Paragraaf Vergelijkige va vlakke Opgave a Dat zij de pute A, B, E e F e alle pute die verder op de voorkat va de kubus ligge. b Dat zij de pute A, C, E e G e alle pute die i het diagoaalvlak met A, C, E e G va de kubus ligge. c I het Oxz-vlak ligge de pute A e H op de lij x + z. Het vlak door deze lij, evewijdig met de y-as is het diagoaalvlak met daari A, B, G e H. Dat vlak bevat alle pute die voldoe aa de vergelijkig x + z. Opgave a Uitschrijve geeft: x (,,) ( x, y, z) x + y + z x + y + z. Dus x worde tot x + y + z. ka uitgewerkt b I oderdeel a hebbe we gezie dat x. Omdat geldt p (,,) (,0,0) volgt dus x p. Het rechterlid aar liks brege geeft x p 0. I paragraaf hebbe we gezie dat de distributieve wet geldt, dus x p ( x p). c Er geldt x + z x + 0 y + z (,0,) ( x, y, z) x. Dus ku je schrijve als x, wat x + z. Ook geldt a (,0,0). Bereke u: a (,0,) (,0,0). Werk u uit: ( x a) x a 0. d We kue x + y herschrijve i de vorm x met (,,0 ) e x ( x, y, z). De vector staat loodrecht op het vlak. Opgave a Op de x-as geldt y 0 e z 0, dus da volgt uit de vergelijkig x 6, e het sijput met de x-as is (6, 0, 0). Op soortgelijke wijze volge de sijpute met de y-as e de z-as: (0, 6, 0) e (0, 0, 6). Zie de atwoorde i het boek voor de tekeig. b I het Oxy-vlak is z 0, dus da wordt de vergelijkig x + y 6. Voor lij AB geldt x, dus daar is y, e da hebbe we het sijput (,, 0). Voor het sijput met lij BC geldt x + y 6 e y, dus x e het sijput is (,, 0). Op soortgelijke wijze worde de overige sijpute gevode. c OF is ee lij i het diagoaalvlak OBFH. De lij EG staat loodrecht op HF, wat dit zij diagoale i het vierkat EFGH. De lij EG staat ook loodrecht op OH, dus op het hele diagoaalvlak OBFH. Omdat EG loodrecht staat op vlak OBFH, staat EG loodrecht op iedere lij i dat vlak, e dus ook op OF. d BE staat loodrecht op het vlak OAFG, dus op iedere lij i dat vlak e dus ook op lij OF. april 06
e Maak ee tekeig va vlak OBFH. De legtes va OH e BF zij, de legtes va OB e FH zij, wat dit zij diagoale i vierkate met zijde met legte gelijk aa. H N F S O B Het put N ligt midde op HF, wat N is het sijput va de diagoale i vierkat EFGH. Teke u ook lije OF e BN. Driehoee OBF e BFN zij gelijkvormig, wat beide zij rechthoekig, e de verhoudige va de rechthoekszijde zij gelijk: OB/BF / e BF/FN /. Hieruit volgt dat FOB NBF. Maar omdat FOB + OFB 90, volgt u ook i driehoek SBF: SBF + BFS NBF + BFO FOB + BFO 90 e dus is de hoek bij S ook 90. Er geldt: OF f (,,) e B b (,,) (,,0) (,,). Bereke u: OF B (,,) (,,) 0, dus OF e BN staa loodrecht op elkaar. Opgave a Op de x-as geldt y 0, z 0, dus da is x 6 e het sijput is (6, 0, 0). Op de y-as geldt x 0, z 0, dus da is y 6 e het sijput is (0, 6, 0). Op de z-as geldt x 0, y 0, dus da is z 6 e het sijput is (0, 0, ). Zie verder de tekeig bij de atwoorde i het boek. b I het Oxy-vlak is z 0, dus de vergelijkig va de sijlij is x + y 6. Voor de lij AB geldt x, dus y e het sijput is (,, 0). Voor de lij BY geldt y, dus x e het sijput is (,, 0). I het Oxz-vlak is y 0, dus de vergelijkig va de sijlij is x + z 6. Voor de lij AE geldt x, dus z e het sijput is (, 0, ). I het Oyz-vlak is x 0, dus de vergelijkig va de sijlij is y + z 6. Voor de lij CG geldt y, dus z e het sijput is (0,, ). Verder heeft U ee sijput met de z-as i (0, 0, ) e dit is ook ee put op de ribbe. c De vergelijkig va het vlak is x + y + z 6. Coëfficiëte va x, y e zij zij, e dus ee ormaalvector is (,, ). d Bekijk OEG. De zijde va deze driehoek zij allemaal eve lag, dus de driehoek is gelijkzijdig. N is het midde va EG, dus ON is hoogtelij i OEG e ON staat loodrecht op EG. april 06
e Teke rechthoek OBFH. H N F M O B OHN e NFM zij gelijkvormig, wat beide zij rechthoekig e de verhoudig va de rechthoekszijde is i beide driehoeke gelijk: OH/HN / e NF/FM /. Dus NOH FNM. Maar ook geldt: HNO + NOH 90. Da volgt: HNO + FNM HNO + NOH 90, dus ONM 90 e ON e NM staa loodrecht op elkaar. Opgave 5 a I opgave hebbe we gezie dat ON loodrecht stat op vlak EGM, wat ON staat loodrecht op EG e ook op MN. De afstad va O tot vlak OGM is dus de legte va ON. Die legte kue we berekee met de tekeig i uitwerkig a): ON OH + HN + ( ) 6. b Pute A, C e H ligge eve ver va O, dus vlak ACH staat loodrecht op OF. Vector OF (,,). Dele we deze vector door, da blijft de richtig gelijk, dus (,, ) is ee ormaalvector. c Zie de uitwerkig i het boek. Opgave 6 a Vul achtereevolges de coördiate va A (, 0, 0), H (0, 0, 5) e C (0,, 0) i, i de x y z vergelijkig + +, e steeds volgt dat de gelijkheid geldt. 5 b Vermeigvuldig de vergelijkig met 5 60, da volgt de vergelijkig 0x + 5y + z 60. De coëfficiëte va x, y e z zij 0, 5 e, dus (0, 5, ) is ee ormaalvector. x c Op de x-as geldt y 0, z 0, da wordt de vergelijkig e x. Het sijput is da (, 0, 0). z Op de z-as geldt x 0, y 0, da wordt de vergelijkig 5 e z 5. Het sijput is da (0, 0, 5). d De variabele y komt iet voor i de vergelijkig, dus het vlak is evewijdig met de y-as. e Vermeigvuldig de vergelijkig met 5, da volgt 5x + z 5 e ee ormaalvector is (5, 0, ). april 06
Opgave 7 a Om het sijput met de z-as te bepale trekke we lij EG, met i het midde N. Put N ligt i vlak OBH. Omdat de afstad HN de helft is va de afstad OB, is de z-coördiaat va het sijput tweemaal de z-zoördiaat va put H, dus (0, 0, 0). Op soortgelijke wijze volge de sijpute (6, 0, 0) e (0, 8, 0). x y z b Met de iformatie i het grijze vlak bove de opgave volgt u: + +. Vermeigvuldig met 6 8 0 0, da volgt: 0 x + 5y + z 0 e de ormaalvector is (0, 5, ). c Vlak BEH sijdt de x-as iet, de y-as i (0,, 0) e de z-as i (0, 0, 5). Ee vergelijkig is dus: y + z 5, ofwel 5 y + z 0, met ormaalvector (0, 5, ). d Evewijdige vlakke hebbe dezelfde ormaalvector, dus ee vlak evewijdig aa BEH heeft y z vergelijkig + d. Het put (0, 0, 0) ligt i dit vlak, dus d 0. 5 Opgave 8 De coördiate va de sijpute met de asse zij makkelijk te bepale. Maak twee coördiate gelijk aa 0 e bereke da de derde met de vergelijkig. De resultate e tekeige staa bij de atwoorde i het boek. Opgave 9, 0, Zie de uitwerkige bij de atwoorde i het boek. Opgave De vlakke zij evewijdig e staa loodrecht op de diagoaal i de kubus. Ee ormaalvector is dus (,, ) e de vergelijkige zij x + y + z d. Het vlak het dichtste bij O sijdt de x-as i (, 0, 0). Vul dit i i de vergelijkig e da volgt d. De vergelijkig is dus x + y + z. Het adere vlak sijdt de x-as i (9, 0, 0), zodat de vergelijkig x + y + z 9 is. Opgave a Vul de coördiate va de pute i i de vergelijkig e da klopt steeds de vergelijkig. b Er geldt: AB b a ( 0,,0) (6,0,0) ( 6,,0). Bereke (,, ) AB (,, ) ( 6,,0) 0. Er geldt: AC c a ( 0,0, ) (6,0,0) ( 6,0, ). Bereke (,, ) AC (,, ) ( 6,0, ) 0. april 06
Opgave 5 - Vectore i het vlak zij (,, 5) (,, ) (0,, ) e (, 6, 0) (,, ) (,, -). Ee vector loodrecht op (0,, ) is (b,, -). Als het iproduct va (,, -) e (b,, -) gelijk moet zij aa 0, da moet gelde: b + 0, ofwel b -7 e (-7,, -) staat loodrecht op dit vlak. Ee vergelijkig va het vlak is da -7x + y z d. Het put (,, ) moet i dit vlak ligge, dus moet gelde: -7 + d, ofwel d -8. De vergelijkig wordt -7x + y z -8, of ook wel 7x y + z 8. - Vectore i het vlak zij (,, 5) (,, ) (,, ) e (,, 5) (,, 0) (0, 0, 5). Ee vector loodrecht op (0, 0, 5) is (b,, 0). Als (b,, 0) loodrecht moet staa op (,, ), da moet gelde: b + + 0 0, ofwel b -. Ee ormaalvector is dus (-,, 0) e ee vergelijkig va het vlak is -x + y d. Het put (,, ) moet i dit vlak ligge, dus d 0 e de vergelijkig is -x + y 0. - Vectore i het vlak zij (,, 5) (,, ) (,, ) e (,, ) (-,, ) (5,, 0). Ee vector loodrecht op (5,, 0) is (-, 5, b). Als (-, 5, b) loodrecht moet staa op (,, ), da moet gelde: - + 5 + b 0, ofwel b -½ e ee e ormaalvector is (-, 5, -½). Vermeigvuldige met geeft ee ormaalvector (-, 0, -9). Ee vergelijkig va het vlak is x - 0y + 9z d. Het put (,, ) moet i dit vlak ligge, dus - 0 + 9 9 d e de vergelijkig is x - 0y + 9z 9. - Vectore i het vlak zij (,, ) (,, ) (, 0, 0) e (, 6, 0) (,, ) (,, -). Ee vector loodrecht op (, 0, 0) is (0, b, ). Als (0, b, ) loodrecht moet staa op (,, -), da moet gelde: 0 + b + - 0, ofwel b ¾ e (0, ¾, ) is ee ormaalvector. Vermeigvuldige met geeft ee ormaalvector (0,, ) e ee vergelijkig va het vlak is y + z d. Put (,, ) ligt i dit vlak, dus + 8 d. De vergelijkig is y + z 8. Opgave 6 - Twee vectore i het vlak zij (,, -) (,, ) (, -, -6) e (7, 0, 5) (,, ) (6, -, ). Ee vector (a, b, ) moet loodrecht staa op (, -, -6), ofwel: a + b - + -6 0, ofwel a b + 6 e de vector is (b + 6, b, ). Deze vector moet loodrecht staa op (6, -, ), ofwel: (b + 6) 6 + b - + 0. Hieruit volgt b -9/ e a -7/. De vector (a, b, ) is dus (-7/, -9/, ). Vermeigvuldig met -, da is ee ormaalvector (7, 9, -) e ee vergelijkig voor het vlak is 7x + 9y z d. Ee put i het vlak is (,, ), dus 7 + 9-9 d e de vergelijkig is 7x + 9y z 9. - Twee vectore i het vlak zij (, 0, 0) (0, -, ) (,, -) e (5,, ) (, 0, 0) (,, ). Ee vector (a, b, ) moet loodrecht staa op (,, -), dus moet gelde: a + b - 0, ofwel b - / a + ½ e de vector is (a, - / a + ½, ). Deze vector moet loodrecht staa op (,, ), ofwel: a - a + + 0. Hieruit volgt a e b -. De vector (a, b, ) is dus (, -, ) e ee vergelijkig voor het vlak is x y + z d. Ee put i het vlak is (, 0, 0), dus d 9 e de vergelijkig is x y + z 9. - Twee vectore i het vlak zij (,, ) (, 0, 0) (0,, ) e (,, ) (, 0, 0) (,, ). De vector (b, -, ) staat loodrecht op (0,, ) e moet ook loodrecht staa op (,, ), dus moet gelde: b - + 0. Hieruit volgt b / e (/, -, ) is ee ormaalvector. Da is (, -9, 6) ook ee ormaalvector e ee vergelijkig voor het vlak is x 9y + 6z d. Ee put i het vlak is (, 0, 0), dus d e de vergelijkig is x 9y + 6z. april 06
Opgave 7 a Ee ormaalvector va het vlak is (,, ). Ee put B i het vlak is (0, 0, 0). Da is de afstad va 0 tot het vlak: OB (0,0,0) (,,) + + 0 5 7 b Ee ormaalvector va het vlak is (,, -). Ee put B i het vlak is (, 0, 0). Da is de afstad va A tot het vlak: AB (,0,0 ) (,, ) + + ( ) c We moete eerst ee vergelijkig opstelle va het vlak. Vectore (6,, 0) (,, -) (,, ) e (0, 6, 0) (,, -) (-,, ) ligge i het vlak. Ee vector (a, b, ) moet loodrecht staa op (,, ), dus a + b + 0, ofwel b -a - e de vector (a, b, ) is (a, -a -, ). Deze moet loodrecht staa op (-,, ) dus -a 6a - + 0, ofwel a - ½ e ee ormaalvector is (- ½, -, ). Vermeigvuldige met - geeft ee ormaalvector (,, -) e ee vergelijkig va het vlak is x + y - z d. Put (0, 6, 0) ligt i dit vlak, dus d 6 e de vergelijkig is x + y - z. Hiermee is de opgave dezelfde geworde als i oderdeel b. Opgave 8 a NB: Waar i de tekeig bij de opgave ee H staat moet ee D staa. De sijpute met de asse zij (, 0, 0), (0,, 0) e (0, 0, ). Da is ee vergelijkig va het vlak x y z door die pute: + +, of ook: x + 6y + z. b Met de formule op pagia 5 e p p p 0, volgt voor de afstad: + 6 + c De ihoud va ee piramide is / hoogte oppervlakte grodvlak. De hoogte is, de oppervlakte va het grodvlak is ½. Combieer de resultate tot / ½. d Bekijk dezelfde piramide als i c, maar met ACD als grodvlak e als hoogte de afstad va dat vlak tot O. De afstad va O tot het vlak is, dus moet gelde: Opp ACD, ofwel Opp ACD april 06
Opgave 9 I de figuur staat ee D, maar dat moet ee H zij. a Ee vergelijkig va het vlak door A, C e D is x + 6y + z. Put F heeft coördiate (,, ). Met de formule va pagia 5 volgt: + 6 + + 6 + b De oppervlakte va ACD. De ihoud va piramide ACDF is o Opp ACD o hoogte o 8. c De piramide ACDF blijft over als je va het blok verwijdert: piramide OACD, piramide ABCF, piramide DEFA e piramide DGFC. Dit zij allemaal piramides met hoogt e oppervlakte va het grodvlak ½. De ihoud va ieder va die piramides is dus /. De ihoud va het blok is. Haal hier keer vaaf, e da resteert voor de ihoud va de piramide ACDF precies 8. Opgave 0 a Zie de tekeig bij de atwoorde i het boek. b Ee ormaalvector va V is (,, ). W is evewijdig e heeft dus ook die ormaalvector, dus ee vergelijkig va W is x + y + z d. W gaat door het midde va de kubus, dat is put (6, 6, 6). Dus d 8 e de vergelijkig va W is x + y + z 8. c Kies ee put i het vlak V, bijvoorbeeld A (, 0, 0) e bereke de afstad tot W, met de formule op pagia 5: + 0 + 0 8 + + 6 d De ihoud va het stuk va de kubus tusse V e W is de ihoud va de halve kubus mius de ihoud va piramide ACHD. De ihoud va de halve kubus is ½ 86. Neem voor het berekee va de ihoud va piramide ACHD de driehoek ADC als grodvlak e DH als hoogte. Da volgt voor de ihoud va piramide ACHD: / ½ 88. Voor de ihoud va het stuk tusse de vlakke volgt da 86 88 576. april 06