, 0 oneven, 6 opvolger van, 6 per initie =, 6 positief, 6 Priemalgoritme, 7 priemfactor van, 6 priemgetal, 6 relatief priem, 9 Priemstelling, 7 rest na deling n mod m, 8 7

19 Hoofdstuk Inductie. Principe van volledige inductie Voordat we uitleggen wat dit principe inhoudt, geven we eerst een nieuwe initie van de reeds bekende natuurlijke getallen. Definitie. (Inductieve initie van N). De verzameling N bestaat uit alle objecten die je kunt maken met de volgende twee machientjes : het nulmachientje dat het getal 0 produceert, het opvolgermachientje : opvolger. als je er een natuurlijk getal ingooit, produceert dit machientje zijn Deze manier om iemand duidelijk te maken wat precies de natuurlijke getallen zijn, noemt men een inductieve initie. Stelling. (Principe van volledige inductie): Uit de bovenstaande inductieve initie van N volgt direct: als 0 mooi is, en ieder mooi getal een mooie opvolger heeft, dan zijn alle natuurlijke getallen mooi Hierbij maakt het helemaal niet uit wat mooi betekent. Voorbeeld.3 Voor alle natuurlijke getallen n geldt: 5 n + 7 is een viervoud. Bewijs: We noemen n mooi als 5 n + 7 een viervoud is. We iniëren: n is mooi = 5 n + 7 is een viervoud Het getal 0 is mooi, want = + 7 = 8 en dat is inderdaad een viervoud. Ieder mooi getal heeft een mooie opvolger. Want als n mooi is, dan bestaat er een natuurlijk getal k waarvoor 5 n + 7 = 4k en dus geldt 5 n = 4k 7. Hiermee kunnen we als volgt narekenen dat ook n + mooi is. 5 n+ + 7 = 5 5 n + 7 = 5 (4k 7) + 7 = 0k 8 = 4 (5k 7) En 4 (5k 7) is duidelijk ook een viervoud. We hebben bewezen dat 0 mooi is en dat ieder mooi getal een mooie opvolger heeft. Volgens het principe van volledige inductie zijn alle natuurlijke getallen mooi, dat wil zeggen 5 n + 7 is voor alle n N een viervoud. 8

20 Definitie.4 (Inductieterminologie). We noemen 0 is mooi de inductiebasis en ieder mooi getal heeft een mooie opvolger de inductiestap. De inductiehypothese is de aanname dat een eigenschap in een bepaalde simpele situatie geldt. Notatie: De plek in een bewijs waar de inductiehypothese wordt toegepast, wordt meestal expliciet aangeduid met IH boven het vergelijkingsteken, bijvoorbeeld: IH =, IH < of IH Voorbeeld.5 Voor alle n N geldt ( ) n 8 + n 7 7. Bewijs: We iniëren: n is super = ( ) n 8 + n 7 7 Inductiebasis. 0 is super, want ( ) omdat. Inductiestap. Neem aan dat n super is. Dan geldt: Dus ook n + is super. ( ) n+ 8 = 7 ( 8 7 ) ( ) n 8 7 ) ( + n 7 ( 7 + n ( IH 8 7 ( ) 8 = n = n 49 = + n ) ) (wegens de superheid van n) (omdat n 0) Dus met het principe van volledige inductie zijn alle natuurlijke getallen super. Voorbeeld.6 Voor alle n N geldt: de som van alle natuurlijke getallen n is n + n. Bewijs: We iniëren: n is blauw = n = n + n De notatie n is een beetje raar voor bijvoorbeeld n = ; je moet dit dan lezen als 0 +. Inductiebasis. Het getal 0 is blauw, want 0 =

21 Inductiestap. Neem eens aan dat n een blauw getal is. Dan geldt: (n + ) = ( n) + (n + ) En dus is ook n + blauw. IH n + n = = n + n = n + 3n + + (n + ) (want n is blauw) + n + = (n + n + ) + (n + ) = (n + ) + (n + ) Uit het principe van volledige inductie volgt nu dat alle natuurlijke getallen blauw zijn. Opgave. Als je 3 n n voor kleine natuurlijke getallen uitrekent, zul je ontdekken dat dit verrassend vaak een zevenvoud blijkt te zijn: = 0 = = 7 = = 77 = = 7 = = 6545 = = 5907 = = = = = = = = = = = Geef een verklaring voor dit merkwaardige verschijnsel. Opgave. Bewijs dat 3 3n 4n voor alle n N deelbaar is door. Opgave.3 Deze opgave gaat over de volgende rij van reële getallen:, 7, 6 + 7, , , Dit is de rij a 0, a, a, a 3,... die vastgelegd wordt door { a0 = a n+ = 6 + a n voor alle n (i) Bewijs dat alle termen van deze rij groter zijn dan 0. (ii) Bewijs dat alle termen van deze rij kleiner zijn dan 3. (iii) Bewijs dat de rij stijgend is, dat wil zeggen a n+ > a n voor alle n ,... 0

22 . Andere inductiebasis Inductie hoeft niet persé bij 0 te beginnen. Je ziet bijvoorbeeld ook wel in: Stelling.7 (Inductie met andere basis): n is cool ieder cool getal n heeft een coole opvolger } = alle natuurlijke getallen vanaf n zijn cool Voorbeeld.8 Onderzoek welke natuurlijke getallen n voldoen aan n n. We iniëren: n is cool = n n We testen even een paar kleine getallen op coolheid: 0 is cool want 0 6 is cool want is cool want 7 is cool want 8 49 is cool want is cool want is niet cool want 8 < 9 9 is cool want is cool want is cool want is cool want 3 5 is cool want 048 Als je zo nog een paar uur door ploetert, ga je vermoeden dat alle natuurlijke getallen vanaf 4 cool zijn. We bewijzen de juistheid van dit vermoeden. Bewijs: We gaan nu het principe van inductie toepassen met startpunt n = 4: Inductiebasis. Het getal 4 is cool omdat 4 = 6 6 = 4. Inductiestap. Neem aan dat n een cool getal 4 is. We gaan nu de coolheid van n + bewijzen:. n+ = n IH n. Hier is coolheid van n gebruikt.. n (n + ) omdat n (n + ) = n n = (n ) 3 = 7 0. Hier is n 4 gebruikt. 3. Uit en volgt n+ (n + ), dus n + is cool. Volgens het principe van volledige inductie zijn dus vanaf n = 4 alle natuurlijke getallen cool. Voorbeeld.9 Voor alle natuurlijke getallen n geldt (n )n = n n. Bewijs: We iniëren: n is lief = (n )n = n n We gaan nu het principe van inductie toepassen met startpunt n = : Inductiebasis. Het getal is lief, want = =.

23 Inductiestap. Als n een lief getal is, dan geldt + + (n )n + n(n + ) Dus n + is lief. IH = n n = = + n(n + ) (wegens de liefheid van n) (n )(n + ) + n(n + ) n(n + ) = n n(n + ) n n + Dus (volledige inductie) alle natuurlijke getallen vanaf zijn lief. Opgave.4 Bewijs dat voor alle natuurlijke getallen n geldt: n 3 n n Opgave.5 Bewijs de volgende formule voor natuurlijke getallen n : n n = (n ) n+ + Opgave.6 We iniëren de rijen a, a, a 3,... en b, b, b 3,... door a = 5 a n+ = a n 3 voor alle n b n = 3 + n voor alle n (i) Schrijf de eerste tien termen van de rij a, a, a 3,... op. (ii) Schrijf de eerste tien termen van de rij b, b, b 3,... op. (iii) Wat valt je op? Formuleer dit opvallende verschijnsel als een vermoeden. (iv) Geef een bewijs of een weerlegging van het in (c) geformuleerde vermoeden. Opgave.7 Bereken voor een paar niet al te grote getallen n (n) totdat je een regelmaat in de uitkomsten ontdekt. Bewijs vervolgens de generalisatie van de gevonden regelmaat..3 Andere inductievarianten Een nuttige variant op het principe van volledige inductie is die met dubbele basis: Stelling.0 (Inductie met dubbele basis): 0 en zijn zompig ieder zompig duo heeft een zompige opvolger Met de opvolger van het duo (n, n + ) wordt het getal n + bedoeld. } = alle natuurlijke getallen zijn zompig

24 Voorbeeld. We iniëren een rij a 0, a, a, a 3,... van getallen door a 0 = 0 a = 0 a n+ = a n+ a n + 3 voor alle n N (i) Bereken de eerste tien termen van de rij a 0, a, a, a 3,.... We kunnen met behulp van de recursieve betrekking a n+ = a n+ a n + 3 steeds de volgende term berekenen uit de twee voorgaande termen, bijvoorbeeld a = a a = = 3. Zo vinden we de eerste tien termen van de rij: 0, 0, 3, 9, 8, 30, 45, 63, 84, 08 (ii) Zompie beweert een formule ontdekt te hebben waarmee alle termen van deze rij snel berekend kunnen worden: a n = 3 ( n n ) Is de formule van Zompie correct? Bewijs: We iniëren: n is zompig = a n = 3 (n n) Inductiebasis. De getallen 0 en zijn zompig, want a 0 = 0 = 3 (0 0) en a = 0 = 3 ( ). Inductiestap. Neem aan dat n en n + zompig zijn. Dan geldt: a n+ = a n+ a n + 3 ( ) ( ) 3 3 = ((n + ) (n + )) (n n) + 3 = ( 3n + 3n ) ( 3 n 3 ) n + 3 = 3 n + 9 n + 3 = 3 ( (n + ) (n + ) ) En dus is ook n + een zompig getal. Conclusie: alle natuurlijke getallen zijn zompig en de formule van Zompie is correct. Hoe het werkt met bijvoorbeeld een driedubbele basis, kun je nu zelf wel verzinnen, zie opgave.9. Interessant is nog de variant verloopsinductie waarbij de inductiehypothese niet alleen de voorgaande twee of drie getallen betreft, maar alle voorgaande getallen: Stelling. (Verloopsinductie): 0 is koud ieder koud beginstuk van N heeft een koude opvolger } = alle natuurlijke getallen zijn koud Met ieder koud beginstuk heeft een koude opvolger wordt bedoeld: als de getallen 0,,,..., n allemaal koud zijn, is ook n koud. En natuurlijk mag je ook bij verloopsinductie in plaats van 0 een hogere startwaarde kiezen. Voorbeeld.3 In Fafnië kent men slechts twee betaalmiddelen: muntjes van 3 cent en van 5 cent. Onderzoek voor welke n N een voldoende rijke Fafniër een gouden ring ter waarde van n cent contant kan betalen. We iniëren: n is betaalbaar = n is te schrijven als som van drietjes en vijfjes 3

25 Zoals gebruikelijk onderzoeken we eerst maar eens even de betaalbaarheid van kleine bedragen: 0 is betaalbaar 6 is betaalbaar (3 + 3) is niet betaalbaar 7 is niet betaalbaar is niet betaalbaar 8 is betaalbaar (5 + 3) 3 is betaalbaar 9 is betaalbaar ( ) 4 is niet betaalbaar 0 is betaalbaar (5 + 5) 5 is betaalbaar is betaalbaar ( ) We gaan nu bewijzen dat alle getallen 8 betaalbaar zijn: Bewijs: We gebruiken verloopsinductie. Inductiebasis. We hebben al gezien dat 8 betaalbaar is. Inductiestap. Neem aan dat de getallen uit het beginstuk 8,..., n betaalbaar zijn. We willen nu bewijzen dat dan ook n betaalbaar is. Voor n = 9 en n = 0 hebben we dat al eerder gezien. En als n dan geven we eerst een muntje van 3 cent en betalen we vervolgens de resterende n 3 cent contant, want dat kan volgens de inductiehypothese. Dus ook n is betaalbaar. Dus alle getallen n 8 zijn betaalbaar. Voorbeeld.4 Bewijs dat ieder natuurlijk getal n te schrijven is als het product van een -macht en een oneven getal. Bewijs: We passen verloopsinductie toe met de initie n is groovy = er bestaan natuurlijke getallen a en b waarvoor n = a (b + ) Inductiebasis. is groovy, want = 0 ( 0 + ). Inductiestap. Neem aan dat de getallen,..., n allemaal groovy zijn. We gaan nu bewijzen dat n dan ook groovy is. Hiertoe onderscheiden we twee gevallen: Geval : n is oneven, zeg n = k +. Maar dan is n groovy wegens n = 0 (k + ). Geval : n is even, zeg n = k. Volgens de inductiehypothese is k groovy. Er bestaan dus natuurlijke getallen a en b waarvoor k = a (b + ). Maar dan is n = a (b + ) = a+ (b + ), dus n is groovy. Conclusie: alle natuurlijke getallen zijn groovy. Opgave.8 Deze opgave gaat over de rij, 3, 4, 7,, 8, 9, 47, 76, 3, 99, 3, 5, 843, 364, 07, 357, 5778, 9349,... We vragen aan Alpje en Wally of ze de regelmaat in deze rij kunnen ontdekken. Alpje antwoordt, na enig diepzinnig gepeins: je doet iedere keer de twee laatste getallen bij elkaar optellen, en zo ga je steeds maar door, totdat het baasje als beloning een blikje opent. Wally, een gestudeerde Half Pers, geeft een totaal andere visie op het gebeuren: de n-de term van de rij is het getal ( + ) n ( 5 + ) n 5 dus kom nu maar op met dat tartaartje. Welk poesje heeft het juiste antwoord gegeven? 4

26 Opgave.9 De rij 5, 0, 8, 6, 0, 30, 68, 6,... wordt vastgelegd door a 0 = 5 a = 0 a n+ = a n+ + a n voor alle n N Bewijs dat a n = n + + 3( ) n voor alle n. Opgave.0 Maak de rij, 3, 6,, 0, 37,... als volgt: a 0 = a = 3 a = 6 a n+3 = 4a n+ 5a n+ + a n voor alle n N Bewijs dat a n = n + n voor alle n N. Opgave. (i) Schrijf het getal 394 als product van priemgetallen. (ii) Schrijf het getal 393 als product van priemgetallen. (iii) Bewijs dat ieder natuurlijk getal te schrijven is als product van priemgetallen. 5

27 .4 Gemengde opgaven Opgave. Bewijs met inductie dat de volgende getallen allemaal kleiner dan zijn:, 3, + 3, + + 3, ,... [Hint: Definieer eerst een recursieve rij a, a,... en gebruik die in het inductiebewijs.] Opgave.3 Kijk eens naar de volgende grappige toevalligheid: Blijft dat zo doorgaan? Bewijs je antwoord. = + 3 = = = = 5 Opgave.4 Bewijs voor alle natuurlijke getallen n de formule: n = 3 n3 + n + 6 n Opgave.5 We willen onderzoeken voor welke natuurlijke getallen n de bewering 3 n n 5 waar is. Hiervoor iniëren we: n is sweet = 3 n n 5 Met een calculator is eenvoudig na te gaan dat de getallen 0 en sweet zijn en de getallen,..., 0 niet sweet. Bewijs dat alle natuurlijke getallen sweet zijn. Opgave.6 Bewijs de formule n(n + ) = n(n + )(n + ) 3 Opgave.7 Bewijs dat n n 3 voor alle natuurlijke getallen n 0. Opgave.8 Bewijs voor alle natuurlijke getallen n de ongelijkheid n 3 4 n4 Opgave.9 Formuleer het principe van inductie met driedubbele basis. 6

28 .5 Belangrijke begrippen inductie met andere basis, met dubbele basis, principe van volledige, 8 verloopsinductie, 3 inductiebasis, 9 inductiehypothese, 9 IH <, 9 IH =, 9 IH, 9 inductiestap, 9 natuurlijke getallen inductieve initie, 8 7

29 Hoofdstuk 3 Beweringen en verzamelingen Tot nu toe hebben we alleen gerekend met getallen. In dit hoofdstuk gaan we rekenen met twee andere soorten wiskundige objecten: beweringen en verzamelingen. De bewerkingen op deze objecten heten nu niet + en maar bijvoorbeeld en (voor beweringen) en en (voor verzamelingen). 3. Beweringen Definitie 3. (Bewering). De begrippen bewering, waar en onwaar beschouwen we als fundamenteel, we leiden ze niet af uit andere begrippen maar maken er wel wat afspraken over. Dit is de belangrijkste afspraak: iedere bewering is waar of onwaar Voorbeeld 3. Voorbeelden van beweringen zijn: = 8 ieder natuurlijk getal is te schrijven als som van vier kwadraten op december 009 wint NEC van Vitesse En uit de afspraak volgt, dat de volgende dingen géén bewering zijn: ga weg, vies beest! op regel (*) van bladzijde 8 staat een onware bewering (*) hoeveel is 3 + 4? Twee beweringen kunnen we dus samenstellen tot een iets complexere bewering. Om handig te kunnen weergeven wat het gevolg is van zo n samenstelling gebruiken we waarheidstabellen: Definitie 3.3 (Waarheidstabel). In een waarheidstabel geven we voor alle mogelijke situaties aan of iets waar of juist onwaar is. Voor waar gebruiken we een en voor onwaar een 0. Deze initie is nu misschien nog wat vaag, maar zodra je één voorbeeld hebt gezien, snap je waar het om gaat. Definitie 3.4 (En: ). Tussen twee beweringen A en B kunnen we het voegwoordje en zetten. Het resultaat is dan een nieuwe bewering. De werking van het voegwoord en wordt vastgelegd door af te spreken: onwaar als A onwaar is en B onwaar is onwaar als A onwaar is en B waar is A en B is onwaar als A waar is en B onwaar is waar als A waar is en B waar is 8

30 De bijbehorende waarheidstabel is: A B A B Opmerking: Waarheidstabellen beginnen altijd met een kolom voor elke atomaire bewering, hier voor A en B. Vervolgens is er voor elke verschillende combinatie van A en B een rij. Zie initie 3.0 voor een formele initie van atomaire beweringen of proposities. Ook het voegwoordje of maakt van twee beweringen een nieuwe bewering. De betekenis van of is in ons taalgebruik echter een beetje onduidelijk. Denk maar eens even na over de bewering + = of + 3 = 5 Sommige mensen vinden deze bewering waar en anderen onwaar; de betekenis van of is blijkbaar dubbelzinnig. Informaticastudenten haten dubbelzinnige woordjes, dus wij zullen van de twee gangbare betekenissen er één kiezen door de volgende waarheidstabel af te spreken. Definitie 3.5 (Of: ). A B A B Dankzij deze afspraak is + = + 3 = 5 dus een ware bewering. Het mechanisme als dan maakt eveneens van twee beweringen een nieuwe bewering. En ook hier geeft ons gangbare taalgebruik geen duidelijk antwoord op de vraag, wanneer als A dan B waar is. Kijk bijvoorbeeld eens naar het geval dat A onwaar is en ook B onwaar is. Hoe denk je dan over als A dan B? Geef maar eens je mening over als + = 3, dan + = 6 als ik van het Erasmusgebouw spring, dan verander ik in een vogeltje als ik hier iets van snap, dan heet ik Bontepoes We zullen aan alle onduidelijkheid een einde maken door de volgende waarheidstabel af te spreken: Definitie 3.6 (Als-dan: ). A B A B Deze afspraken over het voegteken stemmen overeen met de werking van het IF THEN mechanisme in normale programmeertalen. Je mag A B ook wel uitspreken als A impliceert B. De bewering A dan en slechts dan als B, A B, is een afkorting van (A B) (B A). De waarheidstabel van ligt dan ook al vast door die van en : 9

31 Definitie 3.7 (Dan-en-slechts-dan-als: ). A B A B De bewering A dan en slechts dan als B wordt vaak uitgesproken als A desda B. Als A een bewering is, dan is ook niet A een bewering. De waarheidstabel levert geen problemen op: Definitie 3.8 (Niet: ). A A 0 0 Natuurlijk kunnen we ook meer dan twee beweringen met elkaar combineren, simpelweg door meerdere voegtekens te combineren. Voorbeeld 3.9 Als A, B en C beweringen zijn, dan is bijvoorbeeld ( A ( B) ) ( C A ) ook een bewering, waarvan we stap voor stap een waarheidstabel kunnen maken: A B C B A ( B) C A ( A ( B) ) ( C A ) Opgave 3. Maak waarheidstabellen voor: A B A (A B) A B ( A (B C) ) Opgave 3. Zoek formules, samengesteld uit A en B met behulp van voegtekens, die bij de volgende tabellen horen: A B A B Taal van de propositielogica Tot nu toe hebben we het over allerlei soorten beweringen gehad, maar waar we eigenlijk naar toe willen is een formeel systeem om over beweringen te kunnen redeneren: de propositielogica. Een propositie is overigens een ander woord voor bewering. Definitie 3.0 (Atomaire proposities). Beweringen die niet nader worden geanalyseerd noemen we atomaire proposities of atomen. Deze geven we meestal weer met een enkele letter (A, B, C,... ) en daarom noemen we atomaire proposities ook wel propositieletters. Echter, als het voor de betekenis handiger is, gebruiken we ook wel hele woorden, die dan nog steeds propositieletters worden genoemd. 30