Inleiding Digitale Techniek
|
|
- Jonas Maes
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Inleiding Digitale Techniek Week 4 Binaire optellers, tellen, vermenigvuldigen, delen Jesse op den Brouw INLDIG/25-26
2 Optellen Optellen is één van meest gebruikte rekenkundige operatie in digitale systemen. Elke general purpose microprocessor heeft een optelcircuit aan boord. Daarnaast is het eenvoudig een optelschakeling om te zetten in een aftrekschakeling. Een speciaal geval van optellen (add) is verhogen met één (increment). Veel processoren hebben ook een telschakeling (counter). 2
3 Optellen Optellen in het binaire systeem is identiek aan optellen in het decimale systeem. Ook alle andere rekenregels zijn identiek. Vermenigvuldigers kunnen worden gemaakt met behulp van optelschakelingen. Eerst wordt er uitgegaan van niet-negatieve* gehele getallen. * niet-negatief = unsigned 3
4 Optellen Het optellen van twee decimale cijfers levert een decimaal getal op van maximaal twee decimale cijfers: Als het antwoord groter wordt dan 9, moet een overloop (carry) naar de volgende kolom worden doorgegeven. Het is hierdoor mogelijk twee getallen van willekeurige lengte op te tellen. 4
5 Optellen Het optellen van twee decimale getallen gebeurt kolomsgewijs. Als het resultaat van een kolomoptelling groter is dan 9, moet een carry naar de volgende kolom worden doorgegeven. carry
6 Binaire opteller Om inzicht te krijgen in het optellen van twee binaire cijfers moeten de vier mogelijkheden bekeken worden In de eerste drie gevallen past de uitkomst (de som) ook in één binair cijfer. Bij de optelling + moet het resultaat met twee binaire cijfers worden weergegeven (er is een overloop). 6
7 Optellen Optellen in het binaire systeem is identiek aan optellen in het decimale systeem. In totaal moeten er per kolom drie bits worden opgeteld. In het voorbeeld worden twee 8-bit getallen opgeteld. carry getal A getal B + 7
8 Optellen Het is mogelijk om een optelschakeling te ontwerpen voor twee binaire getallen. Hiervoor wordt een overgang gemaakt van numerieke -en en -en naar logische -en en -en: numeriek logische numeriek logische Eerst wordt gekeken naar een optelschakeling voor twee binaire cijfers. 8
9 Half adder Voor deze opteller kan een waarheidstabel worden opgesteld. De variabelen a en b zijn de aangeboden bits. De variabele c out is het carry-bit en s is het sombit. De functies zijn eenvoudig: a b c out s c out s a b a b 9
10 Half adder Dit wordt in de digitale techniek een half adder genoemd. Het schema: a b = s a HA s & c out b c out
11 Full adder Een full adder is in staat om drie bits op te tellen. De variabelen a en b zijn de bits van de getallen. De variabele c in is de inkomende carry. c out is de uitgaande carry. c in a b c out s
12 Full adder De functie voor s is eenvoudig te vinden: s c in ( a b) c ( a b) Dit kan worden omgewerkt naar: in c in a b c out s s c ( a b) in c in a b De exor heeft de associatieve eigenschap. 2
13 Full adder De functie voor c out is als volgt: c in a b c out s c out c in ( a b) c ( a b) in Dit kan worden omgewerkt naar: c out a b a c in b c in Maar ook naar: c out a b c in ( a b) 3
14 Full adder Het schema kan als volgt worden opgebouwd. FA = = s s cin ( a b) c in a b & & c out c out a b a c in b c in & 4
15 Full adder Als alternatief kan de full adder ook als volgt worden opgebouwd. FA c in HA HA a b = & = & s c out s cin ( a b) c out a b c in ( a b) 5
16 4-bit Full Adder Een 4-bit opteller kan worden opgebouwd uit een cascade-schakeling van -bit full adders. De getallen A en B worden opgesplitst in hun afzonderlijke bits. De bits krijgen een index: a 3 a 2 a a en b 3 b 2 b b De indexnummers komen overeen met de posities van de afzonderlijke binaire cijfers en geven ook de exponent van het gewicht aan (a 3 2 3, ). De naamgeving van c in en c out verandert: de inkomende c-bit krijgt hetzelfde nummer als de a- en b-bits, de uitgaande c-bit krijgt één hoger: a b c in = c, c out = c 2 6
17 4-bit Full Adder Een 4-bit opteller kan worden opgebouwd uit een cascadeschakeling van -bit full adders. a 3 b 3 a 2 b 2 a b a b 4-bit FA FA c 3 FA c 2 FA c FA c c 4 s 3 s 2 s s c 4 kan als 5 e sombit gebruikt worden 7
18 4-bit Full Adder Het voordeel van deze realisatie is dat er maar één logische schakeling hoeft worden te ontworpen en het systeem is eenvoudig uitbreidbaar. Het nadeel van deze realisatie is dat het lang duurt om de juiste waarde voor de uitgaande c 4 -bit te krijgen. Na het instellen van de getallen A en B en carrybit c, kost het enige tijd voordat c 4 beschikbaar is. Dit wordt een ripple carry adder genoemd. Deze vertraging heeft geleid tot een scala aan andere implementaties: carry look-ahead, carry-select, carry-skip, carry-completion. Deze implementaties zijn allemaal bedoeld om het berekenen van de carry s te versnellen. 8
19 Opgaven Tel de volgende binaire getallen op: Toon aan dat: c out c ( a b) c ( a b) in in a b a c in b c in Toon aan dat: c out a b a c in b c in a b c in a b Als de functies van s en c out vanuit de -en zouden worden gemaakt, wordt de functie dan kleiner (minder poorten)? 9
20 Tellen De bewerking tellen komt in veel schakelingen voor. Meestal betreft het toepassingen waarbij wordt bijgehouden hoeveel keer een bepaalde gebeurtenis optreedt. Tellen wordt meestal gedaan in het binaire stelsel, maar het is heel goed mogelijk in het decimale systeem te tellen. In dit geval worden de decimalen in de BCD-code voorgesteld. Tellers hebben de eigenschap een getelde hoeveelheid te onthouden. Dat betekent dat tellers geheugen bezitten. 2
21 Tellen Tellers worden vrijwel altijd modulair opgebouwd (bv in processoren: 8 bits, 6 bits). In de BCD-code is dat van nature vier bits. Een cyclus van een 3-decaden teller loopt van BCD tot 999 BCD, waarna de teller weer in BCD start. Zo n teller heet cyclisch cyclus start opnieuw 2
22 Telcyclus 4-bit teller Hieronder een voorbeeld van een 4-bit binaire teller. cyclus start opnieuw Duidelijk is dat bij de huidige telstand steeds wordt opgeteld om de nieuwe telstand te krijgen. Dit kan dus met een opteller waarvan één getal de vaste waarde krijgt. 22
23 Verhogen met één Als voorbeeld verhogen we onderstaand getal met. Verwisselen van c met b levert iets moois op: c c + + B is! 23
24 Waarheidstabel De waarheidstabel voor de full adder kan aanzienlijk vereenvoudigd worden. Alle regels met b = kunnen worden geschrapt. Alleen de regels met b = blijven over. Aangezien b altijd is kan deze kolom worden geschrapt. c in a b c out s 24
25 Half adder De waarheidstabel wordt vereenvoudigd. Dit is een half adder. Een telschakeling kan dus gemaakt worden door een cascadeschakeling van half adders. c in a c out s 25
26 4-bit incrementer Hieronder het resultaat. Merk op dat de carry-ingangen nu verdwenen zijn en de carry-uitgangen zijn verbonden met de b-ingangen. a 3 a 2 a a HA HA HA HA 4-bit incrementer c 4 s 3 s 2 s s wordt niet gebruikt, of carry naar volgende sectie 26
27 Opgave Hieronder is de full adder die eerder is besproken nog eens afgebeeld, maar nu is de b-ingang aan een logische gekoppeld. Vereenvoudig het schema ( minimaliseer b weg ). Doe hetzelfde voor b is logisch. c in a = & = & s c out 27
28 Subtractor Op eenzelfde wijze als het ontwerpen van een optelschakeling, kan ook een aftrekschakeling gemaakt worden. In de praktijk wordt echter een optelschakeling gebruikt en wordt de wiskundige gelijkheid gebruikt: A B = A + (-B) Dit vereist echter wel het gebruik van negatieve getallen. Negatieve binaire getallen worden later behandeld. 28
29 Vermenigvuldigen Het vermenigvuldigen van twee getallen is erg gemakkelijk in het binaire systeem. Er zijn maar drie tafels nodig: voor, en. Als voorbeeld een vermenigvuldiging in het decimale systeem x + deelvermenigmuldigingen leveren deelantwoorden die groter zijn dan 9. één plek opschuiven, want 8 is een tiental twee plekken opschuiven, want 2 is een honderdtal lastig, meerder rijen optellen 29
30 Vermenigvuldigen In het binaire systeem werkt het net zo: x + Vermenigvuldigen is eenvoudig: Vermenigvuldigen met levert! Vermenigvuldigen met levert getal! -en schuiven voor tweetal, viertal, Nadeel: multi-input opteller nodig Maximaal 4+4 = 8 cijfers 3
31 Vermenigvuldigen De multi-input opteller kan vermeden worden door tussentijds op te tellen: x standaard optellers 3
32 Vermenigvuldigen Er zijn maar twee tafels nodig: de tafel van en van. Deze kunnen gecombineerd worden. = = = = Dit is precies de tabel van een AND! Een vermenigvuldiger is te bouwen uit ANDs en optellers. 32
33 Vermenigvuldigen Hardware ontwikkelen gaat ook eenvoudig: a 3 a 2 a a b 3 b 2 b b a 3 b a 2 b a b a b a 3 b a 2 b a b a b a 3 b 2 a 2 b 2 a b 2 a b 2 a 3 b 3 a 2 b 3 a b 3 a b 3 p 7 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p p x + p = product term 33
34 Vermenigvuldigen Hardware voor deze oplossing: a 3 a 2 a a 4-bit Full Adders b 3 b 2 b b a 3 b a 2 b a b a b a 3 b a 2 b a b a b pp 4 pp 3 pp 2 pp pp a 3 b 2 a 2 b 2 a b 2 a b 2 pp 4 pp 3 pp 2 pp pp a 3 b 3 a 2 b 3 a b 3 a b 3 p 7 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p p x x pp = partial product term p = product term 34
35 Vermenigvuldigen a 3 b a 2 b a 3 b a b a 2 b a b a b a b Hardware: & HA & & FA & & FA & HA & & a 3 b 2 a 2 b 2 a b 2 a b 2 & & & & FA FA FA HA a 3 b 3 a 2 b 3 a b 3 a b 3 & & & & FA FA FA HA p 7 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p p 35
36 Vermenigvuldigen Het langste pad van a b of a b naar p 7 is 8 optelsecties. Het kan slimmer met een carry-save structuur. Dit wordt niet besproken. 36
37 Vermenigvuldigen Natuurlijk kan een vermenigvuldiger ook volgens de bekende oplossingsstructuur van digitale systemen worden ontworpen. Stel een waarheidstabel op met 2x vier ingangen en acht uitgangen: a 3 a 2 a a b 3 b 2 b b p 7 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p p.. 37
38 Vermenigvuldigen Dit levert echter zeer veel logica op. Een groot gedeelte van het ICoppervlakte wordt dan gebruikt voor de multiplier. Let hier op tijdens het gebruik van de * -operator in VHDL. library ieee; use ieee.std_logic_64. all; use ieee.numeric_std. all; entity vmul8x8i is port ( x: in unsigned (7 downto ); y: in unsigned (7 downto ); p: out unsigned (5 downto ); ); end vmul8x8i; architecture vmul8x8i_arch of vmul8x8i is begin p <= x*y; end vmul8x8i; 38
39 Vermenigvuldigen met een constante Een vermenigvuldiging met een constante kan eenvoudig worden omgezet naar een serie optellingen. Bijvoorbeeld: vermenigvuldigen met 3 x = 2 x 2 Het getal is te schrijven als = Dus de vermenigvuldiging is =
40 Vermenigvuldigen met een constante Nu is vermenigvuldigen met 8 (2 3 ) niets anders dat drie plaatsen naar links schuiven en aanvullen met nullen. Vermenigvuldigen met 2 (2 ) is één plaats naar links schuiven en aanvullen met nullen. x = + + Vermenigvuldigen van een 4-bit getal a 3 a 2 a a met 2 : a 3 a 2 a a x 2 = a 3 a 2 a a + a 3 a 2 a a + a 3 a 2 a a 4
41 Vermenigvuldigen met een constante a 3 a 2 a a a 2 a a s 3 s 2 s a 3 s 4 s s 5 + a 3 a 2 a a a p 7 a a 3 a 2 a p 6 p 5 p 3 p 3 p 2 p p s 5 a 3 a 2 a s 4 a s 3 s 2 s s p 7 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p p 4
42 Opgaven Ontwerp volgens de bekende oplossingsstructuur van digitale systemen een 2x2-bit vermenigvuldiger. Ontwerp een schakeling die test of twee niet-negatieve 4-bit getallen gelijk zijn. Ontwerp een 4x4 bit carry save multiplier (tip: uiteraard heeft iemand dat allang gedaan). Hoeveel optellers zijn er nodig voor een 5x3-bit vermenigvuldiger? Hoe breed zijn de optellers? 42
43 Delen Delen gaat op vergelijkbare wijze als in het decimale systeem: : =, - -,, : = 36, , 5, Het algoritme is gebaseerd op aftrekken als het mogelijk is en het bijtrekken van de volgende cijfers. Combinatorische delers leveren veel hardware op. 43
44 Referenties De volgende boeken zijn gebruikt: Digitale techniek, van probleemstelling tot realisatie deel ; A.. Thijssen; 5 e druk. Digital Design, rinciples and ractices; J.F. Wakery; 3 th Ed. Fundamentals of Digital Logic with VHDL Design, S. Brown, 3 th Ed. 44
45 Carry lookahead Een 4-bit full adder ontworpen als ripple carry adder heeft als nadeel dat het veel tijd kost voordat c 4 beschikbaar is, ongeveer 8 poortvertragingen. Maar c 4 kan natuurlijk ook geschreven worden als functie van de ingangen a 3 t/m a, b 3 t/m b en c. Dit levert echter heel veel hardware op. Slimmer is om uit te gaan van de functie voor de carry. 45
46 Carry lookahead De carry voor de eerste -bit full adder kan geschreven worden als: c a b a b ) ( c Er worden nu twee hulpfuncties geintroduceerd: G a a b b G staat voor carry generate, want het genereert een carry c onafhankelijk van de c. staat voor carry propagate, want het geeft een eventuele c door aan c. 46
47 47 Carry lookahead De functie voor c is nu te schrijven als Maar dan is voor c 2 te schrijven In deze functie kan de functie voor c ingevuld worden c G c 2 c G c 2 c G G c G G c G c
48 48 Carry lookahead En dan kan de functie voor c 3 ook uitgewerkt worden: En natuurlijk uiteindelijk de functie voor c 4 : c G G G c G G G c G c c G G G G c G G G G c G c
49 Carry lookahead De functie voor c 4 is nu te maken met AND2, AND3, AND4, AND5 en een OR4. Samen met de - en G-hulpfuncties levert dit een schakeling die maximaal drie poortvertragingen heeft. Deze realisatie van carry-propagatie heet carry lookahead. Op de volgende slide staat een schema voor een 4-bit Full Adder. Merk op dat de inversen van en G gegenereerd worden, dat levert snellere logica op. 49
50 Carry lookahead Uitvoering van de SN bit full adder. Merk op dat de inversen van en G gegenereerd worden. 5
51 De Haagse Hogeschool, Delft
Inleiding Digitale Techniek
Inleiding Digitale Techniek Week 5 2 s complement representatie, BCD-optellen Jesse op den Brouw INLDIG/2015-2016 Introductie negatieve getallen Tot nu toe zijn alleen positieve getallen (en nul) behandeld.
Nadere informatieProject Digitale Systemen
Project Digitale Systemen Case Study The Double Dabble algorithme Jesse op den Brouw PRODIG/2014-2015 Introductie Double Dabble In de digitale techniek wordt veel met decimale getallen gewerkt, simpelweg
Nadere informatieJan Genoe KHLim. Reken schakelingen. Jan Genoe KHLim
Jan Genoe KHLim Meestal aangewend in digitale computers optellers optellers-aftrekkers Vermenigvuldigers ingebed in een grotere rekeneenheid ALU (Arithmetic and logical unit) 2 Talstelsels definitie Tiendelig
Nadere informatieAntwoorden vragen en opgaven Basismodule
Antwoorden vragen en opgaven Basismodule Antwoorden van vragen en opgaven van hoofdstuk 1 1. Is elke combinatorische schakeling een digitale schakeling? Zo nee, waarom niet? Antwoord: Elke combinatorische
Nadere informatieInleiding Digitale Techniek
Inleiding Digitale Techniek Week 2 Binaire getallen, BCD, Gray, ASCII, 7-segment Jesse op den Brouw INLDIG/205-206 Decimaal talstelsel Ons talstelsel is een zogenaamd positioneel talstelsel. Een getal
Nadere informatie2 Elementaire bewerkingen
Hoofdstuk 2 Elementaire bewerkingen 19 2 Elementaire bewerkingen 1 BINAIRE GETALLEN In het vorige hoofdstuk heb je gezien dat rijen bits worden gebruikt om lettertekens, getallen, kleuren, geluid en video
Nadere informatieInleiding Digitale Techniek
Inleiding Digitale Techniek Week 2 Binaire getallen, BCD, Gray, ASCII, 7-segment Jesse op den Brouw INLDIG/205-206 Talstelsels Wij mensen zijn opgegroeid met het rekenen in het tientallig of decimaal talstelsel,
Nadere informatie2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken
1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt
Nadere informatieDigitale Systeem Engineering 1. Week 4 Toepassing: Pulse Width Modulation Jesse op den Brouw DIGSE1/2013-2014
Digitale Systeem Engineering 1 Week 4 Toepassing: Pulse Width Modulation Jesse op den Brouw DIGSE1/2013-2014 PWM basics Het regelen van het toerental van een elektromotor kan eenvoudig worden gedaan door
Nadere informatieOpdracht week 4 INLDIG 1
Opdracht week 4 Binair-naar-BCD omzetting Inleiding In de digitale techniek worden getallen opgeslagen in het binaire talstelsel. Rekenschakelingen zijn zo eenvoudig te ontwerpen. Helaas is het aflezen
Nadere informatie2 Elementaire bewerkingen
Hoofdstuk 2 Elementaire bewerkingen 17 2 Elementaire bewerkingen In dit hoofdstuk leer je hoe werken met binaire getallen en hexadecimale getallen omgezet wordt naar een decimaal getal en omgekeerd. Vervolgens
Nadere informatieKernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen
Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen 1.12 Kernbegrippen van de Kennisbasis Hele getallen, onderdeel Bewerkingen Aftrekker De aftrekker in een aftreksom is het getal dat aangeeft hoeveel
Nadere informatieBasisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag
Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken
Nadere informatieStudentnummer:... Opleiding:...
Computerorganisatie INF/TEL (233) februari 2, 9. 2.3 uur 8 bladzijden met 9 opgaven 3 bladzijden met documentatie Let op: Vul het tentamenbriefje volledig in (d.w.z. naam, studentnummer, naam vak, vakcode,
Nadere informatie3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.
92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,
Nadere informatieInleiding Digitale Techniek
Inleiding Digitale Techniek Week 1 Introductie Jesse op den Brouw INLDIG/2015-2016 Even voorstellen... ing. J.E.J. (Jesse) op den Brouw Elektrotechniek Digitale Techniek Software, hardware Embedded systems
Nadere informatieb) Geef het schema van een minimale realisatie met uitsluitend NANDs en inverters voor uitgang D.
Basisbegrippen Digitale Techniek (213001) 9 november 3000, 13.30 17.00 uur 8 bladzijden met 10 opgaven Aanwijzingen bij het maken van het tentamen: 1. Beantwoord de vragen uitsluitend op de aangegeven
Nadere informatieOPGAVEN BIJ HET VAK INLEIDING DIGITALE TECHNIEK MET UITWERKINGEN
OPGAVEN BIJ HET VAK INLEIDING DIGITALE TECHNIEK MET UITWERKINGEN J.E.J. op den Brouw De Haagse Hogeschool Opleiding Elektrotechniek 28 maart 25 J.E.J.opdenBrouw@hhs.nl Week.. Ontwerp een omschakelbare
Nadere informatieAntwoorden zijn afgedrukt!!!!!!!
Computerorganisatie INF/TEL (233) februari 2, 9. 2.3 uur 8 bladzijden met 9 opgaven 3 bladzijden met documentatie Let op: Vul het tentamenbriefje volledig in (d.w.z. naam, studentnummer, naam vak, vakcode,
Nadere informatieVOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN
VOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN OPLEIDING : ELEKTROTECHNIEK TOETSCODE : UITWERKINGEN INLDIG GROEP : EP, EQD TOETSDATUM : 3 OKTOBER 24 TIJD : 3: 4:3 AANTAL PAGINA S (incl. voorblad) : DEZE TOETS BESTAAT
Nadere informatieExamen computerarchitectuur
Examen computerarchitectuur Vrijdag 8 juni 2007, 14u00 Prof. Koen De Bosschere Naam, Voornaam: Richting: Belangrijk 1. Vergeet niet uw naam en voornaam te vermelden. 2. Schrijf de antwoorden in de daarvoor
Nadere informatieInformatica 2. Met uitwerkingen n.a.v. document van Elvire Theelen in Luc bijgewerkt door Peter van Diepen
Informatica 2 Met uitwerkingen n.a.v. document van Elvire Theelen in Luc bijgewerkt door Peter van Diepen 1 Op dit lesmateriaal is een Creative Commons licentie van toepassing. 2014 Remie Woudt remie.woudt@gmail.com
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieEE1410: Digitale Systemen BSc. EE, 1e jaar, , vragencollege 1
EE40: Digitale Systemen BSc. EE, e jaar, 202-203, vragencollege Arjan van Genderen, Stephan Wong, Computer Engineering 28-3-203 Delft University of Technology Challenge the future Huiswerk hoorcollege
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatieInleiding Digitale Techniek
Studiebelasting: 3 EC Semester: EP1.1, EQ1D.1 Verantwoordelijke docenten: J.E.J. op den Brouw (Brw) Opbouw module. OEdeel kwt sbu theo pract proj toetswijze bs -th1 1 50 21 Open vragen 1..10 -pr1 1 34
Nadere informatieDigitale Systeem Engineering 2
Digitale Systeem Engineering 2 Week 4 Datapadsystemen Jesse op den Brouw DIGSE2/2016-2017 Complexe systemen In principe kan elk sequentiëel systeem beschreven worden met een toestandsdiagram. In de praktijk
Nadere informatieLogische poorten. Invertor (NOT) Samenvatting Computer Architectuur 2006-2007. Hoofdstuk 7 Klaas Lauwers 1
Logische poorten and or Xor (=EOF) buffer (signaal versterken over lange afstand) Invertor (NOT) nand nor xnor Hoofdstuk 7 Klaas Lauwers 1 De Morgan Boolese Algebra Transistorniveau Transistor - Het is
Nadere informatieRekenen met computergetallen
Rekenen met computergetallen Getallenstelsel en notaties Getallen in computers zijn opgebouwd met het kleinste element dat een computer kent: een bit. Een bit kan twee logische waardes bevatten, een nul
Nadere informatie2.2 Ongelijknamige breuken en vereenvoudigde breuken 22. 2.3.1 Gemengde getallen optellen en aftrekken 26. 2.5 Van breuken naar decimale getallen 28
Breuken Samenvatting Als je hele getallen deelt, kunnen er breuken ontstaan. Een breuk is een deel van iets. Je hebt iets in gelijke delen verdeeld. Wanneer je een kwart van een pizza hebt, dan heb je
Nadere informatie3.1 Haakjes wegwerken [1]
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
Nadere informatieGroepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Nadere informatieHoe werkt een computer precies?
Hoe werkt een computer precies? Met steun van stichting Edict Ben Bruidegom & Wouter Koolen-Wijkstra AMSTEL Instituut Universiteit van Amsterdam Overview Introductie SIM-PL Simulatietool voor werking computer
Nadere informatieProeftentamen in1211 Computersystemen I (Opm: de onderstreepte opgaven zijn geschikt voor de tussentoets)
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Informatietechnologie en Systemen Afdeling ISA Basiseenheid PGS Proeftentamen in1211 Computersystemen I (Opm: de onderstreepte opgaven zijn geschikt voor de tussentoets)
Nadere informatielogische schakelingen & logica
2016 logische schakelingen & logica F. Vonk versie 2 14-6-2016 Inhoudsopgave 1. inleiding... - 2-2. optellen... - 3-3. logische poorten... - 6-4. waarheidstabellen... - 8-5. logische schakelingen... -
Nadere informatieLes B-02 Technologie: elektronische schakelingen
Les B-02 Technologie: elektronische schakelingen 2004, David Lans In de module A heb je geleerd hoe informatie (getallen, tekens, beeldpunten) door een binaire waarde, een reeks 0-en en 1-en, kan worden
Nadere informatie1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
Nadere informatieFaculteit Elektrotechniek - Capaciteitsgroep ICS Tentamen Schakeltechniek. Vakcodes 5A010/5A050, 26 november 2003, 14:00u-17:00u
Faculteit Elektrotechniek - Capaciteitsgroep ICS Tentamen Schakeltechniek Vakcodes 5A010/5A050, 26 november 2003, 14:00u-17:00u achternaam : voorletters : identiteitsnummer : opleiding : Tijdens dit tentamen
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieStoomcursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )
Voorbereidende opgaven VWO Stoomcursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieExamencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Examencursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieDigitale Systeem Engineering 2
Digitale Systeem Engineering 2 Week 2 Toestandsmachines (vervolg) Jesse op den Brouw DIGSE2/2016-2017 Herkenningsautomaat Een typische sequentiële machine is een herkenningsautomaat of patroonherkenner.
Nadere informatieTentamen Elektronische Schakelingen (ET1205-D2)
Vul op alle formulieren die je inlevert je naam en studienummer in. Tentamen Elektronische chakelingen (ET1205-2) atum: donderdag 30 augustus 2007 Tijd: 09.00 12.00 uur Naam: tudienummer: Cijfer Lees dit
Nadere informatieHet grondtal van het decimaal stelsel is 10. Voorbeeld: het getal 8365. Poorten De tellereenheid Mevr. Loncke 1
1. Inleiding In vorig hoofdstuk hebben we het gehad over invoerelementen, verwerking en uitvoerelementen. Je hebt geleerd dat al deze elementen maar 2 toestanden kennen en kunnen verwerken, namelijk de
Nadere informatieLab Webdesign: Javascript 3 maart 2008
H5: OPERATORS In dit hoofdstuk zullen we het hebben over de operators (of ook wel: operatoren) in JavaScript waarmee allerlei rekenkundige en logische bewerkingen kunnen worden uitgevoerd. Daarbij zullen
Nadere informatieElementaire rekenvaardigheden
Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieVAN HET PROGRAMMEREN. Inleiding
OVERZICHT VAN HET PROGRAMMEREN Inleiding Als je leert programmeren lijkt het nogal overweldigend om die eerste stappen te doorworstelen. Er zijn dan ook heel wat programmeertalen (Java, Ruby, Python, Perl,
Nadere informatieProeftentamen in1211 Computersystemen I (NB de onderstreepte opgaven zijn geschikt voor de tussentoets)
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Informatietechnologie en Systemen Afdeling ISA Basiseenheid PGS Proeftentamen in1211 Computersystemen I (NB de onderstreepte opgaven zijn geschikt voor de tussentoets)
Nadere informatieStudiewijzer Inleiding Digitale Techniek, versie 1.6, , J.E.J. op den Brouw
2018/2019 Elektrotechniek Semester 1.1 Studiewijzer Inleiding Digitale Techniek (E-INLDIG-13 ) 3 studiepunten Verantwoordelijk docent: Jesse op den Brouw J.E.J.opdenBrouw@hhs.nl Overige docent(en): Ben
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatieTHEORIE TALSTELSELS. 1 x 10 0 = 1 (een getal tot de macht 0 = 1) 8 x 10 1 = 80 2 x 10 2 = x 10 3 = Opgeteld: 9281d(ecimaal)
THEORIE TALSTELSELS De binaire code Het geheugenelement van de computer kan slechts twee verschillende waarden bevatten. De schakelingen uit de computer werken daarom met een tweetallig ofwel binair stelsel.
Nadere informatieTentamen Computersystemen
Tentamen Computersystemen baicosy06 2e jaar bachelor AI, 2e semester 23 september 2013 13u-15u IWO 4.04A (blauw), Academisch Medisch Centrum, Meidreef 29, Amsterdam ZuidOost Het is niet toegestaan communicatieapparatuur
Nadere informatieOpgaven. en uitwerkingen bij het boek Digitale Techniek. Jesse op den Brouw
Opgaven en uitwerkingen bij het boek Digitale Techniek Jesse op den Brouw 2017 Jesse op den Brouw, Den Haag Versie: 0.99pl8 Datum: 6 mei 2017 Opgaven van Jesse op den Brouw is in licentie gegeven volgens
Nadere informatieExamen computerarchitectuur
Examen computerarchitectuur Vrijdag 6 juni 2008, 14:00 Prof. Koen De Bosschere Naam, Voornaam: Richting: Belangrijk 1. Vergeet niet uw naam en voornaam te vermelden. 2. Schrijf de antwoorden in de daarvoor
Nadere informatie1.3 Rekenen met pijlen
14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij
Nadere informatieLes A-03 Binaire en hexadecimale getallen
Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen In deze les wordt behandeld hoe getallen kunnen worden voorgesteld door informatie die bestaat uit reeksen 0-en en 1-en. We noemen deze informatie digitale informatie.
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieEE1410: Digitale Systemen BSc. EE, 1e jaar, , 8e hoorcollege
EE4: Digitale Systemen BSc. EE, e jaar, 22-23, 8e hoorcollege rjan van Genderen, Stephan Wong, Computer Engineering 3-5-23 Delft University of Technology Challenge the future Hoorcollege 8 Combinatorische
Nadere informatieFaculteit Elektrotechniek - Leerstoel ES Tentamen Schakeltechniek. Vakcode 5A050, 17 november 2004, 9:00u-12:00u
achternaam : voorletters : identiteitsnummer : opleiding : Tijdens dit tentamen is het gebruik van rekenmachine of computer niet toegestaan. Vul je antwoorden in op dit formulier. Je dient dit formulier
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieVHDL overzicht. Digitale Systemen (ET1 410) VHDL? VHDL? Sequentieel vs. Concurrent 2/15/2011
VHDL overzicht Digitale Systemen (ET1 410) Arjan van Genderen Stephan Wong Faculteit EWI Technische Universiteit Delft Cursus 2010 2011 Wat is VHDL? Waarvoor gebruiken we het? Deze college Sequentieel
Nadere informatieExamen computerarchitectuur
Examen computerarchitectuur Woensdag 22 juni 2005, 8u30 Prof. Koen De Bosschere Naam, Voornaam: Richting: Belangrijk 1. Vergeet niet uw naam en voornaam te vermelden. 2. Schrijf de antwoorden in de daarvoor
Nadere informatieMicrocontrollers Week 1 Introductie microcontroller Jesse op den Brouw INLMIC/2014-2015
Microcontrollers Week 1 Introductie microcontroller Jesse op den Brouw INLMIC/2014-2015 Computersysteem Een systeem dat rekenkundige operaties, data manipulaties en beslissingen kan uitvoeren, aan de hand
Nadere informatieHoe werkt een rekenmachine?
Hoe werkt een rekenmachine? Uit welke hardware-componenten bestaat een rekenmachine? Welke instructies kan de machine uitvoeren? Practicum met de rekenmachine I Constante getallen Instructies van het type
Nadere informatie8000-4000=4000 900-600=300 90-90 =0 7-8= 1 tekort! 4000 + 300+0-1 = 4299
Rekenstrategieën Voor de basisbewerkingen optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen en voor het rekenen met breuken en rekenen met decimale getallen, wordt een overzicht gegeven van rekenstrategieën
Nadere informatieslides12.pdf December 14, 2001 1
Onderwerpen Inleiding Algemeen 12 Getallen Getallen Representaties Rekenen Problemen Piet van Oostrum 12 dec 2001 INL/Alg-12 1 X INL/Alg-12 1 X Getallen Soorten getallen Wat is een getal? Experiment: met
Nadere informatieVANTEK Discovery set. N. B. De OPITEC bouwpakketten zijn gericht op het onderwijs. N991240#1
9 9 1. 2 4 0 VANTEK Discovery set N. B. De OPITEC bouwpakketten zijn gericht op het onderwijs. 1 Inhoudsopgave Binair rekenen Pulse en Countermodule blz. 3 Informatieverwerking Input en outputmodules blz.
Nadere informatieFaculteit Elektrotechniek - Capaciteitsgroep ICS Tentamen Schakeltechniek. Vakcodes 5A010/5A050, 19 januari 2004, 9:00u-12:00u
Faculteit Elektrotechniek - Capaciteitsgroep ICS Tentamen Schakeltechniek Vakcodes 5A010/5A050, 19 januari 2004, 9:00u-12:00u achternaam : voorletters : identiteitsnummer : opleiding : Tijdens dit tentamen
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatie1. Tellen. b. Getalrijen voortzetten Laat de volgende opgaven maken: Maak de rijen af:
1. Tellen a. Akoestisch tellen Laat het kind de telrij vanaf een willekeurig getal (bijvoorbeeld 36) opzeggen. Laat het tien verder tellen: zes-en-dertig, zeven-en-dertig, acht-en-dertig, Doe dit enkele
Nadere informatieDe wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.
98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden
Nadere informatieProeftentamen Digitale technieken
Proeftentamen Digitale technieken André Deutz October 17, 2007 De opgaven kunnen uiteraard in willekeurige volgorde gemaakt worden geef heel duidelijk aan op welke opgave een antwoord gegegeven wordt.
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde B Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatieAfspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar
24/04/2013 Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar Sint-Ursula-Instituut Rekenprocedures eerste leerjaar Rekenen, hoe doe ik dat? 1. E + E = E 2 + 5 = 7 Ik heb er 2. Er komen er 5 bij. Dat is
Nadere informatieGetalformaten, timers en tellers
Getalformaten, timers en tellers S_CU CU S PV R CV DEZ CV_BCD S_ODT S TV BI R BCD 1 pagina 1 Getalformaten (16 bits) PG CPU BCD W#16#296 Voorteken (+) 2 9 6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 Positieve getallen
Nadere informatieHoofdstuk 4. Digitale techniek
Hoofdstuk 4 Digitale techniek 1 A C & =1 F Figuur 4.1: Combinatorische schakeling. A C & & F A = & F C Figuur 4.2: Drie-input AND. A C _ >1 & F Figuur 4.3: Don t care voorbeeld A? F Figuur 4.4: Onbekende
Nadere informatieDifferentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden
Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het
Nadere informatieGetal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)
Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd
Nadere informatieDe AT90CAN microprocessor van ATMEL in de motorvoertuigentechniek (2)
De AT90CAN microprocessor van ATMEL in de motorvoertuigentechniek (2) Timloto o.s. / E. Gernaat / ISBN 978-90-79302-06-2 Op dit werk is de Creative Commens Licentie van toepassing. Uitgave: september 2012
Nadere informatieInleiding Digitale Techniek. Week 7 Schuifregisters Jesse op den Brouw INLDIG/2013-2014
Inleiding Digitale Techniek Week 7 Schuifregisters Jesse op den Brouw INLDIG/213-214 Schuifregisters In de digitale techniek en met name in de digitale communicatie wordt veel gebruik gemaakt van seriële
Nadere informatieProcessoren. Marc Seutter & David N. Jansen 12 November 2013
Processoren Marc Seutter & David N. Jansen 12 November 2013 Leerdoel opbouw van de hardware in een computer je construeert een (eenvoudige) processor je schrijft een (kort) assembly-programma je kunt uitleggen:
Nadere informatieEE1410: Digitale Systemen BSc. EE, 1e jaar, 2011-2012, 2e werkcollege
EE4: igitale Systemen BSc. EE, e jaar, 2-22, 2e werkcollege Arjan van Genderen, Stephan Wong, Computer Engineering 5 t/m 22-3-22 elft University of Technology Challenge the future Voor je begint. ownload
Nadere informatieDomeinbeschrijving rekenen
Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van
Nadere informatieDigitale Systeem Engineering 2
Digitale Systeem Engineering 2 Week 2 Toestandsmachines (vervolg) Jesse op den Brouw DIGSE2/214-215 Herkenningsautomaat Een typische sequentiële machine is een herkenningsautomaat of patroonherkenner.
Nadere informatieDe Arduino-microcontroller in de motorvoertuigentechniek (2)
De Arduino-microcontroller in de motorvoertuigentechniek (2) E. Gernaat (ISBN 978-90-79302-11-6) 1 Procescomputer 1.1 Microprocessoren algemeen De informatie-verwerking zoals is behandeld, is vrijwel geheel
Nadere informatieDigitale Systeem Engineering 1. Week 1 VHDL basics, datatypes, signal assignment Jesse op den Brouw DIGSE1/2014-2015
Digitale Systeem Engineering 1 Week 1 VHDL basics, datatypes, signal assignment Jesse op den Brouw DIGSE1/2014-2015 Wat is VHDL VHDL = VHSIC Hardware Description Language VHSIC = Very High Speed Integrated
Nadere informatie4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats
Nadere informatiePraktisch bestaan er enkele eenvoudige methoden om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal. We bespreken hier de twee technieken.
Talstelsels 1 Algemeenheden Digitale systemen werken met nullen en enen omdat dit elektronisch gemakkelijke te verwezenlijken is. De transistor kent enkel twee toestanden (geleiden of sperren) Hierdoor
Nadere informatieMemoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.
REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door
Nadere informatieVBA voor Doe het Zelvers deel 20
VBA voor Doe het Zelvers deel 20 Handleiding van Auteur: leofact Augustus 2015 handleiding: VBA voor Doe het Zelvers deel 20 Vorige aflevering In het vorige deel werd besproken hoe je de structuur en vensteropbouw
Nadere informatieCombinatorische schakelingen
Practicum 1: Combinatorische schakelingen Groep A.6: Lennert Acke Pieter Schuddinck Kristof Vandoorne Steven Werbrouck Inhoudstabel 1. Doelstellingen... 2 2. Voorbereiding... 3 3. Hardware-practicum...
Nadere informatieBreuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013
Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers
Nadere informatieLogische functies. Negatie
Pa ELO/ICT Logische functies inaire elementen slechts twee mogelijkheden voorbeeld : het regent slechts twee toestanden : waar of niet waar Voorstellen met LETTERSYMOOL = het regent overeenkomst :» als
Nadere informatieVRIJ TECHNISCH INSTITUUT Burg.Geyskensstraat 11 3580 BERINGEN. De PLC geïntegreerd in de PC. Vak: Toegepaste informatica Auteur: Ludwig Theunis
Burg.Geyskensstraat 11 3580 BERINGEN De PLC geïntegreerd in de PC. Vak: Toegepaste informatica Auteur: Ludwig Theunis Versie: vrijdag 2 november 2007 2 Toegepaste informatica 1 De Microprocessor Zowel
Nadere informatieBreuken som en verschil
Auteur Laatst gewijzigd Licentie Webadres Monique Faken 18 december 2014 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie https://maken.wikiwijs.nl/56142 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet.
Nadere informatieANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999
ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,
Nadere informatie