Formularium Complexe Analyse

Transcriptie

1 Formularium Comlexe Analyse Algemene formules Comlexe Getallen Voor z = x + iy waarbij x,y R: e z = e x (cosy + isiny) cosz = eiz + e iz 2 sinz = eiz e iz 2i chz = ez + e z 2 shz = ez e z 2 Taylorreeksen z = z n voor z ( z) 2 = nz n voor z n= z n ex(z) = n! sinz = cosz = shz = chz = ( ) n (2n + )! z2n+ ( ) n (2n)! z2n (2n + )! z2n+ (2n)! z2n Afschattingsregel a b a + b a + b a,b C De comlexe functie f : V C C : z = x + iy f (z) = u(x,y) + iv(x,y) is differentieerbaar in z o = x o + iy o als en slechts als u x = v u en y y = v x in (x o,y o ) Deze voorwaarden heten de Cauchy-Riemann voorwaarden. Men heeft dan f (z o ) = u x + i v x = v y i u y f heet analytisch in z o f is differentieerbaar in elk unt van een omgeving van z.

2 Parametrisatie van een lijnstuk [a,b] waar a,b C z(t) = a( t) + b.t met t [,] = (b a).t + a Indien f analytisch is over een enkelvoudig samenhangend gebied G dat begrensd is door de kromme C en indien a een inwendig unt is van G, dan geldt: f (a) = 2πi C + f (z) z a dz en f (n) (a) = n! 2πi C + waarbij C + de omlooszin is die G links laat liggen. f (z) dz (z a) n+ Machtreeksen De machtreeks a n (z a) n is convergent als z a < R is divergent als z a > R Hierbij is R de convergentiestraal die wordt gegeven door (indien de limiet bestaat) R = lim a n n a n+ O de rand z a = R kan men zowel convergentie als divergentie hebben. Als w n een niet-stijgende rij is met limiet, dan zijn de reeksen convergent. w n sinnθ en n= w n cosnθ n= θ 2kπ 2

3 Laurentreeksen De Laurentreeks + a n (z a) n is convergent voor R 2 < z a < R n= is divergent voor z a < R 2 en z a > R Hierbij zijn de convergentiestralen: R = lim a n n a n+ R 2 = lim a n n a n = lim n a n a n+ O de rand moet de convergentie aart bestudeerd worden. Elke Laurentreeks kan geschreven worden als + a n (z a) n = n= n= De negatieve reeks convergeert voor R 2 < z a De ositieve reeks convergeert voor z a < R a n (z a) n + + a n (z a) n O de rand: Voor z a = R 2 moet enkel de convergentie van de negatieve reeks onderzocht worden. Voor z a = R moet enkel de convergentie van de ositieve reeks onderzocht worden. Indien f analytisch is in R 2 < z a < R, dan kan f geschreven worden als een Laurentreeks f (z) = + a n (z a) n voor R 2 < z a < R n= De coëfficiënt van (z a) noemt men het residu van f in a a = Res( f,a) 3

4 Onderstel a C een geïsoleerde singulariteit van f, dit betekent dat de functie f analytisch is o een omgeving van a behalve in het unt a zelf. Dan gelden volgende equivalenties, o een omgeving van a: a is een ohefbare singulariteit f (z) = a is een ool van orde N f (z) = lim f (z) < z a a is een essentiële singulariteit f (z) = a n (z a) n + a n (z a) n met a N voor N > n= N N = min{k lim z a f (z)(z a) k < } + a n (z a) n zodat a n voor veel n n= lim z a f (z) of k : lim z a f (z)(z a) k < De residustelling Als G een enkelvoudig samenhangend gebied is, en f is analytisch over G behalve in geïsoleerde singuliere unten, en C is een gesloten kromme in G, dan is f (z)dz = 2πi Res( f,a) C + a waarbij de som loot over alle singuliere unten binnen C. Indien a een ohefbare singulariteit is, dan is Res( f,a) =. Indien a een ool is van orde N, dan is Res( f,a) = lim z a (N )! d N dz N ( f (z)(z a)n ) Indien a een essentiële singulariteit is, dan kan het residu enkel beaald worden via de Laurentreeks. Reeksen berekenen via de residustelling Onderstel dat C n het vierkant is met hoekunten (n + 2 )(± ± i). Dan geldt: M R + : n N: su{ cotg πz : z C n } M su{ cosec πz : z C n } M 4

5 Onderstel dat de functie f continu is o de kromme Γ en M zodat f M, dan geldt: f (z)dz M.l(Γ) waarbij l(γ) de lengte van de kromme Γ is. Γ Werkwijze: f (n) =?. Beschouw de integraal I n = cosecπz f (z)dz C n cotgπz f (z)dz C n voor de alternerende reeks voor de niet-alternerende reeks 2. Ga de voorwaarden van eigenscha 2 na: De functie cotgπz f (z) of cosecπz f (z) is continu o het vierkant C n, n. Beaal een bovengrens voor cotgπz f (z) of cosecπz f (z) o het vierkant C n. 3. Toon aan via eigenscha en 2 dat I n voor n. 4. Bereken de integraal I n via de residustelling. 5. Beaal uit sta 3 en 4 de gevraagde reeks. Integratie van reële rationale functies van sinθ en cosθ tussen en 2π Een integraal van de vorm I = 2π R(sinθ,cosθ)dθ herleidt zich tot een integraal langs de eenheidscirkel in het comlexe vlak door de substitutie z = e iθ De integraal kan vervolgens met de residustelling worden uitgerekend. 5

6 Integratie van rationale functies tussen en + Een integraal van de vorm waarbij P, Q R[X] met I = + P(x) Q(x) dx Q(x) geen reële nulunten gr Q(x) gr P(x) 2 P(x) en Q(x) geen gemeenschaelijke factoren kan worden uitgerekend aan de hand van de residustelling. Integratie van rationale functies vermenigvuldigd met e imx Een integraal van de vorm waarbij m> en P, Q R[X] met + P(x) Q(x) eimx dx gr P(x) < gr Q(x) P(x) en Q(x) geen gemeenschaelijke factoren kan ogelost worden met behul van de residustelling. 6

7 Werkwijze:. Beschouw I = Γ Q(z) eimz dz 2. Bereken I met de residustelling: I = 2πiRes( a Q(z) eimz,a) 3. Herschrijf I. Geval : Q(z) heeft geen reële nulunten Neem de limiet voor R van -R i a γ R R I = R R Q(z) eimz dz + γ R Q(z) eimz dz i γ R Geval 2: Q(z) heeft reële nulunten Neem de limiet voor R en r van I = ai ε R Q(z) eimz dz + γ ε Q(z) eimz dz + R a i +ε Γ a γ ε -R a-ε a+ε R Q(z) eimz dz + γ R Q(z) eimz dz 4. Beaal hieruit de gevraagde integraal I = + Q(z) eimz dz De Lalace transformatie De Lalacegetransformeerde van de reële functie f : [, ) R : t f (t) is de functie F() gedefinieerd door F() = e t f (t)dt Hierbij is = x + iy een comlexe arameter. Men noteert : F() = L{ f (t)}. Eigenschaen van Lalacegetransformeerden In de volgende eigenschaen zijn alle functies f (t) stuksgewijze continu en van exonentiële orde α en L{ f (t)} = F() voor Re > α. 7

8 . Lineariteit L{a f (t) + b f 2 (t)} = al{ f (t)} + bl{ f 2 (t)} Re > max(α,α 2 ) 2. Verandering van schaal L{ f (at)} = ( ) a F a Re > aα,a > 3. Vermenigvuldiging met e at L{e at f (t)} = F( a) Re > a + α 4. Vermenigvuldiging met t n L{t n f (t)} = ( ) n F (n) () Re > α 5. Verschuiving Beschouw de functie f a (t),a > die men als volgt definieert: { als t < a f a (t) = f (t a) als t a Dan hebben we dat L{ f a (t)} = e a F() Re > α 6. Transformatie van de afgeleide Als f continu is voor t > en rechtscontinu in t = en f is stuksgewijs continu, dan geldt L{ f (t)} = F() f () Re > α 7. Transformatie van de n-de afgeleide Als f (n ) continu is voor t > en rechtscontinu in t =, f (n) is stuksgewijs continu en f (i) (t) = O(e αt ) voor i =,,...,n dan geldt L{ f (n) (t)} = n F() n f () n 2 f ()... f (n ) () Re > α 8. Transformatie van de integraal Als g(t) = t f (x)dx, dan is L{g(t)} = F() Re > α > 9. Transformatie van een eriodieke functie Als f een eriodieke functie is met eriode T, dan is L{ f (t)} = T e T e t f (t)dt Re > 8

9 . Als reëel is dan geldt lim + L{tn f (t)} = n =,,2,... { } f (t) f (t). Onderstel dat reëel is en dat lim bestaat, dan bestaat L en t + t t { } f (t) L = F(x)dx, > α t f (t) F() convergentieabscis α (a, b, k zijn reëel) e at a t n (n =,2,...) t n e at (n =,2,...) sinkt coskt shkt chkt e at sinkt e at coskt a n! n+ n! ( a) n+ a k 2 + k k 2 k 2 k 2 k 2 k 2 k k ( + a) 2 + k 2 a + a ( + a) 2 + k 2 a sinkt kt coskt 2k 3 ( 2 + k 2 ) 2 t sinkt 2k ( 2 + k 2 ) 2 (3 k 2 t 2 )sinkt 3kt coskt 8k 5 ( 2 + k 2 ) 3 9

10 f (t) F() convergentieabscis α (a, b, k zijn reëel) t sinkt kt 2 coskt 8k 3 a sinat b sinbt b 2 a 2 ( 2 + a 2 )( 2 + b 2 ) cosat cosbt e at e bt (a > b) t t ( 2 + k 2 ) 3 (b 2 a 2 ) ( 2 + a 2 )( 2 + b 2 ) a b a ( a)( b) π 2 3 π t k (k > ) t k e at (k > ) Γ(k + ) k+ Γ(k + ) ( a) k+ a De inverse Lalacetransformatie Als F() de Lalacegetransformeerde is van f (t), dan zeggen we dat f (t) de inverse getransformeerde is van F(). We noteren: f (t) = L {F()} Hoe kan men L {F()} bealen?. Via de elementaire methode 2. Door slitsing in artiële breuken als F() een rationale functie is van 3. Als toeassing van de inversiestelling Als F() = T () een rationale functie is, waarbij graadt () graadn(), dan geldt N() f (t) = Res(F()e t,a) a

11 Convolutie-integraal De convolutie van twee functies f,g : R R is er definitie gegeven door de integraal ( f g)(t) = + f (u)g(t u)du indien deze bestaat. O het domein waar deze integraal convergeert, geldt volgende nuttige eigenscha: L{ f g} = L( f ).L(g) Limiet van een som Zij f (t) een stuksgewijs continue functie van exonentiële orde α. Indien F() = L( f (t)), dan (i) (ii) (iii) (iv) n= F(n) = F(n) = F(n)( ) n = f (t) dt voor α ex( t) f (t) dt voor α ex(t) F(n)( ) n = n= f (t) dt voor α + ex( t) f (t) dt voor α ex(t) + Variatierekening zonder nevenvoorwaarden in 2 dimensies: I = x x f (x,y,y )dx Een nodige voorwaarde odat de functionaal I = x f (x,y,y )dx extreem wordt voor de kromme x y = y(x) is dat de kromme voldoet aan de vergelijking van Euler-Lagrange: f y = d ( ) f dx y De olossing van deze vergelijking y(x) noemen we de extremaal van de functionaal I.

12 x f is onafhankelijk van y: I = f (x,y )dx x De Euler-Lagrange vergelijking wordt dan: f y = c f is onafhankelijk van x: I = x x De Euler-Lagrange vergelijking wordt dan: f (y,y )dx f y f y = c in 3 dimensies: I = x x f (x,y,z,y,z )dx De extremaal y(x), z(x) van de functionaal I = x differentiaalvergelijkingen: f (x,y,z,y,z )dx is de olossing van het stelsel x f y = d ( ) f dx y f z = d ( ) f dx z Variatierekening met nevenvoorwaarden in 3 dimensies: I = x x f (x,y,z,y,z )dx met g(x,y,z) = De extremaal y(x), z(x) van de functionaal I = x f (x,y,z,y,z )dx die voldoet aan de bijkomende x voorwaarde g(x,y,z) =, is de olossing van de volgende differentiaalvergelijking: ( ) ( ) f y dx d f f y z dx d f z g y Dit is de vergelijking van Euler-Lagrange voor het variatierobleem met nevenvoorwaarden. = g z 2

13 Isoerimetrische vraagstukken Beaal de kromme y(x) die de functionaal I = dat g(x,y,y )dx = l. f (x,y,y )dx extreem maakt onder de voorwaarde Dit isoerimetrisch vraagstuk wordt ogelost via de methode van de multilicatoren van Lagrange. Hierbij zoeken we de extremaal y(x,λ) van de hulfunctionaal H: H = [ f (x,y,y ) + λg(x,y,y )]dx De arameter λ wordt beaald door y(x,λ) in te vullen in g(x,y,y )dx = l. 3