Elektrodynamica in actie. Charles Mathy

Transcriptie

1 Elektrodnamica in actie Carles Mat Knettergek Elektrodnamica is niet alleen je aait een kat en et knettert. Het gaat om ele sterke kracten, zie Bernard Mooij werkcollege docent oor elektromagnetisme in et eerste jaar. Sinds 186 is de elektrodnamica zo klaar als een klontje en kan de ele teorie op de acterkant an een bieriltje samengeat worden. Maar gaat deze teorie praten met andere teorieën dan komen er nogal msterieuze effecten om de oek kijken. Een kleine waarscuwing: je moet de Maxwellergelijkingen aardig in de ingers ebben oor dit artikel. Elektro in actie Voordat we beginnen nog een een kleine opfrissing. Elektrodnamica gaat oer et elektrisc (E) en magnetisc (B) eld. De bronnen an deze elden zijn ρ, de ladingsdicteid en J, de stroomdicteid. De elden worden bescreen door Maxwellergelijkingen die je iernaast op een bieriltje ziet staan. Naast de Maxwellergelijkingen moet je ook weten wat deze elden oor effect ebben op deeltjes. Een deeltje op plaats P met lading q zal een kract oelen die an E en B in P afangt: ( 5 ) F q( E + B ) (Toc meer dan een bieriltje nodig). () 1 ( ) ( 3) ( 4) ρ.e ε.b B E t E B µ J + ε t Laten we warmlopen. Met de bekende pillbox en cicken wire metodes an Gauss kun je de olgende ragen makkelijk beantwoorden. Kom je er niet uit bekijk dan example.4 en 5.8 an []. Vraag 1: Wat is et elektrisc eld boen een oneindig grote geleidende plaat met uniforme opperlaktelading σ? xˆ ẑ ŷ σ Figuur 1 - Een oneindig grote plaat met een uniforme opperlakte lading σ. SCOOP januari 4 3

2 Elektrodnamica in actie Antwoord: Boen de plaat is et elektrisc eld constant en wijst in de negatiee z-ricting: E σ ( ε ) zˆ. Onder de plaat wijst et eld naar boen met dezelfde grootte. Het magnetisc eld is trouwens oeral nul. Vraag : Wat is et magnetisc eld boen een oneindig grote plaat met uniforme opperlaktestroom J J ˆ in de positiee -ricting? Antwoord: Boen de plaat is een constant magnetisc eld in de positiee x- ricting: B ( µ ) J xˆ. Onder de plaat etzelfde maar in de negatiee x- ricting. Het elektrisc eld is net als in raag 1 omdat de stroom ook oor een opperlakte lading σ zorgt. En nu lopen Onder de slagzin: ardlopers zijn ook gewoon mensen moeten we een kritisce blik werpen op de Maxwellergelijkingen. Zijn de waarnemingen onafankelijk an de waarnemer? Preciezer gezegd: et principe an equialentie zegt dat twee waarnemers die met constante sneleid ten opzicte an elkaar bewegen dezelfde fsica waarnemen. Zulke waarnemers worden equialente waarnemers genoemd. Waarnemer 1: We kijken weer naar raag 1 en plaatsen een elektron boen de plaat met een beginsneleid in de -ricting. De raag is: wat gaat ij/zij doen? z Figuur - z σ σ J Uit raag 1 weten we wat et elektrisc eld is en met (5) kunnen we de beweging an et elektron bepalen. Het elektron wordt ersneld in de positiee z-ricting. De -component an de sneleid blijft constant, zie figuur links. Waarnemer : We gaan nu naar een nieuwe waarnemer die met constante sneleid in de -ricting beweegt. Hij ziet in et begin een stilstaand elektron. Hoe ziet et plaatje eruit oor deze waarnemer? Net als die uit raag : ten opzicte an em is er een constante ladingsdicteid, en een constante stroom in de negatiee -ricting (de elektronen bewegen ten opzicte an em). F B z Links de situatie oor waarnemer 1. Rects de situatie oor waarnemer. 4 SCOOP januari 4

3 Elektrodnamica in actie Voor em geldt: J σ ( )ŷ σ ŷ. Hij ziet et elektron naar boen ersnellen omdat de plaat negatief geladen is. Maar B is niet nul en olgens (5) zorgt B eroor dat et elektron een kract in de negatiee -ricting oelt, zie figuur rects. (Het B-eld wijst in de negatiee x-ricting en et elektron eeft een sneleid in de z-ricting, et uitproduct wijst dan in de negatiee -ricting). Maar olgens de eerste waarnemer was de -component an de sneleid constant. Is ardlopen dan toc erboden? De oplossing an de paradox is kortgezegd: de lictsneleid is onafankelijk an de waarnemer. Hieruit olgt de speciale relatiiteitsteorie die ons ertelt dat ardlopers langer leen, dat snellere auto s korter zijn enz. Newton zei al dat kract gelijk was aan de tijderandering an impuls F dp dt. Dat geldt nog steeds mits we de relatiistisce impuls nemen. Als we met niet-relatiistisce impuls werken dan zijn de wetten an elektrodnamica NIET onafankelijk an de waarnemer. Voordat we erder gaan ook nog maar een een opfriscursus speciale relatiiteit. ε γ mc relatiistisce energie: ε relatiistisce impuls: p γ m c de belangrijke factor: 1 γ 1 ( dε F dt c ook ebben we nodig: c 4 m c ) + p c Waarnemer 1 (relatiistisc): Als (de -component an de sneleid) constant zou blijen zou de impuls in 1 de -ricting p m toenemen ( neemt toe door de 1 ( c ) sneleid in de z-ricting). Maar er is geen kract in die ricting. Er moet dus een ersnelling zijn in de negatiee -ricting. Laten we die bepalen. dp d ε (geen kract in de -ricting) dt dt c 1 1 & ε + ε & c c SCOOP januari 4 5

4 Elektrodnamica in actie & ε F zσ & ε c ε γ mε De afgeleide is in ieder geal niet nul! Waarnemer (relatiistisc): Voor waarnemer krimpen de afstanden in et bewegende stelsel (et stelsel met de plaat). De afstand tussen de elektronen op de plaat lijkt nu kleiner dus worden de ladingsdicteid en stroomdicteid groter. De elektrisce en magnetisce elden krijgen een zogenaamde Lorentz boost (zie b [], 1.3.). De afleiding is dezelfde als niet-relatiistisce geal alleen met erangen we et E en B eld door: σ 1 E z γ zˆ met γ (er lopen nu twee γ s rond, ééntje ε 1 ( c ) oor et elektron en ééntje oor de bewegende waarnemer). µ µ E z B γ J γ σ µ ε E z c Dat µ ε 1 c is geniaal. De getallen µ en ε weten we zeer nauwkeurig en oorspellen de lictsneleid! Toen Maxwell dit zag was ij ook erbaasd en zei: We can scarcel aoid te inference tat ligt consists in te transerse undulations of te same medium wic is te cause of electric and magnetic penomena. Na dit intermezzo kunnen we nu de kract bekijken die op et deeltje werkt: Ez F. E z F Ez ẑ + ŷ & ( E ) z z +. c γ m γ m c De ersnelling is ieder geal niet nul, laten we et daarop ouden. Wat was er mis met ons oorspronkelijke argument? We ebben eigenlijk aangenomen dat << c, of beter gezegd E z << c. Als dat et geal is dan is et magnetisc eld oor waarnemer erwaarloosbaar en is er geen ersnelling in de negatiee x-ricting. Magnetisce elden zijn namelijk eel minder sterk dan elektrisce elden. Tot zoer relatiistisce elektrodnamica. Laten we nu eens elektrodnamica en quantummecanica in de arena zetten. 6 SCOOP januari 4

5 Elektrodnamica in actie Golen? Daar weet ik alles an In de quantummecanica kunnen we deeltjes bescrijen als golen. Ze kunnen bijoorbeeld interferentie ondergaan en ze kunnen oeral tegelijkertijd zijn (zoals mijn middelbare scool leraar zei, De kans dat je opeens in Hawaï zit is niet nul. Ja, et onderwijs is zwaar). We beginnen met et tweespletenexperiment. elektronenkanon d Elektronen worden an links afgeuurd op een plaatje met twee spleten. Op et scerm eracter erscijnt een intensiteitpatroon, zie fig. 3. Dit is precies etzelfde patroon dat we zouden erkrijgen als we lict op de twee spleten afuren. Dat is gek. Als elektronen gewoon deeltjes zoals knikkers waren dan zou je acter elk spleetje een oge intensiteit zien en geen intensiteit tussen de twee spleten in. Maar we moeten nu oer golen in plaats an knikkers praten. We doen et experiment nogmaals maar plaatsen nu een spoel acter de spleten. De spoel eeft straal a en is oneindig lang. De spoel is smal genoeg zodat et de elektronenbundels niet raakt. Het magnetisc eld is erbinnen constant en erbuiten nul (zie [], example 5.9). Als we de spoel aan zetten zou dat dus geen inloed op et intensiteitpatroon moeten ebben. Maar er is meer. De ectorpotentiaal is erbinnen nul en er erbuiten: a B A φˆ r Laten we eens kijken wat de elektrodnamica met een elektron doet. Je kunt et niet zomaar oer kracten ebben want oe werkt een kract nou ik x + ϕ op een golf? Laten we een simpel deeltje nemen: ψ ( x) Ae Aan zo n golffunctie kan de amplitude A of de fase ϕ eranderd worden. Het blijkt dat elektromagnetisce elden alleen de fases an golffuncties eranderen en de amplitude oneranderd laten. Stel dat et deeltje een zeker pad olgt dan geldt: SCOOP januari 4 7 Figuur 3- Het tweespletenexperiment met elektronen.

6 Elektrodnamica in actie magnetisce erandering in fase q A dl pad q elektrisce erandering in fase ϕ dt met ϕ de elektrisce potentiaal en A de magnetisce ectorpotentiaal. De A potentialen zijn gedefinieerd ia E ϕ en B A. t Dat is toc simpel. Voor een bewijs zie [1], sec Nu komen er twee elektronen aan, eentje gaat links langs de spoel, de ander rects. Wat is et faseerscil dat ze oppikken ten geolge an A? Faseerscil q q q ( A dl A dl ) A dl π a B ( 1 ) ( ) ( 3 ) B B (1) a a () (3) We zetten de spoel acter de spleten en meten weer et intensiteitpatroon. lictbron d spoel Figuur 4 Opnieuw et tweespeletenexperiment. Nu met een spoel, et blijkt erscoen. 8 SCOOP januari 4

7 Elektrodnamica in actie Het is erscoen! Dat komt dus omdat de elektronen boen en onder de solenoïde een extra faseerscil oppikken. Hier is de breinbreker: de elektronen in et experiment bewogen zic in een deel an de ruimte waar et elektrisce en et magnetisce eld nul zijn. Toc merken de elektronen er iets an. Er zit dus meer fsica acter potentialen dan men op et eerste oog zou denken. Boenstaande experiment is et resultaat an et Aarano-Bom effect. In de keuken merk je er niks an maar in et lab is dit te meten. Het experiment is ook ect gedaan maar et is niet zo makkelijk als et lijkt. Om een intensiteitpatroon te krijgen moet je de spleten eel dict bij elkaar zitten. Dit betekent dat de spoel eel smal moet zijn. Magnetisce monopolen Lading is gequantiseerd. Dat betekent dat er een eeneid an lading is en dat deeltjes alleen een eeloud an deze eeneid an lading kunnen ebben. De lading an et elektron is niet et quantum an lading: quarks kunnen eenderde an de lading an et elektron ebben. Maar lading blijft gequantiseerd. Is daar een uitleg oor? Dat zal wel iets quantummecanisc zijn, puur omdat et woord quantum erin oorkomt. In jaar 1, trimester 1 leren we an prof. Dijkgraaf om oeral smmetrie op te speuren. De Maxwellergelijkingen zijn een goede plek om te beginnen. Als de ladingsdicteid en stroom nul zijn, dan is et artstikke smmetrisc. Als we E naar B en B naar E sturen blijen de ergelijkingen oneranderd. Dat geldt niet als er lading en/of stroom aanwezig is. In stoere taal zegt men dat de aanwezigeid an lading en stroom de smmetrie breekt. Wat is et erscil tussen E en B in de ergelijkingen? Het belangrijkste is dat er geen magnetisce lading is en geen magnetisce stroom. Laten we daar wat aan doen. We zetten dus (op papier) ergens een magnetisce monopool neer. Dat wil zeggen een deeltje met een magnetisce lading. Analoog aan et elektrisc eld zou et magnetisc eld an zo n monopool zijn: qm B( r ) rˆ 4πr Welke ectorpotentiaal zorgt oor zo n magnetisc eld? Er zijn erscillende ectorpotentialen die corresponderen met deze B, eentje eran is q 1 cosθ A m ˆ ϕ. Voor een bewijs zie [4]. 4π sinθ Maar A is niet oeral goed gedefinieerd: A is oneindig op de geele negatiee z-as { x,,z }. Op de positiee z-as is er geen probleem. Daar geldt 1 cosθ θ, en lim. θ sinθ SCOOP januari 4 9

8 Elektrodnamica in actie De lijn waarop A niet goed gedefinieerd is wordt een Dirac String genoemd. Het is dus een lijn die anuit oneindig naar de oorsprong gaat. We nemen nu aan dat deze String niet waarneembaar is. De raag waarom we dit aannemen is terect. Doe mij een een lol. Uit et orige oofdstuk ebben we iets eel belangrijks geleerd: ook al zitten deeltjes in een deel an de ruimte met de E en B elden gelijk aan nul, kunnen ze toc een elektromagnetisce interactie oelen. Dus zouden we de String kunnen waarnemen, door elektronen erop af te uren en te kijken naar et intensiteitpatroon eracter. We ebben gezien dat et faseerscil dat opgepikt wordt door aan weerzijden an de String te lopen gelijk is aan q q A dl Φ met C een cirkel om de String een. C q is ier de elektrisce lading an et deeltje dat op de String wordt afgeuurd. Φ wordt de magnetisce flux genoemd. Hij is gelijk aan q m (kijk terug naar de uitdrukking oor B. Integreer deze oer een bolopperlak, dan krijg je q m ). Wanneer merken we dus niks an deze faseerandering? Wanneer ij gelijk is aan een geeel aantal keer π. Dat is dus wanneer q q π Φ qm πn. Dus geldt: q n. qm Een staren naar deze formule. Hij lijkt te zeggen dat:... Ja, et is onermijdelijk: als er één magnetisce monopool in et eelal is met lading qm dan moet de elektrisce lading gequantiseerd zijn in eeneden an π q m. Reolutionair! En oeeel is die ladingseeneid? Helaas, dat oorspelt dit eraal niet. En zijn er magnetisce monopolen? Ze zijn nog nooit waargenomen. Daar zijn mensen wel mee bezig maar tot nu toe teergeefs. Litteratuur [1] Griffits, Introduction to quantum mecanics [] Griffits, Introduction to electrodnamics [3] Fenman, Te Fenman Lectures on Psics, Vol. II [4] E. an der Meer, Magnetic monopoles (Afstudeerscriptie). Te inden op: ttp:// 1 SCOOP januari 4