1. Een beetje (Westerse) geschiedenis

Transcriptie

1 1. Een beetje (Westerse) geschiedenis Alle culturen maken gebruik van geluid, vanzelfsprekend bij spreken (en zingen), maar ook voor communicatie over grotere afstanden (trommels, tam tam) en bij dans en andere festiviteiten. Vrijwel alle culturen kennen ook (muziek)instrumenten. Hoewel de gebruikte toonsystemen (toonladders) heel verschillend kunnen zijn, lijkt het dat alle culturen het octaaf kennen. 1 Bij de Grieken hebben in het bijzonder Pythagoras en Plato zich met Muziek beziggehouden. Bij hen was er een innig verband tussen getallen, tonen, wiskunde, wijsbegeerte en kosmos. Mooie tooncombinaties waren verbonden met getallen, en met snaarlengtes, waarbij de getallen ook (met de geest) te horen waren in de kosmos. Deze harmonie der sferen kom je tot in de 19 e eeuw tegen bij wijsgeren, dichters, wetenschappers (Kepler, Newton!), in opera s, etc. In de Middeleeuwen kende men de vrije kunsten (artes liberales), die later tot de wetenschappen leidden, in tegenstelling tot de handwerkkunsten, de ambachten, waaronder ook wat wij nu kunst noemen viel. De artes liberales werden onderverdeeld in: philosophia, quadrivium ( getallen ): arithmetica, geometrica, astronomia, musica, en trivium ( woorden ): grammatica, retorica, dialectica (of logica). Muziek bestond dus, maar natuurkunde nog niet. In Engeland kan men op een aantal plaatsen nog steeds Physics and Music studeren. Toonsystemen, toonladders, muzieknotatie, e.d. zijn in de Middeleeuwen ontwikkeld. De periode is die van de ontwikkeling van instrumenten, de opkomst van natuurwetenschappen, interesse van geleerden zoals Chr. Huygens ( ), stemming en 31-toonssysteem, de wiskundige L. Euler ( ), de Fis van Euler, en de natuurwetenschapper H.L.F. von Helmholtz ( ), Die Lehre von den Tonempfindungen. Na 1900 verschuift de aandacht naar perceptieonderzoek (met een grote bijdrage vanuit Nederland, bijv. R. Plomp, jarenlang bijzonder hoogleraar audiologie aan de VU) en naar gebruik maken van nieuwe technische mogelijkheden (elektronica, computer): elektronische instrumenten, zoals Ondes Martenot, Theremin en Hammondorgel, synthesizer, keyboard, elektronische/computer muziek, opname/weergave technieken (analoog/digitaal, sampling, compressie, MP3), opslag (grammofoonplaat, band, CD, DVD, harddisk), etc., waarbij de ontwikkelingen nog steeds doorgaan. 1 In De compositie van de wereld besteedt Harry Mulisch veel aandacht aan muziek en speciaal het octaaf

2 2. Geluid Alvorens in volgende hoofdstukken een aantal zaken in detail te behandelen, eerst wat algemene opmerkingen over geluid. Op een aantal plaatsen wordt tussen haakjes verwezen naar het hoofdstuk waar dieper op het onderwerp wordt ingegaan. Het vakgebied Het vakgebied dat zich bezig houdt met alles wat met geluid te maken heeft wordt Geluidsleer (in het Engels Acoustics ) genoemd. Vroeger werd veel onderzoek gedaan aan de natuurkundige aspecten van geluid (trillingen/ golven, geluidsbronnen en voorplanting van geluid, etc.), tegenwoordig m.n. aan de fysiologie (bouw van het oor) en de perceptie (wat gebeurt er in de hersenen) van het horen ( psychoacoustics ). Beide aspecten komen in deze cursus aan bod. Los daarvan is opnemen, opslaan, oversturen en afspelen van geluid de laatste decennia een enorm vakgebied geworden (grammofoonplaat, cassettebandje, CD, DVD, mobiele telefonie, IPod, Bluetooth Audio, Apple Airplay). Wat is geluid? Natuurkundig gezien is geluid een trilling van de lucht, die zich als een golf voortplant: ruiten trillen bij een donderslag of als een vliegtuig door de geluidsbarrière gaat, je voelt je keel trillen bij het zingen, en de conus van een luidspreker beweegt heen en weer. In vacuüm is er dus geen geluid, wat in sommige sciencefiction series wel eens vergeten wordt. Maar de definitie wordt wijder gebruikt: ook trilling (beweging) van deeltjes in andere materie dan lucht wordt geluid genoemd. Voorbeelden zijn opsporen van duikboten m.b.v. sonar in zee (trillend water), seismografie, echoscopie (trillend lichaamswater en weefsel) en het vergruizelen van een niersteen (trillingen in steen). In dit college beperken we ons tot muzikaal geluid, d.w.z. het geluid is opzettelijk geproduceerd en er zit een zekere ordening of structuur in. 1 Het ruisen van de zee of willekeurig lawaai valt er dus niet onder, hoewel deze natuurkundig wel interessant kunnen zijn. Aspecten van geluid Bij geluid spelen drie zaken een belangrijke rol: er moet een bron zijn die het geluid voortbrengt, het geluid moet zich voortplanten om ergens gehoord te worden (we beperken ons tot voortplanting in lucht) en we moeten het geluid horen/ervaren. Bij het eerste speelt, naast vakmanschap, natuurkunde een grote rol, het tweede is puur natuurkunde, terwijl het bij het laatste gaat om de fysiologie van het oor en wat erna in de hersenen gebeurt. Soorten muziekinstrumenten (geluidsbronnen) Er zijn verschillende soorten geluidsbronnen (instrumenten) voor muziek (elektronisch gegenereerd geluid laten we buiten beschouwing): o Slaginstrumenten zoals gong, klok, trommel, pauk, xylofoon, celesta. Hierbij ontstaat de toon doordat een oppervlak trilt. Slaginstrumenten hebben van zich zelf niet 'automatisch' een duidelijke toonhoogte. o Snaar/strijkinstrumenten (hfdst. 9, 11) zoals gitaar/harp (aangetokkeld), klavecimbel, piano (aangeslagen), viool (aangestreken). De toonhoogte wordt bepaald door de snaar. 1 Varèse heeft muziek ooit gedefinieerd als georganiseerd geluid

3 o Blaasinstrumenten (hfdst. 10): orgelpijp, fluit, rietinstrumenten zoals klarinet en saxofoon (enkel riet) en hobo en fagot (dubbel riet), koperblazers (trompet, hoorn, trombone), tongwerk bij orgel, harmonium, accordeon en mondharmonica. Behalve bij de laatste drie, waarbij ze bepaald wordt door een trillend metalen tongetje, wordt de toonhoogte bepaald door de lengte van een trillende luchtkolom. Onze stem (hfdst. 12) hoort ook tot de blaasinstrumenten, maar wel een heel bijzonder. Vooral bij snaarinstrumenten speelt een klankkast een belangrijke rol. Deze fungeert als resonator (meetriller) om het geluid te versterken. Verder kun je er nog op letten of er met het instrument hard en zacht gespeeld kan worden, en of de geluidssterkte na het begin nog beïnvloed kan worden (bij piano, slag- en tokkelinstrumenten niet). In principe is er een relatie tussen de grootte van een instrument en de toonhoogte: hoe groter het instrument, hoe lager de toon, hetgeen met de golflengte van de toon te maken heeft (hfdst. 3), maar de relatie is in de praktijk ingewikkeld. Ze is bijv. verschillend voor fluit, viool, xylofoon. Waarom dat zo is zal later duidelijk worden. Kenmerken van geluid Bij geluid kan men 4 kenmerken onderscheiden: 1. de tijdsduur (lang aangehouden toon op een instrument vs. het geluid van bijv. een zweepslag) 2. de (toon)hoogte (piccolo vs. contrabas) 3. de geluidssterkte (hfdst. 8) (hard, zacht) 4. de klankkleur of het timbre (hfdst. 5) (blokfluit en hobo klinken heel anders) De laatste drie kenmerken kunnen constant blijven in de tijd of veranderen. Bijv. bij een glissando of bij een vibrato verandert de toonhoogte, een pianotoon dempt uit en verandert daarbij tevens van klankkleur, terwijl ook de aanzet van de toon van groot belang is (ook voor de herkenbaarheid van instrumenten), m.n. bij strijkinstrumenten. Toonhoogte en frequentie Willen we een bepaalde toonhoogte aan geluid kunnen toekennen, dan is periodiciteit nodig: het trillingspatroon moet zich na een bepaalde tijd T (trillingstijd genoemd) herhalen. De frequentie, het aantal trillingen per seconde, meestal aangeduid met de letter f, is gelijk aan 1/T. Hoe groter het aantal trillingen per seconde, hoe hoger de toon die we ervaren. De toonhoogte is dus direct gerelateerd aan de grootte van de frequentie. We stemmen bijv. op de a(440), d.w.z. de frequentie is 440 trillingen per seconde, ofwel 440 Hz. Hz (Hertz) staat hierbij voor de eenheid : (trilling) per seconde. De relatie toonhoogte - frequentie is pas laat gelegd, door Vincenzo Galilei (c ) en meer in detail door Mersenne ( ), een Frans wiskundige. Hoorbaar geluid Het voor de mens hoorbare geluid beslaat globaal het frequentiegebied van 20 tot trillingen per seconde (20 Hz - 20 khz). Geluid met een frequentie boven de 20 khz heet ultrasoon, onder de 20 Hz infrasoon. De opgegeven grenzen gelden voor een jong iemand met een uitstekend gehoor. Bij ouder worden neemt de bovengrens geleidelijk af. In een HOVO groep varieert de bovengrens zo tussen de 9 en 14 khz

4 Bij dieren kunnen de grenzen heel anders liggen. Honden kunnen tonen van 25 khz nog horen (hondenfluitjes), vleermuizen gebruiken frequenties van khz voor hun sonar, terwijl walvissen communiceren via tonen van een paar Hz. Zie appendix A voor het frequentiebereik van een aantal instrumenten en zangstemmen. Let wel: dit zijn de frequenties van de grondtoon, die gelijk is aan de frequentie van het gehele trillingspatroon. Boventonen (hfdst. 3 en 5) hebben hogere frequenties. Klankkleur De klankkleur, ook wel timbre genoemd, wordt bepaald (hfdst. 3 en 5) door de vorm van het trillingspatroon. Dit patroon kan er heel verschillend uitzien, zie fig E E E E E ms ms Opgaven Figuur 2.1 Trillingspatroon van trompet (260 Hz), gezongen aa (320 Hz) en gezongen ie (300 Hz). Horizontaal staat de tijd uit (1ms = 0,001 s). 2.1 Bepaal de trillingstijden van de trillingspatronen in fig. 2.1 m.b.v. de plaatjes (1 ms is 1/1000 e seconde). Kloppen uw resultaten (ongeveer) met de gegeven frequenties? 2.2 Als je een vochtige vinger stevig over een ruit beweegt, ontstaat er een toon. Hoe komt dat? En waardoor wordt de frequentie bepaald? 2.3 Beweeg een kaart (bijv. een betaalpas of speelkaart) over een (lange) kam en schat, bijv. met een piano, de toonhoogte van het geluid. Bepaal dan m.b.v. de gegevens in appendix A de bijbehorende frequentie. Probeer de frequentie ook te berekenen door het aantal tanden dat je per seconde raakt te schatten. Hoe goed kloppen de twee getallen? 2.4 Het geluid van een xylofoon is vrij zwak. Plaats je onder het plaatje echter een buis van de juiste lengte als resonator, dan wordt het veel luider. De tijdsduur dat de toon klinkt wordt echter flink korter. Probeer beide verschijnselen te verklaren

5 3. (Geluids)golven en trillingen Golven en trillingen spelen een zeer belangrijke rol in de natuurkunde. Denk bijv. aan licht, warmtestraling, radiogolven, Röntgenstraling (dit zijn alle elektromagnetische golven/ trillingen), kwartsklokken, vloedgolven, etc. In dit college gaat het om geluidsgolven en trillende snaren en luchtkolommen (van en in muziekinstrumenten). We behandelen daartoe eerst een aantal belangrijke begrippen. Lopende golven Lopende golven zijn het gemakkelijkst te zien in een niet te strak gespannen lang touw. Door één uiteinde op en neer te bewegen, kun je in het touw lopende golven opwekken, d.w.z. het golfpatroon schuift op in de ruimte, terwijl elk punt van het touw een trilling op en neer uitvoert rond de normale ( evenwicht )stand (zie fig. 3.1). Het touw verplaatst zich dus niet: het patroon (de golf) verplaatst zich. Aan het uiteinde kaatsen de golven terug. Bij een snaar gebeurt dit alles ook, maar het gaat te snel om te zien. t x Fig. 3.1 Beweging van een punt van een golf in de tijd (a), momentopname (b) van een golf als functie van de afstand x, en op opvolgende tijdstippen (c). (P(eriod) is Engels voor trillingstijd T) x Dit zijn transversale golven: de uitwijking uit de evenwichtsstand is in een richting loodrecht op de voortplantingsrichting. Golven op een wateroppervlak zijn gemengd transversaal en longitudinaal (in de richting van de voortplanting), want de waterdeeltjes bewegen in cirkels op en neer en naar voren en achteren. Geluidsgolven in lucht zijn longitudinale golven (in een vast lichaam zijn zowel transversale als longitudinale geluidsgolven mogelijk): de luchtmoleculen bewegen heen en weer in de voortplantingsrichting van het geluid, waardoor de lucht lokaal enigszins verdund of verdicht wordt, en daarmee ook de luchtdruk lokaal een beetje kleiner of groter wordt, zie fig Ook hier geldt: het golfpatroon verplaatst zich, niet de lucht zelf. P1 U1 P2 U2 Fig Beweging van de luchtmoleculen in een geluidsgolf. De pijltjes geven de verplaatsing van de moleculen uit hun evenwichtsstand weer. De verplaatsing (uitwijking) van de moleculen is maximaal naar rechts bij U1, en maximaal naar links bij U2. De grootste verdunning (en laagste druk) bevindt zich bij P1, de grootste verdichting (en hoogste druk) bij P

6 Voor de beschrijving van geluidsgolven is het het handigst om niet naar de verplaatsing ( uitwijking ) van de moleculen te kijken, maar naar de uitwijking van de (lucht)druk, d.w.z. de verandering van de luchtdruk in een geluidsgolf ten opzichte van de normale druk van de lucht (dat is ook wat een microfoon meet). Deze verandering is zeer gering, 10-4 tot 10-2 mbar, terwijl de normale luchtdruk ongeveer 1 bar = 1000 mbar bedraagt. Zoals reeds gezien in fig. 2.1 kan de (druk)verandering als functie van de tijd zeer ingewikkeld zijn. Eenheden in gebruik voor luchtdruk: (Lucht)druk is een kracht per oppervlakte-eenheid, en wordt dus uitgedrukt in Newton (de eenheid van kracht) per m 2 : N/m 2, Pascal genaamd; 1 bar = N/m 2 = 100 kpa(scal). Een oude eenheid is de atmosfeer: 1 atm. is de druk van een kwikkolom van 76 cm, wat overeenkomt met 0,76 13, ,81 = 1, N/m 2 = 1013 mbar. Golflengte, frequentie en snelheid van trillingen en golven We hebben in hoofdstuk 2 trillingstijd en frequentie al gedefinieerd: trillingstijd T : tijdsduur van één trilling [eenheid: s(econde)] (in het Engels gebruikt men vaak de letter P (period) i.p.v. T) frequentie f : aantal trillingen per seconde [eenheid: Hz (Hertz)], f = 1/T Daar komt nu bij het begrip golflengte, aangeduid met de Griekse letter λ (lambda) en uitgedrukt in m(eter): de afstand tussen twee golftoppen of dalen, of tussen twee verdunningen (of verdichtingen) van de lucht, of maxima (minima) in de luchtdruk, zie fig. 3.1 b. Er bestaat een direct verband tussen de snelheid v (uitgedrukt in meter per seconde) van een golf, de frequentie f, en de golflengte λ: v = f λ, want in één trillingstijd schuift het golfpatroon een afstand λ op, en er zitten f trillingstijden in een seconde. Deze relatie is van zeer groot belang. We zullen hem gebruiken voor geluidsgolven in lucht, waarbij v dan de geluidssnelheid is, en voor golven in een snaar, die een eigen snelheid (v snaar ) hebben. De geluidssnelheid Iedereen gebruikt wel eens bij onweer dat als er 3 seconden zitten tussen het zien van de bliksem en het horen van de donder, de bliksem 1 km ver weg was. Wat preciezer: de geluidssnelheid in normale lucht van 20 graden Celsius en bij een druk van 1013 mbar bedraagt 344 m/s. Staande golven Bij lopende golven schuift het golfpatroon op in de ruimte. Als een snaar aan beide uiteinden ingeklemd is (maar het geldt ook voor een touw met één los uiteinde, en ook voor de luchtkolom in een blaasinstrument), dan kaatsen de golven aan de uiteinden terug. Door interferentie van de heen- en teruggaande golven ontstaan er dan staande golven: alle punten van de snaar bewegen gezamenlijk in een bepaald patroon op en neer 1. Dit is goed te zien als golven van zee tegen de wand van een haven botsen, en ook in een golfslagbad. Harmonische trilling 1 NB. Dit laatste geldt alleen voor een harmonische golf, waarbij elk punt van de snaar een harmonische trilling uitvoert. Zie verder bij Strijken in hfdst

7 De simpelste trilling is een harmonische trilling: deze ontstaat als iets, bijv. een deeltje met massa m, beweegt onder invloed van een terugdrijvende kracht K, die evenredig is met de uitwijking u. De frequentie f van de trilling wordt gegeven door f = k m / 2π. Voorbeelden van harmonische trillingen zijn een massa aan een veer (waarbij k de stijfheid van de veer is), de slinger van een klok, een mechanische metronoom, maar ook een elektronische toongenerator. De bewegingsvergelijking is (a is hierbij de versnelling van het deeltje): 2 d u K = m a [ = m ] = k u 2 dt Omdat deze differentiaalvergelijking een lineaire vergelijking is (de uitwijking u komt links en rechts met macht één voor), is de frequentie onafhankelijk van de grootte van de uitwijking. De oplossing (uitwijking u als functie van de tijd) kan beschreven worden met een sinus functie (zie appendix B voor een korte uitleg wat een sinus is): u(t) = A sin(ωt+φ), waarbij A de amplitudo (de maximale uitwijking) aangeeft, ω = 2πf de hoekfrequentie is, met f de frequentie van de trilling, en φ de phase(hoek). Fourieranalyse Harmonische trillingen zijn van groot belang voor de beschrijving van geluid in termen van grond- en boventonen. Een periodiek trillingspatroon met frequentie f kan namelijk opgebouwd worden uit harmonische trillingen, waarvan de frequenties veelvouden zijn van f: f, 2f, 3f, 4f, etc., dus met frequenties f n = n f (Fourier opbouw) (n = 1, 2, 3 etc.). De harmonische trilling met frequentie f 1 (= f) heet de grondtoon of 1 e harmonische (de toonhoogte die wij waarnemen komt ook overeen met f 1 ), terwijl de trillingen met n groter dan 1 de boventonen (of hogere harmonischen) genoemd worden (in het Engels: fundamental of 1st partial, en higher partials ). NB. De eerste boventoon heeft dus n=2. Het feit dat tonen van verschillende instrumenten (of tonen van verschillende toonhoogte van eenzelfde instrument) een verschillend trillingspatroon vertonen en ook verschillend klinken, dus een andere klankkleur hebben, is rechtstreeks verbonden met een andere opbouw uit grond- en boventonen. Een toon zonder boventonen (dat is dus een pure sinus) klinkt kaal. Om een bekend gezegde te parafraseren: het zijn de boventonen die de muziek maken. En de boventonen hangen af van (de bouw/vorm van) het instrument (of bij zang van hoe we onze keel en mond houden), maar ook van hoe je het instrument bespeelt (embouchure bij blazers, plaats van aanstrijken bij strijkinstrumenten, hard/zacht). Opgaven 3.1 De geluidssnelheid v is onafhankelijk van de frequentie, maar ook geldt v = f λ. Hoe zit dat? 3.2 De geluidssnelheid neemt met ongeveer 0,6 m/s toe per graad Celsius. Hoeveel verandert de toonhoogte, uitgedrukt in trillingen per sec., als je op een fluit een a(440) speelt en de temperatuur 3 graden stijgt? Hoeveel hele tonen is dat (1 halve toon is ongeveer 6% verschil in frequentie)? Beantwoord dezelfde vragen als je een a(880) speelt. Wat valt u op? - 7 -

8 3.3 Als je de geluidssnelheid kent, kun je de afstand van waar je staat tot een wand bepalen door in de handen te klappen, ervoor te zorgen dat de echo precies tussen twee klappen in valt, en met een stopwatch of horloge te meten hoe lang je over bijv. 10 klappen doet. Stel dat dat 8 seconden is, hoe ver is de wand dan weg? 3.4 Waarom klinken mannenstemmen in een badkamer of douche i.h.a. goed? 3.5 Wat is de golflengte van het geluid geproduceerd door een vioolsnaar die trilt met een frequentie van 1000 Hz? 3.6 Een orgelpijp produceert geluid met een golflengte voor de grondtoon van 4 m. Wat is de toonhoogte? 3.7 Stel dat die orgelpijp alleen even boventonen produceert, welke frequenties zullen die dan hebben? 3.8 Een interessante vraag is waar de geluidssnelheid wel/niet van afhangt. Aanwijzing: ga na welke fysische grootheden allemaal een rol spelen bij geluid en dus in principe de geluidssnelheid zouden kunnen beïnvloeden. Wie een blaasinstrument bespeelt, weet vermoedelijk al enigszins welke van de genoemde grootheden invloed hebben, bijv. wat gebeurt er als je met je instrument in de bergen speelt? 3.9 Als je op een fles blaast, hoor je een bepaalde toon. Wordt de toon hoger of lager als je de fles (ten dele) met water vult? Is dit (voornamelijk) het gevolg van een verandering van de massa of een verandering van de terugdrijvende kracht? Beschouw de beweging van de lucht in de halsopening en in de fles: wat is de bewegende massa, en wat veroorzaakt de terugdrijvende kracht? Welke wordt met name beïnvloed door het vullen met water? 3.10 Een complexe golfvorm herhaalt zich elke 4 ms. Wat zijn de frequenties van de mogelijke Fouriercomponenten? 3.11 Voor een trillende staaf geldt dat de snelheid van de geluidsgolven in de staaf evenredig is met de wortel van de frequentie. Wat betekent dit voor de boventonen als je aanneemt dat er een geheel aantal halve golven in de staaf moet passen? 3.12 Toon aan dat Asin(ωt+φ) een oplossing is van de differentiaalvergelijking voor een harmonische oscillator. Aan welke voorwaarden moeten A, ω en φ voldoen? Is Acos(ωt+φ) ook een oplossing? En is die verschillend van de sinus oplossing? Ter herinnering: de afgeleide van sinα (cosα) is cosα (- sinα), en de kettingregel luidt: df(g(x))/dx = df/dg dg/dx

9 4. Trillende snaren Een snaar is een goed voorbeeld om een aantal zaken, die in het vorige hoofdstuk aan de orde gekomen zijn, uit te leggen. De Grieken, in het bijzonder Pythagoras, hebben onderzoek gedaan aan het monochord: één snaar gespannen op een klankkast. Daarmee werd de relatie tussen de toonhoogte en de lengte van de snaar gevonden en ook dat snaren van verschillende lengten mooie combinaties van tonen opleverden als de lengten zich verhielden als gehele getallen. Een voorbeeld van een monochord, zoals beschreven door Mersenne, is te zien in fig Let op de erbij geschreven noten en afstanden, plus de schrijffout. In fig. 4.2 zijn de eerste 4 eenvoudigste trillingswijzen (eigentrilling of modus, in het Engels: mode ) van een ideale snaar (zonder enige stijfheid) te zien. Dit zijn staande golven, ontstaan door de interferentie van heen- en teruggaande golven (door terugkaatsing aan de vaste uiteinden). Elk punt van de snaar voert een harmonische trilling uit. Punten waar de snaar niet beweegt worden knopen genoemd, en waar de snaar maximaal heen en weer gaat buiken (bij flageolet spelen op een strijkinstrument dwing je door op een bepaalde plaats een vinger op de snaar te houden op die plaats een knoop af). Zoals in de figuur te zien is, zijn slechts bepaalde trillingswijzen mogelijk. Dat is als volgt in te zien. Fig. 4.1 Monochord van Mersenne. De uitwijking van de snaar is nul bij de vaste uiteinden. Dit levert de voorwaarde dat de golflengte λ van de golf gelijk moet zijn aan 2L, L, 2L/3, etc., dus algemeen λ n = 2L/n, met n=1,2,3, etc., waarbij L de lengte van de snaar is. Omdat f=v/λ, horen hierbij frequenties f n = nf 1, waarbij f 1 = v/2l de frequentie van de eerste modus is. Bij elke trillingswijze hoort dus ook een bepaalde frequentie, en daarmee een bepaalde toonhoogte, en deze frequenties vormen een harmonische rij. In de praktijk geldt dit slechts bij benadering: zodra een snaar een zekere stijfheid vertoont, ontstaan er afwijkingen (zie bij piano in hfdst. 9). Fig. 4.2 Eerste vier eigentrillingen van een snaar. N (node) geeft een knoop aan

10 De toonhoogte blijkt behalve van de lengte L van de snaar ook af te hangen van de massa per lengte-eenheid µ en van de spanning S van de snaar. Dit is het gevolg van het feit dat ook voor de golven in een snaar de relatie v = f λ geldt, maar waarbij v nu de voortplantingssnelheid van de golven in de snaar is, die gegeven wordt door v snaar = S / µ. De frequenties van de eigentrillingen van een snaar worden dus gegeven door n S f n =. 2 L µ Algemeen is de trilling van een snaar een combinatie (som) van deze harmonische (eigen)- trillingen (Fourier opbouw), dus bestaand uit grondtoon plus boventonen. De toonhoogte, die we ervaren, wordt bepaald door de laagste frequentie (f 1 ), dus die van de grondtoon. De (longitudinale) trillingen/staande golven van een luchtkolom kunnen op analoge wijze beschreven worden, als je i.p.v. de uitwijking van de snaar de luchtdrukverandering neemt (dus niet de beweging/uitwijking van de trillende luchtdeeltjes). De trilling van een ideale (niet stijve) snaar wordt beschreven met de snaarvergelijking 2 2 u( x, t) S u( x, t) =. 2 2 t µ x Opgaven 4.1 Wat zijn de golflengten van de laagste drie trillingswijzen van een snaar van 0,6 m? 4.2 Als de snelheid van de (transversale) golven van een snaar 240 m/s is, wat is dan de frequentie van de grondtoon van een snaar van 30 cm? En wat is de golflengte van het geproduceerde geluid? Geef twee manieren waarop je de toonhoogte van die grondtoon kunt wijzigen. 4.3 Bij de demonstratie van de Pythagoras doos werd een stalen snaar gebruikt met een diameter van 0,40 mm en een lengte van 60 cm, die gespannen werd door gewichten van 4,1 kg, 7,15 kg of 11,25 kg in een emmertje van 0,1 kg. Bereken, welke toonhoogten bij deze drie gevallen horen, en vergelijk het met de waargenomen tonen: Gegeven: de versnelling g van de zwaartekracht is 9,81 m/s 2 en de soortelijke dichtheid van staal is 7,6 g/cm 3. Ter controle: 16,0 cm van dat draad bleek 0,152 g te wegen. 4.4 Ga na dat de functie u(x,t) = A sin(2πx/λ)sin(2πf t) een oplossing van de snaarvergelijking is. Aan welke voorwaarden moeten λ en f voldoen voor een snaar met lengte L?

11 5. Boventonen en timbre De toon van een instrument bestaat i.h.a. niet uit één harmonische trilling (in dat geval zijn er geen boventonen) (zie hfdst. 3) en snaren kunnen in hogere modi (zie hfdst. 4) trillen. Dit is goed aan te tonen met de zgn. resonantieproeven op een piano. 1 e resonantieproef: een snaar kan in hogere modi trillen Druk de toets van 'F (zie Namen en notatie in hfdst. 6 en appendix A voor de namen van tonen) langzaam in, zodat er geen toon ontstaat, en houd die ingedrukt. Sla daarna een F aan en laat die weer los. De toon F blijkt zacht hoorbaar te blijven, totdat je 'F loslaat. Doe dat vervolgens ook met c, f, a, c', es', (Merk op dat de a, die klinkt na loslaten van de a toets, een beetje zweeft met een weer zacht aangeslagen a.) Probeer ook andere tonen. Bij de meeste hoor je niets (of heel zachtjes de toon 'F), maar bijv. bij aanslaan van A hoor je niet A, maar wel a! 2 e resonantieproef: de toon van een aangeslagen snaar bevat een aantal boventonen Druk de toets van F langzaam in, zodat er geen toon ontstaat, sla dan een 'F aan en laat die weer los. Je hoort nu een F toon doorklinken. Doe hetzelfde met i.p.v. F een c, f, a, c', es', etc. (merk op dat de es' maar heel zacht klinkt). Probeer ook andere, bijv. C en A. Deze verschijnselen kunnen als volgt verklaard worden. Doordat alle snaren van een piano over dezelfde kam lopen, kunnen, mits de demper eraf is, andere snaren dan die aangeslagen zijn, mee gaan trillen (resoneren). De eerste boventoon van 'F heeft precies de frequentie van de toon F. Bij aanslaan van F bij de 1 e resonantieproef gaat de 'F snaar meetrillen met die frequentie (die 2 keer die van de grondtoon van 'F is). De snaar trilt dan niet in zijn laagste modus, maar in de tweede (zie hfdst. 4). De frequenties van de tonen c, f, a, etc. zijn resp. 3, 4, 5, etc. zo groot als die van 'F. De 'F snaar gaat dan in steeds hogere modi meetrillen. Het feit dat je zwevingen hoort als je de a weer zachtjes aanslaat, komt doordat in de gebruikelijke gelijkzwevende stemming (zie hfdst. 7) de a niet precies met 5 keer de frequentie van de toon 'F trilt 1, terwijl de 'F snaar in de 5 e modus dat wel precies doet. Bij de 2 e resonantieproef gebeurt het omgekeerde. Bij aanslaan van de toon 'F trilt de snaar niet alleen in zijn 1 e modus (de grondtoon), maar er zijn kennelijk ook boventonen (met frequentie f n =n f 1, als f 1 de frequentie van de grondtoon van 'F is), waardoor de snaren die qua frequentie met die boventonen overeenkomen, gaan meetrillen. Op een cello is dit ook te horen (en te zien): een losse C snaar resoneert met o.a. een gespeelde c en omgekeerd. (Dit wordt gebruikt om toch een vibrato te krijgen als je een C speelt.) Bij een snaardoos met twee snaren vliegen papieren ruitertjes, die je op de ene snaar gehangen hebt, er af ter plaatse van een buik, maar niet ter plaatse van een knoop, als je op de andere snaar de grondtoon of één van de boventonen tokkelt. Het verschil in klank van (tonen van) verschillende instrumenten en het onderscheid tussen bijv. de klinkers aa en ie, is volledig te danken aan een verschil in trillingspatroon en daarmee 1 Volgens appendix A is de frequentie van 'F in de gelijkzwevende stemming 43,654 Hz. De 5 e modus heeft dus een frequentie van 5 43,654 = 218,27 Hz, terwijl de a een frequentie van 220 Hz heeft

12 aan een verschil in opbouw aan boventonen (Fourier opbouw: welke harmonischen zijn aanwezig, en hoe sterk). In fig. 5.1 staan hiervan enkele voorbeelden. In een luisterfragment blijkt dat je een instrument pas herkent, als de laagste 3 tot 5 boventonen aanwezig zijn f (Hz) Fig. 5.1 Voorbeelden van de boventoonopbouw van trompet, gezongen aa en gezongen ie van fig De hogere modi (eigentrillingen) van een snaar en van houtblaasinstrumenten zijn in goede benadering harmonisch. Dit geldt over het algemeen niet voor trillende staven en oppervlakken (zoals een xylofoon, bekken of een trommelvel). Zo heeft een trillende staaf, als f 1 de frequentie van de laagste eigentrilling is, hogere eigentrillingen met frequentie 2,756 f 1, 5,404 f 1, 8,933 f 1, 15,99 f 1, etc. (NB. De frequenties hangen af van hoe de staaf ondersteund of ingeklemd is). Opgaven 5.1 Verklaar hoe het komt dat je bij de 1 e resonantieproef een a hoort als je een A aanslaat. 5.2 Houd op een piano de toon d' stom ingedrukt en zoek uit bij welke lagere tonen de d' gaat resoneren, als je ze kort hard aanslaat. Verklaar wat u waarneemt. 5.3 Welke tonen vormen de boventoonreeks van de toon C? Welke frequenties horen daarbij als de frequentie van C 65,4 Hz is? Vergelijk deze met de frequenties van deze tonen op een gelijkzwevend gestemde piano (gebruik appendix A). 5.4 Hoe zou het komen dat de es' vrijwel niet resoneert bij de 2 e resonantieproef? 5.5 De hoogste snaar op een cello geeft uit zichzelf ( losse snaar ) een a. Waar (als deel van de gehele snaar) moet je je vinger zetten om een e' te spelen? Welke toon klinkt er als je op die plaats je vinger losjes op de snaar houdt, zodat daar wel een knoop ontstaat, maar de snaar aan beide kanten kan trillen (flageolet spelen)? Dezelfde vragen voor d' i.p.v. e'. NB. De frequentie van e' (d') is 3/2 e (4/3 e ) maal die van de toon a

13 6. Toonsystemen Van alle mogelijke tonen binnen ons hoorbereik worden er in de muziek maar een beperkt aantal gebruikt. Vrijwel alle culturen kennen en gebruiken daarbij het octaaf (2 tonen met een frequentie-verhouding van 2 staat tot 1): als een bepaalde toon gebruikt wordt, dan worden ook tonen die één of meer octaven hoger of lager zijn gebruikt. Een bepaalde onderverdeling van het octaaf in een beperkt aantal tonen wordt een toonsysteem genoemd. Het westerse systeem gebruikt een verdeling in 12 toongebieden. Dit is een juistere term dan tonen, omdat die afhangen af van de gebruikte stemming, maar we zullen in het vervolg voor het gemak de term toon gebruiken voor de tonen die gebruikt worden in ons toonsysteem. Oorspronkelijk waren er slechts 7 tonen per octaaf, stamtonen genoemd: a - b - c - d - e - f - g (- a) (de witte toetsen op een piano). Daarbij waren er grotere en kleinere ( hele en halve ) afstanden. Tussen de stamtonen met hele afstand kwamen extra tonen, de zwarte toetsen. In totaal zijn er dan dus 12 halve = 6 hele afstanden. a b c d e f g a Als eerste kwam tussen de a en b de b rotundum (ronde b), ook wel b mollum (zachte b) genoemd: onze bes. De gewone b werd b quadratum of durum (vierkante of harde b) genoemd. Achtergrond daarvan is dat met alleen 'witte toets' tonen er een hexachord voorkomt, de combinatie: c-d-e-f-g-a (met toonsafstanden 1 1 ½ 1 1), het zgn. hexachordum naturale. Achteraan aansluitend is er een hexachordum durum : g-a-b-c-d-e. Maar voor een voorafgaand hexachord met c-d als eindtonen was een nieuwe 'zwarte' toon, bes, nodig: f-g-a-bes-c-d (hexachordum mollum). 1 De schrijfwijze van een ronde b voor b mollum, ontwikkelt zich tot het molteken Ù voor het aanduiden van een verlaagde toon, en de schrijfwijze voor b durum ontwikkelt zich tot het herstellingsteken Ú, en vervolgens tot het kruisteken Û voor een verhoogde toon. In Duitsland wordt b gebruikt voor bes en h ( lijkt op een Gotische h) voor b! Verder wordt daar Dur voor een grote terts toonaard, en Moll voor een kleine terts toonaard (zie later) gebruikt (Bach s Hohe Messe in H-moll staat dus in B kleine terts; en er zijn fuga s op de naam BACH gemaakt, zie fig. 6.1). Na de bes kwam de es tussen d en e, fis tussen f en g, etc. (zie verder bij toonladders en kwintencirkel). Fig. 6.1 Deel Fuga XV uit Die Kunst der Fuge van J.S. Bach 1 De termen hard en zacht slaan vermoedelijk op de gevoelswaarde: opgewekt, vrolijk, resp. week, weemoedig

14 De namen voor mol en kruis in andere talen zijn: bémol, dièse (Frans), Be, Kreuz (Duits), flat, sharp (Engels). In moderne muziek worden soms kwarttonen gebruikt: c, cih, cis, cisih; d, deh, des, deseh, etc. of zelfs nog kleinere onderverdelingen (microtonale muziek). Een interessante vraag bij dit alles is: is een fis (een verhoogde f) dezelfde toon als een ges (een verlaagde g)? En is een fes hetzelfde als een e? Zie hdfst. 7. Do-re-mi Dit systeem is voornamelijk uitgewerkt door Guido van Arezzo (~ ), een Benedictijner monnik en muziektheoreticus en pedagoog. Hij realiseerde zich dat de noten van de verschillende hexachorden onderling dezelfde relatie hebben, en dat bijv. bij zingen alleen de relatieve toonhoogtes van belang zijn, en niet de absolute (a, b, etc.). Daarom introduceerde hij relatieve namen: ut re mi fa sol la (si). Deze namen zijn ontleend aan een hymne aan Johannes, waarvan elke regel met een volgende toon van het hexachord begint. Later werd ut do (van Dominus (Heer), zodat alle met een medeklinker beginnen, van belang voor zang) en si ti (elke noot een verschillende medeklinker), en soms sol so. In noordelijke landen waren de absolute namen a, b, c, etc. ingeburgerd en werd do-re-mi alleen gebruikt voor relatieve tonen, maar in Frankrijk en Italië werden en worden de namen do re mi etc. absoluut gebruikt, met do voor C, dus Re majeur = D groot (grote terts). Fig.6.2: Hymne van Johannes Namen en notatie Noten worden aangeduid met hun letter, aangevuld met in welk octaaf ze voorkomen: subcontra, contra, groot, klein, ééngestreept, tweegestreept, driegestreept, viergestreept, met als notatie bijv. ''A, 'A, A, a, a', a'', a''', a'''' (zie appendix A). Voor de absolute toonhoogte is in 1939 afgesproken dat de a' een frequentie heeft van 440 Hz. Daarvoor was het 422 Hz ( ) en 435 Hz ( ). Lokaal heeft de a' gevarieerd tussen 375 Hz en 500 Hz

15 Fig. 6.3 Stukje uit Trio opus 83 nr. 4 voor Bes-klarinet, altviool en piano van M. Bruch Noten worden genoteerd op notenbalken (zo nodig met hulplijnen), waarbij sleutels aangeven waar op de balk een bepaalde toon ligt, zie fig Het meest worden de sopraan (G) en bas (F) sleutel gebruikt, maar standaard voor een altviool is de altsleutel, en bij de cello wordt ook vaak de tenorsleutel gebruikt. De lijnnoten en tussennoten komen overeen met de witte toets noten. Enkele (dubbele) verhogingen of verlagingen worden aangegeven met Û (µ), resp. Ù (ÙÙ). Deze kunnen ongedaan gemaakt worden door het herstellingsteken Ú te gebruiken. Meestal staat een stuk in een bepaalde toonsoort (zie hieronder bij toonladders) met een aantal kruizen of mollen. Dan worden deze vóór aan de notenbalk genoteerd (vaste voortekens). De partijen voor sommige instrumenten, zoals klarinet en hoorn, hebben een getransponeerde notatie. 1 Zo klinkt op een Bes-klarinet de geschreven c als een bes. Dus als die klarinet een klinkende c moet spelen, staat er in de partij een d. Ook de voortekens moeten aangepast worden: een Bes-klarinet heeft uit zichzelf al een bes en een es, dus bij de voortekens moeten er 2 Ù minder (of 2 Û meer) staan (zie de bovenste partij in fig. 6.3). Tonaliteit In de meeste muziek (tonale muziek) heeft één toon, tonica genoemd, een centrale plaats aan zowel het begin als het eind. Tussendoor speelt vaak de dominant die rol. Als de tonica een c is, dan is de dominant een g. Voorbeeld: Altijd is Kortjakje ziek. Meestal worden 7 tonen gebruikt in een tonaliteit, maar vaak ook 5 (pentatoniek) of slechts 3, (dit laatste m.n. in kinderliedjes). 3 toons: Twee emmertjes water halen, Schuitje varen, theetje drinken, Sinterklaas kapoentje, Stille nacht 5 toons: Nobody knows, Voiles (Debussy) middendeel, 5e symfonie (Dvorák) Largo, Morgenstimmung (Grieg), Avond op het land (Bartók) Toonladders Het geheel van gebruikte tonen vormt een toonladder. Het simpelst is alleen stamtonen te gebruiken. Door op verschillende stamtonen te beginnen krijg je de zeven kerktoonladders; startend op d: dorisch, frygisch, lydisch, mixolydisch, hypodorisch of eolisch, hypofrygisch, hypolydisch of ionisch. Deze namen komen uit de Griekse muziekleer. Behalve in de psalmen en recent in de popmuziek worden de meeste daarvan nauwelijks gebruikt. 1 Deze instrumenten zijn er in verschillende soorten (lengten), bijv. hoorn in C en in F, en klarinet in Bes, in A en in Es. Om dezelfde vingerzetting te kunnen gebruiken wordt de geschreven partij aangepast

16 Twee hebben zich ontwikkeld tot de nu algemeen gebruikte grote-terts toonladder: c d e f g a b c (ionisch, majeur) en kleine-terts toonladder (mineur). De laatste heeft in zijn oorspronkelijke vorm (eolisch) als tonen: a b c d e f g a. Door de g te verhogen tot gis (leidtoon principe: na de gis verwacht je een a, zoals b c in de grote-terts toonladder) krijg je de harmonische kleine-terts toonladder: a b c d e f gis a. Door ook nog de f te verhogen tot fis (maar alleen als je omhoog gaat; teruggaand houd je de oorspronkelijke eolische vorm: a g f e d c b a) krijg je de melodische kleine-terts toonladder: a b c d e fis gis a. Een variant met twee leidtonen is de zigeunertoonladder: a b c dis e f gis a. Let op waar hele, halve en anderhalve(!) toonafstanden voorkomen. Tenslotte is er ook nog de hele toon toonladder: c d e fis gis ais c. Deze heeft geen centrale toon; elke toon kan tonica zijn. Componisten maken gebruik van de verschillende gevoelswaarde van de verschillende toonladders. (Zing eens Er zaten zeven kikkertjes in mineur.) Door op een andere toon dan c (of a) te beginnen en zwarte toetsen te gebruiken is een hele reeks toonladders met kruizen en mollen te maken, bijv. Bes c d es f g a bes F g a bes c d e f C d e f g a b c G a b c d e fis g D e fis g a b cis d. Het recept is: steeds een kwint (zie hieronder) omhoog en aan het eind een kruis toevoegen, of een kwint omlaag en halverwege een mol toevoegen. Dit leidt tot de kwintencirkel, want als je lang genoeg doorgaat, kom je weer uit bij het begin. De beginnoten zijn te onthouden m.b.v. de ezelsbrugzinnen: G-eef D-e A-rme E-en B-ord Fis-jes F-ijne Bes-sen Es-sen As Des-sert (of: Flinke Boeren Eten Alle Dagen Gort) Intervallen Twee noten (tonen), bijv. c e, of b fis vormen samen een interval. Intervallen met bepaalde verhoudingen van de frequenties van de twee tonen hebben speciale namen. Frequentieverhouding Naam Afstand in cent 1 : 1 prime 0 2 : 1 octaaf 1200,0 3 : 2 kwint 702,0 4 : 3 kwart 498,0 5 : 4 grote terts 386,3 6 : 5 kleine terts 315,6 5 : 3 grote sext 884,4 8 : 5 kleine sext 813,7 9 : 8 grote hele toon 203,9 10 : 9 kleine hele toon 182,4 16 : 15 diatonische halve toon 111,7 256 : 243 limma 90,2 81 : 80 syntonisch komma 21, : diatonisch komma 23, : 2025 diaschisma : 125 kleine diesis 41,1-16 -

17 Als twee tonen precies deze verhouding hebben, noem je het een rein of zuiver (gestemd) interval. NB. De laatste vijf intervallen zijn voor de muziekleer (stemmingen) van belang, zie hfdst. 7. De cents schaal Bij het combineren (optellen) van intervallen moet je frequentieverhoudingen vermenigvuldigen, bijv. een kwint plus een kwart is een octaaf: 3/2 x 4/3 = 4/2 = 2/1. Dat kan aardig ingewikkeld worden. Daarom is de cent ingevoerd om intervallen (frequentieverhoudingen) uit te drukken: 1 cent komt overeen met 1/100 e van een halve toon (dus 1/1200 e van een octaaf), dus met een frequentieverhouding van = = 1, Een grote terts is bijv. 386,3 cent (zie de tabel op blz. 16). Omdat de cent gedefinieerd is als een interval, mag je centen optellen, bijv. kwint + kwart = 702, ,0 = 1200,0 = octaaf. De wiskundige achtergrond hiervan is het begrip logaritme, zie appendix C. Bij omrekenen van een frequentieverhouding f 2 / f 1 naar cent, bijv. met een zakrekenmachine, gebruik je de formule: n cent = 1200 log( f 2 f1) = 1200 log ( f 2 f1) / log 2 = 3986,3 log ( f2 f1) Omgekeerd geldt: f = n cent 1200 n 2 f1 = 10 2 cent 3986,3 Opgaven 6.1 Een muziekstuk voor A klarinet en piano staat in C-groot. Welke voortekens staan er in de klarinetpartij? En als de klarinet een c moet spelen, welke noot staat dan in de partij? 6.2 Uit welke tonen bestaat de melodische kleine-terts toonladder die begint op c? 6.3 Een toonladder bestaat uit de tonen a b cis d e fis g. Wat is de grondtoon van de toonladder als het een grote terts toonladder is? En als het een eolische toonladder is? 6.4 Hoeveel kruizen (mollen) heeft de toonladder van Cis (Des) grote terts? 6.5 Welk interval maakt samen met een interval van 7/4 een octaaf? Welke toon op een piano komt daar het dichtst bij als je c als de hoogste toon van het interval neemt? 6.6 Bereken 2 log1,5 met een zakrekenmachine, gebruikmakend van 2 log1,5 = 10 log1,5/ 10 log2, en ga daarmee na dat een kwint overeenkomt met 701,96 cent. 6.7 Je kunt een hele toon definiëren als een kwint omhoog plus een kwart omlaag, maar ook als een kwart omhoog en een kleine terts omlaag. Hoe groot (uitgedrukt in frequentieverhouding en in cent) is in beide gevallen deze hele toon?

18 7. Stemmingen De vraag bij stemmen is: hoe stem je op een toetsinstrument de witte toetsen van een octaaf zó dat zo veel mogelijk intervallen (allemaal is niet mogelijk, zoals we zullen zien) precies de frequentieverhouding van de tabel in hfdst. 6 hebben. In de praktijk blijken er dan verschillende mogelijkheden (keuzes) te zijn. Reine stemming De reine stemming ( natuurlijk systeem; de aanhangers worden harmonici genoemd) gaat uit van de boventonenreeks c c g c e, met als relatieve frequenties Dit levert rechtstreeks de frequenties (t.o.v. de frequentie van de c) van de tonen g en e, maar daarmee ook van f (c f gelijk aan g c), en a (c a gelijk aan g e) op. De d wordt dan zó gekozen, dat d g een reine kwart is, en de b zó dat g b een reine grote terts is. Dit resulteert in de volgende stamtonen (Zarlino) en frequentieverhoudingen: c d e f g a b c 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 (frequenties t.o.v. eerste c) 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15 (frequentie verhoudingen) Een aantal intervallen (ga na welke allemaal) is dus rein, zoals gewenst. Er zijn echter ook problemen: - Het interval d a is 5/3 : 9/8 = 40/27 = 3/2 : (81/80), en is dus geen reine kwint. Je zou de a aan kunnen passen, maar dan zijn de grote terts f a en de kleine terts a c niet rein. De factor 81/80, die we nog vaak tegen zullen komen, heet het komma van Didymos of syntonisch komma. Het vertegenwoordigt een afwijking van 1,25% (21,4 cent; ongeveer 1/9 e hele toon), wat overeenkomt met 5,5 zwevingen per seconde bij de a(440). - Er zijn twee soorten hele tonen: 9/8 en 10/9 (resp. 203,9 en 182,4 cent). Een toonladder die op g of d begint, heeft dus een ander begin dan de toonladder op c. - Er is een enharmonisch interval, bijv. cis-des (op een piano is er maar één toets voor beide): des/c = 16/15 (net zoals c/b), cis/c = cis/d d/c= 15/16 (net zoals b/c) 9/8 = 135/128 des/cis = des/c : cis/c = 16/15 : 135/128 = 2048/2025 (diaschisma) (de des is hoger) NB. es/dis verschilt meer: 128/125; ga dit zelf na. Pythagoreïsche stemming De Pythagoreïsche stemming gebruikt alleen het octaaf en de reine kwint om de frequenties van alle tonen af te leiden: de tonen in de rij f c g d a e b worden zo gekozen dat alle intervallen reine kwinten zijn. Dit levert de volgende stamtonen en frequentieverhoudingen: c d e f g a b c 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/ /8 9/8 limma 9/8 9/8 9/8 limma Hierbij is er maar één soort hele toon (9/8, 203,9 cent), en de Pythagoreïsche halve toon (limma) is gelijk aan 256/243 = (16/15) : (81/80) (90,2 cent). De tonen fis, bes, etc. zijn te krijgen door vanaf b en f omhoog resp. omlaag te gaan met kwinten. De problemen bij deze stemming zijn: - tertsen en sexten flink onrein (81/80, 21,5 cent) - de wolfskwint tussen gis en es (aan de uiteinden van de kwintenrij) is erg vals: / ,480 i.p.v. 1,5 (in cent: 678,5 i.p.v. 702,0). Als je geen toetsinstrument of instrumenten met fretten gebruikt of in één of enkele verwante toonaarden blijft, zijn er weinig problemen

19 Bij zangers en bijv. een strijkkwartet is de praktijk, dat beide systemen gevolgd worden (een limma werkt bijv. heel goed als leidtoon). Een (goed) koor zingt meestal in reine stemming. Daarbij gaat c - d - e omhoog (eerst 9/8, dan 10/9) vanzelf, maar dalend wordt het snel 9/8 en 9/8 ( zakken ). Meer problemen: a) 12 kwinten (op een toetsinstrument 12 x 7 halve tonen) is een frequentieverhouding van (3/2) ,75; 7 oktaven (7 x 12 halve tonen) is (2) 7 = 128. De verhouding daarvan is / ,0136 (diatonisch komma of komma van Pythagoras), 23,5 cent, ongeveer 0,12 hele toon NB. Een afwijking van 10 cent (0,1 halve toon) is goed hoorbaar. b) Een oktaaf is groter dan 3 grote tertsen 2 : (5/4) 3 = 128/125 (41,1 cent). c) Een oktaaf is kleiner dan 4 kleine tertsen 2 : (6/5) 4 = 625/648 (62,6 cent!). d) c - e'' via 4 kwinten geeft een frequentieverhouding van (3/2) 4 = 81/16, maar c - e'' is ook 2 x 2 x 5/4 = 80/16 = (81/16) : (81/80). Dit is goed te horen als je op een rein gestemde cello een reine sext g-e speelt en dan de kwart e-a test. Oplossing? De problemen zijn fundamenteel en niet echt op te lossen. Dit komt doordat machten van 2, 3 en 5 geen gemeenschappelijke waarden hebben. De scherpste kantjes kun je er af halen door ergens water in de wijn te doen. Globaal zijn er drie mogelijkheden: 1) een aantal kwinten en/of tertsen min of meer zuiver houden; hierbij zijn verschillende keuzes mogelijk (zie Middentoonstemming en opgave 7.1), 2) alle tonen een beetje aanpassen ( gelijkzwevende stemming), 3) meer dan 12 toetsen per octaaf gebruiken (zie 31-toons orgel). Middentoonstemming (o.a. Schlick) Maak de grote terts c-e rein en pas de kwint aan (verdeel 80/81 dus over 4 kwinten): c - e'' = /4 = 5, dus de kwint wordt 5 = 1,4953 = 696,6 cent. Elk van de kwinten is dus een kwart komma ( quartertone ) = 5,4 cent (0,03 hele toon) te klein (en de kwart dus te groot). Fig. 7.1 Kwart-komma stemming. Lees de figuur van links naar rechts iets schuin omhoog en dan naar links één rij omhoog springen om verder te gaan. De diverse driehoeken hebben als zijden een kwint, grote terts en kleine terts. De (afgeronde) getallen geven aan (in cent), hoeveel deze intervallen afwijken van de reine waarden

20 De meeste grote en kleine tertsen zijn dan goed of iets te klein, maar de overgebleven tertsen gis-c, cis-f, b-es, fis-bes, es-fis, bes-cis, f-gis, en de wolfskwint gis-es zijn erg vals (36-46 cent). Bij gebruik van alleen witte toetsen zitten de hele tonen (193,2 cent) tussen de grote en kleine hele toon in en is de halve toon (117,1 cent) iets te groot (zie de tabel in hfdst. 6). Getempereerde of gelijkzwevende stemming (NB evenredigzwevende stemming is een juistere naam) De bekendste voorstander hiervan is de wiskundige Simon Stevin ( ), die in Van de Spiegheling der Singhconst (1584) alle halve toonsafstanden gelijk neemt met dus een 12 frequentieverhouding van 2 = 1,0595 (dit is per definitie 100 cent). De kwinten en daarmee de kwarten worden dan vrijwel goed (2,3 cent te klein, resp. te groot), maar de kleine en grote tertsen wijken meer af: 300 i.p.v. 315,6 en 400 i.p.v. 386,3. Alle intervallen (behalve het oktaaf) zijn (een beetje) vals, maar dat geldt voor allemaal, ook die met zwarte toetsen, en in dezelfde mate, dus je kunt in alle toonaarden spelen. Voorbeelden van muziekwerken die daar gebruik van maken of zelfs speciaal voor gecomponeerd zijn, zijn: J.S. Bach Wohltemperiertes Klavier P. Hindemith Ludus Tonalis D. Sjostakowitsj Preludes F. Chopin Preludes D. Milhaud Le boeuf sur le toit 31-toonssyteem Het probleem wordt minder als je meer tonen per octaaf neemt, dus een kleinere eenheid, zodat de reine intervallen beter te benaderen zijn. Na 12 tonen per octaaf is de eerstvolgende (betere) keuze 31 tonen (van 1200/31 = 38,71 cent) per octaaf (Christiaan Huijgens, ). Met 5 toetsen per hele en 3 per halve toonsafstand kom je dan voor deze op 193,6, resp. 116,1 cent, en vind je 696,8 voor de kwint, 387,1 voor de grote (bijna zuiver dus) en 309,7 cent voor de kleine terts. Ook is een 7/4 (968,8 cent) interval (Huijgens houdt een pleidooi voor de 6 e boven-toon, de 7e harmonische) heel goed te spelen: 25 µ 38,71 = 967,7 cent. Adriaan Daniël Fokker ( ) heeft zich zeer ingespannen voor het 31-toonssyteem, wat geleid heeft tot de bouw van een 31-toons orgel (en speciaal daarvoor geschreven muziek), dat zich lang in het Teijlers-museum in Haarlem bevonden heeft, maar sinds een ingrijpende revisie in 2009 in het Muziekgebouw aan het IJ staat. Er is ook een Huygens-Fokker stichting, die zich inzet voor het 31-toons orgel en microtonale muziek, zie 96-toonspiano De Carrillo-piano, of 96-toonspiano (ook wel 1/16-toonspiano genoemd), is ontwikkeld in een samenwerking tussen Julián Carrillo ( ) en de pianobouwer Carl Sauter in de jaren 50 van de vorige eeuw en heeft vele componisten en musici geïnspireerd tot het componeren en uitvoeren van microtonale muziek. De stemming is gebaseerd op het getempereerde 96-toonssysteem. Er zijn 16 toetsen voor een hele en 8 voor een halve toon. Het klavier van de Carrillo-piano bevat 97 toetsen en heeft een omvang van c' tot c''