THEORETISCHE MECHANICA

INFOBOEK 2de Graad graad

Infoboek Theoretische mechanica 2de graad Auteurs: W. De Clippeleer M. Dreesen M. Lemmens E. Rutten J. Tiesters Plantyn

Voorwoord Dit handboek Theoretische mechanica 2de graad is bestemd voor de studierichtingen industriële wetenschappen, elektromechanica en elektriciteit-elektronica. Voor technische vakken zoals vormgeving en sterkteleer vormt mechanica een basis, gezien het algemene karakter van de leerstof. De vectorenleer helpt een juiste en eenvoudige begripsbepaling vormen. Ze reikt ook oplossingen ten gronde aan. Bovendien leert ze algemene verbanden zien en oplossingen in structuurverband maken. Wiskunde is hier geen hoofdcomponent, maar alleen een noodzakelijk hulpmiddel om leerlingen te laten ervaren dat je oefeningen op verschillende manieren kunt oplossen. Uitgewerkte voorbeelden illustreren de verschillende wijzen van probleemoplossend denken. De leerinhouden in dit handboek zijn gebaseerd op de leerplannen van industriële wetenschappen, elektromechanica en elektriciteit-elektronica van 1 september 2013. Aan de hand van eenvoudige experimenten en proefopstellingen, die zijn opgenomen in dit handboek en in de klas kunnen uitgevoerd worden, kan de leerling de wetmatigheden uit de mechanica afleiden en wiskundig onderbouwen. Ieder hoofdstuk eindigt met een paragraaf Te onthouden. Bij dit handboek horen twee werkboeken met een reeks vragen en oefeningen. Zo krijgen leerlingen de mogelijkheid de leerstof grondig in te oefenen en kan de leraar gemakkelijk huistaken selecteren. Marc Lemmens auteur Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 3

Inhoudsopgave Voorwoord... 3 KINEMATICA...17 1 Inleidende begrippen...19 1.1 Rust en beweging van een punt...19 1.1.1 Toestand van beweging...19 1.1.2 Toestand van rust...20 1.1.3 Positie van een punt...20 1.1.4 Baan...23 1.1.5 Richting en zin van een bewegend punt...24 1.2 Begrippen...25 1.2.1 Afgelegde weg...25 1.2.2 Verplaatsing...26 1.2.3 Tijd...28 1.2.4 Gemiddelde snelheid...29 1.2.5 Ogenblikkelijke snelheid...31 1.2.6 Veranderlijke beweging...32 1.2.7 Middelpuntshoek... 34 1.3 Te onthouden...37 2 De eenparige rechtlijnige beweging...39 2.1 Bepaling van een eenparige rechtlijnige beweging...39 2.1.1 Beweging...39 2.1.2 Bijzonderheden van de beweging... 40 2.1.3 Bepaling van de eenparige rechtlijnige beweging...41 2.2 Bewegingswet...41 2.3 Voorbeelden...42 2.4 Grafische voorstelling van de verplaatsing in functie van de tijd... 44 2.5 Grafische voorstelling van de grootte van de snelheid in functie van de tijd... 46 2.6 Voorbeelden...47 2.7 Te onthouden... 54 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 5

3 De eenparige cirkelvormige beweging...57 3.1 De afgelegde weg van een bewegend punt op een cirkelomtrek...58 3.2 Eenparige cirkelvormige beweging... 60 3.3 Omtrek- en hoeksnelheid bij een eenparige cirkelvormige beweging...61 3.3.1 Omtreksnelheid...61 3.3.2 Hoeksnelheid...63 3.3.3 Bewegingswet...65 3.3.4 Verband tussen omtreksnelheid v en hoeksnelheid ω...65 3.3.5 Omtreksnelheid en hoeksnelheid bij een eenparige cirkelvormige beweging... 66 3.4 Voorbeeld...67 3.5 Snijsnelheid bij verspanende bewerkingen... 68 3.6 Te onthouden...70 4 Overbrenging van bewegingen...73 4.1 Inleiding...73 4.2 Overbrengingsverhouding...73 4.3 Riemoverbrenging...74 4.3.1 Enkelvoudige riemoverbrenging...74 4.3.2 V-riemen en getande riemen...76 4.3.3 Technologische aspecten...77 4.3.4 Trapriemschijven en traploze overbrengingen...79 4.3.5 Voorbeeld... 80 4.4 Kettingoverbrenging kettingwielen...81 4.4.1 Schematische voorstelling...82 4.4.2 Technologische aspecten...83 4.4.3 Voorbeeld...83 4.5 Tandwieloverbrenging... 84 4.5.1 Verschillende tandwieloverbrengingen... 84 4.5.2 Terminologie en afmetingen van rechte tandwielen...85 4.5.3 Overbrengingsverhouding van een enkelvoudige tandwieloverbrenging... 86 4.5.4 Voorbeeld...87 6 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

4.6 Overbrengen van een rechtlijnige beweging in een cirkelvormige beweging... 88 4.6.1 Tandlat en tandwiel... 88 4.6.2 Krukmechanisme... 90 4.7 Omzetten van een rechtlijnige beweging in een rechtlijnige beweging...91 4.8 Te onthouden...93 5 Samenstellen van twee eenparige rechtlijnige bewegingen...95 5.1 De beweging...95 5.2 Relatieve, sleep- en absolute verplaatsing... 96 5.3 Relatieve, sleep- en absolute snelheid...97 5.4 Voorbeeld... 98 5.5 Een beweging ontbinden in twee eenparige rechtlijnige bewegingen...102 5.5.1 Grafische bepaling van de twee deelsnelheden...103 5.5.2 Analytische bepaling van de twee deelsnelheden...104 5.6 Te onthouden...105 6 De eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging...107 6.1 Proef...107 6.2 Eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging...108 6.3 Ogenblikkelijke snelheid bij een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging...109 6.4 Grafische voorstelling van de snelheid in functie van de tijd... 110 6.5 De afgelegde weg bij een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging... 111 6.6 Grafische voorstelling van de verplaatsing in functie van de tijd... 112 6.7 Opeenvolgende bewegingen... 113 6.7.1 Grafische voorstelling van de versnelling... 116 6.7.2 Grafische voorstelling van de snelheid... 116 6.8 De vrijevalbeweging... 117 6.9 De verticale worp... 121 6.10 Te onthouden...126 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 7

7 De eenparige cirkelvormige beweging...127 7.1 Definitie...127 7.2 Normaalversnelling...128 7.3 De normaalversnelling bij een eenparige cirkelvormige beweging...130 7.4 De hoeksnelheid als vectoriële grootheid...134 7.5 Te onthouden...137 8 De eenparig veranderlijke cirkelvormige beweging...139 8.1 Proef...139 8.2 Eenparig veranderlijke cirkelvormige beweging...140 8.3 Bewegingswet... 141 8.4 De hoekversnelling als vectoriële grootheid...142 8.5 Grafische voorstelling van de hoekversnelling in functie van de tijd...142 8.6 Grafische voorstelling van de hoeksnelheid in functie van de tijd...143 8.7 De doorlopen hoek bij een eenparig veranderlijke cirkelvormige beweging...143 8.8 Normaal- en tangentiële versnelling...145 8.9 Voorbeeld...148 8.10 Te onthouden...150 STATICA...153 9 De wetten van Newton...155 9.1 Stoffelijk punt star lichaam...155 9.2 Wetten van Newton...155 9.2.1 Eerste wet van Newton of traagheidswet...155 9.2.2 Tweede wet van Newton...157 9.2.3 Derde wet van Newton...162 9.3 Meten van krachten en massa s...163 9.4 Gebonden lichaam...166 9.4.1 Mogelijke bewegingen van een lichaam...166 9.4.2 Vrijmaken van een gebonden lichaam...167 8 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

9.5 Soorten verbindingen...167 9.5.1 Kabelverbinding...168 9.5.2 Roloplegging...168 9.5.3 Scharnierbevestiging...169 9.5.4 Inklemming...169 9.6 Voorbeeld...170 9.7 Te onthouden... 171 10 Samenstellen van krachten...175 10.1 Inleiding...175 10.2 Krachten samenstellen...177 10.3 Resultante van krachten met dezelfde werklijn...178 10.3.1 Inleiding...178 10.3.2 Grafische bepaling van de resultante...178 10.3.3 Analytische bepaling van de resultante...180 10.4 Resultante van twee hoekmakende krachten...182 10.4.1 Inleiding...182 10.4.2 Grafische bepaling van de resultante van twee hoekmakende krachten...182 10.4.3 Analytische bepaling van de resultante van twee hoekmakende krachten met behulp van de projectiemethode...185 10.5 De resultante van verschillende samenlopende krachten in een vlak...189 10.5.1 Grafische bepaling van de resultante...189 10.5.2 Analytische bepaling van de resultante...191 10.6 Analytische bepaling van de resultante van twee krachten die loodrecht op elkaar staan...193 10.7 Te onthouden...196 11 Moment van een kracht...199 11.1 Moment van een kracht ten opzichte van een punt...199 11.1.1 Bepaling...199 11.1.2 Meten van een moment...202 11.1.3 Eigenschappen van het moment...203 11.1.4 Voorbeelden...203 11.2 Moment als vectoriële grootheid...205 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 9

11.3 Moment van een stelsel van coplanaire krachten ten opzichte van een punt...207 11.4 Te onthouden...210 12 De momentenstelling met haar toepassingen... 213 12.1 Stelling van Varignon of de momentenstelling... 213 12.1.1 De stelling van Varignon voor coplanaire evenwijdige krachten... 213 12.1.2 De stelling van Varignon voor stelsel van coplanaire samenlopende krachten...216 12.2 Toepassingen...218 12.2.1 Bepalen van de resultante van een stelsel evenwijdige coplanaire krachten...218 12.2.2 Het ontbinden van een kracht in twee evenwijdige deelkrachten...220 12.3 Zwaartepunten...222 12.3.1 Zwaartekracht...222 12.3.2 Zwaartepunt van lichamen...222 12.3.3 Zwaartepunt van samengestelde lichamen...225 12.3.4 Zwaartepunt van volumes...228 12.3.5 Zwaartepunt van vlakken...228 12.3.6 Zwaartepunt proefondervindelijk bepalen...231 12.3.7 Zwaartepunt van lijnfiguren...233 12.4 Te onthouden...235 13 Koppel van krachten...237 13.1 Bepaling...237 13.2 Het moment van een koppel van krachten...238 13.2.1 Algemeen...238 13.2.2 Het moment van een koppel van krachten...239 13.3 Eigenschappen van een koppel van krachten...241 13.3.1 Opheffing...241 13.3.2 Gelijkwaardigheid van koppels...241 13.3.3 Samenstellen van koppels...242 13.3.4 Verschuivingskoppel...244 13.4 Samenstellen van krachten in een vlak...247 13.5 Te onthouden...251 10 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

14 Evenwicht van lichamen...253 14.1 Vrij en gebonden lichaam...253 14.2 Evenwichtsvoorwaarden van lichamen...254 14.2.1 Evenwicht van krachten en/of momenten...254 14.2.2 Evenwichtsvoorwaarden betreffende de krachten...255 14.2.3 Evenwichtsvoorwaarden betreffende de momenten...255 14.2.4 Totale evenwichtsvoorwaarden...255 14.3 Evenwicht van een vrij lichaam...256 14.4 Soorten verbindingen...259 14.4.1 Kabelverbinding...259 14.4.2 Scharnier- of mesoplegging...259 14.4.3 Roloplegging...260 14.4.4 Inklemming...260 14.5 Evenwicht van een ingeklemde balk...261 14.6 Horizontale balk op twee steunpunten...262 14.6.1 Berekenen van de steunpuntreacties van een balk op twee steunpunten...262 14.6.2 Technologische bijzonderheden van een balk ondersteund door twee steunpunten...265 14.7 Te onthouden...266 15 Arbeid, vermogen en rendement...271 15.1 Arbeid...271 15.1.1 Bepaling...271 15.1.2 Arbeid van een constante kracht bij een eenparige rechtlijnige beweging...273 15.1.3 Grafische voorstelling van de arbeid van een kracht in een (s; F )-assenstelsel...275 15.1.4 Voorbeeld...276 15.2 Vermogen...279 15.2.1 Bepaling...279 15.2.2 Vermogen van een constante kracht bij een eenparige rechtlijnige beweging...281 15.3 Rendement...283 15.3.1 Bepaling...283 15.3.2 Voorbeeld...284 15.4 Te onthouden...285 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 11

16 Energie...287 16.1 Waarnemingen - definitie - energievormen...287 16.2 Mechanische energie...287 16.2.1 Potentiële energie...287 16.2.2 Kinetische energie...288 16.2.3 Voorbeeld...289 16.3 Energieomzetting...290 16.4 Wet van behoud van energie...290 16.4.1 Energie bij een vallend voorwerp...290 16.4.2 Behoudswet bij een vallend voorwerp...292 16.4.3 Voorbeeld...293 16.5 Te onthouden...295 17 Wrijving...297 17.1 Soorten wrijving...297 17.2 Glijdende wrijving...298 17.3 Normaalkracht... 300 17.3.1 Als het vlak horizontaal is... 300 17.3.2 Als het vlak hellend is...301 17.4 Wrijvingsfactor...302 17.5 De wrijvingswetten...303 17.6 Invloed van de smering tussen glijdende vlakken...305 17.6.1 Vloeistofwrijving...305 17.6.2 Droge en halfdroge wrijving...305 17.7 Voorbeelden...305 17.8 Te onthouden... 309 Bijlagen... 311 Bijlage A: Functies uit de wiskunde...313 Bijlage B: Oppervlakte en omtrek van enkele figuren...315 Bijlage C: Driehoeksmeetkunde...316 Bijlage D: Vectoren...317 Bijlage E: Griekse alfabet...322 Trefwoordenregister...323 12 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

Grootheden en eenheden Basisgrootheden Er zijn zeven basisgrootheden waarvan je alle andere grootheden afleidt. Basisgrootheid Symbool Eenheid lengte l de meter m massa m het kilogram kg tijd t de seconde s temperatuur T de kelvin K elektrische stroom I de ampère A stofhoeveelheid n de mol mol lichtsterkte I v de candela cd Afgeleide grootheden Alle andere grootheden kun je rechtstreeks afleiden van bovenstaande basisgrootheden. Sommige afgeleide grootheden uit de mechanica hebben een specifieke eenheid. Afgeleide grootheid Symbool Specifieke SI-eenheid kracht F newton N kg m/s² druk p pascal Pa N/m² arbeid W joule J Nm vermogen P watt W J/s Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 13

De afgeleide grootheden die we in dit boek gebruiken, vind je in onderstaande tabel. Afgeleide grootheid Symbool SI-eenheid breedte b meter m hoogte h meter m straal r meter m diameter d, D meter m afgelegde weg, verplaatsing s meter m positievector r meter m oppervlakte A vierkante meter m² volume V kubieke meter m³ snelheid v meter per seconde m/s versnelling a meter per seconde kwadraat m/s² aardversnelling (9,81 m/s²) g meter per seconde kwadraat m/s² doorlopen hoek θ (theta) radialen rad hoeksnelheid ω (omega) radialen per seconde rad/s hoekversnelling α (alfa) radialen per seconde kwadraat rad/s² rotatiefrequentie n per seconde /s, s-1 aantal omwentelingen N - - massadichtheid ρ (rho) kilogram per kubieke meter kg/m³ overbrengingsverhouding i - - veerstijfheid, veerconstante k newton per meter N/m moment M newtonmeter Nm energie E joule J wrijvingsfactor f - - rendement η (èta) - - 14 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

Decimale voorvoegsels Om de grootteorde van de eenheden aan te passen, mag je voorvoegsels gebruiken. Het symbool van het voorvoegsel vormt één geheel met het symbool van de eenheid. Naam Symbool Waarde yotta Y 10 24 zetta Z 10 21 exa E 10 18 peta P 10 15 tera T 10 12 giga G 10 9 mega M 10 6 kilo k 10 3 hecto h 10 2 deca da 10 1 deci d 10-1 centi c 10-2 milli m 10-3 micro μ 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12 femto f 10-15 atto a 10-18 zepto z 10-21 yocto y 10-24 Voorbeeld 2 hm = 2 10 2 m = 200 m 5 μm = 5 10 6 m = 5 1 1 000 000 m = 0,000 005 m Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 15

KINEMATICA 1 KINEMATICA

1 Inleidende begrippen 1.1 Rust en beweging van een punt 1.1.1 Toestand van beweging 1 Inleidende begrippen Een punt is in beweging ten opzichte van een referentiepunt wanneer het zich voortdurend verplaatst ten opzichte van dat referentiepunt. C B A Figuur 1.1 Kantpers om platen te plooien Bij het plooien van een metalen plaat met een kantpers moet het mes (B) van de pers naar beneden bewegen. Tijdens deze beweging wijzigt de positie van het mes voortdurend ten opzichte van het bedieningspaneel (referentiepunt A). Bron: www.wila.nl Figuur 1.2 Positievector bij een beweging Figuur 1.3 Plooien van een plaat Positievector _ r, die hoort bij bewegend punt B, wijzigt voortdurend ten opzichte van een vast referentiepunt A. In figuur 1.2 zie je 2 posities van het mes, B 1 en B 2, en de bijhorende positievectoren, r 1 en r 2. Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 19

1 Inleidende begrippen 1.1.2 Toestand van rust Neem het onderste punt van de hydraulische drukcilinder van het mes als referentiepunt, C (figuur 1.1 en figuur 1.4). Positievector _ r die punt B (mes) beschrijft ten opzichte van referentiepunt C verandert nooit, ook niet als het mes beweegt. Het mes beweegt niet ten opzichte van referentiepunt C. Figuur 1.4 Positievector in rust Een punt is in rust ten opzichte van een referentiepunt wanneer het zich niet verplaatst ten opzichte van dat referentiepunt. 1.1.3 Positie van een punt Dit is de ligging van een punt op een bepaald ogenblik ten opzichte van een referentiepunt of referentiestelsel. Positie van een punt op een as Figuur 1.5 Positie van een punt op een as Punt A beweegt op een rechte baan, in figuur 1.5 zijn twee posities van punt A getekend A 1 en A 2. Met deze baan laat je een georiënteerde x-as samenvallen. De pijlpunt geeft de positieve zin aan. Je kiest oorsprong O als referentiepunt. Vanuit referentiepunt O teken je de eenheidsvector op de x-as en schrijf je als _ i. Dit is een vector met lengte 1 en de zin van deze vector moet hetzelfde zijn als de zin van de positieve x-as. Bewegend punt A kan zich zowel links als rechts bevinden van referentiepunt O. 20 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

Bij een positie rechts van referentiepunt O hoort een positieve x-waarde; een negatieve x waarde duidt op een positie links van het referentiepunt. De positie van bewegend punt A op de rechte baan kun je eenduidig vastleggen met de bijbehorende positievector. 1 Inleidende begrippen Punt A 1 ligt 3 maal de eenheidsvector _ i rechts van referentiepunt O. r A1 = + 3 _ i Punt A 2 ligt 2 maal de eenheidsvector _ i links van referentiepunt O. r A2 = 2 _ i Besluit: de waarde op de x-as bepaalt de positie van het punt op die as ten opzichte van het referentiepunt x A = +3 en x B = 2. Positie van een punt in een vlak y 5 4 3 2 1 j i r 2 r 1 A2(4; 3) A 1(3; 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 r 3 A2(7; 2,5) x Figuur 1.6 Positie van een punt in een vlak Punt A beweegt op een kromlijnige baan in het (x; y)-vlak. De x- en y-as vormen een orthogonaal assenstelsel, _ _ i en j zijn de eenheidsvectoren op de x- en y-as. De verschillende posities van punt A t.o.v. referentiepunt O kun je eenduidig bepalen met behulp van de bijbehorende positievectoren. Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 21

1 Inleidende begrippen De coördinaten van het bewegend punt in een (x; y)-assenstelsel bepalen de positie van dat punt; bijvoorbeeld A 1 (3; 2), A 2 (4; 3) en A 3 (7; 2,5), de overeenkomstige positievectoren zijn: _ _ r A1 = 3 i + 2j _ _ r A2 = 4 i + 3j _ _ r A3 = 7 i + 2,5j Positie van een punt in de ruimte y 2 z 5 4 3-2 2-1 1 k r B 0 1 j i -1-2 -1 1 r A 2 3 4 A1 x A2 Figuur 1.7 Positie van een punt in de ruimte Punt A beweegt op een oppervlak van positie A 1 naar A 2. De posities van de punten A 1 en A 2 ten opzichte van referentiepunt O en referentiestelsel (x; y; z) kun je eenduidig bepalen met de bijhorende positievectoren. _ _ _ i, j en k zijn de eenheidsvectoren op de x-, y- en z-as. Besluit: de coördinaten van een punt in de ruimte bepalen de positie van dat punt. _ _ _ A 1 (4;2;0) r A1 = 4 i + 2j + 0 k _ _ _ A 2 (3; 2;5) r A2 = 3 i 2j + 5 k 22 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

1.1.4 Baan Baan in een vlak y A 1 A 2 1 Inleidende begrippen A 3 Figuur 1.8 Gereedschapsmagazijn O Figuur 1.9 Schematische voorstelling x Een snijgereedschap (bv. een centerboor) in het gereedschapsmagazijn van een CNC-machine (figuur 1.8) neemt bij de beweging van de gereedschapsketting achtereenvolgens een andere positie in. Het gereedschap volgt een bepaalde baan (figuur 1.9). Baan in de ruimte Bron: Reinold Tomberg Figuur 1.10 3D profielfrezen Om een profieloppervlak te bekomen moet een frees in de ruimte steeds een andere baan volgen (figuur 1.10). De lijn die je door de opeenvolgende eindpunten van de positievector kunt tekenen, noem je de baan van dat bewegende punt. Deze baan kan zich in een vlak of in de ruimte bevinden. Naar de vorm van de baan onderscheid je: rechte banen kromlijnige banen speciale kromlijnige banen (cirkelvormige baan, ellipsvormige baan...) Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 23

1 Inleidende begrippen 1.1.5 Richting en zin van een bewegend punt De richting van een bewegend punt op een baan bepaal je door de raaklijn in dat punt aan de baan. Bij een rechtlijnige beweging valt de raaklijn samen met de baan. In figuur 1.11 geeft de baan zelf de richting aan. y p P O Figuur 1.11 De richting van bewegend punt P wordt bepaald door rechte p x Bij een kromlijnige beweging is de richting van het bewegende punt op dat bepaalde ogenblik de richting van de raaklijn aan de kromme baan (figuur 1.12). y p P O Figuur 1.12 De richting van bewegend punt P wordt bepaald door raaklijn p x De zin van een bewegend punt bepaal je door de volgorde van de verschillende standen waarin het de baan doorloopt. De zin van bewegend punt P is van A naar B. y A P B O Figuur 1.13 De zin van bewegend punt P is van A naar B x 24 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

1.2 Begrippen 1.2.1 Afgelegde weg Afgelegde weg s (spatium) van een bewegend punt is de lengte van de doorlopen baan. 1 Inleidende begrippen Voorbeeld: s = 1,5 m De afgelegde weg is altijd een positieve waarde. Grootheid Symbool Eenheid Afkorting lengte l meter m afgelegde weg s meter m andere eenheden 1 km = 1000 m 1 cm = 0,01 m 1 mm = 0,001 m 1 µm = 0,000 001 m Voorbeeld Een gereedschap in het gereedschapsmagazijn moet van positie A naar positie B. Bereken de afgelegde weg van het gereedschap (figuur 1.14). A l = 0,8 m C r = 0, 2 m Figuur 1.14 Afgelegde weg van een gereedschap B Gegeven: - punt A - punt B - de baan (figuur 1.14) l = 0,8 m r = 0,2 m Gevraagd: s Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 25

1 Inleidende begrippen Uitwerking: de afgelegde weg van het gereedschap bestaat uit een rechte baan van 0,8 meter, van punt A tot C, en een halve cirkelomtrek met straal 0,2 meter, van punt C tot B. s AC = l = 0,8 m s CB = 2 π r 2 π 0,2 = 2 = 0,63 m s = s AC + s CB 2 ( cirkelomtrek = 2 π r ) [ m ] = 0,8 + 0,63 [ m+m ] = 1,43 m Besluit: de afgelegde weg van het gereedschap bedraagt 1,43 meter. 1.2.2 Verplaatsing Verplaatsen betekent: zich verwijderen van een bepaald punt. Verplaatsing houdt de vraag in: Hoeveel meter ben ik verwijderd van mijn vertrekpunt? Punt P beweegt op een rechte baan De verplaatsing van punt A naar B op een rechte baan bereken je als volgt: s AB = eindabscis - beginabscis = x B x A Eenheid: m (meter) Besluit: een verplaatsing is het aantal meter dat je verwijderd bent van het vertrekpunt, een afgelegde weg is het aantal meter dat je afgelegd hebt. 26 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

Voorbeeld Gegeven: het traject Leuven-Brussel bedraagt 24 km. De trein legt deze afstand in 16 minuten af. De trein vertrekt in Leuven, rijdt naar Brussel en keert dan even snel naar Leuven terug. 1 Inleidende begrippen t 1 = 16 min x 0 Leuven x 1 Brussel 0 12 km x 2 t 2 = 24 min 24 km x Figuur 1.15 Traject Leuven Brussel Gevraagd: bereken de verplaatsing en de afgelegde weg na 16 minuten, 32 minuten en na 24 minuten (figuur 1.15). Uitwerking verplaatsing na 16 minuten x 1 x 0 = 24 0 = 24 km [ km ] de afgelegde weg na 16 minuten is 24 km verplaatsing na 32 minuten ( x 1 x 0 ) + ( x 0 x 1 ) = ( 24 0 ) + ( 0 24 ) [ km ] = 0 km de afgelegde weg na 32 minuten is 48 km verplaatsing na 24 minuten ( x 1 x 0 ) + ( x 2 x 1 ) = ( 24 0 ) + ( 12 24 ) [ km ] = 24 + ( 12 ) [ km ] = 12 km Het teken wil zeggen dat de verplaatsing gebeurt tegengesteld aan de positieve zin van de x-as. de afgelegde weg na 24 minuten is 36 km Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 27

1 Inleidende begrippen Punt P beweegt op een kromme baan (figuur 1.16) Verplaatsingsvector Δ _ r bepaalt de verplaatsing. De werklijn waarop de verplaatsingsvector ligt, is de rechte daar de eindpunten van de positievectoren _ r 1 en _ r 2. y positievector r 1 j P1 s r 2 baan 2 r verplaatsingsvector P2 positievector baan 1 0 i x Figuur 1.16 Verplaatsingsvector Δ _ r is onafhankelijk van de gevolgde baan. Bij een rechtlijnige beweging is de grootte van de verplaatsing Δ _ r gelijk aan de afgelegde weg Δs. 1.2.3 Tijd Om een lichaam (het gereedschap) een afgelegde weg te laten doorlopen is een bepaalde tijd nodig. Je zegt: Beweging is gekoppeld aan tijd. Meetinstrumenten voor deze niet te omschrijven grootheid, die een belangrijke rol speelt in de bewegingsstudie, zijn uurwerken en chronometers (figuur 1.17). Figuur 1.17 Meten van tijd Tijd wordt voorgesteld door de kleine letter t en heeft als basiseenheid de seconde, s. Voorbeeld: t = 30 s Grootheid Symbool Eenheid Afkorting tijd t seconde s andere eenheden 1 min (minuut) = 60 s 1 h (uur) = 60 min = 3600 s 28 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

Om het tijdsinterval te bepalen om het gereedschap van positie A naar B te verplaatsen gebruik je: Δt = t B t A 1 Inleidende begrippen y t A = 20 s A B t B = 23 s O Figuur 1.18 Tijdsinterval x Δt = t B t A = 23 20 [ s ] = 3 s De tijd die het gereedschap nodig heeft om zich van positie A naar B te verplaatsen bedraagt 3 seconden. 1.2.4 Gemiddelde snelheid De grootte van de gemiddelde snelheid tijdens de beweging van positie A naar B is per definitie het quotiënt van de afgelegde weg en de tijd om van A naar B te bewegen. De snelheid stel je voor door de kleine letter v (velocitas). s v gem = B s A t B t A Grootheid Symbool Eenheid Afkorting verplaatsing s meter m afgelegde weg s meter m tijd, tijdsinterval t, t seconde s gemiddelde snelheid v gem meter per seconde m/s Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 29

1 Inleidende begrippen Een veel gebruikte andere eenheid is km/h. 1 m/s = 1 1 1000 [ m s 1 m km = m s km m ] = 0,001 [ km s ] = 0,001 3600 [ km s s h ] = 3,6 km/h Voorbeeld Je beschouwt de beweging van een gereedschap dat zich van positie A naar B beweegt (figuur 1.19). Gegeven: figuur 1.19 y l = 0,8 m Gevraagd: v gem Uitwerking t A = 20s A r = 0,2 m Afgelegde weg Δs = 1,43 m (zie voorbeeld blz. 25) Tijdsinterval O Figuur 1.19 Snelheid van een punt B t B = 23s x Δt = t B t A = 23 20 [ s ] = 3 s Gemiddelde snelheid De gemiddelde snelheid is het quotiënt van de afgelegde weg en de tijd om van positie A naar B te bewegen. v gem = Δs Δt = 1,43 3 [ m s ] = 0,477 m/s Besluit: de gemiddelde snelheid waarmee het gereedschap beweegt is 0,477 m/s. 30 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

1.2.5 Ogenblikkelijke snelheid Bij bewegingen waarbij de snelheid van het bewegend lichaam voortdurend verandert, kan het nodig zijn de snelheid op een bepaald ogenblik t te kennen. Deze ogenblikkelijke snelheid v t van het bewegende punt krijg je door de afgelegde weg s in het kleinst meetbare tijdsinterval te bepalen. 1 Inleidende begrippen Δt dt Dan wordt de afgelegde weg heel klein, je schrijft niet meer Δs maar ds; Δs ds vt = ds dt Dit geeft de grootte van de ogenblikkelijke snelheid op tijdstip t. Als de tijd zeer klein is, is Δs gelijk aan de grootte van Δ _ r. Uiteindelijk raakt d _ r de baan in het aangrijpingspunt (zie figuur 1.20). Snelheid is dus een vectoriële grootheid. De richting van _ v t is de richting van de raaklijn aan de baan in punt P(t). De zin van _ v t is de zin van de beweging. Figuur 1.20 Ogenblikkelijke snelheid De snelheid van een bewegend punt op een bepaald ogenblik heeft een grootte, richting, zin en aangrijpingspunt. De ogenblikkelijke snelheid is een vectoriële grootheid die in een bepaald punt aangrijpt (gebonden vector). Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 31

1 Inleidende begrippen 1.2.6 Veranderlijke beweging Een beweging is veranderlijk wanneer de grootte van de snelheid voortdurend toe- of afneemt met een willekeurige waarde. Bij het wisselen van een gereedschap op een CNC-machine duurt het 0,25 seconde vooraleer het gereedschap vanuit stilstand (v 0 = 0 m/s) een snelheid heeft van 0,477 m/s. In deze fase verandert de grootte van de snelheid met een bepaalde waarde. De verhouding van de snelheidsverandering ten opzichte van de tijd noem je versnelling. De versnelling stel je voor door a (acceleratio). a = snelheidsverandering tijdsverandering = Δv Δt In dit voorbeeld is v 0 = 0 m/s en t 0 = 0 s. De versnelling kun je dus berekenen met: 0,477 0 a = 0,25 0 [ m/s s ] = 1,91 m/s² Uit de formule kun je afleiden dat de eenheid van versnelling m/s² is. Grootheid Symbool Eenheid Afkorting versnelling a meter per seconde kwadraat m/s² De versnelling is de verandering van de snelheid per tijdseenheid. De versnelling is een vectoriële grootheid. Versnellingsvector _ a duidt op de verandering van de snelheidsvector per tijdsinterval. _ a = Δ _ v Δt 32 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

Als een punt of lichaam een versnelde beweging uitvoert op een as, dan is de zin van versnellingsvector _ a en snelheidsvector _ v gelijk (figuur 1.21 en figuur 1.22). Figuur 1.21 Versnelling a x > 0 en v x > 0 1 Inleidende begrippen Figuur 1.22 Versnelling a x < 0 en v x < 0 Als een punt een vertraagde beweging uitvoert op een as, dan is de zin van versnellingsvector _ a en snelheidsvector _ v tegengesteld (figuur 1.23 en figuur 1.24). Figuur 1.23 Vertraging a x > 0 en v x < 0 Figuur 1.24 Vertraging a x < 0 en v x > 0 Besluit: a x > 0 en a x < 0 en v x > 0 versnelde beweging v x < 0 } a x < 0 en a x > 0 en v x > 0 vertraagde beweging v x < 0 } Voorbeeld In onderstaande figuur is de auto aan het versnellen. De snelheids- en versnellingsvector zijn beide naar rechts gericht. Figuur 1.25 Auto die versnelt Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 33

1 Inleidende begrippen 1.2.7 Middelpuntshoek Bepaling De middelpuntshoek is de vlakke hoek θ met het middelpunt van een cirkel als hoekpunt (figuur 1.26). Figuur 1.26 Middelpuntshoek Eenheden: graad - radiaal Een hoek wordt uitgedrukt in graden of in radialen. Figuur 1.27 1 graad θ = 1 is de grootte van de middelpuntshoek waarvan de booglengte gelijk is aan 1 360 ste deel van de cirkelomtrek (figuur 1.27). 34 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

1 Inleidende begrippen Figuur 1.28 1 radiaal θ = 1 rad is de grootte van de middelpuntshoek waarvan de booglengte gelijk is aan de straal van de cirkel (figuur 1.28). Het aantal radialen van een willekeurig middelpuntshoek θ is gelijk aan het aantal keren dat de straal in boog s gaat. θ = s r Grootheid Symbool Eenheid Afkorting booglengte s meter m straal r meter m middelpuntshoek θ radiaal rad Bepaal het aantal radialen van een volle hoek (360 ), de booglengte is dan gelijk aan de omtrek van de cirkel, 2 π r. θ = 2 π r r = 2 π rad Verband tussen graad en radiaal 2π rad 360 1 rad 360 2π 1 rad 57,29 1 rad 57 17 45 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 35

1 Inleidende begrippen Voorbeeld Hoe groot is de middelpuntshoek als de booglengte 5,0 cm is op een cirkelomtrek met 2,0 cm straal? Gegeven: s = 5,0 cm r = 2,0 cm Gevraagd: θ Uitwerking θ = s r = 5,0 2,0 [ cm cm = rad ] = 2,5 rad Figuur 1.29 Middelpuntshoek 2π rad 360 1 rad 360 2π 2,5 rad 2,5 360 2π 143 Besluit: de middelpuntshoek bedraagt 2,5 radialen of 143. 36 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

1.3 Te onthouden Gebruikte grootheden Grootheid Symbool Eenheid Afkorting lengte l meter m 1 Inleidende begrippen afgelegde weg, verplaatsing s meter m tijd, tijdsinterval t, t seconde s snelheid v meter per seconde m/s versnelling a meter per seconde kwadraat m/s² middelpuntshoek θ radiaal rad booglengte s meter m straal r meter m diameter d, D meter m Beweging Een punt is in beweging ten opzichte van een referentiepunt wanneer het zich voortdurend verplaatst ten opzichte van dat referentiepunt. Rust Een punt is in rust ten opzichte van een referentiepunt wanneer het zich niet verplaatst ten opzichte van dat referentiepunt. Positie De positie van een punt is de ligging van het punt op een bepaald ogenblik ten opzichte van een referentiepunt of referentiestelsel. De positie geef je weer met de positievector of met coördinaten. Baan De lijn die je door de opeenvolgende eindpunten van de positievector kunt tekenen, noem je de baan van dat bewegende punt. Deze baan kan zich in een vlak of in de ruimte bevinden. Richting De richting van een bewegend punt op een baan bepaal je door de raaklijn in dat punt aan de baan. Zin De zin van een bewegend punt bepaal je door de volgorde van de verschillende standen waarin de baan wordt doorlopen. Afgelegde weg De afgelegde weg van een bewegend punt is de lengte van de doorlopen baan. Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 37

1 Inleidende begrippen Tijd De tijd is een grootheid, die een belangrijke rol speelt in de bewegingsstudie. Het tijdsinterval om van positie A naar positie B te gaan bepaal je met: Δt = t B t A Gemiddelde snelheid De grootte van de gemiddelde snelheid van een bewegend punt P is: v gem = Δs Δt Ogenblikkelijke snelheid De snelheid van een bewegend punt op een bepaald ogenblik heeft een grootte, richting, zin en aangrijpingspunt. De ogenblikkelijke snelheid is een vectoriële grootheid die in een bepaald punt aangrijpt (gebonden vector). Snelheidsvector De snelheidsvector in een bepaald punt van de baan is steeds raaklijnig aan de baan. De zin van de snelheidsvector wordt bepaald door de zin van de beweging. Versnelling De versnelling is de verandering van de snelheid per tijdseenheid. _ a = Δ _ v Δt De versnelling is een vectoriële grootheid. Bij een versnelling is de zin van de snelheidsvector hetzelfde als de zin van de snelheidsvector, bij een vertraging is de zin van de versnellingsvector tegengesteld aan de zin van de snelheidsvector. Middelpuntshoek Middelpuntshoek θ is de vlakke hoek tussen twee halfrechten OA en OB met het middelpunt O van een cirkel als hoekpunt (figuur 1.30). Figuur 1.30 Middelpuntshoek θ = s r Graad: θ = 1 is de grootte van de middelpuntshoek waarvan de booglengte gelijk is aan 1 ste van de cirkelomtrek. 360 Radiaal: θ = 1 rad is de grootte van de middelpuntshoek waarvan de booglengte gelijk is aan de straal van de cirkel. 1 rad 57 29 38 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

2 De eenparige rechtlijnige beweging 2.1 Bepaling van een eenparige rechtlijnige beweging 2.1.1 Beweging Een wagentje beweegt over een rechte baan van links naar rechts. Vanaf het vertrek meet je met een sensor de positie van het wagentje ten opzichte van de sensor (referentiepunt) op verschillende tijdstippen. 2 De eenparige rechtlijnige beweging Figuur 2.1 Wagentje beweegt over een rechte baan Met software kun je op verschillende tijdstippen de positie van het wagentje aflezen en in een grafiek weergeven. Figuur 2.2 Meetresultaten Als de meting start is de tijd 0 seconde (t 0 = 0 s) en de positie van het wagentje is 0,488 meter (s 0 = 0,488 m). Na 0,05 s (= t 1 ) is de positie van het wagentje 0,515 m (= s 1 ), na 0,10 s is dit 0,542 m (zie figuur 2.2). Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 39

2.1.2 Bijzonderheden van de beweging 1 De afstand Δs tussen twee opeenvolgende metingen is steeds gelijk. Hierbij moet je wel rekening houden met kleine meetfouten. Δs 1 = s 1 s 0 = 0,515 0,488 = 0,027 m Δs 2 = s 2 s 1 = 0,542 0,515 = 0,027 m Δs 3 = s 3 s 2 = 0,569 0,542 = 0,027 m 2 De eenparige rechtlijnige beweging Δs 4 = s 4 s 3 = 0,596 0,569 = 0,027 m Δs 5 = s 5 s 4 = 0,624 0,596 = 0,028 m Δs 6 = s 6 s 5 = 0,651 0,624 = 0,027 m... of Δs 1 = Δs 2 = Δs 3 = Δs 4 = Δs 5 =... = 0,027 m Voor deze beweging is Δs tussen twee opeenvolgende metingen gelijk aan 0,027 m. 2 Het tijdsinterval Δt tussen twee opeenvolgende metingen is gelijk. Symbolisch t 1 t 0 = t 2 t 1 = t 3 t 2 = t 4 t 3 = t 5 t 4 =... of Δt 1 = Δt 2 = Δt 3 = Δt 4 = Δt 5 =... = 0,05 s Voor deze beweging is Δt tussen twee opeenvolgende metingen gelijk aan 0,05 seconden. Uit (1) en (2) besluit je dat: Δs 1 Δt 1 = Δs 2 Δt 2 = Δs 3 Δt 3 = Δs 4 Δt 4 = Δs 5 =... Δt 5 Deze verhouding is de snelheid van het wagentje. 3 De verhouding van de afgelegde weg Δs en de verstreken tijd Δt tussen twee willekeurige metingen is steeds gelijk (je moet wel rekening houden met eventuele meetfouten). Verhouding afgelegde weg en tijd Wagentje s 3 s 0 t 3 t 0 0,569 0,488 = 0,540 m/s 0,15 0,00 s 6 s 1 t 6 t 1 0,651 0,515 = 0,544 m/s 0,30 0,05 s 13 s 3 t 13 t 3 0,838 0,569 = 0,538 m/s 0,65 0,15 Tabel 2.1 Je kunt besluiten dat de grootte van de snelheid constant is en gelijk aan 0,54 m/s. 40 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

4 De richting en zin van de snelheidsvector wijzigen niet. In figuur 2.3 is de richting horizontaal of volgens de x-as en de zin naar rechts of volgens de positieve x-as. Figuur 2.3 Snelheidsvector _ v = v x _ _ i Hierbij is i de eenheidsvector volgens de x-as, die samenvalt met de baan van de beweging. 5 Het bewegende wagentje beschrijft een rechte lijn als baan. 6 Dit is een eenparige rechtlijnige beweging. 2 De eenparige rechtlijnige beweging 2.1.3 Bepaling van de eenparige rechtlijnige beweging Een lichaam maakt een eenparige rechtlijnige beweging als het lichaam beweegt volgens een rechte baan, in dezelfde zin en waarbij in gelijke tijdsintervallen, hoe klein ook genomen, gelijke afstanden worden afgelegd. De grootte, richting en zin van de snelheidsvector die hoort bij het lichaam dat een eenparige rechtlijnige beweging uitvoert, verandert niet. 2.2 Bewegingswet De grootte van de snelheid, tussen twee willekeurige punten van een eenparige rechtlijnige beweging is altijd dezelfde: v = s s t 0 t t t 0 v = Δs Δt Dit noem je de bewegingswet. Als t 0 = 0 s is, dan is v = s s t 0 en t t s t = s 0 + v t t Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 41

Als je dit vectorieel toepast op de x-as krijg je: s tx = s 0x + v x t t In veel gevallen is s 0 = 0, dan kun je de afgelegde weg bepalen met: s t = v t t Grootheid Symbool Eenheid Afkorting Afgelegde weg, positie s meter m 2 De eenparige rechtlijnige beweging Positie op tijdstip t = 0 s s 0 meter m Tijd t seconde s Snelheid v meter per seconde m/s Tabel 2.2 2.3 Voorbeelden Voorbeeld 1 Je fietst met een snelheid van 8 m/s. Wat is de afgelegde weg na 2 minuten als je een eenparige rechtlijnige beweging uitvoert? Gegeven: v = 8 m/s t 1 = 2 min Figuur 2.4 Fietser Gevraagd: s 1 Uitwerking Omvorming naar de juiste eenheden t = 2 min = 120 s Afgelegde weg berekenen s 1 = v t 1 = 8 120 [ m s s ] = 960 m Besluit: de afgelegde weg is 960 meter. 42 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

Voorbeeld 2 Je rijdt met je ouders in een auto over de snelweg van Genk naar Brussel, E314, met een constante snelheid van 120 km/h. Om stipt 10 uur passeer je kilometerpaaltje 42 km. Welk kilometerpaaltje zal je 5 minuten later passeren? Gegeven: v = 120 km/h s 0 = 42 km t 1 = 5 min Figuur 2.5 Autosnelweg 2 De eenparige rechtlijnige beweging Gevraagd: s Uitwerking Omvorming naar de juiste eenheden v = 120 km/h = 33,3 m/s = 120 1000 3600 s 0 = 42 km = 42 000 m t 1 = 5 min = 300 s [ km h m km s h ] Afgelegde weg berekenen s 1 = s 0 + v t 1 = 42 000 + 33,3 300 [ m + m s s ] = 52 000 m = 52 km Besluit: na 5 minuten rijden passeer je kilometerpaaltje 52 km. Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 43

2.4 Grafische voorstelling van de verplaatsing in functie van de tijd Je kunt de meetresultaten van het wagentje ook weergeven in een assenstelsel. Plaats op de horizontale as, in de wiskunde de x-as, de tijd en op de verticale as, de y-as, de positie van het wagentje. Bij de start is de positie van het wagentje 0,488 m, na 0,05 s is de positie 0,515 m, Zo kun je van elk meetresultaat ook de coördinaat bepalen. In onderstaande tabel zijn de coördinaten bepaald bij een tijd van 0,00 s; 0,25 s; 0,50 s 2 De eenparige rechtlijnige beweging Meting x t [s] y s [m] coördinaten (x; y) of (t; s) 0 0,00 0,488 (0,00 ; 0,488) 5 0,25 0,624 (0,25 ; 0,624) 10 0,50 0,758 (0,50 ; 0,758) 15 0,75 0,892 (0,75 ; 0,892) 20 1,00 1,026 (1,00 ; 1,026) Tabel 2.3 Teken deze punten in het (t; s)-assenstelsel en teken een rechte door deze punten. Je kiest een gepaste schaal. Tijdschaal: 1 mm 0,0125 s Afstandschaal: 1 mm 0,02 m Figuur 2.6 Verplaatsing in functie van de tijd De rechte lijn die zo goed mogelijk door alle meetpunten gaat is de grafische voorstelling van de afgelegde weg in functie van de tijd bij een eenparige rechtlijnige beweging. 44 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

Deze rechte kun je in het (x; y)-assenstelsel wiskundig schrijven als y = m x + b, met: m is de richtingscoëfficiënt van de rechte, deze is gelijk aan Δy Δx b is de y-waarde van het snijpunt met de y-as. In het (t; s)-assenstelsel kun je de rechte schrijven als s = m t + s 0, de richtingscoëfficiënt is ook gelijk aan Δs of snelheid v. De vergelijking van de rechte die de verplaatsing in functie Δt van de tijd beschrijft is s = s 0 + v t met: 1,026 0,488 v de snelheid, v = = 0,538 m/s 1,00 0,00 s 0 de afgelegde weg als t = 0 s, s 0 = 0,488 m. s = 0,488 + 0,538 t De hoek die deze lijn maakt met de positieve x-as noem je α, m = tan α. Hieruit volgt: als α toeneemt de snelheid groter wordt, als α = 0 de snelheid gelijk is aan nul. Om dit te berekenen kun je ook gebruik maken van software die de meetresultaten onmiddellijk omzet in een grafiek. De software houdt rekening met alle meetresultaten, hierdoor ontstaat een kleine afwijking, s = 0,489 + 0,536 t. 2 De eenparige rechtlijnige beweging Figuur 2.7 Grafische voorstelling met behulp van software Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 45

2.5 Grafische voorstelling van de grootte van de snelheid in functie van de tijd De grootte van de snelheid van de beweging van het wagentje bedraagt 0,538 m/s en is constant. Teken het snelheidsverloop in functie van de tijd. Hiervoor gebruik je een assenstelsel met op de horizontale as de tijd en op de verticale as de snelheid. 2 De eenparige rechtlijnige beweging Schaalwaarden: tijdschaal: 1 mm 0,0125 s snelheidsschaal: 1 mm 0,02 m/s Figuur 2.8 Snelheid in functie van de tijd v = 0,538 is de vergelijking van een constante functie. Oppervlakte ABCD stelt op schaal de verandering van de positie voor bij een tijdsinterval van 1,00 s 0,25 s = 0,75 s (figuur 2.8). Δs = v t oppervlakte rechthoek ABCD = 0,538 ( 1 0,25 ) [ m s s ] = 0,403 m De verandering van de afgelegde weg is dus 0,403 m. In het experiment is de verandering van de afgelegde weg gelijk aan: 1,026 0,624 [ m-m ] = 0,402 m In een ( t; v ) -assenstelsel stelt de oppervlakte tussen de kromme met vergelijking v = f ( t ) en de t-as op schaal de verandering van de positie (afgelegde weg) voor. 46 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

Met software kun je ook de oppervlakte, afgelegde weg, bepalen tussen 2 tijdenstippen. Figuur 2.9 Afgelegde weg bepalen met software 2.6 Voorbeelden 2 De eenparige rechtlijnige beweging Voorbeeld 1 Een vliegtuig vliegt van Brussel naar Rome met een snelheid van 630 km/h. Bereken de afgelegde weg na 30 minuten. Teken de beweging in een (t; s)-assenstelsel en bepaal door aflezing de afgelegde weg na een vlucht van 1 uur en 45 minuten. Teken de beweging in een (t; v)-assenstelsel en bepaal met behulp van de tekening de afgelegde weg na 90 minuten. Figuur 2.10 Vliegtuig Gegeven: v = 630 km/h t 1 = 30 min t 2 = 1 h 45 min t 3 = 90 min Gevraagd: s 1 na 30 min (t; s)-assenstelsel (t; v)-assenstelsel Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 47

Uitwerking 1 s na 30 min t 1 = 30 60 [ min s min ] = 1800 s v = 630 1000 1 3600 [ km h = 175 m/s m km l s/h ] 2 De eenparige rechtlijnige beweging Besluit 1: Uitwerking 2 s 1 = v t 1 = 175 1800 [ m s s ] = 315 000 m = 315 km de afgelegde weg na 30 minuten is 315 km. (t; s)-assenstelsel Schaalwaarden t-as: 1 mm 90 s s-as: 1 mm 100 m voor t = 0 s is s = 0 m; dit geeft als coördinaat (0; 0), voor t = 1800 s is s = 315 000 m; dit geeft (1800; 315 000) Het volstaat om twee punten te kennen om de rechte te kunnen tekenen. Figuur 2.11 Verplaatsing in functie van de tijd Een tijdsinterval van 1 uur en 45 minuten komt overeen met 6 300 s. Je ziet in figuur 2.11 dat in dit tijdsinterval de verplaatsing gelijk is aan 1 100 000 m of 1 100 km. Besluit 2: de verplaatsing na 1 uur en 45 minuten is 1 100 km. 48 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

Uitwerking 3 (t; v)-assenstelsel Schaalwaarden t-as: 1 mm 90 s v-as: 1 mm 5 m/s 2 De eenparige rechtlijnige beweging Figuur 2.12 Snelheid in functie van de tijd De verplaatsing na 90 minuten of 5400 s komt overeen met de blauwe oppervlakte. Δs = 175 5400 [ m s s ] = 945 000 m of 945 km. Besluit 3: de verplaatsing na 90 minuten is 945 km. Voorbeeld 2 Een fietser rijdt gedurende 35 minuten met een snelheid van 18 km/h op de zeedijk, dan gedurende 30 minuten met een snelheid van 30 km/h. vervolgens rust hij 10 minuten. ten slotte rijdt hij terug met een snelheid van 25 km/h. teken het verloop van de positie in functie van de tijd en teken de snelheid in functie van de tijd. Figuur 2.13 Fietser op zeedijk Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 49

Gegeven: Δt 1 = 35 min Δt 1 = 2100 s v 1 = 18 km/h Δt 2 = 30 min v 2 = 30 km/h Δt 3 = 10 min v 1 = 5 m/s Δt 2 = 1800 s v 2 = 8,33 m/s Δt 3 = 600 s v 3 = 0 m/s 2 De eenparige rechtlijnige beweging Δs 1x + Δs 2x + Δs 3x + Δs 4x = 0 v 4 = 25 km/h v 4 = 6,94 m/s Gevraagd: grafische voorstelling van s = f(t) in een (t; s)-assenstelsel grafische voorstelling van v = f(t) in een (t; v)-assenstelsel Uitwerking (t; s)-assenstelsel Schaalwaarden t-as: 1 mm 100 s s-as: 1 mm 500 m Beweging 1 Δs 1x = v 1x Δt 1 = 5 2100 [ m s s ] = 10 500 m Beweging 2 Δs 2x = v 2x Δt 2 = 8,33 1 800 [ m s s ] = 15 000 m Beweging 3 Δs 3x = v 3x Δt 3 = 0 m Beweging 4 Δs 4x = ( Δs 1x + Δs 2x + Δs 3x ) = 25 500 m 50 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

Omdat de fietser terugkeert naar zijn startpositie is de verplaatsing in deze beweging negatief. In het (t; s)-assenstelsel is de richtingscoëfficiënt van rechte 4 ook negatief; met andere woorden v 4x is negatief en gelijk aan 6,94 m/s. Δ s 4x = v 4x Δ t 4 Δ t 4 = 25 500 6,94 [ m m/s ] = 3 672 s 2 De eenparige rechtlijnige beweging Figuur 2.14 (t; s)-assenstelsel (t; v)-assenstelsel Schaalwaarden t-as: 1 mm 100 s v-as: 1 mm 0,50 m/s Figuur 2.15 (t; v)-assenstelsel Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 51

Voorbeeld 3 2 De eenparige rechtlijnige beweging Een auto vertrekt vanuit Antwerpen richting Gent met een snelheid van 100 km/h. Op hetzelfde ogenblik vertrekt een fietser vanuit Gent richting Antwerpen met een snelheid van 20 km/h. De afstand tussen Gent en Antwerpen bedraagt 60 km. Teken de beweging in een (t; s)-assenstelsel en bepaal door aflezing na hoeveel tijd en op welke afstand van Antwerpen ze elkaar ontmoeten. Bereken wanneer en op welke plaats van Antwerpen ze elkaar ontmoeten. auto fiets Antwerpen 60 km Gent Figuur 2.16 Schematische voorstelling Gegeven: v 1 = 100 km/h v 2 = 20 km/h s = 60 km Gevraagd: t P s Px Uitwerking De beweging in een (t; s)-assenstelsel Schaalwaarden t-as: 1 mm 1 min s-as: 1 mm 1 km Figuur 2.17 Verplaatsing t.o.v. Antwerpen 52 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

De plaats waar de automobilist de fietser ontmoet is het snijpunt van de twee rechten. Voor dit punt vind je: s Px = 50 km t P = 0,5 h Analytische oplossing De verplaatsing ten opzichte van Antwerpen voor de auto bedraagt: s Ax = s 0x + v 1x t = 0 + 100 t Bij vertrek is de fietser 60 km verwijderd van Antwerpen, s 0x = 60 km. Omdat de fietser van Gent naar Antwerpen fietst is de snelheid negatief, v 2x = 20 km/h. s Fx = s 0x + v 2x t 2 De eenparige rechtlijnige beweging = 60 20 t Als de automobilist en de fietser elkaar ontmoeten, is de verplaatsing ten opzichte van Antwerpen gelijk. s Ax = s Fx 100 t P = 60 20 t P 100 t P + 20 t P = 60 120 t P = 60 t P = 0,5 h Bepalen van de verplaatsing ten opzichte van Antwerpen: s Ax = 100 t P = 100 0,5 [ km h h ] = 50 km Besluit: de verplaatsing ten opzichte van Antwerpen bedraagt 50 km en na 0,5 h ontmoet de automobilist de fietser. Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 53

2.7 Te onthouden Eenparige rechtlijnige beweging Bij een eenparige rechtlijnige beweging is de snelheidsvector constant. v = v x i 2 De eenparige rechtlijnige beweging _ Hierbij is i de eenheidsvector volgens de x-as, die samenvalt met de baan van de beweging. De grootte van de snelheid is constant. De richting wijzigt niet. De zin wijzigt niet. Bewegingswet: de verplaatsing na t seconde is s = s 0 + v t. Grootheid Symbool Eenheid Afkorting Verplaatsing, afgelegde weg s meter m Positie op tijdstip t = 0 s s 0 meter m Tijd t seconde s Snelheid v meter per seconde m/s Tabel 2.4 (t; s)-assenstelsel Figuur 2.18 Positie in functie van de tijd 54 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

(t; v)-assenstelsel Figuur 2.19 Snelheid in functie van de tijd De blauwe oppervlakte onder de horizontale lijn v = v 1 komt overeen met de afgelegde weg gedurende tijdsinterval Δt. 2 De eenparige rechtlijnige beweging Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 55

3 De eenparige cirkelvormige beweging Een cirkelvormige beweging komt veel voor in het dagelijkse leven en de techniek. Voorbeelden: wielen van een voertuig, draaiende riemschijven, draaiende slijpschijf, draaiend boor, wijzers van een klok, werkstuk op een draaibank, wieken van een windmolen. Een punt beschrijft een cirkelvormige beweging, als de afstand van dit punt tot een vast punt O steeds constant blijft gedurende het bewegen; en alle plaatsen die het punt inneemt in eenzelfde plat vlak liggen. Bron: Reinold Tomberg 3 De eenparige cirkelvormige beweging Figuur 3.1 Cirkelzaag Figuur 3.2 Windmolen Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 57

3.1 De afgelegde weg van een bewegend punt op een cirkelomtrek Als punt P zich naar P verplaatst, noem je de boog PP de afgelegde weg, s PP (figuur 3.3). Figuur 3.3 Doorlopen boog Door het wagentje in onderstaande opstelling naar rechts te verplaatsen zal het wieltje gaan draaien. De afgelegde weg van het wagentje is gelijk aan de boog van P naar P. 3 De eenparige cirkelvormige beweging Figuur 3.4 Schematische voorstelling De afgelegde weg van het wagentje en de hoekverdraaiing van het wieltje wordt gemeten met sensoren. Aan de hand van de grafiek zie je dat er een lineair verband is tussen de afgelegde weg en de hoekverdraaiing. Figuur 3.5 Proefopstelling 58 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad

Figuur 3.6 Meetresultaat In deze opstelling is de straal van het wieltje 26 mm (inclusief dikte van het koord). Als je de hoek, in radialen, vermenigvuldigt met de straal van het wieltje krijg je de afgelegde weg of booglengte van de cirkelvormige beweging. s = 8,206 0,026 = 0,213 m [ rad m ] Deze waarde komt overeen met de gemeten waarde van 0,211 m. Als je doorlopen hoek θ vermenigvuldigt met straal r van het wiel krijg je de afgelegde weg van P naar P. 3 De eenparige cirkelvormige beweging s PP = r θ Grootheid Symbool Eenheid Afkorting Afgelegde weg van P naar P, boog s PP meter m Straal r meter m Doorlopen hoek θ radialen (= m/m) rad Tabel 3.1 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad 59

3.2 Eenparige cirkelvormige beweging Als je van een draaiende windmolen een filmpje of zeer snel achter elkaar enkele foto s maakt krijg je onderstaand resultaat. Figuur 3.7 Windmolen t = 0 s Figuur 3.8 Windmolen t = 0,25 s Figuur 3.9 Windmolen t = 0,50 s Figuur 3.10 Windmolen t = 0,75 s 3 De eenparige cirkelvormige beweging De hoekverdraaiing bij twee opeenvolgende foto s, Δt = 0,25 s, is steeds gelijk, 15. In 1 seconde wordt dus een hoek doorlopen van 60. 15 15 15 Figuur 3.11 Windmolen In gelijke tijden legt het uiteinde van de wiek van de windmolen gelijke booglengten of hoeken af. De grootte van de snelheid van het uiteinde van de wiek is constant. In gelijke tijden doorloopt de wiek gelijke hoeken. Een punt beschrijft een eenparige cirkelvormige beweging als dat punt beweegt in dezelfde zin op een cirkelvormige baan en daarbij in gelijke tijden gelijke booglengten aflegt. 60 Plantyn Mechelen Theoretische mechanica 2de graad