Clever Wen met Wiskunde

Clever Wen met Wiskunde Graad Leerderboek J Aird L du Toit I Harrison C van Dun J van Dun

Clever Wen met Wiskunde Graad Leerderboek J Aird, L du Toit, I Harrison, C van Dun en J van Dun, 0 Illustrasies en ontwerp Macmillan South Africa (Edms) Bpk, 0 Alle regte voorbehou. Geen gedeelte van hierdie publikasie mag sonder skriftelike verlof van die kopiereghouer of in ooreenstemming met die Kopieregwet, 978 (soos aangepas) gereproduseer word of gestoor word in n ontsluitingstelsel, of in enige vorm of deur enige elektroniese middel weergegee word nie, hets fotokopiëring, plaat- of bandopname. Enige persoon wat enige ongemagtigde optrede uitoefen in verband met hierdie publikasie mag onderhewig wees aan kriminele vervolging en siviele eise om skadevergoeding. Eerste uitgawe 0 4 6 8 7 5 0 4 6 8 0 9 7 5 Uitgegee deur Macmillan South Africa (Edms) Bpk Privaatsak X9 Northlands 6 Gauteng Suid-Afrika Geset deur: Ink Design Omslag deur Tamara Joubert Omslagontwerp deur Future PrePress Illustrasies deur: MPS en Geoff Walton Fotos deur: AAI Fotostock: blads 50 e-isbn: 978480467 WIP: 04K000 Dit is onwettig om afskrifte te maak van enige blads van hierdie boek sonder toestemming van die uitgewers. Die uitgewer het elke poging aangewend om die kopiereghouers van die materiaal wat in hierdie boek gebruik is, op te spoor. Indien ons per abuis enige materiaal oorgesien het waarop daar kopiereg is, sal ons met graagte b die eerste moontlike geleentheid die nodige reëlings tref om die nodige erkenning te gee. Die uitgewer wil ook die geleentheid gebruik om die organisasies en individue wat ons reeds genader het, te bedank, in afwagting op hul finale toestemming.

Inhoud Hoofstuk Patrone, re en reekse... Bepaal of n r rekenkundig of meetkundig is... Die algemene term van n r... 4 n Vergelking van rekenkundige en meetkundige reekse... 7 Rekenkundige en meetkundige gemiddeldes... 0 Sigmanotasie... Reekse... 5 Die som van n rekenkundige reeks... 5 Die som van n meetkundige reeks... 6 Gemengde probleme... 0 Toepassings van rekenkundige en meetkundige re en reekse... Oneindige reekse... 6 Opsomming... 7 Hoofstuk Funksies en inverse funksies... 40 Hersiening van funksies wat in Graad 0 en behandel is... 40 Funksies... 47 Inverse funksies... 49 Hoofstuk Eksponensiaal- en logaritmiese funksies... 6 Eksponensiaalfunksies... 6 Logaritmiese funksies... 64 Definisie van n logaritme... 66 Logaritmiese wette... 68 Vergelkings wat logaritmes behels... 7 Eksponensiaal- en logaritmiese funksies... 7 Hoofstuk 4 Finansies, groei en verval... 8 Graad -opsomming... 8 Toekomstige waarde annuïteite... 85 Die formule vir toekomstige waarde annuïteite... 88 Lenings en leningsterugbetalings... 9 Die huidige waarde formule vir annuïteite... 9 Uitgestelde annuïteite... 98 Berekening van die tdperk, n... 0 Hoofstuk 5 Saamgestelde hoeke... 08 Bewse van die formules vir saamgestelde hoeke... 08 Bepaal die waarde van saamgestelde hoeke deur spesiale hoeke te gebruik... Gebruik formules vir saamgestelde hoeke om identiteite te bews... 5 Formules vir dubbelhoeke... 6 Meer ingewikkelde voorbeelde... 8 Identiteite wat dubbelhoeke behels... 0

Hoofstuk 6 Trigonometriese vergelkings... 4 Hersiening van Graad - trigonometriese vergelkings... 4 Graad - trigonometriese vergelkings... 8 Gemengde vergelkings... 0 Hoofstuk 7 van probleme deur trigonometrie te gebruik... 4 Die basiese vereistes vir oplossing van driehoeke... 4 Die sinus-, kosinus- en oppervlaktereëls... 5 Driehoeke in drie dimensies... 4 Identiteite deur die sinus-, kosinus- en oppervlaktereëls te gebruik... 5 Hoofstuk 8 Polinoomfunksies... 60 Hersiening... 60 Gebruik lang deling om n res te bepaal... 6 Die Resstelling... 6 Die Faktorstelling... 65 Bepaal die kwosiënt en res deur sintetiese deling... 65 Faktorisering... 67 Faktoriseer uitdrukkings in twee veranderlikes... 69 Gebruik die Resstelling om onbekende koëffisiënte te bepaal... 70 Los derdegraadsvergelkings op deur die Resstelling te gebruik... 7 Hoofstuk 9 Differensiaalrekening... 74 Die begrip van n limiet... 75 Inleiding tot kalkulus... 78 Gemiddelde gradiënt... 78 Berekening van die afgeleide vanaf eerste beginsels... 8 Die gradiënt en vergelking van n raakln aan n kromme... 90 Vergelkings van raaklne aan n kromme... 9 Die kubiese grafiek... 96 Probleme wat maksima en minima behels... 8 Die afgeleide as n manier om die veranderingstempo te meet... 8 Hoofstuk 0 Analitiese meetkunde... 6 Hersiening van formules uit Graad... 6 Die vergelking van n sirkel... 7 Werk met sirkels... 40 Die vergelking van n raakln aan n sirkel... 46 Opsomming... 49 Hoofstuk Euklidiese meetkunde... 64 Hersiening: Gelkvormigheid van veelhoeke... 64 Hersiening... 65 Eweredigheid in driehoeke... 7 Gelkvormige driehoeke... 8 Gelkhoekige driehoeke is gelkvormig... 8 Driehoeke met eweredige se is gelkvormig... 8 Die Stelling van Pthagoras en gelkvormige driehoeke... 96 Opsomming...

Hoofstuk Statistiek (regressie en korrelasie)... 4 Simmetriese en skeefgetrekte data (Hersiening)... 5 Tweeveranderlike data: spreidiagramme... 4 Tweeveranderlike data: spreidiagramme, regressie en korrelasie... 8 Gebruik n sakrekenaar om regressieberekenings te doen... 0 Interpolasie en ekstrapolasie... Opsomming... 46 Hoofstuk Telbeginsel en waarsknlikheid... 47 Hersiening... 47 van probleme... 49 Die fundamentele telbeginsel... 59 Faktoriaalnotasie... 65 Spesiale gevalle van die fundamentele telbeginsel... 66 Permutasies en kombinasies... 70 Gebruik die fundamentele telbeginsel om waarsknlikheidsprobleme op te los... 7 Opsomming... 78 Hoofstuk 4 Hersiening... 80 Hoofstuk Patrone, re en reekse... 8 Hoofstuk Funksies en inverse funksies... 8 Hoofstuk Eksponensiaal- en logaritmiese funksies... 86 Hoofstuk 4 Finansiële wiskunde... 90 Hoofstuk 5, 6 en 7 Trigonometrie... 9 Hoofstuk 8 Funksies: polinome... 96 Hoofstuk 9 Differensiaalrekening... 96 Hoofstuk 0 Analitiese meetkunde... 99 Hoofstuk Euklidiese meetkunde... 40 Hoofstuk Statistiek (regressie en korrelasie)... 406 Hoofstuk Telbeginsel en waarsknlikheid... 40 Proefvraestelle... 4 Halfjaareksamen Vraestel... 4 Halfjaareksamen Vraestel... 46 Jaareindeksamen Vraestel... 4 Jaareindeksamen Vraestel... 47 Memorandum vir Halfjaareksamen Vraestel... 4 Memorandum vir Halfjaareksamen Vraestel... 47 Memorandum vir Jaareindeksamen Vraestel... 44 Memorandum vir Jaareindeksamen Vraestel... 450 Antwoorde tot oefeninge... 456 Woordels van wiskundige terme... 50

Hoofstuk Patrone, re en reekse In hierdie hoofstuk gaan j: oor rekenkundige en meetkundige re leer verskillende reekse in sigma-notasie skrf die formules vir die som van rekenkundige en meetkundige reekse aflei en gebruik. n R is n geordende versameling getalle. In n r kan ons die waarde van enige element verkr gebaseer op die waardes van die voorafgaande elemente. Die volgende tabel toon die eerste vier terme van twee verskillende re. Ons verws na elke term in n r deur die notasie T n te gebruik, waar n die posisie van die term voorstel. Albei is re. Term Term Term Term 4 T T T T 4 R 7 4 8 R 4 8 6 n Reeks is die som van die elemente van n r. As ons bvoorbeeld die waardes in die tweede r in die tabel hierbo bmekaartel, het ons die reeks + 4 + 8 + 6 +. Rekenkundige re (RR) n Rekenkundige r (RR) is n r waarin elke term na die eerste term gevorm word deur n konstante waarde (d) b die voorafgaande term te tel. Meetkundige re (MR) n Meetkundige r (MR) is n r waarin elke term na die eerste term gevorm word deur die voorafgaande term met n konstante verhouding (r) te vermenigvuldig.

Voorbeeld Voorbeeld T T T T 4 T 5 5 8 4 = + = 5 + = 8 + = + Dit is n rekenkundige r met d = Voorbeeld T T T T 4 6 8 54 = = 6 = 8 Dit is n meetkundige r met r = Voorbeeld T T T T 4 T 5 6 8 4 0 = 6 4 = 4 = 8 4 = 4 4 Dit is n rekenkundige r met d = 4 Voorbeeld Indien T n = 4 n, bepaal die r. T = 4 () = 4 = T = 4 () = 4 4 = 0 T = 4 () = 4 6 = Die r is ; 0; ; T T T T 4 6 8 4 = 6 ( _ ) = 8 ( _ ) = 4 ( _ ) Dit is n meetkundige r met r = Voorbeeld Indien T n =. n, bepaal die r. T =. =. 0 =. = T =. =. =. = 6 T =. =. =. 4 = Die r is ; 6; ; Bepaal of n r rekenkundig of meetkundig is Gegee n r, kan ons n formule gebruik om te toets of n r rekenkundig, meetkundig of nie een van die twee is nie. Rekenkundige re (RR) Om te toets of n r rekenkundig is, gebruik die formule : T T = T T = d Meetkundige re (MR) Om te toets of n r meetkundig is, gebruik die formule : T T = T T = r

Voorbeeld Bepaal of die volgende r rekenkundig, meetkundig of nie een van die twee is nie. ; 4; 6; 8; 0; Voorbeeld Bepaal of die volgende r rekenkundig, meetkundig of nie een van die twee is nie. ; 6; 8; 54; T T T T 4 T 5 4 6 8 0 T T = 6 4 = T T = 4 = Dit is n rekenkundige r met d =. T T T T 4 6 8 54 T T = 8 6 = T T = 6 = Dit is n meetkundige r met r =. Oefening.. Bepaal of die volgende re rekenkundig, meetkundig of nie een van die twee is nie: a) 5; 8; ; 4; 7; b) 5; 0; 0; 40; 80; c) ; 4; 9; 6; 5; d) ; 6; 8; 4; ; e) 6; 0; 4; 8; ; f) ; 7; ; ; 8; g) ; 4 ; 5 6 ; 7 8 ; 9 ; 0 h) ; ; 9; 7; 8; i) 7; 4; ; ; 5; j) ; 8; 7; 64; 5; k) ; ; 9 ; 7 4 ; 8 8 ; l) ; 7 ; 5; ; 8; 9 ; m) ; 9; 7; 8; 4; n) ; ; ; 9 ; 7 ; o) ; ; ; ; 5; 8; ;. Gegee die algemene term van die r: i) Bepaal die eerste vf terme van die r. ii) Sê of die r rekenkundig, meetkundig of nie een van die twee is nie. a) T n = n + b) T k = k c) T n = n d) T n = n e) T k = k + 5 f) T n = 5n g) T n = 7 n h) T k =. k i) n T n = j) T n = 4. n n +

Die algemene term van n r In hierdie afdeling verduidelik ons hoe om die algemene term van n r te bepaal. Oefening. Vul die ontbrekende inligting in: Rekenkundige re (RR) Meetkundige re (MR) Gegee die r: Gegee die r: ; 5; 8; ; 4; 7; met d = ; ; 4; 8; 6; ; 64. met r = Term: algemene vorm Term: algemene vorm T = a T = : a T = 5 = + : a + d T = = : ar T = 8 = + + = + (): a + d T = 4 = = : ar T 4 = = + + + = + (): T 5 = 4 = + + + + = + 4(): T 6 = 7 = + + + + + = + 5(): T 0 = T = T n = T 4 = 8 = = : T 5 = 6 = = 4 : T 6 = = = 5 : T 0 = T = T n = Uit die vorige oefening het ons bepaal dat: die algemene term van n rekenkundige r T n = a + (n )d is die algemene term van n meetkundige r T n = a. r n is 4

Rekenkundige re (RR) Voorbeeld Bepaal die de term van die r ; 7; ; Ons moet eers bepaal of die r rekenkundig of meetkundig is: T T = 7 = 4 T T = 7 = 4 Die r is rekenkundig met d = 4. Aangesien T n = a + (n )d, is die de term: T = a + ( )d = a + d Ons weet dat a =, d = 4 en n = : T = a + d = + (4) = 47 Voorbeeld Bepaal die nde term van die r ; 6; ; 6; T T T... T n a a + d a + d a + (n )d 6 a =, d = 5 en T n = a + (n )d: T n = a + (n )d T n = + (n )5 T n = + 5n 5 T n = 5n 4 Meetkundige re (MR) Voorbeeld Bepaal die agste term van die r ; ; ; Bepaal of die r rekenkundig of meetkundig is: T T = = T T = Die r is meetkundig met r =. Aangesien T n = a. r n, is die agste term: T 8 = a. r 8 = ar 7 Ons weet dat a =, r = en n = 8: T 8 = ar 7 = ( ) 7 = 8 = 64 Voorbeeld Bepaal T n vir die r ; 9; 7; T T T T n a ar ar ar n 9 7 a =, r = en T n = ar n : T n = ar n = ()n = n = + n = n 5

Voorbeeld Bepaal watter term van die volgende rekenkundige r is gelk aan 06: 8; ; 4; T T T... T n a a + d a + d a + (n )d 8 4 06 a = 8, d = 6, n =? en T n = 06: T n = a + (n )d 06 = 8 + (n )( 6) 06 = 8 6n + 6 6n = 4 + 06 6n = 0 6n 6 = 0 6 n = 0 Die 0ste term is gelk aan 06. Voorbeeld Bepaal watter term van die volgende meetkundige r is gelk aan 8 79 : ; ; 4 ; T T T... T n a ar ar ar n 4 8 79 a =, r = 8 n 79 T n = ar n 8 79 = ( _ ) n _ 8 = _ 79 8 ( _ ) n = 87 ( _ ) n ( ) _ n 8 = Deel albei kante deur om die mag te isoleer Om dit op te los moet 87 ons 8 as n mag 87 van _ skrf ( ) n = ( ) 7 n = 7 Stel die eksponente gelk n = 8 Die agtste term is gelk aan 8 79 Oefening.. Bepaal die vereiste term in elke r: a) T van ; 7; ; b) T 7 van 6; ; 4; c) T 9 van ; ; 9; 7; d) T 5 van 0; ; 4; e) T van 7; 0; ; f) T van ; 8; 4; g) T van ; ; 48; h) T 4 van 4; 4; 4; i) T 8 van ; 6; 9; j) T 0 van 5; 75; 75;. Bepaal die aantal terme in elk van die volgende re: a) ; 7; ; 47 b) ; 6; ; 96 c) 5; 8; ; 4 d) 0; ; 4; 0 e) 5; 0; 0; 5 0 f) 4; ; 6; 08; 8 748 g) 4; 7_ ; ; 5_ ; h) 4; ; ; ; 56 i) 7; 7 ; 7 ; 7 j) 0; 9 8 8 8 0 4 ; 8 ; 6

n Vergelking van rekenkundige en meetkundige re Rekenkundige re (RR) Voorbeeld In n rekenkundige r, T = 4 en T 0 =. Bepaal:. die r.. die 5de term.. T = 4 en T 0 = a = 4 T n = a + (n )d = 4 + (0 )d T 0 = 4 + 9d Algemene vorm 9d = 4 9d = 7 7 d = 9 = die r is 4; 7; 0;. a = 4 en d = T 5 = a + 4d = 4 + 4 = 46 Die 5de term is 46. Meetkundige re (MR) Voorbeeld In n meetkundige r, T = 4 en T 0 = 8. Bepaal:. die r.. die 5de term.. T = 4 en T 0 = 8 a = 4 ar 9 = Algemene vorm 8 Om vir r op te los, vervang a = 4 in die vergelking ar 9 = 8. 4r 9 = 8 r 9 = 5 Deel albei kante deur 4 r 9 = ( _ ) 9 r = Die r is 4; ; ;. a = 4 r = _ T 5 = ar 4 = 4( _ ) 4 = 4 096 7

Voorbeeld In n rekenkundige r, T = en T 8 =. Bepaal die eerste term en die gemene verskil. T = en T 8 = Ons moet hierdie twee vergelkings gelktdig oplos. Ons kan dit doen deur die vervangingsmetode te gebruik of deur eliminasie. Ons gebruik hier die eliminasiemetode. a + d = a + 7d = a + 7d = (a + d = ) 5d = 5 d = 5 a + (5) = Vervang d = 5 in om vir a op te los a + 0 = a = Die eerste term is. Die gemene verskil is 5. Voorbeeld In n meetkundige r, T 4 = en T 6 =. Bepaal die tweede term. T 4 = T = 6 ar = ar5 = Deel vergelking deur vergelking om a te elimineer. Los dan op vir r. ar5 ar = r = r = 9 4 r = ± Aangesien die waarde van r gekwadreer is, sal daar twee oplossings vir hierdie vergelking wees Aangesien daar twee waardes van r is, sal daar twee verskillende re wees. Om die waarde van a te bepaal, vervang die waarde van r in vergelking : As r = _ : As r = _ : a ( _ ) = _ a ( _ ) = _ a( 7 ) 8 = _ a( 7 ) 8 = _ a( 7 ) 8 8 = _ 8 a( 7 ) 7 7 8 8 = _ 8 7 a = _ 8 a = _ 8 7 7 6 a = a = 6 8 8 T = ar T = ar 6 = _ 8 8 = 7 6 = _ 8 8 = 7 7 8

Voorbeeld Indien ( + ); ( + 4); ( + 4); n rekenkundige r is, bereken die waarde van. T T = T T ( + 4) ( + 4) = ( + 4) ( + ) + 4 4 = + 4 = Dus: T = + = 4 T = + 4 = 7 T = + 4 = 0 Die r is 4; 7; 0; Voorbeeld Indien ( + ); ( + ); ( + ) n meetkundige r is, bereken die waarde van. T = T T T + + = + + ( + )( + ) = ( + )( + ) + 5 + = + 6 + 9 6 = 0 ( )( + ) = 0 = of = Indien =, is die r 4; 6; 9; Indien =, is die r ; ; ; Oefening.4. Bepaal T 0 van die volgende rekenkundige re: a) a = 4 en d = b) T = 0 en T 6 = 60 c) T 5 = 8 en d = d) T = 4 en T 5 = 0. Bepaal T 0 van die volgende meetkundige re: a) a = 4 en r = b) T = 0 en T 6 = 60 4 c) T 5 = 8 en r = d) T = 4 en T 5 = 4 8. Bereken die volgende terme: a) T van die rekenkundige r, indien T 5 = en T 0 = 4. b) T 5 van die meetkundige r, indien T = 4 en T = 8. 8 c) T 4 van die meetkundige r, indien T 6 = 64 en T 0 = 04. d) T 7 van die rekenkundige r, indien T 5 = en T 8 =. 4. Gee die eerste drie terme van n rekenkundige r waarin die sewende term is en die de term is. 5. Watter term van die r ; 7; ; is? 6. Indien ; ; 4 + drie opeenvolgende terme van n meetkundige r is: a) Bereken die waarde van. b) Bepaal die r. c) Bepaal die 9de term van die r. d) Watter term van die r sal gelk wees aan 4 74? 7. Die eerste twee terme van n meetkundige r is onderskeidelik m en n. Bereken die 0de term. 9

8. Indien ; + ; 5 + die eerste drie terme van n rekenkundige r is, bereken die waarde van. 9. Bepaal die meetkundige r waarin T 4 = 4 en die gemene verhouding is. 0. Bepaal watter term van die r 9; 5; ; is 45.. Die getalle 4; ; vorm n rekenkundige r. Die getalle ; ; 8 vorm n meetkundige r. Bereken die waardes van en.. Gegee die r ; 8; 4; 0; a) Bepaal die 50ste term b) Watter term sal gelk wees aan 50?. Die volgende is n rekenkundige r: 6 + ; 4 + 7; + 4; a) Bereken die waarde van. b) Skrf die waarde neer van: i) die eerste term van die r ii) die gemene verskil iii) die vfde term. 4. a) Bepaal T 5 van die r + ; + 4; + 7; b) Watter term van die r is gelk aan + 6? 5. n Seun betaal skuld aan n maat terug. H betaal R0 in die eerste week, R5 in die tweede week, R0 in die derde week, en so aan. Indien h na die agtste week klaar betaal het, hoeveel was s laaste betaling? Rekenkundige en meetkundige gemiddeldes Rekenkundige gemiddelde (RG) Meetkundige gemiddelde (MG) Indien a; ; b n rekenkundige r is dan is die rekenkundige gemiddelde van a en b. T T = T T b = a = a + b a + b = Die rekenkundige gemiddelde is a + b Voorbeeld Bereken die rekenkundige gemiddelde van en. + RG = = 4 = 7 Dus is ; 7; ; n rekenkundige r. Indien a; ; b n meetkundige r is dan is die meetkundige gemiddelde van a en b. T T = T T b = (a,, b 0) a = ab = + ab Die meetkundige gemiddelde is per definisie ab. Voorbeeld Bereken die meetkundige gemiddelde van en 8. MG = 8 = 6 = 4 Dus is ; 4; 8; n meetkundige r. 0

Voorbeeld Voeg drie rekenkundige gemiddeldes tussen en 0 in. Dit beteken ons moet drie getalle tussen en 0 invoeg sodat die getalle n rekenkundige r vorm. T T T T 4 T 5 a a + 4d 0 So T = a = Die r is: ; ; 4; 7; 0. T 5 = 0 a + 4d = 0 + 4d = 0 4d = d = Voorbeeld Voeg twee meetkundige gemiddeldes tussen en in. Dit beteken ons moet twee getalle tussen en invoeg sodat die getalle n meetkundige r vorm. T T T T 4 a ar So T = T 4 = a = ar = ( )r = r = r = _ Die r is ; ; ;. Oefening.5. Bepaal die rekenkundige gemiddelde tussen: a) 4 en 8 b) en c) 8 en d),7 en 4,5. Bepaal die meetkundige gemiddelde van: a) en b) 5 en 0 c) en 50 d) 4 en 6. Voeg vier rekenkundige gemiddeldes tussen 4 en 9 in. 4. Voeg drie meetkundige gemiddeldes tussen en 4 in. 4 Sigmanotasie Die simbool is die Griekse simbool sigma. Ons gebruik hierdie simbool om die som van n r te bepaal. Wanneer ons die terme in n r bmekaartel, noem ons dit n reeks. As ons bvoorbeeld n r 5; 8; ; 4; 7 het, is die reeks 5 + 8 + + 4 + 7.

Voorbeeld 5 Bepaal die waarde: (n + ) 5 n = n = ( n + )beteken ons moet die som van n r bepaal. Om die terme van die r te bepaal, vervang ons eers n = in die algemene term van n +. Dan vervang ons n =, n =, en so aan tot ons n = 5 bereik. Die getal onder die sigmasimbool sê dus vir ons waar om te begin (n = ), en die getal bokant die sigmasimbool sê vir ons waar om te stop (n = 5). 5 So (n + ) = (. + ) + (. + ) + (. + ) + (. 4 + ) + (. 5 + ) n = = 5 + 8 + + 4 + 7 = 55 Voorbeeld 6 Bepaal die waarde: (. r ) r = 0 In hierdie geval begin ons met r = 0 en stop wanneer r = 6. Met ander woorde, ons begin deur r = 0 in die algemene term. r te vervang en gaan voort tot b r = 6. 6 r = 0 (. r ) =. 0 +. +. +. +. 4 +. 5 +. 6 Voorbeeld =. +. +. 9 +. 7 +. 8 +. 4 +. 79 = + 6 + 8 + 54 + 6 + 486 + 458 = 86 0 Bepaal die waarde: ( i + 5) i = In hierdie geval begin ons deur i = in die algemene term i + 5 te vervang en gaan voort tot b i = 0: 0 i = ( i + 5)= (. + 5) + (. 4 + 5) + (. 5 + 5) + (. 6 + 5) + (. 7 + 5) + (. 8 + 5) + (. 9 + 5) + (. 0 + 5) = ( 6 + 5) + ( 8 + 5) + ( 0 + 5) + ( + 5) + ( 4 + 5) + ( 6 + 5) + ( 8 + 5) + ( 0 + 5) = 5 7 9 5 = 64

Aantal terme = boonste getal onderste getal + 5 In Voorbeeld, (n + )is die aantal terme 5 + = 5. n = 6 In Voorbeeld, (. r ) is die aantal terme 6 0 + = 7. r = 0 0 In Voorbeeld, ( i + 5)is die aantal terme 0 + = 8. b i = So indien T n sal die aantal terme in die reeks b a + wees. n = a Let ook op dat elke voorbeeld verskillende veranderlikes gebruik het (n, r en i). Voorbeeld 4 6 Bepaal die waarde: 5 n = Ons weet dat daar 6 + = 6 terme in hierdie reeks is. Die algemene term is hier n konstante, so ons skrf die reeks soos volg: 6 n = 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 6 5 = 0 Skrf n reeks in sigmanotasie Voorbeeld Skrf die volgende reekse in sigmanotasie: 5 + 8 + + 4 + 7 Ons moet eers die algemene term, T n, vir die reeks bepaal. Die reeks is n rekenkundige reeks met a = 5 en d =. Dus: T n = a + (n )d = 5 + (n ) = 5 + n = n +... Ons skrf nou die formule na die sigmasimbool in: (n + ) n =... Dan moet ons die getalle bo en onder die sigmasimbool bepaal. Om dit te doen moet ons die volgende vergelkings oplos: Die eerste term van die reeks is 5: n + = 5 n = n = 5 n = (n + ) Die laaste term van die reeks is 7: n + = 7 n = 5 n = 5

Voorbeeld Skrf die volgende reeks in sigmanotasie: + 4 + 9 + 6 + 5 +6 + 49 + 64 Deur inspeksie sien ons dat die reeks + 4 + 9 + 6 + 5 +6 + 49 + 64 uit die eerste agt volkome vierkante bestaan. 8 + 4 + 9 + 6 + 5 +6 + 49 + 64 = k k = Voorbeeld Skrf die volgende reeks in sigmanotasie: 6 + + 4 + 48 6 + + 4 + 48 is n meetkundige reeks met a = 6 en r =. Dus: T n = a. r k = 6. k 6 = = k = k =. + k =. k... k =.... k Die eerste term van die reeks is 6: so. k = 6 k = Deel albei kante van die vergelking deur k = 4 k =. k Die laaste term van die reeks is 48: so. k = 48 k = 6 k = 4 k = 4 Oefening.6. Bepaal die waarde van die volgende: 0 5 a) r b) (r + 5) c) ( r = 6 e) i = i r = 0 8 ( f) ) k = n = 6. k g) r r = 0 5 n ) d). Skrf die volgende in sigmanotasie: a) + + 5 + + 7 b) + 9 + 7 + + 79 c) 7 + 0 + + + 5 d) 64 + + 6 + + _ e) 6 + 5 + 6 + + 00 f) 4 + 7 + 0 + + 7 g) + + 4 + + 0 h) + 4 + 6 + + 6 84 n = n 4

Reekse Wanneer ons die terme van n rekenkundige r bmekaartel verkr ons die rekenkundige reeks (S n ). Wanneer ons die terme van n meetkundige r bmekaartel verkr ons die meetkundige reeks (S n ). Voorbeeld Indien T n = n +, bepaal S 5. T T T T 4 T 5 S 5 = 5 + 8 + + 4 + 7 = 55 T T T T 4 T 5 5 + 8 + + 4 + 7 S 4 S 5 So: T 5 = S 5 S 4 = (5 + 8 + + 4 + 7) (5 + 8 + + 4) = 7 In die algemeen: T n = S n S n Voorbeeld Gegee dat S n = n +, bepaal. die vfde term. T 5. T 5 = S 5 S 4 T 5 = [(5) + ] [(4) + ] T 5 = 5 5 T 5 = 8. T 5 = S 5 S 4 T 5 = [(5) + ] [(4) + ] T 5 = 5 55 T 5 = 98 Die som van n rekenkundige reeks Kom ons bepaal die som van die rekenkundige reeks + + + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0. Ons kan dit skrf as: S 0 = + + + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 S 0 = 0 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + + + Skrf die reeks agterstevoor S 0 = + + + + + + + + + Tel op S 0 = 0 Daar is 0 terme S 0 = 0 0 S 0 = = 55 5

Dit kan heel langdradig raak om n groot aantal terme bmekaar te tel. Hoe meer terme ons bmekaar moet tel, hoe groter kans is daar ook dat ons n fout maak. Ons kan gelukkig dieselfde tegniek gebruik wat ons sopas gebruik het om n formule te ontwikkel om al die terme in n algemene rekenkundige reeks bmekaar te tel. S n = T + T + T + + T n + T n = (a) + (a + d) + (a + d) + + (a + (n )d) + (a + (n )d) Bews van die formule vir die som van n rekenkundige reeks: S n = a + ( a + d ) + ( a + d ) + + ( a + (n )d ) + ( a + (n )d ) + ( a + (n )d ) S n = (a + (n )d) + (a + (n )d) + (a + (n )d) + (a + d) + (a + d) + a S n = (a + (n )d) + (a + (n )d) + (a + (n )d) + + (a + (n )d) + (a + (n )d) S n = n(a + (n )d) Aangesien daar n terme is n(a + (n )d) S n = = n (a + (n )d) Ons kan die laaste term ( l ) van n rekenkundige reeks as l = a + (n )d skrf. Dit beteken ons kan die formule skrf S n = n ( a + (n )d ) as S n = n ( a + a + (n )d ) Of S n = n ( a + l ) Die som van n meetkundige reeks Kom ons bepaal die som van die meetkundige reeks + + 4 + 8 + 6 + + 64 + 8. Hier is a = ; r = en die aantal terme is n = 8. Die tegniek wat ons hier gebruik is om elke term met die gemene verhouding r te vermenigvuldig. Ons het dus: S 8 = + + 4 + 8 + 6 + + 64 + 8 S 8 = + 4 + 8 + 6 + + 64 + 8 + 56 Vermenigvuldig met = S 8 S 8 = + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 56 ( )S 8 = 56 S 8 = 55 55 S 8 = = 55 Deur weer die algemene vorm van n meetkundige reeks te gebruik, kan ons n formule vir die som van n terme van n meetkundige reeks bepaal. S n = T + T + T + + T n + T n = a + ar + ar + + ar n + ar n 6

Bews van die formule vir die som van n meetkundige reeks: S n = a + ar + ar + + ar n + ar n r S n = ar + ar + + ar n + ar n + ar n S n rs n = a + 0 + 0 + + 0 + 0 ar n S n rs n = a ar n S n ( r) = a( r n ) S n( r) a( r = n ) ( r) S n = ( r) a( r n ) Faktoriseer ( r) r In ons bews het ons vergelking van vergelking afgetrek. Hierdie formule is makliker om te gebruik indien r <. Ons kon ook vergelking van vergelking afgetrek het. Dit sal vir ons n effens a(r ander formule gee: S n = n ). Hierdie formule is makliker om te gebruik indien (r ) r >. J moet die bewse vir beide n rekenkundige reeks formule en n meetkundige reeks formule vir eksamendoeleindes ken. Rekenkundige reekse Vir n rekenkundige reeks gebruik ons die volgende formules: S n = n (a + (n )d en S n = n (a + l) Voorbeeld Bepaal die som van die reeks + 5 + 8 + tot 0 terme. a = ; d = ; n = 0; S 0 =? S n = n ( a + (n )d ) 0 S 0 = ( () + 9() ) = 0(6) = 60 Meetkundige reekse Vir n meetkundige reeks gebruik ons die volgende formules: a( r S n = n ) ( r) indien r < a(r S n = n ) (r ) indien r > Voorbeeld Gebruik n formule om die som van die reeks 7 + 9 + + tot vier terme te bepaal. a = 7; r = _ ; n = 4; S =? 4 a( r S n = n ) r 7( ( _ S 4 = ) 4 ) _ 7( 8) S 4 = S 4 = 7( 8 8 ) 7 S 4 = 80 8 S 4 = 40 7

Voorbeeld Bepaal + 7 + + + 59. a = ; d = 4; n =?; T n = 59; S n =? Ons moet eers die aantal terme (n) in hierdie reeks bereken voor ons die som kan bereken. Ons gebruik die formule T n = a + (n )d om die aantal terme te bereken. Ons weet ook wat die laaste term (l) in die reeks is, so ons kan n in die formule S n = n (a + l) vervang om die som te bereken. T n = a + (n l)d S n = n_ ( a + l ) 5 59 = + (n )4 S 5 = ( + 59 ) 5 59 = + 4n 4 S 5 = ( 6 ) 60 = 4n S 5 = 465 n = 5 Voorbeeld Hoeveel terme van die reeks + 4 + 7 + moet bmekaargetel word om n som van 45 te gee? Voorbeeld Bepaal 8 + 4 + +. + a = 8; r = _ ; n =?; T = n. ; S =? n Ons moet eers die aantal terme (n) in hierdie reeks bereken voor ons die som kan bereken. Ons gebruik die formule T n = ar n om die aantal terme te bereken. Dan vervang ons n in die formule S n = a ( r n ) (r < ) om die som te r bereken. T n = ar n = 8 ( _ ) n _ = _ 8 8 8 ( _ ) n = 56 ( _ ) n ( _ ) 8 = ( _ ) n 8 = n 9 = n 8( ( _ ) 9 ) S 9 = _ 8( 5) S 9 = S 9 = 8( 5 5 ) _ S 9 = 8_ S 9 = 5) _ ( 5 5 Voorbeeld Hoeveel terme van die reeks 5 + 0 + 0 + moet bmekaargetel word om n som van 75 te gee? 8

a = ; d = ; n =?; S n = 45 S n = n_ ( a + (n )d ) 45 = n_ ( () + (n ) ) Vermenigvuldig 90 = n( + n ) albei kante met 90 = n(n ) 0 = n n 90 0 = (n + 9)(n 0) Faktoriseer 9 n = of n = 0 Los op vir n Aangesien die aantal terme altd n 9 natuurlike getal is, is n = nie geldig nie. Met ander woorde, n kan nie n breuk of n negatiewe getal wees nie. Daarom is n = 0. Voorbeeld 4 5 Bepaal (n 5) n = 5 n = (n 5) = + + 4 + + 70 a = ; d = ; n = 5; S 5 =? S n = n_ ( a + (n )d ) 5 S 5 = ( ( ) + 4() ) 5 S 5 = ( 68 ) S 5 = 850 a = 5; r = ; n =?; S n = 75 a( r S n = n ) r 5( 75 = n ) 75 = 5( n ) 55 = ( n ) 56 = n 8 = n n = 8 Voorbeeld 4 0 Bepaal die waarde (. n ) 0 n = (. n ) =. +. +. + n = +. 9 = 6 + + + 56 a = 6; r = ; n = 0 + = 9; S 9 =? a( r S n = n ) S 9 = S 9 = Aangesien r > r 6(9 ) 6(5 ) = 066 Oefening.7. Bereken die som van die volgende: a) + 7 + +... tot 5 terme b) 5 0 5 tot 7 terme c) + 8 + + tot 0 terme d) + 6 + tot terme e) 5 9... tot terme f) + 6 + 8 + tot 0 terme. Bepaal die som van die volgende reekse: a) 5 + + 9 + + 54 b) + 6 7 + 8 49 + + ( _ 7) 8 c) 75 70 65 + 0 d) 7 + 0 + + + 8 9

e) 9 + + + + 4 g) 4 + 0 + 4 + + 9 f) 0 + 7 + 4 + 7. Bereken die volgende: 0 5 0 a) r b) (r + 5) c) r = r = r = 5 8 6 8 e). k f) (k ) k = n = 0 ( ) r 0 d) ( ) n g) k = n = (9 n) 4. Hoeveel terme van die volgende reekse moet bmekaargetel word om die aangeduide som te gee? a) + 7 + + = 0 b) + + 48 + = 4 095 c) 6 + + _ + = 765 d) 7 + 4 + + = 4 64 e) 7 5 = 5. Bepaal die som van die eerste 50 ewe getalle. Gemengde probleme Rekenkundige re en reekse Voorbeeld In n rekenkundige r is, T = 5 en T 6 =. Bepaal die som van die eerste 0 terme van die r. T = 5 en T 6 = a + d = 5 a + 5d = a + 5d = (a + d) = 5 4d = 6 d = 4 a + 4 = 5 Vervang d = 4 in a = a = ; d = 4; n = 0; S 0 =? S n = n ( a + (n )d ) 0 S 0 = ( () + (0 )(4) ) S 0 = 0( + 9 4 ) S 0 = 780 Meetkundige re en reekse Voorbeeld In n meetkundige r is, T = 4 en T 6 = _. Bepaal die som van die eerste 4 terme van die r indien r > 0. T = 4 en T 6 = 4 ar = 4 ar 5 = _ 4 ar 5 ar = _ 4 4 r 4 = _ _ 4 4 r 4 = 6 r = _ Aangesien r > 0 a( _ ) = 4 Vervang r = in vergelking a = 8 a = 8; r = _ ; n = ; S =? a( r S n = n ) ( r) indien r < 8 ( ( ) ) S = S = ( _ ) 8 ( 4 096) = 4 095 56 0

Voorbeeld Bepaal die grootste waarde van n sodat n r = (r + 5) < 50 n r = (r + 5) = 7 + 9 + + + (n + 5) Dit is n rekenkundige reeks met a = 7 en d =. S n = n ( (7) + (n ) ) = n ( n + ) = n + 6n n + 6n < 50 n + 6n 50 < 0 Aangesien hierdie trinoom nie faktoriseer nie, kan ons die kwadratiese formule gebruik om op te los vir n. As ons die vergelking n + 6n 50 = 0, oplos vir n: b ± b n = 4ac a 6 4() 50) n = 6 ± () 6 ± 66 n = n = 5,6 of n = 9,6 Indien n + 6n 50 < 0 kr ons die volgende deur n getalleln te gebruik: 5,6 9,6 0 0 5,6 < n < 9,6 Die grootste waarde van n is 9.

Oefening.8. In n rekenkundige r is T = en T 7 = 6. Bepaal die som van die eerste 0 terme van die r.. Bepaal die waarde van n indien: n n a) (i 5) = 40 b). i = 85 i = n i = n c) (k + 7) = 008 d) (4 r) = 5 k = n r = n e) _ ( k ) = 640 f) _ ( k ) = 4 k =. In n meetkundige r is T = _ en T =. Bepaal die som van die eerste terme 4 6 van die r. 4. In n rekenkundige r is T 4 = en T 7 = 0. Bepaal die aantal terme indien die som van die reeks 60 is. Waarom kr j twee waardes vir n? 5. In n rekenkundige r oorskr die sewende term die vierde term met 5. Bepaal: a) die waarde van d, die gemene verskil. b) die waarde van a, indien T 7 =. c) die tiende term. d) die som van die eerste 5 terme. 6. In n meetkundige r is die vfde term vier keer die derde term, en die tweede term is 4. Indien r < 0, bepaal: a) die waarde van r, die gemene verhouding. b) die waarde van a. c) die tiende term. d) die som van die eerste 5 terme. 7. a) Bepaal die grootste waarde van n sodat: n n i) (r + 4) < 0 ii) (i ) < 000 r = b) Wat is die kleinste waarde van n sodat k = i = n k = (5 k) < 550? 8. Die eerste term van n meetkundige reeks is 9. Die sewende term is 64. Bepaal 8 twee moontlike waardes vir die som tot sewe terme van die r. 9. Die som van die eerste drie terme van n rekenkundige reeks is. Die sesde term is meer as die vierde term. Bepaal: a) die gemene verskil en die ste term. b) die tiende term. 0. Die som van die eerste vier terme van n meetkundige reeks is 7. Die gemene verhouding is. Bereken: 5 a) die eerste term. b) die sewende term.

. Die getalle + ; 5 ; 7 + is die eerste drie terme van n rekenkundige r. Bereken: a) die waarde van. b) die som van die eerste 0 terme van die r.. Die getalle 4; + 8; + 0 is die eerste drie terme van n meetkundige r. Bereken: a) die waarde van. b) die som van die eerste ses terme van die r. Toepassings van rekenkundige en meetkundige re en reekse Rekenkundige re en reekse Voorbeeld n Leer het sporte. Die onderste sport is 800 mm lank. Elke opeenvolgende sport is 40 mm korter as die vorige sport. Bereken die totale lengte van sporte. Die onderste sport is 800 mm Die tweede sport is dan 800 40 = 760 mm. Die derde sport is 760 40 = 70 mm en so aan. So die r is: 800 + 760 + 70 + a = 800; d = 40; n = ; S =? S n = n (a + (n )d ) S = ((800) + ( 40)) S = 6( 60) S = 6 960 Meetkundige re en reekse Voorbeeld Michelle stuur n e-pos aan drie van haar maats. S vra vir hulle om nie die ketting te verbreek nie. Hulle moet elkeen die e-pos vir drie ander maats aanstuur. As hierdie proses voortgaan, bepaal hoeveel mense sal die e-pos ontvang as dit vf keer aangestuur word. Sluit die eerste keer in wat Michelle die e-pos gestuur het. Die r van die aantal e-posse is: + 9 + 7 + a = ; r = ; n = 5 a(r S n = n ) r (5 ) S 5 = (4 ) S 5 = S 5 = 6

Voorbeeld n Man se inkomste is R96 000 per jaar. S inkomste neem elke jaar met R7 00 toe. S uitgawes beloop R66 000 per jaar en neem elke jaar met R4 00 toe. Hoe lank sal dit hom neem om meer as R80 940 te spaar? Inkomste: 96 000; 0 00; 0 400 Uitgawes: 66 000; 70 00; 74 400 Spaargeld: 0 000; 000; 6 000 a = 0 000; d = 000; n =? S n > 80 940 S n = n_ ( a + (n )d ) n_ ( 60 000 + (n ) 000 ) > 80 940 n( 60 000 + 000n 000 ) > 6 880 000n + 57 000n 6 800 > 0 Deur die kwadratiese formule te gebruik: 57 000 ± 57 000 4( 000 ( 6 800 )) n = 000 n = 5,0 of n = 4,0 (N.v.t.) So dit sal ses jaar neem om meer as R80 940 te spaar. Voorbeeld n Bal word vanaf n hoogte van m laat val. Die bal wip _ van die hoogte van s vorige opspring terug. Bereken die afstand wat die bal beweeg het vandat dit laat val is tot dit vir die vfde keer aan die grond geraak het. Rond jou antwoord tot een desimale plek af. + ( ( _ ) + ( _ ) + ( _ ) + ( _ ) 4 ) a = ( _ ); r = _ ; n = 4 a( r S n = n ) r ( _ ) ( ( _ ) 4 ) S 4 = ( _ ) 8( ( 6 8) ) S 4 = 8 6 S 4 = 8( 8 ) _ S 4 = 8_ 65 _ 8 S 4 = 9,6 m Die totale afstand wat die bal beweeg het is: + (9,6) = 50,5 m Oefening.9. Meneer Langa begin met 450 skape boer. H vind dat s vee elke jaar met % vermeerder. Hoeveel skape sal meneer Langa aan die einde van vf jaar op s plaas hê?. Joe begin met n sekere aantal beeste boer. H vind dat h elke jaar 0 meer beeste het. Aan die einde van vf jaar het Joe 40 beeste. Met hoeveel beeste het h begin boer?. Dean se ouma gee vir hom R op s eerste verjaarsdag, R op s tweede verjaarsdag, R op s derde verjaarsdag, R4 op s vierde verjaarsdag, en so aan. a) Hoeveel geld sal Dean op s 0ste verjaarsdag ontvang? b) Bereken die totale bedrag geld wat Dean oor die 0 jaar b s ouma gekr het. 4

4. Sipho se ouma gee vir hom een sent op s eerste verjaarsdag, twee sent op s tweede verjaarsdag, vier sent op s derde verjaarsdag, agt sent op s vierde verjaarsdag, en so aan. a) Hoeveel geld sal Sipho op s 0ste verjaarsdag kr? b) Bereken die totale bedrag geld wat Sipho oor die 0 jaar b s ouma gekr het. 5. Verws na vraag en 4. Sou Dean of Sipho meer geld oor die 0 jaar gekr het? 6. n Atleet oefen om aan die Comradesmaraton deel te neem. H draf km op die eerste dag en vermeerder s afstand elke dag met km. a) Op watter dag sal h n afstand van km aflê? b) Na hoeveel dae sal h n totale afstand van 0 km aflê? 7. Die padwerkdepartement teer n pad. Hulle slaan kamp op aan die begin van die pad. Die werkers teer elke dag 0,6 km van die pad en keer aan die einde van die dag terug na hulle kampeerplek toe. a) Hoe ver sal die werkers op die 0ste dag beweeg? b) Hoe ver sou die werkers in totaal na 0 dae beweeg het? 8. Kashiv spaar R500 in die eerste maand van s werksloopbaan. H spaar dieselfde bedrag aan die einde van elke maand van die jaar. Elke daaropvolgende jaar kr h dit reg om 0% meer te spaar as wat h die vorige jaar gespaar het. Bereken: a) Kashiv se totale spaargeld aan die einde van die eerste jaar. b) die bedrag wat Kashiv in s sesde jaar sal spaar. c) die totale bedrag wat Kashiv aan die einde van ses jaar sou gespaar het. 9. n Horisontale ln sn n deel van die sinuskromme b vier punte. Dit verdeel dus die kromme in vf dele. a) Indien n tweede ln getrek word om die kromme te sn, in hoeveel dele sal die kromme verdeel word? b) Indien tien lne getrek word om die kromme te sn, in hoeveel dele sal die kromme verdeel word? 0. n Fabriek vervaardig n produk vir R00,00. Elke keer wat die produk gekoop en verkoop word, word n wins van 5% gemaak. a) Indien die produk sewe keer gekoop en verkoop word, wat sal die prs van die produk wees? b) Bereken die verskil tussen die oorspronklike prs en die prs nadat dit vir die sewende keer verkoop is.. Vaughan berei voor vir n fietswedren. In die eerste week r h km. H vermeerder dan elke week s afstand met km. a) Watter afstand het Vaughan in die sewende week ger? b) Wat was die totale afstand wat Vaughan na sewe weke afgelê het? 5

. n Watertenk bevat 6 l water. As gevolg van n lekkasie verloor die tenk n sesde van die vorige dag se inhoud. Hoeveel liter water sal daar in die tenk wees aan die einde van die: a) tweede dag b) derde dag c) sewende dag?. Zintle besluit om b n stokvel aan te sluit om geld te spaar vir haar seun se naskoolse opvoeding. S sluit in Januarie van haar seun se Graad -jaar b die stokvel aan en moet elke maand R00,00 betaal. Die stokvelbetalings word elke jaar met R50,00 verhoog. Indien daar mense in die stokvel is en Zintle in Desember betaal word, hoeveel geld sal s teen die einde van jaar gespaar het, met die veronderstelling dat s nie voorheen enige van haar stokvelgeld spandeer het nie? Oneindige reekse Oefening.0 Vir elke reeks: a) voltooi die tabel b) teken n grafiek waar die -as die aantal terme voorstel en die -as die som van die terme voorstel.. + + 4 + 8 + S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks : 000 900 800 700 600 500 400 00 00 00 0 4 5 6 7 8 9 0 6

. 5 + 5 45 S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks : 75 000 60 000 45 000 0 000 5 000 0 5 000 4 5 6 7 8 9 0 0 000 45 000 60 000 75 000. + _ + _ + _ + 4 8 S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks :,00,75,50,5,00 0,75 0,50 0,5 0 4 5 6 7 8 9 0 7

4. 6 4 + 8 6 9 + S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 4: 6 5 4 0 4 5 6 7 8 9 0 5. + 7 + + S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 5: 0 00 80 60 40 0 00 80 60 40 0 0 4 5 6 7 8 9 0 8

6. 6 + 4 S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 6: 0 0 0 4 5 6 7 8 9 0 40 60 80 00 0 40 60 80 7. 7 + 9 + + S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 7: 40 5 0 5 0 5 0 5 0 4 5 6 7 8 9 0 9

8. 6 + 9 + 7 + S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 8: 600 500 400 00 00 00 0 4 5 6 7 8 9 0 9. 8 + S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 9: 5 0 5 0 5 0 5 0 4 5 6 7 8 9 0 0

0. 5 5 5 S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 0: 0 5 4 5 6 7 8 9 0 0 5 0 5 0 5 40 45 50. 5 + 9 + 7 5 + S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks : 40 5 0 5 0 5 0 5 0 4 5 6 7 8 9 0

. 6 8 + 4 S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks : 6 4 0 8 6 4 0 4 5 6 7 8 9 0. 4 + _ + + S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks : 8 6 4 0 8 6 4 0 4 5 6 7 8 9 0

4. 5 + 5 + 6 + S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 4: 80 70 60 50 40 0 0 0 0 4 5 6 7 8 9 0 Tot nou toe het ons altd n eindige aantal terme bmekaargetel. n Oneindige reeks het n oneindige aantal terme. Ons kan in sommige gevalle die som van n oneindige reeks uitwerk. Ons skrf dit as S, wat die som tot oneindigheid beteken. Indien j n oneindige aantal terme bmekaar kon tel, wat dink j sal die som van die reeks wees? Gebruik die tabelle en grafieke van die vorige vrae en voltooi die volgende tabel: R RR of MR d = r = Gevolgtrekking oor die S 4 5 6 7 8 9 0

R RR of MR d = r = Gevolgtrekking oor die S 4 Merk die relevante blokkie: n Reeks: konvergeer indien die som n bepaalde waarde nader soos ons meer terme bmekaartel. divergeer indien die som van die reeks n baie groot positiewe of negatiewe getal word soos ons meer terme bmekaartel. ossilleer indien die som van die reeks tussen positief en negatief verander soos ons meer terme bmekaartel. Reeks Meetkundige reeks Rekenkundige reeks r < < r < r = r > d < 0 d > 0 Konvergeer Divergeer Ossilleer Gevolgtrekking: Som tot oneindigheid Ons vind uit die ondersoek dat slegs n meetkundige reeks sal konvergeer. n Meetkundige reeks sal in werklikheid slegs konvergeer indien < r <. Ons kan soos volg n formule vir die som tot oneindigheid aflei: a ar S n = n r a S n = r ar n r indien < r <, dan is r n 0 aangesien n (Onthou dat die pltjie is genieg om beteken.) ar n r 0 aangesien n a S n r aangesien n a S = r 4

Voorbeeld Bepaal: n =. ( ) n = n. ( ) a = r = a S = r = = = = 4 n =. ( ) 0 +. ( ) +. ( ) +. ( ) + = + + + 4 + Voorbeeld Gebruik die formule vir S van n meetkundige reeks om 0, 6as n gewone breuk uit te druk. 0, 6 6 = 0 + 6 00 + 6 000 + 6 a = r 0 = 0 a S = r 6 0 = 6 0 = 9 0 6 0 = 0 0 9 = Voorbeeld Vir watter waardes van sal die reeks ( + ) + ( + ) + ( + ) +... konvergeer? Vir die reeks ( + ) + ( + ) + ( + ) +..., r = + Vir die reeks om te konvergeer, < r < < + < < < 0 5

Oefening.. Bepaal die som tot oneindigheid vir die volgende reekse: a) 7 + 9 + + + b) 4; ; ; _ ; c) 6 4 + _ + d) 6 + 4 + 8_ + 6 + 4 9 7 e) + 6 8 + 4 f) 5 + 5 + 9 + + 5. Bepaal die waarde van die volgende, indien moontlik. Indien nie moontlik nie, gee n rede waarom die som tot oneindigheid nie bepaal kan word nie. a). ( n n b) ) ( 4 c) () n n = d) 8( ) n = 0 n n = 5) e) 8( ) n = n n = f) n n =. Herlei elkeen van die volgende na n gewone breuk: a) 0, 8 b), 4 c), 5 4. Gegee die r 5(4 5 ) + 5(4 4 ) + 5(4 ) + a) Bews dat die reeks konvergent is. b) Bereken die som tot oneindigheid van die reeks. 5. Gegee die meetkundige reeks 9 + + + a) Bews dat T n = 7( ) n b) Vir watter waardes van sal die reeks konvergeer? c) Bereken die som tot oneindigheid indien =. 6. In n r vierkante is die se van die eerste vierkant 4 cm lank. Die se van elke daaropvolgende vierkant is die helfte van die vorige vierkant. 4 cm cm cm cm 6 a) Bepaal die lengte van die s van die agste vierkant. b) Skrf die reeks vir die omtrek van die vierkante neer. c) Bepaal die som van die omtrekke van die vierkante as hulle oneindig voortgaan. d) Skrf die reeks vir die oppervlakte van die vierkante neer. e) Bepaal die som van die oppervlaktes van die vierkante as hulle oneindig voortgaan.

7. Die getalle 5m 7; m + ; m + is positiewe getalle en die eerste drie terme van n konvergente meetkundige reeks. Bereken: a) die waarde van m. b) die som tot oneindigheid van die reeks. 8. Die som tot oneindigheid van n meetkundige reeks is 8 en die gemene verhouding is _. Bereken die eerste term van die reeks. 4 9. In die reeks 6 + + + +, is A die som tot oneindigheid en B is die som 4 tot n terme. Bereken: a) die waarde van A. b) die waarde van B in terme van n. c) die waarde van n waarvoor A B = 64. 0. n Plant is 00 cm hoog wanneer dit geplant word. Aan die einde van die eerste jaar is die plant 0 cm hoog. Die plant groei elke jaar met die helfte van die hoeveelheid van die vorige jaar. a) Wat sal die plant se hoogte na ses jaar wees? b) Bews dat die plant nooit n hoogte van 40 cm sal oorskr nie. Opsomming Rekenkundig Meetkundig Toets T T = T T T T T T Algemene vorm T n = a + (n )d T n = a. r n S n = n ( a + (n )d ) Of S n = n ( a + l ) a( r S n = n ) ; r < r Som Of a( r S n = n ) r ; r > Gemiddelde a + b ab Konvergeer vir: < r < a S S = r Hersieningsoefening. Gegee die volgende r: ; 6; ; 0 a) Bews dat T n =. n b) Bepaal:. Gegee die reeks: 6; ; 9; 7 4 ; a) Bereken die som van die eerste tien terme van die reeks. b) Bepaal die som tot oneindigheid. c) Skrf die som van die eerste tien terme van die reeks in sigmanotasie. n = T n 7

n n(n + ). a) Bews dat (r + 4) = r = b) Bepaal hieruit die som van die eerste 0 terme van die reeks. c) Hoeveel terme van die reeks sal n som van 996 gee? 4. Hoeveel terme van die reeks + 5 + 8 + +... werk altesaam uit op 876? 5. In n rekenkundige reeks is S 6 = 0 en S 5 =. Bepaal die waarde van T 6. 6. Vir watter waardes van sal die meetkundige reeks + ( + ) + ( + ) + konvergeer? 7. Die som van die derde en die sewende terme van n rekenkundige reeks is 48. Die som van die eerste tien terme van die reeks is 65. Bepaal die eerste drie terme van die reeks. 8. T T T T 4 T 5 4 8 Hierdie r kan óf rekenkundig óf meetkundig wees. a) Bepaal die nde term in elke geval. b) Bepaal hieruit die eerste en vierde terme indien die r die volgende is: i) rekenkundig ii) meetkundig. 9. Gegee die r: ; ; 4 ; 5; ; 9; 8 a) Skrf die volgende vier terme neer indien die r op dieselfde manier voortgaan. b) Bepaal die som van die eerste 40 terme van die r. 0. Bepaal die nde term van die r 4; ; indien die r die volgende is: a) rekenkundig b) meetkundig.. Die som van die eerste n terme van n r word gegee deur die formule S n = n + 9. a) Bepaal die som van die eerste 0 terme van die r. b) Bepaal die 0ste term van die r. c) Bews dat T n =. n.. Bepaal die 5de term van die rekenkundige reeks: + ; ; ;. n Bal val vanaf n hoogte van 6 meter en wip elke keer die helfte van die afstand terug. Bereken die totale afstand wat dit sal beweeg voor dit tot ruste kom. 4. Die som van n terme van die rekenkundige reeks + 5 + 8 is gelk aan die som van n terme van die rekenkundige reeks 5 + 6 + 8 + 9 + Bereken die waarde van n. 5. n Boom word geplant en die hoogte word aan die einde van elke jaar gemeet. Die hoogte van die boom is m aan die einde van die eerste jaar. In die tweede jaar neem die boom se hoogte met 5 cm toe. Die boom se hoogte neem elke jaar met 4 van die vorige jaar se groei toe. 5 8

a) Voltooi die tabel: Hoogte van boom in m,5 Jaar Jaar Jaar Jaar 4 Jaar 5 Groei in cm 5 b) Bepaal die toename in die hoogte van die boom aan die einde van die de jaar. c) Bepaal die hoogte van die boom na jaar. d) Bews dat die maksimum hoogte wat die boom sal bereik,75 m sal wees. 6. Sedert 00 het die sterftes per 00 000 mense in gevaar as gevolg van malaria in Afrika rofweg die volgende patroon gevolg: T T T T 4 T 5 00 004 005 006 007 6,, 9,6 07 a) Bepaal of dit die patroon volg van i) n meetkundige r ii) n rekenkundige r iii) n kwadratiese r. b) Bepaal die nde term van hierdie r. c) Watter persentasievermindering het tussen 00 en 00 plaasgevind? 9

Hoofstuk Funksies en inverse funksies In hierdie hoofstuk gaan j: funksies hersien wat in Graad 0 en behandel is n funksie definieer oor die inverse van n funksie leer leer hoe om die grafieke van inverse funksies te skets. In Graad 0 en het j geleer hoe om die grafieke van verskillende funksies te skets, naamlik: die reguitln: = a + q die parabool: = a( + p) + q a die hiperbool: = ( + p) + q die eksponensiaalfunksie: = a. b + p + q Hersiening van funksies wat in Graad 0 en behandel is Voor j n grafiek skets moet j: die kromme identifiseer, so j moet vertroud wees met die algemene vergelking van elke funksie n ruwe skets van die grafiek teken die moontlike - en -afsnitte van die grafiek bereken die vergelkings van enige asimptote neerskrf die vergelking van die simmetrie-as van n parabool en die koördinate van die draaipunt neerskrf. 40

Voorbeeld Skets die grafiek van = +. Dit is die grafiek van n reguitln met n negatiewe gradiënt: gradiënt = Ruwe skets: Om die -afsnit te bereken, maak ons = 0 en los op vir : = ( 0 ) + = Die -afsnit is (0; ). Om die -afsnit te bereken, maak ons = 0 en los op vir : 0 = + 0 = + 6 Vermenigvuldig albei kante met = 6 Die -afsnit is (6; 0). 6 5 4 0 4 5 6 7 4 4

Voorbeeld Skets die grafiek van = ( ) 8. Dit is die grafiek van n parabool. Die vergelking van die simmetrie-as is =. Die draaipunt van die grafiek is (; 8). Om die -afsnit te bereken, maak = 0 en los op vir : = (0 ) 8 = 0 Die -afsnit is (0; 0). Ruwe skets: Om die -afsnit te bereken, maak = 0 en los op vir : 0 = ( ) 8 8 = ( ) Tel 8 b albei kante 4 = ( ) Deel albei kante deur ± 4 = ( ) Bepaal die vierkantswortel van albei kante = of = = = 5 0 Die -afsnitte is (; 0) en (5; 0). 9 8 7 6 5 4 0 4 5 6 7 8 4 5 6 ( ) 8 4

Voorbeeld Skets die grafiek van = 4 +. Dit is die grafiek van n hiperbool. Die vergelking van die asimptote is = en =. Om die -afsnit te bereken, maak ons = 0 en los op vir : 4 = 0 + = 6 Die -afsnit is (0; 6). Om die -afsnit te bereken, maak ons = 0 en los op vir : 4 0 = + 4 = Tel 4 b albei kante 4 = ( ) Bepaal die KGN 4 = 6 = Tel b albei kante = Deel albei kante deur Die -afsnit is (; 0). Bepaal die koordinate van nog punte om jou te help om die grafiek te teken. 9 8 7 6 5 4 Ruwe skets: 0 4 5 6 7 4 5 6 7 4 = ( ) 4

Voorbeeld 4 Skets die grafiek van = ( ) + + 4. Dit is die grafiek van n eksponensiaalfunksie. Die vergelking van die asimptoot is = 4. Om die -afsnit te bereken, maak ons = 0 en los op vir : = ( ) 0 + + 4 = Die -afsnit is (0; ). Ruwe skets: Om die -afsnit te bereken, maak ons = 0 en los op vir : 0 = ( ) + + 4 ( ) + = 4 Tel ( ) + b albei kante ( ) + = Deel albei kante deur ( ) + = Skrf as = Verhef n mag tot n mag = = = Die -afsnit is ( ; 0). Stel die eksponente gelk Los op vir 4 = + + 4 0 44

Oefening.. Skets die grafieke van die volgende: a) = b) = ( ) c) = d) = e) = f) = g) = h) = i) = + + j) = ( + ) + k) = l) = m) = n) = o) = ( ) + p) = 4 + q) = ( ) + 4 r) = s) = ( ) 8 t) =. +. Bepaal die vergelkings van die volgende: a) f() = a( + p) + q b) g() = (; 9) a + p + (0; 5) f (; ) c) h() = ab + q d) p() = a + b + c (; 7) ( ; 6) 45

a e) g() = + p + q f) h() =. b+p + q 8 6 ( 4; ) ( ; ) g) = a + p ; > 0 h) = b + p (; ) i) = a ( ; ) 46

Funksies n Relasie is enige verwantskap tussen twee veranderlikes. n Funksie is n spesiale soort relasie waarin: Daar vir elke -waarde op die meeste een -waarde is. Elke element van die gebied (ook bekend as definisieversameling) word met slegs een element van die terrein (ook bekend as waardeversameling) geassosieer. Met ander woorde, die -waardes word nooit in die versameling geordende pare van n funksie herhaal nie. Let op dat ons in hierdie hoofstuk gebied en terrein gebruik. Bvoorbeeld: {(; ); (; 4); (; 6)} is n funksie, {(; ); (; ); (; 4); (; 4)} is NIE n funksie nie, want die -koördinate word herhaal. Enige vertikale ln sal die grafiek van n funksie een keer en slegs een keer sn. Bvoorbeeld: funksie Nie n funksie nie Nie n funksie nie n Funksie het n een-tot-een- of baie-tot-een-afbeelding. i) ii) iii) iv) 4 4 4 4 5 5 5 5 0 6 0 6 0 6 0 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 Een-tot-een-afbeelding funksie Baie-tot-een-afbeelding funksie Een-tot-baie-afbeelding nie n funksie nie Baie-tot-baie-afbeelding nie n funksie nie Indien ons die geordende pare vir elke afbeelding ls, het ons: i) {( ; 5); (0; 7); (; 9)} Geen -koördinaat word herhaal nie, so die relasie is n funksie. Elke -waarde beeld slegs op een -waarde af. Met ander woorde, nie die - of die waardes word herhaal nie. Die gebied is { ; 0; } en die terrein is {5; 7; 9}. ii) {( ; 5); ( ; 5); (0; 7); (; 7)} Geen -koördinaat word herhaal nie, so die relasie is n funksie. Baie -waardes beeld op meer as een -waarde af. Met ander woorde, die -waardes word nie herhaal nie, maar die -waardes word herhaal. 47

Die gebied is { ; ; 0; } en die terrein is {5; 7}. (iii) {( ; 4); ( ; 4); ( ; 6); (; 7); (; 8)} Twee -koördinate word herhaal, so die relasie is nie n funksie nie. Dieselfde -waarde beeld op verskillende -waardes af. Met ander woorde, die -waardes word herhaal, maar die -waardes word nie herhaal nie. Die gebied is { ; } en die terrein is {4; 6; 7; 8}. (iv) {( ; 4); ( ; 4); ( ; 6); (; 6); (; 8)} Twee - koördinate word herhaal, so die relasie is nie n funksie nie. Baie -waardes beeld op baie -waardes af. Met ander woorde, beide die - en die waardes word herhaal. Die gebied is { ; ; } en die terrein is {4; 6; 8}. n Funksie is toenemend indien die veranderlikes in dieselfde rigting verander. Met ander woorde, soos die -waardes toeneem, neem die -waardes ook toe. Of, soos die -waardes afneem, neem die -waardes ook af. n Funksie is afnemend indien die veranderlikes in verskillende rigtings verander. Met ander woorde, soos die waardes van toeneem, neem die waardes van af. Of, soos die waardes van afneem, neem die waardes van toe. Oefening.. Bepaal watter van die volgende grafieke is funksies. a) b) c) d) e) f) g) h). f = {(; 5); (; 7); (4; 9); (5; )} a) Is f n funksie? Gee n rede vir jou antwoord. b) Skrf die gebied en terrein van f neer. c) Bepaal m indien f(m) = 9. d) Bepaal n indien f() = n.. Gegee dat P nie n funksie is nie, bepaal die waarde(s) van. 48