Kansrekening en Statistiek College 8 Vrijdag 2 Oktober 1 / 17
1 Kansrekening Geschiedenis en filosofie 2 / 17
De Kolmogorov Axioma s De kansrekening kan uit deze axioma s worden opgebouwd: 3 / 17
De Kolmogorov Axioma s De kansrekening kan uit deze axioma s worden opgebouwd: 0 P(A) 1 en P(S) = 1 (S is de uitkomstenruimte) Als A 1, A 2,... disjunct, dan P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... i=1 Voor E met P(E) 0: P(A E) = P(A E) P(E) 3 / 17
Wat is een kans? 4 / 17
Wat is een kans? Wat betekent de uitspraak de kans op gebeurtenis A is p? 4 / 17
Vier theorieën { logische theorie epistemologisch subjectieve theorie { frequentie theorie objectief propensity (geneigdheid tot) theorie 5 / 17
17e eeuw Le Chevalier de Méré (edelman en gokker): 6 / 17
17e eeuw Le Chevalier de Méré (edelman en gokker): bij het verkrijgen van een 6 bij het 4 maal gooien van een dobbelsteen is men in het voordeel: 671 staat tot 625, maar bij het verkrijgen van 2 6-en bij het 24 maal gooien van een dobbelsteen is men in het nadeel. 6 / 17
17e eeuw Le Chevalier de Méré (edelman en gokker): bij het verkrijgen van een 6 bij het 4 maal gooien van een dobbelsteen is men in het voordeel: 671 staat tot 625, maar bij het verkrijgen van 2 6-en bij het 24 maal gooien van een dobbelsteen is men in het nadeel. Correspondentie tussen Blaise Pascal (wiskundige en filosoof) en Pierre de Fermat (jurist en wiskundige) over kansvraagstukken in de context van gokspelen. 6 / 17
17e eeuw Le Chevalier de Méré (edelman en gokker): bij het verkrijgen van een 6 bij het 4 maal gooien van een dobbelsteen is men in het voordeel: 671 staat tot 625, maar bij het verkrijgen van 2 6-en bij het 24 maal gooien van een dobbelsteen is men in het nadeel. Correspondentie tussen Blaise Pascal (wiskundige en filosoof) en Pierre de Fermat (jurist en wiskundige) over kansvraagstukken in de context van gokspelen. (Ik zie dat waarheid hetzelfde is in Toulouse als in Parijs.) 6 / 17
18e en 19e eeuw Jakob Bernouilli: de Wet van de grote Getallen (1713). 7 / 17
18e en 19e eeuw Jakob Bernouilli: de Wet van de grote Getallen (1713). Bayes: de Stelling van Bayes (1763). 7 / 17
18e en 19e eeuw Jakob Bernouilli: de Wet van de grote Getallen (1713). Bayes: de Stelling van Bayes (1763). Laplace: Philosophical Essay on Probabilities (1812). Determinisme: kansen drukken onwetendheid uit. 7 / 17
Principle of Indifference Principe van Onverschilligheid: Als er geen reden is om een gebeurtenis meer waarschijnlijk te achten dan een ander dan hebben zij gelijke kansen. 8 / 17
De logische theorie Keynes: Treatise on Probability (1921). Een theorie van inductief redeneren (gedeeltelijk impliceren) als uitbreiding van een theorie van deductief redeneren (met zekerheid impliceren). 9 / 17
De logische theorie Keynes: Treatise on Probability (1921). Een theorie van inductief redeneren (gedeeltelijk impliceren) als uitbreiding van een theorie van deductief redeneren (met zekerheid impliceren). Kansen staan voor de mate van waarschijnlijkheid die een rationeel (Platonisch?) mens aan gebeurtenissen toekent. 9 / 17
De logische theorie Keynes: Treatise on Probability (1921). Een theorie van inductief redeneren (gedeeltelijk impliceren) als uitbreiding van een theorie van deductief redeneren (met zekerheid impliceren). Kansen staan voor de mate van waarschijnlijkheid die een rationeel (Platonisch?) mens aan gebeurtenissen toekent. Kansen zijn voorwaardelijk. Het Principe van Onverschilligheid wordt aangenomen. 9 / 17
De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: 10 / 17
De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Boek paradox: er is een boek in een bibliotheek waarvan we niets weten. Een boek heeft een blauwe kaft of geen blauwe kaft. Dus de kans dat de kaft blauw is, is 1 2. Het boek heeft een blauwe kaft of een rode kaft of geen van beide. Dus de kans dat de kaft blauw is, is 1 3. 10 / 17
De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Boek paradox: er is een boek in een bibliotheek waarvan we niets weten. Een boek heeft een blauwe kaft of geen blauwe kaft. Dus de kans dat de kaft blauw is, is 1 2. Het boek heeft een blauwe kaft of een rode kaft of geen van beide. Dus de kans dat de kaft blauw is, is 1 3. Mogelijke oplossing: het principe kan alleen worden toegepast op ondeelbare gebeurtenissen die even waarschijnlijk geacht worden. 10 / 17
De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: 11 / 17
De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. 11 / 17
De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. 11 / 17
De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Dus P(wijn/water 2) = 2 1 3 3 1 3 = 5 8. 11 / 17
De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Dus P(wijn/water 2) = 2 1 3 = 5 3 1 8. 3 Uit het principe volgt dat de verhouding water/wijn ook uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. 11 / 17
De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Dus P(wijn/water 2) = 2 1 3 = 5 3 1 8. 3 Uit het principe volgt dat de verhouding water/wijn ook uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Daarom P(water/wijn 1 2 ) = 3 1 2 3 1 3 = 15 16. 11 / 17
De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Dus P(wijn/water 2) = 2 1 3 = 5 3 1 8. 3 Uit het principe volgt dat de verhouding water/wijn ook uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Daarom P(water/wijn 1 2 ) = 3 1 2 3 1 3 = 15 16. Maar P(wijn/water 2) = P(water/wijn 1 2 ). 11 / 17
De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Dus P(wijn/water 2) = 2 1 3 = 5 3 1 8. 3 Uit het principe volgt dat de verhouding water/wijn ook uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Daarom P(water/wijn 1 2 ) = 3 1 2 = 15 3 1 16. 3 Maar P(wijn/water 2) = P(water/wijn 1 2 ). Dus 5 8 = 15 16. 11 / 17
De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Dus P(wijn/water 2) = 2 1 3 = 5 3 1 8. 3 Uit het principe volgt dat de verhouding water/wijn ook uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Daarom P(water/wijn 1 2 ) = 3 1 2 3 1 3 = 15 16. Maar P(wijn/water 2) = P(water/wijn 1 2 ). Dus 5 8 = 15 16. Tegenspraak. 11 / 17
De subjectieve theorie Bruno de Finetti en Frank Ramsey (rond 1925). 12 / 17
De subjectieve theorie Bruno de Finetti en Frank Ramsey (rond 1925). Kansen staan voor de mate van waarschijnlijkheid (geloof) die een mens aan gebeurtenissen toekent. 12 / 17
De subjectieve theorie Bruno de Finetti en Frank Ramsey (rond 1925). Kansen staan voor de mate van waarschijnlijkheid (geloof) die een mens aan gebeurtenissen toekent. Het Principe van Onverschilligheid wordt niet aangenomen. 12 / 17
De subjectieve theorie Bruno de Finetti en Frank Ramsey (rond 1925). Kansen staan voor de mate van waarschijnlijkheid (geloof) die een mens aan gebeurtenissen toekent. Het Principe van Onverschilligheid wordt niet aangenomen. Bezitten kansen dan nog universele eigenschappen? 12 / 17
De subjectieve theorie De weddenschapsinterpretatie: 13 / 17
De subjectieve theorie De weddenschapsinterpretatie: Def. A en B wedden om gebeurtenis E: A kiest een weddenschapsquotïent p(e) en dan kiest B een inzet S. A betaalt p(e)s aan B. Als E plaatsvindt betaalt B S aan A. p(e) wordt geïnterpreteerd als A s geloof in E. Als B de inzet zo kan kiezen dat B altijd wint, dan maakt B een Dutch book tegen A. 13 / 17
De subjectieve theorie De weddenschapsinterpretatie: Def. A en B wedden om gebeurtenis E: A kiest een weddenschapsquotïent p(e) en dan kiest B een inzet S. A betaalt p(e)s aan B. Als E plaatsvindt betaalt B S aan A. p(e) wordt geïnterpreteerd als A s geloof in E. Als B de inzet zo kan kiezen dat B altijd wint, dan maakt B een Dutch book tegen A. Def. Als A wedt om gebeurtenissen E 1,..., E n dan zijn de weddenschapsquotïenten p 1 (E 1 ),..., p n (E n ) coherent als B geen Dutch book tegen A kan maken. 13 / 17
De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. 14 / 17
De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: 14 / 17
De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. 14 / 17
De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. 14 / 17
De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. Als A p(e) < 0 kiest, dan wint B altijd door S < 0 te kiezen. Om coherent te zijn moet A dus 0 p(e) 1 kiezen. 14 / 17
De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. Als A p(e) < 0 kiest, dan wint B altijd door S < 0 te kiezen. Om coherent te zijn moet A dus 0 p(e) 1 kiezen. Axioma: Als E 1,..., E n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan P(E 1 E n ) = 1. 14 / 17
De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. Als A p(e) < 0 kiest, dan wint B altijd door S < 0 te kiezen. Om coherent te zijn moet A dus 0 p(e) 1 kiezen. Axioma: Als E 1,..., E n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan P(E 1 E n ) = 1. Stel dat p(e 1 ),..., p(e n ) de weddenschapsquotïenten van A zijn en S 1,..., S n de inzetten van B. Als E i plaatsvindt wint B p(e 1 )S 1 + + p(e n )S n S i. 14 / 17
De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. Als A p(e) < 0 kiest, dan wint B altijd door S < 0 te kiezen. Om coherent te zijn moet A dus 0 p(e) 1 kiezen. Axioma: Als E 1,..., E n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan P(E 1 E n ) = 1. Stel dat p(e 1 ),..., p(e n ) de weddenschapsquotïenten van A zijn en S 1,..., S n de inzetten van B. Als E i plaatsvindt wint B p(e 1 )S 1 + + p(e n )S n S i. Dus als B S 1 = = S n = S kiest dan wint B S(p(E 1 ) + + p(e n ) 1). 14 / 17
De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. Als A p(e) < 0 kiest, dan wint B altijd door S < 0 te kiezen. Om coherent te zijn moet A dus 0 p(e) 1 kiezen. Axioma: Als E 1,..., E n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan P(E 1 E n ) = 1. Stel dat p(e 1 ),..., p(e n ) de weddenschapsquotïenten van A zijn en S 1,..., S n de inzetten van B. Als E i plaatsvindt wint B p(e 1 )S 1 + + p(e n )S n S i. Dus als B S 1 = = S n = S kiest dan wint B S(p(E 1 ) + + p(e n ) 1). Als A p(e 1 ) + + p(e n ) > 1 zou hebben gekozen, dan wint B door S > 0 te kiezen. 14 / 17
De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. Als A p(e) < 0 kiest, dan wint B altijd door S < 0 te kiezen. Om coherent te zijn moet A dus 0 p(e) 1 kiezen. Axioma: Als E 1,..., E n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan P(E 1 E n ) = 1. Stel dat p(e 1 ),..., p(e n ) de weddenschapsquotïenten van A zijn en S 1,..., S n de inzetten van B. Als E i plaatsvindt wint B p(e 1 )S 1 + + p(e n )S n S i. Dus als B S 1 = = S n = S kiest dan wint B S(p(E 1 ) + + p(e n ) 1). Als A p(e 1 ) + + p(e n ) > 1 zou hebben gekozen, dan wint B door S > 0 te kiezen. Als A p(e 1 ) + + p(e n ) < 1 zou hebben gekozen, dan wint B door S < 0 te kiezen. 14 / 17
De subjectieve theorie Het probleem met de a-priori kansen wanneer waarschijnlijkheden op Bayesiaanse wijze worden aangepast: 15 / 17
De subjectieve theorie Het probleem met de a-priori kansen wanneer waarschijnlijkheden op Bayesiaanse wijze worden aangepast: convergeren de waarschijnlijkheden die mensen toekennen bij het toenemen van informatie naar eenzelfde waarde? 15 / 17
De subjectieve theorie Het probleem met de a-priori kansen wanneer waarschijnlijkheden op Bayesiaanse wijze worden aangepast: convergeren de waarschijnlijkheden die mensen toekennen bij het toenemen van informatie naar eenzelfde waarde? Bij onafhankelijke gebeurtenissen blijven de a-posteriori waarschijnlijkheden gelijk aan de a-priori waarschijnlijkheden, zoals in dit voorbeeld: 15 / 17
De subjectieve theorie Het probleem met de a-priori kansen wanneer waarschijnlijkheden op Bayesiaanse wijze worden aangepast: convergeren de waarschijnlijkheden die mensen toekennen bij het toenemen van informatie naar eenzelfde waarde? Bij onafhankelijke gebeurtenissen blijven de a-posteriori waarschijnlijkheden gelijk aan de a-priori waarschijnlijkheden, zoals in dit voorbeeld: Vb. Een munt wordt herhaaldelijk geworpen. De kans op de n-de worp is onafhankelijk van de voorgaande worpen. K n is de gebeurtenis: de n-de worp is K. E staat voor een willekeurige uitkomst na n worpen. P(K n+1 E) = P(K n+1 E) P(E) = P(K n+1 ). 15 / 17
De frequentie theorie von Mises: Probability, Statistics, and Truth (1928). 16 / 17
De frequentie theorie von Mises: Probability, Statistics, and Truth (1928). Kansen zijn meetbare grootheden (zoals kracht in de mechanica). 16 / 17
De frequentie theorie von Mises: Probability, Statistics, and Truth (1928). Kansen zijn meetbare grootheden (zoals kracht in de mechanica). A collective denotes a sequence of uniform events or processes which differ by certain observable attributes, say colours, numbers, or anything else. 16 / 17
De frequentie theorie von Mises: Probability, Statistics, and Truth (1928). Kansen zijn meetbare grootheden (zoals kracht in de mechanica). A collective denotes a sequence of uniform events or processes which differ by certain observable attributes, say colours, numbers, or anything else. Convergentie Axioma: Voor elk willekeurig attribuut A van een collectief C convergeert de relatieve frequentie van A in C. Dit getal is de kans van A gegeven C. 16 / 17
De frequentie theorie von Mises: Probability, Statistics, and Truth (1928). Kansen zijn meetbare grootheden (zoals kracht in de mechanica). A collective denotes a sequence of uniform events or processes which differ by certain observable attributes, say colours, numbers, or anything else. Convergentie Axioma: Voor elk willekeurig attribuut A van een collectief C convergeert de relatieve frequentie van A in C. Dit getal is de kans van A gegeven C. Net als in de logische theorie zijn alle kansen voorwaardelijk. 16 / 17
De frequentie theorie von Mises: Probability, Statistics, and Truth (1928). Kansen zijn meetbare grootheden (zoals kracht in de mechanica). A collective denotes a sequence of uniform events or processes which differ by certain observable attributes, say colours, numbers, or anything else. Convergentie Axioma: Voor elk willekeurig attribuut A van een collectief C convergeert de relatieve frequentie van A in C. Dit getal is de kans van A gegeven C. Net als in de logische theorie zijn alle kansen voorwaardelijk. St. In de frequentie theorie gelden de Kolmogorov Axioma s. 16 / 17
Finis Kansrekening 17 / 17