logische schakelingen & logica antwoorden

Transcriptie

1 2017 logische schakelingen & logica antwoorden F. Vonk versie

2 inhoudsopgave waarheidstabellen logische schakelingen meer over logische schakelingen logica Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding NietCommercieel GelijkDelen 3.0 Unported licentie De afbeelding op het voorblad is verkregen via INFOwrs. Copyright 2010 INFOwrs Serviços em informatica

3 waarheidstabellen opgave 4.1 De waarheidstabel van de NAND-gate ziet er als volgt uit: P Q P nand Q De waarheidstabel van de NOR-gate ziet er als volgt uit: P Q P nor Q De waarheidstabel van de XNOR-gate ziet er als volgt uit: P Q P xnor Q opgave 4.2 Deze tabel heeft 8 waarheidsregels, namelijk 2 3. opgave 4.3 P Q R

4 logische schakelingen opgave 5.1 A B E C D not A E or B A or B opgave 5.2 A B E C D not A E xor B not (A or B) opgave 5.3 A B E C D not A not (E and B) not (A xor B) opgave 5.4 A B E F C D not A A xor B E and F E or F

5 opgave 5.5 Voor uitleg over het bewijs via een waarheidstabel zie opgave 5.7. opgave 5.6 Voor uitleg over het bewijs via een waarheidstabel zie opgave 5.7. opgave

6 Voor het bewijs via een waarheidstabel voegen we de volgende namen toe: De bovenste schakelaar noemen we P (ja, we gaan weer moeilijk doen en andere letters gebruiken ;-)! De onderste schakelaar noemen we Q Het lampje noemen we R. Bovendien voegen we tussenpunten S, T, U en V toe in het diagram: Punt S zit na de bovenste inverter. Punt T zit na de onderste inverter. Punt U zit na de bovenste AND-gate. Punt V zit na de onderste AND-gate. Beredeneer nu zelf dat het volgende geldt voor de tussenpunten: Bij S geldt not P. Bij T geldt not Q. Bij U geldt S and Q. Bij V geldt T and P. Voor de uitgang R geldt dan U or V. Met deze kennis kunnen we dan de waarheidstabel maken. P Q S T U V R not P not Q S and Q T and P U or V Voor kolom R geldt nu dat deze gelijk is aan de uitkomstkolom van de basis waarheidstabel van P xor Q. En daarmee is bewezen dat de gemaakte schakeling zich hetzelfde gedraagt als een XOR-gate. bonus opgave

7 bonus opgave

8 meer over logische schakelingen opgave 6.1 Misschien valt het je op dat er in de waarheidstabel maar 1 keer de waarde 1 bij de uitgang voorkomt. Welke basis waarheidstabellen hebben die eigenschap ook? Die van de AND- en NAND-gate. Laten we eens kijken of we er met een AND-gate uitkomen. Dat betekent, dat in de tweede waarheidsregel zowel P als Q 1 moeten zijn. Kunnen we dat voor elkaar krijgen? Ja, dat kan als we eerst P omvormen tot not P. We kunnen dan de volgende logische schakelingen proberen: P NOT S Q AND R Als we die uitwerken, dan krijgen we: P Q S not P R (not P) and Q En warempel, dat is goed. Als het niet goed was geweest hadden we naar de NAND-gate kunnen kijken, maar dat is nu niet nodig. opgave 6.2 Als je de waarheidstabel goed hebt gemaakt, dan zie je dat je deze logische schakeling in zijn geheel door een XOR-gate kunt vervangen

9 opgave 6.3 De twee schakelaars noemen we A (bovenste) en B. De carry in noemen we I. De som (uitgang van de achterste XOR-gate) noemen we S. De carry out noemen we U. We nemen 3 tussenpunten die we (eerst van boven naar beneden en dan van links naar rechts) E, F en G noemen. A B I E F G S U A xor B A and B I and E I xor E F or G Ga nu na dat deze waarheidstabel inderdaad twee getallen van 1 bit netjes bij elkaar optelt

10 logica opgave 7.1 P Q P Q P Q P Q P Q (P Q) P Q P Q (P Q) P Q R P Q (P Q) R Als het goed is, valt je op dat P Q en (P Q) hetzelfde resultaat in de laatste kolom opleveren. Dat betekent dus deze samengestelde proposities equivalent zijn aan elkaar en dat vinden veel mensen verrassend. Ze verwachten namelijk dat P Q en (P Q) equivalent zijn, maar dat is dus niet het geval

11 opgave 7.2 P P { pas toe: P P } P P P P { pas toe: ( P P) waar } waar ( P P) { pas toe: P P } (P P) { pas toe: (P P) P } P ( P Q) { pas toe: P P tweemaal } (P Q) (Q P) opgave 7.3 (P Q) (P R) { pas toe: (P Q) (P R) P (Q R) } P ( Q R) { pas toe: (P Q) ( P Q) } P (Q R)

12 ( P P) P { pas toe: (P Q) ( P Q) } ( P P) P { pas toe: (P Q) ( P Q) } ( P P) P { pas toe: P (Q R) (P Q) R } P ( P P) { pas toe: ( P P) waar } P waar { pas toe: (P waar) waar } waar onwaar P { pas toe: (P Q) ( P Q) } onwaar P { pas toe: onwaar waar } waar P P waar { pas toe: (P waar) waar } waar opgave 7.4 ( P P) ( Q Q) { pas toe: ( P P) waar (tweemaal) } waar waar { pas toe: (P waar) P } waar

13 ( P Q) ( P R) { pas toe: (P Q) ( P Q) (tweemaal) } (P Q) (P R) { pas toe: (P Q) ( P Q) } ((P Q) (P R)) ((Q P) (P R)) { pas toe: P (Q R) (P Q) R tweemaal } (Q ((P P) R)) { pas toe: (P P) P } (Q (P R)) ( P Q) ( P Q) { pas toe: (P Q) ( P Q) tweemaal } (P Q) ( P Q) { pas toe: P P (tweemaal) } (P Q) ( P Q) { pas toe: (P Q) ((P Q) ( P Q)) } (P Q)

14 bonus opgave 7.1 (P Q) (P Q) { pas toe: (P Q) ( P Q) } (P Q) (P Q) { pas toe: (P Q) ( P Q) } ( P Q) (P Q) ( P Q) (Q P) { pas toe: P (Q R) (P Q) R (tweemaal) } ( P ( Q Q)) P { pas toe: ( P P) waar } ( P waar) P { pas toe: (P waar) waar } waar P P waar { pas toe: (P waar) waar } waar

15 (P Q) (Q P) { pas toe: (P Q) ( P Q) } (P Q) (Q P) { pas toe: (P Q) ( P Q) } (P Q) ( Q P) { pas toe: (P Q) (P Q) } (P Q) ( Q P) { pas toe: (P Q) ((P Q) ( P Q)) } ((P Q) ( P Q)) ( Q P) { pas toe: P P } ((P Q) ( P Q)) ( Q P) { pas toe: (P Q) ( P Q) } ((P Q) ( P Q)) (Q P) { pas toe: (P Q) (Q P) } ((P Q) ( P Q)) ( P Q) { vervang ( P Q) door T } ((P Q) T) T { pas toe: P (Q R) (P Q) R } (P Q) (T T) (P Q) ( T T) { pas toe: ( P P) waar } (P Q) waar { pas toe: (P waar) waar } waar

16 (P Q) (Q P) { pas toe: (P Q) ( P Q) (tweemaal) } ( P Q) ( Q P) { pas toe: P P (tweemaal) } ( P Q) ( Q P) { pas toe: (P Q) ( P Q) (tweemaal) } (P Q) (Q P) { pas toe: (P Q) ( P Q) } ((P Q) (Q P)) ((P Q) ( P Q)) { pas toe: (P Q) ((P Q) ( P Q)) } (P Q) { pas toe: (P Q) (P Q) } (P Q) { pas toe: P P } (P Q)

17 bonus opgave 7.2 P (P Q) { pas toe: (P Q) ((P Q) ( P Q)) } P ((P Q) ( P Q)) { pas toe: P (Q R) (P Q) (P R) } (P (P Q)) (P ( P Q)) { pas toe: P (Q R) (P Q) R } ((P P) Q) ((P P) Q) ((P P) Q) (( P P) Q) { pas toe: ( P P) onwaar } ((P P) Q) (onwaar Q) ((P P) Q) onwaar { pas toe: (P onwaar) P } ((P P) Q) { pas toe: (P P) P } (P Q)

18 P (P Q) { pas toe: (P Q) ((P Q) ( P Q)) } (P (P Q)) ( P (P Q)) { pas toe: P (Q R) (P Q) R } (P (P Q)) (( P P) Q) { pas toe: ( P P) onwaar } (P (P Q)) (onwaar Q) { pas toe: (P Q) (Q P) } (P (P Q)) (Q onwaar) { pas toe: (P onwaar) onwaar } (P (P Q)) onwaar { pas toe: (P onwaar) P } P (P Q) { pas toe: (P Q) ( P Q) } P ( P Q) { pas toe: P (Q R) (P Q) (P R) } (P P) (P Q) { pas toe: (P Q) (Q P) } ( P P) (P Q) { pas toe: ( P P) onwaar } onwaar (P Q) { pas toe: (P Q) (Q P) } (P Q) onwaar { pas toe: (P onwaar) P } P Q Beide proposities vereenvoudigen naar dezelfde nieuwe propositie. Oftewel P (P Q) P (P Q)