Tentamen - uitwerkingen Mechanica en Relativiteitstheorie voor TW 5 april 06 Kennisvragen - 0 punten a) Geef de drie behoudswetten van de klassieke mechanica, en geef voor elk van de drie aan onder welke voorwaarden) ze gelden. b) Schets en benoem de vier mogelijke typen gedrag van een harmonische oscillator, waarvan de evenwichtsstand ligt op x = 0 cm en die op t = 0 s wordt losgelaten op x = 0 cm met snelheid nul. c) Geef de grootte en richting van de rotatievector van de aarde mbt de rotatie die leidt tot het dag-nachtritme dus niet de tragere rotatie om de zon). d) Geef de definitie van precessie. e) Beargumenteer in een paar zinnen) waarom de postulaten van Einstein impliceren dat niets sneller kan gaan dan het licht. f) Geef de definitie van de lichtkegel in de context van ruimte-tijd ofwel Minkowski) diagrammen. Antwoorden: a) Behoud van energie; geldt als alle krachten in het systeem conservatief zijn. Behoud van impuls; geldt als er geen externe krachten op het systeem werken. Behoud van impulsmoment of draaimoment ); geldt als er geen externe krachtmomenten op het systeem werken. b) Zie figuur. De vier typen gedrag zijn ongedempt, ondergedempt, kritisch gedempt, en overgedempt. c) De aarde draait om de noord-zuidas. De zon komt op in het oosten, dus van bovenop de noordpool gezien draait de aarde tegen de klok in in te zien doordat de aarde draait en de zon effectief stilstaat). De rotatie-vector van de aarde wijst dus omhoog langs de as van de zuidpool naar de noordpool, en heeft een grootte van omwenteling per dag, ofwel /4 60 60) = /86400 =.6 0 5 Hz.
d) Precessie is de rotatie van de impulsmoment-vector om een vaste referentie-as, als gevolg van een niet-nul krachtmoment dat loodrecht staat op het vlak opgespannen door de impulsmoment-vector en de referentie-as. e) Het lichtpostulaat stelt dat de snelheid van het licht in elk inertiaalstelsel hetzelfde is. Stel dat een reiziger in een raket met de snelheid van het licht zou reizen, en een lichtstraal zou uitzenden. Dan zou gezien vanuit die reiziger het licht zich met een snelheid c van hem/haar verwijderen. Voor een stilstaande waarnemer lijken echter de raket en het uitgezonden licht even snel te gaan, en dus bij elkaar te blijven. Deze twee observaties zijn met elkaar in tegenspraak, waaruit volgt dat reizen met de snelheid van het licht, laat staan sneller, niet mogelijk is. NB: Alternatieve, correcte redeneringen, mits van redelijke lengte, kunnen natuurlijk ook. f) De lichtkegel van een bepaald punt omvat alle punten in de ruimte-tijd die causaal met dat punt verbonden kunnen zijn; de grens van de lichtkegel wordt bepaald door lichtstralen uitgezonden vanuit het punt in kwestie. Alternatief: teken een ruimtetijddiagram met daarin een lichtkegel, waarbij duidelijk aangegeven dat de lichtkegel bestaat uit het tijd- en licht-achtige deel. 0 xt) 5 π π π 4 π t -5-0 Figuur : De vier mogelijke typen gedrag van een harmonische oscillator: ongedempt ζ = 0, blauw), ondergedempt 0 < ζ <, oranje), kritisch gedempt ζ =, groen), en overgedempt ζ >, rood). De dimensieloze constante ζ is gedefiniëerd als ζ = γ/ mk, met γ de dempingsconstante.
Energie van een elektron - 7 punten De effectieve potentiële energie van een elektron in een waterstofatoom wordt gegeven door Ur) = a r + b r. ) Hier zijn a en b positieve constanten en r is de afstand tot de oorsprong waar de kern van het atoom zit). a) Geef de dimensies van a en b. b) Leidt deze potentiële energie tot een afstotende of aantrekkende kracht op kleine afstanden? En op grote afstanden? c) Vind de evenwichtspunten) van deze potentiële energie en bepaal hun stabiliteit. d) Een elektron wordt op r = losgelaten met snelheid nul. snelheid die het elektron kan krijgen. Bepaal de maximale e) Voor het elektron in d), vind de minimale afstand tot de kern in de oorsprong) die hij kan bereiken. Antwoorden: a) De dimensie van U is energie, ofwel kracht maal afstand, ofwel ML T. De dimensie van a is energie maal afstand, dus [a] = ML T ; de dimensie van b is energie maal afstand in het kwadraat, dus [b] = ML 4 T. b) Methode : De kracht is min de afgeleide van de potentiële energie, dus F r) = du dr = a r + b r. Voor kleine waarden van r is de tweede term dominant, dus is F r) positief en is de kracht afstotend; voor grote waarden van r is de eerste term dominant, dus is F r) negatief en is de kracht aantrekkend. Methode : We schetsen de potentiële energie, zie figuur. We zien dat voor kleine waardes van r de potentiële energie een negative helling heeft, wat correspondeert met een afstotende kracht, terwijl voor grote waardes van r de potentiële energie een positieve helling heeft, wat correspondeert met een aantrekkende kracht. c) Om de evenwichtspunten te vinden, zoeken we de punten waar de kracht nul is, ofwel waar de afgeleide van de potentiële energie nul is: 0 = du dr = a r b r r = b a. Om de stabiliteit van dit punt te bepalen, kijken we naar de waarde van de tweede afgeleide van de potentiële energie op dit punt: d U dr = a r=b/a r + 6b r 4 = a4 r=b/a 8b > 0.
Omdat de tweede afgeleide positief is, is het evenwichtspunt stabiel. Omdat dat bovendien het enige evenwichtspunt is, is dit punt het globale minimum en dus globaal stabiel. Alternatief : voor de stabiliteit van het evenwichtspunt kunnen we ook kijken naar de grafiek van de potentiële energie, figuur, waar we meteen zien dat het evenwichtspunt overeenkomt met het globale minimum van Ur), en dus een stabiel evenwichtspunt is. d) Op r = is de potentiële energie gelijk aan U ) = 0, dus de totale energie van het deeltje is E = K + U = 0. De totale energie is behouden, dus is de kinetische energie maximaal als de potentiële energie minimaal is, wat gebeurt in het globale minimum op r = b/a: Ub/a) = a /4b. De kinetische energie is dus maximaal a /4b, en de maximale snelheid volgt uit K max = mv max = a /4b, dus v max = a/ mb. e) De minimale afstand tot de kern in de oorsprong) wordt bereikt op het punt waar de kinetische energie weer) nul is, en de potentiële energie gelijk aan die van het beginpunt hier r = en U ) = 0). We zoeken dus de oplossing van Ur) = 0, ofwel 0 = Ur) = a r + b r r = b a. 0.0 0.05 Ur) -0.05 5 0 5 0 r -0.0-0.5-0.0-0.5 Figuur : De potentiële energie van opgave hier met a = b = ). NB: De vorm van de grafiek is hetzelfde voor elke keuze van a en b zolang ze beiden positief zijn. 4
Roterende objecten - 7 punten Een massieve cilinder met massa M en straal R is in zijn middelpunt via een veer met veerconstante k verbonden aan de muur zie figuur ). De cylinder kan heen en weer rollen zonder te glijden. a) Geef de totale energie van de cilinder plus veer. b) Differentiëer de energie van a) om de bewegingsvergelijking van de cilinder plus veer te vinden. Figuur : Een cylinder aan een veer. c) Vind de oscillatiefrequentie van de cilinder door de bewegingsvergelijking bij b) te vergelijken met die van een simpele harmonische oscillator massa aan een veer). Twee kinderen met massa s m = 0 kg en m = 0 kg zitten op een simpele draaimolen die bestaat uit een massieve schijf van 00 kg en straal van.0 m. De draaimolen kan vrij roteren om zijn middelpunt, en doet dat in eerste instantie met een frequentie ω 0 van 5.0 omwentelingen per minuut. Een derde kind met massa m = 0 kg komt aanrennen met een snelheid v 0 van.0 m/s, onder een hoek van 0 met de raaklijn aan de draaimolen zie figuur 4). Bij de draaimolen aangekomen springt dit kind erop, en draait met de andere twee kinderen mee. d) Vind de rotatiesnelheid van de draaimolen nadat het derde kind erop gesprongen is. Antwoorden: m ω0 v0 θ = 0 m m Figuur 4: Drie kinderen en een draaimolen. a) De totale energie bestaat uit de kinetische energie van de cylinder en de potentiële energie van de veer. Voor de kinetische energie van de cylinder hebben we twee bijdragen: die van zijn massamiddelpunt, K cm = Mv, en die van zijn rotatie, K rot = Iω = 4 MR v/r) = 4 Mv. De potentiële energie van de veer wordt gegeven door Ux) = kx, met x de afstand tot de muur. De totale energie van het systeem is dus: E = K + U = 4 Mv + kx. ) b) De totale energie is behouden, dus zijn tijdsafgeleide is nul. Voor de afgeleide van ) naar de tijd vinden we dus: 0 = d dt 4 Mv + d dt kx = dv Mv dt + kxdx ) dt = Ma + kx v. 5
in plaats van a mag natuurlijk ook een afgeleide van v of tweede afgeleide van x gegeven worden. De bewegingsvergelijking van het systeem is dus M d x + kx = 0. dt c) Voor een simpele harmonische oscillator hebben we als bewegingsvergelijking m... x+ kx = 0, en als oscillatiefrequentie ω = k/m. Vergelijken we dit met de bewegingsvergelijking van b), dan zien we dat voor onze cilinder-aan-een-veer de oscillatiefrequentie gegeven is door ω cilinder = k/m. d) Sleutel tot deze opgave is behoud van impulsmoment. Het totale impulsmoment voor en na de sprong van het derde kind zijn gelijk, en gegeven door: L voor = L schijf + L + L + L = I schijf ω 0 + m R ω 0 + m R ω 0 + m v 0 cosθ)r ) = M + m + m R ω 0 + m v 0 R cosθ) L na = L schijf + L + L + L ) = M + m + m + m R ω ω = M + m ) + m ω0 + m v 0 /R) cosθ) M + m + m + m 50 + 0 + 0) 5.0/60) + 0.0/.0) = = 0. s = 7. rpm. 50 + 0 + 0 + 0 6
4 Een paar relativistische berekeningen - 0 punten a) Een raket vliegt van planeet A naar planeet B die precies een lichtjaar van elkaar liggen zoals gemeten in het ruststelsel van de planeten). Hoe snel moet de raket vliegen zodat de tijd die tijdens de reis verlopen is op het horloge van een passagier precies een jaar is? b) Een ruimteschip vliegt weg van de aarde met een snelheid c/. Na enige tijd stuurt het ruimteschip een sonde uit onder een rechte hoek met zijn eigen richting, en met een snelheid c/, gemeten in het inertiaalstelsel van het ruimteschip. Wat zijn de grootte en richting van de snelheid van de sonde zoals gemeten vanaf de aarde? c) In de ct, x) coördinaten van een inertiaalstelsel S vinden drie gebeurtenissen plaats op G =, ), G = 5, 4) en G =, 6). Welke van deze gebeurtenissen kunnen causaal met elkaar verbonden zijn? d) Een foton met energie E f botst elastisch met een stilstaande massa m. Na de botsing bewegen het foton met nu onbekende energie) en de massa allebei in een richting die een hoek θ maakt met de oorspronkelijke richting van het foton zie figuur 5). Geef de energie-impuls viervectoren van het foton en de massa voor en na de botsing. e) Voor dezelfde botsing als in opgave d), vind de hoek θ van de deeltjes na de botsing zoals gegeven in figuur 5) in termen van E f en m. Figuur 5: Een foton die botst met een stiltaand deeltje van massa m boven) en de beweging van het foton en het deeltje na de botsing onder). Antwoorden: a) Methode : We noemen het ruststelsel S en het stelsel van de raket S. De raket mag in zijn eigen stelsel een jaar over de reis doen, dus t = jaar. De tijd die de raket er in S over doet is t = γv) t. De snelheid van de raket in S is 7
v = L/ t = L/[γv) t ] = ly)/[γv) y)] = c/γv) waarbij we gebruiken dat ly = c y). We hebben dus vγv) = c, ofwel v v/c) = c v c = v c v = c/. ) Methode : In het ruststelsel S van de raket komt planeet B met snelheid v naar de raket toe. De afstand die de planeet in dit stelsel moet afleggen is L = L/γv) = ly)/γv). De planeet mag hier in S een jaar over doen, dus y) v = ly)/γv) = c y)/γv) en we vinden weer vγv) = c, waarvan de oplossing vergelijking ) weer v = c/ is. b) We noemen weer het ruststelsel van de aarde S en dat van de raket S ; S beweegt met snelheid u = c/ in de x-richting in S. We noemen de richting waar de sonde in S ) heen vliegt y. In S vinden we de grootte van de snelheid van de sonde in de y-richting door te kijken naar de transversale snelheid: v y = v y/[γu) + uv x/c )] = c/)/γc/) = c/. De totale snelheidsvector van de sonde in S is dus v sonde = c/), /, 0), met grootte v = v = c/. De hoek θ die v met de x-as in S maakt is gegeven door θ = arctanv y /v x ) = arctan/ ) = 0. c) Methode : We berekenen de relativistische afstanden lengtes van de ruimtetijdvector) tussen de drie gebeurtenissen: s = 5) 4) = 6 4 = > 0 tijdachtig. s = ) 6) = 4 6 = < 0 ruimteachtig. s = 5 ) 4 6) = 4 4 = 0 tijdachtig. Gebeurtenissen & ) en & ) kunnen dus causaal met elkaar verbonden zijn, maar & ) niet. Methode : We tekenen een ruimte-tijddiagram met de drie gebeurtenissen en hun lichtkegels, zie figuur 6. We zien dat gebeurtenis ruim binnen de lichtkegel van valt, en net binnen de lichtkegel van, dus & ) en & ) kunnen causaal met elkaar verbonden zijn. Gebeurtenis valt echter ruim buiten de lichtkegel van, dus & ) kunnen niet causaal verbonden zijn. d) De gevraagde vier-vectore zijn = voor, = na): e) Behoud van impuls in de y-richting geeft p f, = E f,, 0, 0) 4) c p m, = mc, 0, 0, 0) 5) ) Ef, p f, = c, p f,, p f, sin θ, 0 6) ) Em, p m, =, p m,, p m, sin θ, 0. 7) c p f, = p m, p. 8
Behoud van impuls in de x-richting geeft nu: Behoud van energie geeft tenslotte: E f c = p p = E f c cos θ. E f + mc = E f, + E m, = p c + E m, = E f c cos θ + E m,, waar we gebruikt hebben dat E f, = p f, c voor het foton. We schrijven dit om naar een uitdrukking voor E m, : E m, = mc + E f ). We kunnen deze uitdrukking kwadrateren en gebruiken dat E m, = m c 4 + p c vanwege behoud van massa in de elastische botsing): m c 4 + E f [mc + E f ) + mc E f E f E f cos θ + mc E f )] = m c 4 + p c ) = m c 4 + ) = 0 Ef E f + mc = E f + mc cos θ cos θ = E f + mc E f + mc. ) 6 ct 5 4 4 5 6 7 x Figuur 6: Ruimte-tijddiagram bij opgave 5c. Lichtkegel van punt in blauw, lichtkegel van punt in rood. 9