86 Verdieping Regelmatige figuren 1a e figuur heeft 12 hoekpunten. lke hoek is 150. Ja, ze zijn allemaal 150. d e zijden zijn 2,5 m. e Ja, ze zijn allemaal even lang. 2a en regelmatige driehoek is een gelijkzijdige driehoek. lke hoek in een regelmatige driehoek is 60. en regelmatige driehoek heeft drie symmetrieassen. d e symmetrieassen zijn even lang voor wat etreft het gedeelte dat innen de driehoek ligt. e e regelmatige driehoek is draaisymmetrish over 120 en 240. f en regelmatige vierhoek is een vierkant. lke hoek in een regelmatige vierhoek is 90. en regelmatige vierhoek heeft vier symmetrieassen. e vier symmetrieassen zijn niet alle vier even lang. e regelmatige vierhoek is draaisymmetrish over 90, 180 en 270. 3a Figuur 1 is een regelmatige vijfhoek, figuur 2 is een regelmatige zeshoek. e hoeken van figuur 1 zijn 108, de hoeken van figuur 2 zijn 120. 1 2 d Figuur 1 heeft vijf symmetrieassen, figuur 2 heeft zes symmetrieassen. e In figuur 1 zijn de symmetrieassen alle vijf even lang, in figuur 2 zijn de drie symmetrieassen door de hoekpunten even lang en zijn de drie door de middens van de zijden even lang. f Figuur 1 is draaisymmetrish over 360 : 5 = 72, over 144, over 216 en over 288. Figuur 2 is draaisymmetrish over 360 : 6 = 60, over 120, over 180, over 240 en over 300. g Het aantal symmetrieassen is gelijk aan het aantal hoekpunten. h Voor de kleinste hoek waarover je kunt draaien deel je 360 door het aantal hoekpunten. Voor de overige hoeken waarover je kunt draaien neem je veelvouden van deze kleinste draaihoek. i 360 : 3 = 120 en 360 : 4 = 90. Ook het aantal symmetrieassen klopt. F
4a 5a Vanuit elk hoekpunt vertrekken er 12 3 = 9 diagonalen. Vanuit 12 hoekpunten kun je dus 12 9 = 108 diagonalen tekenen. lke diagonaal he je dan wel twee keer getekend. e figuur heeft dus 108 : 2 = 54 diagonalen. Nee, niet elke diagonaal gaat door het midden van de figuur. e diagonalen die door het midden gaan zijn symmetrieassen, de andere diagonalen niet. M Ja, vanuit elk hoekpunt gaan er twee diagonalen. r zijn vijf hoekpunten waar vanuit er telkens twee diagonalen vertrekken. lke diagonaal tel je dan wel duel mee, namelijk ij het hoekpunt waar de diagonaal egint en waar hij eindigt. Het aantal diagonalen ereken je als volgt: 5 2 : 2 = 5. 6a Figuur 1 is een regelmatige negenhoek. Vanuit elk hoekpunt zijn er zes diagonalen te tekenen. Het aantal diagonalen is 9 6 : 2 = 27. Figuur 2 is een regelmatige tienhoek. Vanuit elk hoekpunt zijn er zeven diagonalen te tekenen. Het aantal diagonalen is 10 7 : 2 = 35. Figuur 3 is een regelmatige 21-hoek. Vanuit elk hoekpunt zijn er dan 18 diagonalen te tekenen, namelijk niet naar het punt zelf en ook niet naar de twee punten die diret naast het punt zelf liggen. Het aantal diagonalen is 21 18 : 2 = 189. 7a 8a Figuur 1 heeft zeven hoekpunten. Figuur 2 heeft aht hoekpunten. In figuur 2 gaan er diagonalen door het middelpunt. Omdat in figuur 2 sommige diagonalen door het middelpunt gaan, zijn deze diagonalen in figuur 2 ook symmetrieassen. ls het aantal hoekpunten van een regelmatige figuur even is dan gaat er vanuit elk hoekpunt één diagonaal door het middelpunt van de figuur. ls het aantal hoekpunten even is dan zijn sommige diagonalen ook symmetrieassen. 9a aantal hoekpunten 3 4 5 6 7 8 som van de hoeken 180 360 540 720 900 1080 eel de som van de hoeken door het aantal hoekpunten. aantal hoekpunten 3 4 5 6 7 8 aantal graden per hoek 60 90 108 120 128 Ru 135 e formule is h = s : n ofwel h = (n 180 360) : n, hierij is h de grootte van één hoek van een regelmatige figuur. 87
10a 88 e grootte van elke hoek van een regelmatige 18-hoek is (18 180 360) : 18 = 2880 : 18 = 160. ls Johan ook maar iets afwijkt van hoeken van 160, komt hij niet rond met zijn figuur. e figuur is draaisymmetrish over 360 : 18 = 20. Ze tekent dan eerst de symmetrieassen, door negen lijnen met telkens een hoek van 20 ij het middelpunt te tekenen. Zie de tekening in het oek. Projet e gulden snede 1a e rehthoek is 18 mm ij 29 mm. lengte kortste zijde : lengte langste zijde = 1 : 1,6. e rehthoek is 13 mm ij 8 mm. lengte kortste zijde : lengte langste zijde = 1 : 1,6. d e middelste oog is 39 mm hoog. e hele triomfoog is 63 mm. lengte kortste hoogte : lengte langste hoogte = 1 : 1,6. 2a e rehthoek is 29 ij 47 mm. reedte : lengte = 1 : 1,6. Het is weer dezelfde verhouding. d Neem ijvooreeld de rehthoek die getekend is en deel die in drieën zo dat je een lok het van twee ramen naast elkaar. eze rehthoek is 29 mm ij 18 mm en dat is ook een verhouding van 1 : 1,6. 3a e verhouding klopt. Neem ijvooreeld = 2 m, en = 1,618 2 = 3,2 m. Teken vervolgens een rehthoek van 2 m ij 3,2 m. 4a P = 2,8 m en = 4,5 m. e lengtes 2,8 en 4,5 verhouden zih als 1 : 1,6. Q en ; R en ; Q en ; R en enzovoorts. 5a// - d Meet de lengtes van en en ontroleer of de verhouding gelijk is aan 1 : 1,618 (ongeveer). = 9,7 m en = 6 m. e verhouding 6 : 9,7 is ongeveer 1 : 1,62, dus het klopt. 6a - e lengtes 10 en 16,2 verhouden zih als 1 : 1,62 en dus is het een gouden rehthoek. - d e rehthoek die je overhoudt is 6,2 m ij 10 m. e verhouding tussen de lengtes 6,2 m en 10 m is gelijk aan 1 : 1,61. e overgeleven rehthoek is dus een gouden rehthoek. e e overgeleven rehthoek is 3,8 m ij 6,2 m. e verhouding tussen de lengtes 3,8 m en 6,2 m is ongeveer 1 : 1,63. e overgeleven rehthoek is dus weer een gouden rehthoek. (e lihte afwijkingen van het getal 1,618 komen door de afgeronde afmetingen). f ls je van een gouden rehthoek een zo groot mogelijk vierkant afknipt, is de overgeleven rehthoek weer een gouden rehthoek.
7a// - d e figuur hieronder is een kwart slag gedraaid: 5 m 5 m 3 m 3 m 8 m 8 m 8a e volgende vier rehthoeken zijn 13 m ij 21 m, 21 m ij 34 m, 34 m ij 55 m en 55 m ij 89 m. e verhoudingen zijn ahtereenvolgens: 1 : 2, 1 : 1,5, 1 : 1,67, 1 : 1,6, 1 : 1,63, 1 : 1,62, 1 : 1,62, 1 : 1,618 en 1 : 1 : 1,618. e verhoudingen komen steeds dihter op de verhouding 1 : 1,618 uit. 9a 1a d e Kies voor het kleinste veld de reedte 55 meter. Voor de vorm van een gouden rehthoek is de lengte dan 1,618 55 = 89 meter. e lengte moet ehter minimaal 90 meter zijn. e ijehorende reedte is dan 90 : 1,618 = 55,62 meter. Het kleinste veld dat de vorm heeft van een gouden rehthoek is 55,62 m ij 90 m. Voor een veld met de vorm van een gouden rehthoek hoort ij een lengte van 110 m een reedte van 110 m : 1,618 = 67,99 m. e grootste reedte is ehter 65 m. e ijehorende lengte is 65 1,618 = 105,17 m. Het grootste veld met de vorm van een ouden rehthoek is 65 ij 105,17 m. IT Projet Vlakvulling r zijn twee vershillende driehoeken geruikt: één waarin de (halve) vissen linksom zwemmen, één waarin ze rehtsom zwemmen. ls je alleen naar de vorm van de figuurtjes kijkt en niet naar de kleuren, is de totale tekening draaisymmetrish over 120 en 240 om het middelpunt van elke driehoek, maar ook om elk punt waar 6 driehoeken ij elkaar komen. Voor spiegelsymmetrie geldt ook dat je de kleuren uiten eshouwing moet laten. In dat geval is elke vertiale lijn die een vis in de lengte middendoor deelt, een symmetrieas van de hele tekening. e twee driehoeken vormen samen een ruit, want alle zijden zijn even lang. eze tekening estaat alleen maar uit deze vierhoeken. l deze vierhoeken zijn hetzelfde. 89
90 2a - - Je krijgt zo een ruit. 3a - - - d - e - 4a e onderste driehoek is uit de ovenste ontstaan door deze vertiaal te spiegelen. Je krijgt niet dezelfde vlakvulling. 5a - Zonder te draaien of te spiegelen kun je met de eerste figuur (het parallellogram), met het derde figuur (de rehthoek) en met de laatste figuur (de ruit) een vlakvulling maken. Van de vierhoek moeten de overstaande zijden twee aan twee evenwijdig en even lang zijn. e vierhoek moet dus een parallellogram zijn. 6a ls je vierhoek 1 niet mag spiegelen of draaien kun je met deze vierhoek geen vlakvulling maken. oor vierhoek 1 180 te draaien krijg je vierhoek 2. oor vierhoek 1 vertiaal te spiegelen krijg je vierhoek 4. oor vierhoek 1 alleen maar wat te vershuiven krijg je vierhoek 3. Ja dat kan. e vier hoeken die in het middelpunt ij elkaar komen zijn preies de vier hoeken van vierhoek 1. Ze zijn dus samen 360 en vullen de ruimte rond het middelpunt preies op. d - e Ja dat kan. f Ja, de vierhoek 1 die getekend was, is een willekeurige vierhoek. Wat je gedaan het met deze vierhoek kan met elke vierhoek. g - 7 e uitsparing aan de ovenkant van de vogel is preies gelijk aan de vleugel aan de onderkant. Zo ook de voor en ahterkant. 8a - - - 9 -