EE1410: Digitale Systemen BSc. EE, 1e jaar, , 3e college

Transcriptie

1 EE4: igitale Systemen Sc. EE, e jaar, 22-23, 3e college rjan van Genderen, Stephan Wong, omputer Engineering elft University of Technology hallenge the future

2 Hoorcollege 3 anonieke vorm two-level netwerken Som van Producten vs. Product van Sommen Two-level vereenvoudiging Karnaugh-maps Multi-level netwerken factorisatie afbeelding op NN-NN- en NOR-NOR netwerken afbeelding op N-OR-inv- en OR-N-inv poorten Timing in combinatorische netwerken poort vertragingstijden, spikes orresponderende stof in boek igital Logic : , tot aan Equations 3. and 3.2 specify., 4 4.7, 4. 2

3 anonieke vormen 3

4 anonieke vorm Expressie unieke waarheidstabel Waarheidstabel vele alternatieve expressions anonieke vorm: unieke standaardvorm voor expressies Som-van-Producten, of Product-van-Sommen Som-van-Producten vorm: = ' + ' ' + ' + ' + ' = ' ' ' + ' ' + ' 4

5 Som van Producten Mintermen = m = m = m 2 = m 3 = m 4 = m 5 = m 6 = m 7 anonieke vorm: (,,) = ' + ' + ' + ' + = m 3 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 = Σ m(3,4,5,6,7) (,,) = ' + ' + = m + m + m 2 anonieke vorm naar minimale vorm: = ' ( + ') + ' + (' + ) = ' + ' + = (' + ) + ' = + ' = + = Σ m(,,2) 5

6 Product van Sommen Maxtermen ++ = M ++ = M + + = M = M 3 ++ = M 4 ++ = M = M = M 7 (,,) = Π M(,,2) = M M M 2 = ( + + ) ( + + ') ( + ' + ) (,,) = Π M(3,4,5,6,7) = M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 = ( + ' + ') (' + + ) (' + + ') (' + ' + ) (' + ' + ') 6

7 Two-level canonieke vormen (Som van Producten) Product van Sommen: = m 3 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 = ' + ' ' + ' + ' + = (' + ' ' + ' + ' + ) = (' ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( ) = ( + ' + ') (' + + ) (' + + ') (' + ' + ) (' + ' + ') = M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 (Product van Sommen) Som van Producten: = M M M 2 = ( + + ) ( + + ') ( + ' + ) = {( + + ) ( + + ') ( + ' + )} = ( + + ) + ( + + ') + ( + ' + ) = ' ' ' + ' ' + ' = m + m + m 2 7

8 lternatieve implementaties van anonieke Som van Producten Minimale Som van Producten 2 anoniek Product van Sommen 3 Minimaal Product van Sommen 4 8

9 Vergelijking tijdsgedrag fgezien van timing glitches zijn de verschillende implementaties identiek 9

10 Onvolledig gespecificeerde functies n-input functie 2 n mogelijke ingangscombinaties niet alle mogelijkheden zijn altijd relevant Voorbeeld: inary-oded-ecimal-igit-increment-by- Z = m + m m 8 + d + d d 5 = M M 3... M ingangscombinaties waarbij Z = : Off-set van Z ingangscombinaties waarbij Z = : on't care () set van Z ingangscombinaties waarbij Z = : On-set van Z W Y Z igit igit inputs outputs = don t care (waarde is niet relevant) W Y Z igit igit inputs outputs

11 Two-level vereenvoudiging

12 Two-level vereenvoudiging lgebraïsche vereenvoudiging: geen vaste procedure hoe weet je dat minimale vorm is gevonden? Vereenvoudiging van two-level netwerken m.b.v. Karnaugh-maps (zie hierna) : systematische manier altijd minimale vorm omputer-ided esign () Tools (gereedschappen): optimale vereenvoudigingen kosten veel rekentijd met name voor functies met veel ingangsvariabelen (>) gewoonlijk gebruikt men daarom benaderende methoden minder rekentijd benodigd oplossingen zijn niet optimaal maar meestal wel acceptabel Handmatige vereenvoudiging blijft belangrijk: bij kleine circuits: handmatige vereenvoudiging geeft meer inzicht inzicht in programma s (espresso, ilinx ISE) mogelijkheid tot controle van resultaten (voor kleine circuits) geen programma s beschikbaar tijdens het tentamen... 2

13 Vereenvoudiging -waarden veranderen binnen de on-set rijen -waarden veranderen niet binnen de on-set rijen wordt geëlimineerd, blijft immers: = ' + = (' + ) = G -waarden veranderen niet binnen de on-set rijen -waarden veranderen binnen de on-set rijen wordt geëlimineerd, blijft immers: G = ' ' + ' = (' + ) ' = ' e essentie van vereenvoudiging: Vindt twee subsets van de ON-set waarin slechts één variable van waarde verandert. eze variabele kan worden geëlimineerd. 3

14 Karnaugh diagrammen (K-maps) lternatieve methode om waarheidstabellen te representeren, waarbij tussen 2 buren altijd precies één variabele van waarde verandert. 2-variable K-map variable K-map Naburigheden in K-maps: slechts één var. verandert tussen buren eerste-laatste kolom zijn ook buur bovenste en onderste rij zijn ook buur 4

15 Toepassingsvoorbeelden = G = ' in (adder): out = + in + in (,,) = Rechthoek met -en ó Productterm Rechthoek met -en groter ó ijbehorende productterm kleiner! 5

16 Voorbeeld afleiding minimale som met 4 variabelen (,,,) = Σ m(,2,3,5,6,7,8,,,4,5) = + ' + ' ' Minimale som van producten: Vindt het kleinste aantal grootste rechthoeken (subcubes) dat de ON-set beslaat Want: aantal rechthoeken = aantal producttermen grotere rechthoek = minder variabelen in productterm N.. alleen rechthoeken met, 2, 4, 8 (2 n ) énen doen mee 6

17 Recept minimale som van producten Vindt alle (maximaal grote) rechthoeken van -en: priemimplicanten. Vindt alle priemimplicanten die als enige een bepaalde afdekken: essentiële priemimplicanten. e essentiële priemimplicanten komen in ieder geval voor als productterm in de minimale expressie. ek alle overgebleven -en af met zo weinig mogelijk nietessentiële priemimplicanten. = + + 7

18 uale methode: minimaal product van somtermen = ( + + ) ( + + ) ( + + ) eze methode is ook als volgt in te zien: Kijk in K-map wanneer = = = + + ( ) = ( + + ) = ( + + ) ( + + ) ( + + ) 8

19 on t ares (,,,) = Σ m(,3,5,7,9) + Σ d(6,2,3) via K-map: = + ' ' zonder don't cares = ' + ' met gebruik don't cares Via duale methode: = (' + ') us hier (nog) minder termen on't ares kunnen als -en of -en worden gebruikt indien beter resultaat 9

20 2 ase Study: Two-it dder ==> 4-variable K-map voor, Y en Z Y Z + N 3 N N 2 Y Z

21 ase Study: Two-it dder K-map for K-map for Y K-map for Z = + + Z = ' + ' = xor en op diagonalen: indicatie voor ORs Y = ' ' + ' ' + ' ' + ' ' + ' ' + = ' ( xor ) + ' ( xor ) + ( xnor ) = ' ( xor ) + ( xor xor ) antal poorten kan verder worden gereduceerd als ORs worden toegepast! 2

22 \ \ \ \ ase Study: Two-it dder Twee alternatieve implementaties van Y zonder en met ORs: Y OR Y Y N: OR implementatie kost wel 4 NN gates Y 2 22

23 Samenvatting two-level netwerken Primitieve logische bouwblokken: INVERTER, N, OR anonieke vormen: Som van Producten (mintermen), Product van Sommen (maxtermen), incl. don t cares Logische vereenvoudiging: 2-level realisaties met minimum hoeveelheid poorten en/of poortingangen K-map methode (incl. duale methode) 23

24 Multi-level netwerken 24

25 Voordelen van multilevel netwerken Som-van-producten vorm (reeds 2-level-gereduceerd!): = + E + + E + + E + G 6 x 3-input N poorten + x 7-input OR poort (vaak niet-bestaand) 25 verbindingen (9 literals plus 6 interne verbindingen) E E x E G 2 3 Omzetten naar gefactoriseerde vorm: = ( + + ) ( + E) + G 4 x E G 6 x 3-input OR, 2 x 2-input OR, x 3-input N verbindingen (7 literals plus 3 intern) 25

26 onversie naar NN/NN en NOR/NOR netwerken Initieel netwerk vaak uitgedrukt in Ns en ORs (canonieke vorm) Echter technologisch direct realiseerbaar: NNs en NORs us herschrijven we expressies naar netwerken van NNs en NORs 26

27 onversie naar NN/NN en NOR/NOR netwerken e Morgan s wet: ( + )' = ' + = (' ')' ( )' = ' + = (' + ')' us: NOR is hetzelfde als een N met complementaire ingangen OR is hetzelfde als NN met complementaire ingangen NN is hetzelfde als een OR met complementaire ingangen N is hetzelfde als NOR met complementaire ingangen 27

28 Toepassing: onversie N/OR netwerk naar NN/NN netwerk Z NN Z Z Evenzo is een OR/ N netwerk om te zetten in een NOR/NOR netwerk 28

29 Voorbeeld: multilevel netwerk in NNs = ( + ) + ' Oorspronkelijke N-OR netwerk: \ Level Level 2 Level 3 Level 4 G G2 G3 G4 G5 Introductie van bubbles: \ G G2 G3 G4 G5 Omwerken naar NN poorten: \ \ G G2 G3 G4 G5 29

30 Recept afbeelden naar NN/NN (NOR/NOR) schakeling Stel waarheidstabel/k-map op epaal minimale som van producten (product van sommen) Pas eventueel factorisatie toe eeld af op NN/NN (NOR/NOR) (zie voorafgaande slides) 3

31 N-OR-Invert & OR-N-Invert bouwstenen ehalve NNs en NORs blijken ook de OI en OI bouwstenen goedkoper/sneller te fabriceren in vergelijking tot een realisatie m.b.v. Ns, ORs en inverters. OI Z 2x2 OI Schematic Symbol & & + OI Z 2x2 OI Schematic Symbol + + & 3

32 Implementatievoorbeelden = OR = ( OR ) = (' + ') = ( + ') (' + ) = + ' ' & & + OR = m(2,4,6,7) = m(,,3,5) ' = ' ' + ' + ' & & + & + + & + ' = (' + ') (' + ) (' + ) 32

33 Timing in combinatoriek 33

34 Tijdsresponsie van poorten In Out High In 5% 5% Out T f T r 9% 9% 5% 5% % % Low High Low Hogere uitgangsbelasting (fan-out) T phl T plh Tf : all Time H-L overgang T phl : propagatietijd H-L overgang T r : Rise Time L-H overgang T plh : propagatietijd L-H overgang Vaak nominale, minimum and maximum waarden beschikbaar per type poort Overgangs of propagatietijd bijv. T phl = x L ps, met L belasting 34

35 Tijdsresponsie van combinatorische schakelingen (ps) (4ps) INV : T phl : 4ps T plh : 8ps EOR : T phl : 4ps T plh : 52ps NN : T phl : 2ps T plh : 3ps (66ps) (86ps) Tijdsvertragingen tellen bij elkaar op (ps) (4ps) (2ps) (7ps) spike/glitch (--) op de uitgang! 35

36 Toepassing van spikes: Pulsvormer statische theorie: = ' = blijft voor 3 gate delays nadat van naar verandert is dus niet altijd ==> puls 36

37 Samenvatting elangrijkste elementen: wat zijn two-level canonieke vormen? hoe pleegt men two-level vereenvoudiging? wat zijn multi-level netwerken en hoe te realiseren? wat is het tijdsgedrag van combinatoriek? hoe onstaan spikes/glitches? Volgende keer: Sequentiële netwerken en inite State Machines Woensdag: toets over hoorcollege t/m 3 37

38 Huiswerkopgaven oel huiswerkopgaven: terugkoppeling individuele vaardigheden voorbereiding op toetsen / tentamens Opmerking: Er is minimaal n = antwoord de juiste. Er kunnen echter meerdere antwoorden juist zijn. 38

39 anonieke vorm Vraag : Wat is de juiste canonieke vorm? a. = m(,2,4,5,6) b. = m(,5,7) c. = m(,2,3,4,6) d. = m(2,3,4,6) Vraag 2: Wat is de juiste canonieke vorm? a. = m(,2,5,7) b. = M(,2,5,7) c. = M(,3,4,6) d. = m(,3,4,6) 39

40 anonieke vorm Vraag 3: Wat is de juiste canonieke vorm????????? a. = m(,2,3,5,6) b. = m(,3,5,7) c. = m(,2,4) d. = m(,2,4,6) 4

41 anonieke vorm Vraag 4: Wat is de juiste canonieke vorm???... a. = m(,2,4,6,8) b. = m(,3,5,7,9) c. = m(2,3,4,5) d. = m(8,9,,2)? 4

42 Two-level netwerken Vraag 5: Wat is de juiste vereenvoudiging? a. = + + b. = + c. = + d. =

43 Two-level netwerken Vraag 6: Wat is de juiste vereenvoudiging? a. = + + b. = + + c. = + + d. =

44 Multi-level netwerken Vraag 7: Welke realisatie van Y is correct? Y = E + + E + + E + + E + a. Y = (+)(+E) b. Y = (+)(+)(E+) c. Y = + + E d. Y = (+)(++E) 44

45 Multilevel netwerken Vraag 8: Welke expressie berekent dit netwerk? & & + & + & a. = b. = c. = d. = ( ) 45

46 Multilevel netwerken Vraag 9: Ontwerp een 2-bit opteller m.b.v. Half dders volgens: a a b b c2 c c Hoeveel Half dders zijn benodigd? a. 2 b. 3 c. 4 d. Geen van bovenstaande antwoorden. 46

47 Multilevel netwerken Vraag : Onderstaand circuit moet worden gerealiseerd met uitsluitend NNs met maximale fanin van 4. Hoeveel NNs zijn er nodig? a. 8 b. 5 c. 6 d. 4 47

48 Timing Vraag : Gegeven onderstaand circuit. e propagatietijd van een N en een OR poort zijn respectievelijk 5 ns en 7 ns. lle ingangen zijn initieel. Op een zeker moment wordt gelijk aan. Wat gebeurt er met de uitgang? a. Er gebeurt niets b. verandert van waarde na 24 ns c. verandert van waarde na 7 ns d. verandert van waarde na 9 ns 48