PERIODE STATISTIEK, COMBINATORIEK, Lineaire en Exponeniele funcies. DERDE WEEK Lineaire processen. HAVO - CM en EM Er is een duidelijk recep voor he opsellen van lineaire (rechlijnige) formules op basis van wee punen: Vraag : Welke lijnformule passeer de punen A(4,7) en B(8,13) (1) Elke lijn luiser naar Y= ax + b. De waarde van a noemen we seilheidsgeal, richingscoefficien of hellingsgeal. He zeg da als je 1 sap naar rechs gaa je a sappen omhoog moe of omlaag (negaieve a). (2) Die a zoeken we eers. Hiervoor is de volgende mehode bedach: YB YA 13 7 6 3 a, dus hier beeken da: a ofwel 1,5 XB XA 8 4 4 2 (3) De lijnformule begin dus me Y=1,5X + b. Nu moeen we de b vinden: Daaroe kies je één van de punen A of B (onbelangrijk welke) en vul die in: We nemen A(4,7) en vullen deze in, in Y=1,5X + b. Dus: Y 1,5 x b, vul in A(4,7) 7=1,5 4+b, 7=6+b, conclusie: b blijk 1 e zijn. Dus de gezoche lijnformule is: Y=1,5x+1 (4) Conrole : Ze de lijn in de GRM en check of in de abel (TABLE-knop) de punen A en B voorkomen. OPDRACHT 1 (Alleen HAVO EM en CM) a) Teken in één figuur de lijnen y = 2x - 1 en y = 0,5x + 1 en de derde lijn y = -2x +2 b) Noeer de coördinaen van de snijpunen van deze drie lijnen. c) Ze deze drie lijnen in je GRM (gebruik de Y= knop) en plo deze in een gewoon venser da van -10 o 10 loop. Zoek ook de snijpunen op. Hopelijk klop he me wa je eerder gevonden heb. OPDRACHT 2 a) Welke formule hoor bij de reche lijn die de punen A(0,3) en B(1,4) passeer? b) Welke formule hoor bij de reche lijn die de punen A(3,0) en B(5,2) passeer? c) Welke formule hoor bij de reche lijn die de punen A(44,40) en B(48,45) passeer? d) Welke formule hoor bij de reche lijn die de punen A(-300,-30) en B(100,70) passeer? OPDRACHT 3. a) Onderzoek door invullen of he pun (4,4) onderdeel is van de lijnformule: y = 4x -11 b) Janneke beweer da he pun (85,113) ook op de lijn Y=1,5x+66 lig. Heef zij gelijk? c) OPDRACHT 4. De lijnen van vraag 2 zijn berekken eenvoudig; de meesen gaan door zogenaamde rooserpunen: makkelijk afleesbaar en geen kommageallen. Ter onderscheid noeren we A(x ; y). a) Welke formule van de reche lijn gaa door de punen A(12,5 ; 123,4) en B(16,8; 124,7)?
b) Welke formule van de reche lijn gaa door de punen P(-7,7 ; -5,5) en Q(4 ; 18,3) OPDRACHT 5. Een siuaie: De familie Jansen beaal voor 160 m 3 aardgas een bedrag van 275 euro. De familie De Boer beaal voor 220 m 3 aardgas een bedrag van 350 euro. Welke formule gebruik he gasbedrijf om de noa's van de klanen op e sellen? OPDRACHT 6. Een andere siuaie: De firma NUON lever energie aan haar klanen en reken voor sroom per sroomeenheid. Ook gebruik de NUON een vas-arief. Da beaal je als klan omda je van hun klan ben en aangesloen op hun newerk. De formule die NUON gebruik is: K = 0,24S + 123,55 Hierbij is S he aanal sroomeenheden en de 123, 55 he vase arief in euro's. a) Kees neem 1233 eenheden sroom af. Welk bedrag moe hij bealen? b) Jan-Willem moe 188 euro bealen. Hoeveel sroomeenheden heef hij verbruik? c) Willemijn beweer da haar sroomverbruik 265,5 was. Zij kreeg een rekening van 187,27 Conroleer of die rekening klop. De NUON heef ook concurrenen: Nederland Energie bijvoorbeeld. Zij rekenen me een andere formule: K=0,21S + 145,10 d) Pie gebruik als gamer veel sroom: wel 1800 eenheden. Kan hij beer nar NUON gaan of naar Nederland Energie? e) Bij welke eenheden sroom maak he nie ui bij welke energieleverancier je ben aangesloen? OPDRACHT 7. Gegeven de volgende abel van de familie Willemse en Pos. Willemse beaalde voor 451 m 3 waer een prijs van 668,21 euro, erwijl familie Pos al 749,81 kwij was voor 511 m 3. a) Me welke formule werk he waerbedrijf da he waer lever? b) Ga nu verder me de formule: Kosen = 1,12 v + 63,50 en bereken de kosen voor de familie van der Zwe die 471 m 3 verbruike. c) Een concurrerende maaschappij beweer me de formule Kosen = 1,10 v + 73,80 goedkoper e zijn. Vanaf welk verbruiksaanal in m 3 hebben zij éch gelijk? d) Wim maak van de formule ui vraag b een klein grafiekje en krijg dí: Noem één reden waarom deze grafiek nooi goed kan zijn en Wim he nie goed gedaan heef.
Exponeniële processen. HAVO - CM en EM OPDRACHT 1 Groeipercenage en Facoren. Geef aan wa de groeifacor is als he percenage is: a) 10% b) 33% c) 1,2% d) 0,12% e) 80% f) 110% g) -25% OPDRACHT 2 Gegeven de funcie : N 10 1,5 in dagen. N=aanal a) Maak een abel beginnend bij =0 o en me =10 b) Wa is he groeipercenage? c) Waarom is hier nie sprake van lineaire groei? Geef argumenen. OPDRACHT 3 De lenge van een plan groei in he begin exponenieel. Elke maand groei de sengel me 18%. a) Welke formule hoor hierbij als op ijdsip =0 de sengel al 40 cm hoog is? b) Welke formule hoor hierbij als op ijdsip =2 de sengel al 51 cm hoog is? c) Deze groei houd de plan nie vol; deze zou immers seeds langer worden Vanaf een ander (laer) ijdsip geld de formule: L = 120 (1-0,7 ) L in cm en in maanden geldig vanaf de vijfde maand. Vul de abel verder in. 5 6 7 8 9 10 L d) Is de genoemde formule eigenlijk exponenieel? GRM: OPDRACHT 4 He aanal inwoners van he dorp Vierhouen is gegeven door de formule: N = 12000*0,95 Bij de plaas Nunspee is da 7500 * 1,06.. Voor beide formules geld da =0 overeenkom me 1 januari 2013. Tijd in jaren. Men neem een venser [0,15]x[0,20000]. Plo deze grafieken. a. Bereken in welk jaar Vierhouen en Nunspee evenveel inwoners hebben. b. Hoeveel verschil he aanal ussen beide dorpen op 1 januari 2015? c. Me hoeveel inwoners zal Vierhouen in 2016 afnemen? d. Me hoeveel procen zal de inwonerpopulaie in Nunspee in 2020 oenemen? e. In welk jaar heef Nunspee 2x zoveel inwoners als Vierhouen? f. In welke jaren verschillen de inwoneraanallen 4000?
OPDRACHT 5 Een baceriekolonie verdubbel iedere 20 minuen. Da gaa heel erg snel. Bij aanvang is de kolonie slechs 100 bacerien. Vanui de biologie ween we da da me he bloe oog nie e zien is. Pas bij een kolonie van 100.000 bacerien, zie je een speldeknop groe vlek. Die is dan wel na 20 minuen al wee keer zo groo. We gaan onderzoeken op welk momen de kolonie een oppervlake van 100 cm 2 bedraag. Een speldeknop is slechs 1 mm 2 groo. Onderzoek in weeallen de volgende vragen: a) Uigaande van 100 bacerien: hoe lang duur he voorda er 100.000 bacerien zijn? b) Hoeveel ijd kos he om van 1 mm 2 naar 100 cm 2 e groeien? c) Sel da deze groei een jaar zo doorgaa hoeveel oppervlake word er door deze kolonie dan bedek? Waarom gebeur da in de werkelijkheid nie? OPDRACHT 6. Een benzineank is gevuld me 500 lier benzine. Door een klein gaaje onsnap seeds 0,5% per uur van de benzine. Die verdamp meeen waardoor he ook nie opval. Na hoeveel uren is de de hoeveelheid nog maar 250 lier? GRM: OPDRACHT 7. Een bioloog consaeer da de groei van een populaie konijnen exponenieel groei. Aanvankelijk is de groei slechs 8% per jaar. Men sar men 35 konijnen. a) Na hoeveel jaar zijn er 100 konijnen? b) Wa is he aanal na 20 jaar? c) He blijk da he groeipercenage veel hoger lig. Na 10 jaar is hun aanal al meer dan 108. Om welk percenage gaa he hier dan? d) De populaie vossen groei ook, maar verraagd in de ijd. Doorda zij van de konijnen leven, ( + 2) groei ook hun populaie. N= 12 * 1,06 De konijnen gebruiken: N= 35 * 1,15 Maak nu voor de konijnen én de vossen de volgende abel: Konijnen Vossen e) In werkelijkheid groei een populaie nie eindeloos door, maar word geremd. De konijnen zullen massaal doodgaan door voedselgebrek of enorme druk van de populaie vossen. Helaas is he gevolg daarvan weer da ook de vossen weer in aanal afnemen. Een nieuewe lasige formule voor de konijnen is: 250 N, me in jaren. (1 50 0,7 ) Ze deze in de GRM (gebruik haakje voor de onderzijde van de breuk) en plo deze in een veser: Xmin = 0, Xmax = 40, Ymin = 0 en Ymax = 260. f) Verklaar de vorm van deze ypische grafiek.
Lineaire processen. HAVO - NG en NT OPDRACHT 1. a. Sel de vergelijking op van de reche lijn die gaa door de punen A(3,5) en B(5, -1) b. Sel de vergelijking op van de reche lijn die parallel loop aan de vorige lijn en he pun C (-4,0) passeer. c. Er is een gebied da word opgesloen door de lijn k: y=-0.25x + 4, de lijn x=8 en de beide assen. Onderzoek wa de oppervlake is van di ingesloen gebied. OPDRACHT 2. Gegeven de lijn l: y=2x - 4 a. Geef de formule van de lijn die parallel loop aan l en door he pun (4,10) gaa. b. Geef de formule van de lijn die l kruis in he pun me x=4 en een rico heef van -3 c. Bereken he snijpun van lijn l me lijn k: y= - 0,4x + 12 OPDRACHT 3. K is een lineaire funcie van m. Voor m = 5, K=10 en voor m=12, K=115. a. Schrijf K als funcie van m. b. Schrijf m als funcie van K. OPDRACHT 4. Los de volgende wee selsels op: 2 x 4y 12 3x 5y 15 1, 24x3, 22y 12,88 0,89x5, 01y 4,36 OPDRACHT 5. Een parij besaa ui wee sooren producen A en B. Toaal zijn er 124 producen. De wins op A is 5,50 en de wins op B 7,50. Toaal word er 752 wins gemaak. Bereken aanallen A en B. OPDRACHT 6 a. Tijdens een rondvaar van rederij de Groo, zien max. 55 mensen aan boord. In oaal hebben deze mensen 682,50 beaald om mee e mogen. Volwassen bealen 17,50 en kinderen 9,50. Bereken he aanal volwassenen en kinderen da is ingesap. Laa zien wa je doe. b. De rondvaarboo maak kosen: vase lasen per vaar 210 euro en per meegenomen volwassene 5,55 euro. en kinderen 3,75 euro (exra brandsofverbruik door gewich.) Onderzoek hoeveel geld de rondvaarboo aan kosen maak indien alleen volwassenen meegaan en indien alleen kinderen in de boo zien. Wa is de wins/verlies in beide gevallen? OPDRACHT 7 Anropologen kunnen aan de hand van menselijke boen (vooral he dijbeen) schaen hoe lang mensen gewees zijn, oen zij nog in leven waren. Di is belangrijke informaie over de ijd van oen, waarin mensen leefden onder beduidend andere omsandigheden dan nu. Men vond een lineair verband ussen lichaamslenge L en de lenge van he dijbeen x.
De onderzoekers vonden aanvankelijk deze gegevens voor mannen en vrouwen, gemeen aan de hand van dijbenen en gehele skeleen: Lenge 22 27 28 31 35 35 38 39 44 dijbeen man 135 148.9 153 158 170.5 172 180.1 184.5 195 Lenge 25 27 29 32 34 35 38 38 40 dijbeen vrouw 140.3 145.7 151.3 160 164.8 167 174 176 181.5 a) Onderzoek me lijsen en plos of in beide abellen bij benadering sprake is van lineaire groei. Gebruik de echniek van inerpolaie om de facor a in y=ax+b e acherhalen. b) Ga in de volgende vragen ui van wee afwijkende formules: L(man) = 2.78x+73,86 L(vrouw) = 2.69x+73,07 Uigaande van de formules: men vind een dijbeenbo me een lenge van 31 cm. Op basis van andere analyse wee men da he bo van een man is gewees. Bereken diens lichaamslenge en vergelijk deze me de in vraag a gegeven abel. c) Hoeveel % wijk de gevonden waarde hiervan af en opziche van de abel? d) Men heef gemeend de formules e laen gelden vanaf 25 cm o en me 45 cm. Wa zou hiervan de reden kunnen zijn? (Vul voor x maar 90 cm in..) e) De grafieken van deze formules hebben wel een snijpun. Welke beekenis heef di snijpun? f) Een andere onderzoeker meen da ondersaande formule voor mannen een beere indicaie 140 geef voor de lichaamslenge: L 61 (1 90*0,80 x ) Plo deze en de eerdere gegeven formule in één grafiek. Hoeveel % wijk deze formule af en opziche van de formule: L = 2.78x+73,86 voor de waarde van x=35? OPDRACHT 8 Andere lineaire vormen: De volgende formules komen op hezelfde neer: 1) y 4x 4 2) 2y4x8 y x 3) 1 4 2 a) Toon di aan. b) Wa zou he verschil zijn? Zijn er voordelen? Le eens op de snijpunen me de assen vooral bij de derde formule!! x y x y c) Vind me algebra he snijpun van: 1 en de lijn: 6 4 6 8 2 Overleg samen over je aanpak! d) Denkvraag: Ui de wiskunde-b van klas 11 en 12 word de volgende opmerking gemaak: x y x y de lijn: 1 saa loodrech op: 3, 5 6 6 5 x y Onderzoek samen of da klop en zoek een formule loodrech op: de lijn: 5 4 12
Exponeniële processen. HAVO - NG en NT OPDRACHT 1 Groeipercenage en Facoren. Geef aan wa de groeifacor is als he percenage is: a) 10% b) 33% c) 1,2% d) 0,12% e) 80% f) 110% g) -25% OPDRACHT 2 Gegeven de funcie : N 10 1,5 in dagen. N=aanal a) Maak een abel beginnend bij =0 o en me =10 b) Wa is he groeipercenage? c) Waarom is hier nie sprake van lineaire groei? Geef argumenen. OPDRACHT 3 De lenge van een plan groei in he begin exponenieel. Elke maand groei de sengel me 18%. a) Welke formule hoor hierbij als op ijdsip =0 de sengel al 40 cm hoog is? b) Welke formule hoor hierbij als op ijdsip =2 de sengel al 51 cm hoog is? c) Deze groei houd de plan nie vol; deze zou immers seeds langer worden Vanaf een ander (laer) ijdsip geld de formule: L = 120 (1-0,7 ) L in cm en in maanden geldig vanaf de vijfde maand. Vul de abel verder in. 5 6 7 8 9 10 L d) Is de genoemde formule eigenlijk exponenieel? GRM: OPDRACHT 4 He aanal inwoners van he dorp Vierhouen is gegeven door de formule: N = 12000*0,95 Bij de plaas Nunspee is da 7500 * 1,06.. Voor beide formules geld da =0 overeenkom me 1 januari 2013. Tijd in jaren. Men neem een venser [0,15]x[0,20000]. Plo deze grafieken. a. Bereken in welk jaar Vierhouen en Nunspee evenveel inwoners hebben. b. Hoeveel verschil he aanal ussen beide dorpen op 1 januari 2015? c. Me hoeveel inwoners zal Vierhouen in 2016 afnemen? d. Me hoeveel procen zal de inwonerpopulaie in Nunspee in 2020 oenemen? e. In welk jaar heef Nunspee 2x zoveel inwoners als Vierhouen? f. In welke jaren verschillen de inwoneraanallen 4000?
OPDRACHT 5 Een baceriekolonie verdubbel iedere 20 minuen. Da gaa heel erg snel. Bij aanvang is de kolonie slechs 100 bacerien. Vanui de biologie ween we da da me he bloe oog nie e zien is. Pas bij een kolonie van 100.000 bacerien, zie je een speldeknop groe vlek. Die is dan wel na 20 minuen al wee keer zo groo. We gaan onderzoeken op welk momen de kolonie een oppervlake van 100 cm 2 bedraag. Een speldeknop is slechs 1 mm 2 groo. Onderzoek in weeallen de volgende vragen: a) Uigaande van 100 bacerien: hoe lang duur he voorda er 100.000 bacerien zijn? b) Hoeveel ijd kos he om van 1 mm 2 naar 100 cm 2 e groeien? c) Sel da deze groei een jaar zo doorgaa hoeveel oppervlake word er door deze kolonie dan bedek? Waarom gebeur da in de werkelijkheid nie? OPDRACHT 6. Een benzineank is gevuld me 500 lier benzine. Door een klein gaaje onsnap seeds 0,5% per uur van de benzine. Die verdamp meeen waardoor he ook nie opval. Na hoeveel uren is de de hoeveelheid nog maar 250 lier? OPDRACHT 7. Een bioloog consaeer da de groei van een populaie konijnen exponenieel groei. Aanvankelijk is de groei slechs 8% per jaar. Men sar men 35 konijnen. a) Na hoeveel jaar zijn er 100 konijnen? b) Wa is he aanal na 20 jaar? c) He blijk da he groeipercenage veel hoger lig. Na 10 jaar is hun aanal al meer dan 108. Om welk percenage gaa he hier dan? d) De populaie vossen groei ook, maar verraagd in de ijd. Doorda zij van de konijnen leven, ( + 2) groei ook hun populaie. N= 12 * 1,06 De konijnen gebruiken: N= 35 * 1,15 Maak nu voor de konijnen én de vossen de volgende abel: Konijnen Vossen e) In werkelijkheid groei een populaie nie eindeloos door, maar word geremd. De konijnen zullen massaal doodgaan door voedselgebrek of enorme druk van de populaie vossen. Helaas is he gevolg daarvan weer da ook de vossen weer in aanal afnemen. Een nieuewe lasige formule voor de konijnen is: 250 N, me in jaren. (1 50 0,7 ) Ze deze in de GRM (gebruik haakje voor de onderzijde van de breuk) en plo deze in een veser: Xmin = 0, Xmax = 40, Ymin = 0 en Ymax = 260. f) Verklaar de vorm van deze ypische grafiek.
OPDRACHT 8. Op 1 januari 2005 werd he Brasemermeer vervuild me een chemische sof. Deze sof word gelukkig wel door baceriën afgebroken. Precies zes jaar laer is de concenraie van de chemische sof nog 350mg/lier en op 1 jan 2016 is da slechs nog 30 mg/lier. a) Uigaande van een lineaire afname, sel dan de formule op van he concenraieverval me =0 op 1 jan 2005. Neem in jaren en C de concenraie sof in mg/lier. Rond af op 2 decimalen. b) Men is he nie eens me he vorige model: de werkelijke afbraak geschied nie lineair maar exponeniëel. Ook hier geld de concenraie op 1 jan 2011 350 mg/lier en op 1 januari 2016 30 mg/lier. Welke formule zou in di geval gelden, uigaande van exponeniele groei (hier een afname), en nu ook sarend op 1 jan 2005. Neem in jaren en C als Concenraiemaa. c) Er blijken wee baceriesooren e zijn die in saa zijn voor dergelijke afbraak van de chemische sof. Baceriesoor A doe de concenraie dalen volgens: C 40 0,89 A, in DAGEN!! 774 Baceriesoor B doe de concenraie dalen volgens: CB 40. 20 480 0,55 Ook hier in DAGEN en C als concenraiemaa. Bereken de halveringsijd van de de baceriesoor C A. Rond af op hele dagen. d) Geef een goede redenering in sappen hoe ui de weede formule C B volg da de grafiek overal dalend is en eindig in een grenswaarde. Geef die grenswaarde. Alleen een geal noemen is onvoldoende. e) Plo beide grafieken en bereken hoeveel dagen de concenraie C A lager blijf dan C B. f) Onderzoek op welk ijdsip he verschil ussen C A en C B he groos is. OPDRACHT 9. Een baceriekolonie luiser naar de formule: N 1200 1200 0,5, me in uren. Di lijk een exponeniele formule e zijn. He verrouwde paroon: N=beginwaarde * groeifacor T is he echer nie. a) Plo deze formule in een venser x loop van 0 o 20 en Y van 0 o 1300. Wa is opvallend aan deze curve? b) Verander de formule zoda de curve langzamer sijg naar zijn plafondwaarde. c) Verander de formule zoda de curve bij 1200 begin en langzaam daal naar 0. d) De formule waarmee deze opdrach begon, word exponeniele geremde groei genoemd. Verklaar deze erm.