handleiding algebra
inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor een klassengesprek 10 januari 2005 handleiding algebra 2
de grote lijn hoofdlijn aan de zijlijn Rekenen: 5 7 + 6 7 = 11 7 Type opgave: 5a + 6a = 11a Routes in een rooster Type opgave: 5a+2b + a+7b = 6a+9b aantal kortste routes Type opgave: 5ab + 6ab = 11ab verschillende rechthoeken met oppervlakte 10ab Type opgave: 5a 2 + 6a 2 = 11a 2 verschillende rechthoeken met oppervlakte 10a 2 roosterafstanden Rekenen: 30 40 = 12 100 Type opgave: 3a 4a = 12a 2 3a 4b = 12ab voorrangsregel: 12a 2 = 12 a a Rekenen: 23 34 = 20 30 + 20 4 + 3 30 + 3 4 Type opgave: (2a+3b)(3a+4b) =. Ontbinden: 2a 2 +10ab+12b 2 = ( )( ) handleiding algebra 3
bespreking per paragraaf applet AlgebraApplet bij opgave 10 van paragraaf 1 en opgave 11 van paragraaf 3: De leerlingen kunnen zelf (aaneengesloten) routes en oppervlaktes van rechthoeken tekenen of de computer routes of oppervlaktes laten tekenen. Gevraagd wordt dan de bijbehorende formules op te schrijven; bij de oppervlaktes is er keuze tussen met of zonder haakjes. Ook kunnen de leerlingen zelf formules opgeven of de computer formules laten opgeven. In beide gevallen kan een plaatje worden getekend en moet de formule worden vereenvoudigd of zonder/met haakjes worden geschreven. 1 routes in een rooster Instap: een opvallende formule voor de kwadraten van drie opvolgende getallen: (a+2) 2 +a 2 2(a+1) 2 = 2. Hierop wordt in een onderzoeksopgave teruggekomen. Uitgangspunt voor het rekenen met variabelen is het rekenen met getallen zoals dat bij de leerlingen bekend is: 5 7 + 6 7 = 11 7 Dit is in feite de (uit hoofdstuk 3 bekende) distributiewet; die geldt ook in andere talstelsels. Met deze kennis is rekenen met variabelen een kleine stap: 5 a + 6 a = 11 a. We werken in een rooster van a b. Bij een plaatje hoort een formule en omgekeerd. Bij een route (over de roosterlijnen) hoort een formule in de gedaante: a + b. De lengte van zulke routes kun je ook optellen en je kunt er een veelvoud van nemen. Bij een gebied (begrensd door roosterlijnen) hoort een formule in de gedaante ab. De oppervlakte van zulke gebieden kun je optellen en je kunt er een veelvoud van nemen. Tussen twee roosterpunten wordt het aantal kortste routes geteld (een verband met hoofdstuk 1 - Tellen). Het voorgaande wordt ook toegepast in een vierkantjesrooster van a a. Hierin wordt ook afstanden bekeken, gemeten langs roosterlijnen. 2 oppervlakte in een rooster Uitgangspunt is weer het gewone rekenen: 30 40 = 12 100 (ook in andere talstelsels dan het tientallig stelsel). We werken in een rooster van a b. De oppervlakte van een rechthoek wordt op twee manieren berekend: 1. lengte breedte. en 2. hokjes tellen. Zodoende wordt een gelijkheid gevonden van de vorm: a b = ab. Hetzelfde in een rooster van a a. Omdat we te maken krijgen met uitdrukkingen 3a 2, wordt opnieuw aandacht geschonken aan de volgorde van de bewerkingen, nu ook met kwadrateren erbij. Kwadrateren gaat vóór de andere bewerkingen. 3 producten Weer is het uitgangspunt het bekende rekenen: je rekent 23 34 uit via 20 30, 20 4, 3 30 en 3 4. Dit werkt zo ook in andere talstelsels dan het tientallig stelsel. handleiding algebra 4
bespreking per paragraaf We werken in een "gemengd" rooster: er zijn vier stukken van hokjes van a b, a a en van b b. Van een rechthoek die zich pver verschillende stukken uitstrekt wordt de oppervlakte op de twee manieren berekend: 1. lengte breedte. en 2. hokjes tellen. Zodoende wordt een formule gevonden van de vorm: (_a + _b)(_a + _b) = a 2 + _ab + _b 2. Ook het omgekeerde wordt gedaan: bij een gegeven zonderhaakjes-formule de lengte breedte-formule geven; dus het ontbinden. 4 onderzoek Hier volgen de antwoorden van de opdrachten. Opdracht 1 Een mooie formule a. Kies b=1. b. (a+2) 2 + a 2 = 2a a + 4a + 4 en 2(a+1) 2 = 2a 2 + 4a + 2 Het verschil is inderdaad voor elk getal a gelijk aan 2. c. + = + d. (a+4) 2 + a 2 2(a+2) 2 = 8 e. (3a) 2 + a 2 2(2a) 2 = 2a 2 (3a) 2 + a 2 2(2a) 2 = 9a 2 + a 2 8a 2 = 2a 2 Opdracht 2 Meer variabelen a. a b c d b. (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd a b c d (a+2b)(3c+4d) = 3ac + 4ad + 6bc + 8bd c. (a+b+c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc d. (a+2b+3c) 2 = a 2 + 4b 2 + 9c 2 + 4ab + 6ac + 12bc Opdracht 3 In een ruimtelijk rooster a. 8 b. Drie stukken van a b 2, drie stukken van a 2 b en een stuk van b 3. handleiding algebra 5
bespreking per paragraaf c. (a+b) 3 = a 3 + 3 a b 2 + 3 a 2 b + b 3 d. 5 3 = 125 en 3 3 + 3 3 2 2 + 3 3 2 2 + 2 3 = 27 + 36 + 54 + 8 = 125 e. Kies a=10 en b=1. Dan krijg je: 11 3 = 10 3 + 3 10 1 2 + 3 10 2 1 + 1 3 = 1000 + 30 + 300 + 1 = 1331 f. (2a+b) 3 = 8a 3 + 12a 2 b + 6ab 2 + b 3 Opdracht 4 a. Roosterafstanden C A B b. Zie c. C A B d. e. C C A B A B Opdracht 5 De uitslag van een balk a. 2a+4b+8c 2a+8b+4c 4a+2b+8c 4a+8b+2c 8a+2b+4c 8a+4b+2c 2a+6b+6c 6a+2b+6c 6a+6b+2c 4a+4b+6c 4a+6b+4c 6a+4b+4c De grootste omtrek is 8a+4b+2c, de kleinste omtrek is 2a+4b+8c. handleiding algebra 6
bespreking per paragraaf b. c. 6a+8c 8a+6c Dat zijn de enige mogelijkheden. De omtrek kan alleen 14a zijn. Opdracht 6 De tafels van vermenigvuldiging a. 4 6 = 24 4 50 = 200 30 6 = 180 30 50 = 1500 Opgeteld: 1904 b. = 2 = 3 = 4 = 10 = 4 = 11 = 13 = 20 = 11 = 14 = 22 = 30 = 13 = 22 = 31 = 40 = 20 = 30 = 40 = 100 c. 2 4 = 13 2 40 = 130 30 4 = 220 30 40 = 2200 Opgeteld: 3113 d. 1 2 = 2 1 10 = 10 2 2 = 11 2 10 = 20 10 2 = 20 3 10 = 30 e. 10 10 = 100 f. 1 101 = 101 10 101 = 1010 100 101 = 10100 Opgeteld: 100011 g. 1 101 = 101 10 101 = 1010 100 101 = 10100 Opgeteld: 11211 Opdracht 7 Het laatste cijfer van een kwadraat a. 1 2 = 1 2 2 = 11 10 2 = 100 11 2 = 121 12 2 = 221 100 2 = 10000 Geen van deze kwadraten eindigt op een 2. b. Je hoeft alleen op het laatste cijfer te letten. In het drietallig stelsel eindigen alle getallen op een 0, 1 of 2. Als een getal eindigt op een 0, eindigt zijn kwadraat ook op een 0. Als een getal eindigt op een 1, eindigt zijn kwadraat ook op een 1. Als een getal eindigt op een 2, eindigt zijn kwadraat op een 1, want 2-kwadraat is drietallig 11. c. Je hoeft alleen op het laatste cijfer te letten. In het viertallig stelsel eindigen alle getallen op een 0, 1, 2 of 3. Als een getal eindigt op een 0, eindigt zijn kwadraat ook op een 0. handleiding algebra 7
bespreking per paragraaf Als een getal eindigt op een 1, eindigt zijn kwadraat ook op een 1. Als een getal eindigt op een 2, eindigt zijn kwadraat op een 0, want 2-kwadraat is viertallig 10. Als een getal eindigt op een 3, eindigt zijn kwadraat op een 1, want 3-kwadraat is viertallig 21. Elk kwadraat eindigt dus viertallig op een 0 of 1. d. Je hoeft alleen op het laatste cijfer te letten. In het vijftallig stelsel eindigen alle getallen op een 0, 1, 2, 3 of 4. Als een getal eindigt op een 0, eindigt zijn kwadraat ook op een 0. Als een getal eindigt op een 1, eindigt zijn kwadraat ook op een 1. Als een getal eindigt op een 2, eindigt zijn kwadraat op een 4. Als een getal eindigt op een 3, eindigt zijn kwadraat op een 4, want 3-kwadraat is vijftallig 14.Als een getal eindigt op een 4, eindigt zijn kwadraat op een 1, want 4-kwadraat is vijftallig 31. Elk kwadraat eindigt dus vijftallig op een 0, 1 of 4. handleiding algebra 8
tijdpad 1: Routes in een rooster 3 lessen 2: Oppervlakte in een rooster 3 lessen 3: Producten 3 lessen 4: Onderzoek 2 lessen Proeftoets 2 lessen handleiding algebra 9
materialen voor een klassengesprek 1 gereedschappen vereenvoudigen 1 2 a + 3 a = 2 2 3a = 3 2a+3b + 4a+5b = 4 2a 3b = 7 2a 2 + 3a 2 = 5 2a 3a = 8 2ab + 3ab = 6 2 3a 2 = zonder haakjes schrijven 9 2a (3a+4b) = 10 (2a+3b) (4a+5b) = met haakjes schrijven 11 6a 2 + 8ab = 12 8a 2 + 22ab + 15b 2 = 2 vragen 2ab + 3a 2 kan niet eenvoudiger worden geschreven. Schrijf nog twee (echt andere) sommen op die niet eenvoudiger kunnen worden geschreven. Wat is het verschil tussen (3a) 2 en 3a 2? Wat is het verschil tussen 3a 3b en 3ab? Wel of niet hetzelfde? - 3a b en a 3b en 3 ab - 2a (a+b) en a (2a+2b) en 2 (a 2 +ab) Waar of niet waar? - 7 (a b) = 7 a 7 b - a + (a+b) = a+a + a+b - a + (a b) = a+a a+b - 7 (a+b) = 7 a + 7 b Welke kunnen niet eenvoudiger worden geschreven? - 7a + 2a - 7a - 2a - 7a 2a - 7a : 2a - 7a + 2-7a 2 handleiding 10
materialen voor een klassengesprek - 7a 2-7a : 2 Stel dat je de achttallige schrijfwijze van twee getallen kent. Dus je weet van de getallen hoeveel eenheden ze hebben, hoeveel achttallen, hoeveel 64-tallen, enzovoort. - Hoe kun je die getallen dan optellen? - Hoe kun je berekenen hoeveel achttallen hun product heeft? En hoeveel eenheden? En hoeveel 64-tallen? 3 hoofdzaken Zeg kort: - bij wat voor sommen een route-plaatje hoort - bij wat voor sommen een oppervlakte-plaatje hoort - hoe je bij een rechthoek in een rooster een oppervlakte-gelijkheid maakt - hoe je bij een oppervlakte-gelijkheid een rechthoek maakt. Zeg kort wat je weet over het gebruik van haakjes in verband met kwadraat. Maak een lijstje voorbeelden van de verschillende type formules. 4 samenhang Algemene techniek om gelijkheden te maken: iets op twee manieren berekenen. Als je een formule voor (_a+_b)(_a+_b) weet, weet je er ook een voor _a (_a+_b) en voor _b (_a+_b). Als je een formule voor _a (_a+_b) en _b (_a+_b) weet, weet je er ook een voor (_a+_b) (_a+_b). Schematisch: (a+2b)(3a+4b) 2b (3a+4b) a (3a+4b) 2b 3a 2b 4b a 3a a 4b 1444442444443 optellen 5 leerling-opgaven Maak een verhaal waarbij in een rooster twee of meer routes moeten worden opgeteld. Maak een verhaal waarbij in een rooster de oppervlaktes van twee of meer gebieden moeten worden opgeteld. Maak een verhaal waarbij de oppervlakte van een rechthoek op twee manieren moet worden berekend. handleiding 11