EEL VI Wisselstroommotoren Foto Siemens eel 6 -
88 eel 6 -
. HOOFSTUK RAAIVELTHEORIE. Princie In de luchtsleet van een isselstroommachine ordt een draaiveld ogeekt. Algemeen gesteld is een draaiveld een veld dat zich in de loo van de tijd voortlant langs de omtrek van de machine. e omloosnelheid van het draaiveld is n, de synchrone snelheid. e snelheid van de rotor is n. riefasige machines hebben in de stator een driefasige ikkeling die zich in de gleuven van het blikakket bevindt. eze constructie ordt zoel bij inductiemotoren als bij synchrone machines gebruikt (figuur.). Beide machinetyes hebben een verschillende rotor. e synchrone machine heeft in de rotor een ikkeling die gelijkstroom voert, of een ermanent magneet systeem. Zij heeft een rotorveld, onafhankelijk van het feit of de stator al dan niet gevoed ordt. In de inductiemotor zijn de geleiders o de rotor normalerijze kortgesloten. e rotorstromen ontstaan door inductie van sanning in de rotorgeleiders ten gevolge van het statorveld. U n n n n U V n n W V n n W W V W V U U figuur. riefasige machine: rinciiële uitvoering. Obou van de stator e magnetische keten bestaat uit cilindervormige bliklaten die loodrecht o de as van de machine staan. e dikte is ongeveer,5 mm en om ervelstromen zoveel mogelijk te vermijden zijn de bliklaten individueel van elkaar geïsoleerd. Aan de binnenzijde van de cilinder zijn gleuven geonst, aarin de ikkelingen liggen. eel 6-89
luchtsleet U stator V W W U V rotor gleuf W U V U V W figuur. Basiselementen van een isselstroommotor Bij een driefasige machine, en zo zijn veruit de meesten, orden er drie soelen aangebracht, die ruimtelijk over een hoek ten ozichte van elkaar verschoven zijn (figuur.). e drie soelen orden gevoed met een driefasig sanningssysteem bestaande uit drie sanningen die eenzelfde amlitude hebben, maar die in de tijd een faseverschuiving hebben van (figuur.): γ +Re I u γ -Im I I v figuur. riefasig sanningssysteem Tot nu toe is alleen de zogenaamde teeolige machine besroken, m.a.. een machine met oolaartal. Voor meerolige machines ordt het geheel -maal over de omtrek herhaald, zodat voor de ruimtelijke hoek tussen tee ikkelingen geldt. e hoek is de mechanische hoek. Men zegt dat de mechanische hoek overeenkomt met een elektrische hoek β. In een systeem met oolaartal > zijn mechanische en elektrische hoeken niet gelijk: elektrische radialen komen overeen met mechanische radialen. Elektromagnetisch gezien is elk unt in de machine dat zich o de laats bevindt equivalent met een unt verder. e 9 eel 6 -
oolsteek is mechanisch gezien. Elektrisch gezien is hij steeds. Met de binnendiameter van de stator kan men de oolsteek ook uitdrukken in lengtemaat: τ Verder definieert men m als het aantal fasen en q als het aantal gleuven er ool en er fase. Voor de eenvoudigst denkbare, driefasige machine ( ), (q ) en (m ), zijn 6 gleuven in de stator nodig (figuur.). Voor een machine met oolaren en m fasen is het aantal gleuven o de statoromtrek N: ( ) mq Z (.) In de gleuven liggen meerdere geleiders (N g geleiders; figuur.4). eze orden meestal in serie gelaatst. Soms orden gedeelten van de ikkeling in arallel geschakeld: de ikkeling heeft dan a arallelle takken. Het aantal indingen er fase is dan NZ (.) ma figuur.4 Geleiders in de gleuven. Wisselveld + i stator integratieeg eg rotor δ - i figuur.5 oorstromingset (et van Amère) voor een fase eel 6-9
Beschou een teeolige machine, aaruit men een soel kiest met N indingen. oor deze soel loot een stroom i. In de bovenste gleuf ontstaat een doorstroming + N g i, in de onderste een doorstroming N g i. Onderstel ijzer met oneindige ermeabiliteit, zodat er geen m.m.k. nodig is om de flux door het ijzer te sturen. e doorstromingset (et van Amère) toegeast o de kring aangegeven o figuur.5, is H dl H ( ) δ + H( + )( δ) H( ) δ ( ) H() en () stellen resectievelijk de veldsterkte en omsloten doorstroming voor o de laats met hoekcoördinaat. e lengte van de luchtsleet is δ. O de diametraal ten ozichte van elkaar gelegen unten en + is het veld gelijk in grootte en tegengesteld in richting. Hierbij is stilzijgend aangenomen dat de doorstroming in de gleuf oneindig smal is. e omsloten doorstroming en magnetische veldsterkte in de luchtsleet hebben een blokvormig verloo (figuur.6). (.) () + i < < : () + i < < : () - i - i figuur.6 oorstroming in de luchtsleet Voor de inductie geldt dan: ( ) µ H( ) B µ ( ) δ Indien de voedende stroom i een isselstroom is: i I cost (.4) ordt de doorstroming: < < (, t) N Icos t < < (, t) N Icos t (.5) 9 eel 6 -
(,t) + I t t t t - I t figuur.7 Wisseldoorstroming in functie van de laats voor verschillende tijdstien In de loo van de tijd gaat de blokvorm van ositief maximum, over nul naar negatief maximum voor < <, terijl in het interval < < het verloo gelijk, doch tegengesteld is (figuur.7). e nuldoorgangen van het veld blijven o dezelfde laats. e grootte verandert eriodisch, evenredig met de oekkende stroom. Het gaat hier om een isselveld, te vergelijken met een staande golf. Bij een meerolige machine herhaalt alles zich maal over de omtrek. Het aantal indingen N ordt over oolaren verdeeld. Er zijn ositieve zones, negatieve zones en nuldoorgangen met een vaste laats (figuur.8). U + i U U τ U - i + - I I 4 β figuur.8 Meerolige isseldoorstroming < N < (, t) Icost < < N (, t) Icost (.6) eel 6-9
e index duidt aan dat het hier om een doorstromingsverdeling van het isselveld gaat. Voor de iskundige beschrijving van de ruimtelijke verdeling van deze doorstroming ordt de Fourier-analyse gebruikt. aar het hier om een oneven functie van de hoekcoördinaat gaat, komen alleen oneven harmonischen voor ( oneven) (figuur.9). Verder zijn de amlitudes omgekeerd evenredig met het ordegetal: N 4 (, t) I cost sin (.7) I () : grondgolf : e harmonische 5 : 5 e harmonische figuur.9 Grondgolf, derde en vijfde harmonische van een isselveld Er ontstaan oneindig veel staande golven. e grondgolf ( ) is N 4 (, t) I cost sin (.8) en heeft als amlitude ˆ 4 I (.9) e amlitudes van de hogere harmonischen zijn: ˆ 4 ˆ I (.) eze zijn omgekeerd evenredig met het ordegetal. Ook dit zijn staande golven met nuldoorgangen over de omtrek..4 raaiveld Het isselveld heeft een veranderlijke amlitude en vaste nuldoorgangen en is te vergelijken met een staande golf. Het draaiveld daarentegen heeft een constante vorm en grootte en de fundamentele comonente is sinusoïdaal over de omtrek verdeeld. Maxima en minima verlaatsen zich met 94 eel 6 -
constante hoeksnelheid. Een draaiveld is te vergelijken met een loende golf (figuur.). e vergelijking voor een draaiveld met oolaren en ulsatie is: ( ) ˆ, t sin ( t) (.) ^ t t figuur. Grondgolf van het draaiveld in functie van de tijd Voor een vast unt o de curve geldt t constante (.) aaruit volgt dat het draaiveld met een snelheid d dt Ω (.) voortbeeegt in ositieve richting. it noemt men een rechts- of meeloend draaiveld. Een doorstromingsverdeling van de vorm ( ) ˆ, t sin ( + t) (.4) heeft als hoeksnelheid d Ω dt (.5) Zij loot in negatieve -richting en ordt links- of tegenloend genoemd. Uit de golftheorie is bekend dat een staande golf geschreven kan orden als som van tee tegengesteld loende golven met halve amlitude. aaruit volgt dat een sinusvormige isseldoorstroming ontbonden kan orden in tee sinusvormige draaidoorstromingen met halve amlitude en tegengestelde hoeksnelheid (figuur.): ( ) ˆ, t cos t sin sin ( t) + sin ( + t) ˆ ˆ (.6) eel 6-95
^ ^ - t ^ ^ - t figuur. Ontbinding van een isselveld in tee tegengesteld draaiende draaivelden Hetzelfde kan gedaan orden voor de hogere harmonischen. Voor de soel uit vorige aragraaf geldt: ( ) ˆ, t cos t sin ( ) ˆ t sin ( + t) ˆ sin + (.7) e hoeksnelheid van deze golven is: d dt Ω rechts- of meeloend d dt Ω links- of tegenloend e hoeksnelheid van de harmonischen is omgekeerd evenredig met het ordegetal. 96 eel 6 -
.5 riefasige ikkeling U V W W 4 V U figuur. riefasige teeolige ikkeling met een gleuf er ool en er fase e eenvoudigste driefasige ikkeling bestaat uit drie gleufaren die elk ten ozichte van mekaar verschoven zijn. it systeem ordt maal over de omtrek herhaald. Voor ordt dit N voorgesteld in figuur.. In een gleuf liggen geleiders. eze soelen orden gevoed met drie isselstromen met dezelfde grootte en dezelfde frequentie. Zij hebben een onderlinge faseverschuiving in de tijd γ. Elke fase o zich levert een isseldoorstroming, die bestaat uit een oneindig aantal harmonischen: u ˆ cos t sin ˆ ( t) sin ( + t) sin + v ˆ cos t sin sin t ˆ + ( ) sin + t ( + ) eel 6-97
ˆ 4 cos t 4 sin 4 4 sin t ( ) sin + t ( + ) ˆ + (.8) Suerositie van deze isseldoorstromingen levert de resulterende doorstroming: Nu is: (, t) (, t) + (, t) + (, t) (.9) u sin x+ sin x n + sin x n v 4 als n niet deelbaar is door ; sin x als n deelbaar is door. Vermits enkel oneven getallen zijn, vindt men een rechtsloend draaiveld als of 6g 6 g + (g Ν) Men vindt een linksloend draaiveld als: of + 6g 6g (g N ) e totale doorstroming ordt (,t) ˆ sin [( 6g + ) t] sin [( 6g ) + t] 6g + + g g 6g e schrijfijze ordt nog een stuk eenvoudiger als men negatieve aarden voor g invoert en de teede som laat loen van - tot -: 98 eel 6 -
(, t) + sin ( t) (.) met 6 g + g Z Het gaat hier om een suerositie van draaivelden, met ordegetallen voor de harmonischen:, 7,, 9,... meeloend -5, -, -7,... tegenloend e amlitude van de grondgolf is: ˆ ˆ 4 N I (.) e amlitude van de harmonischen is: ˆ ˆ (.) e hoeksnelheid van de grondgolf is: d dt Ω (.) e hoeksnelheid van de harmonischen is omgekeerd evenredig met hun ordegetal: d dt Ω (.4) Men kan de hoeksnelheid van het resulterende draaiveld omkeren door de fasevolgorde van de voedende isselstromen te ijzigen. it heeft tot gevolg dat de rotor van een driefasige machine in de andere zin draait. Praktisch kan men dit verezenlijken door tee klemmen van het voedende driefasig systeem te verisselen. In tabel. is de hoeksnelheid van het draaiveld in toeren er minuut voor verschillende oolaartallen gegeven. tabel. Toerental van draaiveld voor verschillende oolaren bij 5 en 6 Hz 5 Hz 6 Hz 6 5 8 4 75 9 5 6 7 eel 6-99
6 5 6 e draaidoorstroming kan ook grafisch voorgesteld orden. Met ˆ g N I ordt u v ˆ g ˆ g ˆ g cos t cos( t ) 4 cos( t ) Eerst orden de gleufdoorstromingen voor verschillende tijdstien beaald. eze grootte ordt schematisch over de omtrek getekend. e lijnintegraal geeft de omsloten doorstroming in functie van de hoek (figuur.). U V W W V U figuur. oorstromingset e globale doorstroming verloot travormig en is constant tussen de gleuven. Ter hoogte van de oneindig smal onderstelde gleuven, versringt ze telkens met de dubbele aarde van de doorstroming (figuur.4). e grondgolf loot met de hoeksnelheid naar rechts, terijl de harmonischen met negatieve en ositieve -aarden resectievelijk naar links en naar rechts loen met een snelheid. e amlitudes van de grondgolf en de harmonischen zijn constant. e vorm van de totale doorstroming verandert tussen de beide extreme aarden o t, 6, eriodisch. e vormverandering van eel 6 -
de globale doorstroming komt tot stand door de verschillende hoeksnelheden en de verschillende draairichting van de harmonischen. eel 6 -
g - g U W V U W V U g g U W V U W V U g - g U W V U W V U g g - g - g 5 - g g g 6 - /5 g g - g - - 5 t U g V g g t 6 U g W W g t U V V g g W g figuur.4 Obou van het draaiveld in functie van de tijd eel 6 -
.6 Wikkelfactor Bij een draaistroomikkeling, aarbij de N indingen er ool en er fase in slechts een gleufaar ondergebracht zijn, is: Z q (.5) m e amlitudes van de harmonischen zijn omgekeerd evenredig met het ordegetal: ˆ ˆ (.6) Voor de roductie van het koel in een driefasige machine heeft men alleen behoefte aan het grondveld. e harmonischen zorgen enkel voor roblemen (ongeenste, trillende koels; geluid; bijkomende verliezen,...). aarom ordt de ikkeling niet zo eenvoudig uitgevoerd. oor een geaste verdeling van de doorstroming over de omtrek, ordt getracht de harmonischen te onderdrukken zonder dat de grondgolf sterk beïnvloed ordt. aarom verdeelt men de ikkeling voor een ool en een fase over meerdere gleuven: Z q,,4,... (.7) m Men gebruikt ook soelen aarvan de heen- en teruggaande zijde niet exact van mekaar verijderd zijn, maar een kleinere hoek insluiten. it laatste noemt men soelverkorting..6. Verdeelde ikkeling - zonefactor U g V W β g, g β g, g W V g U figuur.5 rie gleuven er fase eel 6 -
e N ikkelingen van een ool en een fase orden over q gleuven verdeeld (figuur.5). eze N geleiders er gleuf leveren een draaidoorstroming van de vorm q + ( t) N 4 sin g (, t) I (.8) q eze gleufdoorstromingen zijn ruimtelijk over een hoek g (.9) Z mq mq verschoven, at overeenkomt met een elektrische hoek β g g (.) mq Voor de hogere harmonischen dient deze nog met het ordegetal vermenigvuldigd te orden βg, β g e resulterende doorstroming bekomt men door de geometrische som van de verschillende gleufdoorstromingen. e resultante erkt volgens de as van de fase, doch is kleiner dan de scalaire som (figuur.6): (,t) (,t) < q (.) g q q β g, res β g, q q β g, β g, figuur.6 Resulterende doorstroming van drie gleuven
eze verlaging ordt uitgedrukt door invoering van een resulterend aantal indingen N res van een N fase uitgaande van de geometrische som van de q deelindingen. e hoekunten zijn allemaal q over een hoek β gv verschoven en vormen een figuur die een cirkelboog met oeningshoek qβ gv insluit. e straal van de cirkel is: N q r βg, sin (.) e koorde van de cirkelboog heeft als lengte: qβg rsin N res, (.) aaruit volgt het resulterend aantal indingen: e verhouding N qβg, sin q qβg, N N res sin (.4) βg, βg, sin qsin N N res qβ sin g, ξz βg, qsin (.5) ordt de zonefactor voor de -de harmonische genoemd. Voor een driefasige ikkeling is g, (.6) q β zodat sin 6 ξ z (.7) qsin 6q 4 eel 6 -
e erking van de verdeling van de ikkeling over de zone kan als volgt uitgelegd orden. e doorstromingen van de grondgolf liggen geometrisch raktisch in mekaars verlengde en orden ogeteld, terijl deze van de harmonischen mekaar quasi oheffen. Neemt men als voorbeeld een ikkeling met q (figuur.7, tabel.). Tabel. Elektrische hoeken en zonefactoren bij q 7-5 βg, βg,7 4 βg,-5 - ξ z,96 ξ z7 -,77 ξ z-5,8 o o 4 o *,96 7 7 *,77 7 7 4 o o 5 o 5 5 5 *,8 figuur.7 Werking van de verdeling van de ikkeling over drie gleuven Bij toenemend aantal gleuven er ool en er fase daalt de zonefactor van de grondgolf slechts lichtjes, terijl de harmonischen sterk onderdrukt orden (tabel.). Tabel. Zonefactor voor de verschillende harmonischen in functie van het aantal gleuven 5
q 4...,966,96,958...,955-5,59,8,5...,9 7 -,59 -,77 -,58... -,6 - -,966 -,77 -,6... -,87 -,966,8,6...,7-7 -,59,96,58...,56 9,59,96,5... -,5 Merk o dat beaalde harmonischen een zonefactor hebben die gelijk is aan deze van de grondgolf, met name als nz + (n Z ) (.8) eze harmonischen orden dus niet onderdrukt door de ikkelconfiguratie. Het zijn de gleufharmonischen. Hoe meer gleuven er ool en er fase men neemt, hoe hoger het ordegetal van de gleufharmonischen ordt en bijgevolg des te lager hun amlitude..6. Verschuivingsfactor - soelverkorting Hier ordt de ikkeling niet meer met diametersoelen (dit zijn soelen met een soelbreedte van ), maar met verkorte soelen uitgevoerd. e heengaande en terugkerende geleiders bevinden zich s niet meer o een afstand τ, doch o een afstand s < τ. e verhouding moet natuurlijk τ overeenkomen met de gleuven. In de raktijk ordt de ikkeling als teelaagsikkeling uitgevoerd. e heengeleider ligt in de onderste laag, terijl de teruggeleider in de bovenste laag ligt. Men heeft tee ikkelingssystemen met de helft van het aantal indingen die ten ozichte van elkaar over een mechanische hoek s s (.9) τ verschoven zijn (figuur.8). 6 eel 6 -
U s V s W s res W V U figuur.8 Teelaagsikkeling: doorstroming van de fase U Voor de grondgolf komt dit overeen met een elektrische hoek s, voor de harmonischen is dit s. Het resulterend aantal indingen volgt eer uit een geometrische som: e verhouding N s N s N s N res sin sin sin (.4) τ τ ξs N N res s sin τ (.4) ordt de verschuivingsfactor genoemd. e erking van de soelverkorting bestaat hierin dat door een geaste keuze van de verhouding seciaal de vijfde en de zevende harmonische van de bovenlaag en de onderlaag mekaar oheffen, zodat zij naar buiten toe verdijnen, bijvoorbeeld s τ s 4 τ 5 s 6 τ 7 ξ ξ... s 5 s 7 ξ ξ... s 7 s 5 7
Vaak ordt een tussenliggende aarde s τ orden. an geldt 5 6 gekozen, aardoor beide harmonischen onderdrukt ξ s, 966 ξ, 59 ξ, 59 s 5 s 7.6. Resulterend veld - Wikkelfactor Het roduct van de verschuivingsfactor en de zonefactor noemt men de ikkelfactor van een harmonische: ξ ξ s ξz (.4) e resulterende draaistroomdoorstroming voor een ikkeling met q soelen er ool en er fase en soelverkorting is: N 4 (, t) I sin ( t) ξ (.4) Uit deze doorstroming vindt men de inductie, bij veraarlozing van de m.m.k. die nodig is om de flux door het ijzer te krijgen: B µ µ 4 N δ (, t) (, t) I sin ( t) δ Voor de grondgolf geldt: met amlitude en hoeksnelheid (, t) Bˆ sin ( t) B ξ (.44) (.45) µ 4 Nξ Bˆ I (.46) δ Ω (.47) Voor de harmonischen geldt met amlitude (,t) Bˆ sin ( t) B (.48) 8 eel 6 -
Bˆ en hoeksnelheid ξ Bˆ (.49) ξ Ω Ω v (.5) Het totale draaiveld is: (, t ) B (, t ) B (.5) 9
.7 Sanningsinductie door een draaiveld.7. Gekoelde flux ξ U (t) V δ W W V U figuur.9 Flux gekoeld met een soel e statorikkeling ekt in de luchtsleet van de machine een draaiveld B(,t) o. Men berekent de flux die gekoeld is met een soel N die zich o een illekeurige laats ten ozichte van de stator bevindt (figuur.9). is functie van de tijd als de soel N beeegt. e fluxkoeling volgt uit de integratie van de luchtsleetinductie over een oolsteek (lengtecoördinaat): aar x+τ ( t) N φ(, t) N B(, t) ψ, l dx (.5) x vindt men: x en dx d + ψ(, t) N B(, t) l d (.5) Met (.5) en (.48) ordt dit: + (, t) N ψ l Bˆ sin( t) d eel 6 -
Ook de fluxkoeling bestaat uit een oneindige som. Rekening houdend met (.45) geldt voor de grondgolf: met amlitude ( t) φˆ cos( t) φ (.54), φˆ l Bˆ lτbˆ (.55) Voor de harmonischen geldt met (.48): met amlitude ( t) φˆ cos( t) φ, (.56) φˆ l Bˆ τ l Bˆ (.57).7. Geïnduceerde sanningen - sli e sanning die in de soel geïnduceerd ordt, volgt uit de bealing van de verandering van de met de soel gekoelde flux in functie van de tijd. e verandering kan het gevolg zijn van een tijdsvariatie van de stromen die het draaiveld oekken en/of van de rotatie van de soel zelf. Uit de inductieet van Faraday-Lenz volgt: (, t) dψ dt (, t) ψ(, t) d ψ(, t) u i dt t l N B [ ( )] t d sin dt d Nl B sin( t) dt (.58) e sli ordt gedefinieerd als het relatieve verschil tussen de mechanische snelheid van het statordraaiveld en de mechanische snelheid van de rotor. e referentiesnelheid is de snelheid van het statordraaiveld. e hoeksnelheid van de rotor is: d dt n Ω 6 (.59) met n de snelheid in toeren er minuut. e hoeksnelheid van een harmonische van het statordraaiveld is:
Ω (.6) zodat de sli voor een harmonische kan geschreven orden als: Ω Ω Ω s (.6) Ω e hoeksnelheid van het grondveld noemt men de synchrone snelheid. Ω f of in toeren er minuut: 6Ω f 6 (.6) n Voor de grondgolf ordt de sli ingevoerd: s Ω n n n (.6) stator Ω t R rotor figuur. Verband tussen rotor en stator hoekcoördinaten Bij het synchroon toerental is s en bij stilstand is s. e laats van de rotorsoel kan men ook uitdrukken ten ozichte van de rotor (figuur.): ( t) + t (.64) R Ω eel 6 -
zodat t s t (.65) en ( R is constant) R d s Ω (.66) dt Hierdoor vindt men voor de in de rotorsoel geïnduceerde sanning: u (, t) N Bˆ sin ( s t) i R l R s Ω l B (, t ) ( ) i R, t v N R e relatieve snelheid tussen draaiveld en soel is u (.67) v sω (.68) e vorm van de sanning die door de relatieve beeging geïnduceerd ordt, is: u i ( R, t) N l B ( R, t) v N l s Ω Bˆ sin ( s t ) l N s Bˆ sin ( s t ) ( s t ) R N ˆ φ s sin R (.69) Het door de statorikkeling ogeekte draaiveld B(,t) dat uit een oneindig aantal harmonischen B (,t) bestaat die met de hoeksnelheid Ω ronddraaien, induceert in een met de hoeksnelheid n v ronddraaiende soel o de rotor een oneindig aantal sanningen u i ( R,t) met volgende eigenschaen: de amlitudes van de geïnduceerde sanningen zijn evenredig met de voedingsfrequentie van de stator en met de sli; de frequentie van de geïnduceerde sanning is de slifrequentie s n van de beschoude harmonische; bij stilstand (s ) is deze frequentie voor alle harmonischen de voedingsfrequentie; als de rotor draait (s ) induceert elke harmonische sanningen met verschillende frequentie; bij synchronisme (s ) induceert de -de harmonische geen sanning; R
de fasehoek van de in de rotor geïnduceerde sanning is enkel en alleen afhankelijk van de ruimtelijke ligging van de soel, uitgedrukt door de elektrische hoek R. raagt de rotor in laats van een soel een driefasige ikkeling (zoals deze o de stator), aarvan de fasen telkens over een mechanische hoek R ( k ) (k,, ) verschoven zijn, en aarvan het aantal gleuven er ool en er fase q >, dan volgt voor de geïnduceerde sanning in een rotorfase: ξ φˆ i k N s sin s t ( k ) (.7) u Voor s is deze formule ook geldig voor de stator: ξ φˆ i k N sin t ( k ) (.7) u Voor de verhouding van de sanning geïnduceerd door een harmonische, ten ozichte van de sanning geïnduceerd door het grondveld geldt: U U i i ξ ξ φˆ φˆ ξ ξ Bˆ Bˆ ξ ξ (.7) Voor de verhouding van een door een harmonische van het veld in de rotor geïnduceerde sanning tot de door dezelfde harmonische in de stator geïnduceerde sanning geldt: U i ξ (.7) U s i ξ Voor de effectieve aarde van de grondgolf in stator en rotor geldt: U φˆ φˆ i ξ f ξ 4,44 ξf φ (.74) φˆ ξs (.75) Ui ˆ 4 eel 6 -
.8 Koelgeneratie Men beerkt zich tot de grondgolf. Voor de statorikkeling herleidt de draaidoorstroming zich dan tot de grondharmonische met hoeksnelheid ( statorulsatie; oolaartal van de stator; loende statorcoördinaat): 4 N ξ ( t) I sin ( t) ˆ sin ( t), (.76) Ω figuur. Stator- en rotordoorstroming Er ordt verondersteld dat de rotor draait met hoeksnelheid Ω. oor de rotor ordt eveneens een draaidoorstroming ogeekt, die een hoeksnelheid relatief ten ozichte van de rotor heeft en de rotorcoördinaten zijn over een hoek ε in de ruimte verschoven ten ozichte van de statorcoördinaten ( rotorulsatie; oolaartal van de rotor; loende rotorcoördinaat): 4 N ξ (, t) I sin ( t) (.77) eze vergelijking is betrokken o de rotor. e omzetting naar het statorcoördinatensysteem gebeurt door toeassing van aarbij: ε (.78) ε Ωt + ε Vult men dit in in (.77) dan volgt: ( t) ˆ sin ( t ε), (.79) 5
Aan het oolaartal, de ulsatie en de fasehoek van de stator- en de rotordoorstromingen orden geen beerkingen ogelegd. Gebruik makende van de doorstromingset, bekomt men de resulterende inductie in de luchtsleet. Vanaf hier ordt voor de eenvoud van de notatie genoteerd als : (, t) + (, t) H(, t) δ [ ] µ B(,t) (,t) + (,t) (.8) δ l δ dx d figuur. Berekening van de ogeslagen magnetische energie e magnetische energie in de luchtsleet is (figuur.): B (, t) B (,t) Wm dv δ µ l d (.8) µ V Het koel bekomt men dan door differentiatie van de magnetische energie naar de relatieve ositie ε van beide draaivelden tegenover elkaar (et van de virtuele arbeid): (,t) δ ε ε Wm B T l d (.8) µ Volgens de kettingregel is: ε Enkel de term [ B ( )], t B(, t) B (, t) ε µ (, t) (, t) + (, t) (.8) δ ε (,t) is functie van ε. Men bekomt: δ µ T l 4µ δ [ ˆ sin ( t) + ˆ sin ( t ε) ] 6 eel 6 -
[( ) cos( t ε) ] d ˆ (.84) aar sin xcos xdx (.85) ordt de integraal sterk vereenvoudigd: µ ˆ ˆ δ T l sin d 4. ( t) cos( t ε) (.86) of met sin x cos y sin( x + y) + sin( x y) (.87) volgt hieruit Algemeen geldt: lµ T 4.δ ˆ ˆ { sin [( + ) ( + ) t ε] [( ) ( ) t + ε]} + sin d (.88) sin ( nx + ϕ) dx als n sin ϕ als n aar en van nul verschillende, ositieve gehele getallen zijn, is de eerste sinusterm in de integraal van (.88) altijd, terijl de teede sinusterm slechts dan verschillend is van als, met andere oorden: een motor levert slechts een koel als de stator en de rotor evenveel olen hebben. In dat geval is: zodat ˆ ˆ lµ T sin 4.δ [ ( ) t + ] ε lµ T 4.δ o ˆ ˆ sin [ ( ( + Ω) ) t + ε ] (.89) 7
Er ontstaat slechts dan een in de tijd constant koel als + Ω. Indien dit niet het geval is, ontstaat er een ulserend koel, dat gemiddeld in de tijd nul is met ulsatie [ ( + Ω) ]. Als aan de vooraarde + Ω el voldaan is, levert de machine een constant koel: lµ T 4.δ ˆ ˆ sin ε (.9) eze uitdrukking voor het koel kan men nog verder omvormen. aartoe gebruikt men in het comlexe vlak de fasorvoorstelling (figuur.). e resulterende draaistroombelegging δ + B (.9) µ komt overeen met het luchtsleetveld. Men legt haar in de imaginaire as. e hoek tussen de reële as en de draaidoorstromingen is ϕ ( ), ϕ( ) en ( ). Met de cosinusregel ordt: ( ˆ ) + ( ˆ ) + ˆ ˆ ( ϕ ϕ ) ˆ (.9) en met de sinusregel: cos ˆ sin ϕ ˆ cosϕ sin ˆ ˆ ˆ ( ϕ + ϕ ) sin ( ϕ ϕ ) sin ( ε) ˆ δ sin cos µ ( ε) ˆ cosϕ Bˆ ϕ +Re -( ϕ ϕ - ) ϕ. ε -Im ϕ figuur. Verband tussen de fasoren van de doorstromingen Het koel ordt: 8 eel 6 -
T µ δ Bˆ 4 N ξ l I Bˆ cos ϕ (.9) l θ cosϕ 4δ µ 4 Met de effectieve aarde van de geïnduceerde sanning l Bˆ Nξ (.94) Ui bekomt men de uiteindelijke vergelijking voor het koel: U I cosϕ Pδ 6 T U I cosϕ (.95) i i Ω n aarin P δ het luchtsleetvermogen of draaiveldvermogen is..9 Vermogenstroom, frequentievooraarde Het draaiveldvermogen of luchtsleetvermogen is het vermogen dat de motor uit het net oneemt, verminderd met de statorjouleverliezen en de statorijzerverliezen: P δ P PJ PFe P RI PFe (.96) it vermogen gaat over de luchtsleet naar de rotor (figuur.4): n δ U iicosϕ T (.97) 6 P Het aan de as afgegeven mechanisch vermogen is: m T n T n ( s) ( s) P δ (.98) 6 6 P Het verschil tussen het luchtsleetvermogen en het mechanisch vermogen zijn de rotorverliezen P ( s) Pδ s δ J Pδ Pm Pδ P (.99) 9
P P P J + P Fe P δ Stator P J P m Rotor T, Stator figuur.4 Vermogenstroom in een isselstroommachine Odat de motor een constant koel zou leveren, moeten stator en rotor hetzelfde oolaartal hebben en moet voldaan zijn aan: + Ω Met (.6) kan men dit ook schrijven als of ( ) + s s (.) Aan de hand van deze vooraarde kan men onderscheid maken tussen tee groeen isselstroommachines. e stator van een isselstroommachine ordt gevoed met stromen met frequentie f, zodat f. Bij een synchrone machine ordt de doorstroming o de rotor gegenereerd door een afzonderlijke bron of komt het veld van ermanente magneten. Als een veldikkeling gebruikt ordt, stuurt men door de rotorketen een gelijkstroom ( ). Aan (.99) is enkel voldaan als de sli s. e rotor draait o synchrone snelheid. Bij een inductiemachine zijn de ikkelingen o de rotor kortgesloten. Bij een sli s is er een relatief snelheidsverschil tussen en rotor statordraaiveld. oor dit snelheidsverschil orden in de rotor sanningen geïnduceerd die in de kortgesloten rotorikkeling stromen doen vloeien met frequentie de slifrequentie sf. Voor de ulsatie van deze stromen geldt: (.) sf s zodat voor elke sliaarde, en dus voor elk toerental van de rotor, voldaan is aan de vooraarde voor een constant koel. eel 6 -