Logica voor AI. Frame eigenschappen en correspondentie. Antje Rumberg 16 november Kripke Semantiek.

Transcriptie

1 1 Logica voor AI en correspondentie Antje Rumberg 16 november 2012

2 2 De taal L m van de modale propositielogica ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Blokje en ruitje ϕ: het is noodzakelijk dat ϕ ϕ: het is mogelijk dat ϕ

3 3 Modelstructuur (of frame) Een modelstructuur (of frame) is een geordend paar F = W, R, waarbij W een verzameling mogelijke werelden en R W W een bereikbaarheidsrelatie is. w v u t s r

4 4 Model Een model is een geordend drietal M = W, R, V, waarbij W, R een modelstructuur en V : W Pow(VAR) een interpretatiefunctie is. Een propositie p is waar in een wereld w desda p V(w). (p, q) w (p) v (q) u t (q) s (p) r (q)

5 5 De semantische regels voor en M, w ϕ desda voor iedere v met wrv geldt M, v ϕ M, w ϕ desda voor tenminste één v met wrv geldt M, v ϕ Dualiteit ϕ ϕ ϕ ϕ

6 6 (p, q) w (p) v (q) u t (q) s (p) r (q) M, w p want wrv en M, v p M, w p want wrt en M, t p M, w p want wrt en M, t p, omdat trv, M, v p en v is de enige wereld x met trx M, w want wrv en M, v, omdat v een blinde wereld is

7 in een model: M ϕ Een formule ϕ is geldig in een model M = W, R, V, notatie: M ϕ, desda voor alle werelden w W geldt M, w ϕ in een modelstructuur: F ϕ Een formule ϕ is geldig in een modelstructuur F = W, R, notatie: F ϕ, desda voor alle modellen M = W, R, V geldt M ϕ Algemene modaallogische geldigheid: ϕ Een formule ϕ is algemeen modaallogisch geldig, notatie: ϕ, desda voor alle modelstructuren F = W, R geldt F ϕ 7

8 8 Algemene modaallogische geldigheid ϕ is algemeen modaallogisch geldig desda ϕ is in alle modelstructuren F geldig desda ϕ is in alle modellen M geldig desda ϕ is in alle modellen M in alle werelden w waar Voorbeeld: ϕ ϕ (ϕ ϕ)

9 9 Algemene modaallogische geldigheid Hoe laat je zien dat een formule ϕ niet algemeen modaallogisch geldig is? Je geeft een model M = W, R, V zodanig dat in tenminste één wereld w W geldt M, w ϕ. Voorbeeld: ϕ ϕ (p) w v ( ) p p omdat M, w p en M, w p

10 10 Geldige gevolgtrekking: Γ ϕ Een formule ϕ L m is een geldige gevolgtrekking uit een verzameling van formules Γ L m, notatie: Γ ϕ, desda voor alle modellen M = W, R, V en alle werelden w W geldt: Als voor alle ψ Γ, M, w ψ, dan M, w ϕ. ϕ desda ϕ {ψ} ϕ desda ψ ϕ

11 11 Geldige gevolgtrekking Hoe laat je zien dat een formule ϕ een geldige gevolgtrekking uit een verzameling Γ is? Je neemt een willekeurige model M = W, R, V en een willekeurige wereld w W waarin de formules uit Γ allemaal waar zijn (d.w.z. M, w ψ voor alle ψ Γ) en laat zien dat de formule ϕ vervolgens ook waar is in w (d.w.z. M, w ϕ).

12 12 Geldige gevolgtrekking Voorbeeld: { (ϕ ψ), ϕ} ψ Zij M = W, R, V een willekeurige model en w W een willekeurige wereld zodanig dat M, w (ϕ ψ) en M, w ϕ. Zij v een willekeurige wereld met wrv. Aangezien M, w (ϕ ψ) geldt M, v ϕ ψ. Aangezien M, w ϕ geldt M, v ϕ. Daaruit volgt: M, v ψ. Daar dit voor alle v met wrv geldt, volgt: M, w ψ.

13 13 Geldige gevolgtrekking Hoe laat je zien dat een formule ϕ geen geldige gevolgtrekking uit een verzameling Γ is? Je geeft een model M = W, R, V zodanig dat er in tenminste één wereld w W alle formules uit Γ waar zijn (d.w.z. M, w ψ voor alle ψ Γ) en ϕ onwaar is (d.w.z. M, w ϕ). Voorbeeld: { (ϕ ψ)} ϕ ψ v (p) (p, q) w M, w (p q) M, w p q u (q)

14 14 van Necessitatie Als ϕ, dan ϕ Bewijs: Stel dat ϕ. Zij M = W, R, V een willekeurige model en w W een willekeurige wereld. Zij v een willekeurige wereld met wrv. Aangezien ϕ geldt M, v ϕ. Daar dit voor alle v met wrv geldt, volgt M, w ϕ. Omdat dit weer voor elke w W geldt, volgt M ϕ En aangezien M willekeurig gekozen was, volgt ϕ.

15 15 van Necessitatie: Als ϕ, dan ϕ Als ϕ, dan ϕ: M w: M, w ϕ M w: M, w ϕ {ϕ} ϕ: M w(m, w ϕ M, w ϕ) Let op: ϕ ϕ v (p) (p) w M, w p M, w p t ( )

16 16 van vervanging van equivalenten Zij θ[ϕ/p] diegene formule die uit θ ontstaat als elk voorkomen van p in θ door ϕ wordt vervangen. Voorbeeld: Als θ = (p q) en ϕ = p, dan θ[ϕ/p] = ( p q). Als ϕ ψ, dan θ[ϕ/p] θ[ψ/p]. Let op: ϕ ψ θ[ϕ/p] θ[ψ/p] θ = p, ϕ = p, ψ = p q M, w p (p q) (p) w M, w p (p q) v (p) t (q)

17 17 Zij F = W, R, V een reflexieve modelstructuur. Dan: F ϕ ϕ voor alle ϕ L m Zij F = W, R, V een niet-reflexieve modelstructuur. Bijvoorbeeld: v (p) (p) w F ϕ ϕ t (q) want M, w p p, omdat M, w p en M, w p

18 18 Zij F = W, R, V een reflexieve modelstructuur. Dan: F ϕ ϕ voor alle ϕ L m Zij F = W, R, V een niet-reflexieve modelstructuur. Bijvoorbeeld: v (q) (p) w F ϕ ϕ t (q) want M, w p p, omdat M, w p en M, w p

19 19 (schoenen) w v t (geen schoenen) (geen schoenen) M, w Ik draag schoenen, en het is niet mogelijk dat ik schoenen draag. (???) M, w Ik weet dat ik geen schoenen draag, en ik draag schoenen. (???)

20 20 (schoenen) w v t (geen schoenen) (geen schoenen) M, w Ik geloof dat ik geen schoenen draag, en ik draag schoenen. M, w Het is verplicht dat ik geen schoenen draag, en ik draag schoenen.

21 21 w (schoenen) v (geen schoenen) t (schoenen) M, w Ik weet dat ik schoenen draag, en ik houd het niet voor mogelijk dat ik schoenen draag. (???) M, w Het is verplicht dat ik schoenen draag, en het is niet toegestaan dat ik schoenen draag.(???)

22 22 Verschillende modaliteiten alethisch epistemisch doxastisch deontisch temporeel Verschillende eisen aan de bereikbaarheidsrelatie In epistemische modellen moet elke wereld vanuit zichzelf bereikbaar zijn. In deontische modellen moet er voor elke wereld tenminste één bereikbare wereld zijn.

23 23 Zij R W W een bereikbaarheidsrelatie. R is reflexief desda w(wrw). w R is symmetrisch desda w v(wrv vrw). w v R is transitief desda w v z((wrv vrz) wrz). v w z R is euclidisch desda w v z((wrv wrz) vrz). v w z R is voortzettend (of serieel) desda w v(wrv).

24 24 R is reflexief w(wrw) R is irreflexief w (wrw) R is symmetrisch w v(wrv vrw) R is asymmetrisch w v(wrv vrw) R is anti-symmetrisch w v((wrv w v) vrw) R is transitief w v z((wrv vrz) wrz) R is euclidisch w v z((wrv wrz) vrz) R is dicht w v(wrv z(wrz zrv)) R is deterministisch w v z((wrv wrz) v = z) R is voortzettend w v(wrv) R is disconnected w v( vrw) R is universeel w v(wrv)

25 25 Een modelstructuur F = W, R heet reflexief (symmetrisch, transitief, etc.) desda R reflexief (symmetrisch, transitief, etc.) is. Een model M = W, R, V heet reflexief (symmetrisch, transitief, etc.) desda F = W, R reflexief (symmetrisch, transitief, etc.) is.

26 26 in een klasse van modelstructuren: C ϕ Zij ϕ L m een formule en C een klasse van modelstructuren. ϕ is geldig in C, notatie: C ϕ, desda voor alle modelstructuren F = W, R, C geldt F ϕ.

27 27 Karakteriseerbaarheid Een verzameling formules Γ L m karakteriseert een klasse C van modelstructuren desda voor alle modelstructuren F geldt: F C desda F ψ voor alle ψ Γ. Modale definieerbaarheid Een klasse C van modelstructuren is modaal definieerbaar desda er is een verzameling modale formules Γ L m die deze klasse karakteriseert.

28 28 Reflexiviteit De klasse van alle reflexieve modelstructuren is modaal definieerbaar. De formule ϕ ϕ karakteriseert de klasse van alle reflexieve modelstructuren. Zij F = W, R een modelstructuur. F ϕ ϕ desda F is reflexief.

29 29 Reflexiviteit Zij F = W, R een modelstructuur. Bewijs: F is reflexief desda F ϕ ϕ. Stel dat F = W, R reflexief is. Zij M = W, R, V een willekeurige model dat op F gebaseerd is en w W een willekeurige wereld. Stel dat M, w ϕ. Omdat F reflexief is, geldt: wrw Aangezien M, w ϕ, volgt: M, w ϕ Daaruit volgt: M, w ϕ ϕ Daar dit voor alle w W geldt, volgt: M ϕ ϕ Aangezien M willekeurig gekozen was, geldt: F ϕ ϕ

30 30 Reflexiviteit Zij F = W, R een modelstructuur. F is reflexief desda F ϕ ϕ. Bewijs: Stel dat F = W, R niet reflexief is. Dan is er een wereld w W zodanig dat wrw. Beschouw M = W, R, V met p V (x) desda wrx. Dan: M, w p en M, w p Daaruit volgt: M, w p p Dus: F ϕ ϕ

31 31 Reflexiviteit Let op: Bekijk de volgende niet-reflexieve modelstructuur. w Er is een valuatie V op deze modelstructuur zodanig dat in het resulterende model M geldt: M p p. v (p) w v (p) Maar er is ook een valuatie V zodanig dat in het resulterende model M geldt: M p p. (p) w v ( )

32 32 Disconnected Zij F = W, R een modelstructuur. Bewijs: F is disconnected desda F ϕ. Stel dat F = W, R disconnected is. Zij M = W, R, V een willekeurige model dat op F gebaseerd is en w W een willekeurige wereld. Omdat F disconnected is, geldt: er is geen v met wrv. Aangezien w een blinde wereld is, geldt M, w ϕ. Daar dit voor alle w W geldt, volgt: M ϕ. Aangezien M willekeurig gekozen was, geldt: F ϕ

33 33 Disconnected Zij F = W, R een modelstructuur. Bewijs: F is disconnected desda F ϕ. Stel dat F = W, R niet disconnected is. Dan is er een wereld w W zodanig dat er een wereld v is met wrv. Beschouw M = W, R, V met p / V (x) desda wrx. Dan geldt: M, w p. Dus: F ϕ

34 34 ϕ ϕ karakteriseert de klasse van alle reflexieve modelstructuren. ϕ ϕ karakteriseert de klasse van alle symmetrische modelstructuren. ϕ ϕ karakteriseert de klasse van alle transitieve modelstructuren. ϕ ϕ karakteriseert de klasse van alle euclidische modelstructuren. ϕ ϕ karakteriseert de klasse van alle dichte modelstructuren. ϕ ϕ karakteriseert de klasse van alle deterministische modelstructuren. ϕ ϕ karakteriseert de klasse van alle voortzettende modelstructuren.

35 35 Als Γ de klasse C van modelstructuren karakteriseert en Γ de klasse C van modelstructuren karakteriseert, dan karakteriseert Γ Γ de klasse C C van modelstructuren. Voorbeeld: { ϕ ϕ, ϕ ϕ, ϕ ϕ} karakteriseert de klasse van alle modelstructuren die reflexief, symmetrisch en transitief zijn.