DE TENNISBALNAAD. J.-M. Dendoncker UGent Sint-Barbaracollege. Poster: Alexander Snoeck Sint-Barbaracollege c.

Transcriptie

1 DE TENNISBALNAAD Poster: Alexander Snoeck Sint-Barbaracollege c J.-M. Dendoncker UGent Sint-Barbaracollege jean-marie.dendoncker@ugent.be 7 januari 014

2 Inhoudsopgave 1 De oloïde Inleiding Constructie Berekeningen De ellipsenroller 8.1 Inleiding Constructie Berekeningen De rollijn van de ellipsenroller De halve-ellipsenroller Inleiding Constructie Berekeningen Bijzonder geval Twee krommen op een bol TennisbalZondertrema.tex

3 Samenvatting Naar aanleiding van het tennisafscheid van Kim Clijsters kwam deze tekst tot stand. De bedoeling ervan is om de naad op een tennisbal in verband te brengen met wiskundige modellen die gemakkelijk kunnen worden gemaakt. Het is reeds voldoende om twee flippo s in elkaar te schuiven om een dergelijk modelletje te realiseren en te beseffen dat het een eigenaardige rollijn heeft. Deze rollijn op een oppervlak kan je beschouwen als de verzameling van alle contactpunten van het oppervlak met een vlak waarop het beweegt. Om een idee te hebben van wat er wordt bedoeld zie je hieronder drie figuren van een flippo die op een vlakke ondergrond hobbelt. De omhullende van deze twee flippo s is de verzameling van de opeenvolgende lijnstukken [AB]. Hierbij zijn de punten A en B gemeenschappelijk aan de flippo s en aan het raakvlak. Het lijnstuk [AB] is dus gemeenschappelijk aan het raakvlak, het vlak waarop het rolt en de omhullende van beide ellipsen of cirkels. Figuur 1: Beginsituatie Middenpositie Eindsituatie Drie gevallen worden besproken: 1. twee eenheidscirkels gelegen in loodrechte vlakken die door elkaars middelpunt gaan;. een veralgemening voor twee ellipsen gelegen in loodrechte vlakken, met lange as a in elkaars verlengde en met middelpunten op een afstand c van elkaar; 3. halve ellipsen gelegen in loodrechte vlakken met lange as in elkaars verlengde en waarvan hun middelpunten op een afstand c van elkaar liggen. Hierbij stellen we ons steeds de vragen: Wat is de voorwaarde opdat deze rollers op een vlak zouden rollen zonder te hobbelen? Wat is dan de rollijn van deze roller? Wat is het verband met een tennisbal? TennisbalZondertrema.tex 3

4 De oloïde We zullen zien dat in het eerste geval het contact van de omhullende Ω aan beide eenheidscirkels met een raakvlak Θ aan beide cirkels een lijnstuk [A, B] is met lengte 3. De omhullende van deze twee cirkels noemt men de oloïde. Ook in het tweede geval zal de ellipsenroller al waggelend bewegen. Dit zal echter niet zo zijn als de afstand tot elk raakvlak Θ aan de omhullende Ω van de ellipsenroller gelijk is aan b. Hierin stelt b de halve korte as van de ellipsen voor. In het bijzonder geval van twee cirkels, dus met a = b is de rollijn van de bol ingeschreven in de omhullende Ω aan beide cirkels de doorsnede van twee elliptische cilinders en een hyperbolische paraboloïde. In het laatste geval waarin we de ellipsen vervangen door halve ellipsen kunnen analoge besluiten worden getrokken. Het bijzonder geval van twee halve cirkels met samenvallende middelpunten en met middellijnen die loodrecht op elkaar staan heeft als omhullende het biconisch oppervlak. Een bijzondere kromme wordt dan gevonden als raakkromme op de bol ingeschreven in dit biconisch oppervlak. De rollijn van de ellipsenroller en de raakkromme op de bol ingeschreven in het biconisch oppervlak zijn totaal verschillend maar lijken op een tennisbalnaad. Onderwerpen: Analytische beschrijving van: vergelijking van cirkels in de ruimte, raaklijnen aan een cirkel in en uit een punt, begrip raakvlak aan twee cirkels, vergelijking van vlakken, doorsnede van een vlak met een rechte, loodrechte stand van twee rechten, afstand tussen twee punten in de ruimte. Gebruik van parametervergelijkingen van een ellips, parametervergelijking van de raaklijn aan een ellips, vergelijking van een vlak met behulp van de assegmenten. 1 De oloïde 1.1 Inleiding We maken en bespreken een eenvoudig speelgoedje dat merkwaardige eigenschappen heeft. Een vijftiental jaar geleden was het een rage om chipszakjes te verkopen met flippo s erin. Oorspronkelijk waren de flippo s volledig rond, maar na een tijdje had je ook flippo s met inkepingen. Het zijn deze flippo s die we zullen gebruiken om een klein wiskundig interessant speelgoedje te maken. Hiervoor is het voldoende om twee flippo s met inkepingen te nemen en die met behulp van de inkepingen in elkaar te schuiven. Op deze wijze heb je dan twee loodrecht op elkaar staande cirkels. Om onmiddellijk het merkwaardige van dit speeltje te zien is het voldoende om het van een licht hellend oppervlak te laten rollen. Jawel, het voorwerp waggelt wel een beetje, maar maakt toch enigszins een vloeiende beweging. In dit eerste hoofdstuk De tennisbalkromme 4

5 De oloïde wil ik de oloïde bespreken. Om het enigszins eenvoudig te maken, zullen we eerst veronderstellen dat beide cirkels loodrecht op elkaar staan en door elkaars middelpunt gaan. 1. Constructie We beschouwen twee eenheidscirkels C A en C B in loodrecht op elkaar staande vlakken Π A en Π B zodanig dat het midden M A van C A op de cirkel C B ligt en het midden M B van C B op de cirkel C A. Aangezien deze twee cirkels mooi op een oppervlak kunnen rollen zal de omhullende Ω van beide cirkels C A en C B een ontwikkelbaar oppervlak zijn. Dit oppervlak heet de oloïde. Elk raakvlak Θ aan Ω heeft met de omhullende Ω een lijnstuk [AB] gemeen. Hierbij ligt A op C A en het tweede punt B op C B. De twee punten A en B van beide cirkels vormen een beschrijvende van het oppervlak Ω. De bedoeling is onder andere om de lengte van het lijnstuk [AB] te zoeken. 1.3 Berekeningen In het eerste evenwicht, waarbij één cirkel verticaal staat, kan de afstand AB via de stelling van Pythagoras gevonden worden. Je vindt AB = 3a. Zie foto s (Fig. 1). Let wel dat de foto s het algemene geval tonen waarbij de afstand tussen de middelpunten niet noodzakelijk 0 is. In dit eerste paragraafje wordt dit wel verondersteld. Ook in de tweede evenwichtssituatie is de afstand tussen de raakpunten A en B van de twee cirkels gelijk aan AB = 3a. Hiervoor kan je steunen op M A V A = V A A = a. Hierin is V A de orthogonale projectie van M A op het raakvlak Θ. Dit doet vermoeden dat AB een constante is. Dat is inderdaad het geval. Voor de algemene berekeningen verwijs ik naar figuur Fig.3. We kiezen een assenstelsel zo dat de oorsprong O in het midden van M A en M B ligt. De x-as kiezen we in Π A loodrecht op de rechte M A M B, de y-as volgens de rechte M A M B zelf. De z-as staat dan uiteraard loodrecht op beide assen door het punt O. Zoals gezien zal elk raakvlak Θ aan de oloïde Ω een rechte AB gemeen hebben. De ligging van de punten A en B zijn uiteraard niet willekeurig. Ze liggen immers op de raalkijnen t A en t B door A en door B respectievelijk op de cirkels C A en C B. Dit kan eenvoudig ingezien worden als je ermee rekening houdt dat de doorsnede van het raakvlak Θ in het punt A en het vlak Π A samenvalt met de raaklijn t A aan de cirkel C A. Is deze De tennisbalkromme 5

6 De oloïde Figuur : Projectietekening van twee cirkels door elkaars middelpunt raaklijn t A niet evenwijdig met de y-as dan ze zal de y-as snijden in een punt V. Hierdoor wordt het raakvlak Θ in A bepaald door de punten A, B en V met V B de raakliijn aan C B in het punt B. In het gekozen assenstelsel vind je gemakkelijk de vergelijking van de cirkels C A en C B als: ( C A : x + y + 1 = 1 en z = 0 (1) ) ( C B : y 1 + z ) = 1 en x = 0 () Om de vergelijking op te stellen van de oloïde Ω werken we met parametervergelijkingen. Hiervoor kiezen we de parameter t gelijk aan de middelpuntshoek ĤM AA van de cirkel C A. We meten t vanaf de negatieve y-as in tegewijzerzin. Noemen we het uiterste punt van de oloïde Ω op de y-as H, dan is t = ĤM AA. Zo vinden we voor de coördinaten van A en H: A = (sin t, 1 ) ( cos t, 0 H = 0, 3 ), 0 (3) De coördinaten van V (0, V y, 0) kunnen we onder andere vinden door te stellen dat AV AM A. Ook kunnen we gebruik maken dat een stel richtingsgetallen van de raaklijn t A evenredig moeten zijn met (cos t, sin t, 0). Zo vinden we: AV AM A sin t + V y cos t + 1 cos t + cos t = 0 V y = cos t + cos t (4) De tennisbalkromme 6

7 De oloïde Figuur 3: VAB bepaalt het raakvlak aan de oloïde Ω V B BM B en rekening De coördinaten van( B vind je door te eisen dat te houden met M B 0, 1, 0) en (4). Stel je de coördinaten van B voor door (0, B y, B z ), dan geldt: V B BM B By 1 B y + cos t + B Σ B B z = 1 Substitueren we (6) in (5) dan vinden we dat B y = 1 cos t (cos t + 1) = 1 cos t 1 + cos t cos t + cos t + B z = 0 (5) cos t B y 1 ( B y 1 (6) ) Substitutie van deze laatste vergelijking (7) in (6) levert de coördinaten van B: ( 1 cos t B 0, (1 + cos t), ± ) 1 + cos t (8) 1 + cos t Het teken van de B z hangt af of het punt B boven of onder Π A ligt. Uit de berekende coördinaten van A en B volgt dat AB = 3 Opmerkingen: (7) De tennisbalkromme 7

8 De ellipsenroller 1. Om reële beschrijvenden te hebben moet de uitdrukking 1 + cos t van (8) voldoen aan 1 + cos t 0 π 3 t π 3 Voor de grenswaarde t = π is dan 3 ( ) 3 A π = G = 3, 0, 0 B π 3 = I = (0, 3 ), 0 Voor de andere grenswaarde vind je dan de symmetrische punten ten opzichte van de y-as.. Voor t = 0 worden de twee andere uiterste punten van de oloïde gevonden. A 0 = H = ( 0, 3, 0 ) Zo vind je dat ÔHJ = 30. B 0 = J = ( 0, 0, ± 3 3. Laten we dus een oloïde op een vlak oppervlak rollen, dan zal het contact met de dat oppervlak steeds een lijnstuk zijn met lengte gelijk aan 3 maal de straal van de twee cirkels. De oloïde zal een vloeiende, maar hobbelende beweging maken. Het zwaartepunt van de oloïde bevindt zich immers niet altijd op gelijke afstand tot het oppervlak waarop de oloïde Ω rolt. De vraag is nu hoe we het speeltje moeten aanpassen opdat het niet zou hobbelen bij het rollen. De ellipsenroller.1 Inleiding We beschouwen nu een veralgemening van de oloïde. In plaats van twee loodrecht op elkaar staande cirkels te nemen, beschouwen we nu twee ellipsen E A en E B met lengte lange as a en lengte korte as gelijk aan b. De lange assen liggen in elkaars verlengde. De afstand tussen de twee middelpunten van de ellipsen E A en E B wordt gelijkgesteld aan c. Zoals de oloïde zal ook dit speelgoedje merkwaardige eigenschappen hebben. In het algemeen zal het al waggelend van een hellend vlak rollen. Wordt de afstand tussen de twee middelpunten van de ellipsen E A en E B goed gekozen, dan rolt het voorwerp recht naar beneden. ) De tennisbalkromme 8

9 De ellipsenroller. Constructie We beschouwen twee ellipsen E A en E B gelegen in loodrecht op elkaar staande vlakken Π A en Π B. De afstand tussen de middelpunten van de ellipsen noemen we c. Beide ellipsen kunnen in karton worden uitgesneden. Maak een kleine gleuf in het midden van een van de ellipsen en schuif de andere ellips door de gleuf op de eerste ellips. Aangezien deze twee ellipsen mooi op een oppervlak kunnen rollen zal de omhullende aan beide ellipsen E A en E B, die we opnieuw Ω zullen noemen, een ontwikkelbaar oppervlak vormen..3 Berekeningen We kiezen een assenstelsel zo dat de oorsprong O in het midden van [M A, M B ] ligt. M A en M B stellen de middelpunten voor van E A respectievelijk E B. De x-as kiezen we in Π A loodrecht op de rechte M A M B, de y-as volgens de rechte M A M B zelf. De z-as staat dan uiteraard loodrecht op beide assen door het punt O. De twee lange assen van de ellipsen liggen op de y-as. Elk raakvlak Θ aan de ellipsenroller zal een lijnstuk [AB] gemeen hebben. Analoog als bij de oloïde kunnen de coördinaten van de punten A en B berekend worden aan de hand van de vergelijking van de raaklijnen t A en t B in deze punten aan de ellipsen E A en E B. Is de raaklijn t A niet evenwijdig met de x-as noch met de y-as dan zal ze de assen snijden in respectievelijk U en V. Hierdoor wordt het raakvlak Θ in A bepaald door de punten A, B, U en V en de raaklijn t B. In het gekozen assenstelsel zijn de vergelijkingen van de ellipsen E A en E B gegeven als: x = b cos α met α de hoek tussen de x -as en de voerstraal E A : y = a sin α c z = 0 (9) x = 0 E B : y = a cos β + c z = b sin β (y c ) a + z b = 1 (10) De richtingsgetallen van de raaklijn t A aan E A in het punt A van deze ellips worden gegeven door ( b sin α, a cos α, 0). De vergelijking van de raaklijn t A is dan: t A a cos α x + b sin α y = ab bc sin α (11) De tennisbalkromme 9

10 De ellipsenroller Figuur 4: Raakvlak aan de ellipsen E A en E B wordt gegeven door vl(av B) De doorsnede van t A met de assen vinden we door in (11) x = 0 en y = 0 te stellen. Je vindt dan respectievelijk V = (0, V y (α), 0) = (0, a sin α c, 0) (1) U = (U x, 0, 0) = ( b a tan α V y(α), 0, 0) (13) Elke raaklijn t B aan E B wordt gegeven door t B (y B c )(y c ) a + z z b b = 1 (harmonicaformule) (14) met B = (o, y B, z B ) E B. Om y B en z B te bepalen eisen we dat t B door het punt V gaat. Zo vinden we de coördinaten van het punt B die voldoen aan: a B(0, B y, B z ) = 0, sin α a c sin α + c, ± b a b sin α (15) (a c sin α) = (0, a cos β + c, b sin β) (10) Aangezien de overeenkomstige punten A en B aan elkaar gebonden zijn door het raakvlak Θ, kan via de formules (10) en (15) α met β in verband De tennisbalkromme 10

11 De ellipsenroller worden gebracht. We vinden: c = a sin α a cos β cos β = a sin α a c sin α (16) Omdat de coördinaten van B in functie van α niet eenvoudig zijn is het aangewezen om de vergelijking van het raakvlak Θ op te stellen met behulp van de assegmenten U, V en W met {W } = t B z-as. Analoog als supra vinden we: t B z b sin β = b a cot β(y a cos β c ) (17) Stellen we y = 0 in de bovenste vergelijking dan vinden we de coördinaten van W als W = (0, 0, b a cot β V y(β)) (18) met V y (β) = a cos β + c (19) Of deze V y nu gegeven wordt in functie van α of van β maakt niets uit. Aangezien A en B aan elkaar gekoppeld zijn via het raakvlak Θ moeten de raaklijnen t A en t B hetzelfde snijpunt hebben op de y-as. Deze eis komt uiteraard neer op voorwaarde (16). De vergelijking van het raakvlak Θ is dan x Θ b tan α V + y + a y V y z b a cot β V y = 1 (0) De ellipsenroller zal niet hobbelen als de afstand van zijn zwaartepunt tot het vlak waarop hij rolt een constante is. Door de keuze van het assenstelsel valt het zwaartepunt samen met de oorsprong, het vlak waarop de roller steunt is niet anders dan het raakvlak Θ. We zoeken nu de voorwaarde waaraan a, b en c moeten voldoen om een perfecte rolbeweging te verkrijgen. Hiervoor wordt de afstand d(0, Θ) tussen de oorsprong O en het vlak Θ berekend. Uit de vergelijking (0) van het raakvlak volgt onmiddellijk dat d(o, Θ) = bv y a + tan α b + a cot β = bv y Ra (1) met R a de radicandus van de vierkantswortel die optreedt in d(o, Θ). Om enkel een uitdrukking in α te verkrijgen gebruiken we de voorwaarde gegeven De tennisbalkromme 11

12 De ellipsenroller door (16). Hieruit volgt onmiddellijk dat R a = a cos α sin α + b + a sin β cos β = a cos α sin α + b + (a c sin α) a sin α = (b + c a ) sin α ac sin α + a sin α () Vervang je de uitdrukking () in (1) en hou je rekening met (1) dan verkrijg je: d(o, Θ) = b (a c sin α) (3) (b + c a ) sin α ac sin α + a Uit deze laatste formule blijkt dus duidelijk dat in het algemeen geval de afstand d(o, Θ) afhankelijk zal zijn van α. Dit verklaart waarom de ellipsenroller op en neer gaat bij het rollen. Om ervoor te zorgen dat de afstand d(o,θ) onafhankelijk is van α moet de noemer in (3) een veelvoud zijn van a c sin α. Dit betekent dat (b + c a ) sin α ac sin α + a = A(4a 4ac sin α + c sin α) Aangezien deze laatste uitdrukking moet gelden voor elke α R, vinden we dat b + c a = Ac ac = 4acA (4) a = 4Aa Uit de laatste twee vergelijkingen volgt dat A = 1. Substitutie in de eerste vergelijking van (4) levert de waarde van c: c = 4a b (5) Gebruiken we nu het verband tussen a, b en c gegeven door (5) en vullen we dit in de gevonden waarde van R a in, dan vinden we R a = ( a b sin α a) sin α (6) Hierdoor wordt de afstand tussen het zwaartepunt van de ellipsenroller en het raakvlak gegeven door b sin α ( a sin α d(o, Θ) = ) c a b sin α a = b (7) De tennisbalkromme 1

13 De ellipsenroller Opmerking: Een andere methode om het verband tussen c, a en b te vinden is om beide leden van de formule voor de afstand gegeven door (7) af te leiden en de afgeleide gelijk aan nul te stellen. Immers, als de afstand van O tot het raakvlak een constante is onafhankelijk van α, dan zal de afgeleide van d(0, Θ) nul worden voor een uitdrukking die onafhankelijk is van α. Na enige berekeningen of door gebruik te maken van een PC vind je d (α) = ab(4a b c ) sin α cos α (R a ) ( 3 ) Er geldt d (α) = 0 voor elke waarde van α als 4a b c = 0. Dit levert dezelfde voorwaarde op als (5)..4 De rollijn van de ellipsenroller We beschouwen in deze paragraaf het bijzonder geval van twee ellipsen die rollen zonder te hobbelen. Zoals hierboven besproken verkrijgen we deze oplossing als c = 4a b en d(0, Θ) = b. In dit geval zal de bol Σ met middelpunt (0, 0, 0) en straal b de omhullende Ω raken in punten T (T x, T y, T z ) zó dat OT Ω. De verzameling van deze punten noemen we de rollijn T van de bol. Beschouwen we in het punt T het raakvlak Θ dan zal ook OT Θ. Aangezien het punt T ook op de bol Σ ligt zal de vergelijking van het raakvlak Θ gegeven worden door T x x + T y y + T z z = b (8) Houden we rekening met de reeds gevonden vergelijking (0) van het raakvlak Θ dan kunnen de coördinaten van T gevonden worden als T x = ab V y tan α, T y = b V y, T z = ab V y cot β (9) In deze formules is V y gegeven door de uitdrukking (1). Om een cartesiaanse vergelijking van de kromme T te vinden elimineren we α en β uit de eerste en tweede uitdrukking van (9). We vinden onmiddellijk dat Ty Tx = b a tan α en V y = b T y De tennisbalkromme 13

14 De ellipsenroller Houden we rekening met de voorwaarde (1) dan kunnen we α hieruit elimineren. Dit levert dan de voorwaarde op tussen T x en T y : (T y c ) + T x = a (30) Dit stelt een elliptische cilinder voor met symmetrieas evenwijdig met de z-as. Op analoge wijze kan door eliminatie van β uit de tweede en derde vergelijking van (9) een voorwaarde tussen T y en T z gevonden worden: (T y + c ) + T z = a (31) Dit is eveneens een elliptische cilinder maar nu met de x-as als symmetrieas. Trekken we beide leden van de vergelijkingen (30) en (31) van elkaar af, dan zal de gemeenschappelijke kromme aan beide elliptische cilinders en aan de b bol Σ (0, ) ook liggen op de hyperbolische paraboloïde met vergelijking: ct y + (T z T x ) = 0 Figuur 5: De doorsnede van twee elliptische cilinders, een hyperbolische paraboloïde en de ingeschreven bol aan de omhullende van een niet hobbelende ellipsenroller bepaalt de rollijn op deze bol. We kunnen alzo besluiten dat de kromme die gemeenschappelijk is aan de bol met middelpunt O en straal b en de omhullende Ω aan de twee beschreven ellipsen met middelpunten op een afstand c = 4a b van elkaar De tennisbalkromme 14

15 De halve-ellipsenroller gelegen de doorsnede is van twee elliptische cilinders en een hyperbolische paraboloïde. Deze kromme is de rollijn van dezelfde bol ingeschreven in de omhullende Ω aan de beschreven ellipsen. Opmerking: Beschouwen we nu het bijzondere geval waarbij de ellipsen vervangen worden door cirkels, dan is a = b. Hieruit volgt dat de ingeschreven bol Σ aan de omhullende Ω van de twee cirkels een straal zal hebben die voldoet aan: d(0, Θ) = a = b = c De ingeschreven bol heeft dan als vergelijking Σ x + y + z = c 4. en gaat oor de middelpunten van beide ellipsen. 3 De halve-ellipsenroller 3.1 Inleiding We beschouwen in dit paragraafje het rolgedrag van twee halve ellipsen op een afstand c van elkaar. Beide halve ellipsen liggen in loodrecht op elkaar staande vlakken Π A en Π B. Dit model is te vergelijken met de ellipsenroller maar in plaats van twee volledige ellipsen, volstaan twee halve ellipsen om het model te maken. Opnieuw worden de lange en korte assen respectievelijk gelijk gesteld aan a en b en liggen de lange assen in elkaars verlengde. De afstand tussen de twee korte assen van de halve ellipsen, die we E A en E B zullen noemen, wordt voorgesteld door c. Zoals de oloïde Ω en de ellipsenroller zal ook dit speelgoedje in het algemeen al waggelend van een hellend vlak rollen. Wordt de afstand tussen de twee halve ellipsen E A en E B goed gekozen, dan hobbelt het voorwerp niet. 3. Constructie Verbind twee halve ellipsen loodrecht op elkaar met een in lengte veranderlijk staafje. Uiteraard kunnen beide halve ellipsen zelf loodrecht aan elkaar worden bevestigd. In dit geval is c = Berekeningen We kiezen een assenstelsel op dezelfde wijze als voor de oloïde en de ellipsenroller. De oorsprong kiezen we in het midden van de verbinding tussen De tennisbalkromme 15

16 De halve-ellipsenroller Figuur 6: De middens van de beschrijvenden aan de halve-ellipsenroller de twee halve ellipsen. De x-as kiezen we in het vlak Π A van de halve ellips E A loodrecht op en in het midden van de verbindingslijn tussen de twee halve ellipsen. De y-as ligt volgens de verbindingsrechte. De z-as staat dan uiteraard loodrecht op beide assen door het punt O, het midden van de verbindingslijn. De twee lange assen van de ellipsen liggen op de y-as. We passen dezelfde berekeningen toe als voor de oloïde en de ellipsenroller. Het volstaat hier echter om slecht één enkel punt A op E A te beschouwen. Immers als de ene halve ellips op een plat vlak steunt, dan zal een hoekpunt J i van de andere ellips op hetzelfde platte vlak rusten. De hoekpunten J 1 of J van de tweede halve ellips spelen dus de rol van B in de berekeningen van de oloïde of de ellipsenroller. Analoog voor de hoekpunten H 1 of H op de andere halve ellips. De halve-ellipsenroller rolt als het ware op de hoekpunten van achtereenvolgens de ene halve ellips en dan de andere halve ellips. Elk raakvlak Θ in A aan de halve-ellipsenroller heeft dan bijvoorbeeld het lijnstuk [AJ 1 ] gemeen. We zoeken eerst de snijpunten U en V van de raaklijn t A in een willekeurig punt A van de halve ellips E A met respectievelijk de x-as en de y-as. Samen met het punt J 1 vormen U en V het gevraagde raakvlak Θ. Houden we rekening met de lengte van de halve assen a en b alsook met de keuze van de oorsprong O, dan vinden we voor de middelpunten van de De tennisbalkromme 16

17 De halve-ellipsenroller assen van beide halve ellipsen E A en E B en de hoekpunten van E B : M A = (0, c, 0) M B = (0, c, 0) J 1 = (0, c, b) x = b cos α E A y = a sin α c z = 0 met y < c J = (0, c, b) De richtingsgetallen van de raaklijn t A aan E A in het punt A van deze halve ellips worden gegeven door ( b sin α, a cos α, 0) zodat een vergelijking van deze raaklijn, zoals bij de ellipsenroller, opnieuw gegeven wordt door (11). Hieruit volgt dat de punten U en V dezelfde coördinaten hebben als bij de ellipsenroller. Ze worden gegeven door (13) en (1). Het raakvlak Θ wordt dan bepaald door de punten U, V en J 1, zodat een vergelijking van Θ gegeven wordt door: Θ x y z 1 c 0 b 1 b tan αv a y V y 0 1 a (V tan α x + by + z y c = 0 ) = bv y De afstand van het middelpunt O van de halve-ellipsenroller tot elk raakvlak Θ wordt gegeven door de afstandsformule voor de afstand van een punt tot een vlak: d(oθ) = = bv y a cos α + sin α b + ( a sin α c) bv y sin α a (1 sin α) + b sin α + a ac sin α + c sin α Het is duidelijk dat de afstand van het middelpunt O van de roller tot het vlak waarop de roller rolt, afhankelijk is van α en dus van het punt A waar de roller op het vlak steunt. Deze afstand d(o, Θ) zal onafhankelijk zijn van α als de radicandus van de bovenstaande formule onafhankelijk is van α. Dit wil dus zeggen dat de radicandus een volkomen kwadraat moet zijn in sin α. Dit zal zo zijn als de discriminant van de kwadratische uitdrukking in sin α in de radicandus gelijk is aan nul. D = a c a (c + b a ) = 0 c = a b (3) De tennisbalkromme 17

18 De halve-ellipsenroller Op een analoge wijze als bij de ellipsenroller vindt men in dit geval opnieuw een afstand gelijk aan: d(o, Θ) = b = b (33) Verdere besprekingen en berekeningen kunnen opnieuw gegeven worden zoals bij de ellipsenroller. De methodes zijn volledig gelijk. Het is een mooie oefening voor leerlingen uit sterke wiskundige klassen om deze berekeningen te maken. Ook de opmerking in verband met de afgeleide van de afstand d(o, Θ) blijft geldig. Het is verbazingwekkend dat na vereenvoudiging van de afgeleide functie van de afstand d(o, θ) alle termen in de teller wegvallen behalve ab sin α cos α(a b c ). 3.4 Bijzonder geval In plaats van twee halve ellipsen te beschouwen op een afstand c van elkaar kunnen we ook twee halve cirkels C A en C B beschouwen. Om een niet schommelende oplossing te hebben moet voldaan zijn aan (3). Voor cirkels geldt dat a = b en dus is c = 0. Dit betekent dat de halve cirkels loodrecht op elkaar staan zodat de middens van hun middellijnen samenvallen. Dit gemeenschappelijk punt kiezen we als oorsprong. De ene halve cirkel ligt in het xy-vlak, de andere halve cirkel ligt dan in het yz-vlak. Verbinden we de toppen J 1 en J van de ene halve cirkel C B met de andere halve cirkel C A, dan verkrijg je een biconisch oppervlak dat bestaat uit 4 halve kegels. Elk punt A en elk punt B op de halve cirkel C A respectievelijk C B heeft als coördinaten A(α) = (a cos α, a sin α, 0) met α [π, π] B(β) = (0, a cos β, a sin β) met β [ π/, π/]. Houden we rekening met de coördinaten J 1 = (0, 0, a); J = (0, 0, a); H 1 = (a, 0, 0, ); H = ( a, 0, 0) dan kan een vergelijking van het biconisch oppervlak worden gegeven met de volgende parametervergelijkingen KA 1 (t, k) = A(t) + k(j 1 A(t)) k [0, 1] KA (t, k) = A(t) + k(j A(t)) k [0, 1] KB 1 (t, k) = B(t) + k(h 1 B(t)) k [0, 1] (34) KB (t, k) = B(t) + k(h B(t)) k [0, 1] De tennisbalkromme 18

19 De halve-ellipsenroller Figuur 7: Het biconisch oppervlak We stellen de straal van de ingeschreven bol Σ aan het biconisch oppervlak gelijk aan r. Aangezien de bol Σ raakt aan de beschrijvenden van het biconisch oppervlak zal deze straal r moeten voldoen aan r = a (35) De doorsnede van het biconisch oppervlak met de bol Σ zijn de raakpunten van de beschrijvenden van het biconisch oppervlak met deze bol. Deze punten liggen steeds in het midden van [JiA] en [HiB]. De gemeenschappelijke punten worden gegeven door de vergelijkingen (34) waarbij k = 1 moet worden gesteld. Om de vier delen van de kromme te vinden moet gepast t [π, π] of t [ π, π ] worden genomen. De gemeenschappelijke kromme gelijkt dan om de tennisbalnaad. Aangezien het biconisch oppervlak voor beide kegelhelften eenzelfde hoogte heeft, zal de doorsnede voor de twee halve en gedraaide kegels een vierkant zijn met een diagonaal gelijk aan a. De beschrijvenden van het oppervlak hebben dan allemaal een lengte gelijk aan a. De omtrek van de halve cirkels waarop het oppervlak steunt wordt dan gegeven door π a. Hieruit volgt dat de tophoek van de ontwikkeling van een De tennisbalkromme 19

20 De halve-ellipsenroller Figuur 8: Ontwikkeling van het bi- Figuur 9: Zij- boven en vooraanzicht van het biconisch oppervlak conisch opperlvlak kwart deel van het oppervlak voldoet aan π ϑ = rad = 17, 79 (36) De ontwikkeling van het biconisch oppervlak zijn opeenvolgende cirkelsectoren met ϑ als tophoek. Het oppervlak zal al waggelend rollen op een glad oppervlak. Een dergelijke ontwikkeling gebruiken de kinderen van De Panda, een Gentse basisschool, geholpen door leerlingen van het Sint-Pietersinstituut Gent om hun roller te maken. Hieronder vind je een ontwikkeling van het biconisch oppervlak. Wens je het in papier te maken, maak dan eerst kleeflipjes rond de onderste twee cirkelboogjes en aan de onderste straal. De tennisbalkromme 0

21 De halve-ellipsenroller 3.5 Twee krommen op een bol Besluit: de raakkromme op de bol ingeschreven in een biconisch oppervlak en de rollijn van een bol met straal a met middelpunt het gemeenschappelijk zwaartepunt van de niet schommelende tweecirkelroller beschrijven een kromme die gelijkt op een tennisbalnaad. De twee krommen zijn totaal verschillend van elkaar. Dit blijkt uit de onderstaande tekening. Navraag bij tennisbalfabrikanten leerde mij echter dat het vilt zo wordt uitgesneden dat beide helften het gemakkelijkst op een mechanische wijze kunnen vastgelijmd worden. Van enige wiskundige reden waren ze niet op de hoogte. Zoals verwacht is de realiteit veel minder mooi dan de wiskunde, die, zoals de ervaring mij leert, ook door de leerlingen kan gesmaakt worden. Dergelijke oefeningen worden in klas vaak enthousiast onthaalt. Niet enkel wegens de schoonheid ervan, maar ook omdat de leerlingen de berekeningen daadwerkelijk in een model kunnen omzetten en zo duidelijk zien met wat ze bezig zijn, wat voor hen een zeer grote stimulans betekent. Figuur 10: Een tennisbal in een biconisch oppervlak Figuur 11: Rollijn van de tweecirkelroller en de tweehalvecirkelroller J.-M. Dendoncker <jeanmarie.dendoncker@ugent.be> Praktijkassistent Toegepaste Wiskunde, Informatica en Statistiek UGent Projectleider M ini ath De tennisbalkromme 1

22 De halve-ellipsenroller Referenties [1] [] Robert March. Rouler en développable [3] De tennisbalkromme