Three-dimensional linear elasticity

Three-dimensional linear elasticity 5

5.1 Examples Example 5.1 Consider again the measurement system for determination of the strains of the ground in an oil-extraction area, as discussed in example 2.8. The strain of the ground in the considered area was determined as ε = 2.0 10 4 e x e x +2.9 10 4 ( e x e y + e y e x )+4.0 10 4 e y e y a. Compute the stress tensor in this area, if the soil can be described as an isotropic linear elastic material with Young s modulus E = 30MPa and Poisson s ratio ν = 0.4. The isotropic linear elastic constitutive relation expressed in the engineering elastic moduli E and ν has the form σ = Eν (1+ν)(1 2ν) tr(ε)i+ E 1+ν ε Substitution of the strain tensor ε into this expression gives (with tr(ε) = 6 10 4 ) ( 6Eν σ = (1+ν)(1 2ν) + 2E ) 10 4 e x e x + 2.9E 1+ν 1+ν 10 4 ( e x e y + e y e x ) ( 6Eν + (1+ν)(1 2ν) + 4E ) 10 4 6Eν e y e y + 1+ν (1+ν)(1 2ν) 10 4 e z e z Substitution of the given values for E and ν gives σ = 30 e x e x +6.21( e x e y + e y e x )+34.29 e y e y +25.71 e z e z kpa Consider next the pipe passing through the area. The normal (axial) strain in the pipe was computed in example 2.8 and equals ε nn (l) = 5.01 10 4. b. Assuming a uniaxial stress state, compute the normal (axial) stress σ nn (l) in the pipe, if the pipe is made from steel with Young s modulus E = 210GPa. For a uniaxial stress state (simple tension) the only non-zero stress component in the axial direction equals the axial strain times Young s modulus: σ (l) nn = Eε (l) nn = 105.21 MPa Example 5.2 Beschouw het koppelstuk tussen twee ronde buizen van verschillende diameter uit voorbeeld 2.7, zie Figuur 5.1. De hoofdrekken in het punt P op de binnenrand van het koppelstuk zijn gelijk aan ε 1 = 0.030 ε 2 = 0.020 ε 3 = 0.020 en de bijbehorende hoofdrekrichtingen N 1 = e θ N2 = 1 2 ( e r + e z ) N3 = 1 2 ( e r e z ) Verder is gegeven dat het materiaal waarvan het koppelstuk gemaakt is zich isotroop en linear elastisch gedraagt en een elasticiteitsmodulus en dwarscontractiecoëfficiënt heeft van respectievelijk E = 2.6GPa en ν = 0.30. 3

a a buis 1 a buis 2 a a P s P a e r (θ) a e r (θ) O e z O e z Figure 5.1: Initiële en gedeformeerde geometrie van een koppelstuk. a. Bepaal de hoofdspanningen in het punt P. Isotrope lineaire elasticiteit betekent dat de spanningstensor berekend kan worden volgens σ = λtr(ε)i +2µε Invullen van de spectrale representatie van de rektensor in deze relatie leidt rechtstreeks tot de spectrale representatie van de spanningstensor: σ = ( (λ+2µ)ε 1 +λε 2 +λε 3 ) N1 N1 + ( λε 1 +(λ+2µ)ε 2 +λε 3 ) N2 N2 + ( λε 1 + λε 2 +(λ +2µ)ε 3 ) N3 N3 Aflezen van de hoofdspanningen en invullen van de elastische constanten λ = 1.5GPa en µ = G = E 2(1+ν) = 1.0GPa resulteert in Eν (1+ν)(1 2ν) = σ 1 = 105MPa σ 2 = 85MPa σ 3 = 5MPa De hoofspanningsrichtingen zijn gelijk aan de hoofdrekrichtingen. Dit geldt voor een isotroop materiaal. Example 5.3 Ter verificatie van ontwerpberekeningen worden in een punt op een aluminium cabinewand de in-vlak rekken gemeten (door middel van aangebrachte rekstrookjes). Omgerekend t.o.v. een vaste Cartesische basis { e x, e y, e z } zijn de in-vlak componenten van de lineaire rektensor gelijk aan ε xx = 8.5 10 4 ε xy = 1.5 10 4 ε yy = 4.5 10 4 Het materiaalgedrag van het aluminium is isotroop en lineair elastisch, met elasticiteitsmodulus (Young s modulus) E = 81 GPa en dwarscontractie-coëfficiënt (Poisson s ratio) ν = 0.35. a. Het oppervlak waarop de rekstrookjes bevestigd zijn kan als vrij beschouwd worden, dit wil zeggen dat σ xz = σ yz = σ zz = 0, waarbij de z-richting loodrecht op de wand is. Bepaal op grond van deze voorwaarden de rekcomponenten ε xz, ε yz en ε zz De componenten ε xz en ε yz volgen uit de spanning-rekrelaties σ xz = Gγ xz = 2Gε xz σ yz = Gγ yz = 2Gε yz 4

Figure 5.2: Vliegtuig waarop rekken op de cabinewand werden gemeten door middel van rekstrookjes. Aangezien σ xz = σ yz = 0 geldt ε xz = 0 ε yz = 0 De normaalcomponent ε zz volgt uit de voorwaarde σ zz = E (1+ν)(1 2ν) (νε xx +νε yy +(1 ν)ε zz ) = 0 Aan deze vergelijking is voldaan indien ε zz = ν 1 ν (ε xx +ε yy ) Invullen levert: ε zz = 7.0 10 4 b. Bereken op basis van de hierboven bepaalde rekken de (3 3) spanningsmatrix ten opzichte van de basis { e x, e y, e z }. Bekend is dat σ xz = σ yz = σ zz = 0; er is hier dus sprake van een vlakspanningstoestand. De overige spanningscomponenten worden dan gegeven door σ xx σ yy = E 1 ν 0 ε xx 1 ν σ 2 ν 1 0 ε yy 1 xy 0 0 2 (1 ν) 2ε xy Invullen levert σ xx = 93MPa σ yy = 69MPa σ xy = 9MPa zodat de spanningsmatrix luidt: 93 9 0 = 9 69 0 MPa σ 0 0 0 Example 5.4 Wij bestuderen verder het laminaat van twee verschillende materialen, zie voorbeeld 4.4 en Figuur 5.3. Beide materialen worden verondersteld isotroop en lineair elastisch te zijn en worden 5

gekarakteriseerd door de respectievelijke elastische constanten E 1 = 7.5 GPa, ν 1 = 0.25 en E 2 = 15.0 GPa, ν 2 = 0.25. De dikte van ieder van deze lagen bedraagt t = 2.0 mm en de hechting tussen de lagen wordt perfect verondersteld. Een proefstuk van het gelamineerde plaatmateriaal wordt onderworpen aan een trekproef. Vanwege symmetrie kan deze analyse beperkt blijven tot de helft van het proefstuk. Figuur 5.3 toont de geometrie en randvoorwaarden van dit halve proefstuk; de symmetrie-as bevindt zich op x = 0. De afmetingen van het halve proefstuk in het vlak van de tekening zijn gelijk aan L = 20 mm en 2t = 4 mm. In de z-richting, loodrecht op het vlak van de tekening, bedraagt de breedte w = 10 mm; in deze richting wordt tevens een vlakke-rektoestand verondersteld. Het proefstuk wordt aan het rechter uiteinde belast met een uniforme normaalspanning van σ = 50MPa. Op x = 0 gelden symmetrie-voorwaarden. y 2t t 0 0 materiaal 2 materiaal 1 x L σ Figure 5.3: Proefstuk van een laminaat belast in trek Een goede benadering van de rek- en spanningstoestand in de plaat kan worden verkregen door uit te gaan van de volgende vorm van de rek- en spanningstensor: ε = ε xx (y) e x e x +ε yy (y) e y e y σ = σ xx (y) e x e x +σ yy (y) e y e y +σ zz (y) e z e z In voorbeeld 4.4 werd op basis van de evenwichtsvergelijking en de gegeven randvoorwaarden aangetoond dat σ yy (y) = 0 voor alle waarden van y. a. Gebruik makend van bovenstaand resultaat druk σ xx (y) uit in ε xx (y). De wet van Hooke levert voor de gegeven deformatie de yy-component van de spanning als σ yy (y) = λε xx (y)+(λ+2µ)ε yy (y) Waarbij voor λ en µ de relevante waarden voor de betreffende laag gebruikt dienen te worden. Gelijkstellen van deze uitdrukking aan nul (zie het vorige onderdeel) leidt tot ε yy (y) = λ λ+2µ ε xx(y) Hiermee vinden we voor σ xx : σ xx (y) = (λ+2µ)ε xx (y)+λε yy (y) = 4µ λ+µ λ+2µ ε xx(y) Herschrijven van λ = σ xx (y) = E 1 ν 2 ε xx(y) Eν (1+ν)(1 2ν) en µ = E 2(1+ν) met respectievelijk (E,ν) = (E 1,ν 1 ) en (E,ν) = (E 2,ν 2 ) in termen van E en ν levert 6

Aangetoond kan worden dat de axiale rekverdeling ε xx (y) bij goede benadering lineair is, en dus geschreven kan worden als ε xx (y) = a+b y 2t De constanten a en b kunnen bepaald worden uit het globale(krachten- en momenten-) evenwicht van het proefstuk. Voor de beschouwde belasting geldt dat a = 6.8 10 3 en b = 4.5 10 3. b. Beargumenteer wat het teken van b moet zijn. De bovenste laag van het laminaat, gemaakt van materiaal 2, is stijver dan de onderste. Onder invloed van de positieve spanning in x-richting zal de bovenste laag dus minder uitrekken dan de onderste. Dit is alleen het geval wanneer b < 0. c. Schets het verloop van de spanningscomponent σ xx (y) als functie van de coördinaat y. Geef in het diagram de waarden aan voor y = 0, t en 2t. De spanning σ xx (y) volgt voor ieder van de lagen rechtstreeks door invullen van het gegeven rekveld in de eerder afgeleide relatie σ xx (y) = E 1 ν 2 ε xx(y) waarbij voor E en ν de waarden behorende bij die laag worden gesubstitueerd. Dit levert een stuksgewijs lineair veld op, zoals hieronder geschetst: 80 73 60 55 σxx [MPa] 40 36 36 20 0 0 1 2 3 4 y [mm] Merk op dat de discontinuïteit in de E-modulus leidt tot een discontinuïteit in het spanningsveld. Verder is de helling in materiaal 2 tweemaal zo groot als in materiaal 1 als gevolg van de factor twee tussen de E-moduli van de materialen. 7

5.2 Exercises Exercise 5.1 The strain state in the rear wing of a Formula one car is given with respect to an orthonormal basis { e 1, e 2, e 3 } by ε 11 3.0 ε 22 1.0 ε = ε 33 γ 12 = 2.2 2.4 10 4 γ 13 0 γ 23 2.2 Determine the corresponding stresses for the following materials (isotropic linear elasticity can be assumed unless otherwise indicated): a. steel: E = 2.1 10 5 MPa, ν = 0.30 b. aluminium: E = 75GPa, ν = 0.34 Figure 5.4: Formula one car c. polycarbonate: G = 860MPa, K = 4.00GPa d. transversely isotropic glass-fibre reinforced polypropylene: E 1 = 4.2 GPa, E 3 = 4.6 GPa, ν 12 = ν 13 = 0.28 Exercise 5.2 Bearing pads used to support bridge structures (see Exercise 2.6) need to be much stiffer in compression than they are in shear. The stiffness in compression is needed to support the weight of the bridge without excessive vertical displacements, while some flexibility is needed in shear in order to accommodate horizontal displacements of the structure due to thermal expansion. Two isotropic materials are being considered for a bridge bearing (sketched in Figure 5.5): material A has a Young s modulus of E A = 1.0MPa and Poisson s ratio of ν A = 0.49, while for material B E B = 10MPa and ν B = 0.30. a. Compute the shear modulus and bulk modulus for the two materials. b. Since the thickness of the pad is small compared to its width, normal strains in the horizontal directions can beneglected. Show that underthis assumption the apparent modulusẽ which relates the vertical normal stress to the vertical normal strain (i.e. σ 33 = Ẽε 33) is given by Ẽ = K + 4 3 G 8

e 3 e 2 e 1 Figure 5.5: Bearing pad for bridge structure c. Compute the apparent modulus in compression Ẽ for the two materials. d. Given the apparent stiffness Ẽ in compression and the shear stiffness G for both materials, which material would you prefer for the bearing pad? Exercise 5.3 A long, thin structural support of width w = 385mm is loaded by a shear stress of τ = 15MPa, see Figure 5.6. The support is made out of a unidirectionally reinforced polymer plate with a fibre orientation of φ = 45, i.e., the fibres are aligned along the vector e 1 = 1 2 ( e x + e y ) with e x and e y horizontal and vertical base vectors respectively; the direction perpendicular to the fibres is given by the vector e 2 (see the figure). e 2 e y e 1 τ φ e x τ w Figure 5.6: Composite support Since the thickness of the plate is much smaller than the other dimensions, a plane stress state can be assumed. Furthermore, the support can freely contract in the y-direction, i.e. σ yy = 0. Theelastic behaviour of the material is orthotropic and is given with respect to the basis { e 1, e 2 } by σ 11 σ 22 σ 12 E 1 ν 21 E 1 0 1 ν 12 ν 21 1 ν 12 ν 21 = ν 12 E 2 E 2 0 1 ν 12 ν 21 1 ν 12 ν 21 0 0 G 12 ε 11 ε 22 γ 12 9

withtheadditional requirementthatν 21 E 1 = ν 12 E 2. Theelastic constants havebeendetermined as E 1 = 20GPa, E 2 = 12GPa, G 12 = 8GPa and ν 12 = 0.40. a. Show that the vectors e x and e y can be written in terms of the basis { e 1, e 2 } aligned with the fibres as e x = 1 2 ( e 1 e 2 ) e y = 1 2 ( e 1 + e 2 ) b. Determine the stress tensor in the plate in terms of the basis { e x, e y }, assuming a homogeneous stress state. c. Rewrite the stress tensor in terms of e 1 and e 2. d. Compute the (two-dimensional) strain tensor in terms of e 1 and e 2. e. Compute the axial strain ε xx in the support. Would this strain have existed had the material been isotropic? f. Compute the relative vertical displacement u of the right end of the support with respect to the left end. Would you expect this displacement to be higher or lower for a fibre angle φ = 45? Exercise 5.4 The stress in a point of the wall of a spherical pressure vessel (Figure 5.7) is given approximately by σ = pr 2t ( e 1 e 1 + e 2 e 2 ) wherethebasisvectors e 1 and e 2 aredefinedtangentially tothevesselwalland e 3 isperpendicular to it. The pressure in the vessel p and the (unloaded) vessel radius R and wall thickness t are given by p = 15 bar, R = 2.0 m and t = 20 mm. The vessel is made of a steel which can be considered isotropic and linear elastic for the given pressure; Young s modulus and Poisson s ratio of the material are E = 2.1 10 5 MPa and ν = 0.30. e 2 e 1 e 3 Figure 5.7: Spherical pressure vessel a. Determine the principal strains in the point. b. Compute the change of thickness t of the vessel wall due to the internal pressure. c. Compute the increase of the radius of the vessel, R due to the internal pressure. 10

Exercise 5.5 The constitutive behaviour of a particular elastic material is given by the elasticity tensor 4 C = 2G (4 I S 1 3 II) Determine the stress tensor due to the following strain states (γ, e, ε are positive constants) and explain the results: a. simple shear: ε = 1 2 γ( e 1 e 2 + e 2 e 1 ) b. volumetric deformation: ε = ei c. uniaxial straining: ε = ε e 1 e 1 Exercise 5.6 Repeat Exercise 5.5 for the elastic stiffness tensor 4 C = KII Exercise 5.7 A rosette of strain gauges (see Exercise 2.10) is used to assess the strain and stress state in a plate. The strain gauges are oriented at angles θ 1 = 0, θ 2 = 45 and θ 3 = 90 with respect to the basis vector e x (Figure 5.8). The measured normal strains in these directions are respectively ε nn,1 = 0.2 10 4, ε nn,2 = 1.9 10 4 and ε nn,3 = 1.6 10 4. The thickness of the plate is small compared to its in-plane dimensions, so a plane stress state can be assumed. The plate material can be considered isotropic and linear elastic with Young s modulus and Poisson s ratio given by E = 1.5 10 5 MPa and ν = 0.25. e y 45 e z e x Figure 5.8: Plate with gauge rosette configuration a. Determine the in-plane components of the strain tensor. b. Compute the relevant components of the stress tensor. c. Compute the principal stresses σ 1, σ 2 and σ 3. d. Determine the strain in the thickness direction. Exercise 5.8 The shaft of a helicopter rotor (Figure 5.9) transmits the driving moment for the rotor as well as a tensional load due to the lift force exerted by the rotor. In cruise flight, the driving moment 11

is M = 3.4 knm, while the lift force is F = 30kN. The thickness of the shaft is 2R = 60 mm and its length L = 800mm. It is made of a high-strength steel, for which E = 2.1 10 5 MPa and ν = 0.30. e z e θ e r 60mm Figure 5.9: Helicopter rotor shaft a. Show that, if it is assumedthat theshear stress in theshaft increases linearly with the radius, the maximum shear stress is given by τ max = 2M πr 3 b. Determine the stress components at the surface of the shaft, where the shear stress reaches its maximum (R = 30mm). c. Compute the strain components at the surface of the shaft. d. Compute the change in length of the shaft, L, due to its loading. e. Determine the angle φ (in degrees) over which the shaft is twisted as a result of the driving moment. 12

A Answers

Chapter 5 5.1 a. = σ [ ] T [ ] T σ 11 σ 22 σ 33 τ 12 τ 13 τ 23 = 70 38 14 19 0 18 MPa b. = σ [ 27.5 16.3 1.6 6.7 0 6.2 ] T MPa c. = σ [ 1.13 0.79 0.24 0.21 0 0.19 ] T MPa d. = σ [ 1.34 0.69 0.39 0.39 0 0.36 ] T MPa 5.2 a. G A = 0.34MPa, K A = 17MPa G B = 3.8MPa, K B = 8.3MPa c. Ẽ A = 17MPa, Ẽ B = 13MPa d. material A 5.3 b. σ = 15( e x e y + e y e x ) MPa c. σ = 15( e 1 e 1 e 2 e 2 ) MPa d. ε = 1.1 10 3 e 1 e 1 +1.6 10 3 e 2 e 2 e. ε xx = 2.5 10 4 ; no f. u = 1.0mm; exactly the same 5.4 a. ε 1 = ε 2 = 2.5 10 4, ε 3 = 2.1 10 4 b. t = 4.3µm c. R = 0.50mm 5.5 a. σ = Gγ( e 1 e 2 + e 2 e 1 ) b. σ = 0 c. σ = 4 3 Gε e 1 e 1 2 3 Gε( e 2 e 2 + e 3 e 3 ) 5.6 a. σ = 0 b. σ = 3KeI c. σ = KεI 5.7 a. = ε b. = σ ε xx ε yy γ xy σ xx σ yy τ xy 0.2 = 1.6 10 4 2.4 3 = 25 MPa 14 c. σ 1 = 32MPa, σ 2 = 0, σ 3 = 4MPa 15

d. ε zz = 4.7 10 5 σ rr 0 σ θθ 0 5.8 b. = σ zz σ τ rθ = 11 0 MPa τ rz 0 τ θz 80 ε rr 0.2 ε θθ 0.2 c. = ε zz ε γ rθ = 0.5 0 10 4 γ rz 0 γ θz 9.9 d. L = 40µm e. φ = 1.5 16