Hoofdstuk 3 Het wortellijnendiagram 3. nleiding Het transiënt gedrag van een systeem wordt bepaald door de ligging van de wortels van de karakteristieke vergelijking (of door de polen van het gesloten systeem). De wortellijnenmethode (Eng.: `oot locus') is een grafische procedure die het verloop van de polen van het gesloten systeem in het p-vlak weergeeft (of later ook in het z-vlak zie cursus Automatisering, egeltechniek, deel ) bij wijzigende versterkingsfactor K. n feite onderzoeken we zo de invloed van een proportionele regelaar (P-regelaar) op het gedrag of op de stabiliteit van het gesloten systeem. De P-regelaar zal het verschil tussen gewenste en werkelijke waarde versterken en doorgeven aan het systeem als stuursignaal u, zoals figuur 3. aangeeft. Setwaarde + - e P-regelaar u Systeem K G ( p) Werkelijke waarde H ( p) Terugkoppeling-sensor Figuur 3. : egelkring voor het wortellijnendiagram. Het wortellijnendiagram wordt ook het Evans-diagram genoemd. De invloed van de poolpositie op het transiënt gedrag is al eerder besproken in de cursus systeemtheorie. Voor systemen met meerdere polen zijn de polen die het dichts bij de imaginaire as liggen de belangrijkste. We noemen dit de dominante polen. Naarmate de polen verder van de imaginaire as liggen, hebben ze minder invloed op het transiënt gedrag. - 3. -
Automatisering: egeltechniek 3. Voorbeeld: Analytische berekening van de polen Als voorbeeld van hoe we het later niet meer zullen doen en om aan te geven hoe krachtig de grafische methode van het wortellijnendiagram is, zullen we in wat volgt de polen van een gegeven gesloten systeem berekenen op de klassieke analytische manier. X ( p) + - e P-regelaar K u Systeem Y ( p) ( p+a ) p Figuur 3. : Voorbeeld. Neem het systeem uit figuur 3.. Dit is een tweede orde systeem en heeft steeds twee polen. De open-lus-tf is: G(p)= K p(p + a) = T(p) N(p) met K en a constanten. De twee polen van het open systeem zijn p = 0 en p = -a. De gesloten-lus-tf is: Q(p)= Y(p) X(p) = K p + pa + K = T(p) T(p)+N(p) De karakteristieke vergelijking is de noemer van de gesloten TF gelijkgesteld aan nul of: T(p)+N(p)=0 of p + pa + K = 0 Het dynamisch gedrag wordt bepaald door de wortels van de karakteristieke vergelijking (of de polen van het gesloten systeem). Deze wortels zijn: p, = a ± a 4K = a ± a K Als we a constant houden en K wijzigen van nul tot oneindig dan gaan de wortels van de karakteristieke vergelijking of de polen van het gesloten systeem een kromme beschrijven in het p-vlak. Deze kromme is per definitie het wortellijnendiagram. Zie figuur 3.3. We kunnen drie gevallen onderscheiden: 0 K < a de wortels zijn reëel en verschillend. n het bijzondere geval dat K = 0 zijn de polen van het gesloten systeem gelijk aan de polen van het open systeem: p = 0 en p = -a. Het gesloten systeem is overgedempt. (Niet voor K = 0). - 3. -
Automatisering: egeltechniek K = a De wortels zijn reëel en gelijk: p = p = -a/. Het gesloten systeem is kritisch gedempt. a < K < De wortels zijn complex toegevoegd. Het reëel deel is constant en gelijk aan -a/. Het gesloten systeem is ondergedempt. De staprespons zal een oscillatie vertonen. P-vlak K = K = 0 K = 0 -a -a/ 0 K = (a/)² K = Figuur 3.3 : Wortellijnendiagram voor de regelkring uit figuur 3.. Uit figuur 3.3 kunnen we verder afleiden dat het gesloten systeem steeds absoluut stabiel zal zijn. Naar mate K echter naar oneindig gaat, zal het systeem relatief instabiel worden. (Er kunnen ook besluiten getrokken worden over de natuurlijke frequentie ω n en over de demping ζ van het gesloten systeem. Zie later.) n deze paragraaf hebben we het wortellijnendiagram getekend door de karakteristieke vergelijking op te lossen. Deze procedure is voor hogere-orde-systemen moeilijk en tijdrovend. Evans heeft een grafische techniek ontwikkeld om het wortellijnendiagram of Evans-diagram van hogere orde systemen te construeren. 3.3 Constructieregels Definities De meest algemene vorm van de karakteristieke vergelijking van een teruggekoppeld systeem wordt gegeven door: + G(p)H(p)=0 waarbij G(p)H(p) algemeen geschreven kan worden als - 3.3 -
Automatisering: egeltechniek m G(p)H(p)= K L(p + z )(p + z )... K (p + z m ) L Π (p + zi ) (p + p )(p + p )... = i= n (p + p n ) (p + pj) met -z, -z... -z m de nulpunten van de open-lus-tf en -p, -p... -p n de polen van de open-lus-tf. De open-lus-tf kan ook gegeven worden als een breuk van polynomen: G(p)H(p)= b mp m + b m p m +... b p + b 0 a n p n + a n p n +... a p + a 0 Uit de gelijkstelling van de twee laatste formules volgt: Π j= K L = b m a n K L wordt de vermenigvuldigingsfactor genoemd (Eng.: multiplying constant of L-gain). n het nulpuntenpolenbeeld wordt deze waarde in een vierkantje vermeld zodanig dat de TF eenduidig bepaald is. (Zie als voorbeeld figuur 3.4). 5(p²+) GH = (p+)(p+4) x x -4-3 - - - o o 5 K = 5 L - Figuur 3.4 : Aanduiding van de waarde K L in het nulpuntenpolen beeld. Vaak zal men ook verwijzen naar de gelijkspanningsversterking K D (DC-versterkingsfactor of Eng.: DC-gain). ndien de coëfficiënten a 0 en b 0 verschillend zijn van nul, dan is K D = b 0 a 0 We vinden de DC-versterkingsfactor door p gelijk te stellen aan nul en in te vullen in de TF op voorwaarde dat de TF geen integrator of differentiator bevat. ndien de TF wel een integrator of een differentiator bevat, moet men gebruik maken van de algemene formule: K D = K L(z )(z )... (z m ) (p )(p )... (p n ) - 3.4 -
Automatisering: egeltechniek waarbij de polen p j = 0 of de nulpunten z i = 0 weggelaten worden. Modulus- en hoekvoorwaarde Het wortellijnendiagram wordt bepaald door de oplossing van de karakteristieke vergelijking van de regelkring volgens figuur 3. waarbij K varieert van nul tot oneindig. De karakteristieke vergelijking is: + KGH = 0 of KGH = Dit is een complexe vergelijking. Ze wordt daarom opgesplitst in een voorwaarde voor de absolute waarde en een voorwaarde voor de hoek van het linker- en rechterlid. en KH(p)G(p) = KG(p)H(p) = 80 + k 360 (Modulusvoorwaarde) (Hoekvoorwaarde) We zoeken nu alle complexe getallen p die voldoen aan deze twee vergelijkingen. Aan de eerste vergelijking wordt steeds voldaan door de juiste keuze van K. K = G(p)H(p) De hoekvergelijking is daarentegen onafhankelijk van de waarde K. (De hoek van een complex getal verandert niet bij vermenigvuldiging met een reële waarde): KG(p)H(p) = G(p)H(p) Bovendien is de totale hoek van GH gelijk aan de som van de hoeken uit de nulpunten minus de som van de hoeken uit de polen t.o.v. het beschouwde punt p of of G(p)H(p) = (p + z )... (p + z m ) (p + p )... (p + p n ) = (p + z ) +... + (p + z m ) (p + p )... (p + p n ) G(p)H(p) = Σ (p + z i ) Σ (p + p j) Figuur 3.5 geeft aan hoe deze hoeken bepaald worden. Willekeurig punt p Vector evenwijdig met p+p j α p p+ α p j Vector evenwijdig met p + z i p β β p + z i p j z i Pool = -p j Nulpunt = -z i ( p+p j ) =α ( p + z ) =β Figuur 3.5 : Bepaling van de hoeken vanuit een pool en een nulpunt naar een willekeurig punt. - 3.5 -
Automatisering: egeltechniek Aan de hand van de bovenstaande vergelijkingen wordt nu een aantal eigenschappen en constructieregels voor het wortellijnendiagram afgeleid. Hierbij duidt m op het aantal nulpunten van GH. De parameter n geeft het aantal polen van GH. Aantal takken Het aantal takken van het wortellijnendiagram is gelijk aan het aantal polen van GH. De gesloten TF is immers steeds van dezelfde orde als de open-lus-tf bij een eenvoudige terugkoppeling zoals figuur 3. aangeeft. Voor elke waarde van K heeft het gesloten systeem n polen. Beginpunten De beginpunten van het wortellijnendiagram of beter de beginpunten van elke tak van het wortellijnendiagram worden gegeven door de polen die horen bij de waarde K = 0. Opdat voor K = 0 aan de modulusvoorwaarde voldaan is, moet G(p)H(p) oneindig zijn. Dit is zo voor de polen van GH. Er zijn evenveel beginpunten als takken, namelijk n. Besluit: De beginpunten zijn de polen van GH. Eindpunten De eindpunten van het wortellijnendiagram of beter de eindpunten van elke tak van het wortellijnendiagram worden gegeven door de polen die horen bij de waarde K =. Opdat ook hier aan de modulusvoorwaarde voldaan zou zijn, moet G(p)H(p) nul zijn. Dit is zo voor de nulpunten van GH. Er zijn echter minder eindpunten (m) dan takken (n). n-m takken zullen daarom naar oneindig lopen. We spreken daarom van n-m nulpunten van het open systeem op oneindig. Besluit: De eindpunten zijn de nulpunten van GH. Er liggen n-m eindpunten op oneindig. Er zijn bijgevolg n-m asymptoten. Takken op de reële as De hoek die een willekeurig punt op de reële as maakt met een reëel nulpunt of een reële pool van GH is steeds 0 of 80. De totale hoek van een willekeurig punt op de reële as met een complex paar nulpunten of polen is steeds 0. Figuur 3.6 geeft enkele voorbeelden. 0 80 Complex toegevoegde -a Pool of nulpunt Pool of nulpunt polen of nulpunten a Figuur 3.6 : Hoeken naar punten op de reële as. Hieruit kunnen we besluiten dat alle punten op de reële as die links gelegen zijn van een oneven aantal nulpunten of polen van GH, behoren tot het wortellijnendiagram omdat zij voldoen aan de hoek voorwaarde. - 3.6 -
Automatisering: egeltechniek Asymptotische richting ndien het aantal polen van GH groter is dan het aantal nulpunten van GH (n > m), dan zullen n-m takken naar oneindig lopen. De asymptotische richting van deze takken wordt gegeven door: θ= 80 + k 360 n m Het snijpunt σ van deze asymptoten met de reële as is het zwaartepunt van de polen en nulpunten van GH. σ= Σ p j Σ z i n m Figuur 3.7 geeft de asymptotische richtingen aan voor enkele waarden van n-m. n-m= 80 n-m= 90-90 n-m=3 80 60-60 n-m=4 35 45-45 -35 Figuur 3.7 : Asymptotische richtingen voor verschillende waarden van n-m. Breekpunten bij samenvallende polen of nulpunten (Breakaway points en Entry points) Wanneer een tak van het wortellijnendiagram de reële as verlaat, dan gebeurt dit steeds onder een hoek van ± 90. Het punt waar dit gebeurt is een breekpunt en geeft een dubbele pool weer. Deze punten kunnen bepaald worden door de afgeleide van K naar p gelijk te stellen aan nul en op te lossen: dk(p) dp = 0 Figuur 3.8 geeft een voorbeeld. Breekpunt Samenvallende pool Wortellijnendiagram GH= (p+a)p x x -a 0 Figuur 3.8 : Voorbeeld van een breekpunt. - 3.7 -
Automatisering: egeltechniek Hoek van vertrek Om het wortellijnendiagram nauwkeurig te kunnen tekenen is het soms nodig de hoek te kennen waarmee een tak vanuit een complexe pool of complex nulpunt vertrekt. Deze hoek van vertrek kan bepaald worden m.b.v. de hoekvoorwaarde. We nemen een willekeurig punt dat zeer dicht bij een complexe pool ligt. De richting van de vector vertrekkend uit de beschouwde complexe pool naar dit punt toe is de gezochte hoek. De hoeken van alle andere vectoren vertrekkende uit de overige nulpunten en polen naar het willekeurig punt toe kennen we wel omdat deze vectoren samenvallen met de vectoren uit de overige nulpunten en polen naar de beschouwde complexe pool toe. We kunnen deze hoeken grafisch aflezen of berekenen. Zie figuur 3.9. Beschouwde complexe pool Pool Willekeurig punt Φ hoek? -4+j4 6,6 45-8 - 90 3(p+) GH = (p+8)(p²+8p+3) 3-4-j4 Figuur 3.9 : Hoek van vertrek. Voor het systeem gegeven in figuur 3.9 wordt de hoek van vertrek uit de pool -4+j4 volgens de hoekvoorwaarde: Σ nulpunten Σ polen = 6, 6 45 90 Φ=80 Φ= 98, 4 = 6, 6 Vermits we steeds complex toegevoegde polen hebben zal het wortellijnendiagram symmetrisch zijn t.o.v. de reële as. De hoek van vertrek uit de pool -4-j4 is daarom gelijk aan 98,4. Het volledige wortellijnendiagram is gegeven in figuur 3.0. 6,6-4+j4-8 - -4-j4 3(p+) GH = (p+8)(p²+8p+3) 3-6,6 Figuur 3.0 : Wortellijnendiagram. - 3.8 -
Automatisering: egeltechniek 3.4 Eigenschappen De stabiliteit, de grootte van de demping ζ, de natuurlijke eigenpulsatie ω n, de responstijd t r en de 'settling time' t s van een systeem zijn afhankelijk van de polen van het systeem. De waarde van K zal de ligging van de polen van het gesloten systeem bepalen (zoals weergegeven in het wortellijnendiagram) en bepaalt dan ook de bovenvermelde eigenschappen. Stabiliteit Het gesloten systeem is stabiel indien alle polen gelegen zijn in het linker halfvlak. Het reëel deel van elke pool moet bijgevolg negatief zijn. Wanneer het systeem een pool bevat met een positief reëel deel, dan is dit systeem instabiel. Een systeem met een pool met reëel deel gelijk aan nul, is marginaal stabiel. Wanneer het wortellijnendiagram volledig in het linker halfvlak ligt, is het gesloten systeem steeds stabiel, dit is voor elke mogelijke versterkingswaarde K. ndien enkele takken van het wortellijnendiagram (eventueel gedeeltelijk) in het rechter halfvlak liggen, dan is het systeem voor bepaalde versterkingswaarden instabiel. We zoeken dan de versterkingswaarde waarvoor het systeem marginaal stabiel is. Dit is de K-waarde die hoort bij de snijpunten van het wortellijnendiagram met de imaginaire as. Bij deze K-waarde heeft het systeem een pool gelijk aan nul (p = 0) of zuiver complex toegevoegde polen (p = ±jω). Deze K-waarde wordt bepaald door p = 0 of p = jω in te vullen in de karakteristieke vergelijking: K rand_stabiliteit G(jω)H(jω) = Door gelijkstelling van complex deel, respectievelijk reëel deel uit linker en rechter lid van deze vergelijking, krijgen we een stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden, nl. K en ω. Deze K-waarde geeft dan de maximale (of soms minimale) versterking die mag (moet) worden ingesteld in de regelkring (om de stabiliteit te garanderen). Voldoende demping (relatieve stabiliteit) Voor een tweede orde systeem met complex toegevoegde polen, kan juist bepaald worden hoe groot de dempingscoëfficiënt ζ is. De standaard TF is: TF eorde = Kω n p + ζω n p +ω n Het polendiagram overeenkomstig deze TF met ζ <, is gegeven in figuur 3.. De polen zijn: p, = ω n ζ±j ζ Zoals de figuur aangeeft, is de cosinus van de hoek φ gelijk aan de dempingscoëfficiënt van het systeem. - 3.9 -
Automatisering: egeltechniek cos φ=ζ X ω n ζ φ K ω n ζ X Figuur 3. : Polendiagram van een tweede orde systeem. Zo kunnen we lijnen tekenen voor polen met een constante dempingscoëfficiënt. Zie figuur 3.. Stijgende demping 0,5 0,3 0, 0,8 maginaire as: ζ = 0 0,9 0,97 eële as: ζ waarden Figuur 3. : Lijnen van constante demping en bijgevolg ook van constante doorschot. Natuurlijke eigenpulsatie ω n De natuurlijke eigenpulsatie ω n bepaalt de reactiesnelheid van het systeem. Des te groter ω n, des te sneller het systeem. Dit volgt rechtstreeks uit de formule voor de staprespons van het tweede orde systeem. Figuur 3.3 geeft lijnen van constante ω n. Stijgende natuurlijke eigenpulsatie ω n Stijgende gedempte eigenpulsatie ω p Figuur 3.3 : Lijnen van constante natuurlijke eignpulsatie (links). Figuur 3.4 : Lijnen van constante gedempte eignpulsatie (rechts). Gedempte eigenpulsatie ω p Het complex deel van de pool is gelijk aan de gedempte eigenpulsatie, die het oscillerend gedrag van het overgangsverschijnsel bepaalt. Figuur 3.4 geeft enkele lijnen van constante ω p. - 3.0 -
Automatisering: egeltechniek 'Settling' tijd Een indicatie voor de 'settling' tijd t s voor een afwijking van ± % (dit is de tijd die het systeem nodig heeft om binnen een band van ± % van de eindwaarde te komen) wordt gegeven door het reëel deel van de pool. Voor een systeem met een zuivere reële pool geldt: p + a e at Na de tijd t s moet deze exponentiële functie kleiner zijn dan 0,0 of 0, 0 = e a.ts t s = 4, 6/ a ndien t s gegeven is, kan uit bovenstaande formule de grenswaarde voor het reëel deel van de pool bepaald worden. Polen die meer negatief zijn zullen een kleinere t s waarde opleveren. ndien de polen in absolute waarde kleiner zijn, voldoet het systeem met deze polen niet aan de gestelde eisen. Figuur 3.5 geeft dit resultaat weer. -4,6/ t s 3. Gebied met polen met een een 'settling' tijd <. Lijn met polen met een een 'settling' tijd = t s t s 3. Gebied met polen met een een 'settling' tijd > t s Figuur 3.5 : Polen overeenkomstig een gegeven 'settling time' voor ± %. Opmerking: Bovenstaande eigenschappen werden afgeleid voor het geval dat het systeem één enkele reële pool heeft of twee toegevoegde complexe polen. Dit is voor eerste en tweede orde systemen. ndien het systeem van hogere orde is, zullen de polen die het dichts bij de imaginaire as gelegen zijn, het meest bijdragen tot de vorm van het overgangsverschijnsel. We noemen dit de dominante polen en het systeem dat hiermee overeenstemt het dominant tweede orde systeem. De polen met een sterk negatief reëel deel (dit zijn de polen die ver van de imaginaire as liggen) stemmen overeen met een snel uitdempend overgangsverschijnsel. Hun bijdrage in het geheel is verwaarloosbaar. Voor hogere orde systemen mogen we derhalve de bovenvermelde eigenschappen toetsen aan de dominante polen. - 3. -