10 log 10 80 24sin 20 Naam: 1
Inhoud Voorbereiding op het examen 3 Onderwerpen in grote lijnen 4-9 LOC-methode 9 Tips voor het examen 10 Vergelijkingen van parabolen 11 Planning opgaven examenbundel 12-15 Differentiëren in de eindexamens 1999 t/m 2015 16 Vergelijkingen in de eindexamens 2009 t/m 2015 17-18 Algebra in de eindexamens 2009 t/m 2015 19-20 Examen (pilot) 2016-I 21-29 Uitwerkbijlage examen 2016-I 30-31 2
Hoe kun je je voorbereiden op het examen Een hele goede samenvatting is de examenvoorbereiding in het boek (blz. 173). Hier vind je ook een aantal opgaven, oplopend van makkelijk tot moeilijk. Maak vooral examenopgaven: In dit boekje staat een planning van het tweede deel van de examenbundel (blz. 117 e.v.). Zie blz. 12 van dit boekje. Tot en met blz. 116 zijn het opgaven op onderwerp. Het pilotexamen 2016-I is opgenomen in dit boekje. Tevens de uitwerkingen hiervan. Heb je je opgegeven voor het proefexamen wiskunde A, dan maak je die dag het pilotexamen 2016-II. Wil je dat thuis maken, je vindt het examen en de uitwerkingen met norm op www.examenblad.nl Kies linksboven voor 2016 en vervolgens HAVO-exacte vakken-wiskunde B havo (pilot-examen) Bekijk zo nu en dan een filmpje op www.wiskunjeleren.nl In dit boekje staan opgaven over algebra, differentiëren en oplossen van vergelijkingen Eventueel begin je met de Quickscan op www.examenbundel.nl Maak aantekeningen van onderdelen die niet goed gaan en maak hierover nog andere opgaven. 3
Overzicht van de stof in grote lijnen 1. Veranderingen Toenamediagrammen Differentiequotiënten, ook de notatie 2. Kwadratische functies Kunnen werken met de drie verschillende notaties:! +#$+$!%&!' +( 3. Functies en grafieken Van de standaardfuncties ) * machtsfunctie ()=# + exponentiële functie, ()= log () logaritmische functie ()=sin()-. +()=cos () goniometrische functie De volgende eigenschappen noemen: domein en bereik stijgen en dalen asymptoten Bij machtsfunties, exponentiële functies en logaritmische functies schrijven als functie van 0. Kunnen werken met de transformaties Translatie horizontaal Translatie verticaal Vermenigvuldiging t.o.v. de x-as Vermenigvuldiging t.o.v. de y-as Hiermee het volgende uitvoeren: Een combinatie hiervan uitvoeren op grafieken Bij een functie bepalen hoe deze is ontstaan uit een grafiek Het functievoorschrift bepalen als een combinatie van transformaties wordt uitgevoerd op een standaardfunctie. 4. Exponentiële groei Algemene formule Verband tussen groeifactoren en groeipercentages Bereken van groeifactoren over grotere of kleinere tijdseenheden Kunnen werken met verdubbelingstijd en halveringstijd 4
5. Evenredigheidsverbanden Kunnen bepalen of er sprake is van een recht evenredig of omgekeerd evenredig verband: Recht evenredig verband: 0=! Omgekeerd evenredig verband: 0= 1 In een machtsverband 0=$ 2 tussen twee grootheden en 0 de exponent. en de evenredigheidsconstante $ bepalen. 6. Oplossen van vergelijkingen Oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen bijvoorbeeld: 3 2+50=21 30=10 Oplossen van lineaire vergelijkingen bijvoorbeeld: 2 6=5+13 Oplossen van kwadratische vergelijkingen met ontbinden in factoren of de abc-formule Vergelijkingen van de vorm $ (!+#)+7=- met een standaardfunctie Voorbeelden: 3 8 +21=100 3 7 +21=100 : log(2 8)=3 5sin;2 <=+7=9,5 2+1+5= 6 1 (wortelvergelijkingen) (gebroken vergelijking) = Algemene bouwschema s gebruiken: 7. Oplossen van ongelijkheden 8. Gebruik van het grafisch rekenapparaat Berekenen van snijpunten Berekenen van de helling Berekenen van coördinaten van toppen Helling in een punt berekenen 5
9. Afgeleide functies Weten dat je met de afgeleide de helling (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn berekent De afgeleide functie kunnen bepalen van functies (differentiëren) De helling kunnen bepalen met de GR. De verschillende notaties voor de afgeleide herkennen en gebruiken: (), @ @, @ @ () De afgeleide functie gebruiken bij: Bestuderen van stijgen en dalen van de grafiek Bepalen van extreme waarden Bepalen van de coördinaten van de toppen Bepalen van de vergelijking van een raaklijn 10. Periodieke functies Graden omrekenen naar radialen en omgekeerd Oplossen van goniometrische vergelijkingen zoals 5sin;2 <=+7=9,5 Bij een sinusoïde het functievoorschrift opstellen De begrippen amplitude, evenwichtsstand en periode gebruiken 11. Algebra In verschillende situaties, zoals het oplossen van vergelijkingen of het herleiden van formules verschillende rekenregels toepassen: A Bewerkingen met breuken 6
B Wortelvormen C Bijzondere producten D Machten en logaritmen 7
E Herleiden van formules Door links en rechts hetzelfde te doen (wat je bij het oplossen van vergelijkingen doet) Substitutie = vervangen door Door bovenstaande rekenregels te gebruiken F Oplossen van vergelijkingen Door bovenstaande rekenregels te gebruiken. Door de volgende bouwschema s te gebruiken: 12. Meetkunde Algebraïsche methoden De twee vergelijkingen voor een rechte lijn: 0=!+# -. %+&0=' Als twee lijnen loodrecht op elkaar staan, dan is het product van de richtingscoëfficiënten gelijk aan -1 De twee vormen voor een cirkel: (!) +(0 #) =' +0 +%+&0+'=0 Weten dat de straal van en cirkel loodrecht staat op de raaklijn De vergelijking van een lijn door twee punten opstellen De vergelijking van een cirkel opstellen De hoek tussen twee lijnen berekenen Vergelijking van een loodlijn dor een gegeven punt op een lijn opstellen vergelijking van een raaklijn in een punt op de cirkel opstellen Snijpunten twee lijnen berekenen De lengte van een lijnstuk berekenen Snijpunten van een cirkel met een lijn berekenen Afstanden tussen punten, lijnen en cirkels berekenen Onderzoeken hoeveel punten een cirkel en een lijn gemeen hebben 8
Afstanden en hoeken Hoeken en afstanden berekenen door gebruik te maken van: sinus, cosinus en tangens in rechthoekige driehoeken stelling van Pythagoras sinus-regel cosinusregel gelijkvormige driehoeken 13. Stof van de onderbouw Hierbij moet je denken aan onderwerpen zoals: Werken met de discriminant bij een kwadratische vergelijking Stelling van Pythagoras Goniometrische verhoudingen in een rechthoekige driehoek De LOC-methode LEZEN: Lees de tekst goed door Vertel aan jezelf waar de tekst over gaat, zonder (wiskundige)details te noemen. Een kind van 8 moet het kunnen begrijpen. Lees de tekst opnieuw en onderstreep nu de belangrijke zaken, eventueel schrijf je de belangrijke dingen op: formules, getallen, korte zinnetjes, etc. OPLOSSEN VAN HET PROBLEEM: Bepaal welke wiskundige instrumenten je nodig hebt om het probleem op te lossen: lineaire groei, exponentiele groei, differentiëren, GSolve, meetkunde, etc. Let op onderzoek -vragen of toon aan -vragen. Vaak heb je datgene wat je moet aantonen nodig bij een volgend onderdeel. Los het probleem op. Probeer eventueel eerst op kladpapier het één en ander. CONTROLE: Heb je duidelijk uitleg en berekeningen opgeschreven? Heb je eenheden bij uitkomsten en bij de assen van grafieken neergezet? Heb je goed afgerond? Niet tussentijds en voldoende decimalen. Heb je antwoord gegeven op de vraag? Wordt het exacte antwoord verwacht of moet je afronden? Heb je de instructies van het rekenapparaat opgeschreven? Is je antwoord realistisch? Geen fietser die 500 km/uur fietst. 9
Tips voor het examen 1. Zorg dat je goed afrondt, voldoende decimalen. Als je exact moet berekenen, mag je juist niet afronden. 2. Sinds twee jaar wordt voor elke notatiefout een punt afgetrokken. Bijvoorbeeld voor breien: 3+5 = 8+2 = 10:4 = 2,5 is dus fout ()= +5 7=2+5 is dus ook fout (functie en afgeleide achter elkaar geschreven) 3. Zorg dat je lay-out in orde is. Witte regels, onder elkaar, etc. 4. Kijk heel goed af er staat bereken, bereken algebraïsch of bereken exact. 5. Begin gewoon aan een opgave, ook al zie je niet gelijk de oplossing. Je krijgt al heel snel punten voor bepaalde stappen 6. Vergeet niet een potlood, geo en passer mee te nemen. LENEN is niet toegestaan!!! (en natuurlijk je rekenapparaat). 7. Bij GSolve e.d. altijd duidelijk de instructie opschrijven. Doodzonde als je hiermee punten verspeelt!! 8. Als je iets moet aantonen, heb je dit vaak nodig bij een volgens onderdeel. 9. Aantonen moet gedetailleerd. 10. Gebruik de LOC-methode(zie hierboven). 11. In principe staat je rekenapparaat op radialen ingesteld. Houd daar rekening mee als het antwoord in graden wordt gevraagd. 12. Vergeet niet de eenheden bij het antwoord op te schrijven. Hieronder de officiële definities van algebraïsch en exact: 10
Vergelijkingen van parabolen (kwadratische functies) 1. Nulpunten en een punt gegeven Theorie Als =% -. =& nulpunten zijn van een parabool, dan is de vergelijking van de parabool te schrijven als: Voorbeeld 0=!( %)( &) De snijpunten met de -as en een parabool zijn: (-6, 0) en (11, 0) Tevens ligt punt A(2, 7) op de parabool. Geef een vergelijking van de parabool. Oplossing Er geldt: 0=!(+6)( 11) Invullen van =2 -. 0=7 geeft: 7=! 8 4 a= 8 Dus: 0= 8 (+6)( 11) Opgave 1 Geef een functievoorschrift van de volgende parabolen: a) Nulpunten =5 -. = 7 A(4, -12) ligt op de parabool b) Nulpunten = 2 -. =0 B(-5, 3) ligt op de parabool 2. Coördinaten top en een punt gegeven Theorie Als T(r, s) de top is van een parabool, dan is de vergelijking van de parabool te schrijven als: Opgave 2 0=!( ') +( Geef een functievoorschrift van de volgende parabolen: a) Top(3, -12) A(2,-11) ligt op de parabool b) Top(-7, 2) B(0,5) ligt op de parabool 11
Planning Examenbundel Opg. Blz. Onderdelen Af OPGAVE ONDERWERPEN 1 24 16-17 Lijn en parabool Lengte lijnstuk Vergelijking raaklijn 2 23 14 Punt op hyperbool Algebra 3 25 20-22 Twee lijnen en driehoek Snijpunt twee lijnen Hoek tussen twee lijnen 4 40 1-3 Hersengewicht Aflezen logaritmische schaal Algebra 5 42 7-9 Medicijnen voorschrijven Exponentiële groei Groeifactoren 6 123 12-13 Grafiek van een logaritme Logaritmische vergelijking Vergelijking rechte lijn Helling berekenen 7 125 17 Cirkel en lijn Afstand punt lijn Straal cirkel 8 131 1-13 Windenergie Groeifactoren Oplossen vergelijking 9 132 4-5 Op het voetbalveld Pythagoras Cosinusregel 10 134 8-9 Raaklijnen aan twee parabolen Toppen Afstand twee punten Raaklijnen Loodrechte lijnen 11 137 14-15 Raaklijn aan cirkel Berekenen straal Bepalen raaklijn aan cirkel met de discriminant 12 138 16-17 Wortel met raaklijn Differentiëren Raaklijn Midden twee punten 13 59 7-8 Sinusoïde Goniometrische vergelijking Lijn door twee punten 14 60 9 Fietssnelheid Formule sinusoïde 15 146 5-7 Gebroken functie Berekenen snijpunten Differentiëren 16 71 3-4 Productfunctie Minimum, differentiëren familie 12
Opg. Blz. Onderdelen Af OPGAVE ONDERWERPEN 17 71 5 Gebroken functie met raaklijn Vergelijking raaklijn 18 72 6-7 Van grafiek naar helling Behalen helling in grafiek Schetsen grafiek afgeleide 18 117 1-3 Tornadoschalen Formules Herleiden formule 19 119 6-7 Omvliegen Hoeken berekenen 20 147 8 Krik Hoeken berekenen 21 148 9-11 f boven g Goniometrische vergelijking Differentiëren GSolve: maximum 22 150 15-16 Bissectrices Hoek tussen twee lijnen Afstand punt lijn 23 75 15-16 Grafiek Raaklijn aan grafiek GSolve int 24 151 17-18 Twee functies Oplossen wortelvergelijking Differentiëren 25 151 19 De Eierland Cirkels en heel veel nadenken 26 159 3-5 Functies met een wortel Familie van functies Wortelvergelijking Differentiëren 27 160 6 Grachtenloop Hoeken en afstanden 28 163 14-16 Twee cirkels Afstand punt cirkel Cirkels en lijnen Hoek tussen twee lijnen 29 118 4-5 Wortel en parabool Hellingen Wortelvergelijking Afstand twee punten 30 120 8 Derdegraadsfunctie en gebroken functie Differentiëren 31 121 9-11 Olie Groeipercentage Exponentiële groei GSolve: intersect 32 123 14 Grafiek van een cosinus Opstellen formule sinusoïde 33 124 15-16 Een halve cirkel als grafiek Wortelvergelijking Randpunten wortelfunctie 13
Opg. Blz. Onderdelen Af OPGAVE ONDERWERPEN 34 133 6-7 Debiet Formules 35 135 10 Cosinus met lijnen Nadenken 36 136 11-13 Zuinig inpakken Opstellen formules Differentiëren 37 144 1-4 Kwelders GSolve: intersect Differentiëren Horizontale asymptoot 38 149 12-14 Functie met logaritme Asymptoten Logaritmische vergelijking Transformatie Algebra 39 158 1-2 Gevaar op zee Formules GSolve int 40 161 7-8 Lijnen door punten op een cirkel Loodrechte lijnen Raaklijn aan een cirkel 41 162 9-10 Zwabberende functie Goniometrische vergelijking Helling (differentiequotiënt) op een klein interval 42 162 11-13 Getint glas Groeifactoren Formules toepassen 43 165 17-18 Gebroken functie Gebroken vergelijking Drie punten op een lijn? Transformaties 44 171 1-3 Hangar Kwadratische vergelijking GSolve int 45 172 4-5 Functie met sinus GSolve int Formule sinusoïde 46 173 6-7 Punten, afstand, hoek en cirkel Afstand punt cirkel Helling lijnstuk 47 174 8-9 Grafiek met lijn Afstand punt lijn Raaklijn aan grafiek 48 175 10-12 Geluidsbox Logaritmen Uitkomst formule bij verdubbeling van x 49 176 13 Zijde AC Berekenen lengtes en hoeken 14
Opg. Blz. Onderdelen Af OPGAVE ONDERWERPEN 50 177 14-15 (G)een exponentiële functie GSolve int Minimum (differentiëren) 51 178 16 Parabool en cirkel Snijpunten cirkel en x-as Opstellen vergelijking parabool 52 184 1-3 Veilig vliegen Aflezen gebied GSolve int Herleiden wortelformule 53 186 4-5 Twee cirkels, één raaklijn Omgekeerde stelling van Pythagoras Snijpunt lijn en cirkel 54 187 6-9 Functies met een wortel Differentiëren Wortelvergelijking Hoek tussen twee lijnen Familie van functies 55 189 10-12 Vierkanten Exponentiële groei, formule stelsel vergelijkingen 56 190 13 Niet-werkende werkzoekenden Groeipercentages Toenamediagrammen 57 192 15-16 Een functie met sinus Bereken nulpunten goniometrische functie Lijn door twee punten 58 193 17-18 Cirkel en punt Onderzoeken of punt op de cirkel ligt Berekenen hoek 59 193 19-20 Van een rechte naar een scheve cilinder Berekenen hoeken 15
Differentiëren in de eindexamens 1999 t/m 2015 Differentieer de volgende functies: 1) ()=( 1) ( 2) 2) A BCB =0,75D+0,004D 3) ()= 2+12 4) ()=(+4) 5) +()=(%+4) 6) h(f)=0,0008f 0,32F+32 7)!()=1 (1 ) 8) G=200 (0,0545D 0,836) 9) H=1014 ( 0,0026h+1) :,I 10) ()= +27+44 11) ()= 2 4 12) &=250D 1,5625D 13) ()= 16 14) +()= ( 16) 15) J = K + LK MMM 16) N=3,31+21 (F 148) 17) =43,46 5,83 18) O = 0,125F +6,33F+729 19) P=(6 2!)(6!! ) 23) ()=4 9+3 24) ()= +1 25) ()=(+1)( 16) 26) =0,25Q+0,000075Q 27) ()= 4 12 28) H= I,M R +0,00050D 0,033 29) ()=( 11+28) 30) ()= +12 31) ()= +4 32) ()= 3+ 2+6 33) = I < (+3+3 + ) 34) =#(#+10)(50 #) 35) +()= I 36) ()= IM S 37) +()= 9 38) 0= 39) ()= 40) ()=( ) 20) N(h)=33<h+4<h <h 21) +()= M + 1,9 22) ()= 4 5 16
Vergelijkingen in de eindexamens 2009 t/m 2015 1) 22,0 T =100T 110 2) ; @ 4,95 4,50= 100=12 3) : =2 4) sin() cos; <==0 op domein U <,<V 22) 27 27+!=108 23) +18=2 24) 12,0+0,00100D =0 25) 25 1,025 B =285 26) 2 5= 4 12 5) 631 1,06 =3550 27) =2 6) 2cos() (1+2sin())=0 op domein 7) W0,1 <X +1= 8) = 9) 2 =4 4 10) 6= 2 11) = 12) 6=(5 1) 5! 13) 0,8 = 14) 300=15+ Y ZY [,I \ 1,0 8, M,M8Y:M,MMB 15) 3 +2 16=0 16) (+1)( 16)=0 17) +1600= 160+10000 18) < ' 10,0=200< 19) 2 0,16D+4,0=12,0 20) 0,25+0,000225Q =1 21)! 50+100 (1!) 50 =17 28) 2419200=0,00995 ' ] 29) 2 4sin (2)=0 op domein U0,<V 30) ( 11+28) =0 31) ; R I, =^ 2=3,5 32) +1= +1 33) +1=3 34) 500 1,034 B =750 35) MM :I M,[: _=1200 36) log(4+3)=0 37) +cos()= 1 op domein U0,14V 38) 50 = MM MMM M,: _ 39) 2(F 12) +64=40 40) 41) IM S =2 < ([M,M M,M h) h=1000 42) I =0 43) 1 =0 17
44) log ( ) =0 54) () = 45) = +2 55) 10 log (10 )=80 46) =0 56) 2 ] =16 47) = 48) 1,5 M,: 9=0 49) 6,0(h 16,0)=3,3h 50) sin ()= op domein U0,6<V 57) 60,2 log (10D)=30 58) ( ) = 59) 2 3 +1=1 60) (36 % 36) =36 51) 10 M, ` I =0,75 52) I +2=0 53) 0,0306 +56,6=0 61) a = IM a[m : 18
Algebra in de examens 2009 t/m 2015 1) Gegeven zijn de formules: NA=( @ 4,95 4,50) 100 7= b bc G=100 De formule van NA is te herleiden tot NA=! d+# Leid deze formule op algebraïsche wijze af en bereken! en #. 2) Gegeven : log(d)=0,075e+0,4 Deze formule kan met behulp van algebra worden omgewerkt tot d=# + f Bereken # en + in 1 decimaal nauwkeurig. 3) Gegeven: '= % +1 en % 20%+116 8'=0 Toon aan: % +20% 108=0 4) De formule P= 8MM g is met behulp van algebra om te werken tot de vorm log(p)=%+& log (T) Bereken op deze manier de waarden van % en &. 5) Gegeven de formule: log(g)=0,767 log(o) 2,097 Deze formule is te herleiden tot: G=! O h Bereken! en # in drie decimalen nauwkeurig. 6) Gegeven zijn de volgende vier formules: (1) D i =D i (2) i =< ' (3) i =< ' (4) D =ZD +19,62 j Uit deze 4 formules kan de volgende formule worden herleid: ' R = ] ' ZR ] [,I \ Voer deze herleiding uit. 7) Gegeven: log(d)= 5,5+3,1 log (T) 19
Werk deze formule om tot een formule van de vorm: d=! T h 8) Gegeven zijn de volgende formules: O` = k g [MM en O l = k],mn g o,pm [MM Verder geldt Q=T en N=O l O` Toon aan: N= g,mq MMM g^ [MM 9) Gegeven de twee formules: (1) J =; R I, =^ 2 (2) D=2,39 (F+4)^ De formule voor J is te herleiden tot een formule van de vorm J =! F+# Voer deze herleiding uit en bereken! en # in twee decimalen nauwkeurig. 10) Gegeven de formule h=33,3 D 1,2 Herleid deze formule zo, dat D uit gedrukt wordt in h. 20
Pilot examen 2016-I 21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31