Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie Les 9 Voorbeelden en toepassingen van de Forier transformatie We hebben in de vorige les de theorie van de Forier transformatie behandeld en een aantal eigenschappen van de Forier transformatie bekeken. Tot nog toe is de Forier transformatie echter een abstracte procedre die aan een fnctie in het tijdsdomein een fnctie in het freqentiedomein toewijst. Om enigszins begrip van de Forier transformatie te krijgen, zllen we in deze les de Forier getransformeerden van een aantal belangrijke fncties expliciet berekenen. Verder leren we een niewe fnctie kennen, die geen fnctie van de gebrikelijke soort is, namelijk de Dirac δ-fnctie. Deze fnctie is overal nl, behalve in een enkele pnt, waar ze zo groot is (oneindig) dat de integraal over de hele reële as niet de waarde maar geeft. We zllen zien dat deze rare fnctie in het kader van de Forier transformatie heel nttig is. Ten slotte gaan we in deze les als toepassing van de Forier transformatie bekijken, hoe high-pass en low-pass filters werken, die de contrasten van een plaatje of gelid aanscherpen of verzachten. 9. Belangrijke voorbeelden We zllen voor een aantal elementaire fncties de Forier transformaties bepalen. Met behlp van verschiven, schalen en het optellen van fncties laten zich it deze fncties natrlijk ingewikkeldere fncties opbowen. Rechthoek impls We hebben in de vorige les al de Forier getransformeerde voor een rechthoek impls f(t) van sterkte tssen de tijden a en a bepaald, ds voor de fnctie { als t a f(t) := als t > a (zie Figr II.)..8.6.4. - - t Figr II.: Rechthoek impls tssen t = en t =. 58
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie We hadden toen gezien dat de Forier getransformeerde F () := F[f(t)] gegeven is door F () = f(t)e it dt = sin(a). Om de Forier getransformeerden voor verschillende breedten van de impls goed te knnen vergelijken, is het handig de integraal f(t) dt op te normeren. Hiervoor moeten we naar een impls van sterkte a in plaats van kijken. Omdat de Forier transformatie een lineaire afbeelding is, hoeven we n niet opniew te rekenen, we moeten het resltaat alleen maar met a vermenigvldigen. De fnctie g(t) met g(t) := { a heeft ds de Forier getransformeerde als t a als t > a G() = F[g(t)] = a sin(a) = sin(a) a. We zien dat de parameter a van de rechthoek impls bij de Forier getransformeerde de rol van een schaling van de -as speelt: Als we a verdbbelen, moeten we de -as met een factor samen schiven. Dit betekent in het bijzonder dat voor een grotere waarde van a, ds een langere impls, de Forier getransformeerde met stijgende freqenties sneller afneemt als voor en kleinere waarde van a. Dit zoden we ook zo verwachten, want een korte impls geeft een snelle verandering en heeft ds met hogere freqenties te maken..8.8.6.6.4.4.. - - -. - - -. Figr II.: Forier getransformeerden van genormeerde rechthoek implsen met a = (links) en a = 4 (rechts). In Figr II. zijn de Forier getransformeerden van genormeerde rechthoek implsen voor a = en a = 4 te zien. Zo als verwacht neemt de getransformeerde van de langere impls met a = 4 didelijk sneller af dan de getransformeerde van de kortere impls met a =. 59
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie Driehoek impls Zij f(t) een driehoek impls die tssen de tijden a en lineair van tot groeit en tssen en a weer lineair naar daalt, ds { t f(t) := a als t a als t > a (zie Figr II.3)...75.5.5 t. Figr II.3: Driehoek impls tssen t = en t =. De Forier getransformeerde F () van f(t) is F () = f(t)e it dt = a ( + t a )e it dt + a ( t a )e it dt. Dit lossen we met partiële integratie op, de primitieve van e it is de afgeleide van ± t a is ± a. Voor de eerste integraal volgt hierit a ( + t a )e it dt = ( + t a ) i e it a = i + a i a = i + a a eia Net zo krijgen we voor de tweede integraal a ( t a )e it dt = ( t a ) i e it a = + i a i a a a i e it dt e it dt = i a (i) e it a a a i e it dt (i) e it a e it dt = i + a = i a e ia + a Als we de twee integralen bij elkaar optellen, krijgen we ds F () = i + a a = a ( eia e ia ). eia + i a 6 e ia + a i e it en
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie Met een klein trcje knnen we dit nog iets eenvodiger schrijven, er geldt namelijk Hierit volgt (e i a e i a ) = e ia + e ia = ( e ia e ia ) sin ( a ) = (ei a e i a i ) = 4 (ei a e i a ) = 4 ( eia e ia ) en als we dit in de gevonden formle van F () invllen, krijgen we iteindelijk: F () = 4 a sin ( a ) = a ( a ) sin ( a ) = a ( sin( a ) a Als we ook bij deze fnctie de integraal f(t) dt op normeren, moeten we f(t) met a vermenigvldigen, dit geeft de fnctie { g(t) := a t als t a a als t > a Deze fnctie g(t) heeft als Forier getransformeerde ( sin( a F[g(t)] = ) a ) ). ds speelt ook hier de parameter a de rol van een schaling van de -as..8.8.6.6.4.4.. - - - - Figr II.4: Forier getransformeerden van driehoek implsen met a = (links) en a = 4 (rechts). Ook de plaatjes van de Forier getransformeerden van de driehoek impls in Figr II.4 laten didelijk zien dat bij de kortere impls voor a = de hogere freqenties een grotere rol spelen dan bij de impls voor a = 4. 6
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie Gass fnctie Een belangrijke rol bij de Forier transformaties speelt de Gass fnctie f(t) := e at (zie Figr II.5), die we in verband met de normale verdeling ook in de kansrekening en statistiek tegen komen. De opmerkelijke eigenschap van deze fnctie ten opzichte van de Forier transformatie is, dat de Forier getransformeerde weer een fnctie van dezelfde soort is...75.5.5 3 t. 3 Figr II.5: Gass fnctie e t. Om dit na te gaan, hebben we de integraal van tot van de Gass fnctie nodig, die we in het kader van de integratie van fncties van meerdere veranderlijken hebben bepaald: e x dx = π π en ds e at dt = a waarbij de tweede integraal met behlp van de sbstittie a t = x, a dt = dx it de eerste volgt. Voor de Gass fnctie f(t) := e at met a > geldt voor de Forier getransformeerde F () := F[f(t)]: F () = e at e it dt = e a(t +i a t) dt = e a(t+i a ) e a(i a ) dt = e 4a e a(t+i a ) dt = e 4a e aτ π dτ = a e 4a waarbij we in de voorlaatste stap de sbstittie τ = t + i a, dτ = dt toepassen. We hebben ds ingezien: Stelling: De Forier getransformeerde van een Gass fnctie is ook weer een Gass fnctie, er geldt: π F[e at ] = a e 4a. De dichtheidsfnctie van een normale verdeling met verwachtingswaarde en standaardafwijking σ is de Gass fnctie f(t) = e t σ, 6
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie ds moeten we a = in ons resltaat invllen. Dit geeft π σ a = π σ en 4a = σ =, ds geldt: σ f(t) = e t σ F () = F[f(t)] = π σ e σ. De Forier getransformeerde van een normale verdeling met standaardafwijking σ is ds een normale verdeling met standaardafwijking σ = σ. In het bijzonder is de Forier getransformeerde van een standaard-normale verdeling (met standaardafwijking ) zelf ook een standaard-normale verdeling. Eindige cosins golf We kijken naar een cosins fnctie op het eindige interval [ a, a], ds { cos(ωt) als t a f(t) := als t > a zo als in Figr II.6 afgebeeld...8.6.4...5..5..5. t..5.4.6.8. Figr II.6: Eindige cosins golf tssen t = en t =. De Forier getransformeerde is F () = a f(t)e it dt = a a a cos(ωt)e it dt = a a (eiωt + e iωt )e it dt = e i( ω)t dt + e i(+ω)t dt a a = i( ω) e i( ω)t a a + i( + ω) e i(+ω)t a a = ω ( e i( ω)a e i( ω)a) i + ω (e i(+ω)a e i(+ω)a) i sin(a( ω)) sin(a( + ω)) = + ω + ω Als we dit resltaat met de Forier getransformeerde van een rechthoek impls vergelijken, zien we dat de Forier getransformeerde van een eindige cosins golf de som van twee Forier getransformeerden van rechthoek implsen is, waarvan één om ω naar rechts en de andere om ω naar links verschoven is. 63
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie 4.8 3.6.4. - - -. - - - Figr II.7: Forier getransformeerden van eindige cosins golven met freqentie ω = π op het interval [ a, a] voor a = (links) en a = 4 (rechts). Dit is in feite niet erg moeilijk om in te zien: Net zo als een verschiving om t in het tijdsdomein met een vermenigvldiging van de Forier getransformeerde met e it in het freqentiedomein correspondeert, correspondeert een verschiving van een Forier getransformeerde om ω in het freqentiedomein met een vermenigvldiging met e iωt in het tijdsdomein. Maar als we een rechthoek impls met e iωt vermenigvldigen, krijgen we de fnctie e iωt op een eindig interval, en door één keer om ω en één keer om ω te verschiven, krijgen we e iωt + e iωt = cos(ωt) op een eindig interval, en dit is (tot op de factor na) precies waarmee we zijn begonnen. Exponentiële daling Een exponentiële daling wordt door de fnctie f(t) := { e at als t als t < met a > beschreven (zie Figr II.8). Hierbij is de daling om zo sneller hoe groter de parameter a is. De Forier getransformeerde van deze fnctie f(t) berekenen we als volgt: F () = f(t)e it dt = e at e it dt = = i + a e (i+a)t = i + a = a i + a = e (i+a)t dt a + a i + a want voor t gaat e at en ds ook e (i+a)t = e it e at. Om ook in dit geval verschillende parameters a goed te knnen vergelijken, normeren we f(t) dt weer op, hiervoor moeten we e at met a vermenig- 64
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie.8.6.4. 3 4 5 6 t vldigen, want e at dt = Figr II.8: Exponentiële daling. g(t) := heeft de Forier getransformeerde a e at = a. De fnctie { ae at als t als t < G() := F[g(t)] = a ia a a met reëel deel R(G()) = + a +..8.8.6.6.4.4.. - - - - Figr II.9: Reëel deel van de Forier getransformeerden voor een exponentiële daling met a = (links) en a = 4 (rechts). Ook hier is in de plaatjes van Figr II.9 didelijk te zien dat de snellere daling voor a = 4 een grotere bijdrage van hoge freqenties tot gevolg heeft. Omdat we het hier eigenlijk met een fnctie te maken hebben, die alleen maar voor positieve tijden gedefinieerd is, is dit een typisch geval om de Forier cosins transformatie F c () = g(t) cos(t) dt 65
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie toe te passen. Hiervoor hebben we weer een partiële integratie nodig: ae at cos(t) dt = ae at sin(t) ( a)ae at sin(t) dt = a e at sin(t) + a e at sin(t) dt = a e at sin(t) + (e a at ( ) cos(t) ( a)e at ( ) ) cos(t) dt = a e at sin(t) a e at cos(t) a ae at cos(t) dt Met + a = +a F c () = = volgt hierit ae at cos(t) dt = a + ( ) a e at sin(t) a e at cos(t) a + ( ae at sin(t) a e at cos(t) ) = a a + want voor t gaat ae at sin(t) a e at cos(t). De Forier cosins transformatie levert ds inderdaad het reële deel van de complexe Forier transformatie op, maar eist wel behoorlijk meer rekenwerk. 9. De Dirac δ-fnctie Een knstmatige maar iterst belangrijke en nttige fnctie is de Dirac δ- fnctie of δ-impls. Deze fnctie is overal, behalve van een oneindige spits in het nlpnt en is gedefinieerd door de eigenschap dat de integraal van tot de waarde heeft. We knnen dit zien als limiet van een rechthoek impls op het interval [ a, a] van sterkte a, waarbij men a laat gaan. Deze fnctie wordt aangegeven met δ(x). De wezenlijke eigenschappen van de δ-impls zijn: δ(x) dx = en f(x)δ(x x ) dx = f(x ). De tweede eigenschap gaat men na door de δ-fnctie door een rechthoek impls van breedte a te benaderen en hiervan de limiet a te bekijken: Een rechthoek impls van breedte a rond een pnt x is gegeven door de fnctie { r a (x) := a als x [x a, x + a] als x [x a, x + a] We veronderstellen n dat we een primitieve van f(x) kennen, ds een fnctie F (x) met F (x) = f(x). Er geldt n f(x)r a (x) dx = x +a x a f(x) a dx = a F (x) x +a x a = F (x + a) F (x a) a Maar de laatste qotiënt is jist de differentiaalqotiënt waardoor de afgeleide van F (x) in het pnt x a gedefinieerd is, ds gaat deze qotiënt voor a naar F (x a) = F (x ) = f(x ). 66
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie Een crciaal gevolg it de eigenschap f(x)δ(x x ) dx = f(x ) van de δ-fnctie is dat het convoltieprodct van een fnctie f(x) met de δ-fnctie δ(x) in het pnt x jist de waarde f(x ) oplevert: Omdat de δ-fnctie een even fnctie is, geldt δ(x x ) = δ(x x) en ds is f(x ) δ(x ) = f(x)δ(x x) dx = f(x)δ(x x ) dx = f(x ). Merk op: Het convoltieprodct van een fnctie f(x) met de δ-fnctie δ(x) levert in het pnt x jist weer de waarde f(x ) op. Het nemen van het convoltieprodct met de δ-fnctie verandert ds de fnctie f(x) niet. Het feit dat het convoltieprodct met de δ-fnctie de fnctie f(x) niet verandert, betekent dat de δ-fnctie voor het convoltieprodct dezelfde rol speelt als de constante fnctie met waarde voor het gewone (pntsgewijs) prodct f(t) g(t) van fncties. Uit de eigenschappen van de δ-fnctie volgt meteen wat de Forier getransformeerde F[δ(t)] is, namelijk: F () = F[δ(t)] = δ(t)e it dt = e i =. Dit zegt dat de Forier getransformeerde de constante fnctie met waarde voor alle is (deze fnctie noteren we met een vet gedrkte ). De inverse Forier transformatie geeft n een alternatieve schrijfwijze voor de δ-fnctie, namelijk δ(t) = F [] = e it d = e it d. π π Voor de δ-fnctie δ(t t ) met spits in t vinden we met de formle voor een verschoven fnctie (of direct) dat F[δ(t t )] = e it. De samenhang F[F[f(t)]] = πf( t) tssen Forier transformatie en inverse Forier transformatie geeft n ook de mogelijkheid om de Forier transformatie van constante fncties te berekenen. We hadden gezien dat F[δ(t)] =, en als we de variabel t tot hernoemen, volgt hierit: F[] = F[F[δ()]] = π δ( ) = π δ() omdat de δ-fnctie met spits in = een even fnctie is. Als we in de relatie F[δ(t t )] = e it voor de verschoven δ-fnctie de variabelen hernoemen tot t, t ω, t lidt deze F[δ( + ω)] = e iωt en met hetzelfde argment als boven volgt: F[e iωt ] = F[F[δ( + ω)]] = π δ( + ω) = π δ( ω), 67
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie waarbij we weer it symmetrie redenen weten dat δ( + ω) = δ( ω). Samenvattend geeft dit de twee paren van relaties: F[δ(t)] = F[δ(t t )] = e it F[] = π δ() F[e iωt ] = π δ( ω). Met de gewone theorie van integralen is het eigenlijk onzin naar een integraal als eit d te kijken, want de limiet L van L L eit d bestaat niet. Om hier wel na te knnen kijken, moeten we noodzakelijk een niewe fnctie met de eigenschappen van de δ-fnctie definiëren. Dit is een verder voorbeeld van een definitie die door de wiskndigen (en natrkndigen) is verzonnen, om it een doodlopende straat te ontsnappen. We hadden gezegd dat we de δ-fnctie als limiet van een rechthoek impls met oppervlakte knnen zien. Daarom zoden we knnen verwachten, dat ook de net gevonden Forier getransformeerde van de δ-fnctie interpreteerbaar is als limiet van de Forier getransformeerden van de rechthoek implsen. De Forier getransformeerde van een rechthoek impls van breedte a rond. Deze fnctie heeft voor = de waarde (want sin(x) lim x x = ) en de nlpnten zijn gegeven door a = kπ met k Z, ds door = kπ a. In het bijzonder ligt het kleinste positieve nlpnt bij = π a. Als we n de limiet a bekijken, betekent dit dat het eerste nlpnt naar oneindig gaat, ds de hevel rond = wordt steeds breder en in de limiet wordt de hevel helemaal plat en wordt de fnctie F () de constante fnctie. was F () = sin(a) a Omgekeerd laten we n eens voor een rechthoek impls van sterkte en breedte a de parameter a lopen. Deze rechthoek impls heeft de Forier getransformeerde F () = sin(a) = a sin(a) a. Voor a wordt de fnctie sin(a) a en spits van hoogte in het nlpnt, ds wordt F () inderdaad een δ-fnctie. (Dat de constanten hierbij kloppen moet men met een integratie nagaan.) We zien ds dat de definitie van de δ-fnctie als limiet van rechthoek implsen ten opzichte van de Forier transformatie de gewenste eigenschappen heeft. Periodieke fncties Met behlp van de δ-fnctie knnen we n ook de Forier transformaties van periodieke fncties bepalen. Een periodieke fnctie f(t) met periode L en grondfreqentie ω = π L knnen we schrijven als Forier reeks f(t) = c k e iωkt. 68
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie Uit de lineariteit van de Forier transformatie en de resltaten voor de δ-fnctie volgt F () = F[f(t)] = c k F[e iωkt ] = c k δ( ωk) (waarbij we ons geen zorgen over de oneindige som maken). Dit betekent dat we een periodieke fnctie beschrijven door een som van δ-fncties met spitsen op de veelvoden van de grondfreqentie en geschaald volgens de Forier coëfficiënten. In feite is deze beschrijving van een periodieke fnctie niets anders dan de beschrijving door de Forier reeks. Als we n nog eens terg kijken naar de Forier transformaties van eindige cosins golven in Figr II.7, zien we dat de fnctie voor a = 4 al twee didelijke spitsen heeft. Als we het interval [ a, a] van de cosins golf n laten groeien, worden deze spitsen steeds geprononceerder en voor a krijgen we iteindelijk de som van twee δ-fncties met spitsen in ω en ω. Sprongfnctie N dat we de δ-fnctie kennen en de Forier getransformeerde hiervan hebben bepaald, knnen we ook naar fncties met een sprong kijken. Het eenvodigste voorbeeld hiervan is de Heaviside fnctie H(t), gegeven door { als t < H(t) := als t. Omdat voor de Dirac δ-fnctie geldt dat t t δ(x) dx = als t < en δ(x) dx = als t >, is H(t) een primitieve van de δ-fnctie. Omgekeerd betekent dit dat H (t) = δ(t). Dit is een verdere motivatie om een fnctie zo als de δ-fnctie te definiëren. We hadden in de vorige les gezien dat F[f (t)] = if[f(t)], maar hierbij hadden we verondersteld dat lim f(t) = voor t ± en dit is voor de Heaviside fnctie H(t) zeker niet het geval. Als we de formle niettemin op H(t) toepassen, krijgen we F[H(t)] = i F[δ(t)] = i. Maar we zien hier ook waar het probleem zit: Als we op de Heaviside fnctie een constante C optellen, is de afgeleide nog steeds (H(t)+C) = δ(t), maar n is F[H(t)+C] = F[H(t)] +F[C] = F[H(t)] +Cδ(). Het optellen van een constante leidt ds tot een verschil om een veelvod van de δ-fnctie bij de Forier getransformeerde. Uit deze discssie volgt dat we hoogit knnen verwachten dat F[H(t)] van de vorm F[H(t)] = i + cδ() is. Dat dit inderdaad het geval is, knnen we op een andere manier onderbowen: We hebben eerder in deze les aangetoond dat de fnctie f(t) := { e at als t als t < met a > de Forier getransformeerde F[f(t)] = i heeft. Maar in de limiet +a +a a geeft f(t) jist de Heaviside fnctie weer, want hoe kleiner a is, hoe 69 a
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie langzamer neemt de fnctie af, en in de limiet a neemt de fnctie helemaal niet meer af. Als we n voor de limiet a van F[f(t)] bepalen, krijgen we lim a F[f(t)] = i = i en dit klopt inderdaad met onze gok dat F[H(t)] = i + cδ(). We moeten ds alleen maar nog de waarde van F[H(t)] voor = bepalen. Dit doen we als volgt: Er geldt H(t) + H( t) = (behalve voor t = ). Hierit volgt dat F[H(t)] + F[H( t)] = F[] = πδ(). Maar voor F () = F[H(t)] geldt dat F[H( t)] = F ( ), ds hebben we F () + F ( ) = πδ() en ds F () = πδ(). Bij elkaar genomen hebben we ds voor de sprong fnctie H(t) aangetoond dat F[H(t)] = πδ() + i. 9.3 Toepassing: Filters Het idee bij een filter is dat we zekere freqentieaandelen in een signaal willen versterken en andere onderdrkken. Dit gebert typisch door de Forier getransformeerde met een geschikte fnctie te vermenigvldigen en het resltaat met de inverse Forier transformatie terg naar het tijdsdomein te transformeren: Principe van een filter: Een fnctie f(t) met F[f(t)] = F () wordt in het freqentiedomein met behlp van de filter fnctie H() tot de niewe fnctie G() = F () H() veranderd. Hierit wordt met behlp van de inverse Forier transformatie het gefilterde signaal g(t) = F [G()] = f(t) h(t) verkregen, waarbij h(t) = F [H()] de inverse Forier getransformeerde van H() is. Figr II.: Origineel, low-pass en high-pass gefilterd versie van een satelliet foto. In Figr II. is een voorbeeld van de toepassing van een low-pass en een high-pass filter op een satelliet opname te zien. Bij een low-pass filter worden de lage freqenties doorgelaten en de hoge onderdrkt en bij een high-pass filter is het omgekeerd, de lage freqenties worden onderdrkt en de hoge doorgelaten. Het effect is, dat met een low-pass filter het grove patroon van een signaal 7
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie hetzelfde blijft, maar de scherpe contrasten tot een meer geleidelijke overgang verzacht worden. Omgekeerd benadrkt een high-pass filter alleen maar de scherpe contrasten, terwijl bijvoorbeeld de informatie over de intensiteit van het signaal verloren gaat. Zo is in het rechterplaatje niet meer te achterhalen of een gebied in het origineel licht of donker grijs is, maar wel heel didelijk waar de grijstonen sterk veranderen. Belangrijke typen en voorbeelden van filters zijn: () Low pass filter: De lage freqenties corresponderen met de grove kenmerken over grotere gebieden. Een filter die deze freqenties benadrkt en hogere freqenties onderdrkt heet een low-pass filter. In de beeldverwerking zal zo n filter een zachter beeld tot gevolg hebben, waarbij de scherpe contrasten afgezwakt zijn. In het bijzonder knnen hierdoor kleine foten (zo als een kleine spot op een plaatje of een korte beep in een mziekopname) onderdrkt worden. () High pass filter: De hoge freqenties corresponderen met snelle veranderingen. Een filter die lage freqenties onderdrkt en hoge freqenties benadrkt heet high-pass filter. Bij de beeldverwerking worden hierdoor scherpe contrasten, zo als knikken benadrkt en hierdoor kan een beeld scherper lijken. Figr II.: Origineel, low-pass en high-pass gefilterd versie van een eenvodig plaatje. (3) Gass filter: We hebben gezien dat een Gass fnctie de mooie eigenschap heeft dat ook zijn Forier getransformeerde weer een Gass fnctie is. Dit maakt het omschakelen tssen tijd en freqentiedomein bijzonder eenvodig. Met H() = A e σ krijgt men een low-pass filter waarbij de parameter σ (de standaardafwijking) aangeeft, hoe breed de filter is, d.w.z. voor een grotere σ worden meer freqenties doorgelaten, terwijl een kleine σ bijna alle freqenties wegdraait. Een Gass high-pass filter krijgt men in het eenvodigste geval als verschil van een constante fnctie en een Gass low-pass filter, namelijk als 7
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie H() = A( e σ ). Algemener neemt men vaak het verschil van twee Gass fncties met parameters σ en ρ: H() = A e σ B e ρ. (4) Notch filter: In het pnt = geeft de Forier getransformeerde het gemiddelde F () = f(t) dt van de fnctie f(t) aan. Door dit op te zetten, wordt bijvoorbeeld de helderheid van plaatjes genormeerd. De hiervoor benodigde filter heeft in het freqentiedomein de fnctie H() = en H() = voor, maar deze fnctie is natrlijk niet contin. Om wel met een contine fnctie te knnen werken moeten we rond = een scherpe dip hebben. In principe knnen we hiervoor een high-pass filter nemen, die alleen maar de freqenties heel dicht bij = onderdrkt. Een mogelijkheid hiervoor is een Gass high-pass filter H() = e σ met een kleine waarde van σ. Maar ook een fnctie zo als H() = met een grote waarde van a is geschikt. (a) +(a).8.8.6.6.4.4.. - -.5.5 - -.5.5 Figr II.: Notch filters: links Gass high-pass filter, rechts high-pass filter met fnctie (a) +(a). Voorbeeld: Rechthoek impls We kijken naar een rechthoek impls f(t) van breedte en sterkte. Voor deze fnctie hebben we in de vorige les al de Forier getransformeerde bepaald, namelijk F () = sin( ). De kleinste positieve nlpnt van F () is π, zo als ook in het middelste plaatje van Figr II.3 te zien is. We gaan n een Gass low-pass en high-pass filter op dit signaal toepassen en kiezen hiervoor (enigszins willekerig) de filter fnctie H l () = e π. 7
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie.8.8.8.6.6.6.4.4..4. - -. - - -. - - t Figr II.3: Rechthoek impls, Forier getransformeerde en Gass low-pass en high-pass filters De breedte van de Gass fnctie H l () is zo gekozen, dat bij het minimm van F () op = 3π de filter fnctie ongeveer bij.5 zit. Als high-pass filter kiezen we H h () = H l () = e π. De twee filter fncties zijn in het rechterplaatje van Figr II.3 te zien. Zo als gezegd is het idee bij een filter dat we zekere freqenties onderdrkken en andere gewoon doorlaten, hiervoor vermenigvldigen we de Forier getransformeerde van het signaal met de filter fnctie. Voor de low-pass filter krijgen we zo de fnctie G l () = F () H l () en voor de high-pass filter G h () = F () H h (). De fncties G l () en G h () zijn in Figr II.4 te zien en het is didelijk hoe de low-pass filter de hevels in de Forier getransformeerde F () onderdrkt, behalve van de hoofdspits in =. Omgekeerd verdwijnt bij de high-pass filter deze hoofdspits helemaal, terwijl de andere maxima en minima voor hogere freqenties didelijk zichtbaar blijven..8.8.6.6 y.4 y.4.. - - -. - - -. Figr II.4: Prodct van Forier getransformeerde met Gass low-pass en high-pass filters Het gefilterde signaal krijgen we n door de inverse Forier transformatie 73
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie op het prodct van de Forier getransformeerde en de filter fnctie in het freqentiedomein toe te passen, het low-pass gefilterde signaal is ds en het high-pass gefilterde signaal is f l (t) = F [F () H l ()] f h (t) = F [F () H h ()]..4.8..6.4. - - t -. -.4 - - t Figr II.5: Inverse Forier transformatie van het prodct met de filter fncties geeft de gefilterde signalen Deze signalen zijn in Figr II.5 te zien. Het is didelijk dat de lowpass filter het signaal grofweg bewaart, maar de scherpe knikken tot ronde bochten verzacht. In tegenstelling hiermee geeft het high-pass gefilterde signaal aan, waar het signaal sterk verandert, namelijk in de pnten t = ±.5 van de knikken. In het pnt t = waar het signaal de grootste intensiteit heeft, geeft de high-pass filter zelf de waarde, want hier veranderd het signaal niet. Dit is in overeenstemming met de waarnemingen bij Figr II.: Als de grijs-intensiteit op een gebied nawelijks veranderd, geeft de high-pass filter steeds eenzelfde grijs-klering, onafhankelijk of het origineel in dit gebied licht of donker grijs is. Het feit dat in dit voorbeeld H l () + H h () = geldt, heeft tot gevolg dat F () = F () H l () + F () H h () en hierit volgt dat f(t) = F [F ()] = F [F () H l ()] + F [F () H h ()]. Dit betekent dat in dit voorbeeld het originele signaal de som van het low-pass gefilterde signaal en het high-pass gefilterde signaal is. Voorbeeld: Driehoek impls We kijken op een soortgelijke manier naar het voorbeeld van een driehoek impls f(t) tssen en die in t = de sterkte heeft. Zo als eerder in deze les 74
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie gevonden, heeft f(t) de Forier getransformeerde ( sin( F[f(t)] = F () = ) )..8.8.8.6.6.6.4.4.4... - - - - - - t Figr II.6: Driehoek impls, Forier getransformeerde en Gass low-pass en high-pass filters In dit geval passen we een scherpere low-pass filter toe, die al op de freqentie = π waar F () het kleinste positieve nlpnt heeft een waarde van ongeveer.5 heeft. De high-pass filter definiëren we weer als verschil H h () := H l (): H l () = e π, Hh () = H l () = e π..8.8.6.6 y y.4.4.. - - - - Figr II.7: Prodct van Forier getransformeerde met Gass low-pass en high-pass filters Als we in dit geval naar de prodcten van de Forier getransformeerde F () met de filter fncties kijken, zien we didelijk dat de low-pass filter alleen maar de hoofdspits doorlaat en de rest van de Forier getransformeerde onderdrkt. Interessant is hier het prodct met de high-pass filter. De fnctie F () heeft het eerste positieve maximm bij = 3π, maar in het rechterplaatje van Figr II.7 is didelijk te zien dat het prodct F () H h () in = π al een maximm 75
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie heeft. Met het blote oog is dit verschil tssen de hoofdspitsen van F () en F () H l () nawelijks te zien omdat de absolte hoogte van de spits overweegt. Maar de inverse Forier transformatie van de prodcten in het freqentiedomein maakt didelijk dat de sbtiele verschillen een belangrijke effect op het signaal hebben. Bij de gefilterde signalen in Figr II.8 zien we in het linkerplaatje dat de low-pass filter de vorm van de driehoek impls ongeveer bewaart, maar wel de knikken behoorlijk verzacht. Dit is het gevolg van onze keze van een relatief scherpe low-pass filter. Het high-pass gefilterde signaal in het rechterplaatje laat didelijk de drie knikken van de driehoek impls bij t =, t = en t = zien..8..5.6..4.5. - - t -.5 - - t -. Figr II.8: Inverse Forier transformatie van het prodct met de filter fncties geeft de gefilterde signalen Belangrijke begrippen in deze les Forier getransformeerde van rechthoek impls Forier getransformeerde van Gass fncties zijn Gass fncties Dirac δ-fnctie low-pass en high-pass filters Opgaven 73. Zij f(t) de fnctie gegeven door f(t) := { t als t als t >. 76
Wisknde voor knstmatige intelligentie, 7/8 Deel II. Forier theorie (i) Maak een schets van de fnctie. (ii) Bepaal de Forier getransformeerde F () = F[f(t)] van f(t). (iii) Maak een schets van de Forier getransformeerde F (). 74. Bepaal de Forier getransformeerde van de fnctie 75. Bepaal de Forier getransformeerden van (i) f(t) := e iat ; (ii) f(t) := cos(at ); (iii) f(t) := sin(at ). f(t) := e a t met a >. (Hint: Zonder afleiding mag je de oneindige integralen sin(x ) dx = π en cos(x ) dx = π gebriken.) 76. Bepaal de Forier getransformeerden van (i) f(t) := cos(ωt); (ii) f(t) := sin(ωt). 77. Laat zien dat voor de signm fnctie, gegeven door { als t < f(t) := als t > geldt, dat F[f(t)] = i. 77