2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte lijn is, is de functie y lineair. 1

2.1 Lineaire functies [1] Algemeen: De lineaire functie f(x) = ax + b heeft als grafiek de rechte lijn y = ax + b. Van deze lijn is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) het snijpunt met de y-as. Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt zijn evenwijdig. De lijn y = b is de horizontale lijn door het punt (0, b). Van een horizontale lijn is de richtingscoëfficiënt 0. Voorbeeld: k is evenwijdig aan l : y = 8x + 5 en gaat door (2,4) Stap 1: De richtingscoëfficient van de lijn k is gelijk aan 8 k:y = 8x + b 2

2.1 Lineaire functies [1] Voorbeeld: k is evenwijdig aan l : y = 8x + 5 en gaat door (2,4) Stap 2: Vul het punt (2,4) in, in de functie van k. y = 8x + b 4 = 8 2 + b 4 = 16 + b b = -12 Er geldt dus: k:y = 8x - 12 3

2.1 Lineaire functies [2] y is een lineaire functie van x, want de grafiek is een rechte lijn; y = ax + b de richtingscoëfficiënt a = y yb y x x x de grafiek is een lijn met helling a; een helling a betekent 1 naar rechts en a omhoog; de grafiek is een lijn door het punt (0, b). B A A 4

2.1 Lineaire functies [2] Voorbeeld: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op. Stap 1: Bepaal de richtingscoëfficiënt van l:y = ax + b : y yb ya 12 3 9 a 3 x x x 8 5 3 Hieruit volgt: l:y = 3x + b Stap 2: Bepaal b door één van de twee gegeven punten in te vullen: y = 3x + b 12 = 3 8 + b 12 = 24 + b b = -12 Dus: y = 3x 12 B A 5

2.2 Tweede- en derdegraadsfuncties [1] Dit is de grafiek van de tweedegraadsfunctie / kwadratische functie: y = x 2-3x - 2; De functie heeft een top (minimum) in het punt (1,5; -4,25); De grafiek van deze functie is een dalparabool. 6

2.2 Tweede- en derdegraadsfuncties [1] Algemeen: De functie ax 2 + bx + c met a 0 is een kwadratische functie; Als a > 0 dan is de grafiek een dalparabool; Als a < 0 dan is de grafiek een bergparabool; Een dalparabool heeft een minimum; Een bergparabool heeft een maximum; De minima en maxima van een functie heten extreme waarden. De formule van de verticale lijn door het punt (a, 0) is x = a; Alle punten op deze lijn hebben x-coördinaat a; 7

2.2 Tweede- en derdegraadsfuncties [1] [0, 1] is een gesloten interval. 0 en 1 zitten in dit interval; (0, 1) is een open interval. 0 en 1 zitten niet in dit interval; [0, 1) is een half open interval. 0 zit er wel in en 1 niet. 8

2.2 Tweede- en derdegraadsfuncties [1] Hiernaast is de functie f(x) = x 2 3x -2 getekend op het interval [0, 4]; Het domein van deze functie is [0, 4]. Het domein bestaat uit alle x-waarden, die je in kunt vullen; f(0) = -2 f(1,5) = -4,25 f(4) = 2; Op het domein [0, 4] zijn de getallen van -4,25 tot 2 mogelijke uitkomsten van f(x). Het bereik van deze functie is [-4,25; 2]; Het bereik bestaat uit alle mogelijk uitkomsten, dus alle y-waarden. 9

2.2 Tweede- en derdegraadsfuncties [2] Voorbeeld: Gegeven is de functie y = x 2 + 5x + p met p = onbekende parameter (getal). Voor welke p s heeft deze functie een negatief minimum? Stap 1: Omdat a > 0 is, is de gegeven functie een dalparabool. Stap 2: Wanneer het minimum negatief is, moet de functie twee snijpunten met de y-as hebben. Oplossen van x 2 + 5x + p = 0 moet dus twee oplossingen geven. Als deze vergelijking twee oplossingen heeft, moet de discriminant groter dan 0 zijn. 10

2.2 Tweede- en derdegraadsfuncties [2] Voorbeeld: Gegeven is de functie y = x 2 + 5x + p met p = onbekende parameter (getal). Voor welke p s heeft deze functie een negatief minimum? Stap 3: Bereken voor welke waarden van p de discriminant groter dan nul is (en de functie dus een negatief minimum heeft). D > 0 5 2 4 1 p > 0 25 4p > 0-4p > - 25 p < 25/4 Dus bij p < 25/4 heeft deze functie een negatief minimum. 11

2.2 Tweede- en derdegraadsfuncties [3] Voorbeeld: Gegeven is de functie f(x) = 3x 2 + px + 2 met als minimum 2. Bereken p algebraïsch. Stap 1: Bereken x top x top b p p 2a 2 3 6 Stap 2: Er geldt y top = f(x top ) = 2 12

2.2 Tweede- en derdegraadsfuncties [3] Voorbeeld: Gegeven is de functie f(x) = 3x 2 + px + 2 met als minimum 2. Bereken p algebraïsch. Stap 2: Er geldt y top = f(x top ) = 2 y top 2 p p 3 p 2 2 6 6 2 2 p p 3 2 2 36 6 2 2 3p p 0 36 6 2 2 p p 0 12 6 2 p De functie wordt nu: f(x) = 3x 2 + 2 0 6 p 0 13

2.2 Tweede- en derdegraadsfuncties [4] Voorbeeld: Hiernaast is voor verschillende waarden van p de functie y p = px 2 + 4x 3 getekend. In dit geval liggen alle toppen Op de rode lijn. 14

2.2 Tweede- en derdegraadsfuncties [4] Voorbeeld: Gegeven zijn de functies f p (x) = px 2 + 4x 3. Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van f p liggen. Stap 1: Bereken x top : x top b 4 2 2a 2p p Stap 2: Schrijf p als functie van x: p x top 2 p x top 2 15

2.2 Tweede- en derdegraadsfuncties [4] Voorbeeld: Gegeven zijn de functies f p (x) = px 2 + 4x 3. Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van f p liggen. Stap 3: Vul p in de functies f p (x) in: y f x px x 2 top p( ) top 4 top 3 2 2 xtop 4xtop 3 x top 2x 4x 3 2x 3 top top top Alle toppen van f p (x) = px 2 + 4x 3 liggen op de lijn y = 2x 3 16

2.3 Grafieken veranderen [1] Machtsfunctie f(x) = ax n met a > 0 en n even. Deze functie heeft een minimum als extreme waarde. Deze functie is symmetrisch in de lijn x = 0. 17

2.3 Grafieken veranderen [1] Machtsfunctie f(x) = ax n met a < 0 en n even. Deze functie heeft een maximum als extreme waarde. Deze functie is symmetrisch in de lijn x = 0. 18

2.3 Grafieken veranderen [1] Machtsfunctie f(x) = ax n met a > 0 en n oneven. Deze functie heeft geen extreme waarde maar een punt van symmetrie in (0,0) 19

2.3 Grafieken veranderen [1] Machtsfunctie f(x) = ax n met a < 0 en n oneven. Deze functie heeft geen extreme waarde maar een punt van symmetrie in (0,0) 20

2.3 Grafieken veranderen [1] De zwarte grafiek is f(x) = 0,5x 2 De rode grafiek is g(x) = 0,5(x+2) 2 dus een translatie van (-2,0) van f(x) De groene grafiek is h(x) = 0,5(x+2) 2 3 dus een translatie van (0,-3) van g(x) 21

2.3 Grafieken veranderen [1] De zwarte grafiek is f(x) = 0,5x 2 met minimum (0,0) en B f = [0, ->) De rode grafiek is g(x) = 0,5(x+2) 2 dus een translatie van (-2,0) van f(x) Het minimum schuift nu ook 2 naar links en wordt (-2,0) en B g = [0, ->) De groene grafiek is h(x) = 0,5(x+2) 2 3 dus een translatie van (0,-3) van g(x) Het minimum schuift nu ook 3 naar beneden en wordt (-2, -3) en B h = [-3, ->) 22

2.3 Grafieken veranderen [2] De zwarte grafiek is f(x) = x 2 ; De rode grafiek is g(x) = 0,5x 2. Dit is de grafiek van f(x) vermenigvuldigd t.o.v. de x-as met factor 0,5; Het punt (1,1) op de zwarte grafiek wordt (1; 0.5) op de rode grafiek; Het punt (2,4) op de zwarte grafiek wordt (2,2) op de rode grafiek. 23

2.3 Grafieken veranderen [2] De zwarte grafiek is f(x) = x 2 ; De rode grafiek is g(x) = -0,5x 2. Dit is de grafiek van f(x) vermenigvuldigd t.o.v. de x-as met factor -0,5; Het punt (1,1) op de zwarte grafiek wordt (1; -0.5) op de rode grafiek; Het punt (2,4) op de zwarte grafiek wordt (2, -2) op de rode grafiek. 24

2.3 Grafieken veranderen [2] De zwarte grafiek is f(x) = 0,25x 2 met top (0,0); De rode grafiek is g(x) = 0,25(x-2) 2-3 met top (2, -3). Dit is de grafiek van f(x) die 2 naar rechts en 3 naar beneden is verschoven; De groene grafiek is h(x) = -2(0,25(x-2) 2 3)) = -0,5(x-2) 2 + 6 met top (2, -6). Dit is de grafiek van g(x) die vermenigvuldigd is met -2 t.o.v. de x-as. 25

2.4 Wortelfuncties [1] y = x is de standaard wortelfunctie. D f = [0, ->), B f = [0, ->) met beginpunt (0,0). Het domein zijn alle getallen die je in de functie in kunt vullen. Het bereik zijn alle uitkomsten van de functie. 26

2.4 Wortelfuncties [1] De zwarte grafiek is f(x) = x. De groene grafiek is g(x) = x 3 1. Dit is de grafiek van f(x) die 3 naar rechts en 1 omlaag geschoven is. D g = [3, ->), B g = [-1, ->) met beginpunt (3,-1). 27

2.4 Wortelfuncties [1] De zwarte grafiek is f(x) = x. De rode grafiek is g(x) = -2 x. Dit is de grafiek van f(x) die vermenigvuldigd is met -2 t.o.v. de x-as D g = [0, ->), B g = (<-, 0] met beginpunt (0,0). 28

2.4 Wortelfuncties [2] Voorbeeld: Teken de grafiek van de functie f(x) = -3 + 5 4x Stap 1: Bepaal het Domein van de functie f(x). De uitdrukking onder de wortel moet altijd nul of groter zijn. 5 4x 0-4x -5 x 1,25 D f = (<-; 1,25] Stap 2: Bepaal het beginpunt van de functie f(x). f(1,25) = -3, dus (1,25; -3) 29

2.4 Wortelfuncties [2] Voorbeeld: Teken de grafiek van de functie f(x) = -3 + 5 4x Stap 3: Stel een tabel op met een aantal waarden van de functie f(x). x -5-4 -3-2 -1 0 1 1,25 y 2 1,6 1,1 0,6 0-0,8-2 -3 Stap 4: Geef het bereik van de functie f(x): B f = [-3, ->) Stap 5: Teken de grafiek. 30

2.5 Gebroken functies [1] Dit is de standaard gebroken functie; De functie heeft een verticale (x = 0) en horizontale (y = 0) asymptoot; B f = R\{0}, D f = R\{0}. 31

2.5 Gebroken functies [1] De zwarte functie is de standaardgrafiek f(x) = 1/x; De rode functie is de grafiek g(x) = 1/(x-2)+3; Dit is de zwarte functie maar dan 2 naar rechts en 3 omhoog geschoven; De rode functie heeft een verticale (x = 2) en horizontale (y = 3) asymptoot. 32

2.5 Gebroken functies [2] Voorbeeld: Teken de grafiek van y 4 5 x 3 Stap 1: Bereken de verticale asymptoot door de noemer gelijk te stellen aan 0. x + 3 = 0 x = -3 Stap 2: Bereken de horizontale asymptoot door in de functie een grote x in te vullen. 4 y(100.000) 5 0 5 5 100.000 3 Stap 3: Maak een tabel: x -5-4 -2-1 0 y -7-9 -1-3 -3,67 33

2.5 Gebroken functies [2] Voorbeeld: Teken de grafiek van y 4 5 x 3 Stap 4: Teken de grafiek. Geef hierin de asymptoten weer. 34

2 Samenvatting Lineaire functie: f(x) = ax + b heeft als grafiek een rechte lijn met a als richtingscoëfficiënt en (0, b) als snijpunt met de y-as; Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt zijn evenwijdig. Lineaire vergelijking oplossen: Haal alle termen met x erin naar links en alle termen met een los getal naar rechts. y y y x x x Lineaire formule opstellen: Bereken de richtingscoëfficiënt met B A ; Vindt de waarde van b door een gegeven punt in de functie y = ax + b in te vullen. Kwadratische formules: Een dalparabool heeft een minimum (a > 0); Een bergparabool heeft een maximum (a < 0). B A 35

2 Samenvatting [0, 1] is een gesloten interval. 0 en 1 zitten in dit interval; (0, 1) is een open interval. 0 en 1 zitten niet in dit interval; [0, 1> is een half open interval. 0 zit er wel in en 1 niet. Het domein bestaat uit alle x-waarden, die je in een functie in kunt vullen; Het bereik bestaat uit alle mogelijke y-waarden, die een functie aan kan nemen. Als de functie y = x 2 + 5x + p een negatief minimum heeft, moet de functie twee snijpunten met de y-as hebben. (De functie is een dalparabool, want a > 0). Oplossen van x 2 + 5x + p = 0 moet dus twee oplossingen geven. (Dus D > 0). Gegeven is de functie f(x) = 3x 2 + px + 2 met als minimum 2. Er geldt nu: f(x top ) = 2 Gegeven zijn de functies f p (x) = px 2 + 4x 3. De formule van de kromme waarop alle toppen van f p liggen, is op te stellen door p als functie van x top te schrijven en in te vullen in f p. 36

2 Samenvatting De translatie (p, q) verandert de functie f(x) = x 3 in g(x) = (x p) 3 + q. Een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met a verandert de functie f(x) = x 3 in g(x) = ax 3. Wortelfunctie: y = x is de standaard wortelfunctie. D f = [0, ->), B f = [0, ->) met beginpunt (0,0). Tekenen van wortelfunctie: 1) Bepaal het Domein van de functie. De uitdrukking onder de wortel moet altijd nul of groter zijn; 2) Bepaal het beginpunt van de functie; 3) Maak een tekening m.b.v. de tabel van de GR. Gebroken functie: De functie heeft een verticale (x = 0) en horizontale (y = 0) asymptoot; B f = R\{0}, D f = R\{0}. Tekenen van gebroken functie: 1) Bepaal verticale asymptoot via noemer = 0 en horizontale door invullen grote x; 2) Maak een tekening m.b.v. de tabel van de GR. 37