Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 3 3.1 Krachten: wat zijn dat? Opgave 3 1 : Teken een pijl met een lengte van 3,6 cm (zie figuur 3.1). : Teken een pijl met een lengte van,4 cm (zie figuur 3.1). Deze pijl wijst een andere kant op dan 1 (vanwege het minteken). iguur 3.1 trek Opgave 4 a C u C [ C] trek b [ C] [ trek ] [ u] = = N of u = = cm m kg N s kg = = = = kgs m m s c Meet in figuur 3. de uitrekking u 10 op bij 10 N: u 10 = 3,06 cm. 1,0 cm op de foto komt overeen met,8 cm in werkelijkheid 3,06 cm op de foto komt overeen met 3,06,8 = 8,57 cm 10 = C u C = = 1, N/cm u 8,57 = N m iguur 3. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 1 van 30
Opgave 8 a 1 en 3. Rekenen met krachten hebben dezelfde richting. Zie figuur 3.3a. res = 30 + 40 = 70 N. 1 en Zie figuur 3.3b. hebben tegengestelde richting. res = 30 40 = 10 N, dat wil zeggen 10 N in de richting van. 1 en maken een hoek van 90 met elkaar. Zie figuur 3.3c. Berekenen met Pythagoras levert: = + res 1 = + = res 30 40 50 N iguur 3.3a iguur 3.3b iguur 3.4a iguur 3.4b b 1 en maken een hoek van 10 met elkaar. Zie figuur 3.3d. Maak een tekening op schaal. Neem 10 N overeenkomstig met 1,0 cm. Meet daarna de lengte van richting. Hoekgrootte 74. Opgave 9 a Zie figuur 3.4. In ABC: AB AC res op; meet vervolgens de hoek op voor de x cos 35 = = x = cos 35 = 5 cos 35 = 43 N UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 van 30
b Zie figuur 3.4. BC y In ABC: sin 35 = = y = sin 35 = 5 sin 35 = 30 N AC Of met de stelling van Pythagoras: = x + y y = x y = x = 5 43 = 30 N iguur 3.4 Opgave 10 a Zie figuur 3.5. De stelling van Pythagoras: = x + y y = x y = x = 3 7 = 17 N b Zie figuur 3.5. In PQR: PQ x 7 cosα = = = α = 3 PR 3 RQ y 17 of sinα = = = α = 3 PR 3 RQ y 17 of tanα = = = α = 3 PQ 7 x iguur 3.5 Opgave 11 a Zie figuur 3.6a. AB In ABC: AC b Zie figuur 3.6a. BC y In ABC: sin 50 = = y = sin 50 = 65 sin 50 = 50 N AC of met de stelling van Pythagoras: x cos50 = = x = cos50 = 65 cos50 = 4 N = x + y y = x y = x = 65 4 = 50 N c Zie figuur 3.6b. PQ x 5 In PQR: cosα = = = α = 67 PR 65 UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 3 van 30
d Zie figuur 3.6b. RQ y In PQR: sinα = = y = sinα = 65 sin 67 = 60 N PR RQ y of tanα = = y = x tanα = 5 tan 67 = 60 N PQ x of met de stelling van Pythagoras: = x + y y = x y = x = 65 5 = 60 N Opgave 1 a Zie figuur 3.7. b Zie figuur 3.7. iguur 3.6a iguur 3.6b iguur 3.7 UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 4 van 30
Opgave 13 a Zie figuur 3.8a. b Nu loopt 1 langs de X-as. Die kracht hoeft dus niet ontbonden te worden. c Zie figuur 3.8a. 1 = 7 N 1,x = 7 N; 1,y = 0 N In PQR: PQ,x cosα = =,x = cosα = 75 cos 73, 7 = 1 N PR α RQ,y sin = =,y = sin = 75 sin 73, 7 = 7 N PR of met de stelling van Pythagoras: α =,x +,y,y =,x,y =,x = 75 1 = 7 N In PST: PS 3,x cos β = = 3,x = 3 cos β = 5 cos, 6 = 48 N PT β TS 3 3,y sin = = 3,y = 3 sin = 5 sin, 6 = 0 N PT 3 of met de stelling van Pythagoras: β 3 = 3,x + 3,y 3,y = 3 3,x 3,y = 3 3,x = 5 48 = 0 N kracht x-component y-component 1 1,x = +7 N 1,y = 0 N,x = 1 N,y = +7 N 3 3,x = 48 N 3,y = 0 N res res,x = 4 N res,y = +5 N iguur 3.8a iguur 3.8b d Zie het antwoord bij c. e Zie figuur 3.8b. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 5 van 30
f Zie figuur 3.8b. De grootte van res met de stelling van Pythagoras: res = r,x + r,y res = r,x + r,y = 4 + 5 = 67 N De richting van res : In PAB: AB r,y 5 tanγ = = = γ = 51 γ = 51 (hoek met negatieve X-as) AP 4 r,x 3.3 Krachten in evenwicht Opgave 19 a Zie figuur 3.9a. Er is evenwicht alle krachten moeten elkaar opheffen. a heeft in figuur W3.3 in het werkboek een lengte van 3,5 cm 1,0 cm ˆ= 1, N (dat wil zeggen 1,0 cm in de tekening komt overeen met een kracht van 1, N). Teken in punt P een pijl tegengesteld gericht aan a met een lengte van 3,5 cm. Noem de punt van deze pijl Q. Teken nu vanuit Q een lijn evenwijdig aan lijn c en bepaal het snijpunt met lijn b. Noem dit punt R. Teken daarna vanuit Q een lijn evenwijdig aan lijn b en bepaal het snijpunt met lijn a. Noem dit punt S. iguur 3.9a iguur 3.9b b Eerste manier (opmeten; zie figuur 3.9a) Meet de afstand RP. Deze is ongeveer 1,3 cm b = 1,6 N. Meet de afstand PS. Deze is ongeveer,8 cm c = 3,4 N. Tweede manier (berekenen) Bepaling hoek α, β en γ. Zie figuur 3.9b. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 6 van 30
3 tanα = α = 6, 6 6 tan β = β = 18, 4 6 3 tanγ = γ = 45, 0 3 Alle krachten moeten elkaar opheffen (zie figuur 3.9c). x 0 = (alle componenten van de krachten langs de X-as moeten elkaar opheffen) = 0 = + a,x b,x c,x a,x b,x c,x y 0 = (alle componenten van de krachten langs de Y-as moeten elkaar opheffen) + = 0 + = a,y b,y c,y a,y b,y c,y iguur 3.9c Zie figuur 3.9c. a,x = a cosα = 4, cos 6,6 = 3,76 N = cos β = cos18, 4 = 0,95 b,x b b b = sinγ = sin 45,0 = 0,71 c,x c c c a,y = a sinα = 4, sin 6, 6 = 1,88 N = sin β = sin18, 4 = 0,3 b,y b b b = cosγ = cos 45,0 = 0,71 c,y c c c = + 3,76 = 0,95 + 0,71 a,x b,x c,x b c 0,95 = 3, 76 0, 71 = 3,96 0, 74 b c b c + = 1,88 + 0,3 = 0, 71 a,y b,y c,y b c 0,3 = 0, 71 1,88 =, 5,88 b c b c = 3, 96 0, 74 =, 5,88 b c c 0,74, = 3,96 5,88 b c,96 = 9,84 = 3,3 = 3,3 N c = 3,96 0,74 = 3,96 0,74 3,3 b = 1,50 = 1,5 N c c c UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 7 van 30
c Als koordje b losschiet, valt b weg; de totale kracht op P wordt dus kleiner; de uitrekking van de veer in de krachtmeter wordt minder de krachtmeter geeft minder dan 4, N aan. Opgave 0 a Eerste manier Zie figuur 3.10a. De schaalfactor: 10 N ˆ= 0 mm. De krachtmeter wijst 15 N aan in de tekening heeft de veerkracht lengte van 15 0 = 30 mm. 10 Teken de lengte van de veerkracht 30 mm lang (AP = 30 mm). Teken door P de werklijn l en teken door A de lijn m evenwijdig aan lijn a. Noem het snijpunt van lijn l met lijn m B. Teken in punt P naar beneden. De lengte van is gelijk aan de afstand BP (PD = BP). Teken door B de lijn n evenwijdig aan. veer Noem het snijpunt van lijn n met lijn a C. De lengte van Zie figuur 3.10a. span is gelijk aan de afstand PC. veer een iguur 3.10a iguur 3.10b UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 8 van 30
Tweede manier Zie figuur 3.10b. De schaalfactor: 10 N ˆ= 0 mm. De krachtmeter wijst 15 N aan in de tekening heeft de veerkracht lengte van 15 0 = 30 mm. 10 Teken de lengte van de veerkracht 30 mm lang (AP = 30 mm). Het geheel is in rust, dus moet de som van de krachten nul zijn. De resultante van en moet daarom even groot zijn als en is daaraan span veer tegengesteld gericht. Teken door P de werklijn b van. Maak PK even lang als AP (30 mm) en teken door K de lijn c evenwijdig aan lijn a. Noem het snijpunt van lijn b en c L. De lengte van LP. Teken door K een lijn evenwijdig aan lijn b. Noem het snijpunt van lijn a en d M. De lengte van span is gelijk aan de afstand PM. b Eerste manier Alle krachten moeten elkaar opheffen (zie figuur 3.10c). x 0 veer een is gelijk aan de afstand = (alle componenten van de krachten langs de X-as moeten elkaar opheffen) = 0 = span,x veer,x span,x veer,x y 0 = (alle componenten van de krachten langs de Y-as moeten elkaar opheffen) + = 0 span,y veer,y + = span,y veer,y In PRC: = cos53 = 0,60 span,x span span = sin 53 = 0,80 span,y span span In PQA: = cos37 = 15 cos37 = 1 N veer,x veer,y veer = sin 37 = 15 sin 37 = 9,0 N veer = 0,60 = 1 = 0 N span,x veer,x span span + = 0,80 + 9, 0 = 0,80 0 + 9, 0 = span,y veer,y span = 5 N UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 9 van 30
Tweede manier Zie figuur 3.10d. In CPG: PG veer veer 15 tan 37 = = span = = = PC tan 37 tan 37 sin 37 span PG 15 veer veer = = = = = GC sin 37 sin 37 of met de stelling van Pythagoras: GC = PG + PC 0 N 5 N = + = + = 0 + 15 = 5 N veer span veer span c Zie figuur 3.10a of figuur 3.10b. Meet de lengte van PD op PD = 50 mm 50 De schaalfactor: 10 N ˆ= 0 mm = 10 N = 5 N 0 Meet de lengte van PC op PC = 40 mm 40 De schaalfactor: 10 N ˆ= 0 mm span = 10 N = 0 N 0 iguur 3.10c iguur 3.10d d Alle krachten moeten elkaar opheffen (zie figuur 3.10e). x 0 = (alle componenten van de krachten langs de X-as moeten elkaar opheffen) = 0 = span,x veer,x span,x veer,x UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 10 van 30
y 0 = (alle componenten van de krachten langs de Y-as moeten elkaar opheffen) + = 0 span,y veer,y + = span,y veer,y In PRC: = cos50 = 0,64 span,x span span = sin 50 = 0,77 span,y span span In PQA: = cos 30 = 15 cos 30 = 13 N veer,x veer,y veer = sin 30 = 15 sin 30 = 7,5 N veer = 0,64 = 13 = 0 N span,x veer,x span span + = 0, 77 + 7,5 = span,y veer,y span 0,77 0 + 7,5 = = 3 N iguur 3.10e Opgave 1 a In beide figuren is de aartekracht gelijk (50 N) de diagonaal in beide parallellogrammen is even lang. Omdat α1 in figuur 3.11a kleiner is dan α in figuur 3.11b, is span,1 kleiner dan span,3. iguur 3.11a iguur 3.11b UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 11 van 30
b Eerste manier Zie figuur 3.11c. PD = PC = BC = DB = span cosinusregel in PBC: BC = PC + PB PC PB cos = + cosα span span span α 10 = 10 + 50 10 50 cosα 50 50 cosα = = = 0, 08 10 50 40 α = 78 Tweede manier Zie figuur 3.11d. PS = PQ = RQ = RS = span PQRS is een ruit In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar, en ze delen elkaar door 1 midden PT = PR = In PTQ: PT 5 cosα = = = 0, 08 α = 78 PQ 10 iguur 3.11c iguur 3.11d UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 1 van 30
Derde manier Alle componenten van de krachten langs de Y-as moeten elkaar opheffen (zie figuur 3.11e). y 0 = + = 0 span,y span,y = = 50 N span,y span,y = 5 N In PUV: UV span,y 5 cosα = = = α = 78 PV 10 span iguur 3.11e Opgave a Zie figuur 3.1. De coach van de Bears heeft ongelijk. De krachten die de teamleden van de Bears uitoefenen, moeten ontbonden worden in een component langs het linkertouw (de X-as) en een component loodrecht erop (de Y-as). Alleen de componenten langs de X-as zijn van belang bij het touwtrekken. Bij de Bears zijn deze componenten samen altijd kleiner dan de som van de krachten die de teamleden uitoefenen. b Zie figuur 3.1. iguur 3.1 Bull = Bear,x In MAB: MA Bear,x Bear,x cos 0 = = Bear = = 1,064 MB cos 0 Bear Bear = 1,064 Bull Bear,x UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 13 van 30
In %: Bear 1,064 Bull 100% = 100% = 1, 064% Bull Bull het percentage extra trekkracht van de trekker van de Bears = 6,4%. 3.4 Massa, aartekracht, gewicht en normaalkracht Opgave 7 Opgave 8 Opgave 9 = m g = 58 10 3 9,81 = 0,57 N a De massa is op de maan ook 0,60 kg. De massa is een eigenschap van het voorwerp en is overal gelijk. b Op de aarde, omdat de aartekracht op aarde zesmaal zo groot is als op de maan. a De richting van de veerkracht is tegengesteld aan die van de uitrekking. b Om de veer 1 m uit te rekken is een kracht van 8 N nodig. c De voetbal is in rust de aartekracht is even groot als de veerkracht veer. veer = C u = 8 0,15 = 4, N = 4, N 4, = m g m = = = 0,43 kg g 9,81 Opgave 30 a Zie figuur 3.13a t/m e. De symmetrieassen zijn in de figuren aangegeven met een streeplijn. figuur a ruit: twee symmetrieassen figuur b rechthoek: twee symmetrieassen figuur c vierkant: vier symmetrieassen figuur d gelijkzijdige driehoek: drie symmetrieassen figuur e cirkel: iedere lijn door Z is een symmetrieas b Zie figuren 3.13. Z is het aartepunt. iguur 3.13 Opgave 31 Zie figuur 3.14. Het aartepunt zal niet in het midden van het kopje liggen, maar dichter bij het oor en dichter bij de bodem. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 14 van 30
iguur 3.14 Opgave 3 a Zie figuur 3.15a. Blok A beweegt niet, dus de som van de krachten op A is nul. Op blok A werkt de aartekracht (,A ) naar beneden en de spankracht in het touw omhoog ( ); is even groot als. span,a,a span,a b Zie figuur 3.15b. Blok B beweegt niet, dus is de som van de krachten op blok B nul. Op blok B werkt de aartekracht (,B ) naar beneden, de spankracht in het touw ( ) omhoog en de normaalkracht ten gevolge van de vloer ( ) span,b n,b omhoog. Het touw beweegt niet, dus is de som van de krachten op het touw nul. De spankracht in het touw bij B ( ( ). span,a is even groot als. span,a span,b is 1,5 keer zo lang als.,b,a span,b ) is daarom gelijk aan die bij A n,b is gelijk aan het verschil tussen,b en span,b. c Zie de figuren 3.15a en 3.15b. In totaal zijn er bij de blokken vijf krachten in het spel; hiervan zijn er twee bekend en drie onbekend. Bij B is de aartekracht bekend, de normaalkracht is onbekend en de spankracht is onbekend. Bij A is de aartekracht bekend en de spankracht onbekend; maar die is te berekenen, omdat A in rust is. Begin dus bij blok A. d,a = m A g = 4,0 9,81 = 39 N span,a = 39 N,B = m B g = 6,0 9,81 = 59 N; span,b = span,a = 39 N n,b = 0 N e Op de katrol werken in totaal drie krachten naar beneden, namelijk de aartekracht op de katrol en de twee spankrachten. Beide spankrachten zijn in grootte gelijk aan de aartekracht die op A werkt. Uit de verhouding tussen de massa van A en die van de katrol is de verhouding te bepalen van de spankracht op A en de aartekracht op K. Dat is ook de verhouding van de lengten van hun vectorpijlen. m A = 4,0 kg; m katrol =,0 kg m katrol = 1 m A,katrol = 1,A Zie figuur 3.15c. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 15 van 30
f Er is sprake van evenwicht, dus is de som van de krachten op de katrol nul. De som van de lengten van de drie vectoren die naar beneden gericht zijn, is even groot als span,k omhoog. Zie figuur 3.15d. g span,k = span,a + span,b +,katrol,katrol = m K g =,0 9,81 = 0 N span,k = 39 + 39 + 0 = 98 N h De katrol en de twee blokken kunnen ook als één geheel worden opgevat. Op het ophangtouw werkt dan de aartekracht ten gevolge van de totale massa naar beneden, maar het effect daarvan wordt verminderd door de normaalkracht bij B omhoog. z,totaal = m totaal g = 1,0 9,81 = 118 N n,b = 0 N span,k = 118 0 = 98 N iguur 3.15a iguur 3.15b iguur 3.15c iguur 3.15d 3.5 Moment van een kracht Opgave 38 a 1 Het scharnierpunt is het punt waar het voorwerp om kan of gaat draaien. Zie figuur 3.16: punt S. b 1 Het aangrijpingspunt is de plaats waar de kracht op het voorwerp wordt uitgeoefend, aangegeven door het begin van de krachtvector. Zie figuur 3.16: punt A. iguur 3.16 UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 16 van 30
c 1 De oneindig lange lijn die door de krachtvector gaat. Zie figuur 3.16: lijnstuk l. d 1 De loodrechte (dus kortste) afstand tussen het scharnierpunt en de werklijn van de kracht. Zie figuur 3.16: lijnstuk d. Opgave 39 Zolang de bedoelde moer nog vastzit, is het moment van de kracht die de moer vasthoudt gelijk aan het moment van Liannes kracht. Moment = kracht arm. Door de pijp te gebruiken wordt de arm van Liannes kracht groter. Bij gelijkblijvende kracht wordt dus het moment van Liannes kracht groter. Als Liannes moment groter wordt dan het moment van de kracht die de moer vasthoudt, kan de moer loskomen. Opgave 40 a Zie figuur 3.17. Draairichting van het moment tegen de wijzers van de klok in : plusteken Draairichting van het moment met de wijzers van de klok mee : minteken M = d en d M 1 = + ( 1 d 1 ) M 1 = +(0 4) = +80 Nm M = d M = 0 Nm (de werklijn van gaat door P) M 3 = ( 3 d 3 ) M 3 = (0 ) = 40 Nm M 4 = 4 d 4 M 4 = 0 Nm (de werklijn van 4 gaat door P) M 5 = +( 5 d 5 ) M 5 = +(15 1) = +15 Nm M 6 = ( 6 d 6 ) M 6 = (10,5) = 5 Nm b M totaal = M 1 + M + M 3 + M 4 + M 5 + M 6 = 80 40 + 15 5 = +30 Nm iguur 3.17 Opgave 41 a Zie figuur 3.18a. M 9 =,mus d 9 = 0,35 0,60 = +0,1 Nm b Zie figuur 3.18b. M 1 =,mus d 1 = 0,35 0 = 0 Nm Zie figuur 3.18b. M 3 =,mus d 3 = 0,35 0,60 = 0,1 Nm UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 17 van 30
c Zie figuur 3.18c. M 11 =,mus d 11 d11 cosα = d11 = 0, 60 cos 60 = 0,30 m 0,60 M 11 =,mus d 11 = 0,35 0,30 = +0,11 Nm iguur 3.18a iguur 3.18b iguur 3.18c 3.6 Momentenwet Opgave 46 a Er werken twee krachten: en n b Door het karton opzij te trekken, trek je ook het aartepunt wat opzij. De werklijn van loopt dan niet meer door het ophangpunt, dus heeft een moment ten opzichte van het ophangpunt. werkt in het ophangpunt en n levert geen moment, want de arm is 0. Het karton zal gaan draaien, totdat het moment ten gevolge van de aartekracht nul is. c De som van de momenten moet nul zijn. Omdat het moment van de normaalkracht altijd nul is, moet het moment van de aartekracht ook nul zijn. d = 0 0 d = 0 De aartekracht wijst loodrecht naar beneden. Het aartepunt ligt dus recht onder het ophangpunt. Opgave 47 a Zie figuur 3.19. M links = links d links = +3 5p = +15 p M rechts = rechts d rechts = 8p = 16 p M links M rechts Het staafje is niet in evenwicht. iguur 3.19 b Het moment van de twee gewichtjes rechts heeft de grootste invloed. Het rechteruiteinde zal dus omlaaggaan. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 18 van 30
c Aan de linkerkant blijven drie gewichtjes en aan de rechterkant twee. Er is evenwicht als M S = 0. Dat is alleen het geval als de juiste combinatie van krachtarmen gekozen wordt. Bedenk dat de armen alleen maar veelvouden van p mogen zijn. Noem de afstand van S tot de drie gewichtjes links k p en de afstand van S tot de twee gewichtjes rechts n p. Hierin zijn k en n gehele getallen. M S = (3k n) ( p) = 0 3k n = 0 3k = n Bereken alle mogelijke waarden voor k en n waarbij k en n gehele getallen zijn en vertaal de oplossingen naar de nummers van de gaatjes: 3 gewichtjes aan gat 9 en gewichtjes aan gat 13; 3 gewichtjes aan gat 7 en gewichtjes aan gat 16; 3 gewichtjes aan gat 5 en gewichtjes aan gat 19. Opgave 48 Zie figuur 3.0. r = 0,80 m r B = 1,10 m = m g = 3,0 9,81 = 5,6 N M t.o.v. S = 0 + ( r ) ( r ) = 0 B B ( r ) = ( r ) B B ( 1,10) = (5, 6 0,80) = 180,5 B B = 164 N De minimale kracht waarmee uiteinde B naar beneden gedrukt moet worden om de balk in evenwicht te houden is 164 N. iguur 3.0 Opgave 49 a Zie figuur 3.1a. Alle afmetingen zijn in cm. AB = 450 cm. Het aartepunt van de balk ligt in het midden, dus AZ = BZ = 5 cm. ZS = 5 50 = 175 cm. b Zie figuur 3.1a. De breedte van het contragewicht is 30 cm. Het aartepunt C van het contragewicht ligt dus op 15 cm van B. Dan is SC = 50 15 = 35 cm. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 19 van 30
iguur 3.1a c Zie figuur 3.1a.,balk = m balk g = 16 9,81 = 157 N M t.o.v. S = 0 M balk M contra = 0 + ( ZS) ( CS) = 0,balk,balk,contra + ( ZS) = ( CS),contra (157 1, 75) = ( 0, 35),contra,contra = 785 N mcontra = 80 kg d Zie figuur 3.1b. iguur 3.1b In SZ Z: Z S cosα = Z S = ZS cosα ZS In SC C: C S cosα = C S = CS cosα CS,balk = m balk g = 16 9,81 = 157 N,contra = m contra g = 80 9,81 = 785 N M t.o.v. S = M balk M contra M = Z S = ZS cosα balk,balk,balk M = C S = CS cosα contra,contra,contra M M = + ( Z S) ( C S) balk contra,balk,contra M M = + ( ZS cos α) ( CS cos α) balk contra,balk,contra UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 0 van 30
M M = + (157 1, 75 cos α) (785 0,35 cos α) balk balk contra M M = + (75 cos α) (75 cos α) = 0 contra M balk M contra = M t.o.v. S = 0 De slagboom is eveneens in evenwicht als hij een hoek van 30 maakt met het wegdek. e In bovenstaande berekening is te zien dat het er niet toe doet wat we voor hoek α invullen. In beide armen, dus in beide momenten, komt dezelfde factor cosα voor. Opgave 50 Zie figuur 3.. De aartekracht op Anton,A = m Anton g = 45 9,81 = 441,45 N De aartekracht op Bart,B = m Bart g = 35 9,81 = 343,35 N Noem Antons krachtarm AS: x Barts arm BS = 3, x M t.o.v. S = 0 M Anton M Bart = 0 + ( AS) ( BS) = 0,A,Bart + (441, 45 x) (343,35 (3, x)) = 0 441, 45 x (1098, 7 343,35 x) = 0 441, 45 x 1098, 7 + 343,35 x = 0 784,8 x 1098, 7 = 0 784,8 x = 1098, 7 x = 1, 4 m iguur 3. Opgave 51 a Zie figuur 3.3a. plank = m plank g = 15 9,81 = 147,15 N Petra = m Petra g = 45 9,81 = 441,45 N M t.o.v. P = 0 M Petra M plank = 0 + ( XP) ( PZ ) = 0 Petra plank plank + ( XP) = ( PZ ) Petra plank plank (441, 45 x) = (147,15 1, 0) x = 0, 40 m (XP = 0,40 m) b Zie figuur 3.3b. plank = m plank g = 15 9,81 = 147,15 N Petra = m Petra g = 45 9,81 = 441,45 N M t.o.v. Q = 0 M Petra M plank = 0 + ( YP) ( PZ ) = 0 Petra plank plank UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 1 van 30
+ ( YP) = ( PZ ) Petra plank plank (441, 45 y) = (147,15 0,30) y = 0,10 m (YQ = 0,10 m) YA = AQ YQ = 1,90 0,10 = 1,80 m XA = AP XP = 1,0 0,40 = 0,60 m (zie figuur 3.3a) iguur 3.3a iguur 3.3b 3.7 Toepassingen van de momentenwet Opgave 55 Opgave 56 a Voorbeelden zijn: gewichtheffen, wielrennen. b Bij gewichtheffen moet je ervoor zorgen dat bij het optillen van de gewichten de afstand tot je lichaam (de arm) zo klein mogelijk is. Bij het wielrennen kun je door het veranderen van de versnelling ervoor zorgen dat je gemakkelijker een berg op kunt fietsen. a Zie figuur 3.4. Afgezien van de kracht in het scharnierpunt S werken er op elke helft van de notenkraker twee krachten: 1 is de spierkracht op het handvat ten gevolge van het knijpen en is de reactiekracht op de bek ten gevolge van de aanwezige noot. De kleine kracht op het handvat wordt door middel van een hefboom omgezet in een grote kracht op de bek. Volgens de hefboomwet hoort bij de korte arm r van r1 een kracht die keer zo groot is r als de spierkracht 1. De krachten van de noot op de bek zijn even groot, maar tegengesteld aan de krachten van de bek op de noot waardoor de noot breekt. b Zie figuur 3.4. Eerste manier (zie vraag a) r 1 15 = 1 = 15 = 75 N r 3,0 UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 van 30
iguur 3.4 Tweede manier M t.o.v. S = 0 M 1 M = 0 + ( r ) ( r ) = 0 ( r ) = ( r ) 1 1 1 1 (15 0,15) = ( 3, 0 10 ) = 75 N c De noot moet alsnog kapot. Dat kan alleen als groter wordt. We moeten dus M groter zien te krijgen. Dat is mogelijk door de noot dichter bij het scharnierpunt te brengen (r nog kleiner maken), harder te knijpen ( 1 groter maken) of door verder van het scharnierpunt af te knijpen (r 1 groter maken). Opgave 57 a Zie figuur 3.5. De flessenopener kantelt om punt C. Dat is dus het scharnierpunt bij I. iguur 3.5 b De flessenopener kantelt om punt A. Dat is dus het scharnierpunt bij II. c De dop moet van de fles. Van belang hiervoor is de kracht opener van de opener op de dop. Deze is gelijk maar tegengesteld gericht aan de kracht van de dop op de opener dop. Het is daarom van belang bij welke manier de spierkracht optimaal wordt omgezet in. Deze omzetting gebeurt spier dop met behulp van momenten. Er geldt UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 3 van 30
AC bij methode I: spier BC = dop AC spier = dop BC AC bij methode II: spier BA = dop AC spier = dop BA In de figuur is te zien dat BA > BC. Dus is bij methode II de kleinste nodig. spier Opgave 58 a Zie figuur 3.6a. Bij het omhoog brengen van de last gaat de katrol ook mee omhoog. Hierbij kantelt de katrol om A, zodat niet M 1 het scharnierpunt is, maar A. b Zie figuur 3.6a. M t.o.v. A = 0 M M = 0 last last B + ( r) ( r) = 0 ( r) = ( r) last = last = = 1,6 kn B 1 B last B B iguur 3.6b iguur 3.6a c Zie figuur 3.6b. M is scharnierpunt. M t.o.v. M = 0 links M rechts 0 M = + ( r) ( r) = 0 t t t ( r) = ( r) = = 1,6 kn B B B UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 4 van 30
Links en rechts van de katrol zijn de krachten gelijk, dus er is bij de vaste katrol geen krachtwinst. d Hij draait de trekrichting om, zodat er naar beneden getrokken kan worden. e De touwlengte die ingenomen dient te worden is tweemaal zo groot. Behalve de last moet ook het gewicht van de losse katrol opgetrokken worden. Als de katrollen niet goed gesmeerd zijn, treedt er wrijving op. Opgave 59 Zie figuur 3.7. Alle krachten moeten elkaar opheffen. x 0 = (alle componenten van de krachten langs de X-as moeten elkaar opheffen) = 0 = S,x A,x S,x A,x y 0 = (alle componenten van de krachten langs de Y-as moeten elkaar opheffen) + = 0 S,y A,y + = S,y A,y = S,y A,y A = 610,5 N en = 784,8 N (zie kernboek, pagina 53) In ADC: AD A,x cos 40 = = A,x = A cos 40 = 610,5 cos 40 = 467, 7 N AC A iguur 3.7 In SPQ: PQ S,y 39, 4 tanα = = = = 0,839 α = 40 SP 467, 7 CD S,x A,y sin 40 = = A,y = A sin 40 = 610,5 sin 40 = 39,4 N AC A UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 5 van 30
S,x = = 467,7 N A,x = = 784,8 39, 4 = 39, 4 N S,y A,y De stelling van Pythagoras: ( ) S = S,x + S,y S = S,x + S,y = (467, 7) + (39, 4) = 610,5 = 611 N In SPQ: PQ S,y 39, 4 tanα = = = = 0,839 α = 40 SP 467, 7 S,x Opgave 60 a De kracht in S wijst omlaag. De aartekracht op de plank grijpt rechts van het steunpunt R aan, waardoor de plank bij A omhoog wil gaan. De kracht in S belet dat. b Zie figuur 3.8. c De werklijn van gaat door het scharnierpunt S. De momentarm van as as ten opzichte van S is daarmee gelijk aan nul. Het moment van van S is dus gelijk aan nul. d = m duikplank g = 60 9,81 = 589 N M t.o.v. S = 0 M n M = 0 + ( r ) ( r ) = 0 n n 1 ( r ) = ( r ) n 1 ( 1, 60) = (589, 0) n = 7,4 10 N as ten opzichte e y = 0 (alle componenten van de krachten langs de Y-as moeten elkaar opheffen) + = 0 = as as n as n = = 7,4 10 589 1,5 10 N iguur 3.8 Opgave 61 a Zie figuur 3.9. = m vliegtuig g = 4,8 10 3 9,81 = 4,71 10 5 N M t.o.v. S = 0 M v M = 0 + ( SV) ( SZ) = 0 V V ( 16) = (4, 71 10 ) = 5,9 10 N 5 4 V UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 6 van 30
b Volgens de eerste wet van Newton moet de som van alle omhoog gerichte krachten gelijk zijn aan de som van alle naar beneden gerichte krachten. Omdat V < moet s omhoog gericht zijn. c y = 0 (alle componenten van de krachten langs de Y-as moeten elkaar opheffen) + = S V 0 = = = 5 4 5 S V 4, 71 10 5,9 10 4,1 10 N iguur 3.9 Opgave 6 In de figuren is de pijl voor de aartekracht voor de overzichtelijkheid in verhouding iets korter getekend dan in het werkboek. a Zie figuur 3.30a. De aartekracht A is de trekkracht in het touwtje. is de reactiekracht in scharnierpunt S. S b Zie figuur 3.30a. BS is de arm van A grijpt aan in het aartepunt Z van het latje (ZS = AZ).. Dat is de loodrechte afstand van het draaipunt S tot de werklijn van (het touwtje). A Deze is in de figuur in je werkboek 6,0 cm. Omdat de schaal 1 : 10 is, is de werkelijke grootte van SB 60 cm. c Zie figuur 3.30a. ZS is de arm van. Deze is in de figuur in je werkboek 5,0 cm. Omdat de schaal 1 : 10 is, is de werkelijke grootte van ZS 50 cm. = m latje g = 0,45 9,81 = 4,41 N M t.o.v. S = 0 M A M = 0 + ( SB) ( ZS) = 0 A A A ( 0, 60) = (4, 41 0,50) = 3,7 N UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 7 van 30
iguur 3.30a d Zie figuur 3.30b. Alle krachten moeten elkaar opheffen. x 0 = (alle componenten van de krachten langs de X-as moeten elkaar opheffen) = 0 = S,x A,x S,x A,x y 0 = (alle componenten van de krachten langs de Y-as moeten elkaar opheffen) + = 0 + = S,y A,y S,y A,y S,y = A,y A = 3,7 N en = 4,41 N 3,7 A = = 0,84 A = 0,84 4,41 iguur 3.30b Maak in je tekening in het werkboek A = 0,84. Ontbind A in een x-component A,x r A,x en een y-component A,x = 0,80 A = 0,80 0,84 = 0, 67 A,y 0, 60 A 0, 60 0,84 0,50 = = = Teken in S de x-component S,x naar rechts, die even lang is als A,x. ( = = 0, 67 ) S,x A,x A,y UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 8 van 30
Teken in S de y-component S,y naar boven, even lang als A,y. ( = = 0,50 = 0,50 ) S,y A,y Construeer nu. S e Eerste manier Meet de lengte van S op in je werkboek; S is even lang als A S = 3,7 N. Tweede manier Met de stelling van Pythagoras: = + = + S S,x S,y S S,x S,y = 0, 67 ; = 0,50 S,x S,y (( 0,67 ) ( 0,50 ) ) ( 0, 449 ) ( 0, 5 ) ( ) = + = + S = 0, 699 = 0, 699 = 0,84 = 0,84 4, 41 = 3, 7 N S f Toen de lat horizontaal hing, gold volgens het antwoord bij vraag c: ZS ( ZS) + A BS = 0 A = BS Zie figuur 3.30c. Het latje is in de nieuwe stand weer in evenwicht, dus M S = 0. Ofwel: r ( r ) + A PS = 0. Dan is A = PS Vergelijk nu de beide uitdrukkingen voor A. is gelijk gebleven; r is kleiner dan ZS; PS is groter dan BS (zie figuur r 3.30a). De breuk is dus kleiner dan de breuk ZS PS BS. Dan is A in de nieuwe situatie kleiner dan in de eerste situatie. iguur 3.30c g Zie figuur 3.30b. Uit de momentenwet volgt A BS = ZS. BS In de rechthoekige SBA geldt sinα =, dus BS = AS sinα. AS Verder weten we dat ZS = 1 AS. Invullen van ZS en BS in de eerste vergelijking levert A AS sinα = 1 AS. Delen door AS levert A sinα = 1. Maar er geldt ook dat de verticale component van A gelijk is aan A,y = A sinα. Dus we vinden A,y = 1. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 9 van 30
Uit de eerste wet van Newton vinden we S,y = 1 = 1. Dus we concluderen dat S,y = A,y. In vraag d vonden we al dat S,x = A,x. Dus moet er gelden dat S = A en dat de hoek van met AS gelijk is aan α. S Opgave 63 a Zie figuur 3.31a. Er is sprake van een hefboom met scharnierpunt S en twee momenten. De momenten zijn M stoom ten gevolge van de kracht stoom die de stoom uitoefent op de klep en M L ten gevolge van het gewicht L. Als M stoom < M L blijft de klep gesloten. Als de druk in de stoomketel toeneemt, dan neemt M stoom toe. De klep gaat open zodra M stoom > M L. Nu kan er stoom ontsnappen totdat M stoom < M L. b Zie figuur 3.31a. L = m last g = 1,85 9,81 = 18,1 N M t.o.v. S = 0 M stoom M L = 0 + ( KS) ( AS) = 0 stoom ( 0,10) = (18,1 0,30) stoom = 54 N stoom L c y = 0 (alle componenten van de krachten langs de Y-as moeten elkaar opheffen) + = 0 = S stoom L S stoom L S = 54 18,1 = 36 N S is naar beneden gericht (zie figuur 3.31a). d Een hogere stoomdruk geeft een groter moment M klep. Voor evenwicht moet het moment van L dan groter worden. De kracht die L veroorzaakt op de klep verandert niet, dus moet de arm groter worden. L moet dus naar rechts verschoven worden. e Zie figuur 3.31b. Als de klep niet openspringt, moet M L > M stoom. M L = L BS = 18,1 0,40 = 7,4 Nm M = KS stoom stoom stoom = 1, = 1, 54 = 64,8 N stoom M stoom = 64,8 0,10 = 6, 48 Nm Omdat M L groter is dan M stoom blijft de klep dicht. iguur 3.31a iguur 3.31b UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOODSTUK 3 30 van 30