4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1

4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 1 6 6 6 6 6 2 Let op: In de noemer mag geen wortelteken staan. Voorbeeld 4: 3 5 k.n. Voorbeeld 5: 3 27 3 93 3 3 3 4 3 Let op: Probeer zoveel mogelijk buiten het wortelteken te halen. 2

4.1 Rekenen met wortels [2] Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 Voorbeeld 1: (5 3 6) 2 2 2 (5 3) 25 3 6 ( 6) 253 25 3 6 6 75 10 18 6 81 10 92 81 10 32 81 30 2 3

4.1 Rekenen met wortels [2] Voorbeeld 2: (3 4 7)(3 4 7) (3 4) ( 7) 2 2 9 4 7 36 7 29 Voorbeeld 3: ( a 6 a) 2 2 2 7a 2a 6 2 2 a 6 2a 6 a a 2 2 2 6a 2a 6 a 4

4.1 Rekenen met wortels [2] Voorbeeld 4: 5 7 10 5 7 10 7 10 7 10 35 5 10 49 10 35 5 10 39 35 5 10 39 39 5

4.2 Gebroken vormen [1] Voorbeeld 1: 2 3 a b 2b 3a ab ba 2b 3a 2b 3a ab ab ab Let op: Je mag de breuken optellen als de noemers gelijknamig zijn; Zijn de noemers niet gelijknamig, maak ze dan eerst gelijknamig. Voorbeeld 2: 5 6 x x1 5( x1) 6x x( x 1) x( x 1) 5x 5 6x 11x 5 x( x 1) x( x 1) Let op: Vereenvoudig de teller en noemer zoveel mogelijk. 6

4.2 Gebroken vormen [1] Voorbeeld 3: 1 1 2 2 a b ab b a a b 2 2 2 2 2 2 a b a b a b Let op: Vindt steeds een zo eenvoudig mogelijke gemeenschappelijke noemer. Voorbeeld 4: 3 5x x 2 2 5x 3 5x 3 x x x 7

4.2 Gebroken vormen [2] Voorbeeld 1: 6x 2 3x x 6x 6 x(3x 1) 3x 1 Voorbeeld 2: 6x 3 2 2x x 3(2 x 1) 3 x(2x 1) x Let op: Vereenvoudig wanneer dat kan de breuk door teller en noemer door een gemeenschappelijke factor te delen. 8

4.3 Machten met gehele en gebroken exponenten [1] Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20 Delen is exponenten aftrekken: 8 6 2 a a Macht van een product: (2a 3 ) 4 = 16a 12 Algemeen: p p q pq a pq 1) a a a 2) a q a 3)( a ) a 4)( ab) a b p q pq p p p a 9

4.3 Machten met gehele en gebroken exponenten [2] Meer rekenregels: 5) a 0 = 1 want n 1 6) a n a want a a 6 66 0 a a 1 6 2 2 a aa a 1 a 7 7 5 a aaaaaaa a a 5 Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld 2: Schrijf zonder negatieve exponenten: 3 3 1 1 243 243 a 7 3 27 a 243 27a a 7 243 3 3 3 10

4.3 Machten met gehele en gebroken exponenten [3] Meer rekenregels: 1 7) q q a a want a a 6 66 0 a a 1 6 p 8) q q p a a want Voorbeeld 1: Schrijf zonder negatieve en gebroken exponenten: 6a 1 1 3 3 3 6a 6 3 4 b 3 4 3 4 b b a Voorbeeld 2: Schrijf als macht van a: 2 2 2 2 5 2 2 5 5 a a a a a 3 1 1 3 3 3 3 3 1 a ( a ) a a a 11

4.3 Machten met gehele en gebroken exponenten [4] Voorbeeld 1: x 6 x 30 1 1 6 6 6 30 1 6 30 6 30 1,76 x Links en rechts tot de macht 1/6 Voorbeeld 2: x 3 x 10 1 1 3 3 3 1 3 10 x 10 0,46 Links en rechts tot de macht -1/3 12

4.3 Machten met gehele en gebroken exponenten [4] Voorbeeld 3: x 1,60 x 9 1 1 1,60 1,60 1,60 1 1,60 9 x 9 3,95 Links en rechts tot de macht 1/1,60 Voorbeeld 4: 1,65 5x 9 30 1,65 5x 39 x 1,65 39 5 39 x 5 1 1,65 3,47 Links en rechts tot de macht 1/1,65 13

4.4 Goniometrische verhoudingen [1] Herhaling: overstaande rechthoekszijde a sina schuine zijde b aanliggende rechthoekszijde c cosa schuine zijde b overstaande rechthoekzijde a tana aanliggende rechthoekzijde c Let op: Stel je GR in op graden bij deze goniometrische berekeningen. MODE en dan DEGREE i.p.v. RADIAN kiezen. 14

4.4 Goniometrische verhoudingen [1] Voorbeeld: Gegeven is een rechthoekige ABC met AB = 6 en A = 39. Bereken AC en BC AC = schuine zijde BC = overstaande rechthoekzijde AB = aanliggende rechthoekzijde = 6 BC tana AB BC tan39 6 1 BC 0,8097 6 BC 4,86 AB cosa AC 6 cos39 AC cos39 AC 6 0,777AC 6 AC 7,722 15

4.4 Goniometrische verhoudingen [2] Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus ½ 1/2 2 1/2 3 cosinus 1/2 3 1/2 2 1/2 tangens 1/3 3 1 3 16

4.4 Goniometrische verhoudingen [2] Voorbeeld 1: Gegeven is een rechthoekige ABC met AC = 12 en A = 45. Bereken AB AC = schuine zijde AB = aanliggende rechthoekzijde AB cosa AC AB cos45 12 1 1 2 AB 2 12 AB 6 2 Let op: Als er in de noemer een wortelteken komt te staan, moet je dit wegwerken. 17

4.4 Goniometrische verhoudingen [2] Voorbeeld 2: Gegeven is de ABC met AB = 10 en A = 30 en B = 45. Bereken de oppervlakte van ΔABC. Stap 1: Opp(ΔABC)= 0,5 AB CD= 0,5 10 CD = 5CD Stap 2: ΔBCD is gelijkzijdig. Er geldt: BD = CD = x. Stap 3: Bereken nu de waarde van x: AD + BD = 10 AD + x = 10 Wanneer de lengte van AD berekend is, kan x berekend worden wat x is. 18

4.4 Goniometrische verhoudingen [2] Voorbeeld 2: Gegeven is de ABC met AB = 10 en A = 30 en B = 45. Bereken de oppervlakte van ΔABC. Stap 4: Bereken de lengte van AD: CD tana AD x tan30 AD 1 x 3 3 AD 1 3 3 AD x 3AD 3x 3x 3x 3 3 3x AD x 3 3 3 3 3 19

4.4 Goniometrische verhoudingen [2] Voorbeeld 2: Gegeven is de ABC met AB = 10 en A = 30 en B = 45. Bereken de oppervlakte van ΔABC. Stap 5: Bereken de waarde van x: AD DB 10 x 3 x10 x(1 3) 10 10 10 1 3 10(1 3) x 5 3 5 1 3 1 3 1 3 13 Stap 6: Bereken de oppervlakte van ΔABC: 1 Opp( ABC) 10CD 2 1 1 10 x 10 (5 3 5) 25 3 25 2 2 20

4.4 Goniometrische verhoudingen [3] Sinusregel: In elke driehoek ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld: Gegeven is ΔABC met c = 12, α = 54 en β = 62 Bereken a in één decimaal nauwkeurig. a c sin sin a 12 sin54 sin64 a 13,35 0,809 a 10,80 21

4.4 Goniometrische verhoudingen [4] Voorbeeld 1: Bereken sin 50 en sin 130 sin 50 = sin 130 = 0,5. Sin = 0,5 heeft twee oplossingen. Neem dus de juiste (kijk of de driehoek stomphoekig of scherphoekig is). Er geldt steeds: Als A + B = 180 dan sin A = sin B. Cosinusregel: In elke ABC geldt de cosinusregel: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ Met behulp van de cosinusregel is het dus mogelijk de grootte van de hoeken van een driehoek uit te rekenen als je alleen de lengtes van de zijden weet. 22

4.4 Goniometrische verhoudingen [4] Voorbeeld 2: Gegeven is ABC met a = 4,46 b = 4,84 en c = 4,96. Bereken A in graden nauwkeurig. a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α 4,46 2 = 4,84 2 + 4,96 2 2 4,84 4,96 cos α 19,89 = 48,03 48,01 cosα 48,01 cos α = 28,14 cos α = 0,586 α = 54,13 Grafische Rekenmachine: Op de GR bereken je cos α = 0,586 met: 2ND COS COS -1 (0,586) 23

4.5 Lengte en oppervlakte [1] Voorbeeld 1: De lengte van zijvlaksdiagonaal BE is: BE 2 = AB 2 + AE 2 BE 2 = a 2 + a 2 = 2a 2 BE = (2a 2 ) = a 2 Voorbeeld 2: De lengte van lichaamsdiagonaal BH is: BH 2 = BD 2 + DH 2 BH 2 = 2a 2 + a 2 = 3a 2 BH = (3a 2 ) = a 3 In een kubus met ribbe a is de lengte van een zijvlaksdiagonaal a 2; een lichaamsdiagonaal a 3. 24

4.5 Lengte en oppervlakte [1] Voorbeeld 3: Gegeven is de kubus ABCD EFGH met DM = MH. Druk BM uit in a: BM BD DM 2 2 2 1 BM ( a 2) ( a) 2 2 2 1 2 BM 2a a 4 2 1 2 9 2 BM 2 a a 4 4 2 2 2 3 1 BM a 1 a 2 2 25

Herhaling: 4.5 Lengte en oppervlakte [2] Oppervlakte driehoek = ½ basis hoogte Oppervlakte parallellogram = basis hoogte Oppervlakte cirkel = π straal 2 26

4.5 Lengte en oppervlakte [2] Oppervlakte trapezium = ½ (a + b) hoogte Voorbeeld: Gegeven is het gelijkbenige trapezium ABCD Met A = B = 60 en hoogte DE = 6. De oppervlakte van het trapezium is 30. Bereken de exacte lengte van CD. Stap 1: O(ABCD) = ½ (AB + CD) DE = 30 Als je de lengte van AB weet, kun je de lengte van CD berekenen, want DE is bekend. 27

4.5 Lengte en oppervlakte [2] Voorbeeld: Gegeven is het gelijkbenige trapezium ABCD Met A = B = 60 en hoogte DE = 6. De oppervlakte van het trapezium is 30. Bereken de exacte lengte van CD. Stap 2: Bereken de lengte van AE: DE tana AE 6 tan60 AE 6 3 AE 6 6 3 6 3 AE 2 3 3 3 3 3 28

4.5 Lengte en oppervlakte [2] Voorbeeld: Gegeven is het gelijkbenige trapezium ABCD Met A = B = 60 en hoogte DE = 6. De oppervlakte van het trapezium is 30. Bereken de exacte lengte van CD. Stap 3: De lengte van CF is ook gelijk aan 2 3 Stap 4: De lengte van AB is gelijk aan: AE + EF + BF = 2 3 + x + 2 3 = x + 4 3 Omdat EF gelijk is aan CD is de lengte van beide lijnstukken x. 29

4.5 Lengte en oppervlakte [2] Voorbeeld: Gegeven is het gelijkbenige trapezium ABCD Met A = B = 60 en hoogte DE = 6. De oppervlakte van het trapezium is 30. Bereken de exacte lengte van CD. Stap 5: De lengte van AB invullen in de oppervlakte formule geeft: O(ABCD) = ½ (AB + CD) DE = 30 = ½ (x + 4 3 + x) 6 = 30 = 3 (2x + 4 3) = 30 = 2x + 4 3 = 10 => 2x = 10-4 3 => x = CD = 5-2 3 30

4.5 Lengte en oppervlakte [3] Voorbeeld: Gegeven is de gelijkbenige ABC met AB = 10 en AC = BC = 13. In deze driehoek word rechthoek PQRS getekend met P en Q op AB, R op BC en S op AC. Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van PQRS. Stap 1: O(PQRS) = PQ PS Stap 2: Vindt een uitdrukking voor PQ: Stel AP = x, dan geldt: BQ = x PQ = AB AP BQ = 10 x x = 10 2x 31

4.5 Lengte en oppervlakte [3] Stap 3: Vindt een uitdrukking voor PS: In ABC geldt: CD 2 + BD 2 = BC 2 CD 2 + 5 2 = 13 2 CD 2 + 25 = 169 CD 2 = 144 CD = 12 Die driehoeken APS en ADC zijn gelijkvormig. Op basis hiervan geldt: AP PS AD DC x PS 5 12 5PS 12x PS 2,4x 32

4.5 Lengte en oppervlakte [3] Stap 4: Vul de gevonden waarden voor PQ en PS nu in, in de formule van de oppervlakte van PQRS: O(PQRS) = PQ PS = (10 2x) 2,4x = 24x 4,8x 2 De oppervlakte van PQRS wordt dus beschreven door een kwadratische formule. Stap 5: Bereken de waarde van x waarbij de oppervlakte van PQRS maximaal is. x top b 24 2,5 2a 9,6 De maximale oppervlakte van PQRS is nu dus: O max = 24 2,5 4,8 2,5 2 = 30 33

Rekenregels wortelfuncties: 2 4 Samenvatting [1] 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A A In de noemer mag geen wortelteken staan; Probeer zoveel mogelijk buiten het wortelteken te halen. (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 Je mag de breuken optellen als de noemers gelijknamig zijn; Zijn de noemers niet gelijknamig, maak ze dan eerst gelijknamig. 34

Rekenregels machten: 4 Samenvatting [1] p p q pq a pq 1) a a a 2) a q a 3)( a ) a 4)( ab) a b p q pq p p p 5) a 0 = 1 6) 1 q q 7) a a 8) a a n p q 1 n a q a p overstaande rechthoekszijde a sina schuine zijde b aanliggende rechthoekszijde c cosa schuine zijde b overstaande rechthoekzijde a tana aanliggende rechthoekzijde c Sinusregel: a b c sin sin sin 35

4 Samenvatting [1] Cosinusregel: In elke ABC geldt de cosinusregel: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ hoek 30 45 60 sinus ½ 1/2 2 1/2 3 cosinus 1/2 3 1/2 2 1/2 tangens 1/3 3 1 3 Oppervlakte driehoek = ½ basis hoogte Oppervlakte parallellogram = basis hoogte Oppervlakte cirkel = π straal 2 Oppervlakte trapezium = ½ (a + b) hoogte 36