1 / 17 GEVORDERDE WISKUNDE AFDELING: MEETKUNDE LES : OMTREK EN OPPERVLAKTE OMTREK FORMULES: 1. VIERKANT: a a Omtrek van vierkant 4 a of 4 sy 4a. REGHOEK: Omtrek van reghoek of lengte reedte ( )
/ 17 3. DRIEHOEK: a c a c a c Omtrek van driehoek a c 4. SIRKEL: Omtrek van sirkel x d r r d d OF Omtrek van sirkel x r d middellyn r r radius
3 / 17 VOORBEELD 1 Bepaal die omtrek van elk van die volgende figure: 1(a) 3 4 m 3 Omtrek 4 x 4 3m 1 () 1 km 3 km 3 1 Omtrek ( ) 3 3 (1) km
4 / 17 1 (c) 6,1cm 4,5cm Omtrek 4,5 4,5 6,1 (gelykenige ) 15,1 cm Waar kom die die sirkel vandaan? pi( ) in die formules van
5 / 17 Agtergrond In Wiskunde is Onthou!! pi( ) die verhouding van die omtrek van n sirkel tot sy middellyn. Die verhouding is dieselfde vir alle sirkels en is ongeveer 3,14. Dit is n aie elangrike waarde in Wiskunde en word ook, ehalwe y sirkels, in gevorderde wiskunde geruik. n Duitse wiskundige, Johann Lamert het in 1770 aangetoon dat n irrasionale getal is. 'n Irrasionale getal is 'n oneindige desimale reuk: 3,1415965... Deur al die eeue heen het aie wiskundiges gewerk aan die desimale waardes vir. Die antieke Grieke het die enaderde waarde van 3 1 = vir pi geruik. (Hierdie waarde word vandag nog steeds geruik in erekenings waar aie fyn akkuraatheid nie vereis word nie.) Vroeg in die 17de eeu het n Hollandse wiskundige Ludolph van Ceulen, tot 3 desimale plekke ereken. In 196 is tot 100 000 plekke met n rekenaar epaal. (Terloops, dit sou n persoon wat akkuraat en foutloos werk vir agt ure per dag, 30 000 jaar neem om hierdie erekening op n sakrekenaar te doen.) Teen die einde van die 0ste eeu is pi alreeds tot meer as 00 000 000 000 desimale syfers ereken!! 7 7 Watter waarde van pi moet in erekeninge geruik word?
6 / 17 Geruik die waarde wat y die vraag gegee word, v. 3,14 ; 3,14 ; ens. 7 Indien geen spesifieke waarde gegee word nie, geruik die sleutel op jou sakrekenaar en rond slegs jou finale antwoord af soos gevra. VOORBEELD Bepaal die omtrek van die sirkel met radius 8 cm en 3,14 8cm Omtrek van sirkel r x 3,14 x 8 50,4 cm OF Omtrek van sirkel x d 3,14 x 16 50,4 cm
7 / 17 VOORBEELD 3 In die meegaande veelhoek ontmoet al die sye mekaar reghoekig. 7cm 3cm 18cm Bepaal die omtrek van die veelhoek. ANTWOORD Omtrek 18 (7 3) 18 10 56 cm OEFENING 1 Bepaal die omtrek van elk van die volgende: 1. Gegee: Vierkant ABCD met sylengte 3 cm. A D 3 cm B C (Rond jou antwoord af tot twee desimale syfers.)
8 / 17. Gegee: Reghoek PQRS met P 1 4 cm 1 PS 4 cm en SR,1 cm S,1cm Q R OPPERVLAKTE (AREA) FORMULES: 1. VIERKANT: a a Oppv. van vierkant a x a of sy x sy a sy. REGHOEK: lengte reedte Oppv. van reghoek x
9 / 17 3. DRIEHOEK h h h Oppervlakte van 1 x h x x h h hoogte asis 4. SIRKEL: r r radius Oppervlaktevan sirkel r
10 / 17 VOORBEELD 1 Bepaal die oppervlakte van elk van die volgende figure: 1 (a) Gegee: ABCD is n vierkant met sylengte 3 m. 4 A D 3 m 4 B C ANTWOORD Oppervlakte van vierkant 3 x 3 4 4 9 16 m 1 () Gegee: EFGH is n reghoek met EH 10cm en HG,5cm. E 10cm H,5cm F G ANTWOORD Oppervlakte van reghoek 10 x,5 5 cm
11 / 17 1 (c) Gegee: ABCD is n vierkant met hoeklyn (BD) 8cm. A D 8cm B C ANTWOORD Gestel AD AB x cm x x 8 (Pythagoras) x 64 x 3 x 3 cm Oppervlakte van ABCD 3 x 3 3 cm
1 / 17 VOORBEELD Gegee: ABC met AP BC verleng. AC 15cm, AB 13cm en PB 5cm. A h 13cm 15cm Bepaal die oppervlakte van ANTWOORD P 5cm B C ABC. h 13 5 (Pythagoras) h 169 5 144 1 cm Bereken eers die loodregte hoogte van die driehoek m..v. Pythagoras. 1 PC 15 (Pythagoras) PC 15 1 5 144 81 PC 9cm BC 4cm Oppv. ABC x h 4 x 1 4cm
13 / 17 VOORBEELD 3 Bepaal die oppervlakte van die sirkel met d (Rond antwoord af tot een desimale syfer.) 11 cm. d 11cm ANTWOORD r 11 5,5 cm Oppv. van sirkel r Onthou: Geruik die radius om die oppv. van die sirkel te epaal. x 5,5 95,0331... 95 cm OF Indien 3,14 gegee : NB: Geruik sakrekenaar indien nie n spesifieke waarde vir gegee word nie. Oppv. van sirkel r 3,14 x 5,5 94,985 95cm OF
14 / 17 Indien gegee : 7 5,5 Oppv. van sirkel x ( ) 7 1 95,071... 95,1 cm Let op! 7 gee 'n effens onakkurate antwoord. OEFENING 1. Bepaal die oppervlakte van elk van die volgende figure: 1.1 Gegee: ABCD is n vierkant met sylengte 4 3 cm A D 4 3 cm B C 1. Gegee: DEFG is n reghoek met DF 10x cm en DE 8x cm. D G E F (Skryf jou antwoord i.t.v. x.)
15 / 17 1.3 Gegee: HJKM is n vierkant. HK 1cm. H J 1cm M K. Gegee: PQR met PT QR verleng. PQ 9cm, PT 0cm, RT 4cm en QR x cm. P 9cm 0cm Q x R 4cm T Bepaal die....1 waarde van x. oppervlakte van PQR
16 / 17 HUISWERK : OMTREK EN OPPERVLAKTES 1. Die lengte en reedte van n reghoek is in die verhouding 5:3 Bepaal die lengte van die reghoek as die omtrek gelyk is aan 56 cm.. Die sye van n 15cm x 18cm reghoek word in drie gelyke dele verdeel en die hoeke word afgesny (soos aangetoon in die skets). Bepaal die omtrek van die agthoek wat so gevorm word. (Laat jou antwoord in wortelvorm.) 3. In die diagram verdeel die skuinslyn die oppervlakte van die reghoek in die verhouding 3 : 5 x y Bepaal die verhouding x : y
17 / 17 4. In die diagram is PQRS n reghoek. PS 11 cm, SR 5 cm en QT 1,5 cm P A S Q T R Bepaal die oppervlakte van die geskakeerde gedeelte.