FAKTORE EN VEELVOUDE

Transcriptie

1 FAKTORE EN VEELVOUDE Ons gaan nou na n paar stukkies teorie kyk in verband met Natuurlike- en Telgetalle. Voltooi: 3 X 1 = 3 X 2 = 3 X 3 = 3 X 4 = 3 X 5 = Ons sê dus dat 3, 6, 9, 12 en 15 VEELVOUDE is van 3. n Veelvoud is enige getal wat gekry word van n spesifieke getal as hierdie spesifieke getal met n Natuurlike getal vermenigvuldig word. So kan 90 ook n veelvoud van 3 wees, want 3 x 30 = 90. As ons nou kyk na n getal soos 24, sien ons dat 24 op n paar maniere deur vermenigvuldiging verkry kan word. 1 X 24 of 2 X 12 of 6 X 4 of 8 X 3 Ons kan dan sê dat 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 en 24 FAKTORE is van 24. Dus, enige getal wat met n Natuurlike getal vermenigvuldig kan word om n spesifieke getal te verkry, is n Faktor van daardie spesifieke getal. Voorbeelde 1) Watter van 36, 18, 6, 3 en 8 is: a) faktore van 12? b) veelvoude van 12? 2) Watter getal is terselfdertyd n faktor en n veelvoud van 15? 3) Tabelleer die versameling van al die faktore van 24.

2 Wat sou jy sê is die faktore van 1? Is 1 n faktor van elke ander getal? Hierdie is n belangrike eienskap van die getal 1. Oefening 1) Gebruik die terme veelvoud of faktor om die volgende te voltooi a) 24 is n van 3 b) 10 is n van 70 c) Die ewe getalle is van 2 d) 2 is n van enige ewe getal 2) Ontbind 36 volledig in faktore. Priemfaktore Tabelleer die versameling faktore van 6: Is die produk van al hierdie faktore ook 6? Tabelleer die versameling faktore van 7: Is die produk van al hierdie faktore ook 7? Dink aan nog n paar getalle wat n produk is van al hulle faktore: a) b) c)

3 Hierdie tipe getalle het die Spesiale eienskap dat hulle altyd net twee faktore het, nl. 1 en homself, en staan bekend as Priemgetalle. Saamgestelde getalle Skryf n aantal getalle neer wat meer as twee faktore het: Hierdie versameling getalle staan bekend as die SAAMGESTELDE GETALLE. Priemfaktore Lys die faktore van 28: Watter van hierdie getalle is priemgetalle? Lys die faktore van 32: Watter van hierdie getalle is priemgetalle? Dus: die faktore van n getal wat ook terselfdertyd priemgetalle is, staan bekend as priemfaktore. Hier volg nou n manier om die priemfaktore van n getal te vind: Voorbeeld: Ons gaan heel eerste 64 in sy priemfaktore opbreek. Ons doen dit deur n leertjie te teken, en 64 op die boonste trappie te sit Jy sal sien dat daar aan die linkerkant n 2 is. Dit is omdat 2 die eerste priemgetal is, en ons begin altyd met 2.

4 Kyk nou of die 2 in die 64 kan deel, en indien wel, skryf die antwoord op die tweede trappie neer Dan probeer ons weer 2, en kyk of dit in gaan indeel. Ons sien dat 2 wel in 32 kan deel, en die antwoord skryf ons dan op die derde trappie So hou die proses aan totdat ons nie 2 32 verder kan deel nie, of totdat 2 nie 2 16 meer werk nie. Dan kan ons aangaan na 3, 5, 7, 11, 13 ens. Ons sien dus dat, as die leertjie klaar is, lyk dit só: Let op dat ons weet ons is klaar as daar n laaste oorbly

5 Kom ons kyk of jy die volgende kan doen Skryf nou vir elkeen van hierdie getalle die produk van die priemfaktore (dit beteken dat jy die getalle aan die linkerkant met mekaar gaan maal). Jy gaan volgende leer van n korter manier om dit te skryf eerder as om elke getal elke keer uit te skryf, maar vir nou is dit nog reg as jy dit só doen. Net om jou te help: 64 (wat jy vroeër gedoen het) geskryf as n produk van priemfaktore sal wees: Doen dit dan nou vir 100: 56:

6 Om dinge makliker te maak, maak ons in Wiskunde gebruik van eksponente. n Eksponent is n klein getalletjie regs-bo wat vir jou sê hoeveel keer word daardie spesifieke getal met homself gemaal. Ons definieër dit soos volg: Jy gaan later meer in diepte met eksponente werk, maar vir eers moet jy maar net onthou dat die eksponent vir jou sê hoeveel keer die getal neergeskryf moet word. Gemene Deler: GGD (Ons kan in die plek van Deler ook skryf Faktor ) Bepaal met behulp van die leertjie-metode die priemfaktore van die volgende getalle: Skryf nou onder elke leertjie die produk van die priemfaktore.

7 Kies nou uit hierdie drie uitdrukkings slegs die priemgetalle wat in al drie voor kom: Uit die aard van die saak het jy nou ten minste een getal neergeskryf, maar hierdie getal het heel moontlik verskillende eksponente toe dit neergeskryf was vroeër as produkte van priemfaktore. Die vraag is nou, wat kies jy: Almal se eksponente, geen eksponente, of wat? Wel, vir die GGD kies jy die kleinste eksponent ( n manier om dit te onthou is, GROOTSTE gemeenskaplike deler kies KLEINSTE eksponent). Tabelleer ook nou die faktore van 24, 40 en 80: 24 = { } 40 = { } 80 = { } Watter een van hierdie faktore is die grootste getal wat in al drie die versamelings voorkom?. Kan jy sien dat jy dieselfde getal gekry het as vroeër? Nou kan jy seker vra waarom jy die leertjie-metode moet gebruik as dit so maklik is om net al die versamelings onder mekaar neer te skryf, en dan n getal te kies. Wel, wat sou jy gedoen het as die vraag gevra het vir die GGD van 2003 ; ; 6233! Sou dit dan nog steeds makliker gewees het?

8 Onthou ook: In die volgende afdeling gaan jy met veelvoude werk, en as ek vir jou getalle gee en vra vir die GGD en die Kleinste Gemeenskaplike Veelvoud (KGV), dan kan jy altwee antwoorde kry deur net een keer die leertjie-metode te gebruik Die Kleinste Gemene Veelvoud (KGV) Skryf neer die veelvoude van 3: { } Skryf neer die veelvoude van 4: { } Kies nou die kleinste getal wat in beide versamelings voorkom: Skryf neer die veelvoude van 4: { } Skryf neer die veelvoude van 12: { } Skryf neer die veelvoude van 18: { } Gebruik nou die leertjie-metode om die priemfaktore van 4, 12 en 18 te bepaal Skryf nou die produk van priemfaktore op die lyntjies onder elke leertjie neer. Let nou mooi op!

9 Begin by die eerste priemfaktor van die eerste getal. Skryf dit neer, met sy eksponent Skryf nou die volgende priemfaktor langsaan neer, met sy eksponent So gaan jy deur al die priemfaktore, MAAR: As jy n tweede keer dieselfde priemfaktor teëkom, dan skryf jy dit nie weer neer nie. Jy kies elke keer net die grootste eksponent. Hierdie is baie belangrik. Wat is nou al die priemfaktore met die korrekte eksponente? Vermenigvuldig hierdie getalle met mekaar Hierdie getal is nou jou Kleinste Gemene Veelvoud. Oefening Bepaal die KGV en GGD van die volgende: a) 25 ; 30 b) 72 ; 108